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Formelsammlung TGU 1 / 47 Formelsammlung Technisches Gymnasium Profil Umwelttechnik Baden-Württemberg 15.11.15 Abitur 2015/2016 Inhaltsverzeichnis 1 Energietechnik und Thermodynamik ............................................................................................................3 Formelzeichen und Einheiten der Thermodynamik ....................................................................................................3 Normbedingungen .................................................................................................................................................3 Übersicht über Energieeinheiten ............................................................................................................................3 Wirkungsgrade, Energieflussdiagramm ....................................................................................................................3 Stoffwerte bei Normbedingungen ...........................................................................................................................4 Erster Hauptsatz der Wärmelehre ...........................................................................................................................4 allgemeines Gasgesetz ...........................................................................................................................................4 Zustandsänderungen idealer Gase ...........................................................................................................................4 Erwärmung von Stoffen ..........................................................................................................................................5 Schmelzen und Verdampfen ..................................................................................................................................5 Verbrennung von Brennstoffen (BS) ........................................................................................................................5 Wasserdampftafel ..................................................................................................................................................6 Wärmeerzeuger – Brennwerttechnik ........................................................................................................................6 Wärmeerzeuger – Solarthermie ...............................................................................................................................7 Wärmeerzeuger – Wärmepumpe ............................................................................................................................8 Wärmeerzeuger – Blockheizkraftwerke ....................................................................................................................8 Brennstoffzelle .......................................................................................................................................................8 Wärmekraftwerke ..................................................................................................................................................9 T,s-Diagramm von Wasser ......................................................................................................................................9 2 Bauphysik ....................................................................................................................................................10 Wärmeleitung ......................................................................................................................................................10 Ermittlung von Temperaturen an den Bauteilober- und Grenzflächen .......................................................................10 Wasserdampfteildruck, Wasserdampfdiffussion ......................................................................................................11 Bedingungen Tau- und Verdunstungsperiode .........................................................................................................11 Tauwassermenge, Verdunstungswassermenge .......................................................................................................11 Tabelle: Wasserdampfsättigungsdruck ps .............................................................................................................12 Tabelle Sperrstoffe ...............................................................................................................................................12 Tabelle: Rohdichte, Wärmeleitfähigkeit und Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl .................................................13 h,x-Diagramm ......................................................................................................................................................14 kontrollierte Wohnraumlüftung ..............................................................................................................................15 3 Strömung, Wasserkraft, Windkraft ............................................................................................................16 Strömungen in Rohrleitungen - Volumen- und Massenstrom ...................................................................................16 Sedimentation / Sinkgeschwindigkeit in der Kläranlage ...........................................................................................16 Strömungen in Rohrleitungen - Kontinuitätsgesetz .................................................................................................16 Wasserkraft .........................................................................................................................................................16 Turbinen Einsatzgebiete .......................................................................................................................................17 Turbinenwirkungsgrad ..........................................................................................................................................17 Windkraft ............................................................................................................................................................18 Windturbinenformen mit Leistungsbeiwert und Schnelllaufzahl ................................................................................18 Widerstandsläufer und Widerstandsbeiwert ............................................................................................................19 Auftrieb und Kräfte am Rotorblatt .........................................................................................................................19 4 Elektrotechnik ..............................................................................................................................................20 Ladung Q, Strom I, Spannung U, Arbeit W, Leistung P, Widerstand R ......................................................................20 Widerstand .........................................................................................................................................................21 Reihenschaltung ...................................................................................................................................................21 Innenwiderstand Ri einer Spannungsquelle ............................................................................................................22 Parallelschaltung ..................................................................................................................................................22 Knoten- und Maschenregel ...................................................................................................................................22 Spannungsteiler ...................................................................................................................................................23 Brückenschaltung .................................................................................................................................................23 Dioden und LEDs .................................................................................................................................................24 Photovoltaik, Solarzelle ........................................................................................................................................25 Wechselrichter ....................................................................................................................................................26 Mittlere tägliche Globalstrahlung auf eine Fläche und Korrekturfaktoren ..................................................................27 Formelsammlung_TGU.odt 1 15. Nov 15

Author: hanguyet

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  • Formelsammlung TGU 1 / 47

    Formelsammlung Technisches Gymnasium Profil Umwelttechnik Baden-Wrttemberg 15.11.15Abitur 2015/2016

    Inhaltsverzeichnis1 Energietechnik und Thermodynamik ............................................................................................................3

    Formelzeichen und Einheiten der Thermodynamik....................................................................................................3Normbedingungen.................................................................................................................................................3bersicht ber Energieeinheiten ............................................................................................................................3Wirkungsgrade, Energieflussdiagramm....................................................................................................................3Stoffwerte bei Normbedingungen ...........................................................................................................................4Erster Hauptsatz der Wrmelehre...........................................................................................................................4allgemeines Gasgesetz...........................................................................................................................................4Zustandsnderungen idealer Gase...........................................................................................................................4Erwrmung von Stoffen..........................................................................................................................................5Schmelzen und Verdampfen ..................................................................................................................................5Verbrennung von Brennstoffen (BS)........................................................................................................................5Wasserdampftafel..................................................................................................................................................6Wrmeerzeuger Brennwerttechnik........................................................................................................................6Wrmeerzeuger Solarthermie...............................................................................................................................7Wrmeerzeuger Wrmepumpe ............................................................................................................................8Wrmeerzeuger Blockheizkraftwerke....................................................................................................................8Brennstoffzelle.......................................................................................................................................................8Wrmekraftwerke..................................................................................................................................................9T,s-Diagramm von Wasser......................................................................................................................................9

    2 Bauphysik....................................................................................................................................................10

    Wrmeleitung......................................................................................................................................................10Ermittlung von Temperaturen an den Bauteilober- und Grenzflchen.......................................................................10Wasserdampfteildruck, Wasserdampfdiffussion......................................................................................................11Bedingungen Tau- und Verdunstungsperiode.........................................................................................................11Tauwassermenge, Verdunstungswassermenge.......................................................................................................11Tabelle: Wasserdampfsttigungsdruck ps .............................................................................................................12Tabelle Sperrstoffe...............................................................................................................................................12Tabelle: Rohdichte, Wrmeleitfhigkeit und Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl.................................................13h,x-Diagramm......................................................................................................................................................14kontrollierte Wohnraumlftung..............................................................................................................................15

    3 Strmung, Wasserkraft, Windkraft ............................................................................................................16

    Strmungen in Rohrleitungen - Volumen- und Massenstrom...................................................................................16Sedimentation / Sinkgeschwindigkeit in der Klranlage...........................................................................................16Strmungen in Rohrleitungen - Kontinuittsgesetz.................................................................................................16Wasserkraft.........................................................................................................................................................16Turbinen Einsatzgebiete.......................................................................................................................................17Turbinenwirkungsgrad..........................................................................................................................................17Windkraft............................................................................................................................................................18Windturbinenformen mit Leistungsbeiwert und Schnelllaufzahl................................................................................18Widerstandslufer und Widerstandsbeiwert............................................................................................................19Auftrieb und Krfte am Rotorblatt.........................................................................................................................19

    4 Elektrotechnik..............................................................................................................................................20

    Ladung Q, Strom I, Spannung U, Arbeit W, Leistung P, Widerstand R......................................................................20Widerstand .........................................................................................................................................................21Reihenschaltung...................................................................................................................................................21Innenwiderstand Ri einer Spannungsquelle............................................................................................................22Parallelschaltung..................................................................................................................................................22Knoten- und Maschenregel...................................................................................................................................22Spannungsteiler...................................................................................................................................................23Brckenschaltung.................................................................................................................................................23Dioden und LEDs.................................................................................................................................................24Photovoltaik, Solarzelle ........................................................................................................................................25Wechselrichter ....................................................................................................................................................26Mittlere tgliche Globalstrahlung auf eine Flche und Korrekturfaktoren..................................................................27

    Formelsammlung_TGU.odt 1 15. Nov 15

  • Formelsammlung TGU 2 / 47

    Mittlere jhrliche globale Einstrahlungssumme Standort Berlin................................................................................27Kondensator........................................................................................................................................................28Durchflutung........................................................................................................................................................29Induktion ............................................................................................................................................................29Spule...................................................................................................................................................................30Motor: Ersatzschaltbild und Kennlinien...................................................................................................................31Motor Leistungsbilanz...........................................................................................................................................31Wirkungsgrad-Kennlinienfeld fr die Einheit aus Elektromotor und Leistungselektronik.............................................32Kennlinienfeld des spezifischen Verbrauchs (Muscheldiagramm) Dieselmotor...........................................................32Transistor und Transistorschaltungen....................................................................................................................33PWM-Signal, Tastgrad..........................................................................................................................................33Transistor-Brckenschaltung.................................................................................................................................34Tiefsetzsteller......................................................................................................................................................34Hochsetzsteller.....................................................................................................................................................34Wechselstrom......................................................................................................................................................35Dreiphasiger Wechselstrom, Drehstrom.................................................................................................................36Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra..............................................................................................................37Codes und Codierer..............................................................................................................................................38Speicher RS-Flipflop............................................................................................................................................38Symbole der Elektrotechnik...................................................................................................................................39Symbole der RI-Flietechnik.................................................................................................................................39Regelkreis............................................................................................................................................................40Grafische Darstellungen von Ablaufsteuerungen, Zustandsdiagramm, GRAFCET.......................................................41Schrittkette mit RS-Flipflops..................................................................................................................................41

    5 Mathematische Grundformeln.....................................................................................................................42

    Zehnerpotenzen...................................................................................................................................................42Umrechnungen....................................................................................................................................................42Lineare Interpolation............................................................................................................................................42Flchen- und Volumenberechnungen.....................................................................................................................43Winkelfunktionen.................................................................................................................................................43

    6 Physikalische Grundformeln und Einheiten................................................................................................44

    Physikalische Formeln...........................................................................................................................................44Einheiten ............................................................................................................................................................45

    7 Umweltlabor................................................................................................................................................46

    Teilchenzahl.........................................................................................................................................................46molares Volumen.................................................................................................................................................46Zusammensetzung von Lsungen und Stoffgemischen...........................................................................................46Lslichkeit............................................................................................................................................................46Dichte.................................................................................................................................................................46pH-Wert..............................................................................................................................................................47Leitfhigkeit.........................................................................................................................................................47Extinktion............................................................................................................................................................47Fehlerfortpflanzung..............................................................................................................................................47

    Zahlenangaben und Tabellenwerte ohne Gewhr!

    Fehler in Aufgabenlsungen, die aufgrund von hier falsch angegeben Formeln oder Zahlenwerten entstehen, werden als richtig gewertet.

    Fehler und Ergnzungswnsche schicken Sie bitte an: [email protected] oder [email protected]

    Formelsammlung_TGU.odt 2 15. Nov 15

  • Formelsammlung TGU 3 / 47

    1 Energietechnik und Thermodynamik

    Formelzeichen und Einheiten der Thermodynamik

    WArbeit in J

    1 J = 1 Nm = 1 Ws = 1kgm

    sQ Wrmemenge in J bzw. Wh Q

    Leistung in W

    1 W = 1 Js

    w Spezifische Arbeit in J

    kgq Spez. Wrmemenge in

    J

    kgm Masse des Gases in kg

    W12Arbeitsumsatz bei Zustandsn-derung von Zustand 1 nach Zu-stand 2

    Q12Wrmeumsatz bei Zustandsn-derung von Zustand 1 nach Zu-stand 2

    T absolute Temperatur in K

    U innere Energie in J V Volumen in m pabsoluter Druck in bar

    1 bar = 105 Pa = 105Nm2

    cp, cV, Ri, siehe Tabelle Stoffwerte nchste Seite bedeutet die Differenz zwischen Zustand 2 (nachher) und Zustands 1 (vorher), z.B. T = (T2 - T1)

    Normbedingungen

    Normtemperatur: 0 = 0C, T0 = 273 KNormdruck: p0 = 1013,25 hPa= 1013,25 mbar

    bersicht ber Energieeinheiten

    Einheit Bezeichnung, Erluterung Umrechnung in kJ bzw. kWh

    J Joule 1.000 J = 1.000 Ws = 1 kJ

    cal Kalorie 1.000 cal = 1 kcal = 4,186 kJ

    Wh Wattstunde 1 Wh = 3,6 kJ

    (kg) SKE (Kilogramm) Steinkohleeinheit 1 kg SKE = 29.308 kJ

    (kg) RE (Kilogramm) Rohleinheit 1 kg RE = 41.868 kJ

    m Erdgas Kubikmeter Erdgas 1 m Erdgas = 31.736 kJ

    Wirkungsgrade, Energieflussdiagramm

    Energieflussdiagramm

    Bei einem Sankey-Diagramm erfolgt eine mengenproportianale Darstellung

    Wirkungsgrad

    WV = W zuWab

    PV =Pzu Pab

    =Nutzen

    Aufwandges =1 2

    =WabWzu

    =PabPzu

    Wzu zugefhrte Arbeit (Energie)

    Wab abgegebene Arbeit (Energie)

    WV Verluste

    Pzu,ab,V entsprechende Leistungen

    Wirkungsgrad

    1 , 2 Einzelwirkungsgrade

    ohne Einheit, wird hufigin % angegeben.

