formacin de vehiculos aereos presentacion

Formaciónde

VehículosAéreos

Introducción

ModeloDinámicodelCuadri-rotor

Control delaFormación

Control delosVehículos

Prueba deEstabilidad

ResultadosdeSimulación

Plataformaexperimen-tal

Bibliografía

Formación de Vehículos Aéreos

Por: M. C. Luis Arturo García DelgadoAsesor: Dr. Alejandro Enrique Dzul López

Instituto Tecnológico de la Laguna

14 de marzo de 2011

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Formaciónde

VehículosAéreos

Introducción







Bibliografía

Índice de la Presentación

Introducción

Modelo Dinámico del Cuadri-rotor

Control de la Formación

Control de los Vehículos

Prueba de Estabilidad

Resultados de Simulación

Plataforma experimental

Bibliografía

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Formaciónde

VehículosAéreos

Introducción







Bibliografía

Introducción

Cooperación entre vehículosEl término de cooperación entre múltiples vehículos se refiere a lacolaboración que realizan dichos vehículos para alcanzar objetivos en común uobjetivos separados, pero de manera más rápida, más precisa o con mayoralcance. Los objetivos pueden ser búsqueda, vigilancia, monitoreo, ataque, etc.

La formación de vehículos es un caso específico de cooperación.

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Formaciónde

VehículosAéreos

Introducción







Bibliografía

Introducción

Cooperación entre vehículosEl término de cooperación entre múltiples vehículos se refiere a lacolaboración que realizan dichos vehículos para alcanzar objetivos en común uobjetivos separados, pero de manera más rápida, más precisa o con mayoralcance. Los objetivos pueden ser búsqueda, vigilancia, monitoreo, ataque, etc.

La formación de vehículos es un caso específico de cooperación.

Formación de vehículosEl propósito del movimiento en formación consiste en que los múltiplesvehículos se agrupen en alguna manera específica pre-asignada entre ellos, ytambién que se pueda mantener la formación mientras los vehículos están enmovimiento.

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VehículosAéreos

Introducción







Bibliografía

Introducción

Figura: Formación de vehículos aéreos

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Formaciónde

VehículosAéreos

Introducción







Bibliografía

Introducción

Las formas más comunes de abordar el problema de formación es a través de1 Estructura Líder-Seguidor2 Campos Potenciales

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Introducción







Bibliografía

Introducción

Las formas más comunes de abordar el problema de formación es a través de1 Estructura Líder-Seguidor2 Campos Potenciales

En la Estructura Líder-Seguidor cada vehículo (seguidor) sigue a otro vehículo(líder). Sus características son:

1 Es una estructura jerárquica.2 No hay mucha relación entre algún vehículo y los demás que no sean su

líder o seguidor.3 El control de la formación depende totalmente del modelo del vehículo y

puede resultar en términos muy complejos.4 Presenta una alta velocidad de respuesta para estabilización y

seguimiento.

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Introducción







Bibliografía

Introducción

El método del Campo Potencial consiste en llenar el espacio de trabajo con uncampo potencial artificial en el cual el robot es atraido a su posición deseada yes repelido de los obstáculos [S. S. Ge and Y. J. Cui, 2000].

Las características de este método son1 Es una estructura no-jerárquica.2 Existe relación entre cada vehículo y los demás que estén en su área de

comunicación.3 El control de la formación depende de las fuerzas potenciales calculadas y

no tanto del modelo de los vehículos.4 Presenta una buena respuesta en estabilización.

Figura: Campo potencial artificial

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Bibliografía


Las coordenadas generalizadasson

q = (ξ, η) ∈ R6 (1)

donde ξ = (x , y , z) ∈ R3 es la

posición del centro de masa delX4, relativa al marco inercialI, y η = (φ, θ, ψ) ∈ R

3 es laorientación del X4 en ángulosde Euler.

