__formación ybus

1

[A] ' [P] [L] [U] (1)

FORMACION DE LA MATRIZ ADMITANCIA DENODOS

RESUMEN

Se describe un algoritmo para la formación de la matriz admitancia de nodosde un circuito monofásico con elementos inductivos mutuamente acoplados yse discuten las ventajas que ofrece su utilización en estudios de corto circuitoen sistemas eléctricos de potencia trifásicos.

Alvaro Acosta MontoyaProfesor TitularIngeniería Eléctrica U. T. P.

1. INTRODUCCIÓN

Los algoritmos convencionales para la sistematización delos estudios de corto circuito en sistemas eléctricos depotencia trifásicos exigen la formación de la matrizimpedancia de nodos, la cual se caracteriza por la altadensidad de elementos diferentes de cero [5], [4], [8]. Encontraste, el número de éstos y el esfuerzo computacionalnecesario para obtener su inversa, la matriz admitancia denodos, es mucho menor [1]. Como se discutirá más adelanteesto se debe a que en cualquier sistema eléctrico de potenciaes típico que cada nodo (subestación) esté conectadodirectamente con otros pocos únicamente y a que el númerode líneas de transmisión mutuamente acopladasinductivamente es muy pequeño. Por tanto se puede optimizarel uso de la memoria del computador si se utilizan técnicasde almacenamiento de matrices dispersas para almacenar lamatriz admitancia de nodos, lo que permitiría resolversistemas de mayor tamaño en una instalación dada.

Dados el tipo de fallo paralelo y su localización geográfica(el p-ésimo nodo, por ejemplo), el cálculo de las corrientesa través de los elementos conectados a éste, y el de losvoltajes en barras contiguas, solo requiere de las impedanciasde transferencia entre el nodo donde ocurre el desbalancey unos pocos de ellos: los nodos directamente conectadosal fallo a través de algún elemento para circuitos sininductancias mutuas (redes de secuencia positiva y negativa).Cuando uno o varios de los elementos conectados al nodode fallo pertenezcan a un grupo acoplado, se deben incluir,además, los elementos del la p-ésima columnacorrespondientes a los nodos terminales de todos loselementos de éste (red de secuencia cero).

Todos los elementos de la p-ésima columna de la matrizimpedancia de nodos se pueden obtener resolviendo unsistema lineal de ecuaciones cuya matriz de coeficientes esla matriz admitancia de nodos y cuyo segundo miembro esun vector de ceros excepto el p-ésimo que vale 1. El esfuerzocomputacional para lograr este propósito se minimiza sipreviamente se aplica el método de eliminación de Gauss

almacenando en las posiciones de la matriz triangular inferior(que normalmente se convierten en cero durante el proceso),los factores por los que se debe multiplicar la ecuación pivoteantes de ser sumada o restada [3].

Puesto que la matriz admitancia de nodos [Y] esdiagonalmente dominante y definida positiva se puededespreciar el error acumulado por redondeo de lasoperaciones en punto flotante [6].

De otra parte, el esfuerzo computacional requerido paramodificar la matriz admitancia de nodos esincomparablemente menor que el necesario para reflejar loscambios en la estructura topológica de la red en la matrizimpedancia de nodos.

Además, para minimizar el número de elementos de rellenoexisten técnicas de reasignación de numeros a los nodos [2],[9].

2. FACTORIZACION TRIANGULAR

El método de eliminación de Gauss para resolver un conjuntolinealmente independiente de ecuaciones lineales se puedevisualizar como una descomposición de la matriz decoeficientes [A] en tres factores, a saber: una matriz depermutación [P] asociada con la estrategia de pivote, unamatriz triangular inferior unitaria [L] que contieneesencialmente los multiplicadores usados y almacenados enlas posiciones que se vuelven cero durante el proceso y lamatriz triangular superior final [U].

