forma canonica de jordan

Tema 3. Diagonalización. Forma canónica de Jordan.

Forma canónica de Jordan

DefiniciónUna matriz J ∈Mn(K) es un bloque de Jordan si existe b ∈ K tal que

b 1 0 · · · 0 00 b 1 · · · 0 0...

......

0 0 0 · · · b 10 0 0 · · · 0 b

Ejemplos (b 10 b

) b 1 00 b 10 0 b

| Universidad de Granada | Octubre 2012 1 / 17

DefiniciónUna matriz J ∈Mn(K) es un bloque de Jordan si existe b ∈ K tal que

b 1 0 · · · 0 00 b 1 · · · 0 0...

......

0 0 0 · · · b 10 0 0 · · · 0 b

Ejemplos (b 10 b

) b 1 00 b 10 0 b

DefiniciónDiremos que J ∈Mn(K) es una matriz de Jordan si es diagonal por bloques, ycada bloque es un bloque elemental de Jordan. Es decir, si existen bloques deJordan J1, J2, . . . Jk , tales que

J1 0 · · · 00 J2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · Jk

Para pasar a la forma de Jordan de una matriz necesitaremos averiguar:

El número de bloques de la matriz de JordanEl orden de cada uno de los bloques.Base respecto de la cual la matriz es de Jordan.

J1 0 · · · 00 J2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · Jk

Para pasar a la forma de Jordan de una matriz necesitaremos averiguar:El número de bloques de la matriz de Jordan

El orden de cada uno de los bloques.Base respecto de la cual la matriz es de Jordan.

J1 0 · · · 00 J2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · Jk

Para pasar a la forma de Jordan de una matriz necesitaremos averiguar:El número de bloques de la matriz de JordanEl orden de cada uno de los bloques.

Base respecto de la cual la matriz es de Jordan.

J1 0 · · · 00 J2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · Jk

Para pasar a la forma de Jordan de una matriz necesitaremos averiguar:El número de bloques de la matriz de JordanEl orden de cada uno de los bloques.Base respecto de la cual la matriz es de Jordan.

Subespacios propios generalizados

Subespacios propios generalizadosSea V un espacio vectorial de dimensión n, T ∈ L(V ), A su matriz asociadarespecto a una base y λ un valor propio de T . Definimos los subespacios propiosgeneralizados asociados a λ por:

E i(λ) = Ker (T − λI)i i = 1, 2, . . .

Es sencillo comprobar que

E 1(λ) ⊂ E 2(λ) ⊂ · · · ⊂ E k(λ) ⊂ E k+1(λ) ⊂ · · ·

y que si dos eslabones coinciden, todos los siguientes también coinciden.Al primer eslabón E (λ)k para el que ocurre E (λ)k = E (λ)k+1 yE (λ)k−1 6= E (λ)k lo llamaremos subespacio máximo asociado a λ y lodenotaremos por M(λ).

E i(λ) = Ker (T − λI)i i = 1, 2, . . .

E 1(λ) ⊂ E 2(λ) ⊂ · · · ⊂ E k(λ) ⊂ E k+1(λ) ⊂ · · ·

y que si dos eslabones coinciden, todos los siguientes también coinciden.

Al primer eslabón E (λ)k para el que ocurre E (λ)k = E (λ)k+1 yE (λ)k−1 6= E (λ)k lo llamaremos subespacio máximo asociado a λ y lodenotaremos por M(λ).

E i(λ) = Ker (T − λI)i i = 1, 2, . . .

E 1(λ) ⊂ E 2(λ) ⊂ · · · ⊂ E k(λ) ⊂ E k+1(λ) ⊂ · · ·

y que si dos eslabones coinciden, todos los siguientes también coinciden.Al primer eslabón E (λ)k para el que ocurre E (λ)k = E (λ)k+1 yE (λ)k−1 6= E (λ)k lo llamaremos subespacio máximo asociado a λ y lodenotaremos por M(λ).

