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Formelsammlung TGU 1 / 47
Formelsammlung Technisches Gymnasium Profil Umwelttechnik Baden-Wrttemberg 15.11.15Abitur 2015/2016
Inhaltsverzeichnis1 Energietechnik und Thermodynamik ............................................................................................................3
Formelzeichen und Einheiten der Thermodynamik....................................................................................................3Normbedingungen.................................................................................................................................................3bersicht ber Energieeinheiten ............................................................................................................................3Wirkungsgrade, Energieflussdiagramm....................................................................................................................3Stoffwerte bei Normbedingungen ...........................................................................................................................4Erster Hauptsatz der Wrmelehre...........................................................................................................................4allgemeines Gasgesetz...........................................................................................................................................4Zustandsnderungen idealer Gase...........................................................................................................................4Erwrmung von Stoffen..........................................................................................................................................5Schmelzen und Verdampfen ..................................................................................................................................5Verbrennung von Brennstoffen (BS)........................................................................................................................5Wasserdampftafel..................................................................................................................................................6Wrmeerzeuger Brennwerttechnik........................................................................................................................6Wrmeerzeuger Solarthermie...............................................................................................................................7Wrmeerzeuger Wrmepumpe ............................................................................................................................8Wrmeerzeuger Blockheizkraftwerke....................................................................................................................8Brennstoffzelle.......................................................................................................................................................8Wrmekraftwerke..................................................................................................................................................9T,s-Diagramm von Wasser......................................................................................................................................9
2 Bauphysik....................................................................................................................................................10
Wrmeleitung......................................................................................................................................................10Ermittlung von Temperaturen an den Bauteilober- und Grenzflchen.......................................................................10Wasserdampfteildruck, Wasserdampfdiffussion......................................................................................................11Bedingungen Tau- und Verdunstungsperiode.........................................................................................................11Tauwassermenge, Verdunstungswassermenge.......................................................................................................11Tabelle: Wasserdampfsttigungsdruck ps .............................................................................................................12Tabelle Sperrstoffe...............................................................................................................................................12Tabelle: Rohdichte, Wrmeleitfhigkeit und Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl.................................................13h,x-Diagramm......................................................................................................................................................14kontrollierte Wohnraumlftung..............................................................................................................................15
3 Strmung, Wasserkraft, Windkraft ............................................................................................................16
Strmungen in Rohrleitungen - Volumen- und Massenstrom...................................................................................16Sedimentation / Sinkgeschwindigkeit in der Klranlage...........................................................................................16Strmungen in Rohrleitungen - Kontinuittsgesetz.................................................................................................16Wasserkraft.........................................................................................................................................................16Turbinen Einsatzgebiete.......................................................................................................................................17Turbinenwirkungsgrad..........................................................................................................................................17Windkraft............................................................................................................................................................18Windturbinenformen mit Leistungsbeiwert und Schnelllaufzahl................................................................................18Widerstandslufer und Widerstandsbeiwert............................................................................................................19Auftrieb und Krfte am Rotorblatt.........................................................................................................................19
4 Elektrotechnik..............................................................................................................................................20
Ladung Q, Strom I, Spannung U, Arbeit W, Leistung P, Widerstand R......................................................................20Widerstand .........................................................................................................................................................21Reihenschaltung...................................................................................................................................................21Innenwiderstand Ri einer Spannungsquelle............................................................................................................22Parallelschaltung..................................................................................................................................................22Knoten- und Maschenregel...................................................................................................................................22Spannungsteiler...................................................................................................................................................23Brckenschaltung.................................................................................................................................................23Dioden und LEDs.................................................................................................................................................24Photovoltaik, Solarzelle ........................................................................................................................................25Wechselrichter ....................................................................................................................................................26Mittlere tgliche Globalstrahlung auf eine Flche und Korrekturfaktoren..................................................................27
Formelsammlung_TGU.odt 1 15. Nov 15
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Formelsammlung TGU 2 / 47
Mittlere jhrliche globale Einstrahlungssumme Standort Berlin................................................................................27Kondensator........................................................................................................................................................28Durchflutung........................................................................................................................................................29Induktion ............................................................................................................................................................29Spule...................................................................................................................................................................30Motor: Ersatzschaltbild und Kennlinien...................................................................................................................31Motor Leistungsbilanz...........................................................................................................................................31Wirkungsgrad-Kennlinienfeld fr die Einheit aus Elektromotor und Leistungselektronik.............................................32Kennlinienfeld des spezifischen Verbrauchs (Muscheldiagramm) Dieselmotor...........................................................32Transistor und Transistorschaltungen....................................................................................................................33PWM-Signal, Tastgrad..........................................................................................................................................33Transistor-Brckenschaltung.................................................................................................................................34Tiefsetzsteller......................................................................................................................................................34Hochsetzsteller.....................................................................................................................................................34Wechselstrom......................................................................................................................................................35Dreiphasiger Wechselstrom, Drehstrom.................................................................................................................36Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra..............................................................................................................37Codes und Codierer..............................................................................................................................................38Speicher RS-Flipflop............................................................................................................................................38Symbole der Elektrotechnik...................................................................................................................................39Symbole der RI-Flietechnik.................................................................................................................................39Regelkreis............................................................................................................................................................40Grafische Darstellungen von Ablaufsteuerungen, Zustandsdiagramm, GRAFCET.......................................................41Schrittkette mit RS-Flipflops..................................................................................................................................41
5 Mathematische Grundformeln.....................................................................................................................42
Zehnerpotenzen...................................................................................................................................................42Umrechnungen....................................................................................................................................................42Lineare Interpolation............................................................................................................................................42Flchen- und Volumenberechnungen.....................................................................................................................43Winkelfunktionen.................................................................................................................................................43
6 Physikalische Grundformeln und Einheiten................................................................................................44
Physikalische Formeln...........................................................................................................................................44Einheiten ............................................................................................................................................................45
7 Umweltlabor................................................................................................................................................46
Teilchenzahl.........................................................................................................................................................46molares Volumen.................................................................................................................................................46Zusammensetzung von Lsungen und Stoffgemischen...........................................................................................46Lslichkeit............................................................................................................................................................46Dichte.................................................................................................................................................................46pH-Wert..............................................................................................................................................................47Leitfhigkeit.........................................................................................................................................................47Extinktion............................................................................................................................................................47Fehlerfortpflanzung..............................................................................................................................................47
Zahlenangaben und Tabellenwerte ohne Gewhr!
Fehler in Aufgabenlsungen, die aufgrund von hier falsch angegeben Formeln oder Zahlenwerten entstehen, werden als richtig gewertet.
Fehler und Ergnzungswnsche schicken Sie bitte an: [email protected] oder [email protected]
Formelsammlung_TGU.odt 2 15. Nov 15
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Formelsammlung TGU 3 / 47
1 Energietechnik und Thermodynamik
Formelzeichen und Einheiten der Thermodynamik
WArbeit in J
1 J = 1 Nm = 1 Ws = 1kgm
sQ Wrmemenge in J bzw. Wh Q
Leistung in W
1 W = 1 Js
w Spezifische Arbeit in J
kgq Spez. Wrmemenge in
J
kgm Masse des Gases in kg
W12Arbeitsumsatz bei Zustandsn-derung von Zustand 1 nach Zu-stand 2
Q12Wrmeumsatz bei Zustandsn-derung von Zustand 1 nach Zu-stand 2
T absolute Temperatur in K
U innere Energie in J V Volumen in m pabsoluter Druck in bar
1 bar = 105 Pa = 105Nm2
cp, cV, Ri, siehe Tabelle Stoffwerte nchste Seite bedeutet die Differenz zwischen Zustand 2 (nachher) und Zustands 1 (vorher), z.B. T = (T2 - T1)
Normbedingungen
Normtemperatur: 0 = 0C, T0 = 273 KNormdruck: p0 = 1013,25 hPa= 1013,25 mbar
bersicht ber Energieeinheiten
Einheit Bezeichnung, Erluterung Umrechnung in kJ bzw. kWh
J Joule 1.000 J = 1.000 Ws = 1 kJ
cal Kalorie 1.000 cal = 1 kcal = 4,186 kJ
Wh Wattstunde 1 Wh = 3,6 kJ
(kg) SKE (Kilogramm) Steinkohleeinheit 1 kg SKE = 29.308 kJ
(kg) RE (Kilogramm) Rohleinheit 1 kg RE = 41.868 kJ
m Erdgas Kubikmeter Erdgas 1 m Erdgas = 31.736 kJ
Wirkungsgrade, Energieflussdiagramm
Energieflussdiagramm
Bei einem Sankey-Diagramm erfolgt eine mengenproportianale Darstellung
Wirkungsgrad
WV = W zuWab
PV =Pzu Pab
=Nutzen
Aufwandges =1 2
=WabWzu
=PabPzu
Wzu zugefhrte Arbeit (Energie)
Wab abgegebene Arbeit (Energie)
WV Verluste
Pzu,ab,V entsprechende Leistungen
Wirkungsgrad
1 , 2 Einzelwirkungsgrade
ohne Einheit, wird hufigin % angegeben.
Carnot-Wirkungsgrad
C= 1TminTmax
Formelsammlung_TGU.odt 3 15. Nov 15
Wzu
Wab
WV
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Formelsammlung TGU 4 / 47
Stoffwerte bei Normbedingungen
Gas spezifische Wrmeka-pazitt bei konstantem
Druck
cp in kJ
kgK
spezifische Wrmeka-pazitt bei konstantem
Volumen
cV in kJ
kgK
Adiabatenkoeffizient
=cpc V
spezifische Gaskon-stante fr Gas i
Ri in kJ
kgK
Kohlendioxid 0,844 0,655 1,29 0,189
Luft 1,005 0,718 1,40 0,287
Sauerstoff 0,917 0,658 1,39 0,260
Stickstoff 1,038 0,741 1,40 0,297
Hinweis: Ri wird in der Literatur oft mit Rs bezeichnet
Erster Hauptsatz der Wrmelehre
Q W = U
Im Kreisprozess gilt: Q + W = 0
Q zugefhrte oder abgefhrte Wrmemenge in J, Wh
W verrichtete Arbeit in J, Wh
U nderung der inneren Energie in J, Wh
allgemeines Gasgesetz
pV = mRiTpV
T= const
p Druck in Nm2 ,
1 bar = 105 Pa = 105Nm2
V Volumen in m3
m Masse in kg
Ri spezifische Gaskonstante in J
kgK (s. o.)