Matemáticamente:

Las columnas de [P] son las de la matriz identidad en ordendiferente. La estrategia de pivote se registra en un vector

cuyo i-ésimo elemento indica que, para eliminar x i dePplas ecuaciones p[i+1] ... p[n], en la i-ésima etapa de proceso,

2

[A] ' [A]t

Px t [A] Px $ 0 œ Px … P0

Pp t ' [1, 2, þ, n]

jn

r'1

li r ur j (2)

jmin{i,j}

r'1

li r ur j ' api ji,j ' 1, 2, (3)

ui j ' api j & ji&1

r'1

li r ur j i # j (4)

li j '

api j & jj&1

r'1

li r ur j

uj j

i # j(5)

[Y] ' [L] [U] ' [L] [D] [L]t (6)

ur j ' ur r lj r (7)

se debe sumar a cada una de ellas la pi -ésima multiplicadapor una una constante apropiada.

La estrategia de pivote se elige para minimizar el error porredondeo [3] o para minimizar el número de elementos derelleno (los que son cero en la matriz original que setransforman en valores … 0) que se generan en el proceso[2].

Se puede demostrar [6] que el error por redondeo en lasolución de sistemas de ecuaciones lineales cuya matriz decoeficientes es definida positiva, es decir,

es aceptablemente pequeño si se usa la estrategia de pivotetrivial

en cuyo caso p i = i y la matriz de permutación [P] es iguala la matriz identidad.

El elemento general (i, j) de la matriz producto [L][U] vienedado por la siguiente expresión

Recordando que li r = 0 para r > i y que ur j = 0 para r > j,la sumatoria en (2) puede hacerse hasta r # i o r # j, es decir,para el menor valor min(i, j).

De la ecuación (1) [L][U] = [P]-1 [A]. Puesto que latranspuesta y la inversa de [P] son iguales [3], el elementogeneral (i,j) de la matriz producto [P]-1[A] es

donde pi corresponde al i-ésimo elemento del vectorapi j

. Por lo tantoPp

De las ecuaciones (3) se pueden hallar (ver Apéndice A) lassiguientes expresiones para los ui j y los li j

y teniendo en cuenta que li i ' 1

Nótese que (4) expresa los elementos de la i-ésima fila de[U] en función de las primeras (i-1) filas de [U] y lasprimeras (i-1) columnas de [L]. Similarmente, de (5) seobtienen los elementos de la j-ésima columna de [L] enfunción de las primeras (j-1) filas de [U], de las primeras(j-1) columnas de [L] y del j-ésimo elemento diagonal de[U]. Por lo tanto, si ya se conocen las primeras (k-1) filasde [U] y (k-1) columnas de [L], se puede calcular la k-ésimafila de [U] de (4) y, después, de (5) la k-ésima columna de[L].

De la inspección de (4) y (5) se concluye que "los elementosde la i-ésima columna de [L] se obtienen dividiendo loscorrespondientes de la i-ésima fila de [U] por u i i". Porlo tanto, si cada elemento de la matriz [U] se divide por elde la diagonal de la fila a la que pertenece se obtiene latranspuesta de la matriz [L]. Es decir, si los elementos u i ifueran los de una matriz diagonal [D], (dii = uii) lafactorización de una matriz simétrica [Y], suponiendo unaestrategia de pivote trivial (p i = i), se puede expresar de lasiguiente manera:

Expresiones para los elementos de las matrices en (6) sepueden obtener a partir de (4) y (5) teniendo en cuenta queen ellas de acuerdo a la discusión anterior

Reemplazando (7) en (4) se obtiene

3

ui i ' yi i & ji&1

r'1

li r ur r li r

i ' 1, 2, ..., n

di i ' yi i & ji&1

r'1

l 2i r dr r

(8)

li j ' yi j & jj&1

r'1

li r ur r lj r

i >j

li j ' yi j & jj&1

r'1

li r ur r lj r

(9)

[Y] '

