formeln und gleichungen - elektro.net · formeln und gleichungen wichtige größengleichungen . . ....

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#11

6662

88

Formeln und Gleichungen

Wichtige Größengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Wichtige Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Wichtige Zahlenwertgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Magnetische Größengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Gleichungen zu Drehstrommaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Leistungs- und Drehmomentverhältnisse polumschaltbarer Motoren . . 10

Gleichungen zu Gleichstrommaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Gleichungen zu Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Stern-Dreieck-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

FORMELN UND GLEICHNUNGEN 2©

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g

Wichtige Größengleichungen

Wichtige Definitionen

Translation Rotation

ω = 2 · π · n P = M · ωv = ω · r = 2π · n · r M = J · αϕ = ω · t = 2π · n · t W = M · ϕ

α = W =

M = F · r J = m · r 2

v = F = m · a

s = v · t W = F · s

a = W =

P = F · v Wpot = m · g · h

Wirkungsgrad η = = = 1 –

Übersetzung i =

m · v2

2 J · ω 2

2

st

vta

PabPzu

n1n2

Pzu – VPzu

Pzu Aufnahme

Pab Abgabe

PV Verluste

n1 Eingangsdrehzahl

n2 Ausgangsdrehzahl

PVPzu

ωta


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g

Wichtige Zahlenwertgleichungen

Bei Zahlenwertgeichungen oder zugeschnittenen Größengleichungen sinddie jeweis vorgegebenen Einheiten zu beachten. Gewichte sind im SI stetsim Sinne einer Masse in kg anzugeben.

Leistung

Hubbewegung P =

Translation P =

FR = µ · m · g

Rotation P =

Drehmoment

M = F · r

M =

Arbeit

W = F · s = m · g · s

W =

Beschleunigungs- oder Bremszeit

ta =

m · g · vη · 1000

FR · v1000

M · n9550

9550 · Pn

J · n2

182,5

J · n9,55 · Ma

P Leistung in kWFR Reibwiderstand in Nm Masse (Gewicht) in kg

g Fallbeschleunigung (9,81) in m/s2

v Geschwindigkeit in m/sη Wirkungsgrad ab Dezimal-

bruchµ ReibungszahlM Moment in Nmn Drehzahl in 1/min

M Drehmoment in NmFR Reibwiderstand in Nr Hebelarm (Radius) in mP Leistung in kWn Drehzahl in 1/min

W Arbeit (Energie) in Nm = Ws = JF Kraft in Ns Weg in mm Masse (Gewicht) in kg

g Fallbeschleunigung (9,81) in m/s2

J Masseträgheitsmoment in kgm2

n Drehzahl in 1/min

ta Beschleunigungs- oder Brems-zeit in s

J Masseträgheitsmoment in kgm2

n Drehzahl in 1/minMa Beschleunigungs- oder Brems-

moment in Nm


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g

Massenträgheitsmoment und Schwungmoment

Der früher im technischen Maßsystem üliche Begriff „SchwungmomentGD2“ wurde nicht in das SI übernommen. Für Berechnungn mit dem Massenträgheitsmoment mr2 sind daher nicht nur die unterschiedlichenEinheiten, sondern auch die anderen Definitionen zu beachten.

Vollzylinder

J = · m · ra2 = · 1000 · π · ρ · l · da

4 = 98 · ρ · l · da4

Hohlzylinder

J = · m · (ra2 + ri

2) = · 1000 · π · ρ · l · (da4 – di

4)

= 98 · ρ · l · (da4 – di

4)

Linearbewegung als Tangente am Kreis

Da hier das Gewicht G als Masse in kg verstanden wird, sind die Zahlen-werte von m und G gleich. Für die Umrechnung von Schwungmomenten giltdaher

J = .

Das heißt, die Zahlenwerte des GD2 (in kpm2) sind durch 4 zu teilen und er-geben so die Zahlenwerte von J (in kgm2).

