Serie documentos de trabajo

Formalismo cannico en economa aplicado a teora de portafolios

Jos Miguel Torres

El Colegio de Mxico

DOCUMENTO DE TRABAJO Nm. II 2013

Formalismo Cannico en Economa Aplicado a

Teora de Portafolios

Jos Miguel Torres

21 de enero de 2013

Abstract

Teora de portafolios sigue siendo de lo ms relevante: la seleccinde activos para el ahorro es una de las decisiones econmicas ms im-portantes. Las decisiones ptimas de los inversionistas de corto plazo notienen por qu coincidir con las de los de largo plazo, y a principios delos 1970s Merton desarroll un marco general para entender los efectosde oportunidades de inversin cambiantes sobre la demanda ptima deactivos.

Por mucho tiempo ha existido una gran brecha entre los desarrollostericos y el trabajo emprico, siendo una de las razones principales queresolver el modelo de Merton es muy difcil. Aunque la situacin ha em-pezado a cambiar recientemente gracias a avances en computacin y eldescubrimiento de soluciones analticas exactas, estas ltimas todava sonmuy escasas. En este trabajo desarrollamos una novel aplicando ideasdel formalismo cannico de fsica. En particular, usamos la frmula deFeynman-Kac para obtener una solucin que nos permite hacer estticacomparativa muy precisa. Adems, empleamos la adjunta de la mismafrmula para identicar la distribucin de probabilidad de los rendimien-tos que, a su vez, puede ser usada para estimar los procesos de difusin(con brincos) involucrados. La identicacin emplea transformadas deFourier.

Este trabajo est basado en un captulo de mi tesis doctoral en la Universidad de Har-vard, terminada a nes de 2007. La generalizacin de algunos de los resultados originales,la demostracin de algunos resultados que no se haban probado originalmente, el signica-tivamente ms alto rigor tcnico, y, ms importante, el descubrimiento de un signicativocontenido econmico de las herramientas tcnicas empleadas en este trabajo, deben mucho ami intensa interaccin con Wolfgang Bietenholz, Jens Erler, y Alberto Guijosa, del Institutode Ciencias Nucleares de la UNAM; con Daniel Olgun, del Cinvestav del IPN; con SergioHojman, de la Universidad de Chile; y a numerosas conversaciones con Carlos Reyes, de ElColegio de Mxico. Por supuesto, yo permanezco como el nico responsable de cualquier erroru omisin.

1

1 Introduccin

En su toma de protesta como Presidente de la Asociacin Americana de Fi-nanzas (AFA, por sus siglas en ingls), Campbell (2006) concluy mencionandoque el potencial de los economistas para promover la higiene nanciera paraaumentar el bienestar es inspirador. La seleccin de activos para el ahorro esuna de las decisiones econmicas ms importantes, y por esta razn teora deportafolios contina siendo de la mayor importancia.

Es generalmente aceptado que la teora moderna de nanzas empez con lostrabajos de seleccin de portafolios de Markowitz (1952) y Roy (1952). Aunquehoy nos parece de lo ms comn, en 1952 el anlisis de eleccin de portafolios eraun territorio bsicamente inexplorado, incluso entre los asesores de inversionesprofesionales. De hecho, es famosa la ancdota de que en la defensa de la tesisdoctoral de Markowitz, Milton Friedman, que estaba en el comit examinador,le dijo: Harry, no veo ningn error matemtico aqu, pero tengo una objecin.Esta no es una tesis en economa, y no te podemos dar un doctorado en economapor una tesis que no es en economa. No es matemticas, no es economa, nisiquiera es administracin de empresas. (Bernstein (2005)). An ms, Arrow(1951) menciona que apenas veinte aos antes, Fisher (1930) todava dudabade la viabilidad de una teora satisfactoria de comportamiento racional bajoincertidumbre.

Aunque Markowitz y Roy mostraron cmo deberamos elegir activos si slonos preocupara el rendimiento esperado y el riesgo (medido por la varianza) delos rendimientos de los portafolios para un solo periodo, sus ideas eran imposiblesde aplicar. Para empezar, para analizar N activos, era necesario estimar N

medias y N(N+1)2 covarianzas. Despus, haba que identicar aquellos portafolioscon los mayores rendimientos esperados para un nivel de riesgo dado. Porltimo, Cul de todos estos portafolios debera elegir el inversionista?

El tercero de los problemas anteriores fue resuelto por Tobin (1958) consu Teorema de Separacin: el proceso de encontrar el portafolio de activosriesgosos ms eciente est totalmente separado de la decisin de cmo dividir elportafolio total entre activos riesgosos y sin riesgo. Cinco aos despus, Sharpe(1961) dio otro gran paso para cerrar la brecha entre las ideas de Markowitzy las aplicaciones del mundo real: el modelo diagonal. Mejor conocido comoel modelo de ndice nico, la idea central del modelo diagonal es sustituir lascovarianzas entre cada par de activos por las correlaciones entre cada activo yalgn factor subyacente comn.

El reconocimiento de que los portafolios ptimos de los inversionistas decorto plazo no tienen por qu coincidir con los de los inversionistas de largoplazo se remonta a mediados de los 1960s, cuando, narran Campbell y Viceira(2002), Samuelson (1963, 1969), Mossin (1968), Merton (1969), y Fama (1970)describieron por primera vez las condiciones bajo las cuales las decisiones deambos tipos de inversionistas coinciden. En Stiglitz (1970) y Rubinstein (1976a,1976b) validaron tericamente la conjetura de Modigliani y Sutch (1966) deque para los inversionistas de largo plazo, los activos seguros son los bonos delargo plazo. Mayers (1972) y Fama y Schwert (1977) estudiaron los efectos

2

del capital humano en la eleccin de portafolios. Y fue el trabajo seminal deMerton (1971, 1973) el que proporcion un marco general para entender losefectos de oportunidades de inversin dinmicas sobre la demanda de activospara inversionistas de largo plazo.

