fondamenti di automatica scilab e scicos

2° Laboratorio

Fondamenti di Automatica

Simulazione dei Sistemi Lineari

Sistemi del 1° ordine

Sistemi del 2° ordineGiovanni Vannozzi --- anno accademico 2010-2011

SCILAB e SCICOS

POLITECNICO DI MILANO

Sistemi Lineari - Considerazioni (1)

Rappresentazione cartesiana dei poli e degli zeri della FUNZIONE di

TRASFERIMENTO G(s) di un sistema dinamico LTI.

La mappa dei poli e degli zeri di un sistema dinamico, di cui è fornita lasua FUNZIONE di TRASFERIMENTO G(s) o la sua rappresentazione nello Spazio di Stato, è ottenuta mediante l’istruzione seguente:

-->plzr(GSS) (GSS = sistema espresso nello Spazio di Stato)

-->plzr(GTF) (GTF = sistema dato con Funzione di Trasferimento)

Come primo esempio si propone il listato seguente:

-->s=poly(0,’s’);-->GTF=syslin(‘c’,s*(7+s),(2+s)*(41+8*s+s^2));

)418()2(

)7()(

2 ++⋅+

+⋅=

sss

sssG

-->plzr(GTF) (consente di ottenere la seguente mappa poli-zeri)




o = zeri

z1 = 0

z2 = -7

x = poli

p1= -2

p2 = -4+j5

p3 = -4-j5




32

2

71816

610)(

sss

sssG

+++

++=

Come secondo esempio si propone il listato seguente:

-->A=[-2 –1 –3;1 –3 –1;0 1 –2];

-->B=[1;0;0];C=[1 1 1];D=0;

-->GSS=syslin(‘c’,A,B,C,D);

-->plzr(GSS) (consente di ottenere la seguente mappa poli-zeri)

Alla rappresentazione GSS definita nello Spazio di Stato corrisponde la Funzione di Trasferimento GTF, che si ottiene con l’istruzione:

-->GTF=ss2tf(GSS)

Sistemi Lineari - Considerazioni (4)Rappresentazione cartesiana dei poli e degli zeri del Sistema dinamico LTI espresso nello Spazio di Stato ed individuato dalla struttura GSS.

o = zeri

z1 = -3-j

z2 = -3+j

x = poli

p1= -2

p2=-2,5-j1,323

p3=-2,5+j1,323

Sistemi Lineari del 1° Ordine (1)Sistema massa-ammortizzatore o massa-smorzatore viscoso

v

FM

vM

h

dt

dv 1+−=

buaxxdt

dx+==

•

Mb

M

ha

Fuvx

1,

,

=−=

==

Velocità verticaledella massa M

Bilancio della quantità di moto:

Coefficiente dismorzamento

F

M

h

Massa M

Forza esterna F

Sistemi Lineari del 1° Ordine (2)

La medesima equazione può rappresentare fenomeni

fisici molto diversi, afferenti cioè a differenti ambiti

disciplinari, tra i quali:

� carica e scarica di un circuito RC;

� sistema massa-ammortizzatore;

� dinamica di livello di un serbatoio;

� riscaldamento di un corpo;

Vediamo brevemente le caratteristiche di tali esempi.


i

v

Carica di un condensatore con rete RC parallelo

iC

vRCdt

dv 11+−=

buaxdt

dx+=

Cb

RCa

iu

vx

1,

1=−=

=

=

Bilancio di corrente:R C


qS

lS

k

dt

dl 1+−=

buaxdt

dx+=

Sb

S

ka

qulx

1,

,

=−=

==

Area del serbatoio

Livello nel serbatoio

Dinamica del livello di un serbatoio

Bilancio di massa:

Portata entrante

Portata uscente

q

l kl

S


Riscaldamento di un corpo

( )eTTPdt

dTC −−= γ

P

T

γ(T-Te)

Cb

Cb

Ca

TuPuTx e

γγ==−=

===

21

21

,1

,

,,

2211 ububaxdt

dx++=

Bilancio di potenza:

Temperatura del corpo

Potenza termica entrante

Capacità termica del corpo

Potenza termica uscente


Si consideri il sistema del primo ordine:

ducxy

xxbuaxdt

dxx

+=

=+== 0)0(,&

Posto b=1, c=1 e d=0, sistema strettamente proprio,

si desidera verificare con Scilab che x = -bu/a è un

equilibrio scegliendo a = ± 2, u =1. Siano, inoltre,

xo=0, xo=-1 ed xo=+1 tre diverse condizioni iniziali.

Studio nello Spazio degli Stati


Si consideri il listato, in codice Scilab, seguente:

--> a= -2;b=1;c=1;d=0;u=1;

--> svm1=syslin(‘c’,a,b,c,d,0);

--> svm2=syslin(‘c’,a,b,c,d,-1);


--> t=0:0.01:3.5;

--> [y1,x1]=csim(‘step’,t,svm1);



--> plot(t,x1,’b’,t,x2,’g’,t,x3,’r’),xgrid

Studio nello Spazio degli Stati


Si ottengono i tre grafici relativi sia allo stato sia all’uscita

y1 = x1

y3 = x3

y2 = x2

x1

x2

x3

Andamento dello stato x(t) e dell’uscita y(t)


Schema in ambiente Scicos per il sistema del primo ordine:

cost

)0(, 0

=+=

=+==

uducxy

xxbuaxdt

dxx& a=-2 ; b=1

c =1 ; d=0

u

a

b


Utilizzo del blocco Spazio degli Stati di SCICOS

y1=x1

y2

y3=x3

Step time = 0

initial value=0

final value = 1


Blocco Gradino unitario:

Step time = 0 --- Initial value = 0 --- Final value = 1

Blocco Oscilloscopio Probe

Ymin = -1 --- Ymax = 1 --- Refresh period = 4

Blocco Orologio (durata simulazione)

Period = 0,01 (step di simulazione) --- Init time = 0

Opzione Setup del Menù Simulete

Final integration time = 4

Impostazione delle PROPRIETA’ dei blocchi e definizione dei PARAMETRI della Simulazione


Si ottiene in SCICOS lo stesso insieme di grafici delle

uscite del sistema, in relazione alle diverse condizioni

iniziali, già viste in ambiente SCILAB

y1

y2

y3

y1 = x1

y3 = x3

y2 = x2


Si consideri il listato, in codice Scilab, seguente:

--> a=-2;b=1;c=1;d=0;u=1; (l’uscita è uguale allo stato)

--> svm1=syslin(‘c’,a,b,c,d,0); (definizione del sistema)

--> svm2=syslin(‘c’,a,b,c,d,-1);


--> t=0:0.01:4; (definizione durata simulazione e passo)

--> u=sin(8*t); (definizione del segnale d’ingresso)

--> [y1,x1]=csim(u,t,svm1); (risposta a ingresso qualsiasi)

--> [y2,x2]=csim(u,t,svm2);

--> [y3,x3]=csim(u,t,svm3);

