fondamenti della misurazione

Upload: marco-salvatore-vanadia

Post on 01-Jun-2018

223 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    1/149

    Politecnico di Bari

    Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e

    dell’Automazione

    Fondamenti della Misurazione

    Corso Prof. Ing. M. Savino

    Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell’Informazione 

    Politecnico di Bari 

    a cura diMarco Salvatore  Vanad̀ıa

    27 maggio 2016

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    2/149

    ii

    a Giulia

    Il presente documento è rilasciato sotto licenza cCreative Commons 3.0 by-sa-nc cbna.

    É consentita la creazione di opere derivate, traduzioni, adattamenti, totali o par-ziali, fatta salva l’attribuzione dell’autore originale e il mantenimento della licenza.

    Marco Salvatore  Vanad̀ıaPolitecnico di Bari

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    3/149

    Indice

    I Fondamenti della Misurazione   1

    1 Misura e incertezza   31.1 Concetto di misura   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Errori e incertezza   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Errori e loro propagazione   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Classificazione degli errori e correzione   . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Accuratezza e precisione   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Taratura o calibrazione   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Linearizzazione della curva di taratura   . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8 Media polarizzazione e deviazione   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.9 Deviazione standard, varianza e momento centrale   . . . . . . . . . . . 241.10 Concetti di frequenza e di probabilità   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.11 Leggi di distribuzione di probabilità   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.12 Distribuzione uniforme   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.13 Distribuzione di Gauss   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    1.14 Calcolo della funzione di distribuzione di Gauss   . . . . . . . . . . . . 341.15 Deviazione standard della media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.16 Definizione e calcolo dell’incertezza   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    1.16.1 Valutazione Tipo A (o di categoria A) dell’incertezza   . . . . . 381.16.2 Valutazione Tipo BA (o di categoria B) dell’incertezza   . . . . 391.16.3 Raccomandazioni sull’incertezza  . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    1.17 Incertezza standard combinata e propagazione delle incertezze   . . . . 431.17.1 Grandezze d’ingresso non correlate   . . . . . . . . . . . . . . . 451.17.2 Grandezze d’ingresso correlate  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    1.18 Incertezza estesa   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    1.19 Livelli e intervalli di confidenza   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.20 Presentazione dei risultati   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.21 Prova del Chi-quadro  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.22 Metodo dei minimi quadrati   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.23 Rette di regressione e coefficiente di correlazione  . . . . . . . . . . . . 55

    2 Grandezze Unità Campioni   592.1 Cenni storici introduttivi   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2 La conferenza generale dei pesi e delle misure (CGPM)   . . . . . . . . 592.3 Unità di misura fondamentali e derivate   . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    iii

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    4/149

    iv   INDICE 

    2.4 Campioni metrici e sistema di certificazione   . . . . . . . . . . . . . . 65

    3 Fondamenti sui sensori   733.1 Introduzione e definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2 Il sensore intelligente   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3 Classificazione dei sensori   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.4 Caratteristiche di un sensore   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.5 Le caratteristiche di qualità   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.6 Affidabilità dei sensori   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.7 Caratteristiche metrologiche ambientali   . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.8 Parametri fondamentali dei trasduttori   . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.9 Rappresentazione dei sensori   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.10 Principi fisici dei principali sensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.11 Effetti fotonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.12 Effetto doppler   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    3.13 Effetti piezoelettrico piroelettrico e piezoresistivo   . . . . . . . . . . . 1163.14 Effetti magnetici   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    4 Strumenti digitali   1274.1 Introduzione  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.2 Errori di campionamento e troncamento   . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.3 Quantizzazione e conversione analogico-digitale   . . . . . . . . . . . . 136

    II Esercizi   1394.4 Esempi esercizi 1aprova  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.5 Esempi esercizi 2aprova  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    5/149

    Parte I

    Fondamenti della Misurazione

    1

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    6/149

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    7/149

    Capitolo 1

    Misura e incertezza

    1.1 Concetto di misura

    Spesso non si fa distinzione tra le parole misurazione e misura, anche se a rigoreper  misurazione   s’intende una serie di operazioni che hanno come fine la deter-minazione di un valore di una quantità, in altre parole il processo che porta allaquantificazione di una grandezza, mentre la  misura è il risultato della misurazione.

    La misurazione o più semplicemente, come si dirà nel seguito, la misura è quindiun procedimento semplice o complesso, che permette di quantificare, assegnando deinumeri, le propriet̀a degli oggetti e degli eventi del mondo reale. Misurare permettedi conoscere, di descrivere e quindi di controllare qualsiasi sistema fisico nel migliormodo possibile.

    La scienza delle misure è antica in quanto misurare è un’esigenza vitale dell’uomo.

    Ciò si può evincere dalle parole sia di  Galileo Galilei  sia di Lord Kelvin.Galileo Galilei affermò:

    “Contiamo ciò che è contabile, misuriamo ciò che è misurabile e rendia-mo misurabile ciò che non lo è”.

    Lord Kelvin scrisse:

    “Io spesso affermo che quando puoi misurare ciò di cui stai parlando e lo puoi esprimere in numeri, tu conosci qualcosa di ciò, ma quando non puoi esprimerlo in numeri, la tua conoscenza è povera e insoddisfacente”.

    Eseguire misure è vitale per una comprensione del mondo fisico nel quale viviamo.In tutte le branche delle scienze fisiche e ingegneristiche si ha costantemente daoperare con dei numeri che derivano dalle osservazioni sperimentali.

    Negli ultimi anni molte industrie, ma anche diversi governi, nell’ambito dellenazioni più progredite, stanno dedicando sempre maggiore attenzione alla scienzadelle misure riconoscendone una notevole importanza nella formazione dei quadridirigenti, per le implicazioni che essa ha nelle transazioni commerciali.

    Esiste un’unità metodologica nella scienza delle misure, purtroppo si deve supe-rare il ritardo causato dalla scarsa considerazione in cui si è tenuta questa realtà

    3

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    8/149

    4   CAPITOLO 1. MISURA E INCERTEZZA

    anche nel mondo accademico. Infatti, fino a non molto tempo fa si è ritenuto cheogni branca della tecnologia richiedesse l’esecuzione di misure specialistiche e cheogni specialista di quella branca fosse in grado di eseguirle, anche in assenza diconoscenze specifiche sui fondamenti della misurazione.

    Le misure sono fondamentali per la   verifica di un modello, di   una teo-ria; se il modello o la teoria sono errati, ci ò sarà rivelato dalle misure. Viceversase la misura è errata, non si avrà conferma della validità o meno della teoria.   Èquindi necessario imparare a capire se una misura è stata o meno eseguita corret-tamente e può essere impiegata per i fini che si intendeva perseguire. Occorre uninsegnamento propedeutico di base in cui si apprendano i fondamenti della misu-razione prima di poter affrontare qualsiasi tipo di misura specialistica. I concettifondamentali da apprendere riguardano i principi base della scienza delle misure,come l’incertezza, l’analisi statistica dei dati, l’interpretazione dei ri-sultati, l’affidabilità, la   certificazione, in specie quella di  qualità, inoltreoccorre imparare a conoscere la strumentazione di base che è essenzialmente di tipo

    numerico.Per eseguire una misura ci si serve di opportuni strumenti costruiti in modo da

    rendere semplice l’esecuzione e facile la lettura. A questo scopo si sono molto diffusiin tutti i campi gli  strumenti elettrici, elettronici analogici e digitali.In particolare negli ultimi trent’anni si è avuto uno straordinario impulso della stru-mentazione elettronica digitale, con la proliferazione di strumenti accurati, precisi,sensibili, dedicati, intelligenti ed esperti. Gli strumenti digitali sono estremamenteflessibili e questo ha determinato una loro proliferazione e differenziazione. Inol-tre l’avvento dei sensori intelligenti ha notevolmente e ulteriormente espanso il lorocampo di applicazione. In Fig. 1.1 è mostrato uno schema a blocchi semplificato di

    un generico strumento digitale singolo. Il primo elemento della catena di misura èun  sensore, ovvero un elemento di un sistema di misura che è direttamente sog-getto all’azione di un fenomeno, di corpi o di sostanze che trasmettono la grandezzada misurare. Come mostrato in figura il segnale in uscita al sensore è condizionatoprima di essere inviato al convertitore analogico digitale (ADC) e a una memoriadalla quale poi sono trasmesse le informazioni al sistema di visualizzazione, il tuttooperato in modo automatico tramite un sistema di controllo. L’importanza di averesensori precisi e accurati è aumentata con l’avvento di   IoT   (Internet of Things )un sistema di condivisione in rete non solo di   software , ma anche di dispositivi dimisura.

    Una misura deve iniziare con un’appropriata specificazione del  misurando, delmetodo di misura e della procedura di misura. Per   misurando   si intende unaquantità soggetta a misura, valutata nello stato assunto dal sistema in osservazionedurante la stessa misura.

    Per   metodo di misura  s’intende la sequenza logica di operazioni, descritte inmodo generico, impiegate nell’esecuzione delle misure.

    Per procedura di misura  s’intende l’insieme di operazioni, descritte in modospecifico, utilizzate nell’esecuzione di particolari misure, in accordo a un metodoprefissato.

    Con lo strumento di figura si esegue una misura con metodo diretto. Spesso

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    9/149

    1.2. ERRORI E INCERTEZZA   5

    Sensore

    Sistema di

    condizionamento

    del segnale

    ADC Memoria  Visualizzatore

    numerico

    Sistema di

    controllo

    Figura 1.1: Schema semplificato di uno strumento digitale singolo

    una prova consiste nell’esecuzione di diverse  misure dirette, ottenute mediantel’uso di specifici strumenti. Un metodo diretto di misura permette di ottenere ilrisultato della misura dalla lettura dello strumento senza necessità di conoscere

    esplicitamente valori di altri parametri, eccetto quelli delle grandezze d’influenza,che saranno esaminate nel capitolo terzo.