Rubinstein (1976b) y Breeden (1979) ligaron el trabajo de Merton con lasdecisiones de consumo, una idea que ha tenido un impacto muy importante enmacroeconoma gracias al trabajo de Lucas (1978), Grossman y Shiller (1981),Shiller (1982), Hansen y Singleton (1983), y Mehra y Prescott (1985).

Por mucho tiempo ha existido una brecha enorme entre los desarrollos teri-cos anteriores y el trabajo emprico sobre eleccin de portafolios para el largoplazo. De hecho, Campbell y Viceira (2002) notan que en la mayora de loscursos de las maestras en administracin todava se ensea el anlisis media-varianza como si fuera un enfoque universal para eleccin de portafolios.

Una razn importante para esta lamentable situacin es que resolver el mod-elo de Merton es muy difcil. Afortunadamente, recientemente la situacin haempezado a cambiar, gracias a (1) avances en computacin y mtodos numricos,(2) el desarrollo de soluciones analticas aproximadas, y (3) el descubrimientode soluciones analticas exactas. Estas ltimas todava son muy pocas, y en estetrabajo desarrollamos una nueva aplicando ideas del formalismo cannico (defsica).

En particular, usamos la frmula de Feynman-Kac para obtener una solucinanaltica novel que nos permite hacer esttica comparativa muy precisa y dar unacaracterizacin clara del portafolio. Adems, empleamos la adjunta de la mismafrmula para identicar la distribucin de probabilidad de los rendimientos que,a su vez, puede ser usada para estimar procesos de difusin con brincos usandoel Mtodo Generalizado de Momentos (GMM, por sus siglas en ingls). En estaidenticacin juegan un papel crucial las transformadas de Fourier.

Es importante mencionar que este trabajo est basado en el captulo Ex-change Rate and Systemic Risks de mi tesis doctoral en la Universidad deHarvard, terminada a nes de 2007. A diferencia del trabajo original, enfocadoen una caracterizacin emprica de los mercados internacionales de capitales,aqu hacemos nfasis en la metodologa ah empleada. Por tanto, sera perfec-tamente vlido pensar en este trabajo como una labor de reconocimiento de lasbases sobre las que descansa Torres (2007). Pero, es muy importante aclarar,no se trata de una mera tarea de validacin, sino de una bsqueda de mejorentendimiento: despus de todo, el establecimiento del clculo estocstico comouna disciplina acadmica slida es muy anterior a 2007.

Acudimos a fuentes originales en fsica y matemticas, empezando por lamisma tesis de Feynman (Feynman (1942)), lo que nos permiti no solamentevalidar y elevar signicativamente el rigor tcnico de Torres (2007), sino tambindesarrollar intuicin sobre esta poderosa frmula que permite conectar teorade la probabilidad con ecuaciones diferenciales parciales. No sorpresivamente,los benecios no se hicieron esperar: slo por dar un ejemplo, esta intuicinnos permiti descubrir una interesante conexin entre las matemticas de lasnanzas en tiempo continuo y las del modelo (de crecimiento) de Ramsey (1928).

Es muy importante dejar bien claro que no reclamamos que nuestro trabajo

3

no tenga precedentes. De hecho, en 2001, en la inauguracin de las PrincetonLectures on Finance, Stephen Ross aludi, aunque muy brevemente, a la conex-in entre valuacin neutral-al-riesgo y mecnica cuntica (ver captulo 1 de Ross(2005)). An ms, sabemos de primera mano que mucho de este conocimientoota por todos lados, especialmente entre los denominados quants. Sin em-bargo, hasta donde tenemos entendido, prcticamente no hay nada documen-tado en la literatura de economa nanciera, y nos gustara pensar que nuestraprincipal contribucin es ayudar a detonar el estudio y uso sistemtico de es-tas avanzadas herramientas tcnicas en economa y nanzas. A propsito, ycomo mencionamos al inicio de este trabajo, detrs de nuestros resultados seencuentra una larga e intensa interaccin directa con fsicos que amablementehan compartido con nosotros su entendimiento fsico de las frmulas relevantes,y que entonces nosotros nos hemos dedicado a adecuar a economa y nanzas.

Este trabajo est organizado de la siguiente manera. En la segunda seccinhacemos una breve exposicin del formalismo cannico y hacemos explcita suconexin con la economa. El modelo es descrito y resuelto en la seccin tres,en donde tambin lo resolvemos analticamente y desarrollamos un mtodo paraestimar los procesos de difusin de los precios de los activos (el lector interesadopuede consultar Torres (2007) para una implementacin del modelo con datosreales). En la seccin 4 hacemos algunas observaciones nales, antes de repasaralgunos conceptos bsicos de anlisis de Fourier en el apndice.

2 Formalismo cannico

La base matemtica de nuestro trabajo es la frmula de Feynman-Kac, que nospermite calcular valores esperados resolviendo ecuaciones diferenciales.

Teorema (de Feynman-Kac). Si x es el proceso browniano dx = dt +dz, entonces

u (x, t) = E[e TtdsV (x(s),s) (x (T )) |x (t) = x

](1)

resuelve0 = ut + Lu+ V (x, t)u si t < T (2)

u (x (T )) = (x (T ))

donde L, el generador innitesimal del proceso de difusin, est dado por eloperador

x+

1

22

2

2x(3)

Prueba.1 Sean f1 (s) e stdV (x(),) y f2 (s) u (x (s) , s). Entonces, por

el lema de Ito, df1 = f1V ds y

df2 = (ut + Lu) ds+ uxdz = V uds+ uxdz = V f2ds+ uxdz1Aunque siguen siendo relativamente raras en la literatura econmica, estas herramientas

son de uso cotidiano en clculo estocstico y sta es una adaptacin propia de la prueba usadaen el saln de clases por el Profesor Robert Kohn, del Courant Institute of MathematicalSciences, en su curso Partial Dierential Equations for Finance en la primavera de 2003.