--> plot(t,y1,’b’,t,y2,’g’,t,y3,’r’),xgrid

Sistemi Lineari del 1° Ordine (14)Si ha in ambiente Scilab il grafico dello stato e delle uscite

y1 = x1

y3 = x3

y2 = x2

Andamento degli stati x(t) e delle uscita y(t)

x3

x2

x1Stato di equilibrio

Uscita a regime

Sistemi Lineari del 1° Ordine (15)Segnale d’ingresso sinusoidale a frequenza fs = 8 Hz

Simulazione in Ambiente SCICOS

y1

y2

y3

Period = 0.01 ; Init time= 0

Ymin= −−−−1 ; Ymax =1Refresh period =4


Si ottiene in SCICOS lo stesso insieme di grafici delle uscite

del sistema, in relazione alle diverse condizioni iniziali, già

viste in ambiente SCILAB

y3

y2

y1Stato di equilibrio

Uscita a regime

Andamento delle uscite y(t) e degli stati dato che x(t) = y(t)


Studio con la Funzione di Trasferimento

Sistemi strettamente propri Sistemi non strettamente propri

sTsG

+=

1)(1

µ g = 0 ; T>0g = 0 ; T<0

ssG

µ=)(2

g = 1

sT

ssG

+

+=

1

)1()(3

τµ

s

ssG

)1()(4

τµ +=

sT

ssG

+=

1)(5

µ

g = 0 ;T>0 ;ττττ>0g = 0 ;T>0 ;ττττ<0

g=1 ; ττττ>0g=1 ; ττττ<0

g = -1 ; T>0

g = specifica il tipo di sistema

g > 0 ⇒⇒⇒⇒ definisce il numero di poli ubicati nell’origine

g < 0 ⇒⇒⇒⇒ definisce il numero di zeri ubicati nell’origine

n= è l’ordine del sistema,numero totale dei poli



Sistema strettamente proprio

sTsG

+=

1)(1

µg = 0 ; T>0,5 ; µµµµ=2

-->mi=2;T=0.5;-->num=poly([mi 0],'s','c');-->den=poly([1 T],'s','c');-->giesse1=syslin('c',num,den);-->t=1:0.01:3;-->yimp=csim('imp',t,giesse1);-->ygra=csim(‘step',t,giesse1);-->subplot(211),plot(t,yimp,'b'),xgrid-->subplot(212),plot(t,ygra,‘r'),xgrid

Risposta all’Impulso di Dirac δδδδ(t) ed al Gradino unitario sca(t)

0)](1[lim)( 10

=⋅⋅=∞→

sGsys

imp

TsGsy

simp

µ=⋅⋅=

∞→)](1[lim)0( 1

0)(1

lim)0( 1 =

⋅⋅=

∞→sG

ssy

ssca

µ=

⋅⋅=∞

→)(

1lim)( 1

0sG

ssy

ssca

-1/TRe(s)

Im(s)

−−−−2



ysca(∞∞∞∞)=2

yimp(0)=4

ysca(0)=0

yimp(∞∞∞∞)=0

T

Tµµµµ=2 ; T=0,5


Studio con la Funzione di TrasferimentoSistemi NON strettamente PROPRI

sT

ssG

+

+=

1

)1()(3

τµ

s

ssG

)1()(4

τµ +=

sT

ssG

+=

1)(5

µ

g = 0 ;ττττ > T > 0

g=1 ; ττττ>0

g = -1 ; T>0

-1/T Re(s)

Im(s)

-1/T Re(s)

Im(s)

-1/ττττ

Re(s)

Im(s)

-1/ττττ-1/ττττ

Re(s)

Im(s)

-1/T

-1/ττττ

Re(s)

Im(s)

Re(s)

Im(s)

-1/T

g = 0 ;T > ττττ> 0

g=1 ; ττττ<0

g = -1 ; T<0


Studio con la Funzione di TrasferimentoSistemi NON strettamente PROPRI – risposta al gradino

sT

ssG

+

+=

1

)1()(3

τµ g = 0 ; ττττ > T > 0

g = 0 ; T > ττττ> 0

ττττ = 5 ; T = 2 ; µµµµ = 2

ττττ = 1 ; T = 2 ; µµµµ = 2

s

ssG a

21

)51(2)(3

+

+⋅=

s

ssG b

21

)1(2)(3

+

+⋅=

52

52)(lim)0( 33 =

⋅===

∞→ TsGy a

sa

µτ

2)(lim)( 30

3 ===∞→

µsGy as

a

12

12)(lim)0( 33 =

⋅===

∞→ TsGy b

sb

µτ

2)(lim)( 30

3 ===∞→

µsGy bs

b



sT

ssG

+

+=

1

)1()(3

τµ g = 0 ; ττττ > T > 0

g = 0 ; T > ττττ> 0

ττττ = 5 ; T = 2 ; µµµµ = 2

ττττ = 1 ; T = 2 ; µµµµ = 2

-->mi=2;T=2;tau1=5;tau2=1;-->num1=poly([1 tau1],'s','c');-->num2=poly([1 tau2],'s','c');-->den=poly([1 T],'s','c');-->giesse3a=syslin('c',mi*num1,den);-->giesse3b=syslin('c',mi*num2,den);-->t=0:0.001:10;-->y3ag=csim('step',t,giesse3a);-->y3bg=csim('step',t,giesse3b);-->plot(t,y3ag,'b',t,y3bg,'g'),xgrid

s

ssG a

21

)51(2)(3

+

+⋅=

s

ssG b

21

)1(2)(3

+

+⋅=

Sistemi Lineari del 1° Ordine (23)Funzione Trasferimento - Sistemi NON strettamente PROPRI

y3(0)

y3(0)

y3ag

T = 2

ττττ = 5

y3bg

T = 2

ττττ = 1

y3(∞∞∞∞)

y3(∞∞∞∞)


Studio con la Funzione di TrasferimentoSistemi NON strettamente PROPRI – risposta all’Impulso

sT

ssG

+

+=

1

)1()(3

τµ g = 0 ; ττττ > T > 0

g = 0 ; T > ττττ> 0

ττττ = 5 ; T = 2 ; µµµµ = 2

ττττ = 1 ; T = 2 ; µµµµ = 2

-->mi=2;T=2;tau1=5;tau2=1;-->num1=poly([1 tau1],'s','c');-->num2=poly([1 tau2],'s','c');-->den=poly([1 T],'s','c');-->giesse3a=syslin('c',mi*num1,den);-->giesse3b=syslin('c',mi*num2,den);-->t=0:0.001:12;-->y3ai=csim(‘imp',t,giesse3a);-->y3bi=csim(‘imp',t,giesse3b);-->plot(t,y3ai,'b',t,y3bi,'g'),xgrid

