formulario segnali sistemi prob ver1.0

Parte 1: segnali e sistemi

Nota per luso del formulario: possibile scrivere ulteriori formule solo negli spazi riservati a talescopo, contrassegnati da un riquadro con la dicitura Spazio riservato a formule personali.

Principali notazioni utilizzate

N insieme dei numeri naturali {1,2, . . . ,}N0 = N{0} insieme dei numeri naturali, zero incluso {0,1,2, . . .}Z insieme dei numeri interi relativi {. . . ,2,1,0,1,2, . . .}R insieme dei numeri realiR+ =]0,[ insieme dei numeri reali positivi (zero escluso)R =],0[ insieme dei numeri reali negativi (zero escluso)R = R{,} insieme ampliato dei numeri reali

Segnali elementari e definizioni fondamentali

Segnali elementari

Gradino a TC/TD:

u(t)=

{1 , se t 0 ;0 , altrimenti .

u(n)=

{1 , se n 0 ;0 , altrimenti .

Signum a TC/TD:

sgn(t) =

{1 , se t 0 ;1 , altrimenti . sgn(n)

=

{1 , se n 0 ;1 , altrimenti .

Finestra rettangolare a TC/TD:

rect(t)=

{1 , se |t| 0.5 ;0 , altrimenti .

RN(n)=

{1 , se n {0,1, . . . ,N1} ;0 , altrimenti .

2 Formulario di Teoria dei Segnali (Gelli-Verde) - ver. 1.0

Finestra triangolare a TC/TD:

(t) ={

1|t| , se |t|< 1 ;0 , altrimenti .

B2N(n) =

1|nN|

N, se n {0, . . . ,2N1} ;

0 , altrimenti .

Impulso a TC/TD:

(t) (impulso di Dirac) una distribuzione (n) ={

1 , se n = 0 ;0 , altrimenti .

Propriet elementari dellimpulso di Dirac

(a) Area unitaria: +

(t)dt = 1.

(b) Campionamento: +

(t t0)x(t)dt = x(t0), t0 R, x(t) continua in t0.(c) Prodotto: x(t) (t t0) = x(t0) (t t0), t0 R, x(t) continua in t0.(d) Parit: (t) = (t).(e) Cambiamento di scala: (at) = 1|a| (t), a R{0}.

(f) Derivazione: +

[dndtn (t)

]x(t)dt = (1)n

[dndtn x(t)

]t=0

, n N, x(t) derivabile fino allor-dine n con derivata n-esima continua in t = 0.

(g) Integrazione: u(t) = t

(u)du.

(h) Integrazione definita: b

a (t)x(t)dt =

{x(0) , se a < 0 < b ;0 , se a > 0 oppure b < 0 ;

a < bR, x(t) con-tinuo in t = 0.

Propriet elementari dellimpulso discreto

(a) Area unitaria:+

n=

(n) = 1.

(b) Campionamento:+

n=

x(n) (nn0) = x(n0), n0 Z.

(c) Prodotto: x(n) (nn0) = x(n0) (nn0), n0 Z.(d) Parit: (n) = (n).(e) Decimazione ed espansione:

(nM) = (n) , M N ; [n

L

]= (n) , L N .

(f) Somma: u(n) =n

m=

(m).

Formulario di Teoria dei Segnali (Gelli-Verde) - ver. 1.0 3

Replicazione

repT0 [xg(t)]=

+

k=

xg(t kT0) (TC) repN0 [xg(n)] =+

k=

xg(n kN0) (TD)

Area e media temporale

Ax=

lim

Z+

ZZ

x(t)dt, (TC)

limK+

K

n=K

x(n), (TD)x() =

lim

Z+1

2Z

ZZ

x(t)dt, (TC)

limK+

12K +1

K

n=K

x(n), (TD)

Propriet della media temporale(a) Linearit: 1 x1()+2 x2()= 1 x1()+2 x2() , 1,2 C .(b) Invarianza temporale:

x(t t0)= x(t) , t0 R ;x(nn0)= x(n) , n0 Z .

(c) Media temporale di un segnale periodico:Sia x() un segnale periodico, avente periodo T0 nel caso TC, o periodo N0 nel caso TD, assolu-tamente integrabile/sommabile su un periodo. La media temporale di x() pu essere calcolata suun solo periodo:

x()=

1T0

T00

x(t)dt , (segnali TC)1

N0

N01n=0

x(n) , (segnali TD)

Componente continua ed alternata

xdc= x() , xac() = x() xdc , x() = xdc + xac()

Energia e potenza

Ex=

lim

Z+

ZZ|x(t)|2 dt, (TC)

limK+

K

n=K

|x(n)|2, (TD)Px

=|x()|2=

lim

Z+1

2Z

ZZ|x(t)|2 dt, (TC)

limK+

12K +1

K

n=K

|x(n)|2, (TD)

Energia mutua e potenza mutua

Exy=

lim

Z+

ZZ

x(t)y(t)dt, (TC)

limK+

K

n=K

x(n)y(n), (TD)Pxy

= x()y()=

lim

Z+1

2Z

ZZ

x(t)y(t)dt, (TC)

limK+

12K +1

K

n=K

x(n)y(n), (TD)


Valore efficace

xrms=Px =

|x()|2 .

Energia/potenza della somma di due segnaliEx+y = Ex +Ey +2Re(Exy) , Px+y = Px +Py +2Re(Pxy) .