    Molto più diffusi sono sistemi che prevedono ingressi analogici e digitali multi-pli. I sistemi di acquisizione dati hanno la peculiarità di facilità di adattamento alprocesso industriale da controllare. Si va sempre più affermando una nuova filosofiadi misura che, partendo dal punto di vista classico di misurare solo una grandezzacon uno strumento a ciò dedicato, si sta orientando verso un vero e proprio  sistemadi misura basato su un calcolatore in grado di elaborare una gran quantità di datiprovenienti da più sensori. A volte dalla combinazione di risultati di misure direttesu parametri funzionalmente legati al misurando si risale, mediante l’esecuzione di

    calcoli, al risultato di una misura, in tal caso si parla di misure indirette

     o dimetodo indiretto di misura.Qualunque sia la strumentazione utilizzata, l’esecuzione corretta di una misu-

    ra richiede sempre la conoscenza dell’unità di misura, della metodologia seguita edi alcune proprietà della variabile da misurare, oltre che esperienza da parte del-l’operatore. L’operatore nel fornire il risultato della misura dovrà essere sicuro diaver operato correttamente ed esprimere in forma appropriata il numero, con le suecifre significative.

    1.2 Errori e incertezza

    La  misurazione  è definita dal  VIM  (International vocabulary of basic and general terms in metrology)   il processo per ottenere sperimentalmente uno o più valori chepossono essere ragionevolmente attribuiti ad una grandezza. Essa richiede teorica-mente un confronto tra una quantità incognita e una nota, assunta come campione.Nessun risultato di una misura è esente da incertezza. Quando si fornisce il risul-tato di una misura, occorre riportare un’indicazione quantitativa sulla qualità delrisultato, in modo che gli utilizzatori possano valutarne la sua attendibilità. Senzatale indicazione è impossibile confrontare i risultati tra loro o con quelli forniti dauno strumento campione.   È stato quindi necessario standardizzare una procedura

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    10/149

    6   CAPITOLO 1. MISURA E INCERTEZZA

    per valutare ed esprimere la sua incertezza. L’incertezza di misura  è il parame-tro, associato al risultato di una misura, che caratterizza la dispersione dei valoriche potrebbero essere ragionevolmente attribuiti al  misurando. Per misurando siintende una quantità soggetta a misura, valutata nello stato assunto dal sistemain osservazione durante la stessa misura. Le cause, facilmente intuibili, alle qualiaddebitare queste incertezze possono essere:

    1. la imperfezione strutturale nei componenti degli strumenti utilizzati;

    2. la inadeguatezza del campione di confronto;

    3. la limitatezza della scala o del sistema numerico di visualizzazione dello stru-mento;

    4. fretta o eccessiva sicumera da parte dell’operatore.

    D’altra parte il solo fatto di esser obbligati ad inserire uno strumento di misurain un sistema altera le condizioni iniziali del sistema stesso e non consente la misuradel valore che il misurando assumeva prima dell’inserzione. Il processo di misuradisturba il sistema e altera il valore delle quantità fisiche da misurare. L’entità deldisturbo varia con il tipo di strumento usato per la misura. Lo studio dei mezzi perminimizzare questo disturbo è uno tra i principali scopi della scienza delle misure.

    In letteratura si incontrano correntemente le dizioni di  valore vero o  valoreconvenzionalmente vero,   valore atteso e  valore teorico  a significare ilvalore della grandezza che si tende a misurare. La scelta dell’una o dell’altra dizioneo di dizione analoga è stata oggetto di discussioni e dispute filosofiche, che qui nonè il caso di esaminare; si preferirà nel prosieguo far riferimento a quanto riportato

    nella  GUM “Guide to the expression of uncertainty in measurement”  dell’ISO (In-ternational Organization for Standardization) stampata nel 1993, corretta nel 1995,nel seguito indicata come “Guida”. La Norma europea ENV 13005 del 1999 recepi-sce l’articolato della GUM dell’ISO e nel luglio del 2000 è diventata norma italianasperimentale UNI CEI ENV 13005 “Guida all’espressione dell’incertezza di misura”.In tale Norma alla definizione di errore si afferma: “dato che un valore vero non sipuò determinare, in pratica si usa un valore convenzionale”. In essa si afferma chescopo di una misura è di determinare il valore (non il valore vero) del misurando.

    Oggi si assiste ad una netta distinzione tra un  approccio classico (CA “Clas-sical Approach”) alla teoria della misurazione, contrapposto a quello  basato sul-

    l’incertezza (UA “Uncertainty Approach”). Questa contrapposizione sta creando,tra quanti si occupano di misurazioni, una pericolosa spaccatura, che vede da unaparte i difensori del CA e dall’altra i sostenitori dell’UA. Si rischia, proseguendocos̀ı le cose, sia di non far progredire ed affermare i nuovi concetti metrologici, legatiall’incertezza, sia di far perdere un prezioso patrimonio di conoscenze, basato suglisviluppi che negli anni passati ha avuto la teoria degli errori. La teoria degli erroriha consentito lo sviluppo di nuove metodologie scientifiche ed il raggiungimento dieccellenti risultati in diversi campi del sapere. In particolare la tecnica di mini-mizzazione degli errori è uno strumento di indubbia utilità, che continua ad esseregiustamente ancora molto usato in diversi settori della scienza e delle tecnologie.

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    11/149

    1.3. ERRORI E LORO PROPAGAZIONE    7

    1.3 Errori e loro propagazione

    Prima di eseguire una misura si può avere una  stima,  A, del valore del misurando.Questa stima A  può essere assunta come  valore convenzionalmente vero  delmisurando; la sua valutazione può derivare dalla disponibilità di un campione e dallaconoscenza del suo valore e della sua incertezza, o anche dalla definizione convenzio-nale a priori del valore del misurando, o dal valor medio di misure precedentementeeseguite con cura sullo stesso misurando, o da una indagine attraverso banche datisu risultati di misure eseguite da altri sullo stesso misurando, o da altri casi ancora.

    Allo scopo anche di operare alcune possibili correzioni alle misure eseguite, ètradizionalmente risultato utile introdurre il concetto di   errore. Gli errori dimisura possono essere espressi come:   assoluto,  relativo,   percentuale.

    Nel caso specifico esaminato precedentemente, l’errore assoluto,   E , è de-finito come la differenza fra il valore misurato,   X , e il valore di una grandezza diriferimento A, assunta come valore convenzionalmente vero:

    E  = X  − A   (1.1)è evidente che essendo   A   solo una stima del valore del misurando, l’errore   E   èun concetto idealizzato e non può essere mai conosciuto esattamente, quindi lacorrezione non potrà mai essere completa.

    Ne deriva che una misura sarà sempre affetta da incertezza. Occorre distinguerele parole “errore” e “incertezza”, che non sono assolutamente dei sinonimi, marappresentano concetti completamente differenti, come sarà chiarito in seguito. Essinon devono essere confusi l’uno con l’altro, né scambiati tra loro.

    L’errore relativo,  e, è definito come il rapporto tra l’errore assoluto,  E , e il

    valore  A:e =

     X − AA

    ∼=   E X 

      (1.2)

    L’errore percentuale,   e%, è definito come l’errore relativo,   e, espresso inpercento:

    e% = X − A

    A  · 100 (1.3)

    Si vuole ora esaminare come si propagano gli errori   in misure indirette.La valutazione del modo in cui si propagano gli errori può risultare utile in una faseiniziale di scelta del metodo più corretto per l’esecuzione di una misura e non va

    confusa con la procedura necessaria all’indicazione del risultato finale di una misuraindiretta, per cui occorre far riferimento alla propagazione dell’incertezza, che saràesaminata in seguito.

    Si consideri una grandezza X  = f (a , b , c, . . . ) funzione di diverse grandezze misu-rabili:   a , b , c, . . . . Gli errori da cui sono affette le misure di  a, b , c, . . .  si propagano suX  e tale propagazione può essere studiata mediante semplici tecniche matematiche.

    Nell’ipotesi che gli   errori  siano   sufficientemente piccoli  e che sia possi-bile confondere l’errore assoluto, dato dall’Eq.  1.1, con il differenziale totale dellafunzione X:

    dX  = ∂f 

    ∂a da +

     ∂f 

    ∂b db +

     ∂ f 

    ∂c dc + . . .   (1.4)

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    12/149

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    13/149

    1.4. CLASSIFICAZIONE DEGLI ERRORI E CORREZIONE    9

    che gli errori relativi non siano noti con esattezza in entit à e segno, se ne fissano ilimiti che delimitano la fascia di incertezza. Si preferisce quindi in genere fornireuna stima del valore massimo dell’errore relativo, ponendosi nell’ipotesi del “casopeggiore” e sommando i moduli dei due errori relativi. Alternativo al criterio del“caso peggiore”   è quello del   “valore più probabile”, che consiste nel calcolo dellaradice quadrata della somma dei quadrati dei valori più grandi degli errori relativi: 

    (e2a + e2b). Questa quantità è maggiore di  ea  o di  eb, ma minore della loro somma.

    Si consideri ora la   somma  di due grandezze  X   =  a +  b; dall’applicazione del-l’Eq. 1.6 si ha:

    ex = a |ea| + b |eb|

    a + b  (1.12)

    questa uguaglianza diventa  ex  =  ea  nel caso in cui  ea  =  eb.Infine si consideri la  differenza di due grandezze  X  = a − b; dall’applicazione

    dell’Eq. 1.6 si ha:

    ex  =

     a ea−

    b eba − b   (1.13)

    L’Eq. 1.13 si modifica nel caso in cui si applichi il criterio del caso peggiore nellaseguente espressione:

    ex = a |ea| + b |eb|

    a − b   (1.14)in base alla quale l’errore relativo su una grandezza ottenuta per differenza è tantomaggiore quanto più le grandezze misurabili  a  e  b   sono vicine tra loro. Ne risultache un metodo di misura basato sulla differenza fra due grandezze misurabili vaapplicato solo in casi particolari.

    1.4 Classificazione degli errori e correzione

    Normalmente si distinguono due categorie di errori: accidentali e sistematici. Aqueste due categorie se ne può aggiungere una terza quella degli errori grossolani.

    Gli   errori grossolani  sono quelli addebitabili a imperizia dell’operatore o asua distrazione. Essi possono derivare da letture errate o da un uso improprio deglistrumenti, da trascrizioni non corrette dei dati sperimentali, da errori nell’elabora-zione dei risultati. Questi errori sono assenti dagli esperimenti condotti con cura eattenzione: possono essere eliminati ripetendo l’esperimento.