Figura: Helicóptero cuadri-rotor

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Bibliografía


El modelo a utilizar es la aproximación de Euler-Lagrange que aparece en[A. Sánchez et al.]Se considerará que ψ = 0 ∀t > 0, y así

mx = u sin θ cosφmy = −u sinφmz = u cos θ cosφ−mgψ = τψ

θ = τθ

φ = τφ

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Bibliografía


El objetivo de cada cuadri-rotor es alcanzar la posición deseada.

Suponga que la altitud z se mantiene constante, de manera que la formaciónse realizará en 2D. Ahora, el vector traslational que expresa la posición delvehículo i es

ξi =[

xi yi]T

La distancia entre un vehículo i y su posición deseada es

Lig = ‖ξgi− ξi‖

donde ξgi es la posición deseada del vehículo i .

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Bibliografía


El objetivo de cada cuadri-rotor es alcanzar la posición deseada.

Suponga que la altitud z se mantiene constante, de manera que la formaciónse realizará en 2D. Ahora, el vector traslational que expresa la posición delvehículo i es

ξi =[

xi yi]T

La distancia entre un vehículo i y su posición deseada es

Lig = ‖ξgi− ξi‖

donde ξgi es la posición deseada del vehículo i .

El error de separación deseado es

Lig = −Lig

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Bibliografía

Energía potencial interactiva

La distancia entre un vehículo i y otro j es definida por

Lĳ = ‖ξj − ξi‖

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Introducción







Bibliografía

Energía potencial interactiva

La distancia entre un vehículo i y otro j es definida por

Lĳ = ‖ξj − ξi‖

El error de distancia de separación se define como

Lĳ = Lĳd − Lĳ

donde Lĳd es la distancia de separación deseada entre los vehículos i y j.

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Bibliografía

Energía potencial interactiva y fuerza atractiva

La energía potencial definida entre los vehículos i y j es la siguiente

Uĳ =12kf L2

ĳ ; Uig =12kf L2

ig (2)

donde kf es la ganacia de la formación y es constante.

La energía potencial de la estructura total de todos los vehículos hacia con elvehículo i es

Ui =

n∑j �=i

Uĳ + Uig (3)

La fuerza atractiva estructural correspondiente que actúa sobre el vehículo i es

Fatt,i = −∇Ui =

n∑j �=i

fĳ + fig (4)

=

n∑i �=j

kf Lĳξj − ξi

Lĳ+ kf Lig

ξg − ξi

Lig(5)

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Bibliografía

Evasión de colisiones

Para evitar colisiones entre vehículos se propone:Cuando la distancia de separación Lĳ ≤ L0, comienza a actuar la siguientefuerza repulsiva

fr,ĳ =

{krep

(1

Lĳ− 1

L0

)ξi−ξj

Lĳ, Lĳ ≤ L0

0, Lĳ > L0

(6)

De manera similar que en las fuerzas atractivas, las fuerzas repulsivas sesuman de la siguiente forma

Frep,i =

n∑j �=i

fr,ĳ (7)

Entonces, la fuerza total estructural, está dada por

Fi = Fatt,i + Frep,i (8)

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Bibliografía


En esta seccón se presentarán los controladores utilizados para asegurar quelos vehículos serán conducidos por las consignas de fuerzas propuestas. Lospuntos a tratar son

1 Control de altitud y guiñada.

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Bibliografía


En esta seccón se presentarán los controladores utilizados para asegurar quelos vehículos serán conducidos por las consignas de fuerzas propuestas. Lospuntos a tratar son

1 Control de altitud y guiñada.

2 Control de posición: Control por saturaciones anidadas

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Bibliografía

Control de altitud y guiñada

El control de posición vertical se obtiene con la entrada de control

ui = [(kpz zi − kvz zi ) + mg]1

cos θi cosφi

con zi = zid − zi como el error de posición en zi . kpz y kvz son constantespositivas. Los ángulos θi , φi se mantendrán acotados en valores pequeños paraevitar singularidades.

El control de ángulo de guiñada es

τψi = −kpψψi − kvψψi

donde kpψ y kvψ denotan las constantes proporcional y derivativa.