GD2

4

r

m

d

G

d2

m · d2

4J = m · r 2 = m · ( )2 = GD2 = G · d2

12

12

132

132


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g

Umrechnung einer Massenwirkung von Tranlation auf Rotation

J = 91,2 · m ·

Trägheitsfaktor

Der Trägheitsfaktor FI (Factor of Inertia) ist das Verhältnis sämtlicher auf dieDrehzahl des Motors umgerechneter und von ihm angetriebener Masseneinschließlich des Motorläufers zum Trägheitsmoment des Motorläufers,also

FI = =

v 2

n2

Jtotal

Jrotor

Jextern1 + Jrotor

Jrotor

J Massenträgheitsmomentin kgm2 in kW

m Masse in kgr Radius in m

da Außendurchmesser in m

di Innendurchmesser in m

ra Außenradius in m

ri Innenradius in ml Länge in mr Radius in mρ Dichte in kg/dm3

v Geschwindigkeit in m/s n Drehzahl in 1/min


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g

Größe Formel Einheit/Erläuterung

Durchflutung Θ = I · w A(Magnetische Spannung)

Teilspannungen bei Luft Vδ = · δ = Hδ · δ A

bei Eisen VFe = HFe · lFe A

Magnetische Feldstärke H = =

Magnetischer Fluss Φ = B · A = Vs

Magnetische Flussdichte B = = µ0 · µr · H = T(Induktion)

Magnetischer Rm = = =Widerstand

Absolute Permeabilität µ = µ0 · µr

Permeabilitätszahl ohne Einheit(Magnetische µr = δ = bezogen Durchlässigkeitszahl) auf denLuftspalt

Magnetische µ0 = 4 · π · 10 –7

Feldkonstante

Erzeugte Spannung U0 = B · l · v · z Vin mehreren Leitern

Kraftwirkung F = B · l · I · z Nauf mehrere Leiter

Kraftwirkung eines Magneten– für Gleichstrom F = Bδ Luftspaltinduktion

in Vs/m2

– für Wechselstrom F = A Querschnitt pro Polfläche in m2

– für Drehstrom F = 3 ·

Bδ

µ 0

BFe

Bδ

Bδ2 · A

2 · µ0

Bδ2 · A

4 · µ0

Bδ2 · A

4 · µ0

Θ

l

Φ

Rm

Φ

A

Θ

Φ

A

m

Vs

m2

Vs

Am

Vs

Am

A

Vs

1

Ωs

I · w

l

l

µ0 · µr · A

Magnetische Größengleichungen


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g

Umrechnung von Drehmoment und Spannung von Asynchronmaschinen

Formeln zur Umrechnung für Arbeitsmaschinen mit quadratischem Drehmoment

a) M ≈ n2

b)

WicklungsumrechnungAlle Berechnungen bei Beibehaltung des Drehmoments!

Spannung

Drehzahls1 = s2 (Schlupf bleibt erhalten)

s1 ≈ s2 (Schlupf ändert sich)

für beide Fälle gilt:

(Leistung ändert sich)

Frequenz

(Leistung ändert sich)

Gleichungen zu Drehstrommaschinen

M1

M2

U1

U2= ( )

2

U1

U2

z1

z2

=A2

A1

z1

z2

d22

d12=

z1

z2

=

p1

p2

z1

z2

=

P2

P1

n2

n1

=

f2f1

z1

z2

=

A2

A1

z1

z2

d22

d12=

z1

z2

=

n2

n1

z1

z2

=A2

A1

z1

z2

d22

d12=

z1

z2

=

A2

A1

z1

z2

d22

d12=

z1

z2

=

P2

P1

n2

n1=~ ( )

3

p Polpaarzahlz Leiterzahl

P Leistung


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Wirkungsgradbestimmung

Scheinleistung S1 = 3 · U1 · I1 VA

Blindleistung Q1 = 3 · U1 · I1 · sin ϕ var

Wirkleistung Pzu = 3 · U · I · cos ϕ

= 3 · UStr1 · IStr1 · cos ϕ W

Ständerkupferverluste PCu1 = 3 · IStr 12 · RStr 1 W

Eisenverluste ca. 6 W/kg bei 50 Hz W

Ständerzusatzverluste 0,005 · Pzu W

Drehfeldleistung Pd = Pzu – (PCu1 + PFe + PZ1) W

Läuferverluste PCu2 = Pd · s = Pd – Pmech

= 3 · IStr 22 · RStr 2 W

Näherungsformel:

PRotor = s % · 10,75

· Pab [kW] W

Läuferzusatzverluste sehr gering bei Nennbetrieb

Mechanische Leistung Pmech = Pd – PCu2 (1 – s) W

Reibungsverluste PRbg messtechn. ermitteln

Abgegebene Leistung Pab = Pmech – PRbg W

Pab = M · ω

Pab =

η = = 1–

W

% · kW

M · ω9,55

PVges

Pzu

PCu1

Pzu = 100 %

Pd

Pmech

PFe

PZ1

PCu2

PZ2

PRbg

Pzu – PVges

Pzu


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P1

P2

P1

P2

1

3

≈ 1

P1

P2≈ 1

P1

P2≈ 1

P1

P2≈ 3

P1

P2≈ 4

P1

P2≈ 1

P1

P2≈ 12

P1

P2≈ 4

P1

P2≈ 12

≈

P1

P2

1

4≈

P1

P2

1

12≈

P1

P2

1

4≈

P1

P2

3

4≈

P1

P2

4

3≈

P1

P2

1

3≈

M1

M2

M1

M2

2

3

≈ 2

M1

M2≈ 2

M1

M2≈ 2

M1

M2≈ 6

M1

M2≈ 8

M1

M2≈ 2

M1

M2≈ 24

M1

M2≈ 8

M1

M2≈ 24

≈

M1

M2

1

2≈

M1

M2

1

6≈

M1

M2

1

2≈

M1

M2

5

4≈

M1

M2

8

3≈

M1

M2

2

3≈

Schaltung n1/n2 Leistungsverhältnis Drehmomentverhältnis

/

/

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Leistungs- und Drehmomentverhältnisse polumschaltbarer Motoren


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Gleichungen zu Gleichstrommaschinen

Eingängige SchleifenwicklungZahl der parallelen Ankerstromkreise gleich Polzahl

2 a = 2 p ; (a = p)

Anzahl der Kommutatorsegmente

K = Q · u

K = S

Spulenzahl

S =

Wickelschritte

Durchmesserwicklung

Y1 =

Sehnenwicklung

Y1 = · ε

Sehnung

ε =

Nutenschritte

YQ = (ganze Zahl – normale Wicklung)

YQ = (gebrochene Zahl – Treppenwicklung)

YQ ≈ τp ≈ ; τp = (Polteilung)

ztotal

2 · wTeilspule

K

2 p

K

2 p

Q

2 p

dA · π2 p

YQ gesehnt

YQ ungesehnt

Y1

u

Y1

u

K KommutatorQ NutenS Spulenzahlu Spulenseitenzahl pro Nut und Schicht

z Leiterzahl

Y1 SpulenschrittY2 SchaltschrittYQ NutschrittYC Kollektorschritt


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Gesamt- bzw. Kollektorschritt (Kommutatorschritt)

YK = Y1 – Y2 YK = + 1 (ungekreuzte Wicklung)

YK = ± 1 YK = – 1 (gekreuzte Wicklung)

Y2 = Y1 – 1 (ungekreuzt)

Y2 = Y1 + 1 (gekreuzt)

Eingängige Wellenwicklung2 a = 2 (a = 1)

Kollektorschritt

YK = Y1 + Y2 (ganzzahlig)

YK = (ungekreuzte Wicklung)

YK = (gekreuzte Wicklung)

Durchmesserwicklung

Y1 = Y2 = =

Sehnenwicklung

Y1 = · ε

Nutenschritte

YQ = (ganze Zahl – normale Wicklung)

YQ ≈ · ε (gebrochene Zahl – Treppenwicklung)

AusgleichswicklungenEingängige Schleifenwicklungen

Ya = (ganze Zahl)

Symmetriebedingungen: = (ganze Zahl)

K – 1

p

YK

2

Y1

u

K

2 p

K

2 p

K

aK

p · u

Q

P

Q

2 p

K + 1

p

Ya Ausgleichsschritte


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Zweigängige Schleifenwicklungen

Aa = = (ungerade ganze Zahl bevorzugt)

Eingängige Wellenwicklungeneingängige Wellenwicklungen benötigen keine Ausgleichswicklung