T Temperatur in K
Zustandsnderungen idealer Gase
isobar Q12= cpm T W12 =pV p= constV1T1
=V2T2
isochor Q12= c vm T W12 = 0 V = constp1T1
=p2T2
isothermQ12=W12
W12 =mRiTlnV2V1
W12 =mRiTlnp1p2
T = const p1V1 = p2V2
adiabat Q12= 0
W12 =mRi1
(T2 T1)
W12 =mR iT1
1 [[ V1V2 ]
11]
W12 =mR iT1
1 [[p2p1 ]
1 1]
pV = const
T1T2
= [p1p2 ]1 = [ V2V1 ]
1
Formelsammlung_TGU.odt 4 15. Nov 15
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Formelsammlung TGU 5 / 47
Erwrmung von Stoffen
spezifische Wrmekapazitt bei Normbedingungen
zugefhrteWrmemenge
Q=mc T cwasser 4,18kJ
kg K1,16
Wh
kgK
zugefhrteWrmeleistung
Q=mcT
t= mcT
cEis 2,05kJ
kg K0,57
Wh
kgK
cDampf 2,05kJ
kg K0,57
Wh
kgK
Mischungswrme QM = Q1 + Q2 Q1, Q2 Wrmemenge in der Stoffportion 1 bzw. 2
Schmelzen und Verdampfen
Schmelzwrme in kJ = Schmelzenthalpie bei isobarer Zustandsnderung
QS=mqSpezifische Schmelzwrme von Wasser bei Normbedingungen
q 332kJ
kg92,2
Wh
kg
Verdampfungswrme in kJ = Verdampfungsenthalpie bei isobarer Zustandsnderung
Qv=m rSpezifische Verdampfungswrme von Wasser
r 2257kJ
kg627,2
Wh
kg
Verbrennung von Brennstoffen (BS)
Wrmebelastung volumen- bzw. massenabhngig(bei der Verbrennung freigesetzter Wrmestrom)
Brennwerte verschiedener Brennstoffe
nach dem Brennwert nach dem Heizwert
Brennwert Heizwert Lmin CO2,max in Vol.-%
Erdgas 11,1kWh
m3 10kWh
m3 9,9m
3
m312,0
Q B,s = V BHs Q B,i = V BHiHeizl EL /Diesel
10,7kWh
l 10kWh
l 11,2m
3
kg15,4
VB Brennstoffvolumenstrom in m3
h Benzin 8,7kWh
l
Q B,s = m BHs Q B,i = m BHi Holzpellets 5,21kWh
kg 4,9kWh
kg 4m
3
kg20
mB Brennstoffmassenstrom in kgh Steinkohle 8,6
kWh
kg 8kWh
kg 8m
3
kg20,5
Wasserstoff 3,55kWh
m3 3kWh
m3 2,4m
3
m30
Wirkungsgradnach dem Heizwert
i =QLQB,i
(< HsHi )
nach dem Brennwert
s =QL
QB,s(
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Formelsammlung TGU 6 / 47
Wasserdampftafel
Wrmeerzeuger Brennwerttechnik
Taupunkttemperatur in Abhngigkeit des CO2-Gehalts Kesselwirkungsgrad, Kondensatmenge in Abhngigkeit der Abgastemperatur bei = 1,1 (Erdgas)
Formelsammlung_TGU.odt 6 15. Nov 15
Absoluter Dampf- Dampf- Enthalpie Enthalpie Druck Temperatur dichte des Wassers des Dampfes wrme
in bar in C
0,010 6,98 129,200 0,00774 29,34 2514,4 2485,00,015 13,04 87,980 0,01137 54,71 2525,5 2470,70,020 17,51 67,010 0,01492 73,46 2533,6 2460,20,025 21,10 54,260 0,01843 88,45 2540,2 2451,70,030 24,10 45,670 0,02190 101,00 2545,6 2444,60,035 26,69 39,480 0,02533 111,85 2550,4 2438,50,040 28,98 34,800 0,02873 121,41 2554,5 2433,10,045 31,04 31,140 0,03211 129,99 2558,2 2428,20,050 32,90 28,190 0,03547 137,77 2561,6 2423,80,055 34,61 25,770 0,03880 144,91 2564,7 2419,80,060 36,18 23,740 0,04212 151,50 2567,5 2416,00,065 37,65 22,020 0,04542 157,64 2570,2 2412,50,070 39,03 20,530 0,04871 163,38 2572,6 2409,20,075 40,32 19,240 0,05198 168,77 2574,9 2406,20,080 41,53 18,100 0,05523 173,86 2577,1 2403,20,085 42,69 17,100 0,05848 178,69 2579,2 2400,50,090 43,79 16,200 0,06171 183,28 2581,1 2397,90,095 44,83 15,400 0,06493 187,65 2583,0 2395,30,10 45,83 14,670 0,06814 191,83 2584,8 2392,90,15 54,00 10,020 0,09977 225,97 2599,2 2373,20,20 60,09 7,650 0,13070 251,45 2609,9 2358,40,25 64,99 6,204 0,16120 271,99 2618,3 2346,40,30 69,12 5,229 0,19120 289,30 2625,4 2336,10,40 75,89 3,993 0,25040 317,65 2636,9 2319,20,45 78,74 3,576 0,27960 329,64 2641,7 2312,00,50 81,35 3,240 0,30860 340,56 2646,0 2305,40,55 83,74 2,964 0,33740 350,61 2649,9 2299,30,60 85,95 2,732 0,36610 359,93 2653,6 2293,60,65 88,02 2,535 0,39450 368,62 2656,9 2288,30,70 89,96 2,365 0,42290 376,77 2660,1 2283,30,75 91,79 2,217 0,45110 384,45 2663,0 2278,60,80 93,51 2,087 0,47920 391,72 2665,8 2274,00,85 95,15 1,972 0,50710 398,63 2668,4 2269,80,90 96,71 1,869 0,53500 405,21 2670,9 2265,60,95 98,20 1,777 0,56270 411,49 2673,2 2261,71,00 99,63 1,694 0,59040 417,51 2675,4 2257,9
Siede- Verdampfungs-volumen
inm3
kgin
kgm3
inkJkg
inkJkg
inkJkg
20 40 60 80 100 120 140 160 180 20090
95
100
105
110
115
120
0
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
1,8
= 1,1
Abgastemperatur in C
Kes
selw
irkun
gsgr
ad
Ki
Kon
dens
atm
enge
in l/
m
Gas
Kesselwirkungsgad(linke Achse)
Kondensatmenge(rechte Achse)
1% 3% 5% 7% 9% 11% 13%20
25
30
35
40
45
50
55
60
CO2-Gehalt in Vol-%
Ta
upunkt
tem
pe
ratu
r W
asse
rda
mpf
in
C
CO2-Gehalt in Vol-%
Erdgas (100% Methan CH
4)
Heizl EL (C
10H
18)
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Formelsammlung TGU 7 / 47
Wrmeerzeuger Solarthermie
Einfluss der Ausrichtung und Neigung von Solaranlagen Auslegungsbeiwert f bei abwei-chender Kollektorausrichtung
Wirksame Globalstrahlung in (Wrzburg)kWhm d
Wirkungsgrad Kollektoren = 0 k1(TK TU) + k 2(TK TU)
2
EK
TK mittlere Kollektortemperatur in KTu Umgebungstemperatur in K
EK Sonneneinstrahlung in Wm2
Bauart0 k1 in
Wm2K
k2 inW
m2K2
Flachkollektor 0,75 3,40 0,012
Vakuum-Rhrenkollektor
0,64 0,69 0,004
Ermittlung der Kollektorflche
Anlagenwirkungsgrad
AK =Qmin f
qd,maxAnl
Anl= KollVerteilSpeicher
Qmin minimaler tglicher Wrmebedarf in kWh
f Auslegungsbeiwert Ausrichtung
qd,max maximal wirksame tgliche Globalstrahlung
bei vorgegebener Neigung (s.o.) in kWhm2
Verteil Verteilungswirkungsgrad (0,8 0,95)
Speicher Speicherwirkungsgrad (0,7 0,85)
Formelsammlung_TGU.odt 7 15. Nov 15
0 20 40 60 80 1000
0,2
0,4
0,6
0,8
1
AbsorberFlachkollektorRhre
Temperaturdifferenz
Ko
llekt
orw
irkun
gsg
rad
Temperaturdifferenz TK T
U in K
SchwimmbadabsorberFlachkollektorVakuum-Rhrenkollektor
Sonneneinstrahlung EK = 800 W/m
W 270 1,4WSW 247,5 1,2SW 225 1,09
SSW 202,5 1,02S 180 1
SSO 157,5 1,03SO 135 1,1
OSO 112,5 1,42O 90 1,6
Himmels-richtung
Korrektur-Faktor
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Formelsammlung TGU 8 / 47
Wrmeerzeuger Wrmepumpe
Leistungsziffer =QWPPel ,V
Coefficient of Performance COP=QWP
Pel,VHilf
Jahresarbeitszahl JAZ = =QWP
Wel, V+ Hilf
Carnot-Leistungszahl C =Twarm
Twarm Tkalt
Gtegrad =C
Q WP von der WP abgegebener Wrmestrom in kWPel,V vom Verdichter aufgenommene el. Leistung in kW
Pel,V+Hilf vom Verdichter und Hilfsaggregaten aufgenommene el. Leistung in kW
QWP von der WP abgegebene Wrmemenge in kWhWel,V+Hilf vom Verdichter und Hilfsaggregaten
aufgenommene el. Arbeit in kWh
Twarm abs. Temperatur Wrmetrgermedium (VL) in KTkalt abs. Temperatur Wrmequelle in K
Wrmeerzeuger Blockheizkraftwerke
thermischer Wirkungsgrad th=QHQB,i
elektrischer Wirkungsgrad el =PelQB,i
Gesamtwirkungsgrad ges = th el
QH Wrmeleistung in kWQB,i Wrmebelastung (bezogen auf Heizwert) in kW
Pel elektrische Leistung in kW
Brennstoffzelle
theoretische Klemmenspannung Uth=WRzF
Reaktionsenthalpie WR =HiVm
elektrischer Wirkungsgrad el =WelWR
elektrische Energie Wel= U I t
WR Reaktionsenergie in kJ
mol
z Anzahl der bertragenen Elektronen
F Faraday-Konstante F= 96 487C
mol(Coulomb
mol)
Hi Heizwert in kJm3
Vm molares Volumen
(bei Normbedingungen: Vm= 0,0224m3
mol)
Wel elektrische EnergieU Spannung in VI Strom in At Zeit in s
Formelsammlung_TGU.odt 8 15. Nov 15
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Formelsammlung TGU 9 / 47
Wrmekraftwerke
spezifische Entropie s =qT
s spezifische Entropie in kJ
kgK
q spezifische Wrme in kJkg
T absolute Temperatur in K
T,s-Diagramm von Wasser
Formelsammlung_TGU.odt 9 15. Nov 15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Entropie s in kJ/kgK
Tem
pera
tur T
in K
180
bar
100
bar
150
bar
50 b
ar25
bar
10 b
ar
1 ba
r0,
2 ba
r0,
07 b
ar0,
04 b
ar
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
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Formelsammlung TGU 10 / 47
2 Bauphysik
Wrmeleitung
Wrmestrom in W
Q= A dT1Schicht
Q= AUT innenauen
A Flche des Bauteils in md Bauteildicke in m
Wrmeleitfhigkeit in WmKT1Schicht Temperaturdifferenz in K ber eine BauteilschichtTinnen-auen Temperaturdifferenz in K zwischen Innen- und
Auenluft
U Wrmedurchgangskoeffizient in W
m2K (Berechnung s.u.)