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Bibliografía

Partiendo del modelo

mx = u sin θ cosφmy = −u sinφmz = u cos θ cosφ−mgψ = τψ

θ = τθ

φ = τφ

Cuando los estados, zi , zi , ψi y ψi → 0, el modelo del cuadri-rotor se reduce a

xi = g tan θi

yi = −g tanφi

cos θiθi = τθi

φi = τφi

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Bibliografía

Control de posición

Si se impone una cota muy pequeña sobre θi y φi , de tal manera quetan(θi) ≈ θi y de igual forma con φi , el modelo de un cuadri-rotor i se reduce a

xi = gθiyi = −gφi

θi = τθi

φi = τφi

Agrupando lo anterior como ξi = [xi yi ]T ∈ R

2, G = {g para xi y −g parayi} ∈ R

1, ηi = [θi φi ]T ∈ R

2 y τ i = [τθi τφi ]T ∈ R

2. E introduciendo un errorcon respecto a la posición meta y demás vehículosξi =∑n

i �=j Lĳξj−ξi

Lĳ+ Lig

ξg−ξiLig

, tenemos

˙ξi = −nξi

ξi = Gηi

ηi = ηi

ηi = τ i

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Bibliografía

Control por Saturaciones Anidadas

Se realiza un cambio de variables de la forma z = Cq como sigue⎡⎢⎣ z1iz2iz3iz4i

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣ C1,1 C1,2 C1,3 C1,40 C2,2 C2,3 C2,40 0 C3,3 C3,40 0 0 C4,4

⎤⎥⎦⎡⎢⎣ ξiξiηiηi

⎤⎥⎦ (9)

donde

C1,1 = −k2k3k4

Gn

C1,2 =k2k3 + k2k4 + k3k4

G

C2,2 =k3k4

G

C1,3 = k2 + k3 + k4

C2,3 = k3 + k4

C3,3 = k4

Ck,4 = 1

donde k1, . . . k4 ∈ R1 y zki = [zkix zkiy ]

T ∈ R2, con k = 1, . . . 4.

Nota: Para mejorar la velocidad del sistema, en (9), en lugar del término delerror ξi , introducimos el término de fuerza potencial Fatt,i = kf ξi .

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Bibliografía


Usando la función saturación de la forma

σb(s) =

{ −b; s < bs; |s| ≤ bb; s > b

donde b > 0 es constante.

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Bibliografía



σb(s) =

{ −b; s < bs; |s| ≤ bb; s > b


La señal de control para cabeceo ó pitch (θ, x), es

τθi = −σb4(k4z4ix + σb3(k3z3ix + σb2(k2z2ix + σb1(k1z1ix )))) (10)

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Bibliografía



σb(s) =

{ −b; s < bs; |s| ≤ bb; s > b


La señal de control para cabeceo ó pitch (θ, x), es

τθi = −σb4(k4z4ix + σb3(k3z3ix + σb2(k2z2ix + σb1(k1z1ix )))) (10)

El control de alabeo ó yaw (φ, y), es

τφi = −σb4(k4z4iy + σb3(k3z3iy + σb2(k2z2iy + σb1(k1z1iy )))) (11)

Nota: para asegurar estabilidad b4 > 2b3 > 2b2 > 2b1.

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Bibliografía

Prueba de EstabilidadControlador por Saturaciones Anidadas

Usando la transformación (9) en nuestro sistema (por simplicidadrenombraremos znix como zn), por medio de la ley de control (10), tenemos

z2 = k4z4 + k3z3 − σb4(k4z4 + σb3(·)) (12)z3 = k4z4 − σb4(k4z4 + σb3(·)) (13)z4 = −σb4(k4z4 + σb3(·)) (14)

Y con una función de Lyapunov

Vn =12 z2

n (15)

cuya derivada temporal es

Vn = znzn = −znσbn(knzn + σb(n−1)(·)) (16)

Los términos zn y σbn (·) son del mismo signo sólo si knzn + σb(n−1)(·) es del

mismo signo que zn. Habiendo seleccionado bn−1 <12 bn, se puede ver que

Vn < 0 para toda zn ∈ Qn = {zn : |knzn| ≤ 12 bn}. Si se inicia fuera de Qn, la

trayectoria de zn entra eventualmente en Qn en un tiempo finito.

