fondamenti di meccanica e macchine_preview

GIUSEPPE ANZALONE

PAOLO BASSIGNANA

GIUSEPPE BRAFA MUSICORO

Fondamenti di

MECCANICAMACCHINE

e

TEORIA E APPLICAZIONI

HOEPLI

MECCANICAMACCHINE

e

TEORIA E APPLICAZIONI

Giuseppe AnzalonePaolo Bassignana

Giuseppe Brafa Musicoro

Fondamenti di Meccanica e Macchine

Teoria e applicazioni

EDITORE ULRICO HOEPLI MILANO

UN TESTO PIÙ RICCO E SEMPRE AGGIORNATO

Nel sito www.hoepliscuola.it sono disponibili:

• materiali didattici integrativi;• eventuali aggiornamenti dei contenuti del testo.

Copyright © Ulrico Hoepli Editore S.p.A. 2009

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IndiceIII

UNITÀ A1

UNITÀ A2

UNITÀ A3

Prefazione IX

Statica 2

Verifica prerequisiti 3

LE FORZE, I MOMENTI DELLE FORZE E I SISTEMI DI FORZE EQUILIBRATI 4

A1.1 IL CONCETTO DI FORZA 5A1.2 COMPOSIZIONE DI FORZE COMPLANARI 6A1.3 SCOMPOSIZIONE DI UNA FORZA DATA IN DUE COMPONENTI

CONVERGENTI DI DIREZIONI NOTE 9A1.4 COMPOSIZIONE DI DUE FORZE PARALLELE 10A1.5 TEOREMA DELLE PROIEZIONI 12A1.6 IL MOMENTO DI UNA FORZA 13A1.7 TEOREMA DI VARIGNON 14A1.8 COPPIA DI FORZE 15A1.9 TRASPORTO DI UNA FORZA PARALLELAMENTE A SE STESSA 16A1.10 EQUILIBRIO DI UN SISTEMA DI FORZE 18A1.11 I CORPI VINCOLATI 19Studio di un caso 22Formulario essenziale 24Unità in breve 24Autoverifica dell’apprendimento 26

LE MACCHINE SEMPLICI 28

A2.1 CARATTERISTICHE DELLE MACCHINE SEMPLICI 29A2.2 LA LEVA 29A2.3 LA CARRUCOLA E IL PARANCO 32A2.4 IL VERRICELLO E L’ARGANO 35A2.5 IL PIANO INCLINATO 36A2.6 IL CUNEO 38A2.7 LA VITE 39Studio di un caso 42Formulario essenziale 43Unità in breve 44Autoverifica dell’apprendimento 45

GEOMETRIA DELLE MASSE 47

A3.1 CENTRO DELLE FORZE PARALLELE E BARICENTRO 48A3.2 TEOREMI DI GULDINO 51A3.3 MOMENTI STATICI DI SUPERFICIE 53A3.4 MOMENTI QUADRATICI DI SUPERFICIE 56A3.5 MOMENTO D’INERZIA ASSIALE DI MASSA 62Studio di un caso 64

INDICE

MODULO A

Formulario essenziale 66Unità in breve 67Autoverifica dell’apprendimento 68Verifica di Modulo 69

Cinematica 70


CINEMATICA DEL PUNTO 72

B1.1 GRANDEZZE CINEMATICHE DEL MOTO DI UN PUNTO 73B1.2 MOTO RETTILINEO UNIFORME 75B1.3 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE VARIO 77B1.4 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO 78B1.5 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE RITARDATO 82B1.6 MOTO NATURALMENTE ACCELERATO 83B1.7 MOTO CIRCOLARE UNIFORME 86B1.8 MOTO CIRCOLARE UNIFORMEMENTE VARIO 90Studio di un caso 93Formulario essenziale 95Unità in breve 96Autoverifica dell’apprendimento 97

CINEMATICA DEI MOTI COMPOSTI E DEI CORPI RIGIDI 98

B2.1 MOTI RELATIVI E MOTI ASSOLUTI 99B2.2 MOTI COMPOSTI 101B2.3 MOTO ARMONICO 109B2.4 MOTO DEI CORPI RIGIDI 111B2.5 MOTO DEL CORPO RIGIDO PARALLELAMENTE A UN PIANO FISSO 112Studio di un caso 117Formulario essenziale 119Unità in breve 121Autoverifica dell’apprendimento 122Verifica di Modulo 124

Dinamica 126


DINAMICA DEL PUNTO 128

C1.1 LE LEGGI FONDAMENTALI DELLA DINAMICA 129C1.2 IL PRINCIPIO DI D’ALEMBERT 131C1.3 FORZA CENTRIPETA E FORZA CENTRIFUGA 134C1.4 LAVORO ED ENERGIA 139C1.5 POTENZA SVILUPPATA DA UNA FORZA 145Studio di un caso 147

IV

Indice

MODULO B

UNITÀ B1

MODULO C

UNITÀ C1

UNITÀ B2

"

'

'

'

Formulario essenziale 149Unità in breve 150Autoverifica dell’apprendimento 151

DINAMICA DEI CORPI RIGIDI E RESISTENZE PASSIVE 153

C2.1 SECONDA LEGGE DELLA DINAMICA APPLICATA AI CORPI RIGIDI IN ROTAZIONE 154C2.2 LAVORO ED ENERGIA NEL MOTO ROTATORIO 157C2.3 POTENZA NEL MOTO DI ROTAZIONE 159C2.4 RESISTENZA D’ATTRITO RADENTE 160C2.5 RESISTENZA D’ATTRITO VOLVENTE 163C2.6 RESISTENZA DEL MEZZO 165C2.7 RENDIMENTO DI MACCHINE E MECCANISMI 169Studio di un caso 172Formulario essenziale 174Unità in breve 175Autoverifica dell’apprendimento 176Verifica di Modulo 178

Sollecitazioni dei materiali 180


RESISTENZA DEI MATERIALI E CONDIZIONI DI SICUREZZA 182

D1.1 SOLLECITAZIONI, DEFORMAZIONI E TENSIONI INTERNE 183D1.2 CRITERI DI RESISTENZA DEI MATERIALI 190D1.3 SOLLECITAZIONI DI FATICA 193Studio di un caso 197Formulario essenziale 199Unità in breve 199Autoverifica dell’apprendimento 201

SOLLECITAZIONI SEMPLICI E COMPOSTE 202

D2.1 SOLLECITAZIONI ASSIALI DI TRAZIONE O DI COMPRESSIONE 203D2.2 SOLLECITAZIONI DI FLESSIONE 207D2.3 SOLLECITAZIONI DI TAGLIO 212D2.4 SOLLECITAZIONI DI TORSIONE 214D2.5 ESEMPI DI SOLLECITAZIONI COMPOSTE 217Studio di un caso 222Formulario essenziale 223Unità in breve 224Autoverifica dell’apprendimento 226Verifica di Modulo 227