29.0300 &2.8900 0.0000 &8.6700 0.0000 0.0000 9.2500 0.0000 2.8900 0.0000

&2.8900 44.8700 0.0000 &5.3800 0.0000 0.0000 &1.7300 0.0000 &18.2100 0.0000

0.0000 0.0000 19.1700 0.0000 &6.6700 0.0000 0.0000 0.0000 &12.5000 0.0000

&8.6700 &5.3800 0.0000 44.7100 &8.3300 0.0000 &5.2000 0.0000 &4.6200 0.0000

0.0000 0.0000 &6.6700 &8.3300 25.0000 &10.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 &10.0000 31.1100 0.0000 &10.0000 &11.1100 0.0000

&9.2500 &1.7300 0.0000 &5.2000 0.0000 0.0000 31.1200 &16.6700 1.7300 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 &10.0000 &16.6700 37.7800 0.0000 &11.1100

2.8900 &18.2100 &12.5000 &4.6200 0.0000 &11.1100 1.7300 0.0000 56.1000 &14.2900

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 &11.1100 &14.2900 25.4000

d11 d22 d33 d44 d55 d66 d77 d88 d99 d10,10

29.0302 44.5870 19.1667 41.2435 20.9974 26.3486 26.1686 22.9762 29.4260 10.2062

[L] '

1.0000

&0.0996 1.0000

0.0000 0.0000 1.0000

&0.2987 &0.1399 0.0000 1.0000

0.0000 0.0000 &0.3478 &0.2021 1.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 &0.4762 1.0000

&0.3186 &0.0595 0.0000 &0.2021 &0.0802 &0.0304 1.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 &0.3795 &0.6485 1.0000

0.0996 &0.4019 &0.6522 &0.1520 &0.2674 &0.5232 &0.0210 &0.2432 1.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 &0.4836 &0.5773 1.0000

Similarmente, reemplazando (7) en (5) se obtiene

Vale la pena aclarar que las sumatorias que aparecen en lasecuaciones (4), (5), (8) y (9) son nulas cuando el límitesuperior es menor que el inferior y contienen un únicosumando cuando ambos límites son iguales.

2.1 EJEMPLO 1

De la matriz simétrica [Y] que se muestra a continuación sepuede obtener [L] aplicando (8) primero y después (9), parai y j respectivamente, variando desde 1 hasta 10. Los valoresse calculan en el siguiente orden: d1 1 y primera columna de[L], d2 2 y segunda columna de [L] y así sucesivamente. Losresultados se muestran tabulados.

Nótese que la estructura de la matriz [L] se obtiene de [Y]adicionándole las posiciones en las que aparecen elementosde relleno durante el proceso de eliminación de Gauss.

4

PI ' [Y] PV (10)

Ii ' jn

k'1

Yik Vk i ' 1, 2, ..., n(11)

ipq

irs

'

ypq ym

ym yrs

vpq

vrs

(12)

j ip ' ... % ym(Vr & Vs) % ... ' 0

j iq ' ... & ym(Vr & Vs) % ... ' 0

j ir ' ... % ym(Vp & Vq) % ... ' 0

j is ' ... & ym(Vp & Vq) % ... ' 0

Ypr ' Ypr % ym

Yps ' Yps & ym

Yqr ' Yqr & ym

Yqs ' Yqs % ym

Yrp ' Yrp % ym

Yrq ' Yrq & ym

Ysp ' Ysp & ym

Ysq ' Ysq % ym

3. FORMACION DE LA MATRIZ ADMITANCIADE NODOS

En esta sección se describe el algoritmo presentado en lareferencia [1] para obtener la matriz admitancia de nodos [Y].

Se define la matriz de admitancias de nodos de una red linealde parámetros concentrados e invariantes en el tiempo comola matriz que relaciona un vector de voltajes de nodo PVy uno de corrientes inyectadas a cada nodo desde lareferencia Es decir:PI .

La ecuación (10) puede escribirse de la siguiente manera:

donde son los voltajes de nodo[V1 V 2 ... Vn] ' PV t

con respecto al nodo común escogido arbitraria-mente como de referencia

son las fuentes de corriente[I1 I2 ...In] ' PI t

(excitaciones independientes) que fluyen entre lareferencia y los correspondientes nodos.

