forças distribuídas: momentos de inérciade inércia - forcas distribuidas... · de 2ª ordem (ou...
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Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de TecnologiaCentro de Tecnologia
Curso de Engenharia CivilCurso de Engenharia Civil
Disciplina: Disciplina: Mecânica dos Sólidos 1 Mecânica dos Sólidos 1 CódigoCódigo ECIV018ECIV018Código: Código: ECIV018ECIV018Professor: Professor: Eduardo Nobre LagesEduardo Nobre Lages
Forças Distribuídas: Momentos Forças Distribuídas: Momentos de Inérciade Inérciade Inérciade Inércia
Maceió/ALMaceió/AL
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MotivaçãoMotivaçãoM
MotivaçãoMotivação
Flexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigas
dA
y M
dA y kdF =y
xy
∫= dFR ∫=A
kydA ∫=A
ydAk
xkQ= Ayk= 0= 0y =
∫= ydFM ∫=A
2dAky ∫=A
2dAy k
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MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação
Flexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigas
1 2
ConsumindoConsumindo--se um se um mesmomesmo volume de material, é volume de material, é possívelpossível modificarmodificar a a rigidezrigidez à à flexãoflexão da da estruturaestrutura..
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MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação
Pressão sobre comportasPressão sobre comportasx
Pressão sobre comportasPressão sobre comportas
∫= dFR ∫ γ= ydA ∫γ= ydA
dAdF γ
A A
xQγ= Ay γ=
dAydF γ=
y
dA
∫= ydFM ∫ γ=A
2dAy ∫γ=A
2dAy A A
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Momento de Inércia ou Momento de Inércia ou Momento de 2ª OrdemMomento de 2ª Ordem
y
Momento de 2 OrdemMomento de 2 Ordemy
y dAMomento de inércia ou de 2a
ordem em relação ao eixo xy
∫=A
2x dAyI
xx
A
Momento de inércia ou de 2ax
∫= 2y dAxI
ordem em relação ao eixo y
∫A
y
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Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
∫= dAyI 2 ∫= dAxI 2∫= dAyIx ∫= dAxIy
Em princípio, para quantificação dos momentos p p , p q çde 2ª ordem (ou momentos de inércia), esses são calculados a partir de integrais duplas no d míni p s nt ti d iã st d d domínio representativo da região estudada, onde se deve escrever o elemento infinitesimal de área dA de acordo com a r r mconveniência das coordenadas
de descrição da região dtratada.
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Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( ){ }dyc e bxa|yx, D ≤≤≤≤=
d∫= dAyI 2
xy dA=dxdy ∫ ∫=
d
c
b
a
2dxdyyd
dxdy
c
[ ]∫=d
ba
2 dyxy ( )∫ −=d
2dyyab
b
c
ax
c c
( )d3yab ⎥⎤
⎢⎡
−=ba ( )c3 ⎥⎦
⎢⎣
( )( )cdab 33 −−( )( )3
cdab =
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Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( ){ }dyc e bxa|yx, D ≤≤≤≤=
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
d∫= dAxI 2
yy dA=dxdy ∫ ∫=
d
c
b
a
2dxdyxd
dxdy
c
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
d b3
dy3x
∫−
=d 33
dy3
ab
b
c
ax
⎦⎣c a3 c 3d33
yab⎥⎤
⎢⎡ −
=ba
c
y3 ⎥
⎦⎢⎣
( )( )cdab 33( )( )3
cdab −−=
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Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= x
aby0 e ax0|yx, D
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
b ∫ dAyI 2
y
∫ ∫a x
ab
2dydxy
⎭⎩ a
dA=dxdyb ∫= dAyIx ∫ ∫=
0 0
dydxy
⎤⎡a xb3 a 3d
ax ∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
a
0
xa
0
3
dx3y
∫=a
0
33
3
dxxa3bdx
dy
aa4
3
3
4x
3ab
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
12ab
3
=043a ⎦⎣ 12
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Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= x
aby0 e ax0|yx, D
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
b ∫ dAxI 2
y
∫ ∫a x
ab
2dydxx
⎭⎩ a
dA=dxdyb ∫= dAxIy ∫ ∫=
0 0
dydxx
[ ]a b a bd
ax
[ ]∫=0
xa0
2 dxyx ∫=0
3dxxab
dxdy
aa4
4x
ab
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4ba
3
=04a ⎦⎣ 4
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Momentos de Inércia de Momentos de Inércia de Figuras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas Comuns
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Momentos de Inércia de Momentos de Inércia de Figuras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas Comuns
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Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
∫= dAyI 2 ∫= eldI
Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
∫= dAyIx
∫= dAxI 2y
∫ xdI
∫= elydI
A idéia desta sistemática é considerar que a região de interesse é formada pela composição de infinitas fatias infinitesimais cujas formas correspondem a regiões cujo momento de inércia já é conhecido inércia já é conhecido.