Wrmedurchlasswiderstand in m2K
W R=d
d1,2,3 usw Baustoffdicke des Baustoffs 1,2,3 usw. in m
mehrschichtige Bauteile R =d11
d22
d33
....Richtung des Wr-mestroms
innerer Wrmebergangs-widerstand Rsi
uerer Wrme-bergangs-
widerstand Rse
Wrmedurch-gangswider-stand
RT = Rsi d11
d22
d33
.... R se aufwrts 0,10 m2K
W0,04
m2KW
Wrmedurchgangskoeffizient in W
m2K U=1
RT
horizontal Wrmeschutz 0,13* m2K
W0,043
m2KW
abwrts 0,17 m2K
W0,04
m2KW
* (betrifft Rsi, horizontal): Vereinfachte Betrachtung fr wrme- und feuchteschutztechnische Untersuchungen.
Bei genaueren Untersuchungen ist beim Feuchteschutz mit einem Wert von Rsi = 0,167 mK/W zu rechnen.
Ermittlung von Temperaturen an den Bauteilober- und Grenzflchen
Trennschicht: Berhrungsflche zwischen zwei Baustoffschichten bei mehrschichtigem Aufbau eines Auenbauteils.
Oberflchentemperatur innen
si = i TRT
R si
Temperatur in der ersten Grenzflche (von innen betrachtet):
1= i TRT
Rsi R 1
Temperatur in der zweiten Grenzflche (von innen betrachtet):
2= i TRT
Rsi R1 R2
Temperatur in der n-ten Grenzflche (von innen betrachtet)
n= i TRT
Rsi R1 ... Rn
Der Teilwiderstand eines Bauteils ist proportional zum Temperatur-abfall in diesem Bauteil:
RSchicht TSchicht
=RT
Tges
Si Temperatur Oberflche innen in Ci Temperatur Raumluft innen in Ce Temperatur Auenluft in CT Temperaturdifferenz zwischen Innen- und
AuenluftRT Wrmedurchgangswiderstand (gesamtes
Bauteil) Rsi innerer Wrmebergangswiderstand n Temperatur in der n-ten GrenzflcheRn Wrmedurchlasswiderstand der n-ten Bau-
stoffschicht (von innen betrachtet)
Formelsammlung_TGU.odt 10 15. Nov 15
-
Formelsammlung TGU 11 / 47
Wasserdampfteildruck, Wasserdampfdiffussion
Wasserdampfteildruck innen in Pa
pi =psii100 %
Wasserdampfteildruck auen in Pa
pe =psee100%
Wasserdampfdiffussionsquivalente Luftschichtdicke in m
sD =d
Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand in hm2Pa
kg
Z = sd1,5106 hmPa
kg= d1,5106 hmPa
kg
psi Sttigungsdampfdruck Luft innen in Pai Relative Luftfeuchte innen in %
pse Sttigungsdampfdruck Luft auen in Pae Relative Luftfeuchte auen in %
d Baustoffdicke in m Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl
(dimensionslos) siehe S. 13Fr die -Werte ist jeweils der fr die Baukonstruktion un-gnstigere Wert einzusetzen.
Achtung: Bei Erstellung des Glaser-Diagramms der Ver-dunstungsperiode drfen die gleichen -Werte angenom-men werden wie in der Tauperiode (DIN 4108-3)
1,5106 hmPakg Kehrwert des Wasserdampf-Diffusionsleit-
koeffizienten in Luft a bei der Bezugstemperatur 10C
Bedingungen Tau- und Verdunstungsperiode
Tauperiode: i = 20C e =10 CtT = 1440 h(=60 Tage )i = 50 %e = 80 %
Verdunstungsperiode: i = 12C e = 12 CtV = 2160 h(=90 Tage )i = 70 %e = 70 %
i Innentemperatur in C
e Auentemperatur in C
tT Dauer der Tauwasserperiode in htV Dauer der Verdunstungsperiode in hi relative Luftfeuchte innene relative Luftfeuchte auen
Tauwassermenge, Verdunstungswassermenge
whrend der Tauperiode in der Wand angereicherte
Tauwassermenge in kgm2
mW ,T = tTg i ge= tTpi pSWZ i pSW pe
Ze whrend der Verdunstungsperiode nach innen und auen
abwandernde Wassermenge in kgm2
mW ,V = tV(gi + ge) = tV(pSW piZi +pSW pe
Ze )mit den Diffusionsstromdichten
Tauperiode: gi =p i pSW
Z i; ge =
pSW peZe
Verdunstungsperiode: gi =pSW p i
Z i; ge =
pSW peZe
tT Dauer der Tauwasserperiode in htV Dauer der Verdunstungsperiode in h
pi Wasserdampfpartialdruck innen in Pape Wasserdampfpartialdruck auen in PapSW Wasserdampfsttigungsdruck mit Tauwasserausfall in Pa
Zi Innerer Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand bis zur wahrscheinlichsten Tauwasserebene von innen nach auen (s. o.)
Ze uerer Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand von der wahrscheinlichsten Tauwasserebene nach au-en (s. o.)
Formelsammlung_TGU.odt 11 15. Nov 15
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Formelsammlung TGU 12 / 47
Tabelle: Wasserdampfsttigungsdruck ps
Wasserdampfsttigungsdruck Pa Temperatur in
C0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
30 4244 4269 4294 4319 4344 4369 4394 4419 4445 4469 29 4006 4030 4053 4077 4101 4124 4148 4172 4196 421928 3781 3803 3826 3848 3871 3894 3916 3939 3961 3984 27 3566 3588 3609 3631 3652 3674 3695 3717 3793 375926 3362 3382 3403 3423 3443 3463 3484 3504 3525 3544 25 3169 3188 3208 3227 3246 3266 3284 3304 3324 334324 2985 3003 3021 3040 3059 3077 3095 3114 3132 3151 23 2810 2827 2845 2863 2880 2897 2915 2932 2950 296822 2645 2661 2678 2695 2711 2727 2744 2761 2777 2794 21 2487 2504 2518 2535 2551 2566 2582 2598 2613 262920 2340 2354 2369 2384 2399 2413 2428 2443 2457 2473 19 2197 2212 2227 2241 2254 2268 2283 2297 2310 2324 18 2065 2079 2091 2105 2119 2132 2145 2158 2172 2185 17 1937 1950 1963 1976 1988 2001 2014 2027 2039 2052 16 1818 1830 1841 1854 1866 1878 1889 1901 1914 1926 15 1706 1717 1729 1739 1750 1762 1773 1784 1795 1806 14 1599 1610 1621 1631 1642 1653 1663 1674 1684 1695 13 1498 1508 1518 1528 1538 1548 1559 1569 1578 1588 12 1403 1413 1422 1431 1441 1451 1460 1470 1479 1458 11 1312 1321 1330 1340 1349 1358 1367 1375 1385 1394 10 1228 1237 1245 1254 1262 1270 1279 1287 1296 1304 9 1148 1156 1163 1171 1179 1187 1195 1203 1211 1218 8 1073 1081 1088 1096 1103 1110 1117 1125 1133 1140 7 1002 1008 1016 1023 1030 1038 1045 1052 1059 1066 6 935 942 949 955 961 968 975 982 988 995 5 872 878 884 890 896 902 907 913 919 925 4 813 819 825 831 837 843 849 854 861 866 3 759 765 770 776 781 787 793 798 803 808 2 705 710 716 721 727 732 737 743 748 753 1 657 662 667 672 677 682 687 691 696 700 0 611 616 621 626 630 635 640 645 648 653
-0 611 605 600 595 592 587 582 577 572 567 -1 562 557 552 547 543 538 534 531 527 522 -2 517 514 509 505 501 496 492 489 484 480 -3 476 472 468 464 461 456 452 448 444 440 -4 437 433 430 426 423 419 415 412 408 405 -5 401 398 395 391 388 385 382 379 375 372 -6 368 365 362 359 356 353 350 347 343 340 -7 337 336 333 330 327 324 321 314 315 312 -8 310 306 304 301 298 296 294 291 288 286 -9 284 281 279 276 274 272 269 267 264 262
-10 260 258 255 253 251 249 246 244 242 239
Tabelle Sperrstoffe
Sperrstoffe Wasserdampfdiffusionsquivalente Luftschichtdicke sD in m
Polyethylenfolie 0,15 mm 50Polyethylenfolie 0,25 mm 100PVC Folie 30Aluminium Folie 0,05 mm 1500Bitumiertes Papier 0,1 mm 2
Formelsammlung_TGU.odt 12 15. Nov 15
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Formelsammlung TGU 13 / 47
Tabelle: Rohdichte, Wrmeleitfhigkeit und Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl
Werkstoff
Roh-dichte
in
[kgm3]
Wrme-leitfhig-keit in
[ WmK ]
Wasser-dampf-
diffusions-widerstands-
zahl 1
spezifische Wrme-
kapazitt c
in [ JkgK ]Putze und Mrtel
Kalkputz,Kalkzementputz
1800 1 15 - 35 960
Zementputz 2000 1,6 15 - 35 1000
Gipsputz 1200 0,51 10 1000
Gipskartonplatten 800 0,25 4 - 10 1000
WrmedmmputzWLG 060WLG 080
200 0,0600,080
5 - 20
Beton
Normalbetonunbewehrtbewehrt (Stahlbeton)
200022002400
1,351,652
60 10070 - 12080 - 130
10001000880
Leichtbeton (geschlos-senes Gefge)
800100012001400160018002000
0,390,490,620,791,01,31,6
70 - 150 1000
Mauerwerk einschlielich Mrtelfugen
Vollziegel, Hochlochziegel
120014001600180020002200
0,500,580,680,810,961,2
5 - 10 840
VollklinkerHochlochklinker
1800200022002400
0,810,961,21,4
50 - 100 900
Hochlochziegel (Hlz) Lochung AB in Leicht-mrtel verlegt
600800
1000
0,280,340,40
5-10 840
Leichthochlochziegel Typ W (HlzW), in Leichtmrtel verlegt
700800900
0,210,230,24
5 - 10 840
Kalksandstein (KS)
100012001400
0,500,560,70
5 - 10 880
1600180020002200
0,790,991,11,3
15 - 25 880
Porenbetonplanstei-nen (PP) mit Dnn-bettmrtel
400500600800
0,130,160,190,25
5 - 10 1050
Hohlblocksteine aus Leichtbeton (Hbl)mit Normalmrtel
600800
10001200
0,290,350,450,53
5 - 10 1050
Werkstoff
Roh-dichte
in
[kgm3]
Wrmeleit-fhigkeit
in [ WmK ]
Wasser-dampf-
diffusions-widerstands-
zahl 1
spezifische Wrme-
kapazitt c
in [ JkgK ]Wrmedmmstoffe
Mineralwolle, WLG 030....050
15 - 200 0,030 - 0,050 1 920
Polystyrol expandiert (EPS) WLG 030....050
15 - 30 0,030 - 0,050 20 - 100 1500
Polystyrol extrudiert (XPS)WLG 026 ... 040
25 - 45 0,026 - 0,040 80 - 250 1250
Polyurethan (PUR) 30 0,020 - 0,045 40 - 200 1400
Schaumglas WLG 038 .... 055
100 - 160 0,038 - 0,050 dampfdicht 1000
Expandierter KorkWLG 040 055
55 - 130 0,040 - 0,055 5 - 10 1880
Holzfaser-dmmplattenWLG 032...060
120 - 280 0,032 - 0,060 3 - 10 2700
Hanf 20 - 25 0,040 1 - 2 1550
Dmmstoffe aus Zellulose
35 - 70 0,040 1 - 2 2100
Stroh (Matten) 150 - 400 0,09 0,13 2 - 5 2100
Wolle 20 0,034 - 0,040 1 - 2 1300
Perlit (als Schttung)
50 - 100 0,045 - 0,07 2 - 3 900
Holzwolleleichtbau-platten
360 - 4800,070,08
2 - 5 2100
Holz und Holzwerkstoffe
HartholzWeichholz
700500
0,180,13
50 - 20020 - 50
2000 (Buche)2700 (Fichte)
OSB Platten 650 0,13 30 - 50 2100
Sperrholz
300500700
1000
0,090,130,170,24
50 - 15070 - 20090 - 200110 - 250
1900
Spanplatten300600900
0,10,140,18
10 - 5015 - 5020 - 50
1800
Sonstige Stoffe
Keramikplatten, Fliesen
2300 1,3 dampfdicht 900
Glas 2500 1 dampfdicht 840
Stahl 7800 50 dampfdicht 500
Kupfer 8900 380 dampfdicht 385
Zink 7200 110 dampfdicht 385
Blei 11300 35 dampfdicht 131
Luft (ruhend) 1,293 0,025 1 1000
Wasser 1000 0,64 4180
Edelgas Krypton 3,56 0,010 1 2481 jeweils den fr die Baukonstruktion ungnstigeren Wert einsetzen
Formelsammlung_TGU.odt 13 15. Nov 15
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Formelsammlung TGU 14 / 47
h,x-Diagramm
Quelle: Mathematik Installations- und Heizungstechnik, 4. Aufl., Verlag Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten
Formelsammlung_TGU.odt 14 15. Nov 15
Luft
tem
pera
tur
in
C
-
Formelsammlung TGU 15 / 47
kontrollierte Wohnraumlftung
Luftwechselrate in 1h
=VAULVR
VAUL Auenluftvolumenstrom in mh
VR Raumvolumen in m
Luftwechselraten und Mindestabluftmengen nach DIN 1946-6
RaumbezeichnungLuftwechsel-rate in h-1
Mindest-Abluftmenge
in m3
h
Behaglichkeit
Wohn-, Aufenthalts- und Schlafrume
0,5 1,0
Fensterbelftete SanitrrumeBadWC
6030
Innenliegende SanitrrumeBadWC
4 66030
Kchen 0,5 25 60
Hausarbeitsrume 0,5 1 30
Auenluftrate pro Person 30 m3
h
Rckwrmezahl bezogen auf die Auenlufttemperatur
2=zu Auab Au
Voraussetzung: V1 = V2
keine Bercksichtigung der latenten Wrme!
