Probabilidad: n = caso posibles ; h = caso favorables ; E,E1,E2,E3sucesos P(E) = h/n P(E) = p P(noE) = q P(noE) = 1 P(E ) q = 1 p

Sucesos independientes:Sucesos dependientes: P(E1E2) = P(E1) P(E 2) P(E1 E2) = P(E1).P(E2/E1) P(E1 E2 E3) = P(E1).P(E2).P(E3) P(E1 E2 E3) = P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 E2) Probabilidad de que ocurra E1 o E2 o ambos: P(E1 + E2) = P(E1) + P(E2) P(E1 E2)

Sucesos mutuamente excluyentes: P(E1 E2) = 0 P(E1 + E2) = P(E1) + P(E2) Teorema de Bayes: P(E )P (A / ) E P = {Ei/A} = ii (E )( / E )+ ... + P(E PA / E )+ ... + P (E )( E ) P PA )( PA / 11 ii nn Distribucin Binomial x N-xN ! xN -x P(x) = NCx pq = pq x!( N -x )! N x N p q = nro de ensayos = nro de xitos (x = 0, 1, 2, ......, N) x = nro de fallos = es la probabilidad de xito = es la probabilidad de fallo = 1 p

Propiedades Media = N.p Desviacin tpica = (N.p.q)1/2 Distribucin de Poisson l xe -l P(x) = x !

= es una constante dada ( promedio a largo plazo de eventos para el tiempo de in ters) e = la base de los logaritmos naturales (e =2,71828..) x = nro de xitos (x = 0, 1, 2, ......) Propiedades Media = Desviacin tpica = ()1/2 Distribucin Normal 2 z 2 ex -m Y = variable tipificada:z = 2 ps 2 z 2 b e P ( a < z < b ) = a x e dz p2 = = = = = evento favorable ( xito) media la base de los logaritmos naturales (e =2,71828..) 3,14159 desviacin tpica

Estadstica -Media aritmtica N X j j=1 X = y los Xj son un conjunto de datos (X1, X2 , ...... XN ) N Si los nmeros (X1, X2 , ...... XK ) se representan por f1, f2 , ...... fK (frecue ncias) datos agrupados en una distribucin de frecuencias K fX jj j=1 X = K f j j =1 -Mediana N -( f ) 21 Mediana = L + c1 f mediana . l L1 = limite real inferior de la clase mediana (clase que contiene a la mediana) N = nro total de datos ( frecuencia total) ( f) = suma de las frecuencias de todas las clases por debajo de la mediana 1 f mediana = frecuencia de la clase mediana

c = tamao del intervalo de la clase mediana -Moda D Moda = L1 + 1 c D1 +D 2 L1 = limite real inferior de la clase m odal (clase que contiene a la moda ) 1 = exceso de la frecuencia modal sobre la frecuencia de la clase contigua inferi or 2 = exceso de la frecuencia modal sobre la frecuencia de la clase contigua superi or c = tamao del intervalo de la clase modal -Media Geomtrica N G =X .X .X ...........X y los (X1, X2 , ...... XN) son los datos 12 3 N -Media Armnica N H = y los (X1, X2 , ...... XN) son los datos N 1 j=1 Xj -Cuartiles, deciles y percentiles iN -( f ) 41 Qi = (i-esimo cuartil) = L + c1 f cuartil L1 = limite real inferior de la clase que contiene al i-esimo cuartil N = nro total de datos ( frecuencia total) ( f) = suma de las frecuencias de todas las clases por debajo de la clase que con tiene al i 1

esimo cuartil f cuartil = frecuencia de la clase del i-esimo cuartil c = tamao del intervalo d e la clase del i-esimo cuartil

. f decil ( Di = (i-esimo decil) = L 1 + c l iN f L1 = limite real inferior de la clase que contiene al i-esimo decil N = nro total de datos ( frecuencia total) )110 f1 esimo decil f decil = frecuencia de la clase del i-esimo decil c = tamao del intervalo de la clase del i-esimo decil )( = suma de las frecuencias de todas las clas es por debajo de la clase que conti ene al i . iN

f 100 1 L1 = limite real inferior de la clase que contiene al i-esimo percentil N = nro total de datos ( frecuencia total) ) f percentil ( Pi = (i-esimo percentil) = L 1 + c l f1 esimo percentil f percentil = frecuencia de la clase del i-esimo percentil c = tamao del intervalo de la clase del i-esimo percentil -Desviacin Media N )( = suma de las frecuencias de todas las clases por debajo de la clase que contien e al ij 1 M.D = de una serie de N nros. (X1, X2 , ...... XN) N f XX j

j j 1 X X j L l k M.D = de una serie de N nros. (X1, X2 , ...... Xk) y sus frecuencias (f1, f2 , .... fk ) N -Desviacin Tpica XX j j = 1 ___ 2 N de una serie de N nros. (X1, X2 , ...... XN) s = N

fX X jj j 1 N -Varianza s 2 k de una serie de N nros. (X1, X2 , ...... Xk) y sus frecuencias (f1, f2 , ..fk) = s