La base del subespacio máximo

ProposiciónSea λ un valor propio de T ∈ L(V ). Entonces existe una base B de M(λ) en laque la restricción de T a M(λ) tiene por matriz asociada una matriz de Jordan.

Para calcular esta base debemos conocer:La multiplicidad algebraica y geométrica de λ y las dimensiones de E (λ)i .

Propiedades de la base

Para cada i hay en la base dim(E (λ)i)− dim(E (λ)i−1) vectores que estánen E (λ)i de modo que ninguna combinación lineal suya está en E (λ)i−1.Si un vector v ∈ E (λ)i está en la base entonces

(T − λI)(v), (T − λI)2(v), . . . , (T − λI)i−1(v)

también están en la base.

Propiedades de la base

Para cada i hay en la base dim(E (λ)i)− dim(E (λ)i−1) vectores que estánen E (λ)i de modo que ninguna combinación lineal suya está en E (λ)i−1.Si un vector v ∈ E (λ)i está en la base entonces

(T − λI)(v), (T − λI)2(v), . . . , (T − λI)i−1(v)

Propiedades de la basePara cada i hay en la base dim(E (λ)i)− dim(E (λ)i−1) vectores que estánen E (λ)i de modo que ninguna combinación lineal suya está en E (λ)i−1.

Si un vector v ∈ E (λ)i está en la base entonces

(T − λI)(v), (T − λI)2(v), . . . , (T − λI)i−1(v)

Propiedades de la basePara cada i hay en la base dim(E (λ)i)− dim(E (λ)i−1) vectores que estánen E (λ)i de modo que ninguna combinación lineal suya está en E (λ)i−1.Si un vector v ∈ E (λ)i está en la base entonces

(T − λI)(v), (T − λI)2(v), . . . , (T − λI)i−1(v)

Antes de calcular la base

Forma de la matriz de JordanLa multiplicidad geométrica de λ indica el número de bloques de Jordanasociados a λ.

La multiplicidad algebraica de λ indica la suma de los órdenes de todos losbloques de Jordan asociados a λ.

EjemploCalcular los valores propios y los subespacios propios generalizados de la matriz

1 0 0 1 0−1 1 0 −1 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 1

Forma de la matriz de JordanLa multiplicidad geométrica de λ indica el número de bloques de Jordanasociados a λ.La multiplicidad algebraica de λ indica la suma de los órdenes de todos losbloques de Jordan asociados a λ.

1 0 0 1 0−1 1 0 −1 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 1

Método para calcular la base de M(λ)

Supongamos que M(λ) = E (λ)k .1 Elegimos dim(E (λ)k)− dim(E (λ)k−1) vectores independientes en E (λ)k

que no estén en E (λ)k−1. Para ello, partimos de una base cualquiera deE (λ)k−1, la ampliamos hasta una base de E (λ)k y nos quedamos con losvectores de la ampliación.

2 Aplicamos (T − λI), (T − λI)2, . . . , (T − λI)k−1 a cada uno de los vectoresanteriores y todos los vectores que obtengamos estarán en nuestra base B.

3 Elegimos dim(E (λ)k−1)− dim(E (λ)k−2) vectores independientes enE (λ)k−1 que no estén en E (λ)k−1 teniendo en cuenta que entre ellos debenestar las imágenes por (T − λI) de los vectores obtenidos en los pasosanteriores.

4 Se repite el proceso hasta agotar los subespacios propios generalizados.

Para obtener la matriz de Jordan asociada hay que realizar el proceso anteriorcon cada valor propio. La matriz de paso tendrá por columnas la unión de todaslas bases de los subespacios máximos asociados a los valores propios.

Ejemplo

Calcular la forma canónica de Jordan de la matriz

1 0 0 1 0−1 1 0 −1 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 1

TeoremaSea V un espacio vectorial de dimensión n sobre K, sea T ∈ L(V ) y λ1, . . . , λrlos valores propios de T con multiplicidades algebraicas M1, . . . ,Mr . Entoncesexiste una base en la que la matriz asociada a T es una matriz de Jordan si, ysólo si,

∑ri=1 Mi = n.