4

Adems,d (f1f2) = f1df2 + f2df1 + df1df2:

d (f1f2) = {f1f2V ds+ f1uxdz}+ uf1V ds+ df1df2

E [f1 (T ) f2 (T ) f1 (t) f2 (t)] = 0 (porque f2 = u,E [dz] = 0, y df1df2 = 0)

E [f1 (T ) f2 (T )] = f1 (t) f2 (t)

E[e TtdsV (x(s),s) (x (T ))

]= e

ttdsV (x(s),s)u (x (t) , t) = u (x (t) , t)

Adems, L, la adjunta de L, nos permite recuperar la distribucin de proba-bilidad de x, que vamos a denotar por f . En particular, f resuelve 0 = ftLf .

Denicin. Sea H un espacio de Hilbert y T : H H una transformacinlineal acotada. Si el operador lineal T satisface:

1. (Tf, g) = (f, T g) f, g H, donde (, ) denota un producto interior

2. T = T , donde T es la norma de T

3. (T )

= T

entonces decimos que T es la adjunta de T .En especco, la adjunta de L es

x

+1

22

2

2x(4)

Teorema. La distribucin de probabilidad de x, que vamos a denominar f ,resuelve la ecuacin 0 = ft Lf .

Prueba.2 Denamos la retcula xi = i y tj = jt, y consideremos elsiguiente modelo trinomial:

pjk (t) = Pr {X (t+ t) = xk|X (t) = xj} =

r (t, xj)

t2 para k = j + 1

1 r (t, xj) t2 s (t, xj)t2 para k = j

s (t, xj)t2 para k = j 1

para ciertas funciones no-negativas r y s.Observemos lo siguiente:

1. E [x] = (rt2

)+ ()

(st2

)= rs t t

2. varianza [x] = 2(rt2

)+ ()2

(st2

)= (r + s) t t

Entonces, podemos pensar en x como el proceso browniano dx = dt+ dz.Si pi (t) Pr {X (t) = xi}, entonces

pi (t+ t) = r (t, xi1)t

2pii (t) + s (t, xi+1)

t

2pi+i (t)

2Al igual que con el teorema de Feynman-Kac, esta prueba es un ejercicio clsico en loscursos de clculo estocstico pero poco conocida en la literatura econmica. Esta, es unaprueba propia.

5

+

(1 r (t, xi)

t

2 s (t, xi)

t

2

)pi (t)

pi (t+ t) pi (t)t

=2r (t, xi1) s (t, xi1)

22pii (t)

+2s (t, xi+1) r (t, xi+1)

22pi+i (t) 2

r (t, xi) + s (t, xi)

22pi (t)

pi (t)t

= (t, xi+1) pi+i (t) (t, xi1) pi1 (t)2

+ (t, xi+1) pi+i (t) 2 (t, xi) pi (t) + (t, xi1) pi1 (t)

22

p (t, x)t

= ( (t, x) p (t, x))x

+1

2

2 ( (t, x) p (t, x))

x2

= Lp (t, x)Para ganar intuicin, ahora consideremos el proceso x = z en un marco

de tiempo discreto, y tomemos la trayectoria de xt a xT {xs}Ts=t+1. Recor-dando que z N (0,t), la probabilidad de esta trayectoria es proporcionala

Ts=t+1

e(xs)

2

2t = e (xs)2

2t = e

t2 (

xst )

2

donde xst es una velocidad.Este resultado sugiere que en tiempo continuo, la probabilidad de la trayec-

toria x (s) es proporcional a e Ttds 12

.x

2

:

u (x, t) = E[e Ttds[ 12

.x

2V (x,s)] (x (T )) |x (t) = x]

(5)

E[e TtdsL(x,

.x,s) (x (T )) |x (t) = x

]En mecnica, el funcional L es conocido como el lagrangiano de la teora,

mientras que la integral I [x] TtdsL

(x,

.x, s)es llamada la accin. Normal-

mente es posible derivar las ecuaciones de movimiento de un sistema dinmicoa partir de L, y la ventaja principal del formalismo lagrangiano es que nos per-mite derivar la existencia de cantidades conservadas a partir de principios desimetra. Una cantidad conservada de especial importancia es el hamiltonianoH, denido como

( .xL.x L

).

El formalismo hamiltoniano nos permite describir el sistema dinmico us-ando ecuaciones diferenciales de primer orden para dos variables: la coorde-nada generalizada x y el momento generalizado p L

.x, que es el conjugado

cannico de x. 3

3En la actualidad mucho del trabajo en fsica de alta energa consiste en el estudio de lassimetras de los lagrangianos: con frecuencia, teora de grupos, el lenguaje matemtico de lassimetras, nos permite decir cosas interesantes y muy detalladas sobre algunos sistemas fsicosincluso cuando no conocemos todos los detalles. El lector interesado puede consultar Georgi(1999).

6

Es importante notar que en economa estas matemticas son menos extraasde lo que parecen a primera vista. Por ejemplo, el modelo de Ramsey es el prob-lema clsico que se puede resolver buscando la trayectoria (del capital fsico) queoptimiza una accin (la utilidad intertemporal del consumo). Esta trayectoriase implementa controlando el consumo.4

Pero no es en el rea de Crecimiento donde el formalismo lagrangiano ex-hibe su mayor gloria en Economa. Despus de todo, Por qu podramos estarinteresados en considerar todas las trayectorias posibles del capital (o, equiva-lentemente, todas las posibilidades de consumo)?

En 1973 Black y Scholes calcularon la solucin

xN (d1) cer(tt)N (d2) (6)

para su frmula

wt = rw rxwx 1

2v2x2wxx (7)

donde x es el precio de una accin; w el precio de una opcin call europeasobre ese activo; c y t son el precio de ejercicio y la fecha de vencimiento de laopcin, respectivamente; y r es la tasa de inters (constante).

En contraste con la ecuacin 6, la aplicacin del teorema de Feynman-Kac ala ecuacin de Black-Scholes arroja una frmula con una bonita interpretacineconmica:

w (x, t) = E[e ttds(r) max {x (t) c, 0} |x (t) = x

](8)

= er(tt)E [max {x (t) c, 0} |x (t) = x]

En espaol, el precio de la opcin es el valor presente del valor esperado desu pago futuro max {x (t) c, 0}, donde la esperanza se calcula sobre todas lastrayectorias posibles que puede seguir el precio de la accin entre t y t.