s

ssG a

21

)51(2)(3

+

+⋅=

s

ssG b

21

)1(2)(3

+

+⋅=


Determinazione analitica della risposta all’Impulso di Diràc

sT

ssG

+

+⋅=

1

)1()(3

τµ

++

+=

+

+=

+

+==

)1(

1

)1(])1([

)]1([

)1(

)1()()()( 33

TsTs

s

TTsT

s

sT

ssUsGsY i

τµττµττµ

µµµµ = 2 ; ττττ = 5 ; T = 2)21(

)51(2)(3

s

ssG a

+

+⋅=

++

+−=

++

+

−+=

)1(

1

)1(

11

)1(

1

)1(

)1()1()(3

TsTs

T

Tss

s

TsY i

τµτ

τ

τ

τ

ττµτ

++

+−== −−

)1(

1

)1(

11)]([)( 1

3

1

3TsTs

T

TLsYLty ii

τµτ

++

+−= −−−

)1(

1

)1(

1]1[)( 11

2

1

3Ts

LTTs

TL

TL

Tty i

τµµτµτ


5,1)()0( 2

3 −=−= TTy iap τµ

2203

03

)()(lim)(lim)0(

T

Te

T

Ttyy

Tt

tip

tip

τµτµ −⋅=⋅

−⋅== −

→→

TtTtTt

i eT

Tt

Te

Te

Tt

Tty

−−− −⋅+=+−=

223

)()()()(

τµδ

µτµµτδ

µτ

Funzione Trasferimento - Sistemi NON strettamente PROPRI

Determinazione analitica della risposta all’Impulso di Diràc

µµµµ = 2 ; ττττ = 5 ; T = 2

con δδδδ(t) = Impulso di Diràc di Area Unitaria. La risposta y3ip(t)

della corrispondente parte propria del sistema è caratterizzata da:

0)(

lim)(lim)(233 =⋅−⋅

==∞ −

∞→∞→

Tt

tip

tip e

T

Ttyy

τµ

0)(3 =∞iapy

µµµµ = 2 ; ττττ = 1 ; T = 2 5,0)()0( 2

3 +=−= TTy ibp τµ 0)(3 =∞ibpy


µµµµ= 2ττττ = 5 ; T = 2

µµµµ= 2ττττ = 1 ; T = 2

y3iap(∞∞∞∞)

y3ibp(∞∞∞∞)δδδδ(t)

y3iap(0)

y3ibp(0)

Risposta all’impulso di Diràc unitario

5δδδδ(t)

y3ibp(t)

y3iap(t)


g = 1 ; ττττ > 0

g = 1 ; ττττ< 0

µµµµ = 2 ; ττττ = 2

µµµµ = 2 : ττττ = -2


s

ssG

)1()(4

τµ +⋅=

s

ssG a

)21(2)(4

+⋅=

4221

)(lim)0( 44 =⋅===∞→

µτsGy a

sa

∞==∞→

)(lim)( 40

4 sGy as

a

s

ssG a

)21(2)(4

−⋅=

4)2(21

)(lim)0( 44 −=−⋅===∞→

µτsGy a

sb

∞==∞→

)(lim)( 40

4 sGy bs

b


-->mi=2;tau1=2;tau2=-2;-->num1=poly([1 tau1],'s','c');-->num2=poly([1 tau2],'s','c');-->den=poly([0 1],'s','c');-->giesse4a=syslin('c',mi*num1,den);-->giesse4b=syslin('c',mi*num2,den);-->t=0:0.001:5;-->y4ag=csim('step',t,giesse4a);-->y4bg=csim('step',t,giesse4b);-->plot(t,y4ag,'b',t,y4bg,'g'),xgrid

s

ssG a

)21(2)(4

+⋅=

s

ssG b

)21(2)(4

−⋅=


g = 1 ; ττττ > 0

g = 1 ; ττττ> 0


µµµµ = 2 : ττττ = -2s

ssG

)1()(4

τµ +⋅=


y4(0)

y4(0)

µµµµ

µµµµ

y4a

y4b

µµµµ= 2ττττ = 2

µµµµ = 2ττττ = -2


Determinazione analitica della risposta al gradino unitario

s

ssG

)1()(4

τµ +⋅=

sss

s

ss

s

ss

ssUsGsY

µτµτµµτµµτµ+=+=

+=⋅

+==

222244

1)1()()()(

+

=

+== −−−−

sL

sL

ssLsYLty

µτµµτµ 1

2

1

22

1

4

1

4 )]([)(

)(11

)( 1

2

1

4 tscats

Ls

Lty ⋅+=

⋅+

⋅= −− µτµµτµ


µµµµ = 2 : ττττ = -2

)(42)(4 tscatty a ⋅+=

)(42)(4 tscatty b ⋅−=

4)](42[lim)(lim)0(0

40

4 =⋅+==→→

tscattyyt

at

a

4)](42[lim)(lim)0(0

40

4 −=⋅−==→→

tscattyyt

bt

b



g = −−−−1 ; T > 0

g = −−−−1 ; T < 0

T = +2 ; µµµµ = 3

T = −−−−2 ; µµµµ = 3

-->mi=3;T1=2;T2=-2;num=poly([0 mi],'s','c');-->den1=poly([1 T1],'s','c');-->den2=poly([1 T2],'s','c');-->giesse5a=syslin('c',num,den1);-->giesse5b=syslin('c',num,den2);-->t=0:0.001:10;-->y5ag=csim('step',t,giesse5a);-->y5bg=csim('step',t,giesse5b);-->subplot(121),plot(t,y5ag,'b'),xgrid-->subplot(122),plot(t,y5bg,'g'),xgrid

s

ssG a

21

3)(5

+=

s

ssG b

21

3)(5

−=

sT

ssG

+=

1)(5

µ


y5a

y5(0)

y5(0)

T

y5(∞∞∞∞)

y5b


Determinazione analitica della risposta al gradino unitario

sT

ssG

+=

1)(5

µ

)/1(

1

1

1

1)()()( 55

TsTsTssT

ssUsGsY

+⋅=

+=⋅

+==

µµµ

Tte

TTsL

TTsTLsYLty

/11

5

1

5)/1(

1

)/1(

1)]([)( −−−− ⋅=

+⋅=

+⋅==

µµµ

g=−−−−1 ; µµµµ = 3 ; T = +2

g=−−−−1 ; µµµµ = 3 : T = −−−−2

2/

5 )2/3()( t

a ety−⋅=

2/

5 )2/3()( t

b ety ⋅−=

)2/3(])2/3[(lim)(lim)0( 2/

05

05 =⋅== −

→→

t

ta

ta etyy

)2/3(])2/3([lim)(lim)0( 2/

05

05 −=⋅−==

→→

t

tb

tb etyy

0])2/3[(lim)(lim)( 2/

55 =⋅==∞ −

∞→∞→

t

ta

ta etyy

−∞=⋅−==∞∞→∞→

])2/3([lim)(lim)( 2/

55

t

tb

tb etyy


Sistemi del 1° ordine PROPRI e NON strettamente PROPRI

Risposta al gradino unitario in Ambiente SCICOS

Ymin = -0.2

Ymax = +5.2

Refresh period = 12Buffer size = 5000


ssGL

21

5)(

+=

s

ssGm

21

5)(

+=

s

ssGn

21

)1(5)(

+

+=

µµµµ=5T=2 ; ττττ =1

Risposta al gradino unitario ottenuta in Ambiente SCICOS

YL(s)