Misura in dB di potenza e valore efficace

[Px]dB= 10 log10

(Px

P0

)[xrms]dB

= 20 log10

(xrms

x0

)Nota: Px = x2rms, P0 = x20 potenza di riferimento.

Sistemi LTI

Relazione i-u di un sistema LTI nel dominio del tempo (convoluzione)

y(t) = x(t)h(t) = +

x()h(t )d = +

h()x(t )d (TC)

y(n) = x(n)h(n) =+

k=

x(k)h(n k) =+

k=

h(k)x(n k) (TD)

Nota: h() la risposta impulsiva del sistema LTI, definita come luscita del sistema quando lingressox() = ().

Propriet della convoluzione(a) Propriet commutativa: x()h() = h() x().(b) Propriet associativa: x() [h1()h2()] = [x()h1()]h2().(c) Propriet distributiva: x() [h1()+h2()] = x()h1()+ x()h2().(d) Propriet di esistenza dellunit: x() = x() () = () x().(e) Propriet di invarianza temporale:

h() x() = y() ={

h(t t1) x(t t2) = y[t (t1 + t2)] , t1 R,t2 R ;h(nn1) x(nn2) = y[n (n1 +n2)] , n1 Z,n2 Z .

(f) Propriet di convoluzione con limpulso:x(t t0) = x(t) (t t0) = (t t0) x(t) , t0 R ;

x(nn0) = x(n) (nn0) = (nn0) x(n) , n0 Z .

(g) Propriet di durata della convoluzione:Siano x(t) e h(t) di durata rigorosamente limitata, con durate x,h R+ = y(t) = x(t)h(t) di durata rigorosamente limitata, con durata y x +h.Siano x(n) e h(n) di durata rigorosamente limitata, con durate x,h N = y(n) = x(n)h(n) di durata rigorosamente limitata, con durata y x +h1.


Propriet della risposta impulsiva(a) La serie di due sistemi LTI, con risposte impulsive h1() e h2(), equivale ad unico sistema LTI

avente risposta impulsiva hser() = h1()h2().(b) Il parallelo di due sistemi LTI, con risposte impulsive h1() e h2(), equivale ad un unico sistema

LTI avente risposta impulsiva hpar() = h1()+h2().(c) Un sistema LTI non dispersivo se e solo se la sua risposta impulsiva assume la forma h() =

().(d) Un sistema LTI causale se e solo se

h(n) = 0, n < 0 (TD) h(t) = 0, t < 0 (TC)

(e) Un sistema LTI stabile se e solo se la sua risposta impulsiva sommabile, ovvero se e solo se+

k=

|h(k)| Kh (TD) +

|h()|d Kh (TC)

(f) Si consideri un sistema LTI invertibile con risposta impulsiva h(), il suo sistema inverso an-chesso LTI e, detta hinv() la sua risposta impulsiva, sussiste la seguente relazione tra le duerisposte impulsive:

h()hinv() = hinv()h() = () .

(g) Legami tra risposta al gradino e risposta impulsiva: sia s() la risposta al gradino del sistemaLTI, definita come luscita del sistema quando x() = u(), si ha:

s(t) = t

h()d h(t) = ddt s(t) (TC)

s(n) =n

k=

h(k) h(n) = 1[s(n)] = s(n) s(n1) (TD)

Relazione i-u di un sistema LTI nel dominio della frequenza

Sia x() FT X(), y() FT Y (), h() FT H(), si ha:Y ( f ) = H( f )X( f ) (TC) Y () = H()X() (TD)

dove

H( f ) = +

h()e j2 f d (TC) H() =+

k=

h(k)e j2k (TD)

Risposta in ampiezza espressa in dB

|X( f )|dB = 20 log10|X( f )||X( frif)|

Risposta ad un fasore di un sistema LTI

x(t) = e j2 f t y(t) =H( f )e j2 f t (TC) x(n) = e j2n y(n) =H()e j2n (TD)


Risposta ad una sinusoide di un sistema LTI realex(t) = A cos(2 f0t +0) y(t) = A |H( f0)| cos[2 f0t +0 +H( f0)] (TC)x(t) = A sin(2 f0t +0) y(t) = A |H( f0)| sin[2 f0t +0 +H( f0)] (TC)x(n) = A cos(20n+0) y(n) = A |H(0)| cos[20n+0 +H(0)] (TD)x(n) = A sin(20n+0) y(n) = A |H(0)| sin[20n+0 +H(0)] (TD)

Risposta ad un segnale periodico di un sistema LTISia x() un segnale periodico di periodo T0 = 1/ f0 (TC) o N0 = 1/0 (TD), in ingresso ad un sistemaLTI con risposta in frequenza H(). Si ha:

x(t) =+

k=

Xk e j2k f0t y(t) =+

k=

XkH(k f0) Yk

e j2k f0t (TC)

x(n) =1

N0

N01k=0

X(k)e j2k0n y(n) = 1N0

N01k=0

X(k)H(k0) Y (k)

e j2k0n (TD)

Propriet della risposta in frequenza(a) La serie di due sistemi LTI, con risposte in frequenza H1() e H2(), equivale ad unico sistema

LTI avente risposta in frequenza Hser() = H1()H2().(b) Il parallelo di due sistemi LTI, con risposte in frequenza H1() e H2(), equivale ad un unico

sistema LTI avente risposta in frequenza Hpar() = H1()+H2().(c) La connessione in retroazione di due sistemi LTI, con risposte in frequenza H1() e H2() (con

luscita di H2() che si sottrae al segnale di ingresso al sistema complessivo), equivale ad un unicosistema LTI avente risposta in frequenza

Hretr() = H1()1+H1()H2() .

