Frmulas y tablas estadsticasMarjorie Mora Valverde

(GLFLyQDSUREDGDSRUOD&RPLVLyQ(GLWRULDOGHOD8QLYHUVLGDGGH&RVWD5LFD3ULPHUDHGLFLyQ

'LVHxRGHSRUWDGD(OLVD*LDFRPLQ9

(GLWRULDO8QLYHUVLGDGGH&RVWD5LFD&LXGDG8QLYHUVLWDULD5RGULJR)DFLR6DQ-RVp&RVWD5LFD$SGR7HO)D[(PDLODGPLQLVWUDFLRQ#HGLWRULDOXFUDFFU3iJLQDZHEZZZHGLWRULDOXFUDFFU

3URKLELGDODUHSURGXFFLyQWRWDORSDUFLDO7RGRVORVGHUHFKRVUHVHUYDGRV+HFKRHOGHSyVLWRGHOH\

)I )yUPXODV \ WDEODV HVWDGLVWLFDV 0DUMRULH0RUD

9DOYHUGH FRPSOLODGRUD HG 6DQ -RVp&5(GLWRULDO8&5

S

,6%1

(67$'67,&$&8$'5267$%/$6(7& , 0RUD 9DOYHUGH 0DUMRULH FRPS

&,3 &&6,%',8&5

#ONTENIDO

0RESENTACIN

)&RMULASESTADSTICAS -EDIDASDEPOSICIN -EDIDASDEVARIABILIDAD 6ARIABILIDADDEVARIABLESDICOTMICAS -ODELOSDECRECIMIENTO NDICES 0ROBABILIDADES $ISTRIBUCIONESDEPROBABILIDADES %STADISTICOSPARALASPRUEBASDEHIPTESIS %STADSTICOSDEASOCIACIN %STADSTICOSDEREGRESINLINEALSIMPLE -UESTREOSIMPLEALAZARESTIMACINDELPROMEDIO@YLAPROPORCIN@PDELAPOBLACIN -UESTREOALEATORIOESTRATIlCADOCONMUESTREOSIMPLEALAZARDENTRODELOSESTRATOS -UESTREOALEATORIODECONGLOMERADOS !NLISISDEVARIANZA 0RUEBASNOPARAMTRICAS

))4ABLASESTADSTICAS 4ABLA.MEROSALEATORIOS 4ABLA0ROBABILIDADESACUMULADASDELADISTRIBUCINBINOMIAL 4ABLA0ROBABILIDADESACUMULADASDELADISTRIBUCINDEPOISSON 4ABLA0ROBABILIDADESSIMPLESYACUMULADASDELADISTRIBUCINHIPERGEOMTRICA 4ABLA0ROBABILIDADESACUMULADASDELADISTRIBUCINDISTRIBUCINNORMALESTANDAR 4ABLA0ROBABILIDADESACUMULADASDELADISTRIBUCINWDESTUDENT 4ABLA0ROBABILIDADESACUMULADASDELADISTRIBUCINr 4ABLA$ISTRIBUCIN& 4ABLA#ORRELACINDERANGOSDESPEARMAN 4ABLA6ALORESCRTICOSPARAELCOElCIENTEDECORRELACIONDEPEARSONhRv

"IBLIOGRAFA

!CERCADELAAUTORA

Presentacin

El presente documento comprende las Frmulas y Tablas Estadsticas usadas, con ms frecuencia, en los cursos de Estadstica que imparte la Escuela de Estadstica de la Universidad de Costa Rica. Est dirigido a los estudiantes matriculados en los cursos de Estadstica General I y II, Estadstica Introductoria, Estadstica para Biociencias, estudiantes de Ciencias Sociales y Principios de Estadstica, y en general, para los cursos bsicos de Estadstica Descriptiva e Inferencial.

Su objetivo principal es facilitar la comprensin y el aprendizaje de los estudiantes en la aplicacin de las tcnicas estadsticas, poniendo a disposicin de estos y de los profesores, en un solo documento y de la manera ms simple, un grupo de frmulas estadsticas para orientar el clculo de las medidas cuantitativas para el anlisis de conjuntos de datos y de un grupo de tablas con las distribuciones de probabilidades ms usadas.