Meccanica applicata alle macchine 228


IndiceV

MODULO D

MODULO E

UNITÀ D1

UNITÀ D2

UNITÀ C2

ε

TRASMISSIONE DEL MOTO MEDIANTE ORGANI RIGIDI E FLESSIBILI 230

E1.1 TRASMISSIONE DEL MOTO CON RUOTE DI FRIZIONE 231E1.2 TRASMISSIONE DEL MOTO FRA ALBERI PARALLELI MEDIANTE RUOTE DENTATE 233E1.3 PROPORZIONAMENTO DELLE RUOTE DENTATE CILINDRICHE 236E1.4 TRASMISSIONE DEL MOTO FRA ALBERI CONCORRENTI O SGHEMBI

MEDIANTE RUOTE DENTATE 243E1.5 TRASMISSIONE DEL MOTO CON CINGHIE, FUNI E CATENE 244Studio di un caso 253Formulario essenziale 254Unità in breve 254Autoverifica dell’apprendimento 256

TRASMISSIONE E TRASFORMAZIONE DEL MOTOMEDIANTE CINEMATISMI 258

E2.1 CINEMATICA DEL SISTEMA BIELLA-MANOVELLA 259E2.2 RIPARTIZIONE DELLE MASSE NELLA BIELLA 263E2.3 EQUILIBRATURA DEL SISTEMA BIELLA-MANOVELLA 266E2.4 CAMME ED ECCENTRICI 273Studio di un caso 277Formulario essenziale 278Unità in breve 278Autoverifica dell’apprendimento 280Verifica di Modulo 281

Idraulica 282


IDRAULICA E TRATTAMENTO DELLE ACQUE 284

F1.1 MASSA VOLUMICA, DENSITÀ E PESO VOLUMICO DEI LIQUIDI 285F1.2 PRESSIONE E DIFFERENZA DI PRESSIONI 286F1.3 LA LEGGE DI STEVIN E IL PRINCIPIO DI PASCAL 288F1.4 IL GALLEGGIAMENTO DEI CORPI 291F1.5 LA PORTATA E LE LEGGI DEL MOTO 291F1.6 IL TEOREMA DI BERNOULLI E IL TUBO DI VENTURI 293F1.7 IL MOTO DEI FLUIDI REALI 294F1.8 LE ACQUE NATURALI E IL LORO INQUINAMENTO 295F1.9 TRATTAMENTI E IMPIANTI DI DEPURAZIONE PER LE ACQUE RESIDUE

URBANE E INDUSTRIALI 296F1.10 LA POTABILIZZAZIONE DELLE ACQUE 298F1.11 LA LEGISLAZIONE VIGENTE SUL CONTROLLO DELLE RISORSE IDRICHE 298Studio di un caso 299Formulario essenziale 300Unità in breve 300Autoverifica dell’apprendimento 302

VI

Indice

UNITÀ E1

UNITÀ E2

UNITÀ F1

MODULO F

IMPIANTI IDRAULICI, POMPE E TURBINE 304

F2.1 LE POMPE 305F2.2 APPLICAZIONI IDRAULICHE INDUSTRIALI E CIVILI 311F2.3 LE TURBINE IDRAULICHE 312F2.4 GLI IMPIANTI IDROELETTRICI 314F2.5 LA MISURAZIONE DELLE GRANDEZZE FLUIDODINAMICHE 316Studio di un caso 318Formulario essenziale 319Unità in breve 319Autoverifica dell’apprendimento 321Verifica di Modulo 322

Energetica 324


ENERGIE RINNOVABILI E NON RINNOVABILI 326

G1.1 L’ENERGIA 327G1.2 LE FORME DELL’ENERGIA 331G1.3 LE FONTI DI ENERGIA 335G1.4 ENERGIE INNOVATIVE 336G1.5 IL FABBISOGNO DI ENERGIA 341G1.6 IL PROBLEMA AMBIENTALE 343G1.7 IL SISTEMA ENERGETICO EUROPEO E ITALIANO 344G1.8 CLASSIFICAZIONE DELLE MACCHINE A FLUIDO 346Studio di un caso 350Formulario essenziale 351Unità in breve 351Autoverifica dell’apprendimento 353

TECNICHE DI CAPTAZIONE E UTILIZZAZIONE DELL’ENERGIA SOLARE 354

G2.1 LA RADIAZIONE SOLARE 355G2.2 TECNOLOGIA DELLA CONVERSIONE FOTOTERMICA DELL’ENERGIA SOLARE 361G2.3 TECNOLOGIA DELLA CONVERSIONE FOTOVOLTAICA DELL’ENERGIA SOLARE 364Studio di un caso 370Formulario essenziale 371Unità in breve 371Autoverifica dell’apprendimento 373

CELLE A COMBUSTIBILE 374

G3.1 CARATTERISTICHE DELLA CELLA A COMBUSTIBILE 375G3.2 L’IDROGENO 377G3.3 IL FUNZIONAMENTO DELLA CELLA A COMBUSTIBILE 377G3.4 PRINCIPALI TIPOLOGIE DI CELLE A COMBUSTIBILE 378G3.5 APPLICAZIONE DELLA FUEL CELL PER IMPIANTI TERMICI DI USO CIVILE,

INDUSTRIALE E PER I VEICOLI 381

IndiceVII

UNITÀ F2

UNITÀ G1

UNITÀ G2

UNITÀ G3

MODULO G

G3.6 PROSPETTIVE DELLA FUEL CELL NEGLI ORIENTAMENTI

DELLA POLITICA ENERGETICA EUROPEA 384Studio di un caso 385Unità in breve 386Autoverifica dell’apprendimento 387

TEMPERATURA, CALORE E COMBUSTIBILI 388

G4.1 LA NATURA DEL CALORE 389G4.2 LA TEMPERATURA E IL CALORE 390G4.3 LA TRASMISSIONE DEL CALORE 392G4.4 LA COMBUSTIONE 397G4.5 TIPI DI COMBUSTIBILE 400Studio di un caso 405Formulario essenziale 406Unità in breve 406Autoverifica dell’apprendimento 408Verifica di Modulo 409

Termodinamica e sue applicazioni 410


PRINCIPI DI TERMODINAMICA, GENERATORI DI CALOREE MACCHINE FRIGORIFERE 412

H1.1 LE LEGGI DEI GAS 413H1.2 LE TRASFORMAZIONI FONDAMENTALI DEI GAS IDEALI 415H1.3 IL PRIMO E IL SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA 418H1.4 IL CICLO DI CARNOT E I PRINCIPALI CICLI IDEALI 420H1.5 TERMODINAMICA DEL VAPORE ACQUEO 425H1.6 I GENERATORI DI CALORE E I COMPRESSORI 428H1.7 MACCHINE FRIGORIFERE 435Studio di un caso 439Formulario essenziale 441Unità in breve 442Autoverifica dell’apprendimento 444

MOTORI ENDOTERMICI ED ESOTERMICI 446

H2.1 PRINCIPI DI FUNZIONAMENTO DEI MOTORI ENDOTERMICI ED ESOTERMICI 447H2.2 LE MACCHINE TERMICHE A COMBUSTIONE INTERNA 447H2.3 ARCHITETTURA DEI MOTORI ENDOTERMICI ALTERNATIVI 449H2.4 CLASSIFICAZIONE E MODALITÀ DI FUNZIONAMENTO

DEI MOTORI ENDOTERMICI ALTERNATIVI 453H2.5 PRESTAZIONI E CONSUMI DEI MOTORI ENDOTERMICI 458Studio di un caso 462Formulario essenziale 464Unità in breve 464Autoverifica dell’apprendimento 466Verifica di Modulo 467

VIIIIndice

UNITÀ G4

UNITÀ H1

UNITÀ H2

MODULO H

Lo scopo principale dell’opera è di fornire agli studenti uno strumento

versatile e moderno, in grado di guidarli in modo agevole ed esaurien-

te all’interno del mondo della meccanica e delle macchine termiche; il

percorso didattico si snoda attraverso numerose Unità Didattiche,

seguendo un itinerario formativo graduale e progressivo, che parte

dalle conoscenze di base per poi affrontare gli aspetti più caratteriz-

zanti delle discipline e quelli più pratici e applicativi.