Au Temperatur der Auenluft in C
zu Temperatur der Zuluft in C
ab Temperatur der Abluft in C
V1 Volumenstrom Auenluft (und Zuluft) in mh
V2 Volumenstrom Abluft (und Fortluft) in mh
relative Luftfeuchte =xx s=
pDpD ,s
x absolute Luftfeuchte in gkg
xs Sttigungsfeuchte (max. Dampfgehalt) in g
kg
pD Wasserdampfpartialdruck in Pa
pD,S Sttigungsdampfdruck in Pa
Formelsammlung_TGU.odt 15 15. Nov 15
14 16 18 20 22 24 26 28 30 320
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Raumlufttemperatur in C
Re
lativ
e R
aum
luft
feuc
hte
in %
unbehaglich feucht
behaglich
noch behaglich
unbehaglich trocken
Schwlekurve
-
Formelsammlung TGU 16 / 47
3 Strmung, Wasserkraft, Windkraft
Strmungen in Rohrleitungen - Volumen- und Massenstrom
Volumenstrom V =Vt
V = Av
Rohrvolumen V = Al
Massenstrom m =mt
m= V
V Volumen in m
V Volumenstrom in ms
t Zeit in s
A durchstrmte Flche (Rohrquerschnitt) in m
v Fliegeschwindigkeit in ms
l Lnge in m
m Masse in kg
m Massenstrom in kgs
Dichte der Flssigkeit in kgm3
Sedimentation / Sinkgeschwindigkeit in der Klranlage
Oberflchenbelastung qA=V
ASed
hydraulische Aufenthaltszeit th=Lv
V Zulauf-Volumenstrom mh
Ased Oberflche des Sedimentationsbeckens in m
qA Oberflchenbelastung in mh
th hydraulische Aufenthaltszeit in sL Lnge des Sedimentationsbeckens in m
v Fliegeschwindigkeit in ms
Strmungen in Rohrleitungen - Kontinuittsgesetz
Massenstrom ist konstant: m1= m2 = konstant
bei konstanter Dichte:
Volumenstrom ist konstant: V1= V2= v 1A1= v2A2
Massenstrom an den Stellen 1 und 2 eines Rohrleitungsab-schnitts
Wasserkraft
Hydraulische Leistung des Wassers Phydro=ghV
Dichte =mV
Energieerhaltung mit Zustand1, Zustand 2:
Wpot1 + Wkin1 + Wp1 = Wpot2 + Wkin2 + Wp2= Konst
potentielle Energie, kinetische Energie, Druckenergie
Wpot=mgh Wkin=12mv2 Wp = pV
Phydro Leistung in W
Dichte in kgm Wasser1000 kgm
g Erdbeschleunigung g= 9,81ms2
Einheitenumrechnung [N= kgms2 ]h Hhe in m
V Volumenstrom in msV Volumen in mm Masse in kg
v Geschwindigkeit in ms
p Druck in Pa=Nm2
, 1bar = 105Pa ,
Wpot potentielle Energie in J, 1 J = 1 WsWkin kinetische Energie in JWP Druckenergie in J
Formelsammlung_TGU.odt 16 15. Nov 15
-
Formelsammlung TGU 17 / 47
Turbinen Einsatzgebiete
Turbinenwirkungsgrad
Formelsammlung_TGU.odt 17 15. Nov 15
Fallhhe in m
Durchfluss in
10.000
0,01 1.000
1 GW500 MW
200 MW
100 MW
50 MW20 MW
10 MW5 MW
20 kW10 kW5 kW
200 kW100 kW50 kW
2 MW1 MW500 kW
1.000
100
10
10,1 1 10 100
Pelton
Francis
Kaplan
Rohr
m3
s
100%
Turbinenwirkungsgrad T
normierter Abfluss
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
0 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
Pelton
Kaplan
FrancisSchnell-lufer
FrancisLangsam-
lufer
Propeller
-
Formelsammlung TGU 18 / 47
Windkraft
Windleistung PWind =12Av3
Leistungsbeiwert cP =PmechPWind
Schnelllaufzahl =uv=dn
v
Momentenbeiwert cMoment=cP
Rotormoment MRotor = cMoment12Av2r
PWind Windleistung in W
Dichte in kgm
Luft 1,2kgm
v Windgeschwindigkeit in ms
A durchstrmte Flche in m
cP Leistungsbeiwert
cP,Betz maximal mglicher LeistungsbeiwertcP,Betz = 0,593 wenn Wind auf 1/3 derWindgeschwindigkeit abgebremst wird
Pmech mechanisch nutzbare Leistung in W
Schnelllaufzahl1..3 Langsamlufer, 4..8 Schnelllufer
u Umfangsgeschwindigkeit in ms
d Rotordurchmesser in m
n Drehzahl in 1s
cMoment Momentenbeiwert
r Radius in m
MRotor Rotormoment in Nm
Windturbinenformen mit Leistungsbeiwert und Schnelllaufzahl
Gte des Rotorblatts bestimmt die Gleitzahl E; gut 60
Formelsammlung_TGU.odt 18 15. Nov 15
cP Leistungsbeiwert
Schnelllaufzahl
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
02 4 60 8 10 12 14 16
1
23
4
5
6
7
CP,Betz
1 1-Blatt-Rotor2 2-Blatt-Rotor3 3-Blatt-Rotor4 Vertikal-Rotor 5 Hollndische Windmhle6 Amerikanische Windmhle7 Savonius-Rotor
z Flgelzahl
4
2
4
2
4
2
E0,6
E=40
E=10
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
2 4 6 8 10 12 14 160
Schnelllaufzahl
cp Leistungsbeiwert
Rotorc
P
Generator
Gen
PWind Pmech Pelekt
-
Formelsammlung TGU 19 / 47
Widerstandslufer und Widerstandsbeiwert
Widerstandsbeiwerte verschiedener Krper
Kraft durch Widerstand FW=cw12A(v vKrper )
2
Nutzleistung PNutz= FWvKrper
FW Widerstandkraft des Krpers in N
cW Widerstandsbeiwert
Dichte in kgm
Luft1,2kgm
v Windgeschwindigkeit in ms
vKrper Geschwindigkeit des bewegten Krpers
A durchstrmte Flche in m
PNutz mechanisch nutzbare Leistung in W
Auftrieb und Krfte am Rotorblatt
Effektive Windrichtung und Krfte am Rotorblatt
Formelsammlung_TGU.odt 19 15. Nov 15
VVKrper
FW
A
Welle
Halbkugel (hinten, hohl)
Halbkugel (hinten, gefllt)
Platte Zylinder Halbkugel (vorne, gefllt)
Halbkugel (vorne, hohl)
Kugel Kegel mit Halbkugel
Halbkugel mit Kegel
Stromlinienkrper
Cw = 1,1 1,3C
w = 1,3 C
w = 1,2 C
w = 0,6 1,0 C
w = 0,4
Cw = 0,16 0,2C
w = 0,3 .. 0,4C
w = 0,34 C
w = 0,07 0,09 Cw = 0,055
-
Formelsammlung TGU 20 / 47
4 Elektrotechnik
Ladung Q, Strom I, Spannung U, Arbeit W, Leistung P, Widerstand R
+ -
2 Arten von Ladungen (positiv und negativ) gleichartige Ladungen stoen sich ab, ungleichartige ziehen sich an Ladung ist bertragbar im Raum zwischen Ladungen wirken Krfte auf Ladungen, die durch ein
elektrisches Feld erklrt werden
Ladung, LadungsmengeQ = Ne
1 e entspricht 1,602 x 1019 C
e Elementarladung (kleinstmgliche Ladung)
N Anzahl der Ladungstrger
Q Ladung in As = C (Coulomb)
Stromstrke
I=Qt
I=dQdt
bei Gleichspannung, bei Wechselspannung
I Stromstrke in A (Ampere)
Q Ladungsmenge in As
t Zeit in s
Spannung= Arbeit beim Transport der Ladung pro Ladungsmenge U=
WQ
U Spannung in V (Volt)
Q Ladungsmenge in As
W Arbeit in Ws
Elektrische Energie,Energiemenge, Arbeit
(engl. Work)W = P t W = UQ
P Leistung in W (Watt)
t Zeit in s
1 Ws = 1 VAs = 1 J
Elektrische Leistung (engl. Power) P=
Wt
P= U I
Leistung am Widerstand
P= I2R P=U2
R
R Widerstand in
Widerstand R
R=UI
U=RI
R Widerstand in
U Spannung in V
I Strom in A
Fr R1 und R2 gilt: R= KonstantR1 und R2 sind lineare Widerstnde.
