fórmula de cayley

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Frmula de CayleyDe Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegacin, bsqueda

Lista completa de todos los rboles con 2,3 y 4 vrtices etiquetados: rboles con 2 vrtices, rboles con 3 vrtices y rboles con 4 vrtices. En teora de grafos, la frmula de Cayley es un resultado llamado as en honor a Arthur Cayley, que establece que para cualquier entero positivo n, el nmero de rboles en n vrtices etiquetados es . Equivalentemente, la frmula cuenta el nmero de rboles de expansin de un grafo completo con vrtices etiquetados.

[editar] DemostracinSe conocen muchas demostraciones para esta frmula. Una demostracin clsica utiliza el teorema de Kirchhoff. Las secuencias de Prfer otorgan una demostracin biyectiva de la frmula de Cayley. Otra demostracin biyectiva, de Andr Joyal, encuentra una demostracin uno-a-uno entre rboles de n vrtices con dos nodos distinguibles y [pseudobosque]]s dirigidos.

[editar] HistoriaLa frmula fue descubierta por Carl Wilhelm Borchardt en 1860, y demostrada a travs de un determinante. En una pequea nota de 1889, Cayley extendi la frmula en muchas direcciones, tomando en cuenta el grado de los vrtices. Aunque Cayley referenci el artculo original de Borchardt, es el nombre de "frmula de Cayley" el que se convirti en estndar dentro del campo.

rbol de expansinDe Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegacin, bsqueda

Un rbol de expansin (aristas azules gruesas) de un grafo de rejilla. En el campo matemtico de la teora de grafos, un rbol de expansin T de un grafo conexo, no dirigido G es un rbol compuesto por todos los vrtices y algunas (quiz todas) de las aristas de G. Informalmente, un rbol de expansin de G es una seleccin de aristas de G que forman un rbol que cubre todos los vrtices. Esto es, cada vrtice est en el rbol, pero no hay ciclos. Por otro lado, todos los puentes de G deben estar contenidos en T. Un rbol de expansin o rbol recubridor de un grafo conexo G puede ser tambin definido como el mayor conjunto de aristas de G que no contiene ciclos, o como el mnimo conjunto de aristas que conecta todos los vrtices. En ciertos campos de la teora de grafos es til encontrar el mnimo rbol de expansin de un grafo ponderado. Tambin se han abordado otros problemas de optimizacin relacionados con los rboles de expansin, como el mximo rbol de expansin, el mximo rbol que cubre al menos k vrtices, el mnimo rbol de expansin con k aristas por vrtice como mximo (rbol de expansin de mnimo grado, MDST por sus siglas en ingls), el rbol de expansin con el mximo nmero de hojas (estrechamente relacionado con el problema del menos conjunto dominante y conexo), el rbol de expansin con el menor nmero de hojas (relacionado con el problema del camino hamiltoniano), el rbol de expansin de mnimo dimetro o el rbol de expansin de la mnima dilacin.

Contenido[ocultar]

1 Ciclos fundamentales y cortes fundamentales

2 Bosques de expansin 3 Conteo de rboles de expansin 4 rboles de expansin uniforme 5 Algoritmos

[editar] Ciclos fundamentales y cortes fundamentalesSi se aade una sola arista a un rbol de expansin, se crea un ciclo: los ciclos de ese tipo se denominan ciclos fundamentales. Hay un ciclo fundamental distinto para cada arista; es decir, hay una correspondencia biyectiva (uno a uno) entre ciclos fundamentales y aristas ausentes del rbol de expansin. Para un grafo conexo con V vrtices, cualquier rbol de expansin tiene V-1 aristas, y as, un grafo con E aristas tiene E-V+1 ciclos fundamentales. En cualquier rbol de expansin dado, esos ciclos forman una base del espacio de ciclos. De manera dual a la nocin de ciclo fundamental, existe el concepto de corte fundamental. Al eliminar una arista del rbol de expansin, los vrtices se dividen en dos conjuntos disjuntos (desconectados). El corte fundamental se define como el conjunto de aristas que deben ser eliminados de un grafo G para llegar a la misma divisin. Por tanto, hay exactamente V-1 cortes fundamentales en un grafo, uno por cada arista del rbol de expansin. La dualidad entre cortes y ciclos fundamentales se manifiesta al observar que las aristas de un ciclo que no pertenece al rbol de expansin slo pueden aparecer en los cortes de otras aristas del ciclo, y viceversa: las aristas en un corte slo pueden aparecer en aquellos ciclos no contenidos en la arista correspondiente al corte.

[editar] Bosques de expansinUn bosque de expansin es un tipo de subgrafo que generaliza el concepto de rbol de expansin. Hay dos definiciones de uso comn:

Segn la primera, un bosque de expansin es un subgrafo que consiste en un rbol de expansin en cada componente conexo del grafo (equivalentemente, es un subgrafo libre de ciclos maximal). Esta definicin es frecuente en informtica y optimizacin, as como la que se emplea habitualmente al tratar los bosques mnimos de expansin, la generalizacin a subgrafos disconexos de rboles de expansin minimales. Otra definicin, empleada en teora de grafos, es la de un bosque de expansin es un subgrafo que es a la vez bosque (es decir, no contiene ciclos) y de expansin (es decir, incluye a todos los vrtices).