Il testo fornisce inoltre una panoramica sul problema energetico ita-

liano, europeo e mondiale (affrontato in un modulo specifico), prestando

particolare attenzione al solare e all’idrogeno, applicazioni di sicuro svi-

luppo nel prossimo futuro.

I contenuti previsti dai Programmi Ministeriali sono ripartiti in

otto Moduli indipendenti, strutturati in Unità Didattiche, a loro volta

organizzate in modo da consentire lo sviluppo delle tematiche proposte

secondo una logica sequenziale, personalizzabile in base alle esigenze

delle singole classi e alle necessità lavorative espresse dalla realtà ter-

ritoriale in cui opera ogni singolo Istituto.

Lo studente è introdotto alla lettura del singolo modulo con una

presentazione sintetica cui seguono due brevi elenchi riportanti i prin-

cipali prerequisiti (indispensabili per poter affrontare gli argomenti

che seguiranno) e gli obiettivi da raggiungere, in termini di conoscenze,

capacità e competenze. Segue una pagina dedicata alla verifica dei pre-

requisiti, da effettuarsi rispondendo ad alcuni quesiti in forma di prova

strutturata, con domande a risposta rapida.

Le Unità Didattiche iniziano con una breve introduzione ai conte-

nuti, seguita dagli obiettivi da conseguire e dall’indice dei paragrafi, i

cui titoli rimandano direttamente ai contenuti trattati. Dopo lo svilup-

po delle tematiche, l’unità offre al lettore quattro rubriche conclusive:

— lo Studio di un caso, che prevede la presentazione di un problema, la

sua analisi e l’esposizione pratica della procedura completa per la

soluzione;

— il Formulario essenziale, che consiste nella raccolta delle principali

formule illustrate nell’unità, a cui sono affiancate le unità di misura

delle grandezze fisiche che vi compaiono;

— l’Unità in breve, un riassunto dei contenuti per facilitare lo studente

in fase di ripasso;

— l’Autoverifica dell’apprendimento, che comprende problemi a rispo-

sta rapida e domande in forma di prova strutturata per verificare

quanto appreso in seguito allo studio dell’unità.

Prefazione

IX

PREFAZIONE

Il modulo, infine, si chiude con una verifica di carattere operativo.

Nella stesura dei contenuti gli autori si sono prefissati lo scopo di

sviluppare le tematiche puntando sugli aspetti fondamentali, adottando

un linguaggio semplificato e diretto, cercando di presentare anche gli

argomenti più ardui in modo chiaro e scorrevole. Lo sviluppo dei conte-

nuti è accompagnato da esempi numerici risolti e commentati, nei quali

è posto in grande evidenza l’uso corretto delle unità di misura. Nel testo

si evidenziano richiami e osservazioni il cui scopo è di alleggerire la trat-

tazione contenutistica, invitando il lettore a una piccola pausa di rifles-

sione. Tutte le figure sono accompagnate da didascalie, evidenziate in

modo da dare visibilità e immediatezza ai disegni, agli schemi e alle

fotografie riportate; nelle intenzioni degli autori le immagini rivestono

non solo un importante ruolo di chiarimento, ma costituiscono anche

una forma di ripasso, aiutando nella memorizzazione dei concetti più

significativi grazie alla forza dell’immagine visiva.

Le parole chiave della letteratura tecnica del settore sono poste in

risalto a conclusione di ogni paragrafo e tradotte in inglese, francese e

tedesco.

Il Modulo A affronta la Statica, con particolare attenzione a forze

e momenti agenti sui corpi e alle geometrie delle masse dei solidi.

Il Modulo B, dedicato alla Cinematica, presenta le leggi del moto

del punto e del corpo.

Il Modulo C sviluppa la Dinamica, descrivendo il comportamento

dei corpi (supposti in questo caso indeformabili), sottoposti a forze e

momenti che causano variazioni di moto.

Il Modulo D presenta la resistenza dei materiali, analizzando i

vari stati di sollecitazione cui sono sottoposti i corpi solidi quando subi-

scono l’azione di forze e momenti agenti dall’esterno.

Il Modulo E descrive i principali organi meccanici che compon-

gono macchinari e impianti, alla luce dei loro principi di funzionamento,

delle applicazioni pratiche e delle diverse modalità operative.

Il Modulo F affronta la meccanica dei fluidi attraverso l’Idraulica

e le sue leggi, per poi passare alla presentazione delle principali mac-

chine idrauliche e dei loro campi di applicazione.

Il Modulo G è dedicato all’Energetica: dopo una presentazione

degli scenari attuali e delle probabili linee di tendenza future unita-

mente alle problematiche di tipo ambientale, vengono descritte due tec-

nologie energetiche innovative caratterizzate da grandi potenzialità di

crescita, ovvero, le celle a idrogeno e l’energia solare.

Il Modulo H analizza il vasto campo delle macchine termiche:

dopo una sintetica presentazione delle leggi della Termodinamica si

affronta lo studio degli impianti termici e dei loro principali compo-

nenti, passando infine al settore dei motori endotermici alternativi illu-

strati più dettagliatamente.

Gli autori ringraziano anticipatamente quanti vorranno fare loro per-

venire, attraverso l’Editore, osservazioni, critiche e suggerimenti atti a

migliorare il testo.

G. ANZALONE P. BASSIGNANA G. BRAFA MUSICORO

X

Prefazione

Prefazione

XI

UN TESTO PIÙ RICCO E SEMPRE AGGIORNATO

Alla pagina web www.hoeplieditore.it/4223-4 sono disponibili:

• materiali didattici integrativi;

• eventuali aggiornamenti del testo;

• un estratto esemplificativo del volume in formato PDF che può

essere consultato, scaricato e stampato.

2

Statica MODULO A

A STATICAIl Modulo A comprende le tematiche riguardanti la Statica, una delle

parti che costituiscono la Meccanica generale. Esso è suddiviso in tre

Unità Didattiche in cui si esaminano gli argomenti che concernono

l’equilibrio dei corpi rigidi in condizioni statiche.

La prima unità affronta lo studio delle forze, dei momenti delle

forze e dell’equilibrio dei corpi vincolati.