UI=Konst Ohm'sches Gesetz
Die Lampe besitzt einen nichtlinearen Widerstand.
Formelsammlung_TGU.odt 20 15. Nov 15
R
I
U
-
Formelsammlung TGU 21 / 47
Widerstand
Leitungswiderstand
R = lA
l Leiterlnge in mA Leiterquerschnitt in mm2
spezifischer Widerstand in mm2
m
TemperaturabhngigerWiderstand R = TRK
RW =RK R
R Widerstandsnderung in
Temperaturbeiwert 1K
RK Kaltwiderstand in RW Warmwiderstand in T Temperaturdifferenz in K
Reihenschaltung
Iges = I1 = I2 = I3
Uges = U1 + U2 + U3
Rges =R1 + R2 + R3
Pges = P1 + P2 + P3
U Gesamtspannung
U1, U2, U3 Teilspannungen
R Gesamtwiderstand
R1, R2, R3 Einzelwiderstnde
Durch jeden Widerstand fliet der selbe Strom I
Grafische Ermittlung der Gren
I
U
12 V
0,5 A
1,2 A R2 = 12 V / 1,2 A = 10
R1 = 12 V / 0,5 A = 24
I
U
12 V
0,5 A
1,2 A R2 = 12 V / 1,2 A = 10
R1 = 12 V / 0,5 A = 24
0,35 A
U2 = 3,53 VU1 = 8,47 V
Formelsammlung_TGU.odt 21 15. Nov 15
R1
I
U2
U1
R2
Uges
U3
R1
I
U2
U1
R2
R3
Uges
Material Spezifischer Widerstand in mm2
m
Kupfer 0,0178
Stahl 0,13
Aluminium 0,028
Gold 0,0244
Kohle 40
-
Formelsammlung TGU 22 / 47
Innenwiderstand Ri einer Spannungsquelle
Leistungsanpassung: R1 erhlt die maximale Leistung bei R1 = Ri
I=U0
Ri +R 1
Ri=U I =(U2U1)(I2I1)
Ri=U0IK
I Laststrom
Ri Innenwiderstandder Spannungsquelle
R1 Widerstand des ange-schlossenen Verbrauchers
U1 Spannung an den Anschluss-Klemmen
U0 Leerlauf-SpannungSpannung der idealenSpannungsquelle
Parallelschaltung
Uges = U1 = U2 =U3
Iges = I1 + I2 + I3
1R ges
=1R1
+1R 2
+1R 3
Pges = P1 + P2 + P3
Iges Gesamtstrom
I1, I2, I3 Teilstrme
Rges Gesamtwiderstand
R1, R2, R3 Einzelwiderstnde
An jedem Widerstand liegt dieselbe Spannung U
Knoten- und Maschenregel
Knotenregel
I1 + I2 + I3 = 0
Maschenregel
U1 + U2 U3 = 0
Formelsammlung_TGU.odt 22 15. Nov 15
ErsatzschaltbildAkku
Verbraucher
U1
I
IU0
Ri
R1 U1
I
U0
Leerlauf-Spannung
IkKurzsschluss-
Strom
U
I
Iges
UR1
I1
R2
I2
R3
I3
I1
I3
I2
U3
R1
U2
U1
R2
R3Uges Maschen umlauf
-
Formelsammlung TGU 23 / 47
Spannungsteiler
unbelastet (Reihenschaltung)
U2 =R2
R1 + R2Uges
belastet (Gruppenschaltung)
U2 =R2L
R1 + R2LUges R2L =
R2RLR 2 + RL
RL Lastwiderstand
R2L Ersatzwiderstand fr R2 und RL
Brckenschaltung
AB 2 4U U U=
wenn: UAB = 0 (Abgleich)
31
2 4
RR
R R=
Formelsammlung_TGU.odt 23 15. Nov 15
R1
U2
Iges
U1
R2
Uges
R4
I12 I34
U3
U4
UABA B
R3
R1
I
U2
U1
R2
Uges
R1
Iges
U2
U1
R2
Uges
RL
I2 = Iq IL
-
Formelsammlung TGU 24 / 47
Dioden und LEDs
Arbeitspunkt und Arbeitsgerade
R =U I
(Kehrwert des Betrags der Steigung der Arbeitsgeraden) vergl. Reihenschaltung
Formelsammlung_TGU.odt 24 15. Nov 15
LEDDiode
Anode
Kathode Kathode
Merkregel:Kathode = Kurzes Bein = Kante
Merkregel:Kathode = Kennzeichnung
Anode
Kathode
Str
omflu
ss in
D
urch
lass
richt
ung
R
UG
URG
UD
IG
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
f(x) = -3,07x + 15,36
Arbeitspunkt und Arbeitsgerade
LED, rotWiderstandsgeradeLineare Regression fr Widerstandsgerade
U in V
I in mA
AP
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Kennlinien Diode und LEDs
Silizium-Diode
LED, grn
LED, w ei
LED, rot
LED, blau
U in V
I in mA
-
Formelsammlung TGU 25 / 47
Photovoltaik, Solarzelle
Kennlinie
E Bestrahlungsstrke
U Spannung an der Solarzelle
I Laststrom
U0C Leerlaufspannung (Open Circuit)
ISC Kurzschlussstrom (Short Circuit)
AP1 Arbeitspunkt 1
P1 Leistung im Arbeitspunkt 1
AP2 Arbeitspunkt 2
P1 Leistung im Arbeitspunkt 2
MPP Maximum Power Point
Pmax Leistung im MPP
Temperaturabhngigkeit
U(T2) =U25 C(1 +TKUT100 %
)
I(T2)= I25 C(1 +TK IT100 %
) T = T2 25C
U25C Spannung bei 25C
I25C Strom bei 25C
TKU Temperaturkoeffizient der Spannung in %/K
TKI Temperaturkoeffizient des Stroms in %/K
T Temperaturnderung in Kelvin
T2 Temperatur in C
Ersatzschaltbild ideale Solarzelle
Ersatzschaltbild reale Solarzelle
U Spannung an der Solarzelle
I Laststrom
Iph Photostrom
ID Diodenstrom
R Lastwiderstand
RP Parallelwiderstand
RS Serienwiderstand
Formelsammlung_TGU.odt 25 15. Nov 15
E = konst.
R
I
U
DI
I
RRP
SR
ph
U
I
DI
I
R
ph
U
I
Arbeitspunkte in Solarzellen-Kennlinie
U
I
MPP
ISC
UOC
AP1
AP2
R
P1
Pmax
P2
I(U)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2Kennlinien I(U) bei verschiedenen Bestrahlungstrken
U
I
1000 W/m
800 W/m
600 W/m
400 W/m
200 W/m
100 W/m
-
Formelsammlung TGU 26 / 47
Wechselrichter
Faustformeln zur Anpassung des Wechselrichters an die Solarmodule
IWRmax = 1,25 [email protected] Maximaler Strom des Wechselrichters
[email protected] Kurzschlussstrom Solarmodule bei STC
UWRMPPmin = 0,[email protected]
UWR-MPmin minimale Spannung des Wechselrichters, in der im MPP gearbeitet wird
[email protected] Spannung Solarmodule im MPP bei STC
UWRMPPmax = 1,[email protected]
UWR-MPPmax maximale Spannung des Wechselrichters, in der im MPP gearbeitet wird
[email protected] Spannung Solarmodule im MPP bei STC
UWRmax = 1,[email protected] maximale Spannung des Wechselrichters
[email protected] Leerlaufspannung Solarmodule bei STC
PWRmax > 1,[email protected] maximale Leistung des Wechselrichters
[email protected] Leistung Solarmodule im MPP bei STC
MPP Maximum Power Point (Betriebspunkt maximaler Leistung)
STC Standard Test Conditions (1000 W/m, 25 C, AM 1,5)
OC Open Circuit (Leerlauf)
SC Short Circuit (Kurzschluss)
Blockschaltbild Wechselrichter
Formelsammlung_TGU.odt 26 15. Nov 15
1 3
2 4
UPWMU
ACUDC
Netz = Verbraucher
L1
L2
R+
Zwischenkreis
Hochsetzsteller /Tiefsetzsteller
Solarmodule PWM-Brcke mit Filter NetzabschaltungDC-DC-Wandler
U, I
P?
TastgradTrans. 1,2,3,4
ON, Off, TastgradU, I,f,PhaseON, OFF
MPP-Regelung Zentrale Steuerung
L
N
Trafoloser, einphasiger Wechselrichter
-
Formelsammlung TGU 27 / 47
Mittlere tgliche Globalstrahlung auf eine Flche und Korrekturfaktoren
Hh in kWh / (m d) globale Einstrahlungssumme in kWh pro m pro Tag (d) auf horizontale Flche ( = 0)
opt in Grad Optimaler Anstellwinkel in Grad bei Sdausrichtung ( = 0)
Kopt Korrekturfaktor fr den optimalen Einstrahlungswinkel opt bei Sdausrichtung
K, Korrekturfaktor in Abhngigkeit von der Ausrichtung und Neigung
Mittlere jhrliche globale Einstrahlungssumme Standort Berlin
Werte in
kWhm2a
WTag = PNennHh
1 kWm
K ,
WJahrideal = APVHhJahrK,PV
HhJahr =Hh365da (d=Tag, a=Jahr)
PR =WJahrrealWJahrideal
WTag Ertrag in kWh pro Tag
Hh Globalstrahlungssumme in kWh pro m pro Tag (d) bei = 0
PNenn Nennleistung der Anlage in kWp bei STC; (kWp = kWpeak)
K, Korrekturfaktor in Abhngigkeit von Neigung und Orientierung
APV Flche der Solaranlage in m
Hh-Jahr Globalstrahlungssumme in kWh pro m pro Jahr (a) bei = 0
PV Wirkungsgrad Solarmodule
PR Performance Ratio in %
WJahr-ideal von den Solarmodulen theoretisch gelieferte Jahresarbeit in kWh(= Ertrag)
WJahr-real real ins Netz eingespeiste Jahresarbeit in kWh unter Bercksichti-gung von Verschattung, Leitungsverlusten, Verschmutzung, ...