(d) Un sistema LTI non dispersivo se e solo se la sua risposta in frequenza del tipo H() = , con C.

(e) Una condizione necessaria per la stabilit:

Se un sistema LTI a TC stabile, allora la sua risposta in frequenza H( f ) continua edinfinitesima allinfinito.

Se un sistema LTI a TD stabile, allora la sua risposta in frequenza H() continua.(f) Condizione di Paley-Wiener (causalit):

Sia H( f ) la risposta in frequenza di un sistema TC a quadrato sommabile su R.(f1) Se il sistema causale allora la sua risposta in frequenza H( f ) verifica la condizione: +

| log(|H( f )|)|

1+ f 2 d f < + .


(f2) Viceversa, se la risposta in frequenza H( f ) verifica la condizione di cui sopra, allarisposta in ampiezza |H( f )| pu essere associata una risposta in fase ( f ) tale cheH( f ) = |H( f )|e j( f ) sia la risposta in frequenza di un sistema causale.

Sia H() la risposta in frequenza di un sistema TD a quadrato sommabile su (1/2,1/2).(f1) Se il sistema causale, allora la sua risposta in frequenza H() verifica la condizione:

1/21/2

| log(|H()|)|d < + .

(f2) Viceversa, se la risposta in frequenza H() verifica la condizione di cui sopra, allarisposta in ampiezza |H()| pu essere associata una risposta in fase () (periodicadi periodo unitario) tale che H() = |H()|e j() sia la risposta in frequenza di unsistema causale.

(g) Si consideri un sistema LTI invertibile con risposta in frequenza H(), il suo sistema inverso anchesso LTI e, detta Hinv() la sua risposta impulsiva, sussiste la seguente relazione tra le duerisposte in frequenza: Hinv() = 1/H().

Filtri ideali

Tipo Risposta in frequenza (TC) Risposta in frequenza (TD)

LPF HLPF( f ) = rect( f

2 fc

)HLPF() = rep1

[rect

(

2c

)]HPF HHPF( f ) = 1HLPF( f ) HHPF() = 1HLPF()

BPF HBPF( f ) = rect( f f0

f)+ rect

( f + f0 f

)HBPF() = rep1

[rect

(0

)+ rect

( +0

)]BSF HBSF( f ) = 1HBPF( f ) HBSF() = 1HBPF()

Serie di Fourier

Serie di Fourier a TC: definizione, propriet e sviluppi notevoli

Sia x(t) un segnale periodico di periodo T0 = 1/ f0 R+:

x(t) FS Xk

x(t) =+

k=

Xk e j2k f0t (equazione di sintesi)

Xk =1T0

T0

x(t)e j2k f0t dt (equazione di analisi)

1. Rapidit di decadimento a zero dei coefficienti: se il segnale continuo con le sue derivate finoa quella di ordine n, con derivata (n+1)-esima discontinua ma limitata, i coefficienti Xk della suaserie di Fourier decadono a zero per k come 1/|k|n+2.


2. Linearit:

1 x(t)+2 y(t)FS 1 Xk +2Yk , 1,2 C .

Nota: x(t) ed y(t) periodici dello stesso periodo T0.3. Simmetria hermitiana dei coefficienti:

x(t) reale Xk = Xk .4. Simmetria:

x(t) FS Xk ,x(t) FS Xk ,

x(t) FS Xk .Nota: come conseguenza, un segnale pari ha coefficienti di Fourier pari (Xk = Xk), un segnaledispari ha coefficienti di Fourier dispari (Xk = Xk), un segnale reale ha coefficienti di Fourierhermitiani (Xk = Xk), un segnale reale e pari ha coefficienti di Fourier reali e pari, un segnalereale e dispari ha coefficienti di Fourier immaginari puri e dispari.

5. Traslazione nel tempo:

y(t) = x(t t0) FS Yk = Xk e j2k f0t0 , t0 R .Nota: una traslazione nel tempo non altera lo spettro di ampiezza del segnale.

6. Traslazione in frequenza:

y(t) = x(t)e j2k0 f0t FS Yk = Xkk0 k0 Z .7. Cambiamento di scala:

y(t) = x(at) FS Yk = Xk , a R+ .Nota: x(t) periodico di periodo T0, per cui y(t) = x(at) periodico di periodo T0/a. Pertanto losviluppo di x(t) relativo al periodo T0, mentre quello di y(t) = x(at) relativo al periodo T0/a.Se a < 0, risulta che y(t) = x(at) = x(|a|t), per cui in base alla prop. 2, segue che Yk = Xk.

8. Derivazione:

y(t) =ddt x(t)

FS Yk = ( j2k f0)Xk .

9. Convoluzione periodica:

z(t) =1T0

T0

x()y(t )d FS Zk = Xk Yk .

Nota: x(t) ed y(t) periodici dello stesso periodo T0. Nella convoluzione periodica lintegrale esteso al periodo T0.

10. Prodotto:

z(t) = x(t)y(t) FS Zk = Xk Yk =+

=

XYk .

Nota: x(t) ed y(t) periodici dello stesso periodo T0.


11. Parseval:

Px =1T0

T0|x(t)|2 dt =

+

k=

|Xk|2 , Pxy = 1T0

T0x(t)y(t)dt =

+

k=

Xk Y k .