La seconda unità presenta lo studio delle macchine semplici. La

terza unità, intitolata “Geometria delle masse”, sviluppa lo studio dei

momenti statici e quadratici di superfici e dei momenti

d’inerzia di massa.

PREREQUISITI

• Riconoscere le principali unità di misura del Sistema Internazionale (SI).• Riconoscere le relazioni di proporzionalità tra grandezze.• Risolvere equazioni di 1° grado in una sola incognita.• Calcolare gli elementi dei triangoli con il metodo trigonometrico.• Eseguire le operazioni elementari di calcolo vettoriale.

OBIETTIVI

• Schematizzare e analizzare le condizioni di equilibrio statico di corpi liberi e vincolati sottoposti all’azione di carichi esterni.

• Identificare e analizzare le condizioni di equilibrio delle macchine semplici e di quelle da esse derivate, e determinarne gli elementi caratteristici.

UNITÀ DIDATTICHE

LE FORZE, I MOMENTI DELLE FORZE

E I SISTEMI DI FORZE EQUILIBRATI

LE MACCHINE SEMPLICI

GEOMETRIA DELLE MASSE

MO

DU

LO

A1

A2

A3

VERIFICA PREREQUISITI

1. Indicare le unità di misura e i relativi simboli utilizzati nel SI per le seguenti grandezze.

a) Lunghezza: b) Massa: c) Tempo:

d) Area: e) Volume: f) Peso:

2. Le proporzioni godono della seguente proprietà:

a) il rapporto dei medi è uguale al prodotto degli estremi

b) il prodotto dei medi è uguale al rapporto degli estremi

c) il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi

d) il rapporto dei medi è uguale al rapporto degli estremi

3. Elencare i fattori di moltiplicazione e i rispettivi simboli per ottenere i multipli e i sottomultipli decimali delle unità SI che hanno i seguenti prefissi.

a) Giga: b) Mega: c) Kilo: d) Deca:

e) Deci: f) Centi: g) Milli:

4. Determinare l’angolo α corrispondente ai valori delle seguenti funzioni trigonometriche.

a) cos α = 0,94 α = b) cos α = 0,81 α =

c) sen α = 0,77 α = d) sen α = 0,94 α =

e) tg α = 5,7 α = f) tg α = 1,5 α =

5. Il tempo, il volume e la massa sono tre grandezze vettoriali.

Vero � Falso �

6. Il peso, la velocità e lo spostamento sono tre grandezze scalari.

Vero � Falso �

7. Un vettore ha il punto di applicazione nell’origine di un sistema di assi cartesiani (X;Y) e passa per il punto di coordinate x = 3, y = 4. Calcolare l’angolo α che esso forma con l’asse X.

α =

8. Date le seguenti equazioni di 1° grado, determinare il valore dell’incognita x:

a) a + x = b x = b) a x = b x = c) a x + b = 0 x =

9. Risolvere la seguente equazione:

12 + 5x = 4x + 11 x =

10. Indicare i simboli dei multipli e sottomultipli decimali e i fattori di moltiplicazione delle seguenti unità SI.

a) Decanewton: b) Micrometro: c) Giganewton:

d) Decilitro: e) Milligrammo: f) Kilogrammo:

g) Kilonewton: h) Centilitro: i) Millimetro:

Statica MODULO A

3

AMO

DU

LO

LE FORZE, I MOMENTI DELLE FORZE E I SISTEMI DI FORZE EQUILIBRATI A1

4

LE FORZE, I MOMENTI DELLE FORZE E I SISTEMI DI FORZE EQUILIBRATI

L’unità illustra dapprima il concetto di forza e descrive i metodi, grafici e analitici, che consentono di determinare la risultante di due o piùforze nel piano. Segue l’analisi dei momenti delle forze e delle coppiedi forze che provocano l’effetto di rotazione dei corpi. Si esaminanoinfine le condizioni di equilibrio dei sistemi di forze e dei corpi vincolati.

OBIETTIVI

• Identificare gli elementi caratteristici di una forza e del momento di una forza.

• Effettuare operazioni di composizione e scomposizione di forze agenti su un piano.

• Determinare il momento risultante di un sistema di forze.• Trasformare una forza in un sistema equivalente formato da una forza

e da una coppia.• Calcolare le reazioni vincolari di un corpo rigido vincolato nel piano.

CONTENUTI

• Il concetto di forza.• Composizione di forze complanari.• Scomposizione di una forza data in due componenti convergenti

di direzioni note. • Composizione di due forze parallele.• Teorema delle proiezioni. • Il momento di una forza.• Teorema di Varignon.• Coppia di forze.• Trasporto di una forza parallelamente a se stessa.• Equilibrio di un sistema di forze.• I corpi vincolati.

A1UN

ITÀ

Statica MODULO A

5

A1.1 – IL CONCETTO DI FORZA

La forza è una grandezza vettoriale, i cui ele-

menti caratteristici sono:

— la retta d’azione che fornisce la direzione

in cui agisce la forza;

— il verso che rappresenta l’orientamento

della forza sulla retta d’azione;

— il modulo, o intensità, che rappresenta la

misura del valore della forza;

— il punto d’applicazione che rappresenta il

punto in cui è applicata la forza e che può es-

sere spostato lungo la retta di azione senza

modificare l’effetto della forza.

La forza si rappresenta con un segmento orien-

tato e si indica con una lettera maiuscola so-

prassegnata (�Fig. A1.1).

� Fig. A1.1

Rappresentazione convenzionale di una forza F–.

� Fig. A1.2

Forze distribuite: a) di linea; b) di superficie.

Si definisce forza la causa che produce una va-

riazione di moto o una deformazione del corpo

al quale è applicata.

Nel Sistema Internazionale (SI) l’unità di mi-

sura della forza è il newton [N].

Il newton è la forza che provoca l’accelerazione di 1 m/s2 quando viene applicata alla massa

di 1 kg.

In natura si hanno molti esempi di forze: l’acqua

che, cadendo, muove una ruota idraulica; il gas

che, espandendosi nel cilindro di un motore a

combustione interna, fa muovere il pistone; la ca-

lamita che attira un oggetto ferroso; la forza peso

che è responsabile della caduta dei corpi liberi.

Rappresentazione delle forze

Il secondo principio della Dinamica,o principio di azione delle forze,

definisce analiticamente il valore della forza che agisce su un corpo come il prodotto della massa del corpo per la sua accelerazione:

F = m a

R

R

Si considerino alcune tra le esperienze più co-

muni: con uno strappo brusco è possibile togliere

un foglio di carta senza smuovere l’oggetto pe-

sante appoggiatovi sopra; alla partenza brusca

di un tram, i passeggeri sono spinti all’indietro;

scendendo da un veicolo in movimento, si è lan-

ciati in avanti con violenza tanto maggiore,

quanto più elevata è la velocità.

Tali fatti avvengono, si dice, per l’inerzia

dei corpi e sono spiegati con il principio

d’inerzia. La causa capace di vincere l’inerzia

dei corpi viene chiamata forza.