-Distribucin de muestreo de medias s Np -N m = ms = . Muestras de una poblacin finita sin reposicin X X NNp -1 s m = ms = . Muestras de una poblacin infinita o muestreo con reposicin de X XN una poblacin finita m,s : media y desviacin tpica de la poblacin m ,s : media y desviacin tpica de la distribucin de muestreo de medias XX N : tamao de la poblacin (finita) p N : tamao de la muestra si N>30 la distribucin de muestreo de medias es aprox. Norm al -Distribucin de muestreo de proporciones pq p(1-p) mp = p s p = = . Muestras de una poblacin infinita o muestreo con NN reposicin de una poblacin finita m = p s = p.q . Muestras de una poblacin finita sin reposicin m,s : media y desviacin tpica de la poblacin m p ,s p : media y desviacin tpica de la distribucin de muestreo de proporciones p : probabilidad de ocurrencia de un suceso q = 1-p : probabilidad de no ocurrencia de un suceso N : tamao de la muestra si N>30 la distribucin de muestreo de proporciones es aprox . Normal -Distribucin de muestreo de diferencias y sumas (medias y proporciones)

212121 mmmmm -=-= -XXXX 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 21 NN XXXX ss sss +=+= 212121 mmmmm +=+= + XXXX 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 21 NN XXXX ss sss +=+= + (Muestras de una poblacin infinita o muestreo con reposicin de una poblacin finita) m1,s : media y desviacin tpica de la poblacin 1 1 : media y desviacin tpica de la poblacin 2 m2,s2 ms : media y desviacin tpica de la distribucin de muestreo de medias de la poblacin X 1, X 1 1 m 2,s : media y desviacin tpica de la distribucin de muestreo de medias de la pobla cin XX 2 2 N : tamao de lamuestra de la poblacin 1 1N2 : tamao de la muestra de la poblacin 2 Si N y N > 30 se distribuyen segn distrib. normal 12

pq pq 2 2 1122 m = m -m = p -p s = s p1 + s p 2 =+ p1-p2 p1 p2 12 p1-p2 N1 N2 pq pq 2 2 1122 mp1+ p 2 = mp1 + mp 2 = p1 + p2 s p1+p 2 = s p1 +s p2 =+ N1 N2 (Muestras de una poblacin infinita o muestreo con reposicin de una poblacin finita) mp1,s p1 : media y desviacin tpica de la distribucin de muestreo de proporciones de la poblacin 1 m 2,s : media y desviacin tpica de la distribucin de muestreo de proporciones de la pp2 poblacin 2 p1 : probabilidad de xito de un suceso (de la poblacin q1 = 1-p1 : probabilidad de no xito de un suceso (de la p2 : probabilidad de xito de un suceso (de la poblacin q2 = 1-p2 : probabilidad de no xito de un suceso (de la N1 : tamao de la muestra de la poblacin 1 N2 : tamao de la muestra de la poblacin 2 Si N1 y N2 > 30 se distribuyen segn distrib. normal -Intervalo de confianza para las medias s si el muestreo es de una poblacin infinita o de una finita con reposicin X zc N s Np -N si el muestreo es de una poblacin finita de tamao N y sin X z p cN Np -1 reposicin X ,s : media y desviacin tpica de la poblacin 1) poblacin 1) 2) poblacin 2)

N : tamao de la poblacin (finita) p N : tamao de la muestra si N>30 la distribucin de muestreo de medias es aprox. :coeficiente de confianza (del apndice II) zc -Intervalo de confianza para proporciones p.qp(1-p) P zc = P zc . si el muestreo es de una poblacin infinita o de una finita NN con reposicin p.q Np -N si el muestreo es de una poblacin finita de tamao N y sinN Np -1 p P zc reposicin P p q N p : : : : proporcin (probabilidad) de xitos en la muestra de tamao N probabilidad de xito de un suceso de la poblacin probabilidad de no xito de un suceso de la poblacin tamao de la poblacin finita

N : tamao de la muestra z :coeficiente de confianza (del apndice II)

-Intervalo de confianza para diferencias y sumas (medias y proporciones) 22 s 1 s 2 X -X z s = X -X z + 12 cX 1-X 2 12 c N1 N2 22 s 1 s 2 X + X z s = X + X z + 12 cX1+X 2 12 c N1 N2 si el muestreo es de una poblacin infinita o de una finita con reposicin X ,s , N : media, desviacin tpica y tamao de la muestra sacada de la poblacin 1 11 1 X ,s , N : media, desviacin tpica y tamao de la muestra sacada de la poblacin 2 22 2 pq pq 11 22 P -P z s = P -P z + 12 cp1-p 2 12 c N1 N2 pq pq 11 22 P + P z s = P + P z + 12 cp1+ p2 12 c N1 N2 P : proporcin (probabilidad) de xitos en la muestra de tamao 1N1 P : proporcin (probabilidad) de xitos en la muestra de tamao N 22 p1, p : probabilidad de xito de un suceso estimadas de P y P2 respectivamente 21

q : probabilidad de no xito de un suceso q = 1-p , q =1-p 1, q2 112 2 N1, N2 : tamao de las muestras z :coeficiente de confianza (del apndice II) c -Intervalo de confianza para desviaciones tpicas s s z s = s z cs c 2N s : desviacin tpica de una poblacin normalmente distribuida s: desviacin tpica de la muestra de tamao N z :coeficiente de confianza (del apndice II) c