Ym(s)

Yn(s)


Si consideri ora il sistema del secondo ordine:

duxcxcy

ubxaxadt

dxx

ubxaxadt

dxx

++=

++==

++==

2211

22221212

2

12121111

1

,

,

&

&

202

101

)0(

)0(

xx

xx

=

=

caratterizzato dagli stati iniziali:


=+=+==

20

10)0(,,

x

xxDuCxyBuAx

dt

dxx&

[ ] dDccCb

bB

aa

aaA ==

=

= ,,, 21

2

1

2221

1211

Il sistema può essere scritto in forma matriciale:

Con le matrici A, B, C e D così definite:


La medesima equazione rappresenta fenomeni

fisici diversi , afferenti a differenti discipline,

(tecnica delle analogie) tra i quali:

� circuito RCL;

� sistema massa-molla-smorzatore viscoso;

� circuito resistenze e capacità a ponte;


R C

i

v

iL

L

iR

Circuito RCL tipo parallelo

−−=

R

vii

Cdt

dvL

1

DuCxy

BuAxdt

dx

+=

+=

[ ] 0,0/1

0

/1

0/1

/1/1

,,, 21

==

=

−−=

====

DRC

CB

L

CRCA

iyiuixvx RL

vLdt

diL 1=

R

viR =


vdt

ds=

Sistema massa-molla-smorzatore

[ ] [ ] 0),10(,01

,/1

0,

//

10

)(,,, 21

===

=

−−=

=====

DCC

MB

MhMkA

vysyFuvxsx

DuCxy

BuAxdt

dx

+=

+=

( )kshvFMdt

dv−−=

1

F

v

h

M

s

k

k =costante elastica molla

h =coefficiente di viscosità

v =velocità della massa M

s =spostamento massa M


v

R1

R2

C

Cvy

v1

v2

21

2

22

1

11

vvvv

CR

vv

dt

dv

CR

vv

dt

dv

y −−=

−=

−=

[ ] 1,11

/1

/1

/10

0/1

,,,

2

1

2

1

2211

=−−=

=

−

−=

====

DC

CR

CRB

CR

CRA

vyvuvxvx y

DuCxy

BuAxdt

dx

+=

+=

Circuito con Resistenze e Capacità collegate a ponte

++++−−−−


Prove da effettuare con Scilab e Scicos sul modello

relativo al circuito RCL tipo parallelo.

a) Risposta libera -- con: C = 0.1, L = 1, R = 1:

� si prenda x(0)=[1 0], u=0 (uscita y1);

� si prenda x(0)=[-1 2], u=0 (uscita y2);

� si prenda x(0)=[2 -2], u=0 (uscita y3);

b) Risposta al gradino -- con: x(0) = [0 0], u = 1:

� si prenda C=0.1, L=1, R=1 (uscita y4 );





--> c = 0.1 ; L=1 ; R=1; (condizioni di simulazione Scilab prova a)

--> A=[-1/(R*c) -1/c ; 1/L 0]; (matrici del sistema RLC)

--> B=[1/c ; 0]; C=[1/R 0]; D=0; nello spazio degli stati)

--> xo1=[1;0]; xo2=[-1;2]; xo3=[2;-2]; (condizioni iniziali)

--> srlc1=syslin('c',A,B,C,D,xo1); (definizione oggetto sistema)



--> t=0:0.01:6; (definizione durata della simulazione)

--> u=zeros(1,max(size(t))); (ingresso identicamente nullo)

--> y1=csim(u,t,srlc1); (determinazione risposta libera)



--> plot(t,y1,'b‘,t,y2,’r’,t,y3,’g’), xgrid (grafici relativi)


Risposta libera sistema RLC parallelo

y1

y2

y3

Sistemi Lineari del 2° Ordine (10a)

Simulazione Scilab attinente la prova b)

--> xo=[0;0]; (condizioni iniziali nulle)

--> c = 0.1 ; L=1 ; R=1; (assegnazione dei parametri)

--> A=[-1/(c*R) -1/c ; 1/L 0]; (definizione della matrice A)

--> B=[1/c ; 0]; C=[1/R 0]; D=0; (definizione matrici B, C e D)

--> srlc4=syslin('c',A,B,C,D,xo); (definizione oggetto sistema)









Sistemi Lineari del 2° Ordine (10b)

(seguito del listato per la Simulazione Scilab della Prova b)





--> t=0:0.01:10; (definizione della durata della simulazione)

--> y4=csim(‘step’,t,srlc4); (determinazione risposta al gradino)




--> plot(t, y4,'b‘, t, y5,’r’), xgrid (grafici relativi a y4 e y5)

--> plot(t,y5,’g’,t,y6,’m’,t,y7,’k’), xgrid (grafici di y5, y6 ed t7)

--> plot2d(t,[y4’,y5’,y6’,y7’]), xgrid (grafici con versione plot2d)


y5 (R=20)

y4 (R=1)

C = 0,1 -- L=1

Risposta al gradino sistema RLC parallelo


y7 C=0.01 -- L=1-- R=20

y6 C=0.1 -- L=5 -- R=20

y5 C=0.1 -- L=1 -- R=20

Risposta al gradino sistema RLC parallelo


� y1, y2, y3 tendono a 0;

� y1 = y2 + y3;

Stabilità

asintotica

Linearità

Si è, pertanto, verificato e consolidato quanto segue:

� al crescere della resistenza R, a pari capacità C ed a

pari induttanza L, l’uscita diventa di tipo oscillante

(curve y4 e y5);

� al crescere dell’induttanza L e/o della capacità C la

frequenza delle oscillazioni decresce (curve y5, y6, y7);


Simuliamo in ambiente Scicos il modello relativo al

sistema massa-molla-smorzatore, effettuando le

seguenti prove:

a) Risposta libera -- con: h = 0.1, M = 1, K = 1:

� si prenda x(0)=[1 0], u=0 (uscita y1);

� si prenda x(0)=[-1 2], u=0 (uscita y2);

b) Risposta al gradino -- con: x(0) = [0 0], u = 1:

� si prenda M=1; K=1; h=5 (uscita y3 );

� si prenda M=1; K=1; h=0.05 (uscita y4 );

� si prenda M=1; K=5; h=0.05 (uscita y5);

� si prenda M=0.1; K=1, h=0.05 (uscita y6);


Schema per la simulazione in ambiente Scicos


La realizzazione dello schema precedente è assai “laboriosa”.

Conviene pertanto utilizzare il blocco “Spazio degli Stati”attivo nell’opzione LINEAR del menù PALETTES di Scicos.

Definire nella Scilab Window le quattro matrici A, B, C, D

ed il vettore xO relativo alle condizioni iniziali, soltanto dopo

avere assegnato i valori dei parametri K, M ed h .

Attivare SCICOS e realizzare lo schema attinente il sistema

da simulare con l’utilizzo del blocco “Spazio degli Stati” del

menù LINEAR, del blocco “Oscilloscopio” del menù SINKS,

dei blocchi “Step” ed “Orologio” del menù SOURCES.