Il principio d’inerzia, o primo principio dellaDinamica, afferma che ogni corpo conserva il

proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniformefinché non interviene una causa esterna amodificare tale stato.

R

Le forze possono essere:

— concentrate, se sono applicate su punti iso-

lati o su un’area ristretta della superficie di

un corpo;

— distribuite, se agiscono su enti geome-

trici estesi; a seconda dell’ente su cui agi-

scono, linea o superficie, si hanno forze di

linea e forze di superficie (�Fig. A1.2).

(a) (b)

6


� Fig. A1.3

Risultante R–

ed equilibrante E–

di due forze applicate allo stesso

punto.

Si definisce risultante di un sistema di forze,

la forza che produce gli stessi effetti del sistema

di forze dato.

Si definisce equilibrante di un sistema di

forze, la forza uguale e opposta alla risultante

del sistema e capace quindi di annullarne gli

effetti.

Le forze di superficie, dette anche pressione

o tensione superficiale, sono forze uniforme-

mente ripartite su una superficie e sono

espresse dalla seguente relazione (�Fig. A1.2b):

[1.2]pF

A=

Le forze di linea, dette anche carico lineare o

pressione lineare, sono forze uniformemente

ripartite su una linea e sono espresse dalla rela-

zione seguente (�Fig. A1.2a):

[1.1]qF

l=

A1.2 – COMPOSIZIONE DI FORZE COMPLANARI

L’insieme di forze applicate a un corpo costitui-

sce un sistema di forze. Se le forze componenti

agiscono su un unico piano, le forze si dicono

complanari. All’insieme delle forze si può so-

stituire una sola forza equivalente detta risul-

tante del sistema.

Composizione di due forze applicate a uno stesso punto

Si consideri la figura A1.3 in cui si hanno le due

forze –Q1 e

–Q2 ancorate a un punto fisso O me-

diante due tratti di fune avvolti intorno a due

pulegge.

Per il primo postulato della Statica, due

forze uguali aventi la stessa retta d’azione e

verso opposto, formano un sistema in equilibrio

e il corpo a cui sono applicate resta fermo.

La forza uguale ed opposta alla risultante è

detta equilibrante.

La risultante di un sistema di forze è determi-

nata tramite un’operazione detta composizione

delle forze. Per passare invece da una forza a un

sistema di forze bisogna eseguire un’altra opera-

zione, detta scomposizione della forza nelle

forze componenti.

Il problema consiste nel determinare l’intensità

della risultante ottenuta dalla composizione dei

due tiri della fune, che si scaricano nel punto O,

e l’intensità, la direzione nonché il verso dell’e-

quilibrante–E.

Per trovare la risultante si utilizza il metodo

grafico del parallelogramma delle forze: si

costruisce il parallelogramma avente per lati le

due forze (�Fig. A1.4); la diagonale del paralle-

logramma compresa tra le forze rappresenta la

risultante cercata, ovvero il vettore somma.

POLIGLOTTA

ITALIANO INGLESE FRANCESE TEDESCO

Forza Force Force Kraft

� Fig. A1.4

Composizione di due forze aventi lo stesso punto di applicazione

con il metodo del parallelogramma: a) forze; b) risultante.

7

Statica MODULO A

L’intensità della risultante si può ricavare per viaanalitica con il teorema di Carnot (�Fig. A1.5 ):

Il teorema di Carnot consente di ricavare la lunghezza di un lato di un triangolo qualsiasi,

noti gli altri due lati e l’angolo tra essi compreso:

c a b= + −2 2 2 cosab γ

R

Sia dato il sistema di forze–F1,

–F2,

–F3,

–F4, comun-

que disposte nel piano (�Fig. A1.7b ).Scelto un punto A qualunque nel piano, si ri-

porta il vettore–F1e, equipollente a

–F1, appli-

cato in A; dal vertice B di tale vettore si riportail vettore

–F2e equipollente a

–F2; poi dal vertice C

si riporta–F3e e, infine, da D si riporta

–F4e. Il

tratto di chiusura (A-E) della spezzata (A-B-C-D-E) rappresenta, in direzione, modulo e verso,la risultante R del sistema dato (�Fig. A1.7 ). Ilsuo punto di applicazione sarà ancora P, che è ilpunto comune a tutte le forze del sistema equindi anche alla loro risultante.

Due vettori si dicono equipollenti quandohanno intensità, direzione e verso uguali, ma

retta d’azione differente.

È ovvio che la regola del poligono permette dieseguire anche la composizione di due sole forze(�Fig. A1.8 ): in questo caso, si parla di trian-

golo delle forze.

R

� Fig. A1.5

Determinazione di angoli e lati di un triangolo qualsiasi.

Facendo riferimento alla figura A1.4b, poichéβ = 180° − α e cos β = − cos α, si ha:

[1.3]

Nel caso particolare di forze ortogonali si puòapplicare il teorema di Pitagora al triangolorettangolo avente per cateti i moduli delle forzedate. L’ipotenusa fornisce la risultante cercata(�Fig. A1.6).

R F F F F= + +12

22

1 22 cosα

� Fig. A1.6

Composizione di due forze ortogonali con il metodo

del parallelogramma.

� Fig. A1.7

Composizione di più forze appllicate nel punto P: a) metodo del

parallelogramma; b) metodo del poligono delle forze.

Composizione di più forze applicate a uno stesso punto

Per eseguire la composizione di più forze agentisullo stesso punto si può applicare più volte ilmetodo del parallelogramma (�Fig. A1.7a), op-pure il metodo grafico del poligono delle forze

(�Fig. A1.7b ).

(a)

(a) (b)

(b)

Composizione di forze coincidenti

8


� Fig. A1.9

Composizione di forze coincidenti: a) concordi; b) discordi.

� Fig. A1.10

Composizione di forze convergenti: a) forze; b) forze spostate sul punto P e loro risultante R–.

Forze aventi la stessa retta d’azione si dicono

coincidenti.

Due o più forze coincidenti si dicono con-

cordi se formano un angolo di 0°; discordi se

formano un angolo di 180°.

Due forze sono convergenti se hanno le rette

d’azione che si incontrano in un punto P (�Fig.A1.10) ma sono applicate, ciascuna sulla pro-

pria retta d’azione, in punti P1 e P2 diversi dal

punto P.

La risultante di due forze concordi è una forza

avente stessa direzione, stesso verso e intensità

uguale alla somma delle intensità delle compo-

nenti (�Fig. A1.9a). La risultante di due forze

discordi è una forza avente la stessa direzione, il

verso della forza maggiore e l’intensità uguale

alla differenza delle intensità delle componenti

(�Fig. A1.9b).

Composizione di forze convergenti Poiché per il secondo postulato della stati-

stica le forze possono essere spostate lungo le

rette d’azione fino ad applicarle nel punto di

convergenza P, la loro composizione si esegue

come per le forze applicate a uno stesso punto,

con i metodi grafici descritti precedentemente.

Secondo postulato della Statica: una forza può essere spostata lungo la propria retta

d’azione senza alterarne gli effetti.

R

� Fig. A1.8

Triangolo delle forze: a) forze applicate nel punto P; b, c) determinazione grafica della risultante R–.