-Ensayos de hiptesis y significacin Medias: X -m z = s N X m s N

: : : :

media muestral media poblacional desviacin tpica poblacional tamao de la muestra

Proporciones P -p z = P : proporcion de exitos en la muestra p : proporcion de exitos en la poblacion s = pq/ N : desviacin tpica poblacional p N : tamao de la muestra q = 1-p Si P = X / N, donde X es el numero real de exitos en una muestra, z se convierte en: X -Np z = pqN Diferencias de medias 22 12 m= 0 y s = s + s donde z viene dada por X -XX -X 1 2 12 N 1 N2 X1 -X2 z =

22s1 + s 2 N1 N2 X1, X2 : media muestral de poblacin 1 y 2 s1,s 2 : desviacin tpica poblacional de 1 y 2 : tamao de la muestra de la poblacin 1 y 2 N1, N2 Diferencias de proporciones Npq/ 11 m= 0 y s P -P = pq + donde p viene dada por P -p 12 NN 12 12 NP + NP 1 1 22 p = y q = 1 N1 + N2 P1 -P2 la variable tipificada z viene definida por z = s P-P 1 2 P1 y P2 proporciones muestrales de dos grandes muestras de tamaos N1y N2 p

-Teora de pequeas muestras -Distribucin t de t = X s -m N 1-= X s mN N: tamao de la muestra X : media muestral m : media poblacional s: desviacin tpica muestral )1/( -= NNss Intervalos de confianza s X tc N -1 X : media muestral t : coeficientes de confianza c s: desviaci n tpica muestra N: tamao de la muestra Ensayos de hiptesis y significacin Medias X -m X -m t = N -1 = N ss X : media muestral m : coeficientes de confianza s: desviacin tpica muestral N: tamao de la muestra Grados de libertad u = N -1 Diferencias de medias X -X Ns 2 + Ns 2 12 1122 t = donde s = s 1 + 1 N1 + N2 -2 N1 N2 X 1, X 2 : media muestral de poblacin 1 y 2

Student

s1, s : desviacin tpica muestral de 1 y 2 2 N1,N2 : tamao de la muestra de la poblacin 1 y 2 Grados de libertad u = N1 + N2 -2 -Distribucin Chi-cuadrado 2 222 2 2 Ns ( X -X ) + (X -X ) + ( X -X ) + .....+ (X -X ) 12 3 N c == 22 ss s : desviacin tpica poblacional s : desviacin tpica muestral N : tamao de la muestra -Intervalos de confianza para c2 sN sN Para el 95% de confianza < s < cc 0,975 0,025 Grados de libertad u = N -1

-Test de Chi-cuadrado 22 2 k 2 (o -e )(o -e )(o -e )(o -e ) 2 11 22 kk kk c =+ + ....+ = ee ee 12 kj=1 k ok : frecuencia observada ek : frecuencia esperada N: total de frecuencias y se cumple o =e = N jj Grados de libertad u = K -1 -Tablas de contingencia (o -e )2 2 jj c j ej Grados de liberta d u = (k -1)(h -1) para tablas h x k ok : frecuencia observada ek : frecuencia esperada

-Curva de ajuste Recta de mnimos cuadrados Y = a0 + a1X ecuaciones normales de esta recta: Y = a0 N + a1 X las constantes a0,a se obtienen resolviendo el sistemaYX = a0 X + a1 X 21 Parbola de mnimos cuadrados Y = a + aX + aX 2 01 2 ecuaciones normales de esta curva: Y = aN + a X + a X 2 01 2 23 YX = a X + a X + a X las constantes a , a , a se obtienen resolviendo el 012 012 2 234 YX = a X + a X + a X 012 sistema Si se tienen mas de dos variables Z = a + aX + aY 01 2 Se resuelve el siguiente sistema para obtener las constantes a , a , a 01 2 Z = aN + a X + a Y 01 2 ZX = a X + a X 2 + a XY 01 2 YZ = a0 Y + a1 XY + a2 Y 2

-Correlacin Variacin total: (Y -Y )2 Variacin no explicada : (Y -Yest)2 Variacin explicada (Yest -Y )2 Coeficiente de correlacin var iacionexp licada (Yest -Y )2 r = = var iaciontotal (Y -Y )2