    Carnot-Wirkungsgrad

    C= 1TminTmax

    Formelsammlung_TGU.odt 3 15. Nov 15

    Wzu

    Wab

    WV

  • Formelsammlung TGU 4 / 47

    Stoffwerte bei Normbedingungen

    Gas spezifische Wrmeka-pazitt bei konstantem

    Druck

    cp in kJ

    kgK

    spezifische Wrmeka-pazitt bei konstantem

    Volumen

    cV in kJ

    kgK

    Adiabatenkoeffizient

    =cpc V

    spezifische Gaskon-stante fr Gas i

    Ri in kJ

    kgK

    Kohlendioxid 0,844 0,655 1,29 0,189

    Luft 1,005 0,718 1,40 0,287

    Sauerstoff 0,917 0,658 1,39 0,260

    Stickstoff 1,038 0,741 1,40 0,297

    Hinweis: Ri wird in der Literatur oft mit Rs bezeichnet

    Erster Hauptsatz der Wrmelehre

    Q W = U

    Im Kreisprozess gilt: Q + W = 0

    Q zugefhrte oder abgefhrte Wrmemenge in J, Wh

    W verrichtete Arbeit in J, Wh

    U nderung der inneren Energie in J, Wh

    allgemeines Gasgesetz

    pV = mRiTpV

    T= const

    p Druck in Nm2 ,

    1 bar = 105 Pa = 105Nm2

    V Volumen in m3

    m Masse in kg

    Ri spezifische Gaskonstante in J

    kgK (s. o.)

    T Temperatur in K

    Zustandsnderungen idealer Gase

    isobar Q12= cpm T W12 =pV p= constV1T1

    =V2T2

    isochor Q12= c vm T W12 = 0 V = constp1T1

    =p2T2

    isothermQ12=W12

    W12 =mRiTlnV2V1

    W12 =mRiTlnp1p2

    T = const p1V1 = p2V2

    adiabat Q12= 0

    W12 =mRi1

    (T2 T1)

    W12 =mR iT1

    1 [[ V1V2 ]

    11]

    W12 =mR iT1

    1 [[p2p1 ]

    1 1]

    pV = const

    T1T2

    = [p1p2 ]1 = [ V2V1 ]

    1

    Formelsammlung_TGU.odt 4 15. Nov 15

  • Formelsammlung TGU 5 / 47

    Erwrmung von Stoffen

    spezifische Wrmekapazitt bei Normbedingungen

    zugefhrteWrmemenge

    Q=mc T cwasser 4,18kJ

    kg K1,16

    Wh

    kgK

    zugefhrteWrmeleistung

    Q=mcT

    t= mcT

    cEis 2,05kJ

    kg K0,57

    Wh

    kgK

    cDampf 2,05kJ

    kg K0,57

    Wh

    kgK

    Mischungswrme QM = Q1 + Q2 Q1, Q2 Wrmemenge in der Stoffportion 1 bzw. 2

    Schmelzen und Verdampfen

    Schmelzwrme in kJ = Schmelzenthalpie bei isobarer Zustandsnderung

    QS=mqSpezifische Schmelzwrme von Wasser bei Normbedingungen

    q 332kJ

    kg92,2

    Wh

    kg

    Verdampfungswrme in kJ = Verdampfungsenthalpie bei isobarer Zustandsnderung

    Qv=m rSpezifische Verdampfungswrme von Wasser

    r 2257kJ

    kg627,2

    Wh

    kg

    Verbrennung von Brennstoffen (BS)

    Wrmebelastung volumen- bzw. massenabhngig(bei der Verbrennung freigesetzter Wrmestrom)

    Brennwerte verschiedener Brennstoffe

    nach dem Brennwert nach dem Heizwert

    Brennwert Heizwert Lmin CO2,max in Vol.-%

    Erdgas 11,1kWh

    m3 10kWh

    m3 9,9m

    3

    m312,0

    Q B,s = V BHs Q B,i = V BHiHeizl EL /Diesel

    10,7kWh

    l 10kWh

    l 11,2m

    3

    kg15,4

    VB Brennstoffvolumenstrom in m3

    h Benzin 8,7kWh

    l

    Q B,s = m BHs Q B,i = m BHi Holzpellets 5,21kWh

    kg 4,9kWh

    kg 4m

    3

    kg20

    mB Brennstoffmassenstrom in kgh Steinkohle 8,6

    kWh

    kg 8kWh

    kg 8m

    3

    kg20,5

    Wasserstoff 3,55kWh

    m3 3kWh

    m3 2,4m

    3

    m30

    Wirkungsgradnach dem Heizwert

    i =QLQB,i

    (< HsHi )

    nach dem Brennwert

    s =QL

    QB,s(

  • Formelsammlung TGU 6 / 47

    Wasserdampftafel

    Wrmeerzeuger Brennwerttechnik

    Taupunkttemperatur in Abhngigkeit des CO2-Gehalts Kesselwirkungsgrad, Kondensatmenge in Abhngigkeit der Abgastemperatur bei = 1,1 (Erdgas)

    Formelsammlung_TGU.odt 6 15. Nov 15

    Absoluter Dampf- Dampf- Enthalpie Enthalpie Druck Temperatur dichte des Wassers des Dampfes wrme

    in bar in C

    0,010 6,98 129,200 0,00774 29,34 2514,4 2485,00,015 13,04 87,980 0,01137 54,71 2525,5 2470,70,020 17,51 67,010 0,01492 73,46 2533,6 2460,20,025 21,10 54,260 0,01843 88,45 2540,2 2451,70,030 24,10 45,670 0,02190 101,00 2545,6 2444,60,035 26,69 39,480 0,02533 111,85 2550,4 2438,50,040 28,98 34,800 0,02873 121,41 2554,5 2433,10,045 31,04 31,140 0,03211 129,99 2558,2 2428,20,050 32,90 28,190 0,03547 137,77 2561,6 2423,80,055 34,61 25,770 0,03880 144,91 2564,7 2419,80,060 36,18 23,740 0,04212 151,50 2567,5 2416,00,065 37,65 22,020 0,04542 157,64 2570,2 2412,50,070 39,03 20,530 0,04871 163,38 2572,6 2409,20,075 40,32 19,240 0,05198 168,77 2574,9 2406,20,080 41,53 18,100 0,05523 173,86 2577,1 2403,20,085 42,69 17,100 0,05848 178,69 2579,2 2400,50,090 43,79 16,200 0,06171 183,28 2581,1 2397,90,095 44,83 15,400 0,06493 187,65 2583,0 2395,30,10 45,83 14,670 0,06814 191,83 2584,8 2392,90,15 54,00 10,020 0,09977 225,97 2599,2 2373,20,20 60,09 7,650 0,13070 251,45 2609,9 2358,40,25 64,99 6,204 0,16120 271,99 2618,3 2346,40,30 69,12 5,229 0,19120 289,30 2625,4 2336,10,40 75,89 3,993 0,25040 317,65 2636,9 2319,20,45 78,74 3,576 0,27960 329,64 2641,7 2312,00,50 81,35 3,240 0,30860 340,56 2646,0 2305,40,55 83,74 2,964 0,33740 350,61 2649,9 2299,30,60 85,95 2,732 0,36610 359,93 2653,6 2293,60,65 88,02 2,535 0,39450 368,62 2656,9 2288,30,70 89,96 2,365 0,42290 376,77 2660,1 2283,30,75 91,79 2,217 0,45110 384,45 2663,0 2278,60,80 93,51 2,087 0,47920 391,72 2665,8 2274,00,85 95,15 1,972 0,50710 398,63 2668,4 2269,80,90 96,71 1,869 0,53500 405,21 2670,9 2265,60,95 98,20 1,777 0,56270 411,49 2673,2 2261,71,00 99,63 1,694 0,59040 417,51 2675,4 2257,9

    Siede- Verdampfungs-volumen

    inm3

    kgin

    kgm3

    inkJkg

    inkJkg

    inkJkg

    20 40 60 80 100 120 140 160 180 20090

    95

    100

    105

    110

    115

    120

    0

    0,3

    0,6

    0,9

    1,2

    1,5

    1,8

    = 1,1

    Abgastemperatur in C

    Kes

    selw

    irkun

    gsgr

    ad

    Ki

    Kon

    dens

    atm

    enge

    in l/

    m

    Gas

    Kesselwirkungsgad(linke Achse)

    Kondensatmenge(rechte Achse)

    1% 3% 5% 7% 9% 11% 13%20

    25

    30

    35

    40

    45

    50

    55

    60

    CO2-Gehalt in Vol-%

    Ta

    upunkt

    tem

    pe

    ratu

    r W

    asse

    rda

    mpf

    in

    C

    CO2-Gehalt in Vol-%

    Erdgas (100% Methan CH

    4)

    Heizl EL (C

    10H

    18)

  • Formelsammlung TGU 7 / 47

    Wrmeerzeuger Solarthermie

    Einfluss der Ausrichtung und Neigung von Solaranlagen Auslegungsbeiwert f bei abwei-chender Kollektorausrichtung

    Wirksame Globalstrahlung in (Wrzburg)kWhm d

    Wirkungsgrad Kollektoren = 0 k1(TK TU) + k 2(TK TU)

    2

    EK

    TK mittlere Kollektortemperatur in KTu Umgebungstemperatur in K

    EK Sonneneinstrahlung in Wm2

    Bauart0 k1 in

    Wm2K

    k2 inW

    m2K2

    Flachkollektor 0,75 3,40 0,012

    Vakuum-Rhrenkollektor

    0,64 0,69 0,004

    Ermittlung der Kollektorflche

    Anlagenwirkungsgrad

    AK =Qmin f

    qd,maxAnl

    Anl= KollVerteilSpeicher

    Qmin minimaler tglicher Wrmebedarf in kWh

    f Auslegungsbeiwert Ausrichtung

    qd,max maximal wirksame tgliche Globalstrahlung

    bei vorgegebener Neigung (s.o.) in kWhm2

    Verteil Verteilungswirkungsgrad (0,8 0,95)

    Speicher Speicherwirkungsgrad (0,7 0,85)

    Formelsammlung_TGU.odt 7 15. Nov 15

    0 20 40 60 80 1000

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1

    AbsorberFlachkollektorRhre

    Temperaturdifferenz

    Ko

    llekt

    orw

    irkun

    gsg

    rad

    Temperaturdifferenz TK T

    U in K

    SchwimmbadabsorberFlachkollektorVakuum-Rhrenkollektor

    Sonneneinstrahlung EK = 800 W/m

    W 270 1,4WSW 247,5 1,2SW 225 1,09

    SSW 202,5 1,02S 180 1

    SSO 157,5 1,03SO 135 1,1

    OSO 112,5 1,42O 90 1,6

    Himmels-richtung

    Korrektur-Faktor

  • Formelsammlung TGU 8 / 47

    Wrmeerzeuger Wrmepumpe

    Leistungsziffer =QWPPel ,V

    Coefficient of Performance COP=QWP

    Pel,VHilf

    Jahresarbeitszahl JAZ = =QWP

    Wel, V+ Hilf

    Carnot-Leistungszahl C =Twarm

    Twarm Tkalt

    Gtegrad =C

    Q WP von der WP abgegebener Wrmestrom in kWPel,V vom Verdichter aufgenommene el. Leistung in kW

    Pel,V+Hilf vom Verdichter und Hilfsaggregaten aufgenommene el. Leistung in kW

    QWP von der WP abgegebene Wrmemenge in kWhWel,V+Hilf vom Verdichter und Hilfsaggregaten

    aufgenommene el. Arbeit in kWh

    Twarm abs. Temperatur Wrmetrgermedium (VL) in KTkalt abs. Temperatur Wrmequelle in K

