Termodinamica

Relazioni di Maxwell:

(∂T

∂v

)s

= −(∂P

∂s

)v

,

(∂T

∂P

)s

=

(∂v

∂s

)P

,

(∂s

∂v

)T

=

(∂P

∂T

)v

,

(∂s

∂P

)T

= −(∂v

∂T

)P

Relazione di Reciprocita:

(∂e

∂v

)T

= T

(∂P

∂T

)v

− P,

Derivata fondamentale della gasdinamica: Γ =c4

2v3

(∂2v

∂P 2

)s

Gas ideale politropico: s(e, v) = s0 +R ln[(e/e0)

1γ−1 (v/v0)

], e(s, v) = e0

exp [(γ − 1)(s− s0)/R]

(v/v0)γ−1, ΓPIG =

γ + 1

2

Gas di van der Waals: P (T, v) =RT

v − b− a

v2, Pc =

a

27b2, Tc =

8a

27bR, vc = 3b

Acustica

Intensita: Φe =c3

ρ0T

∫ T

0

ρ2 dt, ∆ = 10 log10

ΦeΦe,ref

, Φe,ref = 10−12W/m2

Correnti stazionarie isentropiche di gas ideale politropico

T t

T=

[1 +

γ − 1

2M2

],

P t

P=

[1 +

γ − 1

2M2

] γγ−1

,ρt

ρ=

[1 +

γ − 1

2M2

] 1γ−1

,

Onde d’urto

Urto obliquo: ML,n = ML sinβ, MR,n = MRsin (β − θ), tan θ = 2 cotβ

[M2

L sin2 β − 1

M2L (γ + cos 2β) + 2

]

Gas Ideale Politropico:PR

PL

=

γ+1γ−1 − vR

vLγ+1γ−1

vRvL

− 1,

ρR

ρL

=(γ + 1)M2

L,n

(γ − 1)M2L,n + 2

, M2R,n =

M2L,n + 2

γ−12γγ−1M

2L,n − 1

(P t

R

P tL

)γ−1=

[(γ+1)M2

L

(γ−1)M2L+2

]γ1 + 2γ

γ+1 (M2L − 1)

,wR − wL

cL= − 2

γ + 1

[ML,n − 1

ML,n

]PR − PL

PL

=2γ

γ + 1

(M2

L,n − 1),

vR − vL

vL

= − 2

γ + 1

[1 − 1

M2L,n

]Correnti stazionarie non viscose quasi-monodimensionale

Corrente isentropica :A

A0=M0

M

[1 + γ−1

2 M2

1 + γ−12 M2

0

] γ+12(γ−1)

Urto nel divergente: M2e = −

1 −√

1 + 2β2(γ − 1)

γ − 1, β =

P t

Pa

Ag

Ae

[2

γ + 1

] γ+12(γ−1)

Correnti stazionarie non viscose bidimensionali

Correnti transoniche: (K − φξ)φξξ + φηη = 0, K = (1 −M2∞)M

− 43∞ (2Γ∞s)

− 23

Metodo di Sauer: f0(x) = 12αx

2, α =√

1/(2Γ∞ rtyt), ε = xt +1

3Γ∞αy

2t

Funzione di Prandtl-Meyer: ν(M) =

√γ + 1

γ − 1tan−1

[√γ − 1

γ + 1(M2 − 1)

]− tan−1

[√M2 − 1

], vlim =

Π

2

[√γ + 1

γ − 1− 1

]Correnti di Fanno

4fLMAX

D=

1 −M2

γM2+γ + 1

2γln

(γ + 1)M2

2 + (γ − 1)M2,

P

Ps=

1

M

[2

γ + 1

(1 +

γ − 1

2M2

)]− 12