    Gli errori non sistematici o accidentali  ,  E a, o “random”  sono quelli chepermangono anche nell’ipotesi di essere riusciti a correggere tutti gli errori grossola-ni e sistematici. Gli errori accidentali si calcolano come la differenza tra il risultatodi una misura e la media di una serie di misure ripetute. Essi sono l’insieme diun gran numero di effetti. Le cause degli errori accidentali sono prevalentementeimprevedibili fluttuazioni nelle condizioni operative, strumentali e ambientali. Glierrori accidentali possono essere analizzati statisticamente, in quanto si è trovatoempiricamente che essi sono frequentemente distribuiti secondo leggi semplici. Sesi ipotizza che le cause di errore agiscano in modo completamente aleatorio, essedetermineranno scarti dal valore medio sia positivi sia negativi. Globalmente è da

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    14/149

    10   CAPITOLO 1. MISURA E INCERTEZZA

    attendersi che gli effetti mediamente si annullino, ovvero il valore atteso degli erroriaccidentali è nullo. Quindi, al limite, se si sono corretti tutti gli errori sistematici egli errori accidentali seguono leggi simili di variazione,   il valore del misurandotende alla media aritmetica di un numero molto elevato di osserva-

    zioni. Quanto più piccoli risultano gli errori accidentali, tanto più si dice che lamisura è precisa.

    Gli   errori sistematici   sono quelli che si ripresentano sempre con lo stessosegno e la stessa ampiezza, ripetendo la misura di una grandezza con la stessa stru-mentazione quando siano immutate le condizioni operative e ambientali. Il VIMdefinisce  errore sistematico   la componente dell’errore di misura che in misureripetute resta costante o varia in modo prevedibile. Gli errori sistematici si calcola-no attraverso la differenza tra il risultato della misura o il valor medio di una serieripetuta di misure e una stima nota del valore del misurando o il valore conven-zionalmente vero del misurando. Essi sono in genere dovuti ad una non correttataratura  o a difetti degli strumenti. I difetti possono essere costruttivi, oppure

    derivare dall’avere sottoposto lo strumento a particolari condizioni o ambientali odoperative. Particolarmente temibili sono elevate temperature, forti campi elettrosta-tici o elettromagnetici, sovraccarichi . Gli errori strumentali possono essere ridottiattraverso una  regolazione  della curva di taratura dello strumento, usandolo inmodo appropriato, maneggiandolo con cura e sottoponendolo a una frequente ma-nutenzione. Gli errori sistematici dipendono anche dall’ambiente in cui si eseguela misura. Infatti variazioni di temperatura, la presenza di campi elettromagneticipossono influenzare in modo continuativo sia la strumentazione sia il misurando. Intal caso si asserisce che esiste una  interferenza esterna sul sistema di misura e glierrori prendono il nome anche di   condizionati. Gli errori sistematici sono difficili

    da valutare e solo un operatore esperto può prevenirli o correggerli. Essi posso-no rivestire maggiore importanza di quelli accidentali, in quanto essenzialmente daloro dipende l’accuratezza della misura.   Mentre la riduzione degli errori acciden-tali consente di migliorare la precisione, quella degli errori sistematici permette di migliorare l’accuratezza .

    Per evidenziare la presenza e l’entità degli errori sistematici è utile confrontare irisultati utilizzando strumenti o metodi di misura più accurati. Si definisce  corre-zione il valore da aggiungere algebricamente al risultato non corretto di una misuraper compensarne l’errore sistematico. Indicata con C   la correzione, pari al valorenegativo dell’errore sistematico stimato,  E S :

    C  = −E S    (1.15)

    una  stima  corretta del valore del misurando si potrà ottenere dalla relazione:

    A =  X  + C    (1.16)

    poiché non possono essere noti perfettamente né l’errore sistematico, né quindi lacorrezione, la compensazione non può essere completa. Si definisce anche un   fat-tore di correzione C F , per il quale va moltiplicato il risultato, X , di una misuraper compensare un errore sistematico. In tal caso l’Eq.  1.16 si modifica nel modo

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    15/149

    1.5. ACCURATEZZA E PRECISIONE    11

    seguente:

    A =  C F X    (1.17)

    È ora opportuno sottolineare che l’incompleta conoscenza del valore richiesto perla correzione contribuisce all’incertezza del risultato e che il risultato della misu-

    ra, dopo la correzione, è ancora solo una   stima  del valore del misurando a causadell’incertezza, dovuta sia all’imperfetta correzione, sia alla presenza degli effetti ac-cidentali. Dopo la correzione il risultato di una misura potrebbe essere molto vicinoal valore del misurando, ovvero l’errore sistematico residuo potrebbe essere moltopiccolo, ma l’incertezza di misura potrebbe essere molto grande, in quanto i fattoriche la determinano (come per esempio l’incertezza sulla correzione effettuata) nonvanno confusi con gli errori. Per dirla in altri termini,   l’incertezza del risultato di una misura non va confusa con l’errore sistematico residuo non corretto.

    1.5 Accuratezza e precisioneQualsiasi misura è soggetta a limitazioni, quando si fornisce il risultato di una mi-sura è necessario dare anche un’indicazione sull’incertezza della misura stessa. Inletteratura per qualificare la bontà di una misura si incontrano diversi termini, comequelli di accuratezza e  precisione, sui quali non si è pervenuti a una definizioneunivoca.

    Molto spesso si usa un termine per l’altro, dando luogo a grande confusione.   Èbene quindi chiarire l’uso che di questi due termini si farà nel seguito. Si intenderàper  accuratezza  il grado di approssimazione fra un valore di una grandezza mi-surata e il   valore convenzionalmente vero  di un misurando. In tal modo si

    riprende la definizione, riportata nella maggior parte dei testi in lingua inglese, di“accuracy”, termine che molti traducono in lingua italiana con la parola  “precisio-ne”, favorendo in tal modo la confusione. Le norme internazionali consigliano diconsiderare l’accuratezza come un concetto qualitativo e non quantitativo. Spessoperò sui cataloghi e su alcuni testi si trova quantificata l’accuratezza. Si trova scrittoo si sente dire che uno strumento presenta un’accuratezza dello 0, 5%, il che, se presoalla lettera, starebbe a significare che lo strumento fornisce delle pessime prestazio-ni. Probabilmente invece si voleva far riferimento all’incertezza. Se cos̀ı fosse, inmodo del tutto qualitativo si dovrebbe dire semplicemente che lo strumento presentaun’ottima accuratezza.

    La   precisione   di una misura è intesa come il grado di approssimazione frale indicazioni o i valori della grandezza misurata ottenuti da misure ripetute sullostesso oggetto o su oggetti simili in condizioni specificate.

    Il VIM riporta altri concetti simili come quelli di ripetibilità dei risultati dellemisure e di  riproducibilità. La precisione di una misura a volte è espressa nume-ricamente attraverso l’imprecisione, quantificata mediante la deviazione standard(scarto tipo nella norma italiana) o la varianza o un coefficiente di variazione, calco-lati in condizioni specificate delle misure ripetute. Il VIM associa al concetto di pre-cisione quelli di ripetibilità e di riproducibilità dei risultati delle misure. Si definisceripetibilità la precisione ottenuta operando in un insieme di condizioni ripetibili.

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    16/149

    12   CAPITOLO 1. MISURA E INCERTEZZA

    Si intendono condizioni ripetibili quelle che comprendono misure eseguite sullo stes-so oggetto o su oggetti simili in un breve periodo di tempo, nella stessa postazione enelle stesse condizioni operative, seguendo la stessa procedura, impiegando gli stessioperatori e lo stesso sistema di misura. Si definisce inoltre  riproducibilità   laprecisione ottenuta operando in un insieme di condizioni riproducibili. Si intendonocondizioni riproducibili quelle che comprendono misure ripetute sullo stesso oggettoo su oggetti simili, in diverse postazioni, utilizzando diversi sistemi di misura chepossono seguire anche procedure differenti, con l’impiego anche di vari operatori. IlVIM introduce inoltre la definizione di  precisione intermedia di misura, per cuile condizioni di misura includono la stessa procedura, la stessa postazione e misureripetute sullo stesso oggetto o su oggetti simili, in un periodo di tempo esteso, mache possono includere altre condizioni, comprendenti anche variazioni, come nuovetarature, nuovi calibratori, nuovi operatori o nuovi sistemi di misura.

    È bene chiarire che l’accuratezza e la precisione di una misura sono concettiqualitativi e si sono voluti distinguere per rimarcare, come sarà evidente in seguito,

    che una bassa incertezza di misura si può ottenere solo quando entrambe questecaratteristiche sono elevate.

    Esse dipendono sia dalla qualità degli strumenti utilizzati, sia della cura eserci-tata dall’operatore nell’esecuzione della misura.

    La precisione, in una visione estensiva, implica sia ripetibilità di una serie dimisure, sia un sufficiente numero di   cifre significative. Quanto maggiore èla precisione della misura tante più cifre significative la rappresentano e gli scartitra le misure sono piccoli tra loro. Viceversa una misura non è precisa, anche segli scarti tra più misure sono piccoli, quando sono poche le cifre significative che larappresentano. Per esempio se si disponesse di uno strumento digitale che consentisse

    la lettura di sole due cifre della grandezza da misurare, si avrebbe una serie di misureprobabilmente ripetibili, ma non precise.

    Sorge ora il problema se una misura precisa è anche accurata e viceversa. Ebbenesi può affermare che la precisione è un requisito auspicabile ma non sufficiente perassicurare accuratezza. Ovvero si auspica che una misura accurata sia anche precisae rappresentabile con un sufficiente numero di cifre significative, ma una misuraprecisa non è detto che sia anche accurata. Infatti si ipotizzi di avere uno strumentodigitale che permetta di leggere sei cifre della grandezza da misurare e inoltre dieseguire diverse misure abbastanza vicine tra loro. Si può affermare di avere eseguitouna misura precisa, nell’ipotesi che più misure si scostino poco tra loro, ma non è

    detto che essa sia accurata, potendo lo strumento risultare non correttamente taratoo potendo aver perso le sue caratteristiche nel tempo a causa di degradazione dicomponenti o per motivi accidentali. In alcune applicazioni, come per esempio nelcontrollo di processo, spesso si richiede ripetibilità delle indicazioni, ovvero un’ottimaprecisione, che risulta più importante dell’accuratezza.