    Wrmeerzeuger Blockheizkraftwerke

    thermischer Wirkungsgrad th=QHQB,i

    elektrischer Wirkungsgrad el =PelQB,i

    Gesamtwirkungsgrad ges = th el

    QH Wrmeleistung in kWQB,i Wrmebelastung (bezogen auf Heizwert) in kW

    Pel elektrische Leistung in kW

    Brennstoffzelle

    theoretische Klemmenspannung Uth=WRzF

    Reaktionsenthalpie WR =HiVm

    elektrischer Wirkungsgrad el =WelWR

    elektrische Energie Wel= U I t

    WR Reaktionsenergie in kJ

    mol

    z Anzahl der bertragenen Elektronen

    F Faraday-Konstante F= 96 487C

    mol(Coulomb

    mol)

    Hi Heizwert in kJm3

    Vm molares Volumen

    (bei Normbedingungen: Vm= 0,0224m3

    mol)

    Wel elektrische EnergieU Spannung in VI Strom in At Zeit in s

    Formelsammlung_TGU.odt 8 15. Nov 15

  • Formelsammlung TGU 9 / 47

    Wrmekraftwerke

    spezifische Entropie s =qT

    s spezifische Entropie in kJ

    kgK

    q spezifische Wrme in kJkg

    T absolute Temperatur in K

    T,s-Diagramm von Wasser

    Formelsammlung_TGU.odt 9 15. Nov 15

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

    100

    200

    300

    400

    500

    600

    700

    800

    900

    Entropie s in kJ/kgK

    Tem

    pera

    tur T

    in K

    180

    bar

    100

    bar

    150

    bar

    50 b

    ar25

    bar

    10 b

    ar

    1 ba

    r0,

    2 ba

    r0,

    07 b

    ar0,

    04 b

    ar

    0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

  • Formelsammlung TGU 10 / 47

    2 Bauphysik

    Wrmeleitung

    Wrmestrom in W

    Q= A dT1Schicht

    Q= AUT innenauen

    A Flche des Bauteils in md Bauteildicke in m

    Wrmeleitfhigkeit in WmKT1Schicht Temperaturdifferenz in K ber eine BauteilschichtTinnen-auen Temperaturdifferenz in K zwischen Innen- und

    Auenluft

    U Wrmedurchgangskoeffizient in W

    m2K (Berechnung s.u.)

    Wrmedurchlasswiderstand in m2K

    W R=d

    d1,2,3 usw Baustoffdicke des Baustoffs 1,2,3 usw. in m

    mehrschichtige Bauteile R =d11

    d22

    d33

    ....Richtung des Wr-mestroms

    innerer Wrmebergangs-widerstand Rsi

    uerer Wrme-bergangs-

    widerstand Rse

    Wrmedurch-gangswider-stand

    RT = Rsi d11

    d22

    d33

    .... R se aufwrts 0,10 m2K

    W0,04

    m2KW

    Wrmedurchgangskoeffizient in W

    m2K U=1

    RT

    horizontal Wrmeschutz 0,13* m2K

    W0,043

    m2KW

    abwrts 0,17 m2K

    W0,04

    m2KW

    * (betrifft Rsi, horizontal): Vereinfachte Betrachtung fr wrme- und feuchteschutztechnische Untersuchungen.

    Bei genaueren Untersuchungen ist beim Feuchteschutz mit einem Wert von Rsi = 0,167 mK/W zu rechnen.

    Ermittlung von Temperaturen an den Bauteilober- und Grenzflchen

    Trennschicht: Berhrungsflche zwischen zwei Baustoffschichten bei mehrschichtigem Aufbau eines Auenbauteils.

    Oberflchentemperatur innen

    si = i TRT

    R si

    Temperatur in der ersten Grenzflche (von innen betrachtet):

    1= i TRT

    Rsi R 1

    Temperatur in der zweiten Grenzflche (von innen betrachtet):

    2= i TRT

    Rsi R1 R2

    Temperatur in der n-ten Grenzflche (von innen betrachtet)

    n= i TRT

    Rsi R1 ... Rn

    Der Teilwiderstand eines Bauteils ist proportional zum Temperatur-abfall in diesem Bauteil:

    RSchicht TSchicht

    =RT

    Tges

    Si Temperatur Oberflche innen in Ci Temperatur Raumluft innen in Ce Temperatur Auenluft in CT Temperaturdifferenz zwischen Innen- und

    AuenluftRT Wrmedurchgangswiderstand (gesamtes

    Bauteil) Rsi innerer Wrmebergangswiderstand n Temperatur in der n-ten GrenzflcheRn Wrmedurchlasswiderstand der n-ten Bau-

    stoffschicht (von innen betrachtet)

    Formelsammlung_TGU.odt 10 15. Nov 15

  • Formelsammlung TGU 11 / 47

    Wasserdampfteildruck, Wasserdampfdiffussion

    Wasserdampfteildruck innen in Pa

    pi =psii100 %

    Wasserdampfteildruck auen in Pa

    pe =psee100%

    Wasserdampfdiffussionsquivalente Luftschichtdicke in m

    sD =d

    Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand in hm2Pa

    kg

    Z = sd1,5106 hmPa

    kg= d1,5106 hmPa

    kg

    psi Sttigungsdampfdruck Luft innen in Pai Relative Luftfeuchte innen in %

    pse Sttigungsdampfdruck Luft auen in Pae Relative Luftfeuchte auen in %

    d Baustoffdicke in m Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl

    (dimensionslos) siehe S. 13Fr die -Werte ist jeweils der fr die Baukonstruktion un-gnstigere Wert einzusetzen.

    Achtung: Bei Erstellung des Glaser-Diagramms der Ver-dunstungsperiode drfen die gleichen -Werte angenom-men werden wie in der Tauperiode (DIN 4108-3)

    1,5106 hmPakg Kehrwert des Wasserdampf-Diffusionsleit-

    koeffizienten in Luft a bei der Bezugstemperatur 10C

    Bedingungen Tau- und Verdunstungsperiode

    Tauperiode: i = 20C e =10 CtT = 1440 h(=60 Tage )i = 50 %e = 80 %

    Verdunstungsperiode: i = 12C e = 12 CtV = 2160 h(=90 Tage )i = 70 %e = 70 %

    i Innentemperatur in C

    e Auentemperatur in C

    tT Dauer der Tauwasserperiode in htV Dauer der Verdunstungsperiode in hi relative Luftfeuchte innene relative Luftfeuchte auen

    Tauwassermenge, Verdunstungswassermenge

    whrend der Tauperiode in der Wand angereicherte

    Tauwassermenge in kgm2

    mW ,T = tTg i ge= tTpi pSWZ i pSW pe

    Ze whrend der Verdunstungsperiode nach innen und auen

    abwandernde Wassermenge in kgm2

    mW ,V = tV(gi + ge) = tV(pSW piZi +pSW pe

    Ze )mit den Diffusionsstromdichten

    Tauperiode: gi =p i pSW

    Z i; ge =

    pSW peZe

    Verdunstungsperiode: gi =pSW p i

    Z i; ge =

    pSW peZe

    tT Dauer der Tauwasserperiode in htV Dauer der Verdunstungsperiode in h

    pi Wasserdampfpartialdruck innen in Pape Wasserdampfpartialdruck auen in PapSW Wasserdampfsttigungsdruck mit Tauwasserausfall in Pa

    Zi Innerer Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand bis zur wahrscheinlichsten Tauwasserebene von innen nach auen (s. o.)

    Ze uerer Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand von der wahrscheinlichsten Tauwasserebene nach au-en (s. o.)

    Formelsammlung_TGU.odt 11 15. Nov 15

  • Formelsammlung TGU 12 / 47

    Tabelle: Wasserdampfsttigungsdruck ps

    Wasserdampfsttigungsdruck Pa Temperatur in

    C0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

    30 4244 4269 4294 4319 4344 4369 4394 4419 4445 4469 29 4006 4030 4053 4077 4101 4124 4148 4172 4196 421928 3781 3803 3826 3848 3871 3894 3916 3939 3961 3984 27 3566 3588 3609 3631 3652 3674 3695 3717 3793 375926 3362 3382 3403 3423 3443 3463 3484 3504 3525 3544 25 3169 3188 3208 3227 3246 3266 3284 3304 3324 334324 2985 3003 3021 3040 3059 3077 3095 3114 3132 3151 23 2810 2827 2845 2863 2880 2897 2915 2932 2950 296822 2645 2661 2678 2695 2711 2727 2744 2761 2777 2794 21 2487 2504 2518 2535 2551 2566 2582 2598 2613 262920 2340 2354 2369 2384 2399 2413 2428 2443 2457 2473 19 2197 2212 2227 2241 2254 2268 2283 2297 2310 2324 18 2065 2079 2091 2105 2119 2132 2145 2158 2172 2185 17 1937 1950 1963 1976 1988 2001 2014 2027 2039 2052 16 1818 1830 1841 1854 1866 1878 1889 1901 1914 1926 15 1706 1717 1729 1739 1750 1762 1773 1784 1795 1806 14 1599 1610 1621 1631 1642 1653 1663 1674 1684 1695 13 1498 1508 1518 1528 1538 1548 1559 1569 1578 1588 12 1403 1413 1422 1431 1441 1451 1460 1470 1479 1458 11 1312 1321 1330 1340 1349 1358 1367 1375 1385 1394 10 1228 1237 1245 1254 1262 1270 1279 1287 1296 1304 9 1148 1156 1163 1171 1179 1187 1195 1203 1211 1218 8 1073 1081 1088 1096 1103 1110 1117 1125 1133 1140 7 1002 1008 1016 1023 1030 1038 1045 1052 1059 1066 6 935 942 949 955 961 968 975 982 988 995 5 872 878 884 890 896 902 907 913 919 925 4 813 819 825 831 837 843 849 854 861 866 3 759 765 770 776 781 787 793 798 803 808 2 705 710 716 721 727 732 737 743 748 753 1 657 662 667 672 677 682 687 691 696 700 0 611 616 621 626 630 635 640 645 648 653

    -0 611 605 600 595 592 587 582 577 572 567 -1 562 557 552 547 543 538 534 531 527 522 -2 517 514 509 505 501 496 492 489 484 480 -3 476 472 468 464 461 456 452 448 444 440 -4 437 433 430 426 423 419 415 412 408 405 -5 401 398 395 391 388 385 382 379 375 372 -6 368 365 362 359 356 353 350 347 343 340 -7 337 336 333 330 327 324 321 314 315 312 -8 310 306 304 301 298 296 294 291 288 286 -9 284 281 279 276 274 272 269 267 264 262

    -10 260 258 255 253 251 249 246 244 242 239

    Tabelle Sperrstoffe

    Sperrstoffe Wasserdampfdiffusionsquivalente Luftschichtdicke sD in m

    Polyethylenfolie 0,15 mm 50Polyethylenfolie 0,25 mm 100PVC Folie 30Aluminium Folie 0,05 mm 1500Bitumiertes Papier 0,1 mm 2

    Formelsammlung_TGU.odt 12 15. Nov 15

  • Formelsammlung TGU 13 / 47

    Tabelle: Rohdichte, Wrmeleitfhigkeit und Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl

    Werkstoff

    Roh-dichte

    in

    [kgm3]

    Wrme-leitfhig-keit in

    [ WmK ]

    Wasser-dampf-

    diffusions-widerstands-

    zahl 1

    spezifische Wrme-

    kapazitt c

    in [ JkgK ]Putze und Mrtel

    Kalkputz,Kalkzementputz

    1800 1 15 - 35 960

    Zementputz 2000 1,6 15 - 35 1000

    Gipsputz 1200 0,51 10 1000

    Gipskartonplatten 800 0,25 4 - 10 1000

    WrmedmmputzWLG 060WLG 080

    200 0,0600,080

    5 - 20

    Beton

    Normalbetonunbewehrtbewehrt (Stahlbeton)

    200022002400

    1,351,652

    60 10070 - 12080 - 130

    10001000880

    Leichtbeton (geschlos-senes Gefge)