Formelsammlung_TGU.odt 27 15. Nov 15
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180Nord Ost Sd West Nord
Ausrichtung in Grad
Nei
gung
swin
kel
in G
rad
1150
11001050
1000950
900850
800750
700650
600550
500
1241
1069
Karlsruhe Berlin Mailand Madrid Sd Sdwest / Sdost West / OstHh Hh Hh Hh 20 37 45 60 90 20 37 45 60 90 20 37 45 60 90
Jan 0,88 1,72 63 0,62 1,83 66 1,24 1,89 65 2,08 1,94 64 Jan 1,36 1,59 1,66 1,72 1,58 1,25 1,38 1,42 1,43 1,25 0,99 0,95 0,93 0,85 0,63
Feb 1,62 1,56 58 1,26 1,49 59 2,30 1,69 59 3,13 1,62 56 Feb 1,30 1,48 1,53 1,56 1,37 1,21 1,31 1,33 1,31 1,10 0,98 0,95 0,93 0,85 0,63
Mrz 3,08 1,31 47 2,70 1,35 50 3,83 1,34 47 4,69 1,28 44 Mrz 1,20 1,30 1,31 1,29 1,04 1,14 1,19 1,19 1,14 0,89 0,98 0,94 0,91 0,84 0,61
Apr 4,60 1,14 34 4,33 1,17 37 4,77 1,13 32 5,60 1,09 27 Apr 1,12 1,14 1,13 1,06 0,75 1,08 1,09 1,07 1,00 0,72 0,98 0,93 0,90 0,82 0,59
Mai 5,28 1,04 20 5,16 1,05 23 6,01 1,04 20 6,64 1,02 15 Mai 1,04 1,01 0,98 0,88 0,55 1,02 1,00 0,96 0,88 0,59 0,97 0,92 0,88 0,80 0,56
Jun 5,95 1,02 15 5,67 1,02 16 6,73 1,02 13 7,67 1,01 7 Jun 1,02 0,97 0,92 0,81 0,48 1,01 0,96 0,93 0,83 0,55 0,97 0,91 0,88 0,79 0,54
Jul 5,66 1,03 17 5,27 1,03 19 7,11 1,03 16 8,03 0,94 11 Jul 1,03 0,99 0,95 0,84 0,52 1,02 0,98 0,94 0,85 0,57 0,97 0,91 0,88 0,79 0,55
Aug 4,86 1,10 29 4,41 1,11 31 5,86 1,09 27 7,00 1,07 23 Aug 1,09 1,09 1,07 0,98 0,66 1,06 1,05 1,03 0,95 0,66 0,97 0,92 0,88 0,80 0,56
Sep 3,56 1,25 43 3,16 1,27 45 4,33 1,26 42 5,37 1,23 39 Sep 1,17 1,24 1,25 1,21 0,93 1,12 1,15 1,15 1,09 0,83 0,98 0,94 0,91 0,83 0,60
Okt 2,15 1,47 54 1,80 1,52 56 2,52 1,46 53 3,70 1,48 52 Okt 1,27 1,41 1,45 1,46 1,25 1,18 1,27 1,27 1,25 1,01 0,98 0,95 0,92 0,84 0,62
Nov 1,09 1,69 62 0,80 1,77 64 1,41 1,79 63 2,39 1,82 61 Nov 1,35 1,56 1,63 1,69 1,53 1,24 1,37 1,39 1,40 1,20 0,98 0,95 0,93 0,85 0,63
Dez 0,68 1,82 65 0,49 1,94 68 1,08 2,11 68 1,91 2,08 66 Dez 1,40 1,65 1,73 1,82 1,70 1,27 1,43 1,48 1,49 1,33 0,99 0,97 0,94 0,86 0,64
Jahr 3,28 1,17 37 2,98 1,16 37 3,94 1,17 36 4,86 1,17 35 Jahr 1,12 1,17 1,14 1,08 0,79 1,08 1,11 1,07 1,00 0,74 0,98 0,94 0,89 0,81 0,58
Mittlere tgliche Globalstrahlung Hh auf eine horizontale Flche (=0) bei Sdausrichtung
Korrekturfaktoren K,
fr Ausrichtung und Neigung
Karlsruhe >
Kopt
opt
Kopt
opt
Kopt
opt
Kopt
opt >
-
Formelsammlung TGU 28 / 47
Kondensator
d
+Q -QE
C =QU
C = 0rAd
d Plattenabstand in mC Kapazitt in F (Farad) = As/VQ Ladungsmenge in As = Cb (Coulomb)U Spannung in V
0 Feldkonstante 0=0,8851011 As
VmA Plattenflche in mr Dielektrizittskonstanter (Luft) 1r (dest. Wasser) 80r (Isolation Unterwasserkabel) 2,4
Reihenschaltung von Kondensatoren
C1 C2 C3
1 1 1 1
C C1 C2 C3= + +
Parallelschaltung von Kondensatoren
C1 C2 C3
C C1 C2 C3= + +
Auf- und Entladung
0 1 2 3 4 50123456789
10
Aufladevorgang KondensatorR=1k , C=1F, =R*C=1ms
uC(t) in Vi(t) in mA
Zeit in ms
uc(t) in V,i(t) in mA
uC(t)
i(t)
UC t =U1 et
UR t = Uet
I t = URe
t
= R C
IC = C UC t
Zeitkonstante in sR Widerstand in C Kapazitt in F
0 1 2 3 4 5-10
-9
-8-7
-6
-5
-4
-3-2
-1
0
1
23
4
5
67
8
9
10
Entladevorgang KondensatorR=1k , C=1F, =R*C=1ms
uC(t) in Vi(t) in mA
Zeit in ms
uc(t) in V,i(t) in mA
uC(t)
i(t)
UC (t) = Uet
I(t) =URe
t
Formelsammlung_TGU.odt 28 15. Nov 15
UcU
10V
V1
G 1F
C1
+
1K
R1
UR
-
Formelsammlung TGU 29 / 47
Durchflutung
Ein elektrischer Strom erzeugt ein Magnetfeld dessen Feldlinien ringfrmig um den Leiter verlaufen.
Rechte Handregel:
Daumen zeigt in Stromrichtung
Finger zeigen im Magnetfeldrichtung
Kreuz: Strom fliet nach hinten(Merkregel: Pfeilende)
Punkt: Strom fliet nach vorne(Merkregel: Pfeilspitze)
Kraft auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld
Ursache Strom (Daumen nach hinten)
Vermittlung Magnetfeld (Zeigefinger nach unten)
Wirkung Kraft (Mittelfinger nach links)
Flussdichte
B=A
B magnetische Flussdichte in Vs/m = T(T = Tesla)
magentischer Fluss in Vs
A Querschnittsflche in m
Induktion
Uinduziert=N t mit
= BA
Uinduziert induzierte Spannung in V
N Windungszahl
Flussnderung in Vs
t Zeitdauer der Flussnderung in s
Selbstinduktion
Uind=LI= L I t
I Stromnderung in A
t Zeitdauer der Stromnderung in s
I Stromnderung in A/s
Formelsammlung_TGU.odt 29 15. Nov 15
Strom I
Magnetf
eld
Leitung
Kompass
Stro
m I
Kraft F
N
S
UrsacheStrom
VermittlungMagnetfeld
WirkungKraft
A=1m
B
t
Drehung
durchstmteFlche A
ndert sich
N S
U
N S
U
Magnetfeld B ndert sich
vom Magnetfeld durchstrmte Flche A ndert sich
I klein
U
t
I gross
U
Magnetfeld Bndert sich
-
Formelsammlung TGU 30 / 47
Spule
I+
_
20 r
AL N
l
L Induktivitt in H = VsA (Henry)A vom Feld durchsetzte Flche (Querschnitt)0 Feldkonstante des magnetischen Feldesl Lnge in mN Windungszahl
0 =1,257106 Vs
Am
r = Permeabilittszahl r Eisen 200 ... 6000 r Elektroblech 500 ... 7000
Reihenschaltung von Spulen
L1 L2 L3
L L1 L2 L3= + +
Parallelschaltung von Spulen
L3L1 L2
1 1 1 1
L L1 L2 L3= + +
Spule an Rechteckspannung
Zeitkonstante =LR
Selbstinduktion UL =L I t
= LI
Einschalten Ausschalten
UR (t) = Umax(1 et ) UR (t) = Umaxe
t
I(t) =UmaxR
(1 et ) I(t) = Istartet
USpule (t) = Umaxet USpule (t) =Umaxe
t
Impulszeit ti
-
Formelsammlung TGU 31 / 47
Motor: Ersatzschaltbild und Kennlinien
Uinduziertn
= konst
UAnker=UR+Uinduziert
UAnker Spannung am Motoranker in V
IAnker Stromaufnahme des Motors in A
RAnker Ankerwiderstand in
n Drehzahl des Motors in 1/s
Uinduziert im Motor induzierte Spannung in V
MIAnker
= konst
Drehmoment Mechanische Leistung
M= F r
Pmech=W t
= vF
Pmech= M = 2nM
n=vU
F= ma
Mab abgegebenes Drehmoment in Nm
M Drehmoment in Nm
F Kraft in N
r Radius in m
Pmech Mechanische Leistung in W = Nm/s
W Arbeit in Nm
v Geschwindigkeit in m/smit F in Bewegungsrichtung
Winkelgeschwindigkeit in 1/s
n Drehzahl in 1/s
U Radumfang in m
m Masse in kg
a Beschleunigung in N/kg
Motor Leistungsbilanz
Formelsammlung_TGU.odt 31 15. Nov 15
Drehmom ent M
Drehzahl n
n I
Strom I
0 20 40 60 80 100
0
1
2
3
4
M in Nm
n in 1/s
U1U2U3 < U1
Fr
M
zugefhrte LeistungPzu = Pelekt U
Anker * I
Anker
Mechanische Leistung
Pmech * M
mech
WrmeverlustePverlust = UR * IAnkerPverlust = IAnker * RAnker
vom Motor abgegebene LeistungPab = * Mab
Mechanische Verluste (Lager, Brsten,...), hervorgerufen durch ReibungBei Vernachlssigung der Reibung gilt: Mmech Mab und Pmech Pab
RAnker
UAnker
Uinduziert
~ n
IAnker
URPelekt
P Verlust
Pmech
RAnker
UAnker
Uinduziert
~ n
IAnker
UR
Umfang U
v
Rad
-
Formelsammlung TGU 32 / 47
Wirkungsgrad-Kennlinienfeld fr die Einheit aus Elektromotor und Leistungselektronik
- Linien gleichen Wirkungsgrades in % unterhalb der Vollastkennlinie
- gilt fr eine beispielhafte Einheit aus elektrischer Maschine mit Leistungselektronik
Kennlinienfeld des spezifischen Verbrauchs (Muscheldiagramm) Dieselmotor
- Linien gleichen spezifischen Verbrauchs in g/kWh unterhalb der Vollastkennlinie
- gilt fr einen beispielhaften Dieselmotor
Umrechnung spezifischer Verbrauch Wirkungsgrad:
=Nutzen
Aufwand=
spezifische AusbeuteHeizwert
=1/spezifischer Verbrauch
Heizwert=
1spezifischer VerbrauchHeizwert
Formelsammlung_TGU.odt 32 15. Nov 15
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
0
50
100
150
200
250
300
Wirkungsgrad-Kennlinienfeld
n in min-1
M in
Nm
89 %
90 %
88 %87 %
85 %
80 %
70 %
60 %
50 %
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
0
50
100
150
200
250
300
Kennlinienfeld spezifischer Verbrauch
n in min-1
M in
Nm
250 g/kW h
210 g/kW h
215 g/kW h
220 g/kW h
225 g/kW h
230 g/kW h
240 g/kW h
270 g/kW h
300 g/kW h
350 g/kW h