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Bibliografía

Prueba de EstabilidadControlador por Saturaciones Anidadas

Ya que zn ha entrado en Qn, σbn (·) opera en su región lineal porque elargumento de σbn (·) está acotado por

|knzn + σb(n−1)(·)| < 1

2 bn + bn−1 < bn (17)

La ecuación para la evolución de zn−1 ahora es dada por

zn−1 = −σbn−1(kn−1z(n−1) + σbn−2(·)) (18)

que es similar a la expresión para zn. De manera similar que para zn, zn−1entra a un conjunto Qn−1 en un tiempo finito y permanece en Qn−1 en losucesivo. Este proceso continúa cumpliéndose hasta V2 y z2, porque z1depende de la fuerza potencial con respecto a otros vehículos.

De acuerdo a [Johnson and Kannan(2003)], durante el periodo en que elúltimo elemento saturado es σb1(k1z1), los polos del sistema lineal en lazocerrado resultante se encuentran en {−k4, −k3, −k2, 0}, lo cual da un sistemaestable. Entonces, el argumento de la saturación k1z1 decrece por debajo de lacota b1, y comienza otro análisis de estabilidad.

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Bibliografía

Prueba de EstabilidadSistema no interconectado

n = 1.

Después de quedar el controlador por debajo de la última saturación, elsistema lineal que queda es de la forma x = Ax, y cuando n = 1 se tiene

ddt

⎡⎢⎣ Fixxiθiθi

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣ 0 −kf 0 00 0 g 00 0 0 1−A −B −C −D

⎤⎥⎦⎡⎢⎣ Fix

xiθiθi

⎤⎥⎦ (19)

donde cada literal está definida por

A = k1C1,1 = −k1k2k3k4

g

B = k2C2,2 + k1C1,2 =k1k2k3 + k2k3k4 + k1k2k4 + k1k3k4

gC = k3C3,3 + k2C2,3 + k1C1,3 = k1k2 + k2k3 + k3k4 + k1k3 + k1k4 + k2k4

D = k4C4,4 + k3C3,4 + k2C2,4 + k1C1,4 = k1 + k2 + k3 + k4

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Bibliografía

Prueba de EstabilidadSistema no interconectado

Teorema (Estabilidad para sistema no interconectado)

Si se tiene el sistema controlable (19) para un vehículo no interconectado, elvalor de la ganancia kf que hace al sistema críticamente estable es

kf 1 =B(CD − gB)A1D2 (20)

Demostración.Los eigenvalores del sistema (19), son

|λI − A1| = λ4 + λ3D + λ2C + λgB + kf 1gA1 = 0 (21)

y los polos del sistema en lazo cerrado

(λ+ λ1)(λ+ λ2)(λ+ λ3)(λ+ λ4) = 0 (22)

Igualando (21) con (22) encontramos kf 1 = B(CD−gB)

A1D2 .

Por lo que, el sistema será estable si kf < kf 1.

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Bibliografía

Prueba de EstabilidadSistema Interconectado

Para un sistema en formación (más de un vehículo), la fuerza atractiva es

Fatt,i =

n∑i �=j

kf Lĳξj − ξi

Lĳ+ kf Lig

ξg − ξi

Lig

su derivada temporal es

Fatt,i = −kf

[n∑

i �=j

(ξj − ξi)− (ξi)

]= −kf

n∑i �=j

(ξj) + nkf ξi (23)

Por lo que, cuando el número de vehículos n > 1, se debe plantear como unsistema interconectado, de acuerdo a la Ec. (23).