Mientras que en su trabajo original Black y Scholes slo consideraron unatasa de inters constante, la frmula de Feynman-Kac nos permite incorporarcon facilidad tasas de inters variables. El lector cuidadoso seguro habr obser-vado que en la ecuacin de Black y Scholes r juega el rol de la funcin V (x, t) delas ecuaciones 1 y 2. Por tanto, podemos considerar una tasa de inters variabler (x, t) que cambie no slo con el paso del tiempo, sino adems con el estado dela variable de estado x, en cuyo caso la ecuacin 8 se convierte en

w (x, t) = E[e ttdsr(s) max {x (t) c, 0} |x (t) = x

](9)

que preserva la idea de que el precio de la opcin no es ms que el valoresperado descontado de su pago futuro.

La integral 5, incluyendo el caso particular 9, es una integral funcional, queno es una integral ordinaria, y esto plantea problemas especiales. A diferen-cia de las integrales ordinarias, no existen tablas del estilo de Gradshteyn y

4Un buen punto de partida para aprender el modelo de Ramsey es Barro y Sala-i-Martin(2003). El primer autor, por cierto, en los 1960 estudi fsica en Caltech con el mismo RichardFeynman (ver Barro (2003)).

7

Ryzhik (1980) (aunque si hay algunos libros con ciertos casos ms o menosexticos, como Grosche (1996)). Si bien en los salones de clases normalmenteslo aprendemos a calcular de manera explcita integrales gaussianas, resultaque esto tpicamente es suciente para construir expansiones perturbativas.

No es ste el lugar para describir con profundidad las conexiones entremecnica cuntica y la llamada valuacin neutral-al-riesgo, pero vale la penamencionar que las muchas trayectorias que en fsica puede seguir un electrnde un lugar a otro, en nanzas se convierten en las muchas historias del preciodel activo subyacente (como ya mencionamos en la introduccin, hasta dondetengo entendido, el captulo 1 de Ross (2005) contiene una de las pocas referen-cias explcitas (muy breve, por cierto) en la literatura de economa nanciera aestas conexiones). Adems, es importante mencionar que a pesar de sus xitosen fsica, desde un punto de vista matemtico la tcnica de Feynman no es unobjeto bien denido, problema cuya solucin es uno de los siete Problemasdel Milenio planteados por el Instituto de Matemticas Clay (bajo la rbricaTeora de Yang-Mills).

En la siguiente seccin vamos a desarrollar una solucin analtica exacta parael modelo de Merton usando este formalismo cannico que acabamos de exponer.An ms, tambin vamos a usar la adjunta de la frmula de Feynman-Kac paraesbozar una metodologa que nos ayude a implementarlo empricamente.

3 Aplicaciones a teora de portafolios

3.1 El Sr. Merton conoce al Sr. Feynman

Un inversionista puede invertir su riquezaW en tres activos: un bono sin riesgo,con precio B; y dos activos riesgosos, con precio Pi, i {1, 2}. La dinmica delos precios es descrita por las siguiente difusiones:

dB

B= rdt

dPiPi

= idt+ idzi + JdQ

donde la correlacin entre dz1 y dz2 es ; y el brinco comn dQ (con magnitudJ) permite cambios discontinuos sistmicos en los rendimientos de los activosriesgosos. La ocurrencia de dQ es un proceso de Poisson con tasa que lleva alos precios de Pi a Pi (1 + J).

Antes de continuar con la descripcin del modelo, hagamos una breve digre-sin sobre cambios discontinuos sistmicos en los mercados de capitales. Por unlado, Barro (2006) es slo una de las ltimas de varias propuestas de considerarla posibilidad de desastres raros, que podramos modelar con nuestro dQ, paraexplicar la Anomala de la Prima Accionaria (esta idea se remonta al menosal trabajo del problema del peso de Rietz de 1988). Por otro lado, y comoya mencionamos en la introduccin, los origenes de este trabajo se encuentranen el captulo Exchange Rate and Systemic Risks de Torres (2007), en donde

8

se estudia el problema de un inversionista interesado en un portafolio globaldiversicado. En ese trabajo se consideraba el siguiente hecho emprico de losmercados internacionales de capitales: los eventos de alta volatilidad existen,y stos tienden a ocurrir al mismo tiempo entre pases (riesgo sistmico). Laevidencia emprica de la presencia de brincos en la mayora de los rendimientosde las acciones est bien documentada. Para tipos de cambio, no es tan amplia:ver, por ejemplo, Bates (1996), Jorion (1989), y Torres (2007).

Retomemos la descripcin de nuestro modelo: sean d y ei las fracciones de lariqueza invertidas en el bono y los activos riesgosos, respectivamente. Entonces,podemos escribir la ecuacin de acumulacin como

dW

W=dB

B+ e1

(dP1P1 dB

B

)+ e2

(dP2P2 dB

B

)= (r + e) dt+ ediag () dz + (e1 + e2) JdQ

donde e [e1e2

],

[1 r2 r

],

[12

](diag () es una matriz

con los elementos de en su diagonal y ceros en el resto de las posiciones), y

dz [dz1dz2

].

El inversionista busca maximizar el valor esperado del benecio W1

1 enuna fecha terminal T > t, donde es su aversin al riesgo.

Si u (W, t) = E[W 1T1 |Wt = W

], entonces, por la frmula de Feynman-Kac,

el portafolio ptimo debe resolver

0 = maxeut + Lu si t < T

u (W,T ) =W 1

1

Recordemos que

Lu (W

W+

1

22W 2

2

2W

)u+ E [u (W (1 + J) , t) u (W, t)]

donde la esperanza del segundo trmino es sobre la distribucin de proba-bilidad de J .5

Adivinemos que una solucin de u (W, t) es de la forma A (t) W1

1 :

0 = maxe

AtA

+(1 ) (r + e) 12 (1 ) ee+E

[(1 + (e1 + e2) J)

1 1]

(10)

5Observemos que el trmino E [u (W (1 + J) , t) u (W, t)] no apareca en el operador 3,donde no considerbamos objetos como dQ.