400 g/kW h
500 g/kW h
700 g/kW h
-
Formelsammlung TGU 33 / 47
Transistor und Transistorschaltungen
Transistor-Art und -Bezeichnungen Schaltzeichen Schaltungsbeispiel
Bipolar-TransistorB BasisE EmitterC Kollektor
Basisstrom IB steuertKollektorstrom IC wird gesteuert
Feldeffekt-Transistor,hier MOSFETG GateD DrainS Source
Gate-Source-Spannung UGS steuertDrainstrom ID wird gesteuert
IGBT (insulated-gate bipolar transistor)G GateE EmitterC Kollektor
Gate-Emitter-Spannung UGE steuertDrainstrom ID wird gesteuert
Schaltzustnde beim Transistor
Transistor sperrt (wie Schalter offen) Transistor leitet (wie Schalter geschlossen)
PWM-Signal, Tastgrad
T Periodendauer ti ImpulszeittP Pausenzeitf Frequenz
Formelsammlung_TGU.odt 33 15. Nov 15
IMotor=ICISteuer
M
UBatt
UCEU
Steuer
RB
+12V
B
C
E
ICIB
G
D
S
ID
UGS
UBatt
UDS
USteuer
RG
+12V
IMotor=ID
UGS
M
G
C
E
IC
IMotor
=IC
M
UBattUCE
USteuer
RG
+400V
IMotor=0AM
USteuer=0V
RG
+12V
Ubatt12VUDS
12V
Umotor
0V M
12V12V
0VIMotor
=1AM
USteuer
=5V
RG
+12V
Ubatt
12VUDS0,2V
Umotor
11,8V M
12V0V
12V
Mittelwert
0Vtp ti
T
Flchen gleich gro
Maximalwert
Tf=
1T
Tastgrad=t iT=
UMittelwertUMaximalwert
Tastgrad=t iT= ( UEffektivwertUMaximalwert )
2
-
Formelsammlung TGU 34 / 47
Transistor-Brckenschaltung
Tiefsetzsteller
Hochsetzsteller
Formelsammlung_TGU.odt 34 15. Nov 15
T1
T2
1
T3
T4
1M
UVersorgung
0V
T I
U1 UR
USpule
U2
UR
~I
USpule
USpule
U2= U
1
U2=0
UR ~I
t
Eingangs-Gleichspannung
Ausgang-Gleichspannung
T I
Uein
UR
USpule
U2
RC
LU
ausPWM
T
I
UausU
ein
USpule
CL
RL
PWM
+
- UT
T1
T21
T3
T4M
UVersorgung
0V
1
t
U
MittelwertU
R = U
aus
Uein
U2= Uein
U2=0
t
U
MittelwertUR = Uaus
ti T
-
Formelsammlung TGU 35 / 47
Wechselstrom
FrequenzPeriodendauer f=
1T
f Frequenz in Hz = 1sT Periodendauer in s
Effektivwert bei sinusfr-migen Wechselgren Ueff=
USpitze2
Ieff=ISpitze2
Ueff Effektivwert der Wechselspannung in VUSpitze Spitzenwert der Wechselspannung in VIeff Effektivwert des Wechselstroms in AISpitze Spitzenwert des Wechselstroms in A
WirkleistungBlindleistungScheinleistung
P=URIR QC=UCIC
QL=ULIL S=UgesIges
S2 = P2 + Q2
cos() =PS= 0..1induktiv /kapazitiv
P Wirkleistung in WUR, IR Spannung und Strom am Widerstand QC, QL Blindleistungen in varUC, IC Spannung und Strom am Kondensator UL, IL Spannung und Strom an der SpuleS Scheinleistung in VAUges, Iges Gesamtspannung und Gesamtstrom an
einer Schaltung aus R,L,Ccos() Leistungsfaktor, Verschiebungsfaktor Phasenverschiebungswinkel zwischen
Uges und Iges Winkel zwischen S und P
Um an der Einheit sofort zu erkennen, ob Wirk-, Blind- oder Scheinleistung angegeben wird, unter-scheidet man W, var und VA.Beispiel Gerteaufdruck: 10 VA / 8 W
Formelsammlung_TGU.odt 35 15. Nov 15
USpitze
t
U
Ueff
Periodendauer T
Periodendauer T
Amplitude = Spitzenwert
Effektivwert
T = 20ms bei f = 50Hz
S in VAQ in var
P in W
-
Formelsammlung TGU 36 / 47
Dreiphasiger Wechselstrom, Drehstrom
3 Phasen mit 120 Phasenverschiebung
zu jedem Zeitpunkt gilt: u1(t) + u2(t) + u3(t) = 0
SternschaltungVerbraucher zwischen Phase und Nulleiter geschaltetSpannung am Verbraucher im Haushalt: 230V
DreieckschaltungVerbraucher zwischen zwei Phasen geschaltetSpannung am Verbraucher im Haushalt: 400V
UStern=UDreieck3
PStern =PDreieck
3
UStern Spannung in Sternschaltung (zwischen Phase L und Nulleiter N)U1N, U2N, U3N
UDreieck Spannung in Dreieckschaltung (zwischen 2 Phasen)U12, U23, U31
PStern Leistung in Sternschaltung in WPDreieck Leistung in Dreieckschaltung in W
Pges=3UIcos()
Sges=3UI
Pges Gesamte WirkleistungSges Gesamte ScheinleistungU Spannung zwischen den Auenleitern U12, U23, U31I Auenleiterstrom I1, I2, I3cos() Leistungsfaktor Phasenverschiebungswinkel zwischen U und I
Formelsammlung_TGU.odt 36 15. Nov 15
NS
L1L2L3
N
Hochspannungs-bertragung
Trans-formator
Trans-formator
L1
L2
L3
L1
L2
L3
L1
L2
L3
N
PE
L1
L2
L3
N
Verbraucher (im Haus)
Dreieckschaltung3x400V
Sternschaltung3x230VSynchron-Generator
im Kraftwerk
0 5 10 15 20 25
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400Dreiphasen-Wechselstrom (Drehstrom)
t in ms
u1(t) u2(t) u3(t)
uges(t)
U in V
30 90 180 360
I12=I13R1 R2 R3
L1L2L3
U1N U2N U3N
N
I1I2I3 R1
R2
R3
L1
L2
L3
U12
U31
U23
I1
I12
I2
I3
Strangstrom
-
Formelsammlung TGU 37 / 47
Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra
NOT (Negation)
A1
YY = /AY = A
A Y0 11 0
amerikan. Darstellung, in Labview:
Negation / Complement
AND (Konjunktion)
&A
BY
Y = A BY = BA
B A Y0 0 00 1 01 0 01 1 1
NAND
&A
BY
Y = /(A B)Y = BA
B A Y0 0 10 1 11 0 11 1 0
OR (Disjunktion)
A
BY
1 Y = A + BY = BA
B A Y0 0 00 1 11 0 11 1 1
NOR
A
BY
1 Y = /(A + B)Y = BA
B A Y0 0 10 1 01 0 01 1 0
XOR (Antivalenz)
=1A
BY
Y = (A /B) + (/A B)
B A Y0 0 00 1 11 0 11 1 0
XNOR (quivalenz)
=A
BY
Y = (A B) + (/A /B)
B A Y0 0 10 1 01 0 01 1 1
UND / ODER / NAND / NOR Verknpfungen knnen beliebig viele Eingnge haben.XOR und NXOR ... nur 2 Eingnge.
wichtige Verknfungsregeln: UND / ODER + A B C = A + B + C
A + B + C= A B C
A (B C) = (A C) B = C A B (A B) + (A C) = A (B + C)(A B) + (A C) = A B + A C
Formelsammlung_TGU.odt 37 15. Nov 15
-
Formelsammlung TGU 38 / 47
Codes und Codierer
Dual- Code (8-4-2-1-Code)
Dezimal 23=8 22=4 21=2 20=10 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1 03 0 0 1 14 0 1 0 05 0 1 0 16 0 1 1 07 0 1 1 18 1 0 0 09 1 0 0 110 1 0 1 011 1 0 1 112 1 1 0 013 1 1 0 114 1 1 1 015 1 1 1 1
Gray- Code
keine GewichtungHEX D C B A
0 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1 13 0 0 1 04 0 1 1 05 0 1 1 16 0 1 0 17 0 1 0 08 1 1 0 09 1 1 0 1A 1 1 1 1B 1 1 1 0C 1 0 1 0D 1 0 1 1E 1 0 0 1F 1 0 0 0
BCD- Codes / 4-Bit Codes
Dez. BCD0 00001 00012 00103 00114 01005 01016 01107 01118 10009 1001
Ziffern > 9 sind nicht definiert
Spezielle Umcodierer
BCD / GrayA
B
D
C
G0
G1
G3
G2
BCD / dez.0123456789
A
B
D
C
Umcodierer mit 7-Segmentanzeige
BCD / 7-Seg.abcdefgD
C
B
A
DPY
b
a
c
g
d
e
f
dp
Speicher RS-Flipflop
Zustandsfolgetabelle
S R Qn Qn+1
0 0 0 00 0 1 1
speichern
0 1 0 00 1 1 0
Reset (R)
1 0 0 11 0 1 1
Set (S)
1 1 ? ? irregulr
Zeitablaufdiagramm (Impulsdiagramm)
Formelsammlung_TGU.odt 38 15. Nov 15
R
S
Q
t
S Q
R
Set
Reset
-
Formelsammlung TGU 39 / 47
Symbole der Elektrotechnik
Schalten
Taster Schalter Schlieerkontakt ffnerkontakt Umschalter
Anzeigen
Dioden
Anzeigelampe Lampe LED Diode Schottky-Diode
Widerstnde
Widerstand VernderbarerWiderstand
Widerstand mit Schleifkontakt
PTCKaltleiter
NTCHeileiter
Spule
Kondensator Kondensator mit Polung
Batterieelement,Akku
Masse, Erde
Sicherung Solarzelle
Relais
Relais mit Kontakt N-Kanal-IGFET
Quellen
ideale Spannungsquelle
IdealeStromquelle
SignalgeneratorGleichspannung
SignalgeneratorWechselspannung
UmlaufenderGenerator
Messgerte
Spannungsmesser,Voltmeter
Strommesser,Amperemeter
Leistungsmesser,Wattmeter
Leistungsfaktor-Messgert
Energiemesser,Wattstundenzhler
Umsetzer
Analog/Digital-Umsetzer, n Bit
Digital/Analog-Umsetzer, n Bit
Komparator, Schwellwertschalter
Schmitt-Trigger, Zweipunktregler
Symbole der RI-Flietechnik
Behlter mit Flssigkeit
Motor Pumpe Kompressor Ventil Messstelle
Heizung / Wrmetauscher
Rhrer Druckluftantrieb Niveauangabe Hauptflussrichtung
Formelsammlung_TGU.odt 39 15. Nov 15
M
V U A I W P cos Wh
G G G
+ +
A
D
n
A
Dn/# n #/n
comp
Wh
-
Formelsammlung TGU 40 / 47
Regelkreis
Bezeichnung, Kenngren Sprungantwort Beispiel bertragungsverhalten
P-Strecke
KPS=x /y
Verstrker,Spannungsteiler,Hebel,Getriebe
Die Ausgangsgre x folgt proportional unverzgert der Eingangsgre y
T1-Strecke
TS Zeitkonstante