⎡⎢⎣ Fixxi

θiθi

⎤⎥⎦=⎡⎢⎣ 0 −nkf 0 0

0 0 g 00 0 0 1−An −B −C −D

⎤⎥⎦⎡⎢⎣ Fix

xiθiθi

⎤⎥⎦+⎡⎢⎣ kf∑n

i �=j xj

000

⎤⎥⎦ (24)

conAn = −k1k2k3k4

gn (25)

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Bibliografía


Entonces podemos definir la matriz An de dinámica de un vehículo como

An =

⎡⎢⎣ 0 −nkf 0 00 0 g 00 0 0 1−An −B −C −D

⎤⎥⎦ ∈ R4×4 (26)

y la matriz I de interconección

I =

⎡⎢⎣ 0 −kf 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⎤⎥⎦ ∈ R4×4 (27)

y el vector de estados

x i =[

Fix xi θi θi]T ∈ R

4 (28)Así, un sistema de n vehículos queda⎡⎢⎢⎣

x1x2...

xn

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎣An I · · · II An · · · I...

.... . .

...I I · · · An

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣

x1x2...

xn

⎤⎥⎥⎦ ∈ R4n (29)

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Bibliografía


Teorema (Estabilidad para sistema interconectado)

En un sistema interconectado de la forma (29), el valor de la ganancia kf quehace al sistema críticamete estable es

kfn =nB(CD − gB)(n + 1)A1D2 =

B(CD − gB)(n + 1)AnD2 (30)

Teorema (Ganancia críticamente estable mínima)

En un sistema interconectado de la forma (29), el valor mínimo de la gananciakf que hace al sistema críticamente estable es

kf 2 =103 = 3.33333 (31)

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Bibliografía

Resultados de Simulación

Las simulaciones se realizaron con cuadri-rotores con idénticos parámetros delmodelo.

Tipo Parámetro ValorModelo del m 1 Kgvehículo g 9.81 m/s2

Constantes de la Formación kf 2k1 1k2 1k3 1k4 1

Cotas del b1 0.075controlador b2 0.2

b3 0.4b4 0.8

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Bibliografía

Resultados de SimulaciónSimulación de 3 Cuadri-rotores

Empezando con condiciones iniciales

ξ01 = [−6 0]T

ξ02 = [−4 5]T

ξ03 = [−3 − 4]T

Se desea llegar a las siguientes posiciones

ξg1= [10 0]T

ξg2= ξg1

+ L12d [− cos(π/6) sin(π/6)]T

ξg3= ξg1

+ L13d [− cos(π/6) − sin(π/6)]T

L12d = 3.5m.

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Bibliografía

Resultados de SimulaciónSimulación de 3 Cuadri-rotores

−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−6

−4

−2

0

2

4

6

x [m]y

[m]

0 20 40 60 80 100−16

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

Time [s]

Dis

tanc

e er

ror

[m]

L1gd

− L1g

L2gd

− L2g

L3gd

− L3g

L12d

− L12

L13d

− L13

L23d

− L23

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Bibliografía

Resultados de SimulaciónSimulación de 6 Cuadri-rotores con evasión de colisiones

Empezando con condiciones iniciales ξ01 = [0 6]T , ξ0

2 = [1 −2]T , ξ03 = [5 0]T ,

ξ04 = [3 3]T , ξ0

5 = [−2 −5]T , ξ06 = [−1 4]T . En este caso L0 = 3.

Se desea llegar a las siguientes posiciones

ξg1= [0 0]T

ξg2= ξg1

+ L12d [0 1]T

ξg3= ξg1

+ L13d [sin(2π/5) cos(2π/5)]T

ξg4= ξg1

+ L14d [sin(2π/10) − cos(2π/10)]T

ξg5= ξg1

+ L15d [− sin(2π/10) − cos(2π/10)]T

ξg6= ξg1

+ L16d [− sin(2π/5) cos(2π/5)]T

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Bibliografía

Resultados de SimulaciónSimulación de 6 Cuadri-rotores con evasión de colisiones

−4 −2 0 2 4 6−6

−4

−2

0

2

4

6

x [m]

y [m

]

Interchange of goal positions

Figura: Formación de 6 vehículos, con evasión de colisiones.