Nota: nella seconda, x(t) ed y(t) periodici dello stesso periodo T0.12. Serie TC notevoli:

x(t) = repT0[A rect

( tT

)]FS Xk = Ac sinc(kc) con c = T/T0 1

x(t) = repT0

[A

(2tT0

)]FS Xk =

A2, k = 0;

0, k pari, k = 0;2A

2k2 , k dispari.

Nota: la funzione sinc(x) definita come sinc(x) = sin(x)x , con x R. Si tratta di una funzionepari ed infinitesima (del primo ordine) allinfinito, che si annulla in tutti i valori interi di x, tranneche nellorigine dove assume valore unitario.

Serie di Fourier a TD (DFS): definizione, propriet e sviluppi notevoli

Sia x(n) un segnale periodico di periodo N0 N, wN0= e j2/N0 :

x(n) DFS X(k)

x(n) =1

N0

N01k=0

X(k)wknN0 (equazione di sintesi - IDFS)

X(k) =N01n=0

x(n)wknN0 (equazione di analisi - DFS)

Nota: X(k) periodica dello stesso periodo N0.

1. Linearit:

1 x(n)+2 y(n)DFS 1 X(k)+2Y (k) , 1,2 C .

Nota: x(n) ed y(n) periodici dello stesso periodo N0.2. Simmetria hermitiana dei coefficienti:

x(n) reale X(k) = X(k) .3. Simmetria:

x(n) DFS X(k) = X(N0 k) ,x(n) DFS X(k) = X(N0 k) ,

x(n) DFS X(k) .Nota: come conseguenza, un segnale pari ha DFS pari [X(k) = X(k) = X(N0 k)], un segnaledispari ha DFS dispari [X(k) = X(k) = X(N0 k)], un segnale reale ha DFS hermitiana[X(k) = X(k) = X(N0 k)], un segnale reale e pari ha DFS reale e pari, un segnale reale edispari ha DFS immaginaria pura e dispari.



y(n) = x(nn0) DFS Y (k) = X(k)wkn0N0 , n0 Z .

Nota: una traslazione nel tempo non altera lo spettro di ampiezza del segnale.5. Traslazione in frequenza:

y(n) = x(n)wk0nN0DFS Y (k) = X(k k0) , k0 Z .

6. Dualit:

x(n) DFS X(k)X(n) DFS N0 x(k)

Nota: la dualit non sussiste per la serie di Fourier a TC.7. Differenza prima:

y(n) = x(n) x(n1) DFS Y (k) = (1wkN0)X(k) .

8. Convoluzione periodica:

z(n) =N0

x(m)y(nm) DFS Z(k) = X(k)Y (k) .

Nota: x(n) ed y(n) periodici dello stesso periodo N0. Nella convoluzione periodica la sommatoria estesa al periodo N0.

9. Prodotto:

z(n) = N0 x(n)y(n)DFS Z(k) =

N0X()Y (k ) .

Nota: x(n) ed y(n) periodici dello stesso periodo N0. I coefficienti Z(k) sono il risultato dellaconvoluzione periodica tra X(k) e Y (k).

10. Parseval:

Px =1

N0 N0 |x(n)|2 =

1N20

N0|X(k)|2 , Pxy = 1N0 N0 x(n)y

(n) =1

N20N0

X(k)Y (k) .

Nota: nella seconda, x(n) ed y(n) periodici dello stesso periodo N0.11. Serie TD notevole:

x(n) = repN0 [RM(n)]DFS X(k) =DM

(k

N0

)

Nota: la funzione di Dirichlet definita come DM(x) = sin(xM)sin(x) e j(M1)x, con x R. Si trattadi una funzione periodica di periodo unitario, che si annulla in tutti i valori di x multipli di 1/M,tranne che in x =1,2, . . ., dove vale M.


Trasformata di Fourier

Trasformata di Fourier a TC: definizioni, propriet e trasformate notevoli

x(t) FT X( f )x(t) =

+

X( f )e j2 f t d f (equazione di sintesi - antitrasformata)

X( f ) = +

x(t)e j2 f t dt (equazione di analisi - trasformata)

1. Rapidit di decadimento a zero della trasformata: Se il segnale continuo con le sue derivatefino a quella di ordine n, con derivata (n+1)-esima discontinua ma sommabile, la sua trasformatadi Fourier X( f ) decade a zero per f come 1/| f |n+2.

2. Linearit:

1 x(t)+2 y(t)FT 1 X( f )+2Y ( f ) , 1,2 C .

3. Simmetria hermitiana della trasformata:

x(t) reale X( f ) = X( f ) .

4. Valore nellorigine:

X(0) = +

x(t)dt , x(0) = +

X( f )d f .

Nota: vale se le quantit calcolate ad ambo i membri sono finite.5. Dualit:

x(t) FT X( f ) ,X(t) FT x( f ) .

6. Simmetria:

x(t) FT X( f ) ,x(t) FT X( f ) ,

x(t) FT X( f ) .Nota: come conseguenza, un segnale pari ha spettro pari, un segnale dispari ha spettro dispari,un segnale reale ha spettro hermitiano, un segnale reale e pari ha spettro reale e pari, un segnalereale e dispari ha spettro immaginario puro e dispari.


y(t) = x(t t0) FT Y ( f ) = X( f )e j2 f t0 , t0 R .


y(t) = x(t)e j2 f0t FT Y ( f ) = X( f f0) , f0 R .


9. Modulazione:

y(t) = x(t) cos(2 f0t +0) FT Y ( f ) = 12 ej0X( f f0)+ 12e

j0X( f + f0) , f0,0 R .