9

donde [

21 1212

22

].

La ecuacin 10 arroja las siguientes condiciones de primer orden:

0 = e+ E[(1 + (e1 + e2) J)

J

[11

]](11)

Desafortunadamente, la ecuacin 11 no es un sistema de ecuaciones partic-ularmente informativo.

Para desarrollar intuicin econmica sobre la importancia de los brincos,ahora nos vamos a mover a un marco ms especializado: como en Torres (2007),vamos a considerar = 2 y vamos a suponer 1 = 2 = . Adems, vamos asuponer que J , la amplitud del brinco, slo puede tomar dos valores: 0 conprobabilidad (1 p), y k2 con probabilidad p.

Hagamos una breve pausa para divagar sobre la magnitud del coeciente deaversin al riesgo . Una calibracin muy cruda del modelo de valuacin-de-activos basada-en-consumo de Lucas (1978) y Breeden (1979) llev a Mehra yPrescott (1985) a una estimacin de 38, un nmero calicado por Ross (2005)como ridculamente alto y que es conocido en la literatura como la Anomalade la Prima Accionaria (Campbell y Cochrane (2000) y Lettau y Ludvigson(2001) contienen una revisin completa de la literatura emprica). Nuestra elec-cin de = 2, debida principalmente a su conveniencia analtica, es consistentecon los argumentos de (i) Ross (2005) de que una cota superior razonable para es 5; y de (ii) Barro y Sala-i-Martin (2003) de que un rango de 25 es necesariopara explicar la evidencia emprica sobre las tasas de ahorro.

Ait-Sahalia, Cacho, y Hurd (2009) notan que los eigenvalores y eigenvectores

de

[1 1

]son (1 + ) y 1 =

[11

]; y (1 ) y 2 =

[11

]. Dado que

1 y 2 constituyen una base para R2, entonces debemos poder expresar elvector e como w11 + w22 para algn par de escalares w1 y w2. Notemos

que

[e1e2

]=

[w1 + w2w1 w2

]y (e1 + e2) = 2w1, por lo que la ecuacin 10 se

transforma en

0 = maxw1,w2

AtA r 2

{w1

(1 + 2

2 r) 2 (1 + )w21 +

pk

2

[1

1w1

+ k

]}

{w2 (1 2) 22 (1 )w22

}Adems de que podemos calcular w1 y w2 por separado, la solucin en tr-

minos de estas variables es muy intuitiva:

10

Esta ecuacin nos lleva a las siguientes condiciones de primer orden:

2

(1 + 2

2 r)

= 42 (1 + )w1 pk

(1 + w1k)2 (12)

y

(1 2) = 42 (1 )w2 (13)

La ecuacin 12 nos dice que la demanda global por activos riesgosos tieneuna parte miope que es creciente en su sobre-rendimiento promedio (1+22 r),y un componente de cobertura que cae con la correlacin entre sus rendimientos.

No hay ninguna sorpresa en el efecto de 2 sobre la exposicin global a losactivos riesgosos: a medida que aumenta su riesgo, se vuelven menos atrac-tivos para nuestro inversionista averso-al-riesgo. w1 cambia monotnicamentecon y p, y la direccin del cambio es determinada por el signo de k. Laintuicin es simple: cambios discontinuos positivos/negativos ms frecuentes,aumentan/disminuyen el atractivo de los activos riesgosos. Por cierto, nuestraespecicacin hace observacionalmente equivalentes a y p.

Dos fuerzas en posible competencia pueden volver ambiguos los efectos dek sobre la eleccin ptima de w1. Por un lado, saltos (positivos) ms grandesimplican mayores ganancias, aumentando as la demanda por activos riesgosos.Por otro lado, la varianza de la amplitud del brinco aumenta con el valor absolutode k, desalentando as la demanda por estos activos. Por supuesto, en presenciade cadas, ambas fuerzas apuntan en la misma direccin: saltos ms grandes noslo implican mayores riesgos, sino tambin prdidas mayores.

A partir de la ecuacin 13 podemos ver que la demanda relativa de los activosriesgosos es creciente en sus rendimientos esperados (demanda miope).

Respecto al componente de cobertura de la demanda relativa, la relacinentre w2 y es muy sutil: intuitivamente, a medida que crece, debera volverse

11

cada vez ms difcil poder diferenciar el riesgo de los activos riesgosos. Portanto, esperaramos que w2 se volviera cero. Aunque este razonamiento no esinconsistente con la expresin w2 121 (todo lo que necesitamos es que amedida que se acerque a uno, (1 2) tienda a cero con suciente rapidez),formalizar esto va ms all de los propsitos de este trabajo.

Por ltimo, por la naturaleza sistmica de los brincos, no debera consti-tuir ninguna sorpresa su irrelevancia para la demanda relativa de los activosriesgosos.

Cules son los efectos empricos de los riesgos sistmicos en la eleccin deportafolios? Todava ms importante, Cul es su signicancia econmica? Enla siguiente seccin vamos a mostrar como podemos usar la adjunta de la frmulade Feynman-Kac para esbozar una metodologa para estimar los parmetros delos procesos de difusin de nuestro modelo (el lector interesado puede consultarTorres (2007) para una implementacin del mtodo con datos reales).

3.2 El Sr. Merton conoce al Sr. Hilbert6

Ya antes hemos mostrado que podemos usar la adjunta de la frmula de Feynman-Kac para identicar la distribucin de probabilidad de un modelo de difusin,que denominamos f . Ahora vamos a hacer operativo este resultado.7

Empecemos recordando que la dinmica de los precios de los activos riesgososes descrita por dPP = dt + dz + JdQ. Si x logP , entonces, por el lema deIto, su proceso estocstico es dx = adt + dz + jdQ, donde a

( 12

2)y

j log (1 + J).En nuestra exposicin del formalismo cannico demostramos que f resuelve

la ecuacin 0 = ftLf , donde L es la adjunta del generador innitesimal delproceso de difusin:

Lf (a

x+

1

22

2

2x

)f + E [f (x j, t) f (x, t)] (14)

donde la esperanza E [f (x j, t) f (x, t)] es sobre la distribucin de prob-abilidad de j, (j): E [f (x j, t)] =

d (j) f (x j).