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Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
y
Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
y
∫= dAyI 2x ∫= el
xdI(x,y(x))
∫=b
a
3
dx3
y(x)
a bdx ∫= dAxI 2y ∫= el
ydIx
∫y
∫=b
2y(x)dxx
∫ y
dx3
)x(ydI3
elx =
dx)x(yxdI 2el = adx)x(yxdIy =
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Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo::ppDetermine por integração os momentos de inércia da superfície
3ahk =
de inércia da superfície mostrada em relação aos eixos coordenados em termos de a e h.
a a
h3kx)x(y =
h
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Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):I ∫ ∫
a h2d d
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãopp ( ç )( ç )
Por integração dupla=xI
⎤⎡a h3
∫ ∫0 x
ah
2
33
dydxy
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
a
0 xah
3
dx3y
33
⎞⎛a 33
a
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
a
0
99
33
dxx3ah
3h
a⎤⎡
hdxdxdydy
a
0
10
9
33
10x
3ahx
3h
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
3
33 x
ah)x(y =
10ah3
3
=( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx
ah e ax0|yx, D 3
3
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Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
∫ ∫a h
2dydxxExemploExemplo (continuação):(continuação): =I
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
∫ ∫0 x
ah 33
dydxxpp ( ç )( ç )Por integração dupla (cont.)
=yI
[ ]∫=a
0
hx
ah2 dxyx 33a
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
a
0
53
2 dxxahhx
hdxdxdydy
a
0
6
3
3
6x
ah
3hx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
33 x
ah)x(y =
6ha
3
=( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx
ah e ax0|yx, D 3
3
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Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãopp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= xx dII
⎤⎡a 33
a ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
a
0
33
dx3
)x(y3h
⎤⎡a 933 hh
h∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
a
09
933
dxa3xh
3h
a⎤⎡
33 x
ah)x(y =
a
09
1033
a30xh
3xh
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
3
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx
ah e ax0|yx, D 3
3 10ah3
3
=
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Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãopp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= yy dIIa
a [ ]∫ −=a
0
2 dx)x(yhx
⎞⎛a h
h∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
0
33
2 dxxahhx
a63 hh ⎤⎡3
3 xah)x(y =
03
63
a6hx
3hx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
h3
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx
ah e ax0|yx, D 3
3 6ha
3
=
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Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):∫
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãopp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= xx dII
∫=h
2 dy)y(xya
∫=0
dy)y(xy
∫h 3
7
dy
hh3
1
hya)y(x ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
∫=0 3
1 dyh
ya
h3
10y3 ⎤⎡
33 x
ah)x(y =
⎠⎝
03
1
3
h
y103a
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
3( )
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≤≤≤≤=
31
hyax0 e hy0|yx, D
3ah103 =
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Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):∫
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãopp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= yy dII
∫=h 3
dy)y(x
a∫=0
dy3
∫h 3
dyya
hh3
1
hya)y(x ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
∫=0
dyh3y
h23ya⎥⎤
⎢⎡
33 x
ah)x(y =
⎠⎝
0h6y⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
ha3
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≤≤≤≤=
31
hyax0 e hy0|yx, D 6
ha =
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Momento Polar de InérciaMomento Polar de Inércia
y
Momento Polar de InérciaMomento Polar de Inércia
∫= 20 dArJ
y
y dA Ay dA
r
xx0
Presente no estudo de Presente no estudo de barras sob torçãobarras sob torção
x
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Momento Polar de Inércia Momento Polar de Inércia e os Momentos de Inérciae os Momentos de Inércia
y
e os Momentos de Inérciae os Momentos de Inérciay
y dA
222 xyr +=
y dA
r ( )∫ += 220 dAxyJ
xx0
( )∫A
0 y
∫∫ += 220 dAxdAyJx ∫∫ +
AA0 dAxdAyJ
0 IIJ += yx0 IIJ +
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Raios de GiraçãoRaios de Giraçãoy
Raios de GiraçãoRaios de Giração
∫ 2dAI
y dA
∫=A
2x dAyI
y dA
r∫=A
2y dAxI
xx0 ∫=A
20 dArJ
x
Cada Cada raio de giraçãoraio de giração representa a distância ao representa a distância ao eixo ou ponto correspondente na qual se pode eixo ou ponto correspondente na qual se pode
A
eixo ou ponto correspondente na qual se pode eixo ou ponto correspondente na qual se pode concentrar toda a área da superfície estudada de concentrar toda a área da superfície estudada de modo que se tenha o mesmo momento de inércia.modo que se tenha o mesmo momento de inércia.