    800100012001400160018002000

    0,390,490,620,791,01,31,6

    70 - 150 1000

    Mauerwerk einschlielich Mrtelfugen

    Vollziegel, Hochlochziegel

    120014001600180020002200

    0,500,580,680,810,961,2

    5 - 10 840

    VollklinkerHochlochklinker

    1800200022002400

    0,810,961,21,4

    50 - 100 900

    Hochlochziegel (Hlz) Lochung AB in Leicht-mrtel verlegt

    600800

    1000

    0,280,340,40

    5-10 840

    Leichthochlochziegel Typ W (HlzW), in Leichtmrtel verlegt

    700800900

    0,210,230,24

    5 - 10 840

    Kalksandstein (KS)

    100012001400

    0,500,560,70

    5 - 10 880

    1600180020002200

    0,790,991,11,3

    15 - 25 880

    Porenbetonplanstei-nen (PP) mit Dnn-bettmrtel

    400500600800

    0,130,160,190,25

    5 - 10 1050

    Hohlblocksteine aus Leichtbeton (Hbl)mit Normalmrtel

    600800

    10001200

    0,290,350,450,53

    5 - 10 1050

    Werkstoff

    Roh-dichte

    in

    [kgm3]

    Wrmeleit-fhigkeit

    in [ WmK ]

    Wasser-dampf-

    diffusions-widerstands-

    zahl 1

    spezifische Wrme-

    kapazitt c

    in [ JkgK ]Wrmedmmstoffe

    Mineralwolle, WLG 030....050

    15 - 200 0,030 - 0,050 1 920

    Polystyrol expandiert (EPS) WLG 030....050

    15 - 30 0,030 - 0,050 20 - 100 1500

    Polystyrol extrudiert (XPS)WLG 026 ... 040

    25 - 45 0,026 - 0,040 80 - 250 1250

    Polyurethan (PUR) 30 0,020 - 0,045 40 - 200 1400

    Schaumglas WLG 038 .... 055

    100 - 160 0,038 - 0,050 dampfdicht 1000

    Expandierter KorkWLG 040 055

    55 - 130 0,040 - 0,055 5 - 10 1880

    Holzfaser-dmmplattenWLG 032...060

    120 - 280 0,032 - 0,060 3 - 10 2700

    Hanf 20 - 25 0,040 1 - 2 1550

    Dmmstoffe aus Zellulose

    35 - 70 0,040 1 - 2 2100

    Stroh (Matten) 150 - 400 0,09 0,13 2 - 5 2100

    Wolle 20 0,034 - 0,040 1 - 2 1300

    Perlit (als Schttung)

    50 - 100 0,045 - 0,07 2 - 3 900

    Holzwolleleichtbau-platten

    360 - 4800,070,08

    2 - 5 2100

    Holz und Holzwerkstoffe

    HartholzWeichholz

    700500

    0,180,13

    50 - 20020 - 50

    2000 (Buche)2700 (Fichte)

    OSB Platten 650 0,13 30 - 50 2100

    Sperrholz

    300500700

    1000

    0,090,130,170,24

    50 - 15070 - 20090 - 200110 - 250

    1900

    Spanplatten300600900

    0,10,140,18

    10 - 5015 - 5020 - 50

    1800

    Sonstige Stoffe

    Keramikplatten, Fliesen

    2300 1,3 dampfdicht 900

    Glas 2500 1 dampfdicht 840

    Stahl 7800 50 dampfdicht 500

    Kupfer 8900 380 dampfdicht 385

    Zink 7200 110 dampfdicht 385

    Blei 11300 35 dampfdicht 131

    Luft (ruhend) 1,293 0,025 1 1000

    Wasser 1000 0,64 4180

    Edelgas Krypton 3,56 0,010 1 2481 jeweils den fr die Baukonstruktion ungnstigeren Wert einsetzen

    Formelsammlung_TGU.odt 13 15. Nov 15

  • Formelsammlung TGU 14 / 47

    h,x-Diagramm

    Quelle: Mathematik Installations- und Heizungstechnik, 4. Aufl., Verlag Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten

    Formelsammlung_TGU.odt 14 15. Nov 15

    Luft

    tem

    pera

    tur

    in

    C

  • Formelsammlung TGU 15 / 47

    kontrollierte Wohnraumlftung

    Luftwechselrate in 1h

    =VAULVR

    VAUL Auenluftvolumenstrom in mh

    VR Raumvolumen in m

    Luftwechselraten und Mindestabluftmengen nach DIN 1946-6

    RaumbezeichnungLuftwechsel-rate in h-1

    Mindest-Abluftmenge

    in m3

    h

    Behaglichkeit

    Wohn-, Aufenthalts- und Schlafrume

    0,5 1,0

    Fensterbelftete SanitrrumeBadWC

    6030

    Innenliegende SanitrrumeBadWC

    4 66030

    Kchen 0,5 25 60

    Hausarbeitsrume 0,5 1 30

    Auenluftrate pro Person 30 m3

    h

    Rckwrmezahl bezogen auf die Auenlufttemperatur

    2=zu Auab Au

    Voraussetzung: V1 = V2

    keine Bercksichtigung der latenten Wrme!

    Au Temperatur der Auenluft in C

    zu Temperatur der Zuluft in C

    ab Temperatur der Abluft in C

    V1 Volumenstrom Auenluft (und Zuluft) in mh

    V2 Volumenstrom Abluft (und Fortluft) in mh

    relative Luftfeuchte =xx s=

    pDpD ,s

    x absolute Luftfeuchte in gkg

    xs Sttigungsfeuchte (max. Dampfgehalt) in g

    kg

    pD Wasserdampfpartialdruck in Pa

    pD,S Sttigungsdampfdruck in Pa

    Formelsammlung_TGU.odt 15 15. Nov 15

    14 16 18 20 22 24 26 28 30 320

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    90

    100

    Raumlufttemperatur in C

    Re

    lativ

    e R

    aum

    luft

    feuc

    hte

    in %

    unbehaglich feucht

    behaglich

    noch behaglich

    unbehaglich trocken

    Schwlekurve

  • Formelsammlung TGU 16 / 47

    3 Strmung, Wasserkraft, Windkraft

    Strmungen in Rohrleitungen - Volumen- und Massenstrom

    Volumenstrom V =Vt

    V = Av

    Rohrvolumen V = Al

    Massenstrom m =mt

    m= V

    V Volumen in m

    V Volumenstrom in ms

    t Zeit in s

    A durchstrmte Flche (Rohrquerschnitt) in m

    v Fliegeschwindigkeit in ms

    l Lnge in m

    m Masse in kg

    m Massenstrom in kgs

    Dichte der Flssigkeit in kgm3

    Sedimentation / Sinkgeschwindigkeit in der Klranlage

    Oberflchenbelastung qA=V

    ASed

    hydraulische Aufenthaltszeit th=Lv

    V Zulauf-Volumenstrom mh

    Ased Oberflche des Sedimentationsbeckens in m

    qA Oberflchenbelastung in mh

    th hydraulische Aufenthaltszeit in sL Lnge des Sedimentationsbeckens in m

    v Fliegeschwindigkeit in ms

    Strmungen in Rohrleitungen - Kontinuittsgesetz

    Massenstrom ist konstant: m1= m2 = konstant

    bei konstanter Dichte:

    Volumenstrom ist konstant: V1= V2= v 1A1= v2A2

    Massenstrom an den Stellen 1 und 2 eines Rohrleitungsab-schnitts

    Wasserkraft

    Hydraulische Leistung des Wassers Phydro=ghV

    Dichte =mV

    Energieerhaltung mit Zustand1, Zustand 2:

    Wpot1 + Wkin1 + Wp1 = Wpot2 + Wkin2 + Wp2= Konst

    potentielle Energie, kinetische Energie, Druckenergie

    Wpot=mgh Wkin=12mv2 Wp = pV

    Phydro Leistung in W

    Dichte in kgm Wasser1000 kgm

    g Erdbeschleunigung g= 9,81ms2

    Einheitenumrechnung [N= kgms2 ]h Hhe in m

    V Volumenstrom in msV Volumen in mm Masse in kg

    v Geschwindigkeit in ms

    p Druck in Pa=Nm2

    , 1bar = 105Pa ,

    Wpot potentielle Energie in J, 1 J = 1 WsWkin kinetische Energie in JWP Druckenergie in J

    Formelsammlung_TGU.odt 16 15. Nov 15

  • Formelsammlung TGU 17 / 47

    Turbinen Einsatzgebiete

    Turbinenwirkungsgrad

    Formelsammlung_TGU.odt 17 15. Nov 15

    Fallhhe in m

    Durchfluss in

    10.000

    0,01 1.000

    1 GW500 MW

    200 MW

    100 MW

    50 MW20 MW

    10 MW5 MW

    20 kW10 kW5 kW

    200 kW100 kW50 kW

    2 MW1 MW500 kW

    1.000

    100

    10

    10,1 1 10 100

    Pelton

    Francis

    Kaplan

    Rohr

    m3

    s

    100%

    Turbinenwirkungsgrad T

    normierter Abfluss

    100%

    90%

    80%

    70%

    60%

    50%

    40%

    30%

    20%

    10%

    0%

    0 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%

    Pelton

    Kaplan

    FrancisSchnell-lufer

    FrancisLangsam-

    lufer

    Propeller

  • Formelsammlung TGU 18 / 47

    Windkraft

    Windleistung PWind =12Av3

    Leistungsbeiwert cP =PmechPWind

    Schnelllaufzahl =uv=dn

    v

    Momentenbeiwert cMoment=cP

    Rotormoment MRotor = cMoment12Av2r

    PWind Windleistung in W

    Dichte in kgm

    Luft 1,2kgm

    v Windgeschwindigkeit in ms

    A durchstrmte Flche in m

    cP Leistungsbeiwert

    cP,Betz maximal mglicher LeistungsbeiwertcP,Betz = 0,593 wenn Wind auf 1/3 derWindgeschwindigkeit abgebremst wird

    Pmech mechanisch nutzbare Leistung in W

    Schnelllaufzahl1..3 Langsamlufer, 4..8 Schnelllufer

    u Umfangsgeschwindigkeit in ms

    d Rotordurchmesser in m

    n Drehzahl in 1s

    cMoment Momentenbeiwert

    r Radius in m

    MRotor Rotormoment in Nm

    Windturbinenformen mit Leistungsbeiwert und Schnelllaufzahl

    Gte des Rotorblatts bestimmt die Gleitzahl E; gut 60

    Formelsammlung_TGU.odt 18 15. Nov 15

    cP Leistungsbeiwert

    Schnelllaufzahl

    0,6

    0,5

    0,4

    0,3

    0,2

    0,1

    02 4 60 8 10 12 14 16

    1

    23

    4

    5

    6

    7

    CP,Betz

    1 1-Blatt-Rotor2 2-Blatt-Rotor3 3-Blatt-Rotor4 Vertikal-Rotor 5 Hollndische Windmhle6 Amerikanische Windmhle7 Savonius-Rotor

    z Flgelzahl

    4

    2

    4

    2

    4

    2

    E0,6

    E=40

    E=10

    0,5

    0,4

    0,3

    0,2

    0,1

    2 4 6 8 10 12 14 160

    Schnelllaufzahl

    cp Leistungsbeiwert

    Rotorc

    P

    Generator

    Gen

    PWind Pmech Pelekt

  • Formelsammlung TGU 19 / 47

    Widerstandslufer und Widerstandsbeiwert

    Widerstandsbeiwerte verschiedener Krper

    Kraft durch Widerstand FW=cw12A(v vKrper )

    2

    Nutzleistung PNutz= FWvKrper

    FW Widerstandkraft des Krpers in N

    cW Widerstandsbeiwert

    Dichte in kgm

    Luft1,2kgm

    v Windgeschwindigkeit in ms

    vKrper Geschwindigkeit des bewegten Krpers

    A durchstrmte Flche in m

    PNutz mechanisch nutzbare Leistung in W

    Auftrieb und Krfte am Rotorblatt

    Effektive Windrichtung und Krfte am Rotorblatt

    Formelsammlung_TGU.odt 19 15. Nov 15

    VVKrper

    FW

    A

    Welle

    Halbkugel (hinten, hohl)

    Halbkugel (hinten, gefllt)

    Platte Zylinder Halbkugel (vorne, gefllt)

    Halbkugel (vorne, hohl)

    Kugel Kegel mit Halbkugel

    Halbkugel mit Kegel

    Stromlinienkrper

    Cw = 1,1 1,3C

    w = 1,3 C

    w = 1,2 C

    w = 0,6 1,0 C

    w = 0,4

    Cw = 0,16 0,2C

    w = 0,3 .. 0,4C

    w = 0,34 C

    w = 0,07 0,09 Cw = 0,055

  • Formelsammlung TGU 20 / 47

    4 Elektrotechnik

    Ladung Q, Strom I, Spannung U, Arbeit W, Leistung P, Widerstand R

    + -

    2 Arten von Ladungen (positiv und negativ) gleichartige Ladungen stoen sich ab, ungleichartige ziehen sich an Ladung ist bertragbar im Raum zwischen Ladungen wirken Krfte auf Ladungen, die durch ein

    elektrisches Feld erklrt werden

    Ladung, LadungsmengeQ = Ne

    1 e entspricht 1,602 x 1019 C

    e Elementarladung (kleinstmgliche Ladung)

    N Anzahl der Ladungstrger

    Q Ladung in As = C (Coulomb)

    Stromstrke

    I=Qt

    I=dQdt

    bei Gleichspannung, bei Wechselspannung

    I Stromstrke in A (Ampere)

    Q Ladungsmenge in As

    t Zeit in s

    Spannung= Arbeit beim Transport der Ladung pro Ladungsmenge U=

    WQ

    U Spannung in V (Volt)

    Q Ladungsmenge in As

    W Arbeit in Ws

    Elektrische Energie,Energiemenge, Arbeit

    (engl. Work)W = P t W = UQ

    P Leistung in W (Watt)

    t Zeit in s

    1 Ws = 1 VAs = 1 J

    Elektrische Leistung (engl. Power) P=

    Wt

    P= U I

    Leistung am Widerstand

    P= I2R P=U2

    R

    R Widerstand in

    Widerstand R

    R=UI

    U=RI

    R Widerstand in

    U Spannung in V

    I Strom in A

    Fr R1 und R2 gilt: R= KonstantR1 und R2 sind lineare Widerstnde.