Este documento ha sido elaborado por la profesora Marjorie Mora Valverde, con la participacin del profesor Rger Bonilla Carrin en la elaboracin de la mayora de las tablas de las distribuciones de probabilidades, ambos profesores de la Escuela de Estadstica de la Universidad de Costa Rica. Esta versin ha sido revisada y corregida, a partir de las observaciones de las profesoras Ligia Moya y Yolanda Huete, y los profesores Ramn Luis Bolaos y Juan Antonio Rodrguez, a quienes se les agradece sus valiosas recomendaciones. Un reconocimiento muy especial para los asistentes de la Unidad de Servicios Estadsticos de la Escuela de Estadstica (USES), por el trabajo realizado en la presentacin de las frmulas.

Las tablas estadsticas de este documento son de dominio pblico y fueron producidas, usando programacin en R+ con programas escritos por el profesor R. Bonilla.

Se insta a los profesores y estudiantes que consulten este manual a enviar sus sugerencias y recomendaciones a la profesora Marjorie Mora (mmmorav@cariari.ucr.ac.cr).

Escuela de Estadstica, Universidad de Costa Rica.

0(','$6'(326,&,21

'DWRVVLQDJUXSDU 'DWRVDJUXSDGRV0RGD 0R YDORUPiVIUHFXHQWH

0HGLDQD

&

Q0H

WpUPLQR

Q Q~PHURGHREVHUYDFLRQHV

3HUFHQWLO

&

QP3P

WpUPLQR

P SHUFHQWLOGHLQWHUpV P ddQ Q~PHURGHREVHUYDFLRQHV3URPHGLRJHRPpWULFR

QQ

J [[[[[ GRQGH

Q SDUHVGHSHUtRGRV

L[ PRQWRGHOSHUtRGRGHHVWXGLRWPRQWRGHOSHUtRGRDQWHULRUW

0HGLDDULWPpWLFD3REODFLyQ0XHVWUD

1

[1

LL

PQ

[;

Q

LL

0HGLDDULWPpWLFDSRQGHUDGD

N

LL

N

LLL

S

S

S[;

0HGLDDULWPpWLFD

1

I[.

LLL

P Q

I[[

N

LLL

.

LLIQ

VL

L//[ SXQWRPHGLRGHODFODVHL

/L OtPLWHLQIHULRUGHODFODVH/VOtPLWHVXSHULRUGHODFODVHIL Q~PHURGHREVHUYDFLRQHVGHODFODVHLN Q~PHURGHFODVHV

0RGD

PRGG GPRR ,/0 DPRPR IIG SPRPR IIG

PR/ OtPLWHLQIHULRUGHODFODVHPRGDOPRI IUHFXHQFLDDEVROXWDGHODFODVHPRGDODPRI IUHFXHQFLDDEVROXWDGHODFODVH

DQWHULRUDODFODVHPRGDO

SPRI IUHFXHQFLDDEVROXWDGHODFODVHSRVWHULRUDODFODVHPRGDO

PR, WDPDxRGHOLQWHUYDORGHODFODVHPRGDO

'DWRVDJUXSDGRV

0HGLDQD

PHGPHG

DPHG

PHGH ,I

)Q

/0

PHG/ OtPLWHLQIHULRUGHODFODVHPHGLDQDDPHG) IUHFXHQFLDDEVROXWDDFXPXODGD

DQWHULRUDODFODVHPHGLDQD

PHGI IUHFXHQFLDDEVROXWDVLPSOHGHODFODVHPHGLDQD

PHG, WDPDxRGHOLQWHUYDORGHODFODVHPHGLDQD

Q WRWDOGHGDWRV

3HUFHQWLO

SS

DS

SP ,I

)QP

/3

S/ OtPLWHLQIHULRUGHODFODVHSHUFHQWLO

QP XELFDODFODVHGHOSHUFHQWLOGH

LQWHUpV

DS) IUHFXHQFLDDFXPXODGDDEVROXWDDQWHULRUDODFODVHSHUFHQWLO

SI IUHFXHQFLDDEVROXWDGHODFODVHGHOSHUFHQWLO

S, WDPDxRGHOLQWHUYDORGHODFODVHGHOSHUFHQWLO

,QWHUYDORLQWHUFXDUWLO

33

0(','$6'(9$5,$%,/,'$'

9DULDELOLGDGGHODSREODFLyQ9DULDQFLDSDUDGDWRVVLQDJUXSDU

P V1

LL[ [1

V

1

L

1

LL

L[ 1

[[

1

'HVYLDFLyQHVWiQGDU

[[ VV

9DULDQFLDSDUDGDWRVDJUXSDGRV

L

.