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Raios de Giração Raios de Giração kkxxRaios de Giração Raios de Giração kkxxy
∫ 2
y dA∫=A
2x dAyI
x0
r
Axx0 Ay
=xI Ak2x
xkx
x0 AIk x
x =
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Raios de Giração Raios de Giração kkyyRaios de Giração Raios de Giração kkyyy
∫ 2
y dA∫=A
2y dAxI
x0
r
Axx0 Ay
=yI Ak2y
yk
x0 AI
k yy =
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Raios de Giração kRaios de Giração k00Raios de Giração kRaios de Giração k00y
∫ 2
y dA∫=A
20 dArJ
x0
r
Axx0
y=0J Ak2
0
0kx0
AJk 0
0 =
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Teorema dos Eixos ParalelosTeorema dos Eixos ParalelosTeorema dos Eixos ParalelosTeorema dos Eixos Paralelos
∫ 2dAIdA
∫ 2dAYCCC C
y ∫A
2dAy=CCI
=I
CEdyY +=
∫A
dAYCCY
dCE
=EEI
( )∫ += 2CEEE dAdyI
E E
( )∫ ++= 2CECE
2 dAdyd2y∫A
( )∫A
∫∫∫ ++=A
2CE
ACE
A
2 dAdydAd2dAy
AdII 2CECCEE +=
AAA
AdQd2I 2CECCCECC ++=
0
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Momentos de Inércia de Momentos de Inércia de Superfícies CompostasSuperfícies CompostasSuperfícies CompostasSuperfícies Compostas
Quando se estiver interessado nos momentos de i é i d iõ ã id tifi d inércia de regiões que são identificadas como
composições de regiões elementares, aplicam-se essas composições nas avaliações das integrais p g
referentes às propriedades desejadas.
∫+
=21 AA
2x dAyI
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Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de Inércia
ExemploExemplo::ppDetermine os momentos de inércia da superfície mostrada em relação aos eixos centroidais paralelo e perpendicular ao lado ABao lado AB.
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Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaExemploExemplo (continuação):(continuação):
Determinação do centróide
d C Eixo de Eixo de simetriasimetria
( ) 90455279075135135904575135d ⋅⎟⎞
⎜⎛ +⎟
⎞⎜⎛ ⋅
= -( )
25,27
375135
2275135d ⋅⎟
⎠⎜⎝
+−⋅⋅=⎟⎠
⎜⎝
−⋅
mm 70d =
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Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaExemploExemplo (continuação):(continuação):
Determinação dos momentos de inércia
70 mmy
xC
= - -= -
1 2 3
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Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaExemploExemplo (continuação):(continuação):
Determinação dos momentos de inércia Ix
=xI 75135 3⋅ 5,2290 3⋅−
125,2290 3⋅
−
4x mm 4575234,4I =
x 12 12 12
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Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaExemploExemplo (continuação):(continuação):
Determinação dos momentos de inércia Iy
⎤⎡ ⎞⎛ 13513575 23
=yI ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
⋅ 135752
135701213575 3
⎪⎬⎫⎪
⎨⎧
⎥⎤
⎢⎡ ⋅
⎥⎤
⎢⎡
⎟⎞
⎜⎛ +−+
⋅−
905,225,279070905,22223
4y mm 14212968,8I =
⎪⎭⎬
⎪⎩⎨ ⎥⎦⎢⎣⎥
⎦⎢⎣
⎟⎠
⎜⎝
++2
5,273
7036
2
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Produto de InérciaProduto de Inérciay
Produto de InérciaProduto de Inércia
y dA ∫=A
xy xydAI
MFlexão retaFlexão reta
xxM
Flexão oblíquaFlexão oblíqua
Quando pelo menos um dos eixos cartesianos é de simetria, o produto de inércia é nulo.
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Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por IntegraçãoInércia por IntegraçãoInércia por IntegraçãoInércia por Integração
∫= xydAI ∫= xydAIxy
Em princípio, para quantificação do produto de p p , p q ç pinércia, esse é calculado a partir de integral dupla no domínio representativo da região st d d nd s d s l m nt estudada, onde se deve escrever o elemento
infinitesimal de área dA de acordo com a conveniência das coordenadas
de descrição da região tratada.