(a)

(a) (b)

(b)

(a) (b) (c)

Statica MODULO A

9

Il problema può essere risolto sia con i metodi

grafici del parallelogramma e del poligono delle

forze sia con il metodo analitico. Di fatto si ese-

gue l’operazione inversa della composizione.

Metodo del parallelogramma

Sia–F la forza da scomporre, s e t le due direzioni

assegnate (�Fig. A1.11). Dall’estremo B della

forza–F si conducono le parallele alle rette s e t.

Tali parallele intersecano le rette s e t rispettiva-

mente nei punti C e A; le due componenti cercate

sono–F1, di intensità PC, ed

–F2 di intensità PA.

Si rappresenta il parallelogramma e si ricava il

valore dell’angolo γ (�Fig. A1.12b).

La somma degli angoli interni di un trian-

golo vale 180°, pertanto:

γ = 180° – (α + β) [1.4]

Per il teorema dei seni si ha:

[1.5]

eseguendo i calcoli separatamente si ricavano le

due forze componenti cercate:

[1.6]

[1.7]FF

2

sen

sen=

β

γ

F F F1 2

sen sen senα β γ= =

FF

1

sen

sen=

α

γ

� Fig. A1.11

Scomposizione di una forza in due componenti convergenti,

di cui sono note le direzioni, con il metodo del parallelogramma:

a) costruzione delle direzioni; b) determinazione delle intensità.

� Fig. A1.13

Determinazione di angoli e lati di un triangolo qualsiasi.

� Fig. A1.12

Scomposizione di una forza in due componenti convergenti, di cui

sono note le direzioni, con il metodo analitico: a) costruzione delle

direzioni; b) determinazione delle intensità.

Metodo analitico

Questo metodo prevede l’utilizzo del teorema

dei seni e si applica quando sono note le rette

d’azione delle due componenti e gli angoli che

esse formano con la retta d’azione della forza da

scomporre (�Fig. A1.13).

Il teorema dei seni afferma che in un triangolo qualsiasi ciascun lato è proporzionale al seno

dell’angolo opposto (�Fig. A1.13):

a b c

sen sen senα β γ= =

R

A1.3 – SCOMPOSIZIONE DI UNA FORZA DATA IN DUE COMPONENTI CONVERGENTIDI DIREZIONI NOTE

POLIGLOTTA


Risultante Resultant Résultante Resultante

Componente Component Composante Komponente

Poligono delle forze Polygon of forces Polygone des forces Kräftezug

(a) (b)

(a) (b)

Composizione di due forze paralleleaventi lo stesso verso (concordi)

Si consideri il dispositivo rappresentato nella fi-gura A1.14a, costituito da un’asta rigida lunga

600 mm ai cui estremi sono applicate le due

forze–F1 = 10 N e

–F2 = 30 N, parallele e concordi.

Si fa scorrere il peso sull’asta fino a trovare la

forza equilibrante–E = 40 N, parallela alle due

forze–F1 ed

–F2 e applicata in un punto P tale che

PA = 450 mm e PB = 150 mm (�Fig. A1.14b).

Equilibrante: forza uguale e opposta alla risultante.R

10


� Fig. A1.15

Composizione di due forze parallele e di diversa intensità:

a) concordi; b) discordi. Le lunghezze sono espresse in millimetri.

� Fig. A1.14

a) Dispositivo costituito da un’asta rigida, da un peso scorrevole lungo essa e da due forze parallele e concordi applicate agli estremi dell’asta.

b) Rappresentazione schematica del dispositivo per la determinazione della risultante di ̄F1 e ̄F2.

A1.4 – COMPOSIZIONE DI DUE FORZE PARALLELE

EsempioAlle estremità A e B di un’asta lunga 700 mm

sono applicate due forze F1 = 80 N e F2 = 60 N, pa-

rallele e concordi (�Fig. A1.15a). Trascurando il

peso dell’asta, determinare l’intensità della risul-

tante e la posizione del suo punto di applicazione.

La risultante di due forze parallele e con-

cordi è una forza a esse parallela, avente

stesso verso e intensità pari alla somma delle

loro intensità. La sua retta d’azione è interna

a quelle delle due componenti e divide il seg-

mento congiungente i loro punti di applica-

zione in due parti inversamente proporzionali

alle loro intensità.

Poiché il rapporto tra–F1 e

–F2 vale 1/3 come il

rapporto tra PB e PA, si può scrivere la seguente

proporzione:

F1 : F2 = PB : PA [1.8]

La risultante delle due forze parallele è

data dalla forza–R che risulta essere uguale e

opposta a–E (�Fig. A1.14b).

(a) (b)

(a) (b)

Statica MODULO A

11

SoluzioneL’intensità della risultante è:

R = 80 + 60 = 140

chiamando P il suo punto di applicazione, dovrà

essere soddisfatta la [1.8]:

PA : PB = F2 : F1

ponendo PA = x, si ha PB = 700 − x e, sostituendo

i valori, si ottiene:

x : (700 − x) = 60 : 80

da cui si ricava:

x = 300 mm

Quindi la risultante sarà applicata a 300 mm

dall’estremo A.

Composizione di due forze paralleleaventi verso opposto (discordi) ediversa intensità

Si consideri l’esperienza del dispositivo prece-

dente, calcolando questa volta come componenti

le due forze parallele–F1 = 10 N e

–F2 = 40 N

(�Fig. A1.16a). La forza–E fa da equilibrante:

–E = (40 – 10) N = 30 N

mentre la forza uguale e contraria a essa è la ri-

sultante cercata (�Fig. A1.16b). Poiché il rap-

porto tra BP = 150 mm e BA = 600 mm vale 1/4

come il rapporto tra–F1 e

–F2, si ha:

F1 : F2 = PB : BA [1.9]

EsempioAgli estremi A e B di un’asta rigida, lunga 400

mm, sono applicate due forze parallele discordi,

F1 = 5 N e F2 = 25 N (�Fig. A1.15b).

Trascurando il peso dell’asta, trovare la posi-

zione del punto di applicazione della risultante.

SoluzioneSi calcola l’intensità della risultante:

R = (25 – 5) = 20 N

Il punto P si trova sul prolungamento di AB,

dalla parte della forza di maggiore intensità.

Posto:

PB = x

si ha:

PA = x + 400

Applicando la [1.9] si ha la proporzione:

PA : PB = F2 : F1

sostituendo i valori si ottiene:

(x + 400) : x = 25 : 5

da cui si ricava:

x = 100 mm

quindi il punto di applicazione della risultante

dista 100 mm dall’estremo B.

� Fig. A1.16

a) Dispositivo costituito da un’asta rigida a cui sono applicate due

forze parallele e discordi F–1 e F

–2; b) rappresentazione schematica

del dispositivo per la determinazione della risultante di F–1 e F

–2.

La risultante di due forze parallele discor -

di e di diversa intensità è una forza a esse

parallela avente il verso della maggiore e

l’intensità pari alla differenza delle loro inten-

sità. La sua retta d’azione è esterna a quelle

delle due componenti, sta dalla parte della

maggiore, e le sue distanze dalle componenti

sono inversamente proporzionali alle intensità

di queste ultime.