Mehrgängige Wellenwicklungen

Ya = = (ganze Zahl)

Lamellenspannung (Steg- oder Kollektorspannung)

u0L = =~ in V

Urspannung der Gleichstrommaschine

U0 = in V

U0 = Ukl ± URi (+Generator / – Motor)

Aktive Ankerwindungen

waktiv =

Mittlere Ankerleiterlängelm= lFe + 1,5 · τp

Gesamte Ankerleiterlängelges = lm · ztotal

Kupfergewicht (Drahtgewicht)

m =

Ankerwiderstand

RA = =

Stromdichte der Ankerwicklungen

S =

S

p

K

p

K

a

K

n

U0 · 2 p

K

Ukl · 2 p

K

K · wTeilspule

2 a

lges · A · ρ1000

Ia2 a · A

lges

χ · A · (2 a)2 χ · A · (2 p · n)2

Da · π

2 p

p · Φ · n · ztotal

a · 60

2 · w · S · · 1,5 + lFe( )


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Gleichungen zu Transformatoren

Größe Formel Einheit / ErläuterungSpannungsgleichung U0str = 4,44 · Φ · wstr · f V Φ in VS

U0str = 4,44 · B · AFe · wstr · f V wstr aktive Windungszahl U0str = 4,44 · B · A · kFe · wstr · f V pro Strang

f in Hz; 1/sB in Vs/m2; TA, AFe in m2

kFe Stapel- oder Eisen-füllfaktor in Dezimalangabe

Windungsspannung u0 = 2,22 · Φ ·102 Vbei 50 Hz

Übersetzungsverhältnis ü = = = = U0 = U bei η = 1

Kurzschlussbedingungena) Relative Kurzschluss- uK = % UK absolute Kurzschluss-

spannung spannungUN Nennspannung

b) Dauerkurzschluss- IKD = A IN Nennstromstrom

Parallelschaltung

a) Mittlere Kurzschluss- uK = V Sn Summe der Nenn-spannung scheinleistungen

SN1; SN2; Nennschein-leistungen

b) Lastverteilung S1 = SN1 · in VAuK1; uK2; Kurzschluss-

spannungenin %

uKm mittlere Kurz-schlussspannungin %

Wirkungsgrad

a) Leistungswirkungs- η = Pzu zugeführtegrad bei Nennlast Leistung

Pab abgegebene= = Leistung

U01

U02

UK · 100 %

UN

u Km

uK1

SN1

uK1

IN · 100 %

uK

S2 · cos ϕ2

S2 · cos ϕ2 + PFe + PCu

Pab

Pab + PFe + PCu

Pab

Pzu

SN

w1

w2

I2I1

Z1

Z2

+SN2

uK2

+ …


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Größe Formel Erläuterung

b) Leistungswirkungs- η = grad bei Teillast

=

c) Jahreswirkungs- ηJ = grad bei Nennlast

= =

d) Jahreswirkungsgrad bei Teillast

ηJ =

Spartransformator U1 > U2 U1 Primärspannung in V(ohne Eisen- und U2 Sekundärspannung in VAKupferverluste) SB = SD · 1 – = SD · 1 – SD Durchgangsleistung in VA

SB Bauleistung in VAU2 > U1

SB = SD · 1 – = SD · (1 – ü)

Leistungsbestimmung S2 = · n · f Kerntyp naus mechanischen (Anzahl bewickelter Kerne)Abmessungen n = 1 Einphasen-Manteltrafo

n = 2 Einphasen-Kerntrafon = 3 DreiphasentrafoS2 Sekundärschein-

leistung in VAAFe Eisenkernquerschnitt

in cm2

CFe Konstruktionskonstante(4 … 8) cm2 (VAs)–1/2

kleiner Wert für hoheFlussdichten

f Netzfrequenz in 1/s = Hz

n · S2 · cos ϕ2

n · S2 · cos ϕ2 + PFe + n2 · PCu

n · S2 · cos ϕ2 · tBn · S2 · cos ϕ2 · tB + PFe · tB+ n2 · PCu · tB

n · Pab

n · Pab + PFe + n2 · PCu

Pab

Pab · tB + PFe · tE + PCu · tB

Wab · tBWab + WFe + WCu

Wab

Wzu

S2Teilleistung

S2Nennleistung

U2

U1

1

ü( () )U1

U2( )