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Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( ){ }dyc e bxa|yx, D ≤≤≤≤=
d∫= xydAIxy
y dA=dxdy ∫ ∫=d
c
b
a
xydxdyd
dxdy
c a
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
d b2
dyy2x
∫−
=d 22
ydy2
ab
b
c
ax
∫⎦⎣c a2 ∫
c 2
( ) d222 yab⎥⎤
⎢⎡ −
=
Neste caso, igual ao produto da área do
ba
c4 ⎥⎦
⎢⎣
=
( )( )cdab 2222produto da área do retângulo pelas coordenadas do
centróide do mesmo.
( )( )4
cdab −−=
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Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= x
aby0 e ax0|yx, D
Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla
b ∫= xydAIxy
y
∫ ∫=a x
ab
xydydx
⎭⎩ a
dA=dxdyb ∫y ∫ ∫
0 0
∫⎤⎡a x
ab
2xy∫a
32bd
ax
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
0 0
dx2
xy∫=0
32 dxx
a2b
a2 ⎤⎡ 22
dxdy
a a
0
42
2
x8ab
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
8ba
22
=
Em geral, não é igual ao produto da área pelas coordenadas do centróide da mesma.
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Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
∫ xydAI ∫ eldI
Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
∫= xydAIxy ∫= xydI
A idéia desta sistemática é considerar que a região de interesse é formada pela composição de infinitas fatias infinitesimais cujas formas correspondem a regiões cujo produto de inércia já é conhecido inércia já é conhecido.
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Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
y
Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias
y
∫= xydAIxy ∫= elxydI
(x,y(x))
∫=b
a
2
dx2
y(x)x
a bdxx
dx2
)x(yxdI2
elxy =
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Determinação do Produto Determinação do Produto de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo::ppDetermine por integração o produto de inércia da superfície
3ahk =
inércia da superfície mostrada em relação aos eixos coordenados em termos de a e h.
a a
h3kx)x(y =
h
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Determinação do Produto Determinação do Produto de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):I ∫ ∫
a h
d d
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãopp ( ç )( ç )
Por integração dupla=xyI
⎤⎡a h2
∫ ∫0 x
ah 33
xydydx
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
a
0 xah
2
dx2yx
33
⎞⎛a 722
a
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
a
06
722
dx2a
xh2xh
a⎤⎡
hdxdxdydy
a
06
8222
16axh
4xh
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
22
33 x
ah)x(y =
16ha3
22
=( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx
ah e ax0|yx, D 3
3
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Determinação do Produto Determinação do Produto de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãopp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= xyxy dIIa
a [ ]∫ −=a
0
22 dx2x)x(yh
⎤⎡a 722 hh
h∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
a
06
722
dxa2xh
2xh
a8222 ⎤⎡3
3 xah)x(y =
a
06
8222
a16xh
4xh
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
22
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx
ah e ax0|yx, D 3
3 16ha3
22
=
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Determinação do Produto Determinação do Produto de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração
ExemploExemplo (continuação):(continuação):∫
de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãopp ( ç )( ç )
Por integração de fatias ∫= xyxy dII
∫=h 2
dyy)y(x
a∫=0
dy2
∫h 3
52
dya
hh3
1
hya)y(x ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
∫=0 3
2 dyh2
y
h3
82ya3 ⎤⎡3
3 xah)x(y =
⎠⎝
03
2
3
h16
ya3⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
22
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≤≤≤≤=
31
hyax0 e hy0|yx, D 16
ha3 22
=
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Teorema dos Eixos Paralelos Teorema dos Eixos Paralelos para o Produto de Inérciapara o Produto de Inércia
∫ ′′ dAyx=′′yxI
para o Produto de Inérciapara o Produto de Inérciay'y
dA
∫ xydAx'
y'
∫A
yyx
=xyIxx'
xxx′+′=
∫A
xy
CCy
x
( )( )∫ +′+′=xy dAyyxxI
yyy +′=x
( )∫ +′+′+′′= dAyxyxyxyx( )( )∫A
xy yy ( )∫A
yyyy
∫∫∫∫ +′+′+′′=AAAA
dAyxdAyxdAxydAyx
AyxII yxxy += ′′
AAAA
AyxQxQyI xyyx +++= ′′′′
0 0
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Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
y
dAy
dA
∫
∫A
2dAy=xI
∫
∫ ′A
2dAy=′xI
∫ xydA ∫ ′′ dAyx=′′I=I
∫A
2dAx=yI ∫ ′A
2dAx=′yI
θ+θ−=′θ+θ=′ cosysinxy e sinycosxx
∫A
xydA ∫A
dAyx′′yxIxyIxx
θ
θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy2
y2
xx
θ+θ+θ=′ 2sinIcosIsinII xy2
y2
xy yyy
θ+θ−
=′′ 2cosI2sin2
III xy
yxyx
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Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy2
y2
xx
θ+θ+θ=′ 2sinIcosIsinII xy2
y2
xy yyy
θ+θ−
=′′ 2cosI2sin2
III xy
yxyx0
A soma dos momentos de inércia independe do ângulo de giro do sistema de referência, ou seja,
IIII +=+ J=yxyx IIII +=+ ′′
Isso é fato pois a soma dos momentos de inércia leva ao momento polar de inércia, que depende apenas do ponto referenteà origem do sistema de referência que não foi modificado
0J=
à origem do sistema de referência, que não foi modificado.Vamos fazer uso dessa identidade para estabelecer Iy’sem fazer uso da expressão que depende do ângulo θ.