LL[ I[1

PV

.

L

.

LLL

LL[ 1

I[I[

1

V

L[ SXQWRPHGLRGHODFODVHL

LI Q~PHURGHREVHUYDFLRQHVGHODFODVHL

9DULDELOLGDGGHODPXHVWUD'DWRVVLQDJUXSDU

Q

LL[ [[Q

6

Q

L

Q

LL

L[ Q

[[

Q6

'HVYLDFLyQHVWiQGDU[[ 66

'DWRVDJUXSDGRV

L

N

LL[ I[[Q

6

N

L

N

LLL

LL[ Q

I[I[

Q6

'HVYLDFLyQPHGLD'DWRVVLQDJUXSDU

Q

LL [[Q

0'

'DWRVDJUXSDGRV

L

N

LL I[[Q

0'

9DULDQFLDHQWUHJUXSRV

N

LLLH 11

PPV

9DULDQFLDGHQWURGHJUXSRV

N

LLLG 11 VV

&RHILFLHQWHGHYDULDFLyQ3REODFLyQ

PV

[&9

0XHVWUD

[V&9 [

9$5,$%,/,'$''(9$5,$%/(6',&270,&$6

3REODFLyQ

1

[3

1

LL

9DULDQFLD 43

'HVYLDFLyQHVWiQGDU 43

&RHILFLHQWHGHYDULDFLyQ

343

&9

GRQGH3 SUREDELOLGDGGHp[LWR4 3SUREDELOLGDGGHIUDFDVR

0XHVWUD

Q

[S

Q

LL

9DULDQFLD TS

'HVYLDFLyQHVWiQGDU TS

(OIDFWRUGHFRUUHFFLyQQQVyORVHXVDHQPXHVWUDVSHTXHxDVFXDQGRQRHVPX\FHUFDQRD |

&RHILFLHQWHGHYDULDFLyQ

STS

&9

GRQGH

S SUREDELOLGDGGHp[LWRT SSUREDELOLGDGGHIUDFDVR

02'(/26'(&5(&,0,(172

0RGHORDULWPpWLFR 0RGHORJHRPpWULFR

R

RWRW 1

11W

UWU11

W

R

WWRW 1

1UU11

0RGHORH[SRQHQFLDO

R

WUWRW 1

1W

UH11 OQ GRQGH

1RYDORULQLFLDO1WYDORUILQDOWSHUtRGRUWDVDGHFUHFLPLHQWR

HEDVHGHOORJDULWPRQDWXUDOOQ

,1',&(6

,QGLFHVQRSRQGHUDGRV5HODWLYRVLPSOH

LR

LW

33

,56

$JUHJDGRVLPSOHGHSUHFLRV

N

LLR

N

LLW

3

3,$6

3URPHGLRGHUHODWLYRVVLPSOHVGHSUHFLRV

N

L LR

LW

33

N,356

LW3 3UHFLRGHXQDUWtFXORHQHODxRGHLQWHUpV

LR3 3UHFLRGHXQDUWtFXORHQHODxREDVHL8QDUWtFXORW$xRGHLQWHUpVN 1~PHURGHDUWtFXORV

)yUPXODSDUDGHIODWDU

9DORUGHIODWDGR 9DORUQRPLQDOGHW,QGLFHGH3UHFLRVGHW

WSHUtRGRGHHVWXGLRDxRVPHVHV

,QGLFHVSRQGHUDGRV,QGLFHVGHSUHFLRV ,QGLFHVGHFDQWLGDGHV/DVSH\UHV

N

LLRLR

N

LLRLW

43

43,3/

3DDVFKH

N

LLWLR

N

LLWLW

43

43,33

'RQGH3LWSUHFLRGHXQDUWtFXORHQHODxRGHLQWHUpV3LRSUHFLRGHXQDUWtFXORHQHODxREDVH

/DVSH\UHV

N

LLRLR

N

LLWLR

43

43,4/

3DDVFKH

N

LLRLW

N

LLWLW

43

43,43

'RQGH4LRFDQWLGDGGHODUWtFXORHQHODxREDVH4LWFDQWLGDGGHODUWtFXORHQHODxRGHLQWHUpV

352%$%,/,'$'(6

6XPDGHSUREDELOLGDGHV &RPELQDFLRQHVQRLQWHUHVDHORUGHQ

$\%3%3$3$R%3 %3$3$R%3 VLORVHYHQWRV$\

%VRQPXWXDPHQWHH[FOX\HQWHV

UQU

Q&UQ

0XOWLSOLFDFLyQGHSUREDELOLGDGHV 3HUPXWDFLRQHVLQWHUHVDHORUGHQ