Assegnare i valori ai parametri dei blocchi scelti digitandolinelle apposite caselle dei relativi “Set Block properties”


Schema per la simulazione in ambiente ScicosUtilizzo del blocco “Spazio degli Stati” di Scicos

ymin=-1; ymax=+1Refresh period=50

risposta libera

Step time=0

Initial value=0

Final value=0

Period=0.01; Init. Time=0

MenùSimulazione

Opzione Setup

Final Intgration

time = 50

prove parte a)

SistemaMolla–Massa Smorzatore


Sistema Massa Molla Smorzatore ViscosoRisposta libera per due valori di XO (ambiente Scicos)

y1

--> M=1; h=0.1; K=1; xo=[1;0];

--> A=[0 1;-K/M -h/M]; B=[0;1/M];

--> C=[1 0]; D=0;

y2

--> M=1; h=0.1; K=1; xo=[0;1];

--> A=[0 1;-K/M -h/M]; B=[0;1/M];

--> C=[1 0]; D=0;


y3

y4

Ymin= 0; Ymax= 2

Refresch period=50

Period=0.01; Init.time=0

Step time=0

initial value=0

final value=1


Comparsa delle oscillazioni in dipendenza del valore

del coefficiente di viscosità h

y4

y3


-->M1=1; K1=1; h1=0.05;

-->M2=1; K2=5; h2=0.05;

-->M3=0.1; K3=1; h3=0.05;

Nella finestra di lavoro di Scilab si digitano i valori della Massa

M, della costante elastica K della Molla e il coefficiente h dello

attrito viscoso dello smorzatore.

Successivamente si definiscono le matrici A, B, C, e D relative al

modello descritto nello “Spazio degli Stati”.

-->A1=[0 1;-K1/M1 -h1/M1]; B1=[0;1/M1]; C=[1 0]; D=0;

-->A2=[0 1;-K2/M2 -h2/M2]; B2=[0;1/M2]; C=[1 0]; D=0;

-->A3=[0 1;-K3/M3 -h3/M3]; B3=[0;1/M3]; C=[1 0]; D=0;

--> scicos

Poi si passa in ambiente scicos e si realizza lo schema.

Sistemi Lineari del 2° Ordine (22)Schema in Scicos del modello Molla Massa Smorzatore viscoso

y4

y5

y6


y4y6

y5


Dalla simulazione si è constatato quanto segue:

� tutte le uscite tendono ad un valore costante

(le uscite y1 e y2 tendono a 0);

� tale valore è dato da (D – C·A-1·B·u);

� al diminuire di h l’uscita diventa di tipo oscillante

(confronta le uscite y3 e y4);

� al decrescere della costante elastica K e/o al crescere

della massa M la frequenza decresce (uscite y4,y5,y6).

Uscita Equilibrio

Stabilitàasintotica


Sistema con poli reali e distinti, privo di zeri aggiuntivi

22

2

212121 2)1)(1(

1

)1)(1()(

nn

n

ssTsTsTTsTsTsG

ωξω

µωµµ

++=

++=

++=

in cui si devono intendere le posizioni seguenti:

0 ,0:con;1

;1

21

2

22

1

11 >>−==−== T TT

psT

ps

21

21

21

21

2 11pp

TTpp

TTnn ==⇒== ωω

21

21

21

21

2

212

21

21

21 )(2)(2

pp

pp

TT

TTTTTT

TT

TT

n

nnn

+−=

+=

+=⇒+=

+=

ω

ωξωξω

Sistema descritto dalla Funzione di Trasferimento G(s)

µµµµ = guadagno

ωωωωn= pulsazione naturale

ξξξξ = smorzamento

Sistemi Lineari del 2° Ordine (26)Sistema descritto dalla Funzione di Trasferimento G(s)La Trasformata di Laplace della risposta al Gradino unitarioè determinata dalla relazione:

)1)(1(

1)()()(

21 sTsTssGsUsY

++⋅==

µ

0)1)(1(

lim)1)(1(

lim)]([lim)0(2121

=++

=

++⋅===

∞→∞→∞→ sTsTsTsTssssYy

sss

µµ

Il teorema del valore iniziale e la proprietà della derivata assicurano che:

[ ]{ }

0)1)(1(

lim

)(lim)0()(lim)]([lim)(

21

2

0

=++

=

==−⋅===

∞→

∞→∞→

•

∞→=

sTsT

s

sYsyssYssYsdt

tdy

s

ssst

µ

0)1)(1(

lim


2121

2

32

0

2

2

>=++

=

==

−⋅===

∞→

∞→

•

∞→

••

∞→=

TTsTsT

s

sYsysYssssdt

tyd

s

ssst

Y

µµ

Sistemi Lineari del 2° Ordine (26a)Sistema descritto dalla Funzione di Trasferimento G(s)

Il teorema del valore finale, applicabile per sistemi asintoticamente stabili, ovvero con poli nel semipiano sinistro della variabile s, assicura che:

µµµ

=+⋅+

=

+⋅+⋅⋅===∞

→→→ )1()1(lim

)1()1(lim)]([lim)(

210

2100 sTsTsTsTs

sssYysss

La risposta al gradino unitario parte da zero, presenta in t=0 una tangente

orizzontale, ha la concavità rivolta verso l’alto. Il valore di regime è µµµµ

La risposta al gradino unitario y(t) è determinata dall’antitrasformatadella funzione Y(s) e si ottiene con il metodo di Heawiside o dei residui.

[ ]

−

⋅+

−

⋅−⋅=

+⋅+⋅==

−−−−

21

2

21

1

21

1121

1)1()1(

)()(TT

eT

TT

eT

sTsTsLsYLty

TtTt

µµ

La risposta al gradino unitario y(t) è definita per t ≥≥≥≥ 0.


Sistemi Lineari del 2° Ordine (26b)Sistema descritto dalla Funzione di Trasferimento G(s)

[ ]

+⋅+⋅=

++== −−−

)]1([)]1([

1

)1)(1()()(

21

1

2121

11

TsTssL

TTsTsTsLsYLty

µµ

++

++= −

)]1([)]1([)(

21

1

21 Ts

C

Ts

B

s

AL

TTty

µ

21

210 )]1([)]1([

lim TTTsTss

sA

s=

+⋅+⋅=

→

21

2

2

1

21

1

)1( )]1([)]1([

)]1([lim

1 TT

TT

TsTss

TsB

Ts −−=

+⋅+⋅

+=

−→

21

2

21

21

2

)1( )]1([)]1([

)]1([lim

2 TT

TT

TsTss

TsC

Ts −=

+⋅+⋅

+=

−→

Calcolo analitico della funzione y(t) come antitrasformata della funzione Y(s) mediante la procedura dei limiti di Heawiside.