    UI=Konst Ohm'sches Gesetz

    Die Lampe besitzt einen nichtlinearen Widerstand.

    Formelsammlung_TGU.odt 20 15. Nov 15

    R

    I

    U

  • Formelsammlung TGU 21 / 47

    Widerstand

    Leitungswiderstand

    R = lA

    l Leiterlnge in mA Leiterquerschnitt in mm2

    spezifischer Widerstand in mm2

    m

    TemperaturabhngigerWiderstand R = TRK

    RW =RK R

    R Widerstandsnderung in

    Temperaturbeiwert 1K

    RK Kaltwiderstand in RW Warmwiderstand in T Temperaturdifferenz in K

    Reihenschaltung

    Iges = I1 = I2 = I3

    Uges = U1 + U2 + U3

    Rges =R1 + R2 + R3

    Pges = P1 + P2 + P3

    U Gesamtspannung

    U1, U2, U3 Teilspannungen

    R Gesamtwiderstand

    R1, R2, R3 Einzelwiderstnde

    Durch jeden Widerstand fliet der selbe Strom I

    Grafische Ermittlung der Gren

    I

    U

    12 V

    0,5 A

    1,2 A R2 = 12 V / 1,2 A = 10

    R1 = 12 V / 0,5 A = 24

    I

    U

    12 V

    0,5 A

    1,2 A R2 = 12 V / 1,2 A = 10

    R1 = 12 V / 0,5 A = 24

    0,35 A

    U2 = 3,53 VU1 = 8,47 V

    Formelsammlung_TGU.odt 21 15. Nov 15

    R1

    I

    U2

    U1

    R2

    Uges

    U3

    R1

    I

    U2

    U1

    R2

    R3

    Uges

    Material Spezifischer Widerstand in mm2

    m

    Kupfer 0,0178

    Stahl 0,13

    Aluminium 0,028

    Gold 0,0244

    Kohle 40

  • Formelsammlung TGU 22 / 47

    Innenwiderstand Ri einer Spannungsquelle

    Leistungsanpassung: R1 erhlt die maximale Leistung bei R1 = Ri

    I=U0

    Ri +R 1

    Ri=U I =(U2U1)(I2I1)

    Ri=U0IK

    I Laststrom

    Ri Innenwiderstandder Spannungsquelle

    R1 Widerstand des ange-schlossenen Verbrauchers

    U1 Spannung an den Anschluss-Klemmen

    U0 Leerlauf-SpannungSpannung der idealenSpannungsquelle

    Parallelschaltung

    Uges = U1 = U2 =U3

    Iges = I1 + I2 + I3

    1R ges

    =1R1

    +1R 2

    +1R 3

    Pges = P1 + P2 + P3

    Iges Gesamtstrom

    I1, I2, I3 Teilstrme

    Rges Gesamtwiderstand

    R1, R2, R3 Einzelwiderstnde

    An jedem Widerstand liegt dieselbe Spannung U

    Knoten- und Maschenregel

    Knotenregel

    I1 + I2 + I3 = 0

    Maschenregel

    U1 + U2 U3 = 0

    Formelsammlung_TGU.odt 22 15. Nov 15

    ErsatzschaltbildAkku

    Verbraucher

    U1

    I

    IU0

    Ri

    R1 U1

    I

    U0

    Leerlauf-Spannung

    IkKurzsschluss-

    Strom

    U

    I

    Iges

    UR1

    I1

    R2

    I2

    R3

    I3

    I1

    I3

    I2

    U3

    R1

    U2

    U1

    R2

    R3Uges Maschen umlauf

  • Formelsammlung TGU 23 / 47

    Spannungsteiler

    unbelastet (Reihenschaltung)

    U2 =R2

    R1 + R2Uges

    belastet (Gruppenschaltung)

    U2 =R2L

    R1 + R2LUges R2L =

    R2RLR 2 + RL

    RL Lastwiderstand

    R2L Ersatzwiderstand fr R2 und RL

    Brckenschaltung

    AB 2 4U U U=

    wenn: UAB = 0 (Abgleich)

    31

    2 4

    RR

    R R=

    Formelsammlung_TGU.odt 23 15. Nov 15

    R1

    U2

    Iges

    U1

    R2

    Uges

    R4

    I12 I34

    U3

    U4

    UABA B

    R3

    R1

    I

    U2

    U1

    R2

    Uges

    R1

    Iges

    U2

    U1

    R2

    Uges

    RL

    I2 = Iq IL

  • Formelsammlung TGU 24 / 47

    Dioden und LEDs

    Arbeitspunkt und Arbeitsgerade

    R =U I

    (Kehrwert des Betrags der Steigung der Arbeitsgeraden) vergl. Reihenschaltung

    Formelsammlung_TGU.odt 24 15. Nov 15

    LEDDiode

    Anode

    Kathode Kathode

    Merkregel:Kathode = Kurzes Bein = Kante

    Merkregel:Kathode = Kennzeichnung

    Anode

    Kathode

    Str

    omflu

    ss in

    D

    urch

    lass

    richt

    ung

    R

    UG

    URG

    UD

    IG

    0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    16

    18

    20

    f(x) = -3,07x + 15,36

    Arbeitspunkt und Arbeitsgerade

    LED, rotWiderstandsgeradeLineare Regression fr Widerstandsgerade

    U in V

    I in mA

    AP

    0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    16

    18

    20

    Kennlinien Diode und LEDs

    Silizium-Diode

    LED, grn

    LED, w ei

    LED, rot

    LED, blau

    U in V

    I in mA

  • Formelsammlung TGU 25 / 47

    Photovoltaik, Solarzelle

    Kennlinie

    E Bestrahlungsstrke

    U Spannung an der Solarzelle

    I Laststrom

    U0C Leerlaufspannung (Open Circuit)

    ISC Kurzschlussstrom (Short Circuit)

    AP1 Arbeitspunkt 1

    P1 Leistung im Arbeitspunkt 1

    AP2 Arbeitspunkt 2

    P1 Leistung im Arbeitspunkt 2

    MPP Maximum Power Point

    Pmax Leistung im MPP

    Temperaturabhngigkeit

    U(T2) =U25 C(1 +TKUT100 %

    )

    I(T2)= I25 C(1 +TK IT100 %

    ) T = T2 25C

    U25C Spannung bei 25C

    I25C Strom bei 25C

    TKU Temperaturkoeffizient der Spannung in %/K

    TKI Temperaturkoeffizient des Stroms in %/K

    T Temperaturnderung in Kelvin

    T2 Temperatur in C

    Ersatzschaltbild ideale Solarzelle

    Ersatzschaltbild reale Solarzelle

    U Spannung an der Solarzelle

    I Laststrom

    Iph Photostrom

    ID Diodenstrom

    R Lastwiderstand

    RP Parallelwiderstand

    RS Serienwiderstand

    Formelsammlung_TGU.odt 25 15. Nov 15

    E = konst.

    R

    I

    U

    DI

    I

    RRP

    SR

    ph

    U

    I

    DI

    I

    R

    ph

    U

    I

    Arbeitspunkte in Solarzellen-Kennlinie

    U

    I

    MPP

    ISC

    UOC

    AP1

    AP2

    R

    P1

    Pmax

    P2

    I(U)

    0,0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1,0

    1,2Kennlinien I(U) bei verschiedenen Bestrahlungstrken

    U

    I

    1000 W/m

    800 W/m

    600 W/m

    400 W/m

    200 W/m

    100 W/m

  • Formelsammlung TGU 26 / 47

    Wechselrichter

    Faustformeln zur Anpassung des Wechselrichters an die Solarmodule

    IWRmax = 1,25 [email protected] Maximaler Strom des Wechselrichters

    [email protected] Kurzschlussstrom Solarmodule bei STC

    UWRMPPmin = 0,[email protected]

    UWR-MPmin minimale Spannung des Wechselrichters, in der im MPP gearbeitet wird

    [email protected] Spannung Solarmodule im MPP bei STC

    UWRMPPmax = 1,[email protected]

    UWR-MPPmax maximale Spannung des Wechselrichters, in der im MPP gearbeitet wird

    [email protected] Spannung Solarmodule im MPP bei STC

    UWRmax = 1,[email protected] maximale Spannung des Wechselrichters

    [email protected] Leerlaufspannung Solarmodule bei STC

    PWRmax > 1,[email protected] maximale Leistung des Wechselrichters

    [email protected] Leistung Solarmodule im MPP bei STC

    MPP Maximum Power Point (Betriebspunkt maximaler Leistung)

    STC Standard Test Conditions (1000 W/m, 25 C, AM 1,5)

    OC Open Circuit (Leerlauf)

    SC Short Circuit (Kurzschluss)

    Blockschaltbild Wechselrichter

    Formelsammlung_TGU.odt 26 15. Nov 15

    1 3

    2 4

    UPWMU

    ACUDC

    Netz = Verbraucher

    L1

    L2

    R+

    Zwischenkreis

    Hochsetzsteller /Tiefsetzsteller

    Solarmodule PWM-Brcke mit Filter NetzabschaltungDC-DC-Wandler

    U, I

    P?

    TastgradTrans. 1,2,3,4

    ON, Off, TastgradU, I,f,PhaseON, OFF

    MPP-Regelung Zentrale Steuerung

    L

    N

    Trafoloser, einphasiger Wechselrichter

  • Formelsammlung TGU 27 / 47

    Mittlere tgliche Globalstrahlung auf eine Flche und Korrekturfaktoren

    Hh in kWh / (m d) globale Einstrahlungssumme in kWh pro m pro Tag (d) auf horizontale Flche ( = 0)

    opt in Grad Optimaler Anstellwinkel in Grad bei Sdausrichtung ( = 0)

    Kopt Korrekturfaktor fr den optimalen Einstrahlungswinkel opt bei Sdausrichtung

    K, Korrekturfaktor in Abhngigkeit von der Ausrichtung und Neigung

    Mittlere jhrliche globale Einstrahlungssumme Standort Berlin

    Werte in

    kWhm2a

    WTag = PNennHh

    1 kWm

    K ,

    WJahrideal = APVHhJahrK,PV

    HhJahr =Hh365da (d=Tag, a=Jahr)

    PR =WJahrrealWJahrideal

    WTag Ertrag in kWh pro Tag

    Hh Globalstrahlungssumme in kWh pro m pro Tag (d) bei = 0

    PNenn Nennleistung der Anlage in kWp bei STC; (kWp = kWpeak)

    K, Korrekturfaktor in Abhngigkeit von Neigung und Orientierung

    APV Flche der Solaranlage in m

    Hh-Jahr Globalstrahlungssumme in kWh pro m pro Jahr (a) bei = 0

    PV Wirkungsgrad Solarmodule

    PR Performance Ratio in %

    WJahr-ideal von den Solarmodulen theoretisch gelieferte Jahresarbeit in kWh(= Ertrag)

    WJahr-real real ins Netz eingespeiste Jahresarbeit in kWh unter Bercksichti-gung von Verschattung, Leitungsverlusten, Verschmutzung, ...