$%3$3$\%3

$3

$\%3$%3

6LORVHYHQWRV$\%VRQLQGHSHQGLHQWHV

HQWRQFHV %3$3$\%3

LQ HOHPHQWRVLJXDOHV

QUQ QQQ

Q3

VLQHOHPHQWRVLJXDOHV UQ

Q3UQ

3URSLHGDGFRPSOHPHQWDULD

$3$3 7HRUHPDGH%D\HV

%$3%3$%3$3$%3$3\$%3$\%3

$\%3$%3

',675,%8&,21(6'(352%$%,/,'$'(6

9DULDEOHDOHDWRULDGLVFUHWD9DORUHVSHUDGRRPHGLDGHXQDYDULDEOHDOHDWRULDGLVFUHWD

LL [3[[( P

'HVYLDFLyQHVWiQGDUGHXQDYDULDEOHDOHDWRULDGLVFUHWD

LL [3[ PV

'LVWULEXFLyQELQRPLDO

[Q[ TS[[Q

Q[3

Q[

3URPHGLR SQ P

'HVYLDFLyQHVWiQGDU TSQ V

'LVWULEXFLyQGH3RLVVRQ

[H[3

[PP

SQ PV

Q[ GRQGHH

$SUR[LPDFLyQDODELQRPLDOSRU3RLVVRQ

[QSH[3

[QS

6LQJUDQGH3PX\SHTXHxDWDOTXHQS

'LVWULEXFLyQKLSHUJHRPpWULFD

> @ > @Q1

[QU1U

&&&[3 [

1WDPDxRGHODSREODFLyQ

UQ~PHURGHp[LWRVHQODSREODFLyQ

QWDPDxRGHODPXHVWUD

[Q~PHURGHp[LWRVHQODPXHVWUD

'LVWULEXFLyQ1RUPDO(VWiQGDU8QDYDULDEOH [ 3URPHGLR

VP [=

Q

[=[VP

$SUR[LPDFLyQDODELQRPLDOSRUODQRUPDO(VWiQGDU

QSTQS[=

6LQHVJUDQGH3FHUFDQDDWDOTXHQS!

8

8. ESTADISTICOS PARA LAS PRUEBAS DE HIPTESIS

Para el promedio Para una poblacinVariancia de la poblacin conocida

nx

xcZ

o

VP

Variancia de la poblacin desconocida y n 30, para una poblacin con distribucin normal

xxS

xcT

oP

)1( nTTt grados de libertad (g.l.)

Para dos poblaciones: muestras independientes

Variancia de la poblacin conocida

2

22

1

21

21

nn

xxZc VV

Variancia de la poblacin desconocida y n1 30 y/o n2 30, para poblaciones con distribucin normal

2

2

1

2

21

n

s

n

s

xxT

pp

c

Donde

2)1()1(

21

222

2112

nn

SnSnS p

(bajo el supuesto VV 2221 ))2( 21 nnTTt grados de libertad

Para la proporcin P Para una poblacin

n

QP

PpcZ

oo

o

Po: corresponde al valor de Ho Qo: 1- Pop: estimado con datos de la muestra

Para dos poblaciones

21

2211

21

nn

Z

qpqp

ppc

Ho: P1 P2 = 0

pq

nn

pnpnp

n

qp

n

qp

ppZ c

1

21

2211

21

21

Fe de erratas

Pgina 8: ESTADISTICOS PARA LAS PRUEBAS DE HIPTESIS,

Variancia de la poblacin desconocida y n 30, para una poblacin con distribucin normal

Lase correctamente:

nS

xTx

oc

=

Pgina 10: Coeficiente de determinacin

Lase correctamente:

( ) ( )