10. Cambiamento di scala:

y(t) = x(at) FT Y ( f ) = 1|a|X( f

a

), a R{0} .

11. Derivazione nel tempo:

y(t) =dkdtk x(t)

FT Y ( f ) = ( j2 f )kX( f ) , k N .

12. Derivazione in frequenza:

(t)k x(t) FT 1( j2)k

dkd f k X( f ) , k N .

13. Integrazione:

y(t) = t

x()d FT Y ( f ) = 12

X(0) ( f )+ X( f )j2 f .

Nota: se X(0) = +

x(t)dt = 0 si ha una versione semplificata (senza la parte impulsiva).14. Convoluzione:

z(t) = x(t) y(t) = +

x()y(t )d FT Z( f ) = X( f )Y ( f ) .

15. Prodotto:

z(t) = x(t)y(t) FS Z( f ) = X( f )Y ( f ) = +

X( )Y ( f )d .

16. Parseval:

Ex = +

|x(t)|2 dt = +

|X( f )|2 d f , Exy = +

x(t)y(t)dt = +

X( f )Y ( f )d f .

Nota: x(t) e y(t) segnali di energia (a quadrato sommabile).17. Replicazione/campionamento:

y(t) =+

k=

x(t kT0) FT Y ( f ) = 1T0+

k=

X(

kT0

)(

f kT0

), T0 R+ ,

y(t) =+

k=

x(kT0) (t kT0) FT Y ( f ) = 1T0+

k=

X(

f kT0

), T0 R+ .

18. Formule di Poisson:+

k=

x(t kT0) = 1T0+

k=

X(

kT0

)e

j2 kT0 t , T0 R+ (prima formula di Poisson) ,+

k=

x(kT0)e j2 kT0 t =

1T0

+

k=

X(

f kT0

), T0 R+ (seconda formula di Poisson) .


19. Trasformata di Fourier di un segnale periodico e campionamento in frequenza:

x(t) =+

k=

Xk ej2 kT0 t FT X( f ) =

+

k=

Xk (

f kT0

)x(t) = repT0 [xg(t)]

FT X( f ) = 1T0

+

k=

Xg(

kT0

)(

f kT0

)Xk =

1T0

Xg(

kT0

)

Nota: x(t) periodico di periodo T0 = 1/ f0.20. Trasformate TC notevoli:

Segnale x(t) Trasformata X( f ) (t) 11 ( f )u(t)

12

( f )+ 1j2 fsgn(t) 1j f1t

jsgn( f )rect(t) sinc( f )(t) sinc2( f )sinc(t) rect( f )sinc2(t) ( f )eat u(t), a R+ 1

a+ j2 ft eatu(t), a R+ 1(a+ j2 f )2ea|t|, a R+ 2a

a2 +(2 f )2e j2 f0t ( f f0)cos(2 f0t +0) 12 e

j0 ( f f0)+ 12 e j0 ( f + f0)

sin(2 f0t +0) 12 j ej0 ( f f0) 12 j e

j0 ( f + f0)+

k=

(t kT0), T0 R+ 1T0+

k=

(

f kT0

)Nota: applicando la propriet di dualit possibile ottenere da ognicoppia x(t) FT X( f ) una nuova coppia X(t) FT x( f ) (le piimportanti sono comunque riportate per completezza).


Trasformata di Fourier a TD: definizioni, propriet e trasformate notevoli

x(n) FT X()

x(n) = 1/21/2

X()e j2n d (equazione di sintesi - antitrasformata)

X() =+

n=

x(n)e j2n (equazione di analisi - trasformata)

Nota: X() una funzione periodica di periodo 1.

1. Linearit:

1 x(n)+2 y(n)FT 1 X()+2Y () , 1,2 C .

2. Simmetria hermitiana della trasformata:

x(n) reale X() = X() .

3. Valore nellorigine:

X(0) =+

n=

x(n) , x(0) = 1/21/2

X()d .

Nota: vale se le quantit calcolate ad ambo i membri sono finite.4. Simmetria:

x(n) FT X() ,x(n) FT X() ,

x(n) FT X() .Nota: come conseguenza, un segnale pari ha spettro pari, un segnale dispari ha spettro dispari,un segnale reale ha spettro hermitiano, un segnale reale e pari ha spettro reale e pari, un segnalereale e dispari ha spettro immaginario puro e dispari.


y(n) = x(nn0) FT Y () = X()e j2n0 , n0 Z .


y(n) = x(n)e j20n FT Y () = X(0) , 0 R .

7. Modulazione:

y(n) = x(n) cos(20n+0) FT Y () = 12 ej0X(0)+ 12e

j0X(+0) , 0,0 R .

8. Espansione:

y(n) = x[n

L

]FT Y () = X(L) , L N .


9. Decimazione:

y(n) = x(nM) FT Y () = 1M

M1k=0

X(

kM

), M N .

10. Differenza:

k[x(n)] = 1 {k1[x(n)]} FT Y () =(1 e j2)k X() , k N .

11. Derivazione in frequenza:

(n)k x(n) FT 1( j2)k

dkdk X() , k N .

12. Somma:

y(n) =n

k=

x(k) FT Y () = 12

X(0) ()+ X()1 e j2 .

Nota: Il pettine di delta definito come () = rep1[ ()]. Se X(0) =+

n=

x(n) = 0 si ha una

versione semplificata (senza la parte impulsiva).13. Convoluzione:

z(n) = x(n) y(n) =+

k=

x(k)y(n k) FT Z() = X()Y () .