Poiché il grado “n” del denominatore di Y(s)

supera di 2 il grado “m”del numeratore di Y(s), cioè: (m −−−− n) ≥≥≥≥ 2, allora si

verifica che:

A+B+C=0

Sviluppo in fratti semplici

Sistemi Lineari del 2° Ordine (26c)

0 1)(21

2

21

121

≥

−

⋅+

−

⋅−⋅=

−−

tTT

eT

TT

eTty

TtTt

µ

+−+

+⋅

−−= −

)]1([

1

)]1([

1)(

221

2

21

121

2

2

1211

21 TsTT

TT

TsTT

TT

s

TTL

TTty

µ

+−+

+⋅

−−

⋅= −

)]1([

1

)]1([

11)()(

221

2

121

11

21

21

TsTT

T

TsTT

T

sL

TT

TTty

µ

+−+

+−−

= −−−

)1(

1

)1(

11)(

2

1

21

2

1

1

21

11

TsL

TT

T

TsL

TT

T

sLty µ


Determinazione analitica della risposta y(t) al gradino unitariou(t)=sca(t) mediante la procedura dei limiti di Heawiside.




-->den1=poly([1 1.5],’s’,’c’);

-->giesse1=syslin(‘c’,num,den*den1);

-->den2=poly([1 0.5],’s’,’c’);


-->den3=poly([1 0.2],’s’,’c’);


)5,11)(1(

5)(1

sssG

++=

)5,01)(1(

5)(2

sssG

++=

)2,01)(1(

5)(3

sssG

++=

Si definiscano in ambiente Scilab i seguenti sistemi lineari del secondo ordine tramite le rispettive funzioni di trasferimento:

-->num=poly([5 0],’s’,’c’);

-->den=poly([1 1],’s’,’c’);µµµµ=5 ; T1=1 ; T2=variabile


--> t=0:0.005:8;

--> y1=csim(‘step’, t, giesse1);



--> plot(t, y1, t, y2, t, y3), xgrid

Si determinano le rispettive risposte al gradino unitario u(t),

in ambiente Scilab, con le istruzioni seguenti:


Risposta y(t) al gradino unitario u(t)=sca(t) del sistema descritto dalla Funzione di Trasferimento G(s)

Tempo di Assestamento Ta: è il tempo impiegato dalla risposta

y(t) ad entrare definitivamente in una fascia compresa tra ±±±±1% del valore finale di regime. Definisce la durata del transitorio.

La durata del transitorio è legata

alle due costanti di tempo T1 e T2;

se molto diverse fra loro, il tempo

di assestamento dipende solo dalla

costante di tempo più grande.


y1(t)

y2(t)

y3(t)

y3(t)

G3(s)

y2(t)

G2(s)

y1(t)

G1(s)


Sistema con poli reali coincidenti, privo di zeri aggiuntivi


22

2

22

)(

21 2)1(

1)(

)1)(1()( 21

nn

nTTT

ssTsTsG

sTsTsG

ωξω

µωµµ

++=

+= →

++= ==


0:con;1

;1

2211 >−==−== TT

psT

ps

pTTT

ppp nn ===⇒===11

1

22

2

21

2 ωω

12

2

2

2 22

22 ===⇒=

⋅

+=

T

TTT

TT

TT

n

nnn

ω

ωξωξω

µµµµ = guadagno

ωωωωn= pulsazione naturale

ξξξξ= smorzamento

critico

Sistemi Lineari del 2° Ordine (28a)Sistema descritto dalla Funzione di Trasferimento G(s)

[ ]

+⋅=

+⋅== −−−

2

1

22

11

)]1([

1

)1()()(

TssL

TsTsLsYLty

µµ

++

++= −

2

1

2 )]1([)]1([)(

Ts

C

Ts

B

s

AL

Tty

µ

Calcolo analitico della funzione y(t) mediante l’antitrasformatadella funzione Y(s) = G(s).U(s)

Applicando il principio di identità dei polinomi si ottiene:

1])1([])1([ 2 =++++ CsTsBsTsA

1)()()2( 222 =+++++ TACsTBsTAsBsAs

=

=++

=+

⇒=+

++++

2

2

2 02

0

12

)(

TA

CTBA

BA

T

AsC

T

B

T

AsBA

A = T2

B = -T2

C = -T

Sviluppo in fratti semplici


0 1

1)( ≥

⋅−−⋅= −−

tetT

etyTtTtµ

+−

+−= −

2

21

221

2)]1([)]1([

)(Ts

T

Ts

T

s

TL

Tty

µ

+⋅−

+−

⋅= −

2

1

2

2

)]1([

11

)]1([

11)(

TsTTssL

T

Tty

µ

[ ]

+−

+−

= −−−

2

111

)1(

11

)1(

11)(

TsL

TTsL

sLty µ


Determinazione analitica della risposta y(t) al gradino unitariou(t)=sca(t) con l’antitrasformata della funzione Y(s) =G(s).U(s)

2

0

2

2

0

0

)(

0)0(

Tdt

yd

dt

dy

y

y

t

t

µ

µ

=

=

=∞

=

=

=


Sistemi Lineari del 2° Ordine (28c)Sistema descritto dalla Funzione di Trasferimento G(s)

-->den2=poly([1 1],’s’,’c’)^2;

-->giesse2=syslin(‘c’,num,den2);

-->den3=poly([1 2],’s’,’c’)^2;-->giesse3=syslin(‘c’,num,den3);

21)5,01(

2)(

ssG

+=

22)1(

2)(

ssG

+=

23)21(

2)(

ssG

+=

Si definiscono in ambiente Scilab i seguenti sistemi lineari del secondo ordine tramite le rispettive funzioni di trasferimento:

-->den1=poly([1 0.5],’s’,’c’)^2;-->giesse1=syslin(‘c’,num,den1);

µµµµ=2 ; ξξξξ=1

-->num=poly([2 0],’s’,’c’);


Sistemi Lineari del 2° Ordine (28d)

--> t=0:0.005:14;





Si determinano le rispettive risposte al gradino unitario u(t),

in ambiente Scilab, con le istruzioni seguenti:


Risposta y(t) al gradino unitario u(t)=sca(t) del sistema descritto dalla Funzione di Trasferimento G(s)

Tempo di Assestamento Ta: è il tempo impiegato dalla risposta

y(t) ad entrare definitivamente in una fascia compresa tra ±±±±1% del valore finale di regime. Definisce la durata del transitorio.