Drehzahl n eines Motors,Strecken mit einem Energiespeicher
Die Ausgangsgre x folgt nach einer e-Funktion verzgert der Eingangsgre y,eine Zeitkonstante
T2-Strecke
TU VerzugszeitTg Ausgleichszeitmit Tangente im Wendepunkt bestimmen
Drehzahl n einesMotors mit Bercksichtigung derInduktivitt,Strecken mit zwei Energiespeichern
Die Ausgangsgre x folgt mit zwei Zeitkonstanten verzgert der Eingangsgre y
Tt -Strecke
Tt TotzeitFlieband
Die Ausgangsgre x folgt proportional um eine Totzeit Tt verzgert der Eingangsgre y
I-StreckeSchiebeschlitten an einer Drehspindel
Die Ausgangsgre x ist das Zeitintegral der Eingangsgre y
Formelsammlung_TGU.odt 40 15. Nov 15
Zugehrige Regelkreis-Darstellung mit Regelkreisbezeichnungenund Bedeutungen im Beispiel
Beispiel Temperaturregelung
Temperatur-Vorgabe
Heizung
Temperatur-FhlerHeizungs-Regelung
Flssigkeits-behlter
RegelstreckeBehlterflssigkeit
MessgliedTemperaturfhler
StellgliedHeizstab
ReglerHeizungsregelung
Rckfhrgre rBehltertemperatur(Istwert)
Regelabweichung eTemperaturdifferenz (Sollwert Istwert)e = w - r
Steuergre yR
Spannung am Heizstab
Stellgre yHeizstab-temperatur
Regelgre xBehltertemperatur
Strgren zAuentemperatur
Fhrungsgre wVorgewhlteTemperatur(Sollwert)
-+
yyRe
r
x
x
x
x = Kps
* y
t
x
t
100%63%
TS
x
t
TU
Tg
t
x
x
t
x
t
Tt
-
Formelsammlung TGU 41 / 47
Grafische Darstellungen von Ablaufsteuerungen, Zustandsdiagramm, GRAFCET
Zustandsdiagramm
GRAFCET
Bedeutungder Symbole:
Schrittkette mit RS-Flipflops
Formelsammlung_TGU.odt 41 15. Nov 15
M
Ventil oben
Ventil unten
Fllstandoben
Fllstandunten
Rhrer
Starttaster
Technologieschema
GrundzustandVentil oben zuVentil unten zu
Rhrer aus
ZulaufVentil oben aufVentil unten zu
Rhrer an
AblaufVentil oben zu
Ventil unten aufRhrer an
Starttasterbettigt
Fllstand obenerreicht
Fllstand unten
erreicht
Reset
Q11Q2
Weiterschaltbedingungzu Schritt 2
Bedingung zurck zum Grundzustand
S
R
1
1
M1
GrundzustandSchritt1
S
R
&
1
M2
Schritt2
Logikzur
Ansteuerungder
Betriebs-mittel
Betriebs-mittel 1
Betriebs-mittel 2
Betriebs-mittel 3
Q1
Q2
Q3
M
M
M
M8 (Anlaufmerker)
M2
M1
M3
Alternative zum Anlaufmerker
Befllen
Entleeren
2 Ventil oben AUF Rhrer bleibt EIN
Starttaster
3 Ventil unten AUF
Fllstand_oben
Rhrer AUS
Fllstand_unten
Grundzustand 1
Einmalige Ausfhrung
Ausfhrung zu Beginndes Zustands einschalten
Ausfhrung am Endedes Zustands ausschalten
Weiterschaltbedingung (Transition)2 Zustand, Schritt
-
Formelsammlung TGU 42 / 47
5 Mathematische Grundformeln
Zehnerpotenzen
Symbol Name Wert
P Peta 1015 1.000.000.000.000.000 Billiarde
T Tera 1012 1.000.000.000.000 Billion
G Giga 109 1.000.000.000 Milliarde
M Mega 106 1.000.000 Million
k Kilo 103 1.000 Tausend
h Hekto 102 100 Hundert
da Deka 101 10 Zehn
100 1 Eins
d Dezi 101 0,1 Zehntel
c Zenti 102 0,01 Hundertstel
m Milli 103 0,001 Tausendstel
Mikro 106 0,000.001 Millionstel
n Nano 109 0,000.000.001 Milliardstel
p Piko 1012 0,000.000.000.001 Billionstel
f Femto 1015 0,000.000.000.000.001 Billiardstel
Umrechnungen
1Jahr = 365 Tage= 8760 Stunden
1Stunde = 60min = 3600Sekunden
Lineare Interpolation
y = y1 y2 y1x2 x1
x x1
x1, x2 gegebene Werte (aus Tabelle)y1, y2 gegebene Gren (aus Tabelle)x Wert fr gesuchte Gre (Vorgabe)y gesuchte Gre
Formelsammlung_TGU.odt 42 15. Nov 15
gegebenermittelt
Wert
Gr
e
x1
x2
y1
y2
y (gesuchte Gre)
x
-
Formelsammlung TGU 43 / 47
Flchen- und Volumenberechnungen
Kreisflche A= r2
Kreisumfang U= 2 r
Dreiecksflche A=12ah
Trapezflche A=12(a + c )h
Kegel M= rs
O= r2 + rs
V =13 r2h
Kegelstumpf V =13h(R 2 + R r + r2)
Pyramide O= G + M
V =13Gh
Zylinder O= 2r2 + 2rh
V = r2h
Kugel O= 4 r2
V =43r3
A Flche in m
r Kreisradius in m
U Umfang in m
M Mantelflche in m
O Oberflche in m
V Volumen in m
G Grundflche in m
M Summe der Dreiecksflchen
Winkelfunktionen
sin()=GH cos()=
AH
tan () =GA= m=
y x
H Hypotenuse
A Ankathete
G Gegenkathete
Winkel zwischen A und H
m Steigung
Formelsammlung_TGU.odt 43 15. Nov 15
sh
r
hr
R
h
G
h
r
a
h
a
h
c
yGH
A
x
-
Formelsammlung TGU 44 / 47
6 Physikalische Grundformeln und Einheiten
Physikalische Formeln
gleichfrmige Bewegung v =st
beschleunigte Bewegung a=vt
s =12at2
Arbeit W = Fs
Leistung P=Wt
P= Fv = M = 2nM
Drehmoment M= Fr
Drehzahl n=vU
Wirkungsgrad =Nutzen
Aufwand
Dichte =mV
Druck p=FA
1 bar = 105 Pa = 105Nm2
Grundgleichung Mechanik F= ma
Gewichtskraft FG =mg
Hangabtriebskraft FH= FGsin
Normalkraft FN= FGcos
Reibungskraft FR =RFN
Luftwiderstandskraft FW=cw12Av2
v Geschwindigkeit in ms
s zurckgelegter Weg in m
t Zeit in s
a Beschleunigung in ms2
W Arbeit in J = Nm = Ws
F Kraft in N
P Leistung in W = Nm/s
M Drehmoment in Nm
Winkelgeschwindigkeit in 1s
n Drehzahl in 1s
r Radius in m
U Radumfang in m
Dichte in kgm3
m Masse in kg
V Volumen in m3
p Druck in Nm2 Luft1,2
kgm
A Flche in m
m Masse in kg
a Beschleunigung in N/kg
FG Gewichtskraft in N
g 9,81 N/Kg auf der Erde
FN Normalkraft in N(senkrecht zur Reibungsflche)
FH Hangabtriebskraft in N
FR Reibungskraft in N
R Reibungskoeffizient
FW Widerstandkraft in N
cW Widerstandsbeiwert
v Windgeschwindigkeit in ms
Formelsammlung_TGU.odt 44 15. Nov 15
Fr
M
Umfang U
v
Rad
FR
FNF
G
FH
-
Formelsammlung TGU 45 / 47
Einheiten SI-Basiseinheiten
Name Einheit Symbol Einheitenzeichen
Lnge Meter l m
Masse Kilogramm m kg
Zeit Sekunde t s
Stromstrke Ampere I A
Temperatur Kelvin T K
Stoffmenge Mol N mol
Lichtstrke Candela IV cd
abgeleitete SI-Einheiten
Name Einheit Einheitenzeichen in anderen SI-Einheiten in Basiseinheiten
Frequenz Hertz Hz s1
Kraft Newton N J/m mkgs2
Druck Pascal Pa N/m2 m1kgs2
Energie, Arbeit, Wrmemenge Joule J Nm; Ws m2kgs2
Leistung Watt W J/s; VA m2kgs3
elektrische Ladung Coulomb C As
elektrische Spannung Volt V W/A; J/C m2kgs3A1
elektrische Kapazitt Farad F C/V m2kg1s4A2
elektrischer Widerstand Ohm V/A m2kgs3A2
elektrischer Leitwert Siemens S 1/ m2kg1s3A2
magnetische Flussdichte Tesla T Vs/m2 kgs2A1
Induktivitt Henry H Wb/A m2kgs2A2
Celsius-Temperatur Grad Celsius C K
Formelsammlung_TGU.odt 45 15. Nov 15
-
Formelsammlung TGU 46 / 47
7 Umweltlabor
Teilchenzahl
N X =n XNA
n Stoffmenge einer Stoffportion X in molNA Avogadrokonstante in mol-1
NA = 61023 mol1
molare Masse
MX =mXnX
m Masse einer Stoffportion X in g
molares Volumen
Vm =VXn X
Vm,n molares Volumen bei Normbedingungen
Vm,n=22,41L
mol
Zusammensetzung von Lsungen und Stoffgemischen
Massenkonzentration in gl X=
mXV Lsg
V(Lsg) Volumen Lsung
Stoffmengenkonzentration in mol
l c X=n X
VLsg
Umrechnung: = cM
Massenanteil w X=mX
mXmLM
m(X) Masse gelste Substanzm(LM) Masse Lsemittel
Volumenanteil X=VX
VXV LM
V(X) Volumen gelste SubstanzV(LM) Volumen Lsemittel
Lslichkeit
LX ,=mmaxXV LM
mmax(X): max. Masse, die sich lst
Dichte
=mV
Dichte in kgm
V Volumen m
m Masse in kg
Formelsammlung_TGU.odt 46 15. Nov 15
-
Formelsammlung TGU 47 / 47
pH-Wert
pH=- log c (H+)
c (H+ ) = 10pH
c(H+) Stoffmengenkonzentration in mol
l
Leitfhigkeit
Spezifische Leitfhigkeit =d
UAI =
dRA
in 1
cm=
cmcm2
=S
cm
d Abstand der Elektroden in cmU gemessene Spannung in VI gemessener Strom in AA Elektrodenflche in in cmR gemessener Widerstand in
Extinktion
E=cdE Extinktion (dimensionslos)
molarer Extinktionskoeffizient in L
cmmol
c Stoffmengenkonzentration in mol
L
d Schichtdicke in cm
Fehlerfortpflanzung
Messwert x = x0 xmit x = Messunsicherheit
x =Messwert
Fehlerfortpflanzung bei Produkt- oder Quotientenbildung mehrerer Messwerte Regel: Addition der relativen Fehler
berechnete Gre: y = x 1x2x3
Resultierender relativer Fehler: yy
= x1x1
x2x2
x3x3
Formelsammlung_TGU.odt 47 15. Nov 15