14. Prodotto:

z(n) = x(n)y(n) FT Z() = X()Y () = 1/21/2

X( )Y ( )d .

Nota: nel dominio della frequenza si effettua la convoluzione periodica.15. Parseval:

Ex =+

n=

|x(n)|2 = 1/21/2

|X()|2 d , Exy =+

n=

x(n)y(n) = 1/21/2

X()Y ()d .

Nota: x(n) e y(n) segnali di energia (a quadrato sommabile).16. Replicazione/campionamento:

y(n) =+

k=

x(n kN0) FT Y () = 1N0N01k=0

X(

kN0

)(

kN0

), N0 N ,

y(n) =+

k=

x(kN0) (n kN0) FT Y () = 1N0N01k=0

X(

kN0

), N0 N .

17. Formule di Poisson:+

k=

x(n kN0) = 1N0N01k=0

X(

kN0

)e

j2 kN0 n , N0 N (prima formula di Poisson) ,

+

k=

x(kN0)e j2 kN0 n =

1N0

N01k=0

X(

kN0

), N0 N (seconda formula di Poisson) .


18. Trasformata di Fourier di un segnale periodico e campionamento in frequenza:

x(n) =1

N0

N01k=0

X(k)e j2k

N0n FT X() = 1

N0

N01k=0

X(k) (

kN0

)

x(n) = repN0 [xg(n)]FT X() = 1

N0

N01k=0

Xg(

kN0

)(

kN0

)X(k) = Xg

(k

N0

)Nota: x(n) periodico di periodo N0 = 1/0.

19. Trasformate TD notevoli:

Segnale x(n) Trasformata X()

(n) 11 ()

u(n)12

()+ 11 e j2

sgn(n) 21 e j2

RN(n) DN()

B2N(n)1ND2N()e

j2

sinc(2cn), 0 < c < 121

2crep1

[rect

(

2c

)]sinc2(2cn), 0 < c < 12

12c

rep1[(

2c

)]anu(n), |a|< 1 1

1ae j2

(n+1)anu(n), |a|< 1 1(1ae j2)2

a|n|, |a|< 1 1a2

1+a22a cos(2)e j20n (0)cos(20n+0)

12

e j0 (0)+ 12 e j0 ( +0)

sin(20n+0)12 j e

j0 (0) 12 j e j0 ( +0)

+

k=

(n kN0), N0 N 1N0N01k=0

(

kN0

)=

1N0

+

k=

(

kN0

)

Conversione A/D e D/A

Teorema del campionamento o teorema di Shannon

Sia xa(t)FT Xa( f ) un segnale a TC, e siano x(n) = xa(nTc) i suoi campioni presi con passo di

campionamento Tc. Se:


(i) il segnale xa(t) a banda rigorosamente limitata, ovvero Xa( f ) = 0, | f | W ;(ii) la frequenza di campionamento fc = 1/Tc soddisfa la condizione di Nyquist fc 2W = fc,min

(frequenza di Nyquist);allora il segnale xa(t) perfettamente rappresentato dai suoi campioni x(n) = xa(nTc), e si ha

xa(t) =+

n=

xa(nTc)sinc(

tnTcTc

)(serie di Shannon)

Quantizzazione

Sia Q un quantizzatore simmetrico con b bit e M = 2b livelli, senza restituzione dello zero, con passodi quantizzazione = 2Xmax/M, e sia x(n) il segnale di ingresso con potenza Px = x2rms. Il rapportosegnale-rumore (SNR) di quantizzazione (espresso in dB) dato da:

SNRdB = 10log10(

12Px2

)= 6.02b20log10 kc +4.77 ,

dove kc= Xmax/xrms il fattore di carico.

Spazio per formule personali

Parte 2: probabilit e variabili aleatorie

Probabilita elementare

Assiomi di Kolmogorov

Assegnato uno spazio campione ed un -campo S di eventi di , si definisce probabilit unafunzione P definita in S, a valori reali non negativi, tale da soddisfare i seguenti tre assiomi (assiomidi Kolmogorov):

I. P(A) 0 per ogni A S (assioma di non negativit);II. P() = 1 (assioma di normalizzazione);

III. Se {An}n=1 una successione di eventi mutuamente esclusivi (AiA j = ,i = j) di S, alloraP(

n=1 An) = n=1 P(An) (assioma di numerabile additivit).

Propriet elementari della probabilit

1. P() = 0.2. AB = P(AB) = P(A)+P(B) (finita additivit).3. P(A) = 1P(A).4. P(AB) = P(A)+P(B)P(AB).5. P(AB) P(A)+P(B) (disuguaglianza di Boole).6. B A P(B) P(A).7. P(A) 1.

Probabilit condizionale

Definizione

P(A|B) = P(AB)P(B)

P(B|A) = P(BA)P(A)

Legge della probabilit composta

P(AB) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)


Regola della catena

P(A1A2 An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1,A2) P(An|A1,A2, . . . ,An1)

Teorema della probabilit totale

Siano A1,A2, . . . ,An eventi mutuamente esclusivi (AiA j = , i = j) e sia Bni=1 Ai. Si ha:P(B) =

n

i=1

P(B|Ai)P(Ai)

Teorema di Bayes

Siano A1,A2, . . . ,An eventi mutuamente esclusivi (AiA j = , i = j) e sia Bni=1 Ai. Si ha:P(Ai|B) = P(B|Ai)P(Ai)n

i=1

P(B|Ai)P(Ai)

Indipendenza

Indipendenza tra due eventi

Gli eventi A e B si dicono indipendenti se

P(AB) = P(A)P(B)

Indipendenza a coppie

Gli eventi {Ai}ni=1 si dicono indipendenti a coppie se

P(AiA j) = P(Ai)P(A j), i = j

Indipendenza tra tre eventi

Gli eventi A, B e C si dicono indipendenti se:

1. sono indipendenti a coppie, cio P(AB) = P(A)P(B), P(AC) = P(A)P(C), P(BC) = P(B)P(C);2. P(ABC) = P(A)P(B)P(C).

