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PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA (2007/2008) MIEEC/FEUP
FORMULÁRIO
Bernoulli X ~ bernoulli (p)
( ) ( )1 xxp 1 p x 0,1
P X x0 outros valores
!" ! =#= = $
#%
( )E X p=
( ) ( )V X p 1 p= !
Binomial X ~ binomial (n,p)
( )( )
n xxnp 1 p x 0,1,2, ...,n
P X x x
0 outros valores
!"# $! =%& '
= = () *%+
( )E X np=
( ) ( )V X np 1 p= !
Binomial Negativa X ~ binomial negativa(r,p)
( )( )
x rrx 1
p 1 p x r, r 1, ...P X x r 1
0 outros valores
!" !# $! = +%& '
= = !() *%+
( )r
E Xp
=
( )( )
2
r 1 pV X
p
!=
Nota:Esta variável, tal como está definida, conta o número de “provas” a realizar até se obterem r sucessos.
Geométrica X ~ geométrica (p)
( ) ( )x 1
P X x 1 p p x 1,2,...!
= = ! " = ( )
1E X
p=
( )2
1 pV X
p
!=
Poisson X ~ poisson (!)
( )
xe
x 0,1,2, ...P X x x!
0 outros valores
!"# $"=%
= = &%'
( )E X = !
( )V X = !
Hipergeométrica X ~ hipergeométrica(N, M, n)
( )( ){ } { }
M N M Nx max 0,n N M , ,min n ,M
P X x x n x n
0 outros valores
! "# $ # $ # $= " "%& ' & ' & '= = "() * ) * ) *
%+
K
( )E X np=
( ) ( )N n
V X np 1 pN 1
!= !
!
Uniforme X ~ uniforme (a,b)
( )X
1a x b
f x b a
0 outros valores
!" "#
= $%#&
( )a b
E X2
+=
( )( )
2
b aV X
12
!=
Exponencial X ~ exponencial (!)
( )x
X
e x 0f x
0 outros valores
!"#" $= %&
( )1
E X =!
( )2
1V X =
!
Normal X ~ N ( µ , " 2 )
( )
21 x
2
X
1f x e , x
2
! µ" #! $% &
'( )= $ ! *< <+*+ $'
( )E X = µ
( ) 2V X = !
Qui-quadrado X ~ 2
n!
( ) ( )n 2 1x 2
X n
2
1f x e x , x 0
n2
2
!!= " ># $
%& '( )
( )E X n=
( )V X 2n=
Nota: n – nº de gaus de liberdade , #(u) – função gama.
t de Student X ~ nt
( )
n 1
2 2
X
n 1
x2f x 1 , x
n nn
2
+!
+" #$% & " #' (
= ) + !*< < +*% &" # ' (+ $% &' (
( )E X 0 , n 1= >
( )n
V X , n 2n 2
= >!
Nota: n – nº de gaus de liberdade , #(u) – função gama.
F de Snedecor X ~ 1 2n ,nF
( )
1 1 2
1
n n n1 2n2 21
1 12X
1 2 2 2
n n
n n x2f x x 1 , x 0
n n n n
2 2
+!
!
+" #$% & " # " #' (
= ) ) ) + >% & % &" # " # ' ( ' ($ $% & % &' ( ' (
( ) 22
2
nE X , n 2
n 2= >
!
( )( )
( ) ( )
2
2 1 2
22
1 2 2
2n n n 2V X , n 4
n n 2 n 4
+ != >
! !
Nota: n – nº de gaus de liberdade , #(u) – função gama.
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Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses para a média (µ)
Estatística de teste:
( )X
Z ~ N 0,1
n
! µ="
ou ( )X
Z ~ N 0,1Sn
! µ=
Estatística de teste:
n 1
XT ~ t
S
n
!
! µ=
Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses para a variância ("2)
Estatística de teste:
( ) 2
2
n 12
n 1 SQ ~ !
!= "
#
Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses para a proporção (p)
Estatística de teste:
( )( )
P̂ pZ ~ N 0,1
p 1 p
n
!=
! ou
( )( )
P̂ pZ ~ N 0,1
ˆ ˆP 1 P
n
!=
! ou
!
Z =
Yn( ) "p
Y n"Y( )n3
~ N(0,1)
com Y
P̂n
= , sendo Y – nº de sucessos numa amostra aleatória.
Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses para o quociente de variâncias ( )2 2
1 2! !
Estatística de teste:
1 2
2 2
1 1
n 1 , n 12 2
2 2
S~ F
S! !
"
"
Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses a diferença de médias (µ1-µ2)
Estatística de teste:
( ) ( )( )1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
X XZ ~ N 0,1
n n
! ! µ ! µ=
" "+
ou ( ) ( )
( )1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
X XZ ~ N 0,1
S S
n n
! ! µ ! µ=
+
ou
( ) ( )( )1 2 1 2
1 2
X XZ ~ N 0,1
1 1Sn n
! ! µ ! µ=
+
com ( ) ( )2 2
1 1 2 2
1 2
n 1 S n 1 SS
n n 2
! + !=
+ ! ($)
( )1 2X e X independentes
Estatística de teste:
( ) ( )1 2 1 2
gl
1 2
X XT ~ t
1 1Sn n
! ! µ ! µ=
+
com 1 2gl n n 2= + ! e S dado por ($) ou
( ) ( )1 2 1 2
gl2 21 2
1 2
X XT ~ t
S S
n n
! ! µ ! µ=
+
com ( ) ( )
22 21 2
1 2
2 22 21 1 2 2
1 2
S S
n ngl
S n S n
n 1 n 1
! "# + $# $% &
=
+' '
( )1 2X e X independentes
Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses para a diferença de proporções (p1-p2)
Estatística de teste:
( ) ( )
( ) ( )( )
1 2 1 2
1 1 2 2
1 2
ˆ ˆP P p pZ ~ N 0,1
p 1 p p 1 p
n n
! ! !=
! !+
ou ( ) ( )
( ) ( )( )
1 2 1 2
1 1 2 2
1 2
ˆ ˆP P p pZ ~ N 0,1
ˆ ˆ ˆ ˆP 1 P P 1 P
n n
! ! !=
! !+
com i
i
YP̂
n= , sendo Yi – nº de sucessos na amostra aleatória i.
( )1 2Y e Y independentes