    Formelsammlung_TGU.odt 27 15. Nov 15

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    90

    -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180Nord Ost Sd West Nord

    Ausrichtung in Grad

    Nei

    gung

    swin

    kel

    in G

    rad

    1150

    11001050

    1000950

    900850

    800750

    700650

    600550

    500

    1241

    1069

    Karlsruhe Berlin Mailand Madrid Sd Sdwest / Sdost West / OstHh Hh Hh Hh 20 37 45 60 90 20 37 45 60 90 20 37 45 60 90

    Jan 0,88 1,72 63 0,62 1,83 66 1,24 1,89 65 2,08 1,94 64 Jan 1,36 1,59 1,66 1,72 1,58 1,25 1,38 1,42 1,43 1,25 0,99 0,95 0,93 0,85 0,63

    Feb 1,62 1,56 58 1,26 1,49 59 2,30 1,69 59 3,13 1,62 56 Feb 1,30 1,48 1,53 1,56 1,37 1,21 1,31 1,33 1,31 1,10 0,98 0,95 0,93 0,85 0,63

    Mrz 3,08 1,31 47 2,70 1,35 50 3,83 1,34 47 4,69 1,28 44 Mrz 1,20 1,30 1,31 1,29 1,04 1,14 1,19 1,19 1,14 0,89 0,98 0,94 0,91 0,84 0,61

    Apr 4,60 1,14 34 4,33 1,17 37 4,77 1,13 32 5,60 1,09 27 Apr 1,12 1,14 1,13 1,06 0,75 1,08 1,09 1,07 1,00 0,72 0,98 0,93 0,90 0,82 0,59

    Mai 5,28 1,04 20 5,16 1,05 23 6,01 1,04 20 6,64 1,02 15 Mai 1,04 1,01 0,98 0,88 0,55 1,02 1,00 0,96 0,88 0,59 0,97 0,92 0,88 0,80 0,56

    Jun 5,95 1,02 15 5,67 1,02 16 6,73 1,02 13 7,67 1,01 7 Jun 1,02 0,97 0,92 0,81 0,48 1,01 0,96 0,93 0,83 0,55 0,97 0,91 0,88 0,79 0,54

    Jul 5,66 1,03 17 5,27 1,03 19 7,11 1,03 16 8,03 0,94 11 Jul 1,03 0,99 0,95 0,84 0,52 1,02 0,98 0,94 0,85 0,57 0,97 0,91 0,88 0,79 0,55

    Aug 4,86 1,10 29 4,41 1,11 31 5,86 1,09 27 7,00 1,07 23 Aug 1,09 1,09 1,07 0,98 0,66 1,06 1,05 1,03 0,95 0,66 0,97 0,92 0,88 0,80 0,56

    Sep 3,56 1,25 43 3,16 1,27 45 4,33 1,26 42 5,37 1,23 39 Sep 1,17 1,24 1,25 1,21 0,93 1,12 1,15 1,15 1,09 0,83 0,98 0,94 0,91 0,83 0,60

    Okt 2,15 1,47 54 1,80 1,52 56 2,52 1,46 53 3,70 1,48 52 Okt 1,27 1,41 1,45 1,46 1,25 1,18 1,27 1,27 1,25 1,01 0,98 0,95 0,92 0,84 0,62

    Nov 1,09 1,69 62 0,80 1,77 64 1,41 1,79 63 2,39 1,82 61 Nov 1,35 1,56 1,63 1,69 1,53 1,24 1,37 1,39 1,40 1,20 0,98 0,95 0,93 0,85 0,63

    Dez 0,68 1,82 65 0,49 1,94 68 1,08 2,11 68 1,91 2,08 66 Dez 1,40 1,65 1,73 1,82 1,70 1,27 1,43 1,48 1,49 1,33 0,99 0,97 0,94 0,86 0,64

    Jahr 3,28 1,17 37 2,98 1,16 37 3,94 1,17 36 4,86 1,17 35 Jahr 1,12 1,17 1,14 1,08 0,79 1,08 1,11 1,07 1,00 0,74 0,98 0,94 0,89 0,81 0,58

    Mittlere tgliche Globalstrahlung Hh auf eine horizontale Flche (=0) bei Sdausrichtung

    Korrekturfaktoren K,

    fr Ausrichtung und Neigung

    Karlsruhe >

    Kopt

    opt

    Kopt

    opt

    Kopt

    opt

    Kopt

    opt >

  • Formelsammlung TGU 28 / 47

    Kondensator

    d

    +Q -QE

    C =QU

    C = 0rAd

    d Plattenabstand in mC Kapazitt in F (Farad) = As/VQ Ladungsmenge in As = Cb (Coulomb)U Spannung in V

    0 Feldkonstante 0=0,8851011 As

    VmA Plattenflche in mr Dielektrizittskonstanter (Luft) 1r (dest. Wasser) 80r (Isolation Unterwasserkabel) 2,4

    Reihenschaltung von Kondensatoren

    C1 C2 C3

    1 1 1 1

    C C1 C2 C3= + +

    Parallelschaltung von Kondensatoren

    C1 C2 C3

    C C1 C2 C3= + +

    Auf- und Entladung

    0 1 2 3 4 50123456789

    10

    Aufladevorgang KondensatorR=1k , C=1F, =R*C=1ms

    uC(t) in Vi(t) in mA

    Zeit in ms

    uc(t) in V,i(t) in mA

    uC(t)

    i(t)

    UC t =U1 et

    UR t = Uet

    I t = URe

    t

    = R C

    IC = C UC t

    Zeitkonstante in sR Widerstand in C Kapazitt in F

    0 1 2 3 4 5-10

    -9

    -8-7

    -6

    -5

    -4

    -3-2

    -1

    0

    1

    23

    4

    5

    67

    8

    9

    10

    Entladevorgang KondensatorR=1k , C=1F, =R*C=1ms

    uC(t) in Vi(t) in mA

    Zeit in ms

    uc(t) in V,i(t) in mA

    uC(t)

    i(t)

    UC (t) = Uet

    I(t) =URe

    t

    Formelsammlung_TGU.odt 28 15. Nov 15

    UcU

    10V

    V1

    G 1F

    C1

    +

    1K

    R1

    UR

  • Formelsammlung TGU 29 / 47

    Durchflutung

    Ein elektrischer Strom erzeugt ein Magnetfeld dessen Feldlinien ringfrmig um den Leiter verlaufen.

    Rechte Handregel:

    Daumen zeigt in Stromrichtung

    Finger zeigen im Magnetfeldrichtung

    Kreuz: Strom fliet nach hinten(Merkregel: Pfeilende)

    Punkt: Strom fliet nach vorne(Merkregel: Pfeilspitze)

    Kraft auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld

    Ursache Strom (Daumen nach hinten)

    Vermittlung Magnetfeld (Zeigefinger nach unten)

    Wirkung Kraft (Mittelfinger nach links)

    Flussdichte

    B=A

    B magnetische Flussdichte in Vs/m = T(T = Tesla)

    magentischer Fluss in Vs

    A Querschnittsflche in m

    Induktion

    Uinduziert=N t mit

    = BA

    Uinduziert induzierte Spannung in V

    N Windungszahl

    Flussnderung in Vs

    t Zeitdauer der Flussnderung in s

    Selbstinduktion

    Uind=LI= L I t

    I Stromnderung in A

    t Zeitdauer der Stromnderung in s

    I Stromnderung in A/s

    Formelsammlung_TGU.odt 29 15. Nov 15

    Strom I

    Magnetf

    eld

    Leitung

    Kompass

    Stro

    m I

    Kraft F

    N

    S

    UrsacheStrom

    VermittlungMagnetfeld

    WirkungKraft

    A=1m

    B

    t

    Drehung

    durchstmteFlche A

    ndert sich

    N S

    U

    N S

    U

    Magnetfeld B ndert sich

    vom Magnetfeld durchstrmte Flche A ndert sich

    I klein

    U

    t

    I gross

    U

    Magnetfeld Bndert sich

  • Formelsammlung TGU 30 / 47

    Spule

    I+

    _

    20 r

    AL N

    l

    L Induktivitt in H = VsA (Henry)A vom Feld durchsetzte Flche (Querschnitt)0 Feldkonstante des magnetischen Feldesl Lnge in mN Windungszahl

    0 =1,257106 Vs

    Am

    r = Permeabilittszahl r Eisen 200 ... 6000 r Elektroblech 500 ... 7000

    Reihenschaltung von Spulen

    L1 L2 L3

    L L1 L2 L3= + +

    Parallelschaltung von Spulen

    L3L1 L2

    1 1 1 1

    L L1 L2 L3= + +

    Spule an Rechteckspannung

    Zeitkonstante =LR

    Selbstinduktion UL =L I t

    = LI

    Einschalten Ausschalten

    UR (t) = Umax(1 et ) UR (t) = Umaxe

    t

    I(t) =UmaxR

    (1 et ) I(t) = Istartet

    USpule (t) = Umaxet USpule (t) =Umaxe

    t

    Impulszeit ti

  • Formelsammlung TGU 31 / 47

    Motor: Ersatzschaltbild und Kennlinien

    Uinduziertn

    = konst

    UAnker=UR+Uinduziert

    UAnker Spannung am Motoranker in V

    IAnker Stromaufnahme des Motors in A

    RAnker Ankerwiderstand in

    n Drehzahl des Motors in 1/s

    Uinduziert im Motor induzierte Spannung in V

    MIAnker

    = konst

    Drehmoment Mechanische Leistung

    M= F r

    Pmech=W t

    = vF

    Pmech= M = 2nM

    n=vU

    F= ma

    Mab abgegebenes Drehmoment in Nm

    M Drehmoment in Nm

    F Kraft in N

    r Radius in m

    Pmech Mechanische Leistung in W = Nm/s

    W Arbeit in Nm

    v Geschwindigkeit in m/smit F in Bewegungsrichtung

    Winkelgeschwindigkeit in 1/s

    n Drehzahl in 1/s

    U Radumfang in m

    m Masse in kg

    a Beschleunigung in N/kg

    Motor Leistungsbilanz

    Formelsammlung_TGU.odt 31 15. Nov 15

    Drehmom ent M

    Drehzahl n

    n I

    Strom I

    0 20 40 60 80 100

    0

    1

    2

    3

    4

    M in Nm

    n in 1/s

    U1U2U3 < U1

    Fr

    M

    zugefhrte LeistungPzu = Pelekt U

    Anker * I

    Anker

    Mechanische Leistung

    Pmech * M

    mech

    WrmeverlustePverlust = UR * IAnkerPverlust = IAnker * RAnker

    vom Motor abgegebene LeistungPab = * Mab

    Mechanische Verluste (Lager, Brsten,...), hervorgerufen durch ReibungBei Vernachlssigung der Reibung gilt: Mmech Mab und Pmech Pab

    RAnker

    UAnker

    Uinduziert

    ~ n

    IAnker

    URPelekt

    P Verlust

    Pmech

    RAnker

    UAnker

    Uinduziert

    ~ n

    IAnker

    UR

    Umfang U

    v

    Rad

  • Formelsammlung TGU 32 / 47

    Wirkungsgrad-Kennlinienfeld fr die Einheit aus Elektromotor und Leistungselektronik

    - Linien gleichen Wirkungsgrades in % unterhalb der Vollastkennlinie

    - gilt fr eine beispielhafte Einheit aus elektrischer Maschine mit Leistungselektronik

    Kennlinienfeld des spezifischen Verbrauchs (Muscheldiagramm) Dieselmotor

    - Linien gleichen spezifischen Verbrauchs in g/kWh unterhalb der Vollastkennlinie

    - gilt fr einen beispielhaften Dieselmotor

    Umrechnung spezifischer Verbrauch Wirkungsgrad:

    =Nutzen

    Aufwand=

    spezifische AusbeuteHeizwert

    =1/spezifischer Verbrauch

    Heizwert=

    1spezifischer VerbrauchHeizwert

    Formelsammlung_TGU.odt 32 15. Nov 15

    0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

    0

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    Wirkungsgrad-Kennlinienfeld

    n in min-1

    M in

    Nm

    89 %

    90 %

    88 %87 %

    85 %

    80 %

    70 %

    60 %

    50 %

    0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

    0

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    Kennlinienfeld spezifischer Verbrauch

    n in min-1

    M in

    Nm

    250 g/kW h

    210 g/kW h

    215 g/kW h

    220 g/kW h

    225 g/kW h

    230 g/kW h

    240 g/kW h

    270 g/kW h

    300 g/kW h

    350 g/kW h

    400 g/kW h

    500 g/kW h

    700 g/kW h

  • Formelsammlung TGU 33 / 47

    Transistor und Transistorschaltungen

    Transistor-Art und -Bezeichnungen Schaltzeichen Schaltungsbeispiel

    Bipolar-TransistorB BasisE EmitterC Kollektor

    Basisstrom IB steuertKollektorstrom IC wird gesteuert

    Feldeffekt-Transistor,hier MOSFETG GateD DrainS Source

    Gate-Source-Spannung UGS steuertDrainstrom ID wird gesteuert

    IGBT (insulated-gate bipolar transistor)G GateE EmitterC Kollektor

    Gate-Emitter-Spannung UGE steuertDrainstrom ID wird gesteuert

    Schaltzustnde beim Transistor

    Transistor sperrt (wie Schalter offen) Transistor leitet (wie Schalter geschlossen)

    PWM-Signal, Tastgrad

    T Periodendauer ti ImpulszeittP Pausenzeitf Frequenz

    Formelsammlung_TGU.odt 33 15. Nov 15

    IMotor=ICISteuer

    M

    UBatt

    UCEU

    Steuer

    RB

    +12V

    B

    C

    E

    ICIB

    G

    D

    S

    ID

    UGS

    UBatt

    UDS

    USteuer

    RG

    +12V

    IMotor=ID

    UGS

    M

    G

    C

    E

    IC

    IMotor

    =IC

    M

    UBattUCE

    USteuer

    RG

    +400V

    IMotor=0AM

    USteuer=0V

    RG

    +12V

    Ubatt12VUDS

    12V

    Umotor

    0V M

    12V12V

    0VIMotor

    =1AM

    USteuer

    =5V

    RG

    +12V

    Ubatt

    12VUDS0,2V

    Umotor

    11,8V M

    12V0V

    12V

    Mittelwert

    0Vtp ti

    T

    Flchen gleich gro

    Maximalwert

    Tf=

    1T

    Tastgrad=t iT=

    UMittelwertUMaximalwert

    Tastgrad=t iT= ( UEffektivwertUMaximalwert )

    2

  • Formelsammlung TGU 34 / 47

    Transistor-Brckenschaltung

    Tiefsetzsteller

    Hochsetzsteller

    Formelsammlung_TGU.odt 34 15. Nov 15

    T1

    T2

    1

    T3

    T4

    1M

    UVersorgung

    0V

    T I

    U1 UR

    USpule

    U2

    UR

    ~I

    USpule

    USpule

    U2= U

    1

    U2=0

    UR ~I

    t

    Eingangs-Gleichspannung

    Ausgang-Gleichspannung

    T I

    Uein

    UR

    USpule

    U2

    RC

    LU

    ausPWM

    T

    I

    UausU

    ein

    USpule

    CL

    RL

    PWM

    +

    - UT

    T1

    T21

    T3

    T4M

    UVersorgung

    0V

    1

    t

    U

    MittelwertU

    R = U

    aus

    Uein

    U2= Uein

    U2=0

    t

    U

    MittelwertUR = Uaus

    ti T

  • Formelsammlung TGU 35 / 47

    Wechselstrom

    FrequenzPeriodendauer f=

    1T

    f Frequenz in Hz = 1sT Periodendauer in s

    Effektivwert bei sinusfr-migen Wechselgren Ueff=

    USpitze2

    Ieff=ISpitze2

    Ueff Effektivwert der Wechselspannung in VUSpitze Spitzenwert der Wechselspannung in VIeff Effektivwert des Wechselstroms in AISpitze Spitzenwert des Wechselstroms in A

    WirkleistungBlindleistungScheinleistung

    P=URIR QC=UCIC

    QL=ULIL S=UgesIges

    S2 = P2 + Q2

    cos() =PS= 0..1induktiv /kapazitiv

    P Wirkleistung in WUR, IR Spannung und Strom am Widerstand QC, QL Blindleistungen in varUC, IC Spannung und Strom am Kondensator UL, IL Spannung und Strom an der SpuleS Scheinleistung in VAUges, Iges Gesamtspannung und Gesamtstrom an

    einer Schaltung aus R,L,Ccos() Leistungsfaktor, Verschiebungsfaktor Phasenverschiebungswinkel zwischen

    Uges und Iges Winkel zwischen S und P

    Um an der Einheit sofort zu erkennen, ob Wirk-, Blind- oder Scheinleistung angegeben wird, unter-scheidet man W, var und VA.Beispiel Gerteaufdruck: 10 VA / 8 W

    Formelsammlung_TGU.odt 35 15. Nov 15

    USpitze

    t

    U

    Ueff

    Periodendauer T

    Periodendauer T

    Amplitude = Spitzenwert

    Effektivwert

    T = 20ms bei f = 50Hz

    S in VAQ in var

    P in W

  • Formelsammlung TGU 36 / 47

    Dreiphasiger Wechselstrom, Drehstrom

    3 Phasen mit 120 Phasenverschiebung

    zu jedem Zeitpunkt gilt: u1(t) + u2(t) + u3(t) = 0

    SternschaltungVerbraucher zwischen Phase und Nulleiter geschaltetSpannung am Verbraucher im Haushalt: 230V

    DreieckschaltungVerbraucher zwischen zwei Phasen geschaltetSpannung am Verbraucher im Haushalt: 400V

    UStern=UDreieck3

    PStern =PDreieck

    3

    UStern Spannung in Sternschaltung (zwischen Phase L und Nulleiter N)U1N, U2N, U3N

    UDreieck Spannung in Dreieckschaltung (zwischen 2 Phasen)U12, U23, U31

    PStern Leistung in Sternschaltung in WPDreieck Leistung in Dreieckschaltung in W

    Pges=3UIcos()

    Sges=3UI

    Pges Gesamte WirkleistungSges Gesamte ScheinleistungU Spannung zwischen den Auenleitern U12, U23, U31I Auenleiterstrom I1, I2, I3cos() Leistungsfaktor Phasenverschiebungswinkel zwischen U und I

    Formelsammlung_TGU.odt 36 15. Nov 15

    NS

    L1L2L3

    N

    Hochspannungs-bertragung

    Trans-formator

    Trans-formator

    L1

    L2

    L3

    L1

    L2

    L3

    L1

    L2

    L3

    N

    PE

    L1

    L2

    L3

    N

    Verbraucher (im Haus)

    Dreieckschaltung3x400V

    Sternschaltung3x230VSynchron-Generator

    im Kraftwerk

    0 5 10 15 20 25

    -400

    -300

    -200

    -100

    0

    100

    200

    300

    400Dreiphasen-Wechselstrom (Drehstrom)

    t in ms

    u1(t) u2(t) u3(t)

    uges(t)

    U in V

    30 90 180 360

    I12=I13R1 R2 R3

    L1L2L3

    U1N U2N U3N

    N

    I1I2I3 R1

    R2

    R3

    L1

    L2

    L3

    U12

    U31

    U23

    I1

    I12

    I2

    I3

    Strangstrom

  • Formelsammlung TGU 37 / 47

    Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra

    NOT (Negation)

    A1

    YY = /AY = A

    A Y0 11 0

    amerikan. Darstellung, in Labview:

    Negation / Complement

    AND (Konjunktion)

    &A

    BY

    Y = A BY = BA

    B A Y0 0 00 1 01 0 01 1 1

    NAND

    &A

    BY

    Y = /(A B)Y = BA

    B A Y0 0 10 1 11 0 11 1 0

    OR (Disjunktion)

    A

    BY

    1 Y = A + BY = BA

    B A Y0 0 00 1 11 0 11 1 1

    NOR

    A

    BY

    1 Y = /(A + B)Y = BA

    B A Y0 0 10 1 01 0 01 1 0

    XOR (Antivalenz)

    =1A

    BY

    Y = (A /B) + (/A B)

    B A Y0 0 00 1 11 0 11 1 0

    XNOR (quivalenz)

    =A

    BY

    Y = (A B) + (/A /B)

    B A Y0 0 10 1 01 0 01 1 1

    UND / ODER / NAND / NOR Verknpfungen knnen beliebig viele Eingnge haben.XOR und NXOR ... nur 2 Eingnge.

    wichtige Verknfungsregeln: UND / ODER + A B C = A + B + C

    A + B + C= A B C

    A (B C) = (A C) B = C A B (A B) + (A C) = A (B + C)(A B) + (A C) = A B + A C

    Formelsammlung_TGU.odt 37 15. Nov 15

  • Formelsammlung TGU 38 / 47

    Codes und Codierer

    Dual- Code (8-4-2-1-Code)

    Dezimal 23=8 22=4 21=2 20=10 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1 03 0 0 1 14 0 1 0 05 0 1 0 16 0 1 1 07 0 1 1 18 1 0 0 09 1 0 0 110 1 0 1 011 1 0 1 112 1 1 0 013 1 1 0 114 1 1 1 015 1 1 1 1

    Gray- Code

    keine GewichtungHEX D C B A

    0 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1 13 0 0 1 04 0 1 1 05 0 1 1 16 0 1 0 17 0 1 0 08 1 1 0 09 1 1 0 1A 1 1 1 1B 1 1 1 0C 1 0 1 0D 1 0 1 1E 1 0 0 1F 1 0 0 0

    BCD- Codes / 4-Bit Codes

    Dez. BCD0 00001 00012 00103 00114 01005 01016 01107 01118 10009 1001

    Ziffern > 9 sind nicht definiert

    Spezielle Umcodierer

    BCD / GrayA

    B

    D

    C

    G0

    G1

    G3

    G2

    BCD / dez.0123456789

    A

    B

    D

    C

    Umcodierer mit 7-Segmentanzeige

    BCD / 7-Seg.abcdefgD

    C

    B

    A

    DPY

    b

    a

    c

    g

    d

    e

    f

    dp

    Speicher RS-Flipflop

    Zustandsfolgetabelle

    S R Qn Qn+1

    0 0 0 00 0 1 1

    speichern

    0 1 0 00 1 1 0

    Reset (R)

    1 0 0 11 0 1 1

    Set (S)

    1 1 ? ? irregulr

    Zeitablaufdiagramm (Impulsdiagramm)

    Formelsammlung_TGU.odt 38 15. Nov 15

    R

    S

    Q

    t

    S Q

    R

    Set

    Reset

  • Formelsammlung TGU 39 / 47

    Symbole der Elektrotechnik

    Schalten

    Taster Schalter Schlieerkontakt ffnerkontakt Umschalter

    Anzeigen

    Dioden

    Anzeigelampe Lampe LED Diode Schottky-Diode

    Widerstnde

    Widerstand VernderbarerWiderstand

    Widerstand mit Schleifkontakt

    PTCKaltleiter

    NTCHeileiter

    Spule

    Kondensator Kondensator mit Polung

    Batterieelement,Akku

    Masse, Erde

    Sicherung Solarzelle

    Relais

    Relais mit Kontakt N-Kanal-IGFET

    Quellen

    ideale Spannungsquelle

    IdealeStromquelle

    SignalgeneratorGleichspannung

    SignalgeneratorWechselspannung

    UmlaufenderGenerator

    Messgerte

    Spannungsmesser,Voltmeter

    Strommesser,Amperemeter

    Leistungsmesser,Wattmeter

    Leistungsfaktor-Messgert

    Energiemesser,Wattstundenzhler

    Umsetzer

    Analog/Digital-Umsetzer, n Bit

    Digital/Analog-Umsetzer, n Bit

    Komparator, Schwellwertschalter

    Schmitt-Trigger, Zweipunktregler

    Symbole der RI-Flietechnik

    Behlter mit Flssigkeit

    Motor Pumpe Kompressor Ventil Messstelle

    Heizung / Wrmetauscher

    Rhrer Druckluftantrieb Niveauangabe Hauptflussrichtung

    Formelsammlung_TGU.odt 39 15. Nov 15

    M

    V U A I W P cos Wh

    G G G

    + +

    A

    D

    n

    A

    Dn/# n #/n

    comp

    Wh

  • Formelsammlung TGU 40 / 47

    Regelkreis

    Bezeichnung, Kenngren Sprungantwort Beispiel bertragungsverhalten

    P-Strecke

    KPS=x /y

    Verstrker,Spannungsteiler,Hebel,Getriebe

    Die Ausgangsgre x folgt proportional unverzgert der Eingangsgre y

    T1-Strecke

    TS Zeitkonstante

    Drehzahl n eines Motors,Strecken mit einem Energiespeicher

    Die Ausgangsgre x folgt nach einer e-Funktion verzgert der Eingangsgre y,eine Zeitkonstante