    Per una semplice comprensione della differenza tra accuratezza e precisione spes-so si fa riferimento al tiro con l’arco. Si pensi ad un bersaglio costituito da tantecorone circolari attorno al cerchio centrale, che simula il misurando, mentre i tirisono le misure. Quando si effettuano diversi tiri e le frecce si concentrano nel cerchiocentrale le misure sono accurate e precise, se invece sono sparse su tutte le corone

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    17/149

    1.5. ACCURATEZZA E PRECISIONE    13

    circolari, dalle più centrali alle più estreme, allora le misure non sono né accurate néprecise. Può però capitare che le frecce, pur essendo distanti dal cerchio centrale,siano molto vicine tra loro, in tal caso le misure saranno precise, ma non accurate.Soffermiamoci su questa condizione. Le frecce vicine tra loro lasciano supporre buo-na abilità da parte del tiratore. Perché allora le frecce non sono finite nel cerchiocentrale? Probabilmente a causa di un effetto sistematico dell’arco, per esempiodi un non corretto allineamento del mirino (se l’arco ne dispone di uno) o dellacorda non tesa bene. Correggendo questi effetti sistematici, ovvero nel caso di unostrumento, effettuando una sua regolazione, si potranno avere tiri, ovvero risultati,precisi ed accurati. D’altra parte il costruttore dell’arco può anche aver evidenzia-to l’effetto sistematico nel foglio di accompagnamento dello strumento, indicando lacorrezione da apportare, in termini di scostamento del tiro dal cerchio centrale. L’ar-bitro della gara può allora accettare come validi i tiri, se riscontrasse che, una voltaapportata la correzione, i tiri risulterebbero tutti nel cerchio centrale. Un’ultimacondizione si può verificare quando il livello di accuratezza richiesto non è elevato e

    si ritengono accettabili i tiri all’interno non solo del cerchio centrale, ma anche dellaprima corona circolare vicina al cerchio centrale. Se le frecce sono sparse lungo lacirconferenza della suddetta corona circolare, ma ne cadono all’interno, i tiri, ovveroi risultati, saranno accurati, ma non precisi. Questa condizione permette di chiarireun aspetto importante della sensoristica in campo industriale. Il fine del costruttoreè certamente quello di realizzare sensori con le migliori prestazioni possibili, tenendosempre in conto il bilancio costi benefici. Tutto sta ad intendersi su quali sono leprestazioni del sensore che lo rendono idoneo all’uso. Un sensore è idoneo quandorispetti la sua classe di accuratezza (quasi sempre nei testi italiani indicata co-me  classe di precisione), indicata con un numero o un simbolo, ovvero soddisfi

    requisiti metrologici stabiliti, tesi a mantenere gli errori di misura o le incertezzestrumentali entro limiti specificati in relazione a determinate condizioni operative.Quindi è importante che il sensore rispetti le specifiche indicate dalla normativavigente per la particolare applicazione in cui esso sarà impiegato. Riprendendo lametafora del tiro con l’arco, l’arco sarà idoneo se assicurerà ai tiri di cadere nel cer-chio centrale e nella prima corona ad esso adiacente, quando questo è previsto dalregolamento della gara.  È inutile perfezionare l’arco perché i tiri cadano nel cerchiocentrale, specie se ciò comporta una spesa aggiuntiva. Tale perfezionamento sarànecessario solo se il regolamento della gara riterrà validi solo i tiri che raggiungono ilcerchio centrale. Non va sottaciuta a questo punto la necessità di abilità, che deriva

    dall’esperienza, da parte del tiratore. Un arco idoneo nelle mani di un inesperto nonfornirà risultati soddisfacenti. Un sensore nelle mani di chi non lo sa usare servea molto poco. Per passare da indicazioni prevalentemente qualitative sulla bontàdi una misura, ottenibili attraverso l’accuratezza e la precisione, a rappresentazioniquantitative del risultato di una misura, occorre quantificare l’incertezza che è unparametro sia qualitativo sia quantitativo.

    La definizione dell’incertezza presuppone l’esistenza del misurando all’internodi una fascia di valori, che dipende da una deviazione standard, stabilita in basead un ben preciso livello di confidenza. Ne deriva chiaramente che l’analisi dell’in-certezza richiede semplicemente il ricorso ai principi noti della probabilità e della

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    18/149

    14   CAPITOLO 1. MISURA E INCERTEZZA

    statistica. L’abbandono dell’approccio deterministico rende superata e inutile la de-finizione di valore vero del misurando, che è un’entità inconoscibile, ma rende piùdifficile la comprensione di come migliorare l’accuratezza di una misura. Infatti peraccuratezza si intende il grado di concordanza tra il risultato di una misurazione eil valore convenzionalmente vero del misurando.

    Normalmente si parte dal concetto di accuratezza per introdurre la taraturadi uno strumento e per far comprendere che ottenere una misura precisa, ovveroripetibile non fornisce assicurazioni sulla bontà della misurazione e dello strumento,se non è stata regolata recentemente la sua curva di taratura e se la misura non èstata corretta, ovvero depurata dagli errori sistematici.

    Si è detto in precedenza che l’incertezza del risultato di una misura riflette lamancanza dell’esatta conoscenza del valore del misurando e si è anche sottolineatoche il risultato di una misura dopo la correzione è solo una stima del valore delmisurando. Per poter quantificare l’incertezza occorre introdurre alcuni sempliciconcetti di statistica, che sono esaminati nei successivi paragrafi.

    1.6 Taratura o calibrazione

    Per stabilire in modo compiuto il valore del segnale di uscita di uno strumento dimisura, di un sensore, in condizioni di regime stazionario del misurando occorreche sia nota una serie di parametri che definiscono le caratteristiche metrologichein regime permanente. La più importante fra queste caratteristiche è la curva ditaratura o calibrazione. Purtroppo spesso si fa confusione tra taratura e regolazionedella caratteristica, per cui nel seguito si cercherà di chiarire la loro differenza. Per

    taratura o  calibrazione si intende l’operazione che, in condizioni specificate, inuna prima fase stabilisce una relazione tra i valori della grandezza misurata con deicampioni di misura (tenendo conto delle loro incertezze di misura) e le corrispondentiindicazioni dello strumento o del sensore, con associate le sue incertezze strumentali,e in una seconda fase utilizza questa informazione per stabilire una relazione, checonsenta di ottenere il risultato di misura da un’indicazione dello strumento. At-traverso la taratura si determina l’incertezza strumentale dello strumentoo del sensore, valutata in genere come semi ampiezza dell’intervallo di massimoscostamento tra i valori del misurando corrispondenti ad una stessa indicazione dellostrumento o del sensore. Perché la taratura sia effettuata correttamente l’incertezza

    strumentale deve essere grande in confronto con le incertezze di misura associate aivalori della grandezza ottenuti dai campioni di misura. Il costruttore è tenuto adindicare le condizioni operative di riferimento definite come quelle prescritteper la valutazione delle prestazioni del dispositivo o per il confronto dei risultati dimisura. La specifica delle condizioni operative durante la taratura richiede che sianoforniti gli intervalli dei valori sia del misurando sia delle grandezze d’influenza.

    L’espressione grafica, per esempio su un piano cartesiano, della relazione tra l’in-dicazione dello strumento, posta su un asse, e il corrispondente risultato di misura,posto sull’altro asse, è definita come  diagramma di taratura. In genere ad unastessa indicazione dello strumento corrispondono diversi valori della grandezza mi-

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    19/149

    1.6. TARATURA O CALIBRAZIONE    15

    surata, i cui valori limite superiori ed inferiori definiscono la   fascia d’incertezza(a volte erroneamente denominata banda d’errore) e permettono la valutazione del-l’incertezza strumentale dello strumento. Per eseguire la taratura si deve disporredi un generatore variabile del misurando, in grado di fornire valori in tutto il campodi misura del dispositivo, e di uno strumento di misura, assunto come campionee, quindi, con un’incertezza strumentale molto minore di quella del dispositivo inprova. Si fa variare il misurando entro tutto il campo di misura del dispositivo e siripete il ciclo diverse volte, registrando su un grafico e in una tabella per ogni indica-zione del dispositivo la corrispondente misura fornita dallo strumento assunto comecampione. Per facilitare la raccolta dei dati si possono fissare in genere da otto adodici valori dell’indicazione del dispositivo e si opera sul generatore variabile finchénon si abbiano quelle indicazioni in uscita al dispositivo, in corrispondenza dellequali si registrano le misure fornite dallo strumento campione. Si eviti di fissare, inmodo alternativo, i valori del misurando e di registrare le corrispondenti indicazio-ne del dispositivo, in quanto queste hanno meno cifre significative dello strumento

    campione. Raccordando i punti superiori del grafico, in corrispondenza delle diverseindicazioni del dispositivo precedentemente fissate, e i punti inferiori, si delineanodue curve che delimitano la fascia d’incertezza. All’interno di tale fascia d’incertez-za si può ricavare una relazione biunivoca, in modo tale che ad una indicazione deldispositivo corrisponda uno ed un sol valore della grandezza misurata, generalmenteil valor medio fra quelli relativi ad ogni singola indicazione del dispositivo.

    Questa curva è definita  curva di taratura  e non dà indicazioni sull’incertez-za. Pertanto quando si fornisce la curva di taratura ad essa va associata l’incertezzastrumentale del dispositivo o una tabella di taratura o una serie di funzioni checonsentano di delimitare la fascia d’incertezza. In realtà l’utente è interessato prin-

    cipalmente a conoscere l’incertezza strumentale del dispositivo sull’intero campo dimisura. Il costruttore quindi in genere fornisce semplicemente il valor massimo dellasemi ampiezza della fascia d’incertezza, esprimendo tale incertezza strumentale o invalore assoluto o in valori percentuali riferiti alla portata o valore di fondo scala (%FSO). Il diagramma e la curva di taratura forniscono informazioni sul comportamen-to del dispositivo in condizioni di regime permanente. Quando la curva di taraturaè riconducibile ad una retta, il dispositivo è caratterizzato da un’unica costante chelega ingresso e uscita, denominata  costante di taratura  del dispositivo.