La durata del transitorio è legata

alla costante di tempo T; nel caso

di poli reali e coincidenti, il tempo

di assestamento, con una buona

approssimazione, è fornito dalla

relazione: Ta = 6,6.T

Sistemi Lineari del 2° Ordine (28e)

y3(t)y2(t)

y1(t)

y3(t)

T = 2

y2(t)

T = 1

y1(t)

T=0,5


22

2

2 2)(

nn

n

ssbass

bsG

ωξω

µωµ

++=

++=



µµµµ = guadagno ωωωωn= pulsazione naturale ξξξξ = smorzamento

)1(4)44()4( 222222 −=−=−=∆ ξωωωξ nnnba

∆∆∆∆ >0 ⇔⇔⇔⇔ ξξξξ >1 →→→→ due poli reali distinti, ubicati nel semipiano sinistro

→→→→ sistema asintoticamente stabile

∆∆∆∆ =0 ⇔⇔⇔⇔ ξξξξ =1 →→→→ due poli reali coincidenti, ubicati nel semipiano sinistro


∆∆∆∆ <0 ⇒⇒⇒⇒ 0< ξξξξ <1 →→→→ due poli complessi e coniugati a parte reale negativa


∆∆∆∆ <0 ⇒⇒⇒⇒ ξξξξ =0 →→→→ due poli complessi e coniugati siti sull’asse immaginario

→→→→ sistema assolutamente o semplicemente stabile

22 nn ba ωξω ==


)11()11( 2

22

2

11 −−−==−+−== ξξωξξω nn psps

∆∆∆∆ >0 ⇔⇔⇔⇔ ξξξξ >1


∆∆∆∆ =0 ⇔⇔⇔⇔ ξξξξ =1

nnnn psps ωξωωξω −=−==−=−== 2211

∆∆∆∆ <0 ⇔⇔⇔⇔ 0< ξξξξ <1

)11()11( 2

22

2

11 ξξωξξω −−−==−+−== jpsjps nn

∆∆∆∆ <0 ⇔⇔⇔⇔ ξξξξ =0

nn jpsjps ωω +==−== 2211

22

2

2)(

nn

n

sssG

ωξω

µω

++=

Sistemi Lineari del 2° Ordine (31)Rappresentazione cartesiana dei poli al variare dello smorzamento ξξξξcon pulsazione naturale non smorzata ωωωωn costante


La Trasformata di Laplace della risposta al Gradino unitarioè determinata dalla relazione:

22

2

2

1)()()(

nn

n

ssssGsUsY

ωξω

µω

++⋅==

02

lim)2(

1lim)]([lim)0(

22

2

22

2

=++

=

++⋅===

∞→∞→∞→nn

n

snn

n

ss ssssssssYy

ωξω

µω

ωξω

µω

Il teorema del valore iniziale e la proprietà della derivata assicurano che:

[ ]{ }

02

lim


22

2

2

0

=++

=

==−⋅===

∞→

∞→∞→

•

∞→=

nn

n

s

ssst

s

s

sYsyssYssYsdt

tdy

ωξω

µω

0 2

lim


2

22

22

32

0

2

2

>=++

=

==

−⋅===

∞→

∞→

•

∞→

••

∞→=

n

nn

n

s

ssst

ss

s

sYsysYssssdt

tydY

µωωξω

µω

Sistema con poli complessi e coniugati, senza zeri aggiuntivi


Il teorema del valore finale, applicabile per sistemi asintoticamente stabili, ovvero con poli siti nel semipiano sinistro della variabile s, assicura che:

µωξω

µω

ωξω

µω=

++=

++⋅⋅===∞

→→→ 22

2

022

2

00 2lim

)2(lim)]([lim)(

nn

n

snn

n

ss ssssssssYy

La risposta al gradino unitario parte da zero, presenta in t=0 una tangente

orizzontale, ha la concavità rivolta verso l’alto. Il valore di regime è µµµµ

La risposta al gradino unitario y(t) è determinata dall’antitrasformatadella funzione Y(s) e si ottiene con il metodo di Heawiside o dei residui.

[ ]

+−

−−⋅=

++⋅==

−−− )1sin(

11

)2()()( 2

222

211 αξω

ξµ

ωξω

µω ξω

te

sssLsYLty n

t

nn

nn

in cui è: αααα =arcos(ξξξξ). La risposta al gradino unitario y(t) è definita per t ≥≥≥≥ 0




)1(tne

ξωµ −+

)1(tne

ξωµ −+

T=2ππππ/ωωωωO

T=2ππππ/ωωωωO

21 ξωω −= no

Risposta y(t) al gradino unitario u(t) =sca(t) per 0< ξξξξ<1

ωωωωn=2r/sξξξξ =0,175

y(t)

µµµµ=1,5

Sistemi Lineari del 2° Ordine (32c)



Per 0< ξξξξ<1, la risposta y(t) al gradino unitario u(t) =sca(t), ha

l’andamento di una sinusoide smorzata, inviluppata da due

esponenziali decrescenti che convergono, attesa la stabilitàasintotica del sistema che presenta poli complessi coniugatia parte reale negativa.

Sempre nel caso di sistema asintoticamente stabile, 0< ξξξξ<1, la

sovraelongazione percentuale massima SE, definita come il

rapporto tra l’escursione del primo picco della risposta y(t)

rispetto al valore y(∞∞∞∞) conseguito a regime ed il valore y(∞∞∞∞) di

regime stesso, dipende solo ed esclusivamente dal fattore di

smorzamento ξξξξ.

Sistemi Lineari del 2° Ordine (32d)Sistema con poli complessi e coniugati, senza zeri aggiuntivi

)1(maxmax2

100100)(

)(100

ξπξ

µ

µ −−⋅=−

⋅=∞

∞−⋅= e

y

y

yyS E

sovraelongazione

smorzamento

Sistemi Lineari del 2° Ordine (32e)

Risposta y(t) al gradino unitario u(t)=sca(t) per ξξξξ=0

Sistema a poli puramente immaginari, senza zeri aggiuntivi

La Trasformata di Laplace della risposta al Gradino unitario,

nel caso di ξξξξ =0, viene espressa dalla seguente relazione:

22

21)()()(

n

n

sssGsUsY

ω

µω

+⋅==

))(()(

2

22

2

nn

n

n

n

jsjsssG

ωω

µω

ω

µω

−+=

+=

Determinazione analitica della risposta y(t) al gradino unitariou(t)=sca(t) con l’antitrasformata della funzione Y(s) =G(s).U(s)

+

++

= −−

)()(

22

11

ns

CBsL

s

ALty

ωµ

Applicando il principio di identità dei polinomi si ottiene:

[ ]

+

++=

+⋅== −−−

)()()()(

22

1

22

211

nn

n

s

CBs

s

AL

ssLsYLty

ωµ

ω

µω

Sistemi Lineari del 2° Ordine (32f)

Risposta y(t) al gradino unitario u(t)=sca(t) per ξξξξ=0

Sistema a poli puramente immaginari, senza zeri aggiuntivi

222 )()( nsCBssA ωω =⋅+++⋅2222

nnACsBsAs ωω =+++

=

=

=+

⇒=+++22

222 0

0

)(

nn

nn

A

C

BA

ACssBA

ωω

ωω

A = 1

B = -1

C = 0

+−

=

+

++

= −−−−

22

11

22

11 1

)()(

nn s

sL

sL

s

CBsL

s

ALty

ωµ

ωµ

[ ] 0)cos(1)( ≥−⋅= ttty nωµ


Cosinusoide di pulsazione ωωωωn

e valore medio µµµµ

Sistemi Lineari del 2° Ordine (32g)

22

2

)(n

n

ssG

ω

µω

+=

0

2

22

=

=

=

ξ

ω

µ

n

2

4)(

2 +=

ssG

Risposta y(t) al gradino unitario con ξξξξ= 0

ESµ2=ES

T=2ππππ/ωωωωn



-->num=poly([4 0],’s’,’c’);

-->den1=poly([4 1 1],’s’,’c’);

-->giesse1=syslin(‘c’,num,den1);

-->den2=poly([4 2 1],’s’,’c’);-->giesse2=syslin(‘c’,num,den2);


4

4)(

21++

=ss

sG

42

4)(

22++

=ss

sG

44

4)(

23++

=ss

sG

Si definiscano in ambiente Scilab i seguenti sistemi lineari del secondo ordine tramite le rispettive funzioni di trasferimento:

µµµµ=1 ; ωωωωn =2rad/sec



I tre sistemi lineari presentano la stessa pulsazione naturale

non smorzata ωωωωn = 2rad/sec, ma con diverso smorzamento ξξξξ.