En general, ecuaciones como 0 = ft Lf , tambin conocidas como ade-lantadas de Kolmogorov, deben ser resueltas numricamente. Pero en el casode coecientes constantes podemos hacer algo mucho mejor.

Usando el hecho de que la transformada de Fourier convierte en multipli-cacin la diferenciacin (ver apndice), podemos trasladar nuestra ecuacin deKolmogorov al dominio de Fourier como sigue:

0 =

tf

(+iakf 1

22k2f + ( 1) f

)6El estudio de las transformaciones lineales, incluyendo sus adjuntas, ocupa un lugar central

en el anlisis de los espacios de Hilbert (ver, por ejemplo, Shakarchi y Stein (2005)).7Aunque en esta seccin slo vamos a considerar el caso univariado, excepto por la mayor

complejidad algebrica, la extensin al caso multivariado es directa (ver apndice C de Torres(2007)).

12

=

tf

(iak 1

22k2 + ( 1)

)f

tf Kf

Hemos llegado a una ecuacin diferencial ordinaria que no es difcil de re-solver: ft = f0e

tK .Recordemos la denicin de la transformada de Fourier: la transformada de

Fourier de f (x), f (k), se dene comodf (x) eikx. Porque f es una distribucin

de probabilidad, entonces podemos pensar en f como E[eikx

], es decir como

una funcin caracterstica. Por tanto, f0 = E[eikx0

]= eikx0 , y esto convierte a

etK en E[eik(xx0)

]. Es decir, etK es una funcin caracterstica para cambios en

los logaritmos de los precios a lo largo del horizonte temporal t o, para intervalosde tiempo pequeos, para log-rendimientos (que vamos a denotar por r).

Podemos usar s

sketK (evaluada en k = 0) para obtener una frmula para el

momento no-central nmero s de r:

s s

skE[eikr

]s

skeK

1 iE[reikr

]Kke

K

2 E[r2eikr

] (K2k +Kkk

)eK

3 iE[r3eikr

] (K3k + 3KkKkk +Kkkk

)eK

4 E[r4eikr

] (K4k + 6K

2kKkk + 4KkKkkk + 3K

2kk +Kkkkk

)eK

donde, por conveniencia analtica, hemos considerado el caso t = 1.Supongamos que j N (,). En este caso, la magnitud de los brincos est

acotada por debajo por 1 y no tiene ningn lmite superior; = eik 12k2; y

s s

skKs

skK|k=0

0 iak 122k2 +

(eik

12k

2 1)

0

1 ia 2k + (i k) eik 12k2 i (a+ )2 2 +

[(i k)2

]eik

12k

2 [2 +

(2 +

)]3

[(i k)3 3 (i k)

]eik

12k

2 i(3 + 3

)4

[(i k)4 6 (i k)2 + 32

]eik

12k

2 (4 + 62 + 32

)Podemos combinar los resultados de los dos cuadros anteriores para obtener

(despus de un nmero no despreciable de manipulaciones algebricas) frmulasanalticas para los primeros cuatro momentos centrales de r:

13

E [r] = iKk = a+ mE[(r m)2

]= Kkk =

2 + (2 +

) s2

E[(r m)3

]= iKkkk =

(2 + 3

)E[(r m)4

]= 3K2kk +Kkkkk = 3

(s2)2

+ (4 + 62 + 32

)Ya estamos listos para discutir la aplicacin del GMM para estimar los

parmetros de nuestro modelo, pero antes vamos a hacer un par de comentariosbreves sobre los resultados del ltimo cuadro.

Dado que es una probabilidad y una varianza, la frmula para el tercermomento muestra que los rendimientos estn sesgados, en donde , la media dela magnitud del salto, dene el signo del sesgo.

Segundo, y ms interesante, claramente el exceso de kurtosis (E[(r m)4

]

3(s2)2) es positivo. Justamente esto fue lo que llev a Press (1967) a introducir

brincos discontinuos como una posible explicacin de la alta kurtosis observadaen los rendimientos de las acciones.

Por ltimo, es importante mencionar que aunque desde un punto de vistaterico no hay ninguna razn para no considerar momentos de orden cinco osuperiores, los problemas prcticos que plantean son serios (a propsito, aunqueno se ocupa de la estimacin de procesos de difusin, Martin ha estudiadolos efectos de incluir cumulants8 de orden superior en el modelo clsico delCCAPM).

3.3 Dicultades prcticas para hacer trabajo emprico

En 1994 Melino oberv que a pesar de la cotidianidad del uso de modelos detiempo continuo en valuacin de activos, la cantidad y sosticacin del trabajoterico no haban sido igualadas por la investigacin emprica. Veinte aosms tarde el panorama no ha cambiado mucho, y una razn importante es quela estimacin no es fcil. En nuestra opinin, son tres las dicultades msimportantes: nuestro limitado conocimiento sobre las propiedades de GMMaplicado al clculo de Ito, la naturaleza de los datos disponibles, y problemasnumricos.

Aunque para la mayora de los procesos brownianos de relevancia prcticaGMM sigue siendo el nico estimador consistente y viable desde un punto devista computacional, todava es muy poco lo que sabemos sobre sus propiedades.De hecho, podramos calicar mucho de nuestro conocimiento como negativo,en el sentido de que sus limitaciones ocupan un lugar prominente entre lascosas que mejor conocemos. Por ejemplo, Campbell, Lo, y MacKinlay (1997)destacan que las propiedades de un estimador de GMM son muy sensibles a lascondiciones de momentos y la mtrica de la distancia usadas. Tambin, Ball yTorous (1985) han advertido que un comportamiento errtico de los momentos

8Hasta donde sabemos, no tenemos una palabra en espaol para este trmino en ingls.