    Uno strumento e un sensore ideali presentano una relazione tra ingresso e uscitaben definita data da una curva di taratura teorica, che, come si è detto, può essere

    fornita dal costruttore in forma di equazione matematica, di grafico o di tabella divalori. La curva teorica ideale è quella rappresentata da una linea retta. Lo sco-stamento della curva reale da quella ideale è dovuto a varie cause di errore, le piùfrequenti fra le quali sono la non linearità, la deviazione dallo zero e le variazioni disensibilità. La conoscenza degli effetti di queste cause di errore pu ò consentire di ef-fettuare la loro correzione mediante un’opportuna regolazione e quindi di aumentarela veridicità delle misure.

    Si è detto che il legame  y  =  f (x) tra il misurando  x   e l’indicazione dello stru-mento o sensore y  in condizioni di regime stazionario potrebbe essere rappresentatoda una costante, condizione auspicabile, in quanto presupporrebbe una relazione

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    20/149

    16   CAPITOLO 1. MISURA E INCERTEZZA

    lineare tra i segnali d’ingresso e di uscita, rendendo applicabile l’importante prin-cipio di sovrapposizione degli effetti. L’importanza di avere una relazione linearetra misurando e indicazione è tale che, come sarà meglio evidenziato nel paragrafosuccessivo, spesso gli strumenti o semplicemente i sensori sono dotati di una seriedi componenti aggiuntivi per la linearizzazione della caratteristica. Le relazioni frai due segnali possono essere scritte nel modo seguente:

    y =  kx x =  kty

    Il parametro  k   è la  sensibilità  definita come il rapporto tra la variazione del-l’indicazione del dispositivo e la corrispondente variazione del valore della grandezzamisurata. Essa è legata alla pendenza della curva di taratura. Uno strumento ètanto più pregiato quanto più è elevata la sua sensibilità, in quanto ciò implica cheè sufficiente una piccola variazione del misurando per avere un’elevata indicazionefacilmente misurabile. La sensibilit̀a non va confusa con la  risoluzione, definita

    come la minima variazione del misurando che dà luogo a una variazione percettibiledella corrispondente indicazione. La risoluzione può essere espressa come valore as-soluto o percentuale, riferito alla massima indicazione (FSO) del sensore e in generepuò avere diversi valori in differenti parti del campo di misura. Il VIM precisa cheper la determinazione della sensibilità la variazione da dare al misurando deve esseresuperiore a quella che serve a valutare la risoluzione. La risoluzione, a sua volta èspesso confusa con la   banda morta  (termine molto diffuso tra i tecnici dell’indu-stria), definita come l’intervallo massimo all’interno del quale si può far variare ilmisurando in entrambi i sensi senza che si produca una variazione rivelabile nellacorrispondente indicazione dello strumento. La sensibilit̀a non va neanche confusacon la   selettività, definita come la proprietà del dispositivo, impiegato in una

    specifica procedura di misura, nella quale esso fornisce i valori della grandezza damisurare, in presenza di uno o più misurandi, in modo tale che i valori di ogni mi-surando siano indipendenti dagli altri misurandi o da altre grandezze presenti nelfenomeno, nel corpo o nella sostanza oggetto dell’esame. Per esempio se il dispositivoè impiegato per misurare una sola componente di un segnale multifrequenziale, essosarà tanto più selettivo quanto meno la sua indicazione sarà disturbata dalle altrecomponenti o da altri segnali a frequenza differente da quella che si vuole misurare.

    Il parametro  kt   è la costante di taratura dello strumento o del solo sensore cheè il rapporto tra il segnale di ingresso e il segnale di uscita in risposta all’ingresso.Essa è un parametro che ha dimensioni date dal rapporto delle unità di misura del

    misurando e di quella di uscita (per esempio nel caso di un sensore di spostamentocon in uscita una tensione elettrica si ha che la costante di taratura è espressa inmetri al volt o, con una dizione preferita a livello internazionale, metri per volt).La costante di taratura è il fattore per cui va moltiplicata l’indicazione dello stru-mento o del solo sensore al fine di ottenere il valore del misurando e che, in basealle relazioni precedentemente scritte, risulta l’inverso della sensibilità. Le relazioniscritte precedentemente presuppongono che la curva di taratura non solo sia unaretta, ma che passi anche per l’origine degli assi cartesiani, caratterizzanti il piano(x, y). Questa condizione non sempre si verifica a causa della presenza di soglie,grandezze note anche con il termine inglese molto diffuso di  offset . Il VIM defini-

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    21/149

    1.6. TARATURA O CALIBRAZIONE    17

    sce una  soglia di discriminazione  come la più grande variazione del valore delmisurando che non produce alcuna variazione rivelabile nella corrispondente indica-zione dello strumento o del solo sensore. In realtà le oscillazioni della caratteristicaintorno allo zero possono causare l’insorgere sia di una  soglia sia di un’indicazionedel sensore presente anche in assenza di segnale in ingresso, in alcuni testi inglesiindicato come piedistallo, che può essere sia positivo sia negativo. L’insorgere diuna soglia di discriminazione può essere causato dalla   deriva strumentale dellostrumento o del solo sensore, ovvero da una variazione continua o incrementale neltempo di un’indicazione, dovuta ad alcune variazioni nelle proprietà metrologichedello strumento o del solo sensore.

    Quando, come spesso accade, l’indicazione a esempio di un sensore è di naturaelettrica è possibile controllare la deriva e correggere gli effetti sistematici dovuti aglioffset , riportando la curva di taratura del sensore a ripartire dall’origine. Questoaggiustamento rientra nella  regolazione  del sensore, definita come l’insieme dioperazioni eseguite sul sensore in modo che esso fornisca le indicazioni prescrittecorrispondenti a determinati valori del misurando. La regolazione non dovrebbeessere confusa con la taratura, che è un suo prerequisito, anzi a rigore, dopo laregolazione il sensore dovrebbe essere ritarato. Per effettuare la regolazione basteràaggiungere o sottrarre, mediante un dispositivo sommatore-sottrattore, in uscita alsensore una grandezza uguale ed opposta a quella di  offset , in modo da riportare laretta nella posizione iniziale. La deriva strumentale del sensore può causare nonsolo problemi di  offset , ma anche di variazioni della pendenza della retta con unaconseguente modifica della costante di taratura. Per comprendere come effettuarela correzione di questo ulteriore effetto sistematico, si consideri la relazione  y  =  kx.Quando l’indicazione del sensore è di natura elettrica il contributo prevalente alla

    sensibilità k è dato dal guadagno di un amplificatore o di una catena di amplificatori,posti a valle del sensore. Sarà quindi sufficiente dotare tale catena di un amplificatorea guadagno variabile, in modo che con una sua opportuna regolazione si riporti ilvalore della pendenza della retta, ovvero della sensibilità e quindi della costante ditaratura, che è il suo inverso, ai valori iniziali o nominali, indicati nelle specifichedel sensore.

    Quando il campo nominale del sensore non comprenda lo zero, la regolazione,ovvero le correzioni da apportare in seguito alla deriva strumentale del sensore, ri-sultano leggermente più complesse. In tal caso è necessario conoscere i valori limitedel campo di misura e le corrispondenti indicazioni del sensore. Si indichino con

    (xmin, ymin) e (xmax, ymax) le coordinate dei punti relativi ai suddetti valori. Per ap-portare la correzione generalmente si applica all’ingresso del sensore il valore  xmindel misurando e si aggiunge o sottrae a monte dell’amplificatore una grandezza ta-le da render nullo il segnale in ingresso all’amplificatore e quindi l’indicazione delsensore. Con questa operazione si è fatta traslare la retta facendola passare per ilpunto di coordinate (xmin, 0). All’ingresso dell’amplificatore si ha tensione nulla chenon influenza il valore del suo guadagno. Poiché al valore del misurando  xmin   devecorrispondere l’indicazione nota  ymin  del sensore, occorre attraverso un sommatoreaggiungere in uscita all’amplificatore una tensione pari proprio a  ymin, in modo taleche al valore xmin del misurando corrisponda l’indicazione  ymin del sensore. A questo

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    22/149

    18   CAPITOLO 1. MISURA E INCERTEZZA

    punto si applica al sensore un valore del misurando pari a xmax e, agendo sull’ampli-ficatore a guadagno variabile, si fa assumere alla retta la pendenza corrispondentealla sua costante di taratura nominale, condizione raggiunta quando la tensione inuscita all’amplificatore risulta pari a  ymax − ymin, in modo tale che la corrisponden-te indicazione del sensore sia  y

    max, visto che all’uscita dell’amplificatore è sempre

    sommata una tensione pari a  ymin. Quindi, anche in questo caso, impiegando duesemplici sommatori-sottrattori, uno a monte e uno a valle dell’amplificatore, conuna sola traslazione della caratteristica e una sola variazione del guadagno si sonoapportate le correzioni necessarie a riportare il sensore all’interno delle sue speci-fiche. Al termine di queste operazioni il sensore è stato regolato. Quando questeoperazioni sono effettuate automaticamente, si dice che il sensore è dotato dellafunzione di  autoregolazione della curva di taratura. Spesso questa operazioneè detta impropriamente autotaratura. Poiché l’autoregolazione può essere eseguitafrequentemente e allo scopo di non sollecitare indebitamente il sensore con il valoremassimo del suo misurando si scelgono coppie di valori misurando-indicazione diffe-

    renti da quelle limiti del campo nominale. Ciò presuppone che la caratteristica nonsi discosti da un andamento lineare, il che consente di considerare due punti qualsia-si, purché non troppo vicini tra loro, per le inevitabili incertezze che accompagnanotutti i processi di misura.