=

22

222 2

nYYn

XX iiiibr

2EVHUYDFLRQHVSDUHDGDV +RPRJHQHLGDGSDUDGRVRPiVSREODFLRQHV

Q6

G7G

GF

P

W7 FRQQ JUDGRVGHOLEHUWDGGRQGH

Q

GG

Q

LL

QHVHOQ~PHURGHSDUHV

Q

GG

Q6

Q

LLQ

LLG

I

L

F

M LM

LMLMF (

(2

F

GRQGH 111

( MLLM

1LVXPDGHYDORUHVGHODILODL1MVXPDGHYDORUHVGHODFROXPQDM

F W IFJUDGRVGHOLEHUWDG

IWRWDOGHILODVFWRWDOGHFROXPQDV

(67$'67,&26'($62&,$&,1

&RHILFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOVLPSOHU

3UXHEDGHKLSyWHVLVSDUDU

LLLL

LLLL

10

10

10. ESTADSTICOS DE REGRESIN LINEAL SIMPLE

Recta de mejor ajuste Intervalos de prediccinBXAY , bxay

Coeficiente de regresin lineal

SCx

SCxy

XXn

iYXYXn

b

ii

iii

2

2

21

22

1

XnXXXSCn

ii

n

iix

Constante de regresin xbya

Para un valor de Y dado Xo

yi STyL r 2/ D2/DT con n-2 grados de libertad

SCx

XX

nSeSy

21

1 R

Error estndar de estimacin

2

1 1 1

2

n

YXbYaYSe

n

i

n

i

n

iiiii

Para el promedio de dado XoCoeficiente de determinacin

2222

n

XX iibr

22 rr = SCySCxSCxy 2

SCtotal

nSCregresi

YY

YY

r

i

i

2

2

2

2

2

x

e

VV

yi STyL r 2/ D2/DT con n-2 grados de libertad

SCx

XX

nSeSy

21 R

Y : valor observado de la variable dependiente : valor estimado de yY : promedio de yX : valor observado de la variable independienteXo: valor de X para el cual se estima n: nmero de pares observados

Coeficiente de regresin E

b

oc s

bT

E x

eb

sc

ss

2

)( 2

n

yYs iie CME

b: coeficiente de regresin de la muestra Eo: coeficiente de regresin de la poblacin Sb: error estndar del coeficiente de regresin

Se: error estndar de estimacin. Dispersin de los valores de Y alrededor de su media. CME: cuadrado medio de error

Fe de erratas

Pgina 8: ESTADISTICOS PARA LAS PRUEBAS DE HIPTESIS,

Variancia de la poblacin desconocida y n 30, para una poblacin con distribucin normal

Lase correctamente:

nS

xTx

oc

=

Pgina 10: Coeficiente de determinacin

Lase correctamente:

( ) ( )

=

22

222 2

nYYn

XX iiiibr

08(675(26,03/($/$=$5HVWLPDFLyQGHOSURPHGLR\ODSURSRUFLyQ3GHODSREODFLyQ

&iOFXORGHOWDPDxRGHODPXHVWUD3REODFLyQILQLWDRPXHVWUHRVLPSOHDO

D]DUVLQUHHPSOD]R3REODFLyQLQILQLWDRPXHVWUHRVLPSOHDO

D]DUFRQUHHPSOD]R

3DUDHVWLPDU

G=

1

G=

Q[

[

V

V

D

D

G=Q [VD

GHUURUGHPXHVWUHR Q=G [VD

3DUDHVWLPDU3

G43=

1

G43=

Q

D

D

&RQ3\4FRQRFLGDV

G34=

Q D

9DULDQFLDGHOSURPHGLRHQPXHVWUHRVLPSOHDOD]DU3REODFLyQILQLWD 3REODFLyQLQILQLWD

Q1Q1 [

;

VV

1Q1

Q[

;;

VVV

6LQRVHFRQRFHV[VHHVWLPDFRQ6[

Q[

;

VV

;[

VV 7DOTXH

;

[QVV

,QWHUYDORVGHFRQILDQ]DSDUDHVWLPDU3REODFLyQILQLWDRPXHVWUHRVLPSOHDO

D]DUVLQUHHPSOD]R3REODFLyQLQILQLWDRPXHVWUHRVLPSOHDO

D]DUFRQUHHPSOD]R

3DUDHVWLPDU 9DULDQFLDGHODSREODFLyQFRQRFLGD 9DULDQFLDGHODSREODFLyQFRQRFLGD

Q=;/ [L VD r Q

[1

Q1=;/LV

D r

9DULDQFLDGHODSREODFLyQGHVFRQRFLGD

DQ!