Yi k es el elemento general de [Y].

La matriz admitancia de nodos [Y] tiene las siguientescaracterísticas:

(a) Cuando no hay elementos de circuito conectados a lareferencia, la suma de los elementos de cualquier filao columna es cero. Si los hay se deben tener en cuentasumando sus admitancias a los elementos diagonalescorrespondientes.

(b) El efecto de conectar una admitancia propia y que noesté inductiuamente acoplada entre 2 nodos p y q yaexistentes, es sumar y a los elementos diagonales de lamatriz admitancia de nodos Yp p y Yq q y restar y a loselementos Yp q y Yq p.

La matriz admitancia de nodos [Y] de una red sin elementosacoplados por inducción se puede formar mediante aplicaciónrepetida de (b) ya que, en este caso, los elementos diagonalesYi i se obtienen como la suma algebraica de las admitanciasde los elementos conectados al i-ésimo nodo y los nodiagonales Yk j (k … j) es la admitancia equivalente conectadaentre los nodos k y j, cambiada de signo.

3.1 ACOPLAMIENTOS MUTUOS

Se supone que cada elemento se identifica mediante los nodosentre los cuales está terminado. Por simplicidad se suponeque el grupo acoplado consta únicamente de los elementosp-q y r-s. La ecuación primitiva, en este caso, toma la forma:

donde la matriz de coeficientes en (12) se obtiene invirtiendola matriz de impedancias propias y mutuas de los elementosacoplados y se denota por [ y ]. Estas corrientes intervienenen las ecuaciones que se obtienen de la aplicación de laprimera ley de Kirchhoff a los nodos p, q, r y s. Puesto queinicialmente se considera que se trata de dos elementos sinacoplamiento mutuo entre ellos de admitancias propias yp q

e yr s (que son los elementos diagonales de [y] en (12))únicamente queda pendiente el efecto de los términos y m endichas ecuaciones, las cuales se deben reajustar como sedescribe a continuación:

Como regla general, cada admitancia mutua ym se debe sumara los elementos de la matriz admitancia ubicados en la filay columna que corresponden a los nodos de envío, (p, r) y(r, p), y a los de recibo, (q, s) y (s, q), y se resta en laslocalizaciones definidas por el nodo de envío de un elementoy el de recibo del otro, (p, s), (s, p), (q, r) y (r, q). Nótese quesiempre se afectan posiciones simétricas, razón por la cualcuando el elemento que se deba alterar sea diagonal sedebe sumar o restar el duplo de y m. Debe notarse además

5

EN RECI REAC ACO SUSCEPVÍO BO TANCIA PLE TANCIA

0

0

0

1

1

2

2

3

4

4

4

5

5

6

6

8

1

2

3

2

7

3

8

4

5

9

10

6

8

7

10

9

0.09

0.08

0.06

0.09

0.08

0.10

0.12

0.06

0.09

0.08

0.07

0.10

0.10

0.06

0.09

0.15

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

11.1111

12.5000

16.6667

&&&&&&

&&&&&&

10.0000

8.3333

&&&&&&

11.1111

12.5000

14.2850

10.0000

10.0000

16.6667

11.1111

6.6667

IMPEDANCIAPRIMITIVA

1&2 1&7 3&4

z '

1&2

1&7

3&4

0.09 0.03 0.02

0.03 0.08 0.00

0.02 0.00 0.06

(13)

ADMITANCIAPRIMITIVA

1&2 1&7 3&4

y '

1&2

1&7

3&4

13.873 &5.202 &4.624

&5.202 14.451 1.734

&4.624 1.734 18.208(14)

que algunas veces (casi siempre en sistemas eléctricos depotencia) los elementos mutuamente acoplados tienen unoo dos nodos comunes, razón por la cual se afectan loselementos diagonales de la matriz admitancia de nodos.