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Bibliografía

Resultados de SimulaciónSimulación de 6 Cuadri-rotores - Múltiples formaciones

Tomando en cuenta los datos de la simulación anterior se realiza la primeraformación.

Los valores finales de la primerformación serán ahora los valoresiniciales para la segunda, y lasposiciones deseadas ahora serán

ξg1= [12 0]T

ξg2= ξg1

+ L12d [0 1]T

ξg3= ξg1

+ L13d [0 − 1]T

ξg4= ξg1

+ L14d [−1 1]T

ξg5= ξg1

+ L15d [−1 − 1]T

ξg6= ξg1

+ L16d [−1 0]T

Después de terminar la segundaformación, para realizar una tercerformación se darán las siguientesconsignas

ξg1= [20 0]T

ξg2= ξg1

+ L12d [−1 0]T

ξg3= ξg1

+ L13d

[sin(π

6 ) − cos(π6 )]T

ξg4 = ξg1+ L14d

[− sin(

π

6 ) cos(π6 )]T

ξg5 = ξg3+ L35d [−1 0]T

ξg6= ξg5 + L56d [−1 0]T

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Bibliografía

Resultados de SimulaciónSimulación de 6 Cuadri-rotores - Múltiples formaciones

0 50 100 1500

5

10

15

20

25

30

Time [sec]

Nor

m o

f the

goa

l err

ors

[m]

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Bibliografía


Se está desarrollando un modelo virtual lo más parecido al real en SolidWorks, con el propósito de determinar las inercias.

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Bibliografía


Uno de los aspectos más importantes en el desarrollo de la plataforma es lamedición de la posición.

Para lograr medir posición en un plano, se montó una cámara desde el techo,la cual apunta hacia el suelo, como se muestra en la imagen.

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Bibliografía

Plataforma experimentalInterfaz de medición de posición

Para lograr medir la posición a través de la PC, se está desarrollando unainterfaz en Visual C++ 2005, con la cual podemos tomar medidas enimágenes que cambian a razón de 30 a 32 cuadros por segundo y quedistingue tres colores diferentes.

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Bibliografía


Para poder tener lecturas adecuadas de posición, a pesar de la gran distorsiónradial que presenta esta cámara, se recurrió al uso de una sencilla redneuronal, que se entrenó mapeando algunos puntos de la imagen obtenida ysu posición en centímetros en el mundo real.

El área que se mide es aproximadamente de 3.7 x 1.6 mts.

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Bibliografía


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Bibliografía


Se tomaros 8 mediciones en los cuatro cuadrantes y el centro, obteniendo lossiguientes valores

Cuadrante Real Real Calculada Calculadax y X Y

0 0 0 0.76 -0.61I 67.6 43.5 67.89 44.01I 86.8 66.5 87.31 66.55II -76.2 47.5 -76.71 47.93III -90.4 -22.3 -90.81 -22.68III -130.5 -75.4 -131.13 -76.8IV 52.8 -53.8 53.53 -55.2IV 120.7 -71.3 123.00 -72.18

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Bibliografía

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Bibliografía

Bibliografía

S. S. Ge and Y. J. Cui.“New Potential Functions for Mobile Robot Path Planning”IEEE Transactions on Robotics and Automation, Vol. 16, No. 5, October2000.A. Sánchez, P. Garcia, P. Castillo and R. Lozano.“Simple Real-time Stabilization of a VTOL aircraft with BoundedSignals”AIAA Journal of Guidance, Control and Dynamics, Vol. 31, No. 4, pp.1166-1176. ISSN 0731-5090, 2008.

Johnson, E. N. and Kannan, S. K. (2003).Nested saturation with guaranteed real poles.Proceedings of the American Control Conference. Denver, Colorado, pp.497-502, June 4-6.

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