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Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy2
y2
xx
IIθ+θ
−=′′ 2cosI2sin
2II
I xyyx
yx
As equações de Ix’ e Ix’y’ definem parametricamente uma circunferência para parametricamente uma circunferência para um sistema de coordenadas retangulares com Ix’ de abscissa e Ix’y’ de ordenada, para um
l d d d valor dado de θ.
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Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
I ( )yxI ′′
xyIθ2
( )yxx I,I ′′′
θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy2
y2
xx xI ′I
yIR
θ2
Iθ+θ
−=′′ 2cosI2sin
2II
I xyyx
yx
xI
xyI−
medI
JII + 2II ⎞⎛ −2J
2II
I 0yxmed =
+= 2
xyyx I
2II
R +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=e
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Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
yxI ′′ ( )yxx I,I ′′′
I
xyI
Rθ2
2J
2II
I 0yxmed =
+=
xI ′
xI
yI
medI
22
2xy
2yx I
2II
R +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
AB
xyI−xy2 ⎟
⎠⎜⎝
Os pontos A e B são os que apresentam, respectivamente, o maior e o menor valor do momento de inércia, também denominados momentos principais
d i é i d d de inércia, dados por
RII RII medminmedmax −=+= e
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Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais
yxI ′′ ( )yxx I,I ′′′
I
xyI
Rθ2
2J
2II
I 0yxmed =
+=
xI ′
xI
yI
medI
22
2xy
2yx I
2II
R +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
AB
xyI−xy2 ⎟
⎠⎜⎝
Ainda em relação aos pontos A e B, o produto de inércia é nulo, o que permite determinar as orientações dos eixos principais de inércia
02cosI2sin2
II 0I mxym
yxyx =θ+θ
−∴=′′
yx
xym II
I22tan
−−=θ
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Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia Principais
ExemploExemplo::
Inércia PrincipaisInércia Principais
mmpp
Para a cantoneira em L mostrada, determine a
i ã d i
12,5
m
orientação dos eixos centroidais e principais de inércia, bem como os respectivos valores do momento de inércia.
125
mm
1
75 mm12,5 mm
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Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia Principais
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
Inércia PrincipaisInércia Principaispp ( ç )( ç )
12,5
mm
y mm75,18x =( ) 69,3417963,9765x25,7815,1562 +=+
mm 1 mm 75,43y =
( ) 81,488225,97656y25,7815,1562 +=+
125
m
12,5 mmx
2 4x mm 95,3692626I =
34,110880561,2583821Ix +=
4074259468264485I +75 mmx
4y mm 08,1007080I =
40,74259468,264485Iy +=
8873242194366210I4
yx mm 81,1098632I −=
88,73242194,366210I yx −−=
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Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia Principais
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
Inércia PrincipaisInércia Principaispp ( ç )( ç )
2,5
mm
y
4x mm 95,3692626I =
4081007080I
m12y 4
y mm08,1007080I =4
yx mm 81,1098632I −=y
4522349853I
125
mm
12 5
xC (18,75;43,75)mm
4med mm52,2349853I =
4mm 12,1734945R =4mm634084798I =
75 mm12,5 mmx
max mm63,4084798I =4
min mm 40,614908I =o6,19=θmax 6,19θ
omin 6,109=θ
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Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia Principais
ExemploExemplo (continuação):(continuação):
Inércia PrincipaisInércia Principaispp ( ç )( ç )
4x mm 95,3692626I =
4081007080I2,5
mm
y 4y mm08,1007080I =
4yx mm 81,1098632I −=
4634084798Im12y
y
4max mm63,4084798I =
4min mm 40,614908I =
o619θ
125
mm
12 5
xC (18,75;43,75)mm
19,6º
omax 6,19=θ
omin 6,109=θ75 mm
12,5 mmx