    Un altro effetto sistematico più difficile da correggere è rappresentato dall’isteresiche è la massima differenza tra le indicazioni dello strumento o del solo sensore corri-spondenti al medesimo misurando quando la misura è eseguita procedendo per valoriprima crescenti e poi decrescenti del misurando stesso nell’ambito del suo intervallodi misura. Essa dà luogo ad un errore sistematico in genere espresso in per centodel fondo scala, è presente in diversi componenti ed è causata da un ritardo nell’a-

    zione di un elemento. Valori diversi dell’isteresi si presentano al variare del campodi escursione del misurando. Essa è massima quando il misurando varia dall’iniziodella scala fino al fondo scala e viceversa. Un errore analogo a quello causato dallapresenza dell’isteresi è quello di frizione, presente ad esempio nei potenziometri doveuna spazzola scorre su delle spire.

    Al costruttore si richiede di assicurare la ripetibilità delle misure durante tuttala vita utile dello strumento o del solo sensore, quali che siano le grandezze d’in-fluenza che su esso possano agire. La ripetibilità nel tempo è detta   stabilità,definita come la proprietà dello strumento o del solo sensore di conservare le suecaratteristiche metrologiche costanti nel corso del tempo. Quanto più sarà stabile

    il dispositivo tanto minore sarà nel tempo il numero di regolazioni da apportarealla curva di taratura. Per ottenere la curva di taratura, una volta disponibile ildiagramma di taratura, si possono utilizzare diversi algoritmi matematici, il metodopiù utilizzato è quello dei minimi quadrati, noto anche con l’acronimo inglese LSM(least square method ), che sarà esaminato nell’ultimo paragrafo di questo capitolo.L’algoritmo LSM è ormai disponibile non solo tra i pacchetti   software  di statistica,ma anche nelle calcolatrici scientifiche tascabili. Si assume per ogni indicazione dellostrumento o del solo sensore il valor medio fra quelli del misurando relativi alla sud-detta indicazione. Operando in tal modo si ottengono tante coppie di coordinate,in numero n, quante sono le indicazioni del dispositivo prefissate in sede di taratura

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    23/149

    1.6. TARATURA O CALIBRAZIONE    19

    (come si è detto in precedenza, in genere si fissano da otto a dodici indicazioni),ottenendo altrettanti punti sperimentali sul piano cartesiano. Si inizia con il fissarecome curva teorica una retta di equazioni  y   =  k1x +  q , dove  k1   è la sensibilità dimisura e  q  rappresenta il valore del possibile  offset . Per il calcolo dei due parametrik1

      e  q , si applica l’LSM, minimizzando la somma degli scarti quadratici fra i puntisperimentali sul piano cartesiano e la retta di equazione data, tale somma è definitafunzione obiettivo, F. Si passa poi a fissare come curva teorica una quadratica,per esempio del tipo  y  =  k2x

    2 + k1x + q , e si applica nuovamente l’LSM. Se il mi-nimo della nuova funzione obiettivo è inferiore a quello ottenuto per la retta vorràdire che la funzione quadratica raccorda i punti sperimentali meglio di quanto nonavvenga con la retta. Si passa quindi a fissare come curva teorica una cubica, peresempio del tipo  y   =  k3x

    3 + k2x2 + k1x +  q , e si applica nuovamente l’LSM. Se il

    minimo della nuova funzione obiettivo è inferiore a quello ottenuto per la funzionequadratica vorrà dire che la funzione cubica raccorda i punti sperimentali meglio diquanto non avvenga con le due curve precedenti. Il processo si ferma non appena

    la curva di taratura rientra all’interno della fascia di incertezza, specie se tale fun-zione è una retta, in quanto la caratteristica rettilinea è particolarmente apprezzatanegli strumenti di misura. Si può anche verificare che lo scarto tipo o deviazionestandard  σ  della funzione obiettivo, calcolata come la radice quadrata della stessafunzione diviso per il numero n di punti sperimentali,  σ  = (F/n)1/2, risulti minoredella semi ampiezza del massimo scarto misurato sulla fascia d’incertezza, ovverodell’incertezza strumentale del dispositivo.

    Quando si effettua la  verifica  della taratura si assume come curva teorica diriferimento per l’applicazione per esempio dell’LSM quella fornita dal costruttore.La verifica della taratura è positiva se l’ampiezza massima della fascia d’incertezza

    misurata è inferiore al doppio dell’incertezza strumentale indicata dal costruttore.Tra i dati della verifica che si forniscono vi è anche il massimo scarto tra la curva ditaratura sperimentale ricavata e quella fornita dal costruttore.

    Quando la curva di riferimento è una retta si fornisce l’errore di linearità,che è un’indicazione di quanto la curva di taratura si discosti dall’andamento retti-lineo. A significare la sua rilevanza si fa presente che l’errore di linearit à è una dellecaratteristiche indicate dal costruttore nel foglio illustrativo o nel manuale di ac-compagnamento dello strumento o del sensore. L’errore di linearità, indicato moltospesso semplicemente come linearità, è espresso in funzione del valor massimo delloscostamento dei singoli punti della curva di taratura da una retta di riferimento

    opportunamente definita.Esistono tanti tipi di linearità quanti sono i modi di stabilire la retta di riferi-

    mento. La   linearità riferita alla retta teorica   è relativa ad una retta diequazione  y  =  kx, che passa per lo zero e per il punto che ha coordinate prefissa-te, senza alcun riferimento a valori misurati. Se queste coordinate corrispondono alcento per cento del fondo scala sia del misurando sia dell’indicazione dello strumentoo del sensore, si ha la cosiddetta  linearità terminale. La  linearità riferi-ta agli estremi  è relativa alla retta che si ottiene congiungendo i punti estremiottenuti durante la taratura dello strumento o del sensore. In tal caso in genere si ri-chiede che siano fornite le incertezze con cui sono stati ottenuti questi punti estremi.

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    24/149

    20   CAPITOLO 1. MISURA E INCERTEZZA

    La   linearità indipendente   è riferita alla retta “migliore” ottenuta come lineamedia tra due rette parallele il più vicino possibile tra loro e in grado di avere al lorointerno tutti i valori misurati nel corso della taratura. La  linearità secondo iminimi quadrati fa riferimento alla retta ottenuta applicando il metodo dei minimiquadrati, ovvero minimizzando la somma dei quadrati degli scostamenti. Si trovanoanche altri tipi di linearità ottenute imponendo il passaggio della retta da puntiprefissati, come ad esempio quello corrispondente al misurando nullo (linearitàriferita allo zero), ma quelle precedentemente esaminate sono le più utilizzate.

    1.7 Linearizzazione della curva di taratura

    Da quanto esposto precedentemente è evidente la rilevanza che assume la linearitànella definizione delle caratteristiche dello strumento o del sensore. Con una funzionelineare è possibile sia applicare il principio di sovrapposizione degli effetti, sia risalireal valore del misurando dall’indicazione del dispositivo attraverso facili operazionidi prodotti o divisioni e somme o sottrazioni, tutte disponibili in semplici struttureelettroniche o nelle prestazioni di un elaboratore numerico. Purtroppo raramentela funzione  y  =  f (x) che lega il misurando  x  all’indicazione  y  dello strumento o delsensore è di tipo lineare. In molti casi, però, con opportuni accorgimenti è possibilericondurre la curva di taratura ad una retta o, per meglio dire, far rientrare unaretta all’interno della fascia d’incertezza e fornire l’errore di linearità in funzionedello scostamento massimo tra tale retta e la reale curva di taratura. Si pensi, perfare semplici esempi, a funzioni quadratiche o esponenziali, è possibile effettuare l’o-perazione descritta in zone limitate delle curve rappresentative di tali funzioni. Ne

    scaturiscono due possibili soluzioni per la linearizzazione o considerare un intervallodi misura limitato o linearizzare a tratti la caratteristica, suddividendo il campo intanti intervalli di misura ciascuno caratterizzato da una diversa costante di taratu-ra. Questa soluzione attualmente è la più adottata per la facilità di realizzazioneattraverso l’elaborazione numerica. Infatti, in genere molti strumenti e sensori so-no dotati di un sistema automatico di scelta della portata. Il microprocessore incorrispondenza della portata scelta ricava il valore del misurando   x   in genere daun’equazione del tipo  y  =  kx + q , avendo memorizzati in corrispondenza di quellaportata i corrispondenti valori di  k  e  q .

    Molti dispositivi hanno un segnale in uscita di tipo elettrico ed integrano al loro

    interno circuiti elettronici che presentano caratteristiche non lineari. Nei dispositiviintegrati, molto spesso, per ridurre l’errore di linearità   si utilizzano diversesoluzioni di tipo analogico che permettono la linearizzazione delle caratteristica sta-zionaria. Una tecnica molto semplice consiste nel porre un derivatore in parallelo oun resistore addizionale in serie al dispositivo o al componente non lineare all’internodi un trasduttore, in modo tale che, a parità di indicazione, circoli nel dispositivoo nel componente non lineare una corrente inferiore, nel caso di derivatore in pa-rallelo, o superiore, nel caso di resistore in serie, rispetto a quella che circolerebbein assenza della resistenza. La scelta del derivatore in parallelo è operata quando ilcomponente presenta una buona linearità a bassi valori di corrente e la perde con il

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    25/149

    1.7. LINEARIZZAZIONE DELLA CURVA DI TARATURA   21

    superamento di una soglia di corrente, condizione detta di saturazione. Si fa in modoche il derivatore assorba una corrente tale che nel campo di misura del dispositivoquesto non raggiunga mai la condizione di saturazione. In genere quando si operala linearizzazione con derivatore in parallelo i dispositivi sono schematizzati con ungeneratore equivalente di corrente. Nel caso si predisponga il sensore addizionale inserie al componente non lineare, la tecnica funziona a condizione che il segnale diuscita sia prelevato ai capi del resistore addizionale ed è analoga a quella impiegataper la linearizzazione della caratteristica di un diodo, come mostrato nella Fig.  1.2.La scelta del resistore addizionale in serie si opera quando, come nel caso del diodo,la non linearità del componente è relativa al primo tratto della caratteristica, percui si fa in modo che la prima indicazione del dispositivo si abbia quando la correnteche in esso circola supera il valore da cui inizia la caratteristica lineare. In generequando si opera la linearizzazione con resistore addizionale in serie i dispositivi sonoschematizzati con un generatore equivalente di tensione.