AFe

CFe( )

2

PFe Leerlaufverluste(Eisenverluste)

PCu Kurzschlussverluste(Kupferverluste)

Wzu zugeführte EnergieWab abgegebene EnergietE Einschaltzeit

365 Tage x 24 Std.= 8 760 Std.

tB Belastungszeit

Lastfaktor:

n =


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Größe Formel Einheit Erläuterung

Einphasen- S2 ≈ Q · AFe VA S2 Sekundärscheinleistungtransformator in VA

Q FensterquerschnittDrehstrom- S2 ≈ 1,5 · Q · AFe VA in cm2

transformator AFe Eisenkernquerschnittin cm2

Umwandlung der Schaltung von Querschnitte Windungszahlen

Stern- auf Zick-Zack-Schaltung Az = AY WzStr = 1,16 · WYStr

Stern- auf Dreieck-Schaltung A∆ = W∆Str = 3 · WYStr

Zick-Zack- auf Dreieck-Schaltung A∆ = W∆Str = 1,5 · WzStr

Dreieck- auf Stern-Schaltung AY = 3 · A∆ WYStr =

Dreieck- auf Zick-Zack-Schaltung Az = 3 · A∆ WzStr = 0,67 · W∆Str

Tabelle zum Transformator Querschnitts- und Windungszahländerung bei gleicher Ausgangsspan-nung und gleicher Ausgangsleistung für Stern-, Dreieck- und Zick-Zack-Schaltung für Drehstromtransformatoren auf der Sekundärseite.

AY

3

Az

3

W∆Str

3


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SΣST1uKT1

ST2uKT2

+uKm =

Lastaufteilung parallelgeschalteter TransformatorenUm einzelne parallel geschaltete Transformatoren nicht zu überlasten, dür-fen die relativen Kurzschlussspannungen (uk) maximal 10% voneinander ab-weichen.

Beispiel zur Lastverteilung bei unterschiedlichen Kurzschluss-spannungen:

Trafo 1: Trafo 1:ST1 = 1000 kVA ST2 = 1000 kVAuKT1

= 6 % uKT2= 4 %

Parallelschaltbedingungen für Drehstromtransformatoren:1. gleiche Bemessungsfrequenz 2. gleiche Bemessungsspannung 3. annähernd gleiche Kurzschlussspannung

(Abweichungen ≤ 10% sind zulässig)4. gleiche Schaltgruppen 5. Verhältnis der Bemessungsleistung maximal 3:16. phasenrichtiger Anschluss

uKmuKT1

2000 kVA

1000 kVA6 %

4,8 %6 %

1000 kVA4 %+

uKm = = 4,8 %

ST1* = ST1 = 1000 kVA · = 800 kVA

uKmuKT2

4,8 %4 %ST2* = ST2 = 1000 kVA · = 1200 kVA


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Stern-Dreieck-Transformation

Die Stern-Dreieck-Transformation oder Dreieck-Stern-Transformation (engl.:Star-Delta-Transformation bzw. Delta-Star-Transformation) bedeutet in derElektrotechnik eine schaltungstechnische Umformung von jeweils drei elek-trischen Widerständen, die der Schaltungsanalyse von Widerstandsnetzwer-ken, z. B. den Wicklungen in elektrischen Maschinen, dient. Zur Verdeutli-chung soll die Darstellung in den Bildern 1 und 2 dienen.

Bei der Stern-Dreieck-Transformation wird die sternförmige ( ) Anord-nung der Widerstände in eine äquivalente dreieckförmige ( ) Widerstands-anordnung umgeformt. Die Dreieck-Stern-Transformation bildet das Gegen-stück dazu und ermöglicht die umgekehrte Umformung. Absolute Bedingungdabei ist, dass die elektrischen Anschlusswerte, z. B. die Widerstandswerteoder die Spannungsfälle zwischen den Anschlussklemmen 1, 2 und 3 exaktgleich bleiben. Folgend den Regeln für Parallelschaltung und Reihenschal-tung von Widerständen werden bei dieser Transformation nur die dreiWiderstandswerte durch geeignete Ersatzwerte für die neue Schaltungsan-ordnung umgerechnet bzw. ausgetauscht.