3.2 EJEMPLO 2

Los datos de línea de un circuito cuya matriz admitancia denodos [Y] se desea obtener son los siguientes:

1) Se obtiene la matriz admitancia primitiva [ y ]invirtiendo la de impedancias propias y mutuas de loselementos del grupo acoplado, identificados con un valorunitario en las posiciesón que les corresponde en elvector acople. Es decir,

2) A continuación se forma una matriz admitancia de nodos[Y '] despreciando el efecto de los acoplamientos mutuosy suponiendo que las admitancias propias de loselementos del grupo acoplado son los diagonales de [y]en (14).

Los elementos diagonales de [Y '] se obtienen sumandotodas las admitancias incidentes al nodocorrespondiente, los no diagonales son iguales al valornegativo de la admitancia equivalente conectada entrelos dos nodos diferentes.

6

[Y )] '

39.4348 &13.8728 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 &14.4509 0.0000 0.0000 0.0000

&13.8728 44.7062 &10.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 &8.3333 0.0000 0.0000

0.0000 &10.0000 44.8748 &18.2081 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 &18.2081 56.1049 &11.1111 0.0000 0.0000 0.0000 &12.5000 &14.2857

0.0000 0.0000 0.0000 &11.1111 31.1111 &10.0000 0.0000 &10.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 &10.0000 37.7778 &16.6667 0.0000 0.0000 &11.1111

&14.4509 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 &16.6667 31.1175 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 &8.3333 0.0000 0.0000 &10.0000 0.0000 0.0000 25.0000 &6.6667 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 &12.5000 0.0000 0.0000 0.0000 &6.6667 19.1667 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 &14.2857 0.0000 &11.1111 0.0000 0.0000 0.0000 25.3968

[Y] '

29.0302 &8.6705 &2.8902 2.8902 0.0000 0.0000 &9.2486 0.0000 0.0000 0.0000

&8.6705 44.7062 &5.3757 &4.6243 0.0000 0.0000 &5.2023 &8.3333 0.0000 0.0000

&2.8902 &5.3757 44.8748 &18.2081 0.0000 0.0000 &1.7341 0.0000 0.0000 0.0000

2.8902 &4.6243 &18.2081 56.1049 &11.1111 0.0000 1.7341 0.0000 &12.5000 &14.2857

0.0000 0.0000 0.0000 &11.1111 31.1111 &10.0000 0.0000 &10.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 &10.0000 37.7778 &16.6667 0.0000 0.0000 &11.1111

&9.2486 &5.2023 &1.7341 1.7341 0.0000 &16.6667 31.1175 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 &8.3333 0.0000 0.0000 &10.0000 0.0000 0.0000 25.0000 &6.6667 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 &12.5000 0.0000 0.0000 0.0000 &6.6667 19.1667 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 &14.2857 0.0000 &11.1111 0.0000 0.0000 0.0000 25.3968

3) Puesto que los nodos terminales de los elementosmutuamente acoplados son 1-2, 1-7 y 3-4, los elementosde la matriz anterior se deben modificarsecuencialmente de la siguiente manera:

Sumar:

y12,17 a los elementos Y27 y Y72 una sola vez y a Y11 dosveces.

y12,34 a los elementos: Y13, Y31, Y24 y Y42.


Restar:




Efectuando secuencialmente estas operaciones aritméticasy utilizando en todo momento los valores más actualizadosde las correspondientes posiciones se obtiene finalmente lamatriz admitancia de nodos [Y].

4. ORDENAMIENTO OPTIMO DE ECUACIONES

Para calcular las corrientes a través de los elementos conectadosa cualquier nodo de fallo se requieren únicamente los elementosde la matriz impedancia de nodos correspondientes a lasposiciones diferentes de cero en la matriz admitancia de nodos[Y]. Como se hizo notar en el ejemplo 1, la factorización deésta conduce a una matriz triangular inferior unitaria [L] cuyopatrón de elementos diferentes de cero es el mismo aumentado

en las localizaciones donde se generarían elementos de rellenodurante el proceso de eliminación de Gauss. Para minimizarel número de éstos, es decir, para preservar la dispersidadde la matriz admitancia de nodos [Y] se sugieren en la literaturavarios algoritmos [9]. Sin embargo, el primero de ellos, es decir,el de numerar cada nodo de acuerdo al número de elementosconectados a él es aceptable únicamente para sistemas radialesaunque, en algunos casos, cuando se aplica a éstos, no eliminala aparición de elementos de relleno; el segundo no minimiza

7

el número de éstos; el tercero, por su parte, por ser exhaustivoy redundante, su implementación consumiría demasiado tiempo.Se recomienda el estudio y aplicación del algoritmo derenumeración sugerido en la referencia [2].