    In Fig 1.2  è mostrato come l’inserimento del resistore di resistenza  RS 1  miglio-ra la linearità del diodo. Durante la semionda positiva il diodo  D1  non conduce el’amperometro  A, di resistenza interna   Rm, sarà attraversato da una corrente ca-ratterizzata solo dalle semionde positive, per effetto dell’azione raddrizzatrice deldiodo  D2. Durante la semionda negativa il diodo  D1  conduce, in modo che ai capidel circuito a valle sia applicata una tensione trascurabile. Come risultato si ha chesi riduce considerevolmente l’effetto della corrente inversa e inoltre non vi è pos-sibilità di scarica del diodo  D2. Lo scopo del resistore addizionale RS 1   in serie aldiodo è quello di far s̀ı che durante la semionda positiva circoli nel diodo  D2   unacorrente superiore rispetto a quella misurata dall’amperometro. In tal modo il diodoD2  potrà operare in zona lineare della sua caratteristica, anche in corrispondenza di

    bassi valori di tensione e quindi di corrente.È bene evidenziare che la presenza del derivatore in parallelo o del resistore ad-

    dizionale in serie degrada sia la risoluzione sia la sensibilità del dispositivo in quantoaumenterà la variazione del misurando che dia luogo a una variazione percettibiledella corrispondente indicazione del dispositivo ed inoltre per avere la stessa variazio-ne dell’indicazione del dispositivo, che si aveva prima dell’inserimento del resistore,occorrerà una maggiore variazione del valore della grandezza misurata. La resisten-za del derivatore in parallelo o del resistore addizionale in serie deve essere sceltain modo da rendere piccolo l’errore di linearità rispetto all’incertezza strumentaledel dispositivo senza che ciò comporti un degrado eccessivo della risoluzione e della

    sensibilità.Non va neanche sottaciuto che la tecnica analogica di linearizzazione esposta è

    applicabile quando, come nel caso del diodo, la caratteristica  y  =  f (x) presenta unaconcavità verso il basso. Nel caso la concavità fosse verso l’alto infatti occorrerebbeuna resistenza negativa, che richiede il ricorso a circuiti elettronici pi ù complessi diquelli rappresentati da un semplice resistore. Un altro sistema di linearizzazionedella caratteristica con tecniche analogiche è quello di ricorrere a sistemi con contro-reazione negativa, infatti è noto che una controreazione negativa consente di limitarele distorsioni e di linearizzare la risposta. Anche in questo caso si ha una riduzionedella sensibilità che è tanto più accentuata quanto maggiore è il fattore di reazione.

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    26/149

    22   CAPITOLO 1. MISURA E INCERTEZZA

    b

    D1

    RS a

    v

    D2

    RS 1   A Rm

    Figura 1.2: Linearizzazione della caratteristica di un diodo raddrizzatore

    Molto spesso si impiegano blocchi analogici con caratteristica inversa a quella deldispositivo. Per esempio sono ampiamente impiegati amplificatori logaritmici concaratteristiche esponenziali. Un metodo più recente che si è molto diffuso negli smartsensor è quello di impiegare un convertitore analogico digitale, ADC, con caratte-ristica non lineare tale da compensare la non linearità del sensore, in questo modola conversione e la linearizzazione sono effettuate contemporaneamente utilizzando

    un’unica unità fisica. Sono stati proposti al riguardo diversi schemi di conversioneche in genere si basano sul principio di adattare la conversione alle caratteristichenon lineari del sensore. Un’altra tecnica è quella di realizzare un ADC con unacaratteristica che a tratti approssimi la caratteristica inversa del sensore.

    Come si è accennato inizialmente le tecniche che si vanno più diffondendo perla linearizzazione della caratteristica stazionaria dei dispositivi sono quelle di tiponumerico. La più semplice è realizzata col memorizzare in una ROM (read only memory ) la caratteristica inversa del dispositivo con associati gli errori di linearit à

    e di indirizzare l’uscita dell’ADC in quella zona di memoria per apportare la corre-zione. Tecniche più evolute si basano su un approccio adattativo costituito da duefasi. La prima delle quali consiste nell’invertire la caratteristica del sensore e nelsuddividerla in diversi tratti, a questo scopo è molto usato lo schema iterativo diNewton-Raphson . La seconda fase consiste nella implementazione di un algoritmoiterativo in grado di migliorare con continuità la linearità dei tratti in cui è statasuddivisa la caratteristica inversa di uno strumento o del semplice sensore, utiliz-zando una procedura basata sulla minimizzazione dell’errore di linearità relativo aidiversi tratti. L’algoritmo inoltre aggiorna continuamente la tabella delle correzioni,rendendo trascurabile nei risultati forniti l’errore di linearità.

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    27/149

    1.8. MEDIA POLARIZZAZIONE E DEVIAZIONE    23

    1.8 Media polarizzazione e deviazione

    Se si considera un insieme  X i  di n  misure, dove con X i  si è indicato il risultato dellai-esima misura, si definisce   media aritmetica,  X , delle  n  misure:

    X  =   1n

    ni=1

    X i   (1.18)

    Nel calcolo della media a volte può essere conveniente attribuire maggiore rilievoa delle misure più attendibili o maggiormente significative. Allo scopo si moltiplicaciascuna misura per un appropriato fattore peso,  wi, e si divide la somma di questiprodotti per la somma dei fattori peso ottenendo una   media pesata,  X  p:

    X  p  =

    n

    i=1wiX i

    ni=1

    wi

    (1.19)

    Si noti che l’Eq.   1.19   coinciderebbe con l’Eq.   1.18   nel caso in cui tutti i pesifossero uguali. Si può utilizzare come i-esimo peso la quantità 1/2u2i , dove   ui   èl’incertezza relativa della i-esima misura.

    In base alle considerazioni fatte sugli errori, prescindendo momentaneamentedall’incertezza di misura, indicati con  E si   e   E ai   gli errori sistematici e accidentalirelativi alla i-esima misura, questa potrebbe essere scritta nel modo seguente:

    X i = A + E si + E ai   (1.20)

    che sostituita nell’Eq. 1.18 consente di esprimere la media nella forma seguente:

    X  = A + 1

    n

    ni=1

    E si + 1

    n

    ni=1

    E ai   (1.21)

    Gli errori accidentali  E ai  rappresentano una tipica variabile aleatoria con valormedio che si approssima a zero per  n   che tende all’infinito. Dall’Eq. 1.21 si ricavaquindi che la media aritmetica di un insieme di misure è una stima del valore delmisurando, tanto migliore quanto maggiore è il numero di misure e quanto più sonostati corretti gli errori sistematici. Si noti inoltre che l’Eq.  1.21  si può esprimereanche nella forma:

    X − A =   1n

    ni=1

    E si   (1.22)

    La differenza fra il valor medio e la stima A del misurando si definisce “bias”, cheha una difficile traduzione in italiano, da alcuni è tradotto come  polarizzazione,da altri  distorsione ed è un indice dell’inaccuratezza di una misura.

    La polarizzazione rappresenta la media degli errori sistematici e sarà tanto piùpiccola, quanto migliori saranno le correzioni apportate alle misure. Essa è dettaanche errore sistematico e con il segno meno rappresenta la  correzione totale

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    28/149

    24   CAPITOLO 1. MISURA E INCERTEZZA

    da apportare alle misure per migliorarne l’accuratezza. Tale correzione è sempreaccompagnata da una propria incertezza.

    La dispersione delle misure intorno al valor medio si può valutare introducendola definizione di  deviazione della misura  X i  come la seguente differenza:

    di = X i − X    (1.23)essa è denominata anche  residuo  e a volte è definita come la somma tra  X i   e lamedia.

    Per quantificare la dispersione dell’insieme delle misure si potrebbe pensare divalutare la media delle deviazioni, ma, in base alla definizione data di deviazione, lasua media è sempre zero:

    1

    n

    n

    i=1di =

      1

    n

    n

    i=1(X i − X ) =   1

    n

    n

    i=1X i − X  = 0 (1.24)

    e quindi non può essere un indice della dispersione. Si può ovviare a ciò considerandola   deviazione media come la media dei valori assoluti delle deviazioni:

    α =  1

    n

    ni=1

    |di| =   1n

    ni=1

    X i − X    (1.25)anche se non utilizzata tanto quanto la deviazione standard.

    1.9 Deviazione standard, varianza e momento cen-

    traleLa più importante misura della dispersione è la   deviazione standard, normal-mente indicata con   σ. La deviazione standard del campione di dati in esame èdefinita in termini dei quadrati delle deviazioni della media nel modo seguente:

    σ ∼= 1

    n

    ni=1

    di2 =

     1n

    ni=1

    (X i − X )2 (1.26)

    Si definisce invece come   varianza  del campione delle misure il quadrato della de-

    viazione standard, ovvero la somma delle deviazioni quadratiche delle misure dalloro valor medio diviso per il numero delle misure:

    σ2 ∼=   1n

    ni=1

    di2 =

      1

    n

    ni=1

    (X i − X )2 (1.27)

    la presenza del segno di all’incirca uguale presente nelle Eq. 1.26 e Eq. 1.27 derivadal fatto che la varianza di un campione di una popolazione cosı̀ come la deviazionestandard, definite dalle precedenti equazioni, rappresentano stime distorte dei lorovalori attesi. Infatti il  numero di deviazioni indipendenti  ovvero il   grado di

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    29/149

    1.10. CONCETTI DI FREQUENZA E DI PROBABILIT ̀A   25

    libertà  non è   ν   =   n   bens̀ı   ν   =   n − 1, in quanto per il calcolo della deviazionestandard e della varianza occorre valutare la media, servendosi dello stesso insiemedi dati. I gradi di libertà di una variabile aleatoria o di una statistica in genere,esprimono il numero di dati effettivamente disponibili per valutare la quantit à d’in-formazione contenuta nella statistica. Infatti, quando un dato non è indipendente,l’informazione che esso fornisce è già contenuta implicitamente negli altri.   È pos-sibile quindi calcolare le statistiche utilizzando soltanto il numero di osservazioniindipendenti, consentendo in questo modo di ottenere stime non distorte dei risul-tati. Il concetto di gradi libertà fu introdotto in statistica da   Ronald Fisher   neglianni 1920. Stime non distorte della deviazione standard e della varianza sono datedalle seguenti espressioni:

    s =

     

    1

    n − 1n

    i=1(X i − X )2 (1.28)

    s2 =  1

    n − 1ni=1

    (X i − X )2 (1.29)

    Esse sono note anche come   stime corrette di Bessel. La sostituzione di  ncon  n − 1 non ha importanza pratica, in quanto, per avere una buona precisione,  ndeve essere abbastanza grande, come in genere accade.  È bene sottolineare, in basealle Eq. 1.28 e Eq. 1.29, che sia la deviazione standard sia la varianza decrescono alridursi degli errori accidentali, il che chiarisce l’importanza dell’approccio statisticoper la minimizzazione di questi errori e per ridurre l’incertezza La varianza è anche

    comunemente indicata come scarto quadratico medio

    . Si definisce momento

    centrale di ordine q  la media aritmetica della potenza q -esima della differenza trai valori misurati e la loro media:

    1

    n

    ni=1

    (X i − X )q (1.30)

    È evidente in base alle equazioni precedenti che il momento centrale di ordine 1è uguale a zero e che la varianza di un campione di misure è il momento centrale diordine 2 del campione stesso.