CorolarioSi V un espacio vectorial de dimensión finita sobre C entonces cualquierT ∈ L(V ) (y por tanto cualquier matriz cuadrada) tiene asociada una matriz deJordan.

ObservaciónLa forma de Jordan de una matriz es única salvo reordenación de los valorespropios y de los bloques de Jordan asociados a cada valor propio.

∑ri=1 Mi = n.

Tema 3. Diagonalización. Forma canónica de Jordan. | Aplicaciones

Aplicaciones

Sección 1

Potencias de matrices

ProposiciónSea A ∈Mn(K) y supongamos que sus autovalores son λ1, . . . , λn ∈ K (nonecesariamente distintos).

Si A = PDP−1 para matrices D diagonal y P invertible, entonces

Ak = PDkP−1 ∀k ∈ N .

Si A no es diagonalizable, J es su forma canónica de Jordan y A = PJP−1,siendo P una matriz invertible y

J1 0 · · · 00 J2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · Jr

donde, para cada i , Ji es un bloque elemental de Jordan.

ProposiciónSea A ∈Mn(K) y supongamos que sus autovalores son λ1, . . . , λn ∈ K (nonecesariamente distintos).

Si A = PDP−1 para matrices D diagonal y P invertible, entonces

Ak = PDkP−1 ∀k ∈ N .

Si A no es diagonalizable, J es su forma canónica de Jordan y A = PJP−1,siendo P una matriz invertible y

J1 0 · · · 00 J2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · Jr

donde, para cada i , Ji es un bloque elemental de Jordan.

Entonces se verifica que

Ak = PJkP−1 = P

1 0 · · · 00 Jk

2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · Jk

P−1 ,

donde, para cada i ∈ {1, 2, . . . , r} se tiene

λi 1 · · · 0 00 λi · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · λi 10 0 · · · 0 λi

)λk−i

i B i ,

siendo B = Ji − λi Is y s el orden del bloque Ji .

Entonces se verifica que

Ak = PJkP−1 = P

1 0 · · · 00 Jk

2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · Jk

P−1 ,

donde, para cada i ∈ {1, 2, . . . , r} se tiene

λi 1 · · · 0 00 λi · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · λi 10 0 · · · 0 λi

)λk−i

i B i ,

siendo B = Ji − λi Is y s el orden del bloque Ji .

Series de matrices

ProposiciónSea A ∈Mn de modo que la serie

∑k Ak converge, entonces In − A es

invertible y se verifica que (In − A)−1 =∑∞

k=0 Ak .

Demostración.Se verifica que

(In − A)( n∑

k=0Ak)=

n∑k=0

Ak −n∑

k=1An+1 = In − An+1.

Tomando límite en la igualdad (In − A)(∑n

k=0 Ak) = In − An+1 y usando que elproducto de matrices es continuo se tiene que

(In − A)( ∞∑

k=0Ak)= In,

luego la matriz∑∞

k=0 Ak es la inversa de In − A.

Series de matrices

k=0 Ak .

(In − A)( n∑

k=0Ak)=

n∑k=0

Ak −n∑

k=1An+1 =

In − An+1.

(In − A)( ∞∑

k=0Ak)= In,

Series de matrices

k=0 Ak .

(In − A)( n∑

k=0Ak)=

n∑k=0

Ak −n∑

k=1An+1 = In − An+1.

(In − A)( ∞∑

k=0Ak)= In,

Series de matrices

k=0 Ak .

(In − A)( n∑

k=0Ak)=

n∑k=0

Ak −n∑

k=1An+1 = In − An+1.

(In − A)( ∞∑

k=0Ak)= In,

Series de matrices

La hipótesis de la proposición anterior (convergencia de la serie) se verifica, porejemplo, si A es diagonalizable y todos los valores propios de A tienen módulomenor que uno.