Determiniamo le rispettive risposte al gradino unitario in

ambiente Scilab con le istruzioni seguenti:

-->t=0:0.01:12;

-->y1=csim(‘step’, t, giesse1);



-->plot(t, y1, t, y2, t, y3), xgrid

22

2

2)(

nn

n

sssG

ωξω

ω

++=

bass

bsG

++=

2)(

)2(; babn == ξω

Sistema con poli complessi coniugati, senza zeri aggiuntivi


21 ξωω −= no

y3 --- ξξξξ=1,0

y1 --- ξξξξ=0,25

y2 --- ξξξξ=0,5

Sistemi Lineari del 2° Ordine (36)Sistema descritto dalla Funzione di Trasferimento G(s)

-->num1=poly([1 -1],’s’,’c’);-->giesse1=syslin(‘c’,num1,den);

-->num2=poly([1 1],’s’,’c’);-->giesse2=syslin(‘c’,num2,den);

-->num3=poly([1 0.25],’s’,’c’);

-->giesse3=syslin(‘c’,num3,den);

)5,01)(2,01(

)1()(1

ss

ssG

++

−=

)5,01)(2,01(

)1()(2

ss

ssG

++

+=

)5,01)(2,01(

)25,01()(3

ss

ssG

++

+=

Si definiscono in ambiente Scilab i seguenti sistemi lineari del

secondo ordine tramite le rispettive funzioni di trasferimento:

Sistema con poli reali e con uno zero aggiuntivo

-->den=poly([1 0.2],’s’,’c’)*poly([1 0.5],’s’,’c’);

)5,01)(2,01(

)125,01()(4

ss

ssG

++

+=

-->num4=poly([1 0.125],’s’,’c’);

-->giesse4=syslin(‘c’,num4,den);

Sistemi Lineari del 2° Ordine (37)Rappresentazione cartesiana dei poli e degli zeri della F.d.T.

Re(s)

Im(s)

-1/ττττ

2)5,01()1(5)2,01()1( 2211 −=−=−=−=−=−= TpTp

−−−−2 −−−−1−−−−5

-1/T1

-1/T2

Re(s)

Im(s)

-1/ττττ

−−−−2−−−−4−−−−5

-1/T1 -1/T2

)5,01)(2,01(

)1()(2

ss

ssG

++

+=

)5,01)(2,01(

)25,01()(3

ss

ssG

++

+=

Re(s)

Im(s)

-1/ττττ

−−−−2 +1−−−−5

-1/T1 -1/T2

)5,01)(2,01(

)125,01()(4

ss

ssG

++

+=

Re(s)

Im(s)

-1/ττττ

−−−−2−−−−8 −−−−5

-1/T1 -1/T2

)5,01)(2,01(

)1()(1

ss

ssG

++

−=


I quattro sistemi lineari hanno gli stessi poli reali e negativi,

mentre è diversa l’ubicazione dello zero aggiuntivo, che nel

sistema G1(s) è sito nel semipiano destro. Determiniamo le

rispettive risposte al gradino unitario in ambiente Scilabcon le istruzioni seguenti:

-->t=0:0.001:3;





-->plot(t,y1,t,y2,t,y3,t,y4),xgrid)1()1(

)1()(

21 sTsT

ssG

+⋅+

+⋅=

τµ

1=µ

Sistema descritto dalla Funzione di Trasferimento G(s)Sistema con poli reali e con uno zero aggiuntivo


y1(t)

y2(t)

y3(t)

y4(t)

µµµµ

5,0

2,0

1

2

1

=

=

=

T

T

µ

zero nel semipiano destro

zero alla destra dei poli

zero compreso fra i poli

zero alla sinistra dei poli

Sistemi Lineari del 2° Ordine (40)Sistema descritto dalla Funzione di Trasferimento G(s)

-->num=poly([1 2],’s’,’c’);-->den1=poly([4 1 1],’s’,’c’);-->giesse1=syslin(‘c’,num,den1);



4

21)(

21++

+=

ss

ssG

42

21)(

22++

+=

ss

ssG

44

21)(

23++

+=

ss

ssG

Si definiscono in ambiente Scilab i seguenti sistemi lineari del

secondo ordine tramite le rispettive funzioni di trasferimento:

Sistema con poli reali o complessi, con zero aggiuntivo

Sistemi Lineari del 2° Ordine (41)Rappresentazione cartesiana dei poli e degli zeri della F.d.T.

2

1

21 −=−==

=

npp ξω

ξ

Re(s)

Im(s)

Re(s)

Im(s)

Re(s)

Im(s)

polo doppio

-ξωξωξωξωn -1/ττττ -1/ττττ -1/ττττ

)11()21( 2

2,1 ξξωξ −±−== jp n

21)1(2 −=−== τω zn

p1

p2

)11()41( 2

2,1 ξξωξ −±−== jp n

−−−−0,5+j0,968

−−−−1−−−− j0,866

−−−−2 −−−−0,5 −−−−0,5 −−−−0,5

p1

p2


I tre sistemi lineari presentano la stessa pulsazione naturale

non smorzata ωωωωn = 2rad/sec, ma con diverso smorzamento ξξξξ.

Determiniamo le rispettive risposte al gradino unitario in

ambiente Scilab con le istruzioni seguenti:

--> t=0:0.01:12;





22 2

21)(

nnss

ssG

ωξω ++

+=

bass

ssG

++

+=

2

21)(

)2(2 babn === ξωτ )(5 ξωnaT =


y1 --- ξξξξ=0,25

y3 --- ξξξξ=1,0

y2 --- ξξξξ=0,5

Risposta al gradino unitario in ambiente SCILAB

21 ξωω −= no

ωωωωn=2r/s

Sistemi Lineari del 2° Ordine (44)Simuliamo i tre sistemi lineari in ambiente SCICOS ed a tale fine si realizza lo schema corrispondente di seguito mostrato.

Ymin = −−−−0.1Ymax = 1

Refresh period =11

Period=0.01; Init.time=0

Step time = 0

initial value=0

final value = 1


Risposta al gradino unitario in ambiente SCICOS

y1

y2

y3

fondamenti di automatica scilab e scicos

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