Q6

1Q1=;/ [L

r D

9DULDQFLDGHODSREODFLyQGHVFRQRFLGD

EQ\[aQRUPDOPHQWH

Q6

1Q17;/ [L

r D

D7 FRQQ JUDGRVGHOLEHUWDG

D Q!

Q6=;/ [L r D

EQ\[aQRUPDOPHQWH

Q67;/ [L r D

D7 FRQQ JUDGRVGHOLEHUWDG

(VWLPDFLyQGHSURSRUFLRQHVHQPXHVWUHRVLPSOHDOD]DU\QJUDQGH9DULDELOLGDGGH3 (VWLPDFLyQGH33REODFLyQILQLWDRPXHVWUHRVLQUHHPSOD]R

Q34

1Q19DU S

1

L

L

1;

3

3REODFLyQLQILQLWDRPXHVWUHRFRQUHHPSOD]R

Q349DU S

6LQRVHFRQRFH3VHHVWLPDFRQ S

YDUS ST GRQGHT SQ

6LQRVHFRQRFH3VHHVWLPDFRQ S

QTS

=S/L

r DBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB)DFWRUGHFRUUHFFLyQSDUDSREODFLRQHVILQLWDV

1

Q1)&

08(675(2$/($725,2(675$7,),&$'2&2108(675(26,03/($=$5'(1752'(/26(675$726

$VLJQDFLyQGHODPXHVWUD (VWLPDFLyQ'LVWULEXFLyQ3URSRUFLRQDO

KK

K Q:11QQ GRQGH

11: KK

'LVWULEXFLyQySWLPD1H\PDQ

/

KKK

KKK

1

1QQ

V

V

/

KKKK

KKK

431

431KQQ

6LPERORJtD1 WDPDxRGHODSREODFLyQQ WDPDxRGHODPXHVWUDK HVWUDWR/ Q~PHURGHOHVWUDWR

K1 SREODFLyQGHOHVWUDWRK

KQ PXHVWUDGHOHVWUDWRKVK GHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODSREODFLyQGHOHVWUDWRK

K3 SURSRUFLyQGHp[LWRVGHODSREODFLyQGHOHVWUDWRK

K4 SURSRUFLyQGHIUDFDVRVGHODSREODFLyQGHOHVWUDWRK

3URPHGLR

/

KKKK

/

KKHV ;:;11

;

9DULDQFLDGHOSURPHGLR

/

KKHV ;9DU:K;9DU

&RQIDFWRUGHFRUUHFFLyQ

K

K

K

KKK

Q6

1Q1

;9DU

6LQIDFWRUGHFRUUHFFLyQ

K

KK

Q6

;9DU

,QWHUYDORGHFRQILDQ]D

HVHV ;9DU=;/L Dr

K; SURPHGLRGHOHVWUDWRK

K;9DU YDULDQFLDGHOSURPHGLRGHOHVWUDWRK

HV; SURPHGLRGHODPXHVWUDHVWUDWLILFDGD

HV;9DU YDULDQFLDGHOSURPHGLRGHODPXHVWUDHVWUDWLILFDGD

KK43 GHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODSURSRUFLyQGHODSREODFLyQGHOHVWUDWRK

3DUDSURSRUFLRQHV(VWLPDFLyQ 9DULDQFLDGHODSURSRUFLyQ

3URSRUFLyQ

/

KKKHV S:S

,QWHUYDORGHFRQILDQ]D HVHV S9DU=S/L Dr

S SURSRUFLyQGHOHVWUDWRK

HVS SURSRUFLyQGHODPXHVWUDHVWUDWLILFDGD

K/

KKHV S9DU:S9DU

&RQIDFWRUGHFRUUHFFLyQ

K

KK

K

KKK Q

TS1

Q1S9DU

6LQIDFWRUGHFRUUHFFLyQ

K

KKK Q

TSS9DU

KS9DU YDULDQFLDGHODSURSRUFLyQGHOHVWUDWR K

HVS9DU YDULDQFLDGHODSURSRUFLyQGHODPXHVWUDHVWUDWLILFDGD

08(675(2$/($725,2'(&21*/20(5$'26

0XHVWUHRVLPSOHDOD]DUGHQWURGHFRQJORPHUDGRV(VWLPDFLyQGHOSURPHGLR (VWLPDFLyQGHODSURSRUFLyQ

Q

LL

Q

LL

P