Indipendenza tra n eventi

Gli eventi {Ai}ni=1 si dicono indipendenti se

P

(iI

Ai

)=

iIP(Ai)

per ogni insieme I {1,2, . . . ,n} di indici diversi.


Indipendenza condizionale tra eventiGli eventi A e B si dicono condizionalmente indipendenti, dato levento C, se

P(AB|C) = P(A|C)P(B|C)

Variabile aleatoria

Definizione

Dato uno spazio di probabilit (,S,P), una variabile aleatoria (v.a.) X una funzione definita in ed a valori in X R = R{,+}, tale che

1. {X x} un evento, x R;2. P({X =+}) = P({X =}) = 0.

Funzione di distribuzione cumulativa (CDF)La funzione di distribuzione cumulativa (CDF) di una v.a. X :

F(x) = P(X x), x R

Propriet della CDF1. F(+) = 1, F() = 0.2. F(x) una funzione monotona crescente, ovvero x1 < x2 F(x1) F(x2).3. P(X > x) = 1F(x).4. F(x) continua da destra, ovvero F(x+) = F(x).5. P(x1 < X x2) = F(x2)F(x1).6. P(X = x) = F(x)F(x).7. P(x1 X x2) = F(x2)F(x1 ).8. P(x1 X < x2) = F(x2 )F(x1 ).9. P(x1 < X < x2) = F(x2 )F(x1).

Funzione densit di probabilit (pdf)La funzione densit di probabilit (pdf) di una v.a. X :

f (x) = ddxF(x)

Propriet della pdf1. f (x) 0.2. F(x) =

x

f (y)dy.

3.

f (x)dx = 1 (propriet di normalizzazione).

4. P(x1 < X x2) = F(x2)F(x1) = x2

x1f (x)dx.

5. X continua, con pdf f (x) continua P(x X x+x) f (x)x, per x 1.


Funzione distribuzione di probabilit (DF)La funzione distribuzione di probabilit (DF) di una v.a. discreta X a valori in X :

p(x) = P(X = x) , x X

Propriet della DF1. p(x) 0.2. F(x) =

uX,uxp(u).

3. uX

p(u) = 1.

4. P(x1 < X x2) = u]x1,x2]X

p(u).

Media di una variabile aleatoria

La media = E(X) di una v.a. X con pdf f (x) :

= E(X) =

x f (x)dx

se tale integrale esiste finito.

Propriet della media1. Sia X una v.a. con pdf f (x). Se la media E(X) esiste, e se esiste a R tale che f (a+ x) =

f (a x), x R, allora E(X) = a.2. Se X una v.a. discreta, che assume i valori xi X con probabilit p(xi), allora

E(X) = xiX

xi p(xi)

3. Teorema fondamentale della media: Sia Y = g(X) una trasformazione della v.a. X avente pdffX(x), si ha:

E(Y ) = E[g(X)] = +

g(x) fX(x)dx

se tale integrale esiste finito. Per una v.a. discreta X , che assume i valori xi X con probabilitp(xi), il teorema si scrive

E(Y ) = E[g(X)] = xiX

g(xi) p(xi)

4. Siano g() e h() funzioni reali, e siano a e b costanti reali. Si ha:E[ag(X)+bh(X)] = aE[g(X)]+bE[h(X)] .

In particolare, si ha la linearit della media scegliendo g(X) = X e h(X) = 1:E(aX +b) = aE(X)+b ,

5. Se g(x) 0 per ogni x, allora E[g(X)] 0.6. Se g1(x) g2(x) per ogni x, allora E[g1(X)] E[g2(X)].7. Se a g(x) b per ogni x, allora a E[g(X)] b.


Varianza e deviazione standard di una variabile aleatoria

La varianza 2 = Var(X) 0 di una v.a. X con media = E(X) :

2 = Var(X) = E[(X)2] = +

(x)2 f (x)dx

se tale integrale esiste finito. La radice quadrata =

Var(X) 0 della varianza prende il nome dideviazione standard della variabile aleatoria X ;

Valor quadratico medio e valore efficace di una variabile aleatoria

Il valore quadratico medio E(X2) 0 di una v.a. X :

E(X2) = +

x2 f (x)dx

se tale integrale esiste finito. La radice quadrata xrms=

E(X2) 0 del valore quadratico medioprende il nome di valore efficace della variabile aleatoria X ,

Propriet della varianza e del valor quadratico medio

1. Se X una v.a. discreta, con media = E(X), che assume i valori xi X con probabilit p(xi),allora

E(X2) = xiX

x2i p(xi) , Var(X) = xiX

p(xi)(xi)2

2. Var(X) = E(X2)E2(X).3. Var(aX +b) = a2 Var(X).

Momenti di una variabile aleatoria

Il momento di ordine n N di una v.a. X :

n= E(Xn) =

xn f (x)dx

se tale integrale esiste finito [N.B. 1 = E(X) = , 2 = E(X2)].