    1.10 Concetti di frequenza e di probabilità

    La comprensione di un fenomeno fisico può essere facilitata da un esame visivo deirisultati di misure ripetute di una grandezza o più in generale di dati statistici. Sorgeil problema sul modo migliore di rappresentare graficamente i dati disponibili. Unausilio può rivenire dalla  frequenza,  F i, delle misure, ovvero dal numero di volteche si ripete la generica misura  X i delle n  eseguite. Si definisce inoltre,  frequenzarelativa, f i, la frequenza,  F i, divisa per il numero  n  di prove eseguite. Nel caso incui tutte le misure fossero diverse le une dalle altre, la frequenza relativa risulterebbe

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    30/149

    26   CAPITOLO 1. MISURA E INCERTEZZA

    uguale per tutte e pari a 1/n. Ad evitare ciò è preferibile raggruppare le misure ink  gruppi o classi. La frequenza relativa è allora rappresentata dal numero di misureche cadono in ogni classe, diviso per  n. In un  istogramma   la frequenza relativarappresenta l’area di un generico intervallino, in quanto si assume unitaria l’ampiezzadelle singole classi in cui sono suddivise le misure, come mostrato in Fig.  1.3. Inoltrel’area sottesa dall’istogramma è unitaria, in quanto la somma di tutte le frequenzerelative è l’unità:

    ki=1

    f i =  1

    n

    ki=1

    ni = 1 (1.31)

    dove con  ni   si è indicato il numero di risultati che cadono nella generica classe ointervallino ∆X i = (X max−X min)/K , dove con X max  e X min  si sono indicati rispet-tivamente i valori massimo e minimo dell’insieme dei risultati e con  k   il numero diclassi. Nel caso sia difficile porre uguale ad 1∆X , si definisce una frequenza specificadata da  f i  diviso per l’ampiezza dell’i-esimo intervallino, in modo che  f i  sia sempre

    uguale all’area dell’i-esimo rettangolo costituente l’istogramma. L’istogramma diFig. 1.3 si modifica in quello di Fig.  1.4, nel caso in cui i risultati delle n prove siripetano singolarmente, come avviene, per esempio, quando si considerino i risultatidel lancio di due dadi (intero compreso tra due e dodici). La  media  degli eventi èottenibile dalla somma dei prodotti fra i risultati delle prove e il numero delle volteche essi possono verificarsi,  ni = nf i, diviso per il numero delle prove eseguite, paria  n:

    X  =  1

    n

    ki=1

    X ic nf i =ki=1

    X ic f i   (1.32)

    dove X ic è il valor medio delle misure nell’intervallino ∆X i. La media risulta pertanto

    indipendente dal numero  n   di prove eseguite. In base all’Eq. 1.32 si può affermareche la media di una serie di eventi ripetibili è una media pesata i cui pesi sonorappresentati dalle frequenze relative  f i. Nel caso in cui i risultati siano raggruppatiin classi, si assumerà per X ic, da porre nell’Eq. 1.30, come si è detto il valor mediodei risultati relativi alla generica classe o intervallino ∆X i. La   deviazione media,la  deviazione standard  e la  varianza assumono le seguenti espressioni:

    α ∼=i

    f iX ic − X 

      σ ∼=

      ki=1

    f i(X ic − X )2 σ2 ∼=ki=1

    f i(X ic − X )2 (1.33)

    In genere le frequenze relative variano con il numero delle prove eseguite e ten-dono ad assumere valori sempre più stabili quanto più n  aumenta, fino ad un valorelimite ben definito detto   probabilità dell’evento.

    Indicato con X  un evento qualsiasi dell’insieme S  di eventi aleatori, la probabilitàche si verifichi l’evento  X   è sempre compresa tra 0 e 1. La probabilità di tutti glieventi è la certezza:

    0 <  Pr(X ) <  1 Pr(S ) = 1 (1.34)

    In genere se  pr   è la probabilità che l’evento  X  assuma il risultato  xr   si scriverà:

     pr  = Pr(X  = xr)

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    31/149

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    32/149

    28   CAPITOLO 1. MISURA E INCERTEZZA

    x pi   x pi2 1/36 1/183 1/18 3/184 1/12 1/35 1/9 5/96 5/36 5/67 1/6 7/68 5/36 10/99 1/9 1

    10 1/12 5/611 1/18 11/1812 1/36 1/3

    Tabella 1.1: Probabilità del lancio di due dadi

    1.11 Leggi di distribuzione di probabilità

    Per introdurre il concetto di   distribuzione di probabilità si consideri una seriedi prove molto estesa, i cui risultati numerici siano rappresentati dall’insieme   xidi   n   elementi. Esister̀a una certa probabilità Pr(X  ≤   x), tale che la variabileX , non necessariamente discreta, assuma qualsiasi valore più piccolo o uguale a  x.Questa funzione prende il nome di funzione di distribuzione cumulativa dellavariabile  X  e sarà indicata nel seguito con  F (x):

    F (x) = Pr(X 

     ≤x) (1.37)

    Se ora si considerano due numeri reali  a e  b si avrà:

    Pr(a < X  ≤ b) = P (X  ≤ b) − P (X  ≤ a) = F (b) − F (a) (1.38)Si ipotizzi ora che   X   sia una variabile aleatoria continua, in tal caso è necessa-rio introdurre una nuova funzione, la densità della distribuzione di probabilità o,brevemente,  funzione densità di probabilità, definita come la derivata dellafunzione di distribuzione:   p(x) = dF (x)/ dx, per cui:

    F (x) =

       x−∞

     p(x) dx   (1.39)

    la funzione densità di probabilità è indicata a volte anche con   f (x). In base al-l’Eq. 1.39 si ha:

    F (x) =

       +∞−∞

     p(x) dx = 1 (1.40)

    Se è soddisfatta l’Eq.  1.40 si dice che la funzione  p(x) è normalizzata. Nota la  p(x)è possibile calcolare ad esempio la probabilità che  x  cada nell’intervallo (x, x + ∆x)mediante il seguente integrale:

    Pr(x < X < x + ∆x) = F (x + ∆x) − F (x) =   x+∆xx

     p(x) dx   (1.41)

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    33/149

    1.11. LEGGI DI DISTRIBUZIONE DI PROBABILIT ̀A   29

    la probabilità è uguale all’area sottesa dalla curva della densità  p(x) compresa trax e  x + ∆x.

    La funzione densità di probabilità, se nota a priori completamente o parzialmen-te, può essere utilizzata per migliorare la precisione della misura e anche per ridurre

    l’incertezza.Essa è stata considerata una funzione continua, in cui la variabile x può assumeretutti i valori nel campo [−∞, +∞], il che contrasta con il campione limitato da cuisi è partiti.

    In realtà un numero finito di osservazioni può essere considerato solo un  cam-pione di un insieme infinito che presenta una certa funzione densità di probabilità.L’istogramma delle probabilità di occorrenza degli eventi relativi al campione è unaapprossimazione della curva p(x) e il grado di approssimazione dipende dal numerodi prove e dall’ampiezza in cui i risultati sono raggruppati.

    Per distinguere i risultati ottenuti con un piccolo numero di prove da quelli rela-tivi ad un numero molto grande, si usa considerare i risultati derivanti da un numero

    limitato di prove come una  stima di queste funzioni. In termini statistici il  valoreatteso, o  speranza matematica, o semplicemente l’aspettazione, o la mediastatistica   di una variabile aleatoria discreta {xi}   si esprime simbolicamente co-me  E [xi]. A tale funzione si applicano le stesse proprietà della sommatoria per levariabili discrete e dell’integrale per le variabili continue:

    µx  = E [X ] =ki=1

     pixi   (1.42)

    la grandezza µx  prende anche il nome di   media della distribuzione  della varia-

    bile aleatoria. Nel caso di variabili aleatorie continue qualora sia nota la funzionedensità di probabilità  p(x) della variabile continua  X , l’aspettazione se esiste è:

    µx = E [X ] =

       +∞−∞

    xp(x) dx   (1.43)

    la deviazione media, la deviazione standard e la varianza della distribuzione assu-mono le seguenti espressioni:

    α =   +∞−∞ |x − µ| p(x) dx   (1.44)

    σ =

        +∞−∞

    (x − µ)2 p(x) dx   (1.45)

    σ2 =

       +∞−∞

    (x − µ)2 p(x) dx   (1.46)

    Si noti quindi che per il calcolo delle aspettazioni è necessario conoscere, pervariabili aleatorie discrete, la funzione di probabilità di massa, per variabili aleatoriecontinue, la funzione densità di probabilità. Si è detto che la  media aritmetica

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    34/149

  • 8/9/2019 Fondamenti della Misurazione

    35/149

    1.13. DISTRIBUZIONE DI GAUSS    31

    µ =  1

    b − a   ba

    x dx =  b2 − a22(b − a) =

     a + b

    2

    σ2

    =  1

    b − a    b

    a(x − µ)

    2

    dx =  1

    b − a    b−µ

    a−µx21 dx1  =

    = (b − µ)3 − (a − µ)3

    3(b − a)   =  1

    3(b − a)

    b − a

    2

    3+

    b − a

    2

    3=

     (b − a)212

    (1.