(a) (b)

Dato un sistema di forze complanari disposte in

modo qualsiasi, si può ottenere la loro risultante

ricorrendo al teorema delle proiezioni.

SoluzioneApplicando il teorema delle proiezioni, si rica-

vano i valori delle proiezioni delle tre forze sugli

assi x e y.

I valori delle proiezioni sull’asse x sono:

i valori delle proiezioni sull’asse y sono:

Si ricavano quindi le componenti della

risultante–R del sistema:

–Rx, lungo l’asse x e

–Ry

lungo l’asse y.

Tenendo conto del verso delle forze, si ha:

— lungo l’asse x:

— lungo l’asse y:

Sostituendo i valori si ottiene:

L’intensità della risultante si ottiene applicando

il teorema di Pitagora:

R R Rx y= + = + =2 2 2 2150 173,1 229 N

R

R

x

y

= + − =

= − + + =

75 125 50 150 N

130 216,5 86,6 173,1 N

R F F Fy y y y= − + +1 2 3

R F F Fx x x x= + −1 2 3

F F

F F

F F

y

y

y

1 1

2 2

3 3

cos 30° 130 N

cos 30° 216,5 N

c

= =

= =

= oos 30° 86,6 N=

F F

F

F F

x

x

x

1 1

2 2

3 3

cos 60° 75 N

cos 60° 125 N

cos 6

= =

= =

=

F

00° 50 N=

12


� Fig. A1.17

Risultante di tre forze con il metodo delle proiezioni.

Se si scompongono le singole forze di un sistema

nelle rispettive componenti secondo gli assi car-

tesiani x, y, la somma algebrica delle compo-

nenti delle forze lungo ciascun asse è uguale

alla componente della risultante del sistema se-

condo lo stesso asse.

A1.5 – TEOREMA DELLE PROIEZIONI

Quindi le componenti della risultante lungo gli

assi cartesiani saranno:

[1.10]

Mediante il teorema di Pitagora si calcola

l’intensità della risultante:

[1.11]

EsempioDate le tre forze F1 = 150 N, F2 = 250 N e F3= 100 N

indicate come nella figura A1.17, determinare la

loro risultante.

R R Rx y= +2 2

R F F F F

R F F F F

x x x x nx

y y y y n

= + + + +

= + + + +

1 2 3

1 2 3

...

...yy

Statica MODULO A

13

Si consideri un blocco di cemento posto su un

piano su cui agisce una forza motrice orizzon-

tale–F (�Fig. A1.18a ). Se si considerano nulli gli

attriti, sotto l’azione della forza il blocco trasla

sul piano finché non trova un ostacolo che ne

impedisca lo spostamento; in tal caso il blocco

tenderà a ribaltarsi ruotando attorno al punto P

(�Fig. A1.18b ).

Nei due esempi precedenti viene evidenziato

l’effetto di rotazione prodotto dalla forza: una

rotazione intorno a un punto o a un asse. Viene

quindi definita una nuova grandezza fisica: il

momento di una forza.

A1.6 – IL MOMENTO DI UNA FORZA

� Fig. A1.18

a) Corpo che trasla per l’azione di una forza. b) Corpo che ruota

attorno a un punto per l’azione di una forza.

� Fig. A1.19

Asta incernierata a un estremo e con un peso applicato all’estremo

libero.

� Fig. A1.20

a) Rappresentazione, su un piano, di una forza F–

e del punto P,

detto polo, rispetto cui determinare il momento M–, raffigurato in

modo convenzionale. b) Rappresentazione grafica della regola

della mano destra.

Nella figura A1.19 è rappresentata una barra in-

cernierata nel punto O, che porta a un’estremità

il peso P; sotto l’azione del peso, la barra ruota

attorno all’asse passante per il punto O.

Il momento–

M di una forza–F rispetto a un punto

P, o momento polare, è il vettore dato dal pro-

dotto della forza per la distanza d fra il punto e

la retta d’azione della forza (�Fig. A1.20 ):

–M =

–F d [1.12]

Il punto P è detto polo e la sua distanza dalla

retta d’azione della forza (rappresentata dalla

normale condotta da P su tale retta) è detto

braccio. Il momento polare è una grandezza

vettoriale, i cui elementi caratteristici sono

(�Fig. A1.20a):

(a)

(b)

(a)

(b)

— il punto d’applicazione P;

— l’intensità, o modulo, che rappresenta la

misura del valore del momento;

— la direzione che è perpendicolare al piano

contenente la forza e il punto P;

— il verso che indica il senso della rotazione

ed è fissato, per convenzione, dalla regola

della mano destra (�Fig. A1.20b ). Il mo-

mento si considera positivo se la rotazione è

in senso antiorario, negativo nel caso contra-

rio; nella rotazione in senso antiorario il vet-

tore momento è rivolto verso l’alto (uscente

dal piano), mentre nella rotazione in senso

orario è rivolto verso il basso (entrante nel

piano).

Regola della mano destra: si consideri lafigura A1.20b e si afferri idealmente, con la

mano destra, l’asse perpendicolare al pianocontenente la forza F

–e il punto P, in modo che le

dita gli si avvolgano intorno nel senso in cui avviene la rotazione; allora il pollice eretto indica il verso del vettore momento.

R

Per facilitare la rappresentazione grafica del

momento, è consuetudine indicarlo con un arco

di cerchio e una freccia che ne indica il senso di

rotazione (�Fig. A1.21 ).

14


� Fig. A1.21

Altro modo di rappresentare graficamente il momento polare.

� Fig. A1.22

Rappresentazione grafica del teorema di Varignon.

in un sistema di forze complanari il momento

della risultante, rispetto a un punto P qual-

siasi del piano, è uguale alla somma algebrica

dei momenti delle singole forze rispetto al punto

stesso.

OSSERVAZIONE: con riferimento alla figura A1.21,

nel caso che il punto P rappresenti la traccia di

un asse perpendicolare al piano del disegno, il

momento prende il nome di momento assiale.

A1.7 – TEOREMA DI VARIGNON

Dato un sistema di forze complanari e scelto un

punto nel piano, vale il teorema di Varignon,

per il quale:

seguente relazione:

[1.13]

in cui la somma ha significato algebrico.

Rd F d F d F d F d= + + +1 1 2 2 3 3 4 4

Regola mnemonica: il momento della risultante è uguale alla risultante dei momenti.

In riferimento alla figura A1.22, il teorema di

Varignon si esprime, in forma analitica, con la

R

POLIGLOTTA


Momento assiale Axial moment Moment axial Achsiales Moment

Statica MODULO A

15

L’applicazione del teorema di Varignon è parti-

colarmente utile nella soluzione dei problemi di

composizione e scomposizione di forze parallele,

in quanto consente di determinare analitica-

mente, anziché graficamente, la posizione della

risultante del sistema.

EsempioSi assegnino alle forze del sistema rappresen-

tato nella figura A1.23 i seguenti valori:

F1 = 30 daN; F2 = 50 daN; F3 = 40 daN.