Momenti centrali di una variabile aleatoria

Il momento centrale di ordine n N di una v.a. X con media = E(X) :

n= E[(X)n] =

(x)n f (x)dx

se tale integrale esiste finito. [N.B. 1 = 0, 2 = Var(X) = 2].


Relazioni tra momenti e momenti centrali

n =n

k=0

(n

k

)k()nk , n N

n =n

k=0

(n

k

)k nk , n N

Disuguaglianze notevoli1. Disuguaglianza di Markov: Sia Y una v.a. positiva, cio tale che fY (y) 0 per ogni y < 0, e

con media E(Y ) finita. Si ha:

P(Y ) E(Y )

per ogni > 0.

2. Disuguaglianza di Bienaym: Sia X una v.a. e sia b un numero reale. Si ha:

P(|Xb| ) E(|Xb|n)

nper ogni n N ed > 0.

3. Disuguaglianza di Chebishev: Sia X una v.a. con media e varianza 2 finite. Si ha:

P(|X| ) 2

2per ogni > 0.

Variabili aleatorie discrete notevoli

Nome DF Media Varianza Momenti e momenti centralidella distribuzione n

= E(Xn); n

= E[(X)n]

Uniforme discreta p(k) = 1NN+1

2N21

12 3 =N(N+1)2

4k = 1,2, . . . ,N 4 = (N+1)(2N+1)(3N

2+3N1)30

Bernoulli p(k) ={

q , k = 0p , k = 1

p pq n = p, n NX Bern(p) p [0,1], q = 1 pBinomiale p(k) =

(nk)

pk qnk np npq 3 = npq(q p)X B(n, p) k = 0,1, . . . ,n, 4 = 3n2 p2q2 +npq(16pq)

p [0,1], q = 1 pBinomiale negativa p(k) =

(r+k1

k)

prqk rprqp2 3 =

r(q+q2)p3

X NB(r, p) k N0, r N, 4 = r(q+(3r+4)q2+q3

p4

p [0,1], q = 1 pGeometrica p(k) = pqk1 1p

qp2 3 =

q+q2p2

X Geom(p) k N, 4 = q+7q2+q3

p4

p [0,1], q = 1 pPoisson p(k) = kk! e

3 = X Poiss( ) k N0, 4 = +3 2

> 0


Variabili aleatorie continue notevoli

Nome pdf Media Varianza Momenti e momenti centralidella distribuzione n

= E(Xn); n

= E[(X)n]

Uniforme f (x) ={

1ba , x [a,b]0, altrove

a+b2

(ba)212 n =

{0, n dispari(ba)n

2n(n+1) , n pariX U(a,b) < a < b < +Gaussiana o normale f (x) = 1

2 e (x)2

22 2 n ={

0, n disparin(n1)!!, n pari

X N( ,) R, > 0,Esponenziale f (x) = ex u(x) 1 1 2 n = n! nX Exp( ) > 0,Laplace f (x) = 2 e |x| 0 2 2 n =

{0, n disparin! n , n pari

X Lap( ) > 0,Rayleigh f (x) = 2xb e

x2b u(x)

b4 b

(1 4

)n = bn/2 n2

(n2)

X Rayleigh(b) b > 0, (x) funzione gamma euleriana



CDF della v.a. gaussiana e funzione G(x)

Se X N(,), allora F(x) = G( x ), con G(x) = 12 x

eu22 du.

1. G() = 0, G(+) = 1, G(0) = 12 .2. G(x) una funzione monotona strettamente crescente.3. G(x) = 1G(x).4. G(x) = 12

[1+ erf

(x2

)], con erf(x) = 2

x0

eu2 du (funzione di errore).

Tabella dei valori della funzione G(x)

x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5159 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7518 0.75490.7 0.7580 0.7612 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8016 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8380

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8718 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88361.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.90151.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9083 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.93191.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9430 0.94411.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9485 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9509 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9758 0.9762 0.9767

2.0 0.9773 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.98172.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.98572.2 0.9861 0.9865 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.98902.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.99162.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.99362.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.99522.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.99642.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.99742.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9989 0.9980 0.9980 0.99812.9 0.9981 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9986 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.99903.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.99933.2 0.9993 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995

Per valori di x < 0, si usi la relazione G(x) = 1G(x), per valori di x > 3.29 si usi lapprossimazioneG(x) 1 1

x

2 e x22 .

Parte 3: formule matematiche notevoli

Fattoriale e coefficiente binomiale

n! = n(n1)(n2) 3 2 10! = 1 , 1! = 1(

n

k

)=

n(n1) (n k+2)(n k+1)k! =

n!k!(n k)!(

n

0

)= 1 ,

(n

1

)= n ,

(n

k

)=(

n

n k)

,

(n

k

)+(

n

k+1

)=(

n+1k+1

)

Sommatorie di potenze di interiN

n=1

n =N(N +1)

2,

N

n=1

n2 =N(N +1)(2N +1)

6N

n=1

n3 =[

N(N +1)2

]2,

N

n=1

n4 =N(N +1)(2N +1)(3N2 +3N1)

30

Somma della serie geometrica+

i=0

zi =1

1 z , z C, |z|< 1

Somma di un numero finito di termini della serie geometricaN2

k=N1zk =

zN1 zN2+11 z , z C, N2 N1

Ponendo N1 = 0 ed N2 = N1 si ha:N1k=0

zk =1 zN1 z , z C{0}, N N

Formule di Eulero

cos(x) =e jx + e jx

2, sin(x) = e

jx e jx2 j , x R

formulario segnali sistemi prob ver1.0

Documents