R10 (Z10)

R20 (Z20)R30 (Z30)

1

23

Bild 1: Drei ohmsche Wider-stände R10 – R30 bzw. komplexeWiderstände Z10 – Z30in Sternschaltung

R31 (Z31)

R23 (Z23)

R12 (Z12)

1

23

Bild 2: Drei ohmsche Wider-stände R10 – R30 bzw. komplexeWiderstände Z10 – Z30in Dreieckschaltung


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Die Bedingungen sind für folgende Verknüpfungen erfüllt:Widerstand zwischen den Anschlusspunkten 1 und 2

R10 + R20 = R12(R23 + R31) = (Gl. 1)

Widerstand zwischen den Anschlusspunkten 2 und 3

R20 + R30 = R23(R31 + R12) = (Gl. 2)

Widerstand zwischen den Anschlusspunkten 3 und 1

R30 + R10 = R31(R12 + R23) = (Gl. 3)

Addiert man Gl. 1 und Gl. 3 und subtrahiert gleichzeitig Gl. 2 bleibt ausmultipliziert

R10 + R20 + R30 + R10 – R20 – R30 =

und zusammengefasst

2 · R10 = → R10 = (Gl. 4)

Analog gilt für R20 und R30

R20 = und (Gl. 5)

R30 = (Gl. 6)

R12 · (R23 + R31)

R12 + R23 + R31

R23 · (R31 + R12)

R12 + R23 + R31

R31 · (R12 + R23)

R12 + R23 + R31

R12 · R23 + R12 · R31 + R31 · R12 + R31 · R23 – R23 · R31 – R23 · R12

R12 + R23 + R31

2 · R31 · R12

R12 + R23 + R31

R31 · R12

R12 + R23 + R31

R12 · R23

R12 + R23 + R31

R23 · R31

R12 + R23 + R31


201

2 H

üthi

g &

Pfla

um V

erla

g G

mbH

& C

o. F

achl

iter

atur

KG

, M

ünch

en/H

eide

lber

g

TransformationsregelDer Sternwiderstand ergibt sich aus dem Produkt der anliegenden Dreieck-widerstände, geteilt durch die Summe aller Dreieckwiderstände.

Umwandlung Stern in DreieckAus den Gleichungen 4, 5 und 6 ergibt sich nach Umstellung

R12 + R23 + R31 = (Gl. 7)

R12 + R23 + R31 = (Gl. 8)

R12 + R23 + R31 = (Gl. 9)

Jetzt lassen sich Gl. 7 und Gl. 8 gleichsetzen

= → R23 = (Gl. 10)

und ebenso Gl. 8 und Gl. 9

= → R12 = (Gl. 11)

Setzt man Gl. 10 und Gl. 11 in Gl. 7 ein, folgt

= + + R31 (Gl. 12)

und nach der Zusammenfassung

R12 = + R20 + R10 (Gl. 13)

R12 = + +

R12 =

R31 · R12

R10

R12 · R23

R20

R23 · R31

R30

R31 · R12

R10

R12 · R23

R20

R31 · R20

R10

R23 · R31

R30

R12 · R23

R20

R31 · R20

R30

R31 · R20

R10

R31 · R12

R10

R31 · R20

R30

R10 · R20

R30

R10 · R20

R30

R20 · R30

R30

R10 · R30

R30

R10 · R20 + R20 · R30 + R10 · R30

R30


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Allgemein gilt für die Umwandlung Stern in Dreieck

Dreieckswiderstand =

+ Summe der Anliegerwiderstände

Aus Gleichung 13 lassen sich die Zusammenhänge auch als Kehrwerte der Widerstände, also als Leitwerte darstellen:

G12 =

G23 =

G31 =

Allgemein formuliert:

Dreiecksleitwert =

Produkt der Anliegerwiderstände

gegenüberliegender Widerstand

Produkt der Anliegerleitwerte

Knotenleitwert

G10 · G20

G10 + G20 + G30

G20 · G30

G10 + G20 + G30

G30 · G10

G10 + G20 + G30

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