14

muestrales de orden superior inducen una incertidumbre signicativa sobre eldesempeo de GMM.

Por otro lado, si bien es cierto que dinmicas de precios ms complejas au-mentan las combinaciones de parmetros que resultan en los mismas cantidadesobservables, ms serios son los problemas de medicin. En particular, bajomuestreo discreto, todos los cambios son discretos por naturaleza. Al respecto,Ait-Sahalia (2004) menciona que nuestras habilidades para inferir el origen decambios grandes se deterioran rpidamente cuando pasamos de intervalos deminutos a horas y a das. Adems, para periodos largos, los rendimientostienden a suavizarse debido a que los saltos suelen cancelarse entre si, desapare-ciendo as de las series de tiempo la evidencia visual de los brincos.

Por ltimo, tambin tenemos las dicultades numricas, sobre las cuales slovamos a mencionar que Beckers (1981), Ball y Torous (1983), Honore (1998), yTorres (2007) han documentado que un uso no-cuidadoso de las tcnicas numri-cas de optimizacin con frecuencia llevan a estimaciones inverosmiles (princi-palmente varianzas negativas e intensidades de los procesos de Poisson absur-damente grandes) y resultados estadsticos pobres (medidos por sus grandeserrores estndar).

4 Consideraciones nales

Sin duda todava queda mucho por hacer en el estudio de la eleccin ptimade portafolios para el largo plazo. Slo por dar un par de ejemplos, en nue-stro anlisis dejamos fuera caractersticas muy importantes de los mercados decapitales como costos de transaccin,9 capital humano, y consideraciones deequilibrio en los precios. Adems, y tal vez ms importante, cerrar la enormebrecha que existe entre la cantidad y sosticacin de la teora vs la prctica per-manece como un gran reto. Sin embargo, tampoco quedan dudas de que hemosavanzado mucho desde aquellos das circa 1930 en que, como comentamos en laintroduccin, Fisher argumentaba que una teora de eleccin bajo incertidumbrese antojaba imposible.

Referencias

Ait-Sahalia, Y. 2004. Disentangling Diusion from Jumps. Journal ofFinancial Economics, 74: 487-528.

Ait-Sahalia, Y., J. Cacho, y T. Hurd. 2009. Portfolio Choice with Jumps:A Closed Form Solution. Annals of Applied Probability, 19: 556-584.

9Weinberg (2013) menciona que en mecnica cuntica, el uso de cuadrculas (el trminoen ingls es lattices) para representar el espacio-tiempo y resolver numricamente la integralde Feynman est revelando aspectos del problema original que no son accesibles via teorade perturbaciones. Investigadores del Instituto de Ciencias Nucleares de la UNAM me hansugerido que estos hallazgos podran ser relevantes en nanzas, dada la imposibilidad de operaren tiempo continuo en los mercados reales.

15

Arrow, K. 1951. Alternative Approaches to the Theory of Choice inRisk-Taking Situations. Econometrica, 19: 404-437.

Ball, C., y W. Torous. 1983. A Simplied Jump Process for Common StockReturns. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 18: 53-65.

Ball, C., y W. Torous. 1985. On Jumps in Common Stock Prices andTheir Impact on Call Option Pricing. Journal of Finance, 40: 155-173.

Barro, R. 2003. Nothing is Sacred. The MIT Press.

Barro, R. 2006. Rare Disasters and Asset Markets in the TwentiethCentury. Quarterly Journal of Economics, 121: 823-866.

Barro, R., y X. Sala-i-Martin. 2003. Economic Growth. The MIT Press.

Bates, D. 1996. Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate Pro-cesses Implicit in Deutsche Mark Options. Review of Financial Studies,9: 69-107.

Beckers, S. 1981. A Note on Estimating the Parameters of the Diusion-Jump Model of Stock Returns. Journal of Financial and QuantitativeAnalysis, 16: 127-140.

Bernstein, P. 2005. Capital Ideas. John Wiley & Sons.

Black, F., y M. Scholes. 1973. The Pricing of Options and CorporateLiabilities. Journal of Political Economy, 81: 637-654.

Breeden, D. 1979. An Intertemporal Asset Pricing Model with Stochas-tic Consumption and Investment Opportunities. Journal of FinancialEconomics, 7: 265-296.

Campbell, J. 2006. Household Finance. Journal of Finance, 61: 1553-1604.

Campbell, J., y J. Cochrane. 2000. Explaining the Poor Performanceof Consumption Based Asset Pricing Models. Journal of Finance, 55:2863-2878.

Campbell, J., y L. Viceira. 2002. Strategic Asset Allocation: PortfolioChoice for Long-Term Investors. Oxford: Oxford University Press.

Campbell, J., A. Lo, y A. MacKinlay. 1997. The Econometrics of Finan-cial Markets. Princeton University Press.

Due, D. 2001. Dynamic Asset Pricing Theory. Princeton UniversityPress.

Fama, E. 1970. Multiperiod Consumption-Investment Decisions. Amer-ican Economic Review, 60: 163-174.

16

Fama, E., y W. Schwert. 1977. Asset Returns and Ination. Journal ofFinancial Economics, 5: 115-146.

Feynman, R. 1942. Feynman's Thesis. World Scientic.

Feynman, R. 1963. The Principle of Least Action. En The FeynmanLectures on Physics, Vol. 2 Addison Wesley Publishing.

Feynman, R., A. Hibbs, y D. Styer. 2010. Quantum Mechanics and PathIntegrals. Dover Publications.

Fisher, I. 1930. The Theory of Interest. Macmillan.

Georgi, H. 1999. Lie Algebras in Particle Physics. Westview Press.

Gradshteyn, I., y I. Ryzhik. 1980. Table of Integrals, Series and Products.Academic Press.

Grosche, C. 1996. Path Integrals, Hyperbolic Spaces, and Selberg TraceFormulae. World Scientic.

Grossman, S., y R. Shiller. 1981. The Determinants of the Variability ofStock Market Prices. American Economic Review, 71: 222-227.