[editar] Conteo de rboles de expansin

El nmero t(G) de rboles de expansin de un grafo conexo es un invariante importante. En algunos casos, es fcil calcular t(G) directamente, y es un elemento de uso frecuente en estructuras de datos en distintos lenguajes de programacin. Trivialmente, si G es un rbol, entonces t(G)=1. Si G es un ciclo entonces t(G)=n. con n vrtices,

Para un grafo genrico G, el nmero t(G) puede obtenerse a travs del teorema de matriz-rbol de Kirchhoff. La frmula de Cayley es una frmula para obtener el nmero de rboles de expansin en un grafo completo con n vrtices. La frmula establece que . Otra prueba de la frmula de Cayley es la existencia de exactamente rboles etiquetados con n vrtices. La frmula de Cayley puede ser demostrada mediante el teorema de matriz-rbol de Kirchhoff o mediante el cdigo de Prfer. Si G es un grafo completo bipartido G es el grafo hipercbico n-dimensions , entonces se cumple , entonces se verifica que . Si

. Estas frmulas son tambin corolarios del teorema matriz-rbol. Si G es un multigrafo y e es una arista de G, entonces el nmero t(G) satisface la recurrencia de supresin-contraccin:

donde G-e es el multigrafo que se obtiene al eliminar la arista e, y G/e es la contraccin de G sobre e, en la que las mltiples aristas de esta contraccin no son eliminadas.

[editar] rboles de expansin uniformeUn rbol de expansin escogido aleatoriamente, con igual probabilidad, entre todos los rboles de expansin se denomina rbol de expansin uniforme (AEU). Este modelo ha sido ampliamente investigado en los mbitos de la Probabilidad y la Fsica matemtica.

[editar] AlgoritmosEl algoritmo clsico para los rboles de expansin, Depth-First Search (DFS, bsqueda priorizando la profundidad en espaol), fue diseado por Robert Tarjan. Otro algoritmo relevante est basado en la bsqueda priorizando la amplitud (Breadth-First Search, BFS). Obtenido de http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81rbol_de_expansi%C3%B3n&oldid =53626144

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rbol binario de bsquedaDe Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegacin, bsqueda Un rbol binario de bsqueda tambin llamados BST (acrnimo del ingls Binary Search Tree) es un tipo particular de rbol binario que presenta una estructura de datos en forma de rbol usada en informtica.

Contenido[ocultar]

1 Descripcin 2 Operaciones o 2.1 Bsqueda o 2.2 Insercin o 2.3 Borrado o 2.4 Otras Operaciones o 2.5 Recorridos 3 Tipos de rboles binarios de bsqueda 4 Comparacin de rendimiento 5 Buscando el rbol binario de bsqueda ptimo 6 Vase tambin 7 Referencias 8 Enlaces externos

[editar] DescripcinUn rbol binario de bsqueda (ABB) es un rbol binario definido de la siguiente forma:Todo rbol vaco es un rbol binario de bsqueda. Un rbol binario no vaco, de raz R, es un rbol binario de bsqueda si: En caso de tener subrbol izquierdo, la raz R debe ser mayor que el valor mximo almacenado en el subrbol izquierdo, y que el subrbol izquierdo sea un rbol binario

de bsqueda. En caso de tener subrbol derecho, la raz R debe ser menor que el valor mnimo almacenado en el subrbol derecho, y que el subrbol derecho sea un rbol binario de bsqueda.

Un rbol binario de bsqueda de tamao 9 y profundidad 3, con raz 8 y hojas 1, 4, 7 y 13 Para una fcil comprensin queda resumido en que es un rbol binario que cumple que el subrbol izquierdo de cualquier nodo (si no est vaco) contiene valores menores que el que contiene dicho nodo, y el subrbol derecho (si no est vaco) contiene valores mayores. Para estas definiciones se considera que hay una relacin de orden establecida entre los elementos de los nodos. Que cierta relacin est definida, o no, depende de cada lenguaje de programacin. De aqu se deduce que puede haber distintos rboles binarios de bsqueda para un mismo conjunto de elementos. La altura h en el peor de los casos siempre el mismo tamao que el nmero de elementos disponibles. Y en el mejor de los casos viene dada por la expresin , donde ceil indica redondeo por exceso. El inters de los rboles binarios de bsqueda (ABB) radica en que su recorrido en inorden proporciona los elementos ordenados de forma ascendente y en que la bsqueda de algn elemento suele ser muy eficiente. Dependiendo de las necesidades del usuario que trate con una estructura de este tipo se podr permitir la igualdad estricta en alguno, en ninguno o en ambos de los subrboles que penden de la raz. Permitir el uso de la igualdad provoca la aparicin de valores dobles y hace la bsqueda ms compleja. Un rbol binario de bsqueda no deja de ser un caso particular de rbol binario, as usando la siguiente especificacin de rbol binario en maude:fmod ARBOL-BINARIO {X :: TRIV}is sorts ArbolBinNV{X} ArbolBin{X} .

subs