    T2-Strecke

    TU VerzugszeitTg Ausgleichszeitmit Tangente im Wendepunkt bestimmen

    Drehzahl n einesMotors mit Bercksichtigung derInduktivitt,Strecken mit zwei Energiespeichern

    Die Ausgangsgre x folgt mit zwei Zeitkonstanten verzgert der Eingangsgre y

    Tt -Strecke

    Tt TotzeitFlieband

    Die Ausgangsgre x folgt proportional um eine Totzeit Tt verzgert der Eingangsgre y

    I-StreckeSchiebeschlitten an einer Drehspindel

    Die Ausgangsgre x ist das Zeitintegral der Eingangsgre y

    Formelsammlung_TGU.odt 40 15. Nov 15

    Zugehrige Regelkreis-Darstellung mit Regelkreisbezeichnungenund Bedeutungen im Beispiel

    Beispiel Temperaturregelung

    Temperatur-Vorgabe

    Heizung

    Temperatur-FhlerHeizungs-Regelung

    Flssigkeits-behlter

    RegelstreckeBehlterflssigkeit

    MessgliedTemperaturfhler

    StellgliedHeizstab

    ReglerHeizungsregelung

    Rckfhrgre rBehltertemperatur(Istwert)

    Regelabweichung eTemperaturdifferenz (Sollwert Istwert)e = w - r

    Steuergre yR

    Spannung am Heizstab

    Stellgre yHeizstab-temperatur

    Regelgre xBehltertemperatur

    Strgren zAuentemperatur

    Fhrungsgre wVorgewhlteTemperatur(Sollwert)

    -+

    yyRe

    r

    x

    x

    x

    x = Kps

    * y

    t

    x

    t

    100%63%

    TS

    x

    t

    TU

    Tg

    t

    x

    x

    t

    x

    t

    Tt

  • Formelsammlung TGU 41 / 47

    Grafische Darstellungen von Ablaufsteuerungen, Zustandsdiagramm, GRAFCET

    Zustandsdiagramm

    GRAFCET

    Bedeutungder Symbole:

    Schrittkette mit RS-Flipflops

    Formelsammlung_TGU.odt 41 15. Nov 15

    M

    Ventil oben

    Ventil unten

    Fllstandoben

    Fllstandunten

    Rhrer

    Starttaster

    Technologieschema

    GrundzustandVentil oben zuVentil unten zu

    Rhrer aus

    ZulaufVentil oben aufVentil unten zu

    Rhrer an

    AblaufVentil oben zu

    Ventil unten aufRhrer an

    Starttasterbettigt

    Fllstand obenerreicht

    Fllstand unten

    erreicht

    Reset

    Q11Q2

    Weiterschaltbedingungzu Schritt 2

    Bedingung zurck zum Grundzustand

    S

    R

    1

    1

    M1

    GrundzustandSchritt1

    S

    R

    &

    1

    M2

    Schritt2

    Logikzur

    Ansteuerungder

    Betriebs-mittel

    Betriebs-mittel 1

    Betriebs-mittel 2

    Betriebs-mittel 3

    Q1

    Q2

    Q3

    M

    M

    M

    M8 (Anlaufmerker)

    M2

    M1

    M3

    Alternative zum Anlaufmerker

    Befllen

    Entleeren

    2 Ventil oben AUF Rhrer bleibt EIN

    Starttaster

    3 Ventil unten AUF

    Fllstand_oben

    Rhrer AUS

    Fllstand_unten

    Grundzustand 1

    Einmalige Ausfhrung

    Ausfhrung zu Beginndes Zustands einschalten

    Ausfhrung am Endedes Zustands ausschalten

    Weiterschaltbedingung (Transition)2 Zustand, Schritt

  • Formelsammlung TGU 42 / 47

    5 Mathematische Grundformeln

    Zehnerpotenzen

    Symbol Name Wert

    P Peta 1015 1.000.000.000.000.000 Billiarde

    T Tera 1012 1.000.000.000.000 Billion

    G Giga 109 1.000.000.000 Milliarde

    M Mega 106 1.000.000 Million

    k Kilo 103 1.000 Tausend

    h Hekto 102 100 Hundert

    da Deka 101 10 Zehn

    100 1 Eins

    d Dezi 101 0,1 Zehntel

    c Zenti 102 0,01 Hundertstel

    m Milli 103 0,001 Tausendstel

    Mikro 106 0,000.001 Millionstel

    n Nano 109 0,000.000.001 Milliardstel

    p Piko 1012 0,000.000.000.001 Billionstel

    f Femto 1015 0,000.000.000.000.001 Billiardstel

    Umrechnungen

    1Jahr = 365 Tage= 8760 Stunden

    1Stunde = 60min = 3600Sekunden

    Lineare Interpolation

    y = y1 y2 y1x2 x1

    x x1

    x1, x2 gegebene Werte (aus Tabelle)y1, y2 gegebene Gren (aus Tabelle)x Wert fr gesuchte Gre (Vorgabe)y gesuchte Gre

    Formelsammlung_TGU.odt 42 15. Nov 15

    gegebenermittelt

    Wert

    Gr

    e

    x1

    x2

    y1

    y2

    y (gesuchte Gre)

    x

  • Formelsammlung TGU 43 / 47

    Flchen- und Volumenberechnungen

    Kreisflche A= r2

    Kreisumfang U= 2 r

    Dreiecksflche A=12ah

    Trapezflche A=12(a + c )h

    Kegel M= rs

    O= r2 + rs

    V =13 r2h

    Kegelstumpf V =13h(R 2 + R r + r2)

    Pyramide O= G + M

    V =13Gh

    Zylinder O= 2r2 + 2rh

    V = r2h

    Kugel O= 4 r2

    V =43r3

    A Flche in m

    r Kreisradius in m

    U Umfang in m

    M Mantelflche in m

    O Oberflche in m

    V Volumen in m

    G Grundflche in m

    M Summe der Dreiecksflchen

    Winkelfunktionen

    sin()=GH cos()=

    AH

    tan () =GA= m=

    y x

    H Hypotenuse

    A Ankathete

    G Gegenkathete

    Winkel zwischen A und H

    m Steigung

    Formelsammlung_TGU.odt 43 15. Nov 15

    sh

    r

    hr

    R

    h

    G

    h

    r

    a

    h

    a

    h

    c

    yGH

    A

    x

  • Formelsammlung TGU 44 / 47

    6 Physikalische Grundformeln und Einheiten

    Physikalische Formeln

    gleichfrmige Bewegung v =st

    beschleunigte Bewegung a=vt

    s =12at2

    Arbeit W = Fs

    Leistung P=Wt

    P= Fv = M = 2nM

    Drehmoment M= Fr

    Drehzahl n=vU

    Wirkungsgrad =Nutzen

    Aufwand

    Dichte =mV

    Druck p=FA

    1 bar = 105 Pa = 105Nm2

    Grundgleichung Mechanik F= ma

    Gewichtskraft FG =mg

    Hangabtriebskraft FH= FGsin

    Normalkraft FN= FGcos

    Reibungskraft FR =RFN

    Luftwiderstandskraft FW=cw12Av2

    v Geschwindigkeit in ms

    s zurckgelegter Weg in m

    t Zeit in s

    a Beschleunigung in ms2

    W Arbeit in J = Nm = Ws

    F Kraft in N

    P Leistung in W = Nm/s

    M Drehmoment in Nm

    Winkelgeschwindigkeit in 1s

    n Drehzahl in 1s

    r Radius in m

    U Radumfang in m

    Dichte in kgm3

    m Masse in kg

    V Volumen in m3

    p Druck in Nm2 Luft1,2

    kgm

    A Flche in m

    m Masse in kg

    a Beschleunigung in N/kg

    FG Gewichtskraft in N

    g 9,81 N/Kg auf der Erde

    FN Normalkraft in N(senkrecht zur Reibungsflche)

    FH Hangabtriebskraft in N

    FR Reibungskraft in N

    R Reibungskoeffizient

    FW Widerstandkraft in N

    cW Widerstandsbeiwert

    v Windgeschwindigkeit in ms

    Formelsammlung_TGU.odt 44 15. Nov 15

    Fr

    M

    Umfang U

    v

    Rad

    FR

    FNF

    G

    FH

  • Formelsammlung TGU 45 / 47

    Einheiten SI-Basiseinheiten

    Name Einheit Symbol Einheitenzeichen

    Lnge Meter l m

    Masse Kilogramm m kg

    Zeit Sekunde t s

    Stromstrke Ampere I A

    Temperatur Kelvin T K

    Stoffmenge Mol N mol

    Lichtstrke Candela IV cd

    abgeleitete SI-Einheiten

    Name Einheit Einheitenzeichen in anderen SI-Einheiten in Basiseinheiten

    Frequenz Hertz Hz s1

    Kraft Newton N J/m mkgs2

    Druck Pascal Pa N/m2 m1kgs2

    Energie, Arbeit, Wrmemenge Joule J Nm; Ws m2kgs2

    Leistung Watt W J/s; VA m2kgs3

    elektrische Ladung Coulomb C As

    elektrische Spannung Volt V W/A; J/C m2kgs3A1

    elektrische Kapazitt Farad F C/V m2kg1s4A2

    elektrischer Widerstand Ohm V/A m2kgs3A2

    elektrischer Leitwert Siemens S 1/ m2kg1s3A2

    magnetische Flussdichte Tesla T Vs/m2 kgs2A1

    Induktivitt Henry H Wb/A m2kgs2A2

    Celsius-Temperatur Grad Celsius C K

    Formelsammlung_TGU.odt 45 15. Nov 15

  • Formelsammlung TGU 46 / 47

    7 Umweltlabor

    Teilchenzahl

    N X =n XNA

    n Stoffmenge einer Stoffportion X in molNA Avogadrokonstante in mol-1

    NA = 61023 mol1

    molare Masse

    MX =mXnX

    m Masse einer Stoffportion X in g

    molares Volumen

    Vm =VXn X

    Vm,n molares Volumen bei Normbedingungen

    Vm,n=22,41L

    mol

    Zusammensetzung von Lsungen und Stoffgemischen

    Massenkonzentration in gl X=

    mXV Lsg

    V(Lsg) Volumen Lsung

    Stoffmengenkonzentration in mol

    l c X=n X

    VLsg

    Umrechnung: = cM

    Massenanteil w X=mX

    mXmLM

    m(X) Masse gelste Substanzm(LM) Masse Lsemittel

    Volumenanteil X=VX

    VXV LM

    V(X) Volumen gelste SubstanzV(LM) Volumen Lsemittel

    Lslichkeit

    LX ,=mmaxXV LM

    mmax(X): max. Masse, die sich lst

    Dichte

    =mV

    Dichte in kgm

    V Volumen m

    m Masse in kg

    Formelsammlung_TGU.odt 46 15. Nov 15

  • Formelsammlung TGU 47 / 47

    pH-Wert

    pH=- log c (H+)

    c (H+ ) = 10pH

    c(H+) Stoffmengenkonzentration in mol

    l

    Leitfhigkeit

    Spezifische Leitfhigkeit =d

    UAI =

    dRA

    in 1

    cm=

    cmcm2

    =S

    cm

    d Abstand der Elektroden in cmU gemessene Spannung in VI gemessener Strom in AA Elektrodenflche in in cmR gemessener Widerstand in

    Extinktion

    E=cdE Extinktion (dimensionslos)

    molarer Extinktionskoeffizient in L

    cmmol

    c Stoffmengenkonzentration in mol

    L

    d Schichtdicke in cm

    Fehlerfortpflanzung

    Messwert x = x0 xmit x = Messunsicherheit

    x =Messwert

    Fehlerfortpflanzung bei Produkt- oder Quotientenbildung mehrerer Messwerte Regel: Addition der relativen Fehler

    berechnete Gre: y = x 1x2x3

    Resultierender relativer Fehler: yy

    = x1x1

    x2x2

    x3x3

    Formelsammlung_TGU.odt 47 15. Nov 15