Nótese que la matriz del ejemplo 1 corresponde a la del ejemplo2 renumerada y que durante el proceso de eliminación deGauss en la una se generarían 24 elementos de relleno mientrasque en la otra solo aparecerían 8 (en Sistemas Eléctricosde Potencia de tamaño real la diferencia es mucho mássignificativa).

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8

l1 1 u1 j ' u1 j ' ap 1 j j ' 1, 2, 3,(A-1)

li 1 u1 1 ' ap i 1

i ' 1, 2, 3

li 1 'ap i 1

u1 1

(A-2)

l2 1 u1 j % l2 2 u2 j ' ap

j ' 2,u2 j ' ap 2 j & l2 1 u1 j

(A-3)

li1 u12 % li2 u22'api 2

i ' 3,

li2 'api 2 & li1 u12

u22

(A-4)

l3 1 u1 j % l3 2 u2 j % u3

j '

u3 j'ap 3 j &l3 1 u1 j &l3

(A-5)

li 1 u1 3 % li 2 u2 3 % li 3 u3

i ' 4,

li 3 'ap i 3 &li 1 u1 3 & li 2

u3 3

(A-6)

APÉNDICE A

Verificación de las ecuaciones (4) y (5)

Todos los resultados se obtienen de las ecuaciones (1) y (3).

Dejando invariable el valor de i = 1 y recordando que li r = 0para r > 1 y que l1 1 = 1, el producto escalar de la primerafila de [L] por cada una de las columnas de [U](j = 1, 2, 3, ..., n) permite obtener la primera fila de [U].

Para j = 1 y recordando que ur 1 = 0 para r > 1 (es decir, enla primera columna de [U] el único elemento … 0 es u1 1 queya se conoce de (A-1)), el producto escalar de las filas de[L] (i = 1, 2, 3, ..., n) por esa primera columna de [U] conducea los siguientes resultados para la primera columna de [L]

Dejando constante i = 2 y puesto que l2 1 ya se conoce de(A-2), l2 2 = 1 y l2 r = 0 para r > 2, del producto escalar de lasegunda fila de [L] con las columnas de [U] (j = 2, ... , n)se obtiene la segunda fila de [U]

Con j = 2, como ya se conocen u1 2 de (A-1) y u2 2 de (A-3)y recordando que ur 2 = 0 para r > 2, del producto escalar delas filas de [L] (i = 3 ,..., n) por la segunda columna de [U]se obtienen los elementos de la segunda columna de [L]

Similarmente, dejando constante i = 3 y puesto que ya seconocen l3 1 de (A-2), l3 2 de (A-4), l3 3 = 1 y que l3 r = 0 parar > 3, el producto escalar de la tercera fila de [L] con lascolumnas de [U] (j = 3, ..., n) conduce a la tercera fila de [U]

Con j = 3, como ya se conocen u1 3 de (A-1), u2 3 de (A-3)y u3 3 de (A-5) y recordando que ur 3 = 0 para r > 3 del productoescalar de las filas de [L] (i = 4, ..., n) por la tercera columnade [U] se obtienen los elementos de la tercera columna de[L]

Generalizando los resultados obtenidos hasta ahora se obtienen(4) y (5) para las que vale la pena aclarar que las sumatoriasque aparecen en ellas son nulas cuando el límite superior esmenor que el inferior y contienen un único elemento sumandocuando ambos límites son iguales.

__formación ybus

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