Hansen, L., y K. Singleton. 1983. Stochastic Consumption, Risk Aver-sion, and the Temporal Behavior of Asset Returns. Journal of PoliticalEconomy, 91: 249-268.

Honore, P. 1998. Pitfalls in Estimating Jump-Diusion Models. Work-ing Paper Series 18, Aarhus School of Business.

Jorion, P. 1989. On Jump Processes in the Foreign Exchange and StockMarkets. Review of Financial Studies, 1: 427-445.

Lettau, M., y S. Ludvigson. 2001. Resurrecting the (C) CAPM: A Cross-sectional Test When Risk Premia Are Time Varying. Journal of PoliticalEconomy, 109: 1238-1287.

Lucas, R. 1978. Asset Prices in an Exchange Economy. Econometrica,46: 1429-1446.

Markowitz, H. 1952. Portfolio Selection. Journal of Finance, 7: 77-91.

Martin, I. Consumption-Based Asset Pricing with Higher Cumulants.Review of Economic Studies, por publicarse.

Mayers, D. 1972. Nobmarketable Assets and Capital Equilibrium UnderUncertainty. En M. Jensen (editor), Studies in the Theory of CapitalMarkets, Praeger.

Mehra, J., y E. Prescott. 1985. The Equity Premium: A Puzzle. Journalof Monetary Economics, 15: 145-161.

17

Melino, A. 1994. Estimation of Continuous-Time Stochastic Processes inFinance. En C. Sims (editor), Advances in Econometrics, Sixth WorldCongress, Vol. II, Cambridge University Press.

Merton, R. 1969. Lifetime Portfolio Selection Under Uncertainty: TheContinuous Time Case. Review of Economic and Statistics, 51: 247-257.

Merton, R. 1971. Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model. Journal of Economic Theory, 3: 373-413.

Merton, R. 1973. An Intertemporal Capital Asset Pricing Model. Econo-metrica, 41: 867-887.

Modigliani, F., y R. Sutch. 1966. Innovations in Interest Rate Policy.American Economic Review, 56: 178-197.

Mossin, J. 1968. Optimal Multiperiod Portfolio Policies. Journal ofBusiness, 41: 205-225.

Press, S. 1967. A Compound Events Model of Security Prices. Journalof Business, 40: 317-335.

Ramsey, F. 1928. A Mathematical Theory of Saving. Economic Journal,38: 543559.

Rietz, T. 1988. The Equity Risk Premium: A Solution. Journal ofMonetary Economics, 22: 117-131.

Ross, S. 2005. Neoclassical Finance. Princeton University Press.

Roy, A. 1952. Safety First and the Holding of Assets. Econometrica, 20:431-449.

Rubinstein, M. 1976a. The Strong Case for the Generalized LogarithmicUtility Model as the Premier Model of Financial Markets. Journal ofFinance, 31: 551-571.

Rubinstein, M. 1976b. The Valuation of Uncertain Income Streams andthe Pricing of Options. Bell Journal of Economics, 7: 407-425.

Samuelson, P. 1963. Risk and Uncertainty: A Fallacy of Large Numbers.Scientia, 98: 108-113.

Samuelson, P. 1969. Lifetime Portfolio Selection by Dynamic StochasticProgramming. Review of Economics and Statistics, 51: 239-246.

Sharpe, W. 1963. A Simplied Model for Portfolio Analysis. Manage-ment Science, 9: 277-293.

Shiller, R. 1982. Consumption, Asset Markets, and Macroeconomic Fluc-tuations. Carnegie Mellon Conference Series on Public Policy, 17: 203-238.

18

Shakarchi, R., y E. Stein. 2003. Fourier Analysis. Princeton UniversityPress.

Shakarchi, R., y E. Stein. 2005. Real Analysis. Princeton UniversityPress.

Shakarchi, R., y E. Stein. 2011. Functional Analysis. Princeton UniversityPress.

Stiglitz, J. 1970. A Consumption-Oriented Theory of Demand for Finan-cial Assets and the Term Structure of Interest Rates. Review of EconomicStudies, 37: 321-351.

Tobin, J. 1958. Liquidity Preferences as Behavior Towards Risk. Reviewof Economic Studies, 25: 68-85.

Torres, M. 2007. Essays on International Capital Markets. Tesis doc-toral, Harvard University.

Weinberg, S. 2013. Lectures on Quantum Mechanics. Cambridge Univer-sity Press.

Apndice: transformadas de Fourier

La conexin del anlisis de Fourier con nuestro trabajo viene de que esta ramadel anlisis empez con dos ecuaciones diferenciales parciales, la de la onda yla del calor, que fueron resueltas usando series de Fourier. En este apndice,basado en Shakarchi y Stein (2003), vamos a presentar las propiedades de lastransformadas de Fourier que usamos en el cuerpo principal de este trabajo.

Denicin. Dadas dos funciones f y g en R, denimos su convolucin(f g) (x) como

dyf (y) g (x y).

Denicin. El espacio de Schwartz (en R) es el conjunto de todas lasfunciones indenidamente diferenciables f tales que f y todas sus derivadas sonrpidamente decrecientes. Denotamos a este espacio por S (R).

Denicin. Si f S (R), denimos su transformada de Fourier para k Rcomo f (k)

df (x) eikx (este paso lo representamos como f f).

Proposicin. La transformada de Fourier intercambia diferenciacin pormultiplicacin: si f S (R), entonces fx ikf .

Prueba. (Ver, por ejemplo, proposicin 1.2 en el captulo 5 de Shakarchi yStein (2003)).

Teorema (de inversin de Fourier). La transformada de Fourier es

invertible: si f S (R), entonces f (x) = (2)1df (k) eikx.

Prueba. (Ver, por ejemplo, teorema 1.9 en el captulo 5 de Shakarchi yStein (2003)).

Proposicin. La transformada de Fourier intercambia convolucin por mul-tiplicacin: si f, g S (R), entonces f g f g.

Prueba. (Ver, por ejemplo, proposicin 1.11 en el captulo 5 de Shakarchiy Stein (2003)).

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