Essa rappresenta un caso particolarmente im -

portante di forze parallele (�Fig. A1.24).

Poiché una coppia è un sistema avente risul-

tante nulla, l’effetto prodotto sul corpo a cui è

applicato è di pura rotazione. Tale effetto di-

pende dall’intensità delle forze componenti e

dalla distanza d, detta braccio della coppia,

delle loro rette d’azione; per cui il momento di

una coppia può essere espresso come segue:

[1.14]M F d=

� Fig. A1.23

Determinazione della posizione della risultante di un sistema

di forze parallele mediante l’applicazione del teorema di Varignon.

Le distanze delle loro rette d’azione dal punto P

sono, rispettivamente, d1 = 1 m, d2 = 0,8 m,

d3 = 0,4 m. Determinare la posizione della risul-

tante del sistema di forze rispetto al polo P.

SoluzioneIndicando con d la distanza della retta d’azione

della risultante delle forze dal punto P, per il

teorema di Varignon si ha:

in cui:

Sostituendo i valori numerici si ottiene:

Per cui si ha:

quindi:

d =0 72, mm

30 1 50 0 8 40 0 4 120× + × + × =, , d

R = + + =30 50 40 120 daN

R F F F= + +1 2 3

F d F d F d Rd1 1 2 2 3 3+ + =

A1.8 – COPPIA DI FORZE

Una coppia di forze è un sistema costituito da

due forze parallele aventi uguale intensità e

versi opposti.

� Fig. A1.24

Rappresentazione convenzionale di una coppia di forze.

Le forze hanno uguale intensità e sono parallele e opposte;

d è la distanza fra le rette d’azione.

Il vettore momento di una coppia è un vettore

avente (�Fig. A1.24):

— l’intensità data dal prodotto F d;

— la direzione perpendicolare al piano della

coppia;

— il verso rivolto in alto se la rotazione è in

senso antiorario (coppia positiva); in basso

se la rotazione è oraria (coppia negativa).

Gli esempi di applicazione di una coppia di

forze ai corpi rigidi sono numerosi: la mano alle

estremità di un cavaturaccioli; l’azione ster-

zante con il volante di un’automobile; la rota-

zione dell’albero di un motore per l’azione della

coppia motrice.

EsempioDate due forze parallele e discordi (�Fig. A1.25),

aventi un’intensità pari a 20 daN e poste alla di-

stanza di 3 m, determinare il modulo, la dire-

zione e il verso del vettore momento che rappre-

senta la coppia.

SoluzioneLe due forze parallele danno origine a un mo-

mento con intensità pari a:

Il vettore momento è perpendicolare al piano in

cui è posta la coppia ed è rivolto verso l’alto, in

quanto la rotazione avviene in senso antiorario.

M F d == ×20 3 = 60 daN m

16


� Fig. A1.25

Vettore momento di una coppia di forze.

A1.9 – TRASPORTO DI UNA FORZA PARALLELAMENTE A SE STESSA

Una forza può essere spostata parallelamente a

se stessa senza modificarne gli effetti, purché sia

aggiunta una coppia di momento appropriato.

Si consideri la figura A1.26a in cui è rappre-

sentato un corpo sottoposto all’azione di una

forza applicata nel punto A.

Se la forza viene spostata in modo da por-

tare il suo punto di applicazione in un altro

punto B del corpo (�Fig. A1.26b), allora nasce

una coppia, detta coppia di trasporto, il cui

momento è dato dal prodotto della forza per la

distanza d di trasporto (�Fig. A1.26c). Visto che

la traslazione non deve alterare gli effetti sul

corpo, la coppia di trasporto assume la funzione

di coppia riequilibrante che ristabilisce le condi-

zioni precedenti.

L’operazione di trasporto della forza è possi-

bile perché l’effetto della forza–F, applicata in A,

non cambia se al corpo vengono applicate, in un

punto qualsiasi B, altre due forze uguali e oppo-

ste (sistema di forze in equilibrio) aventi la

stessa intensità (�Fig. A1.26b).

Si ottiene cosi un sistema formato da tre

forze, equivalente al sistema iniziale, formato

da una sola forza, di cui due (quella iniziale ap-

plicata in A e quella di verso opposto applicata

in B) danno origine alla coppia di trasporto di

momento:

[1.15]

L’altra forza applicata in B, di verso uguale alla

forza iniziale in A, rappresenta la forza che si

voleva trasportare.

M F d=

POLIGLOTTA


Coppia di forze Couple of forces Couple de force KKräftepaar

Momento di una coppia Moment of couple Moment d’un couple Drehmoment

Statica MODULO A

17

� Fig. A1.26

a) Corpo sollecitato da una forza F–

applicata nel punto A. b) Stesso corpo sollecitato da tre forze di uguale intensità, una applicata nel punto

A e due opposte applicate nel punto B. c) Stesso corpo sollecitato da una forza F–

e da una coppia di trasporto applicati in B.

La figura A1.26c rappresenta la forza–F spostata

nel punto B e il momento di trasporto–

M.

Questo procedimento permette di semplifi-

care in diversi casi lo studio di corpi soggetti

contemporaneamente a forze e momenti.

EsempioData la trave rappresentata nella figura A1.27a,

ridurre il sistema forza-coppia a un’unica forza,

sapendo che F = 10 daN, M = 60 N m e l = 3 m.

applica in senso inverso il procedimento di tra-

sporto esposto in precedenza. Si sposterà,

quindi, la forza–F ad una distanza d, in modo da

generare un momento di intensità uguale, ma di

verso opposto al momento–

M.

Dalla [1.15] si ricava che la forza–F deve es-

sere spostata parallelamente a se stessa di una

distanza (�Fig. A1.27b):

Con questa configurazione la forza crea un mo-

mento uguale e opposto al momento–

M dato e la

trave, caricata dalla sola forza–F, è soggetta a un

momento all’incastro che vale:

MAF = – F (l – d) = – 100 × 2,4 = – 240 Nm

Mentre nelle condizioni iniziali la trave era sog-

getta a un momento complessivo:

MAT = M – F l = 60 – 100 × 3 = – 240 N m

Come si può constatare i due momenti risultano

uguali. Quindi la sola forza–F, spostata paralle-

lamente a sé stessa nel modo indicato, produce

gli stessi effetti del sistema forza-coppia.

OSSERVAZIONE: tutti i metodi fin qui visti di com-

posizione di forze e momenti nel piano possono

essere facilmente estesi ai casi spaziali. Ciò si

può fare o componendo i carichi a due a due o,

nel caso di forze sghembe, trasportandole in un

unico piano con l’introduzione dei relativi mo-

menti di trasporto.

dM

F= = =

60

1000 6, m

� Fig. A1.27

a) Trave a mensola caricata con una forza F–

e una coppia M–

.

b) La stessa trave caricata con la forza F–

spostata parallelamente

a se stessa.

(a) (b)

(a)

(b)

(c)

SoluzionePer ridurre il sistema dato a un’unica forza, si

fondamenti di meccanica e macchine_preview

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