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λn

se tiene que

(In − D)−1 =

1−λ10 · · · 0

0 11−λ2

· · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

1−λn

Series de matrices

La hipótesis de la proposición anterior (convergencia de la serie) se verifica, porejemplo, si A es diagonalizable y todos los valores propios de A tienen módulomenor que uno.

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λn

se tiene que

(In − D)−1 =

1−λ10 · · · 0

0 11−λ2

· · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

1−λn

Series de matrices

Sea A ∈Mn de modo que A = PJP−1, para J una matriz de Jordan o diagonaly P una matriz invertible, entonces sabemos que

Ak = PJkP−1, ∀k ∈ N.

Si {ak} es una sucesión de escalares tenemos que

n∑k=0

akAk =n∑

k=0akPJkP−1 = P

( n∑k=0

)P−1.

El objetivo es tomar límite en este tipo de expresiones cuando tenga sentido:

+∞∑k=0

akAk = P(

+∞∑k=0

)P−1.

Series de matrices

n∑k=0

akAk =n∑

k=0akPJkP−1 = P

( n∑k=0

)P−1.

+∞∑k=0

akAk = P(

+∞∑k=0

)P−1.

Series de matrices

n∑k=0

akAk =n∑

k=0akPJkP−1 = P

( n∑k=0

)P−1.

+∞∑k=0

akAk = P(

+∞∑k=0

)P−1.

Algunas funciones analíticas aplicadas a matrices

ObservaciónSi x ∈ K se verifica que

ex =∞∑

k , sen x =∞∑

k=0(−1)k 1

(2k + 1)!x2k+1,

cos x =∞∑

k=0(−1)k 1

(2k)!x2k .

El espacio vectorial L(Kn) (y Mn(K)) se puede dotar de una norma queverifica

‖S ◦ T‖ 6 ‖S‖ ‖T‖ ,∀S,T ∈ L(Kn)

luego‖T k‖ 6 ‖T‖k , ∀k ∈ N.

L(Kn) es completo con esa norma, luego toda serie∑

k Tk en L(Kn) talque

∑k ‖Tk‖ converja es convergente en L(Kn).

ex =∞∑

k , sen x =∞∑

k=0(−1)k 1

(2k + 1)!x2k+1,

cos x =∞∑

k=0(−1)k 1

(2k)!x2k .

‖S ◦ T‖ 6 ‖S‖ ‖T‖ ,∀S,T ∈ L(Kn)

ex =∞∑

k , sen x =∞∑

k=0(−1)k 1

(2k + 1)!x2k+1,

cos x =∞∑

k=0(−1)k 1

(2k)!x2k .

‖S ◦ T‖ 6 ‖S‖ ‖T‖ ,∀S,T ∈ L(Kn)

DefiniciónSupongamos que A ∈Mn, entonces se define la exponencial de A, el seno de Ay el coseno de A de la siguiente forma:

eA =∞∑

k , senA =∞∑

k=0(−1)k 1

(2k + 1)!A2k+1,

cosA =∞∑

k=0(−1)k 1

(2k)!A2k .

Las series anteriores son convergentes, ya que en norma están dominadas por laserie numérica que define a cada una de las tres funciones: seno, exponencial ycoseno.

DefiniciónSupongamos que A ∈Mn, entonces se define la exponencial de A, el seno de Ay el coseno de A de la siguiente forma:

eA =∞∑

k , senA =∞∑

k=0(−1)k 1

(2k + 1)!A2k+1,

cosA =∞∑

k=0(−1)k 1

(2k)!A2k .

Las series anteriores son convergentes, ya que en norma están dominadas por laserie numérica que define a cada una de las tres funciones: seno, exponencial ycoseno.

Aplicaciones

EjemploSea A = PJP−1 donde P ∈M3 es una matriz invertible y

12 1 00 1

2 00 0 1

Calcular eA en función de M.

forma canonica de jordan

Documents