fotogrametrİnİn temellerİ matematİksel …bayram/foto/mattem_gray.pdf · •karl kraus,...

1

FOTOGRAMETRFOTOGRAMETRİİNNİİN TEMELLERN TEMELLERİİ MATEMATİKSEL TEMELLER

YRD.DOÇ.DR. BÜLENT BAYRAM

MATEMATMATEMATİİKSEL TEMELLERKSEL TEMELLER

Bu bBu bööllüüm :m :••KarlKarl KrausKraus, , PhotogrammetriePhotogrammetrie, , BandBand 1 , 1 , GeometrischeGeometrische InformationenInformationenausaus PhotographienPhotographien undund LaserscanneraufnahmenLaserscanneraufnahmen, , ISBN 3ISBN 3--1111--017708017708--0 adl0 adlıı kaynakaynağığın n ççevirisi yapevirisi yapıılarak ve larak ve

••Prof.DrProf.Dr. Ahmet Ya. Ahmet Yaşşayan, Hava ayan, Hava FotogrametrisindeFotogrametrisinde İİki Boyutlu ki Boyutlu DoDoğğrusal Drusal Döönnüüşşüümler ve Uygulamalarmler ve Uygulamalarıı, KT, KTÜÜ BasBasıımevi, Yaymevi, Yayıın No.102,n No.102,YBF yayYBF yayıın No.19,1978 n No.19,1978

••Prof.DrProf.Dr. Ahmet Ya. Ahmet Yaşşayan, ayan, FotogrametriFotogrametri--1 ders Notlar1 ders Notlarıı, YT, YTÜÜ, Aral, Aralıık, k, 19961996

adladlıı kaynaklar yararlankaynaklar yararlanıılarak hazlarak hazıırlanmrlanmışışttıır.r.

[email protected]

2


Fotogrametride kullanılan farklı alım yöntemleri aslında matematiksel temellere dayanır.

BENZERLİK ve AFFIN DÖNÜŞÜMLERİP(x,y) noktaları herhangi bir koordinat sisteminde tanımlı olsunlar. Diğer bir sistemin ise tanımlanan sistemle saat yönü tersinde α dönüklüğü olsun. P noktasının diğer sistemdeki koordinatları:

[email protected]


3


Y

α

α

P

x

y

Xa1

X

α

x

y Y

b1b2

a2

y

b2b1X −=21Y aa +=

αsin.1 xa =αcos.2 ya =αcos.1 xb = αsin.2 yb =

[email protected]


4


αααα

cos.sin.sin.cos.X

yxYyx

+=−=

=

yx

yYxYyXxX

YX

)cos()cos()cos()cos(

==

2221

1211

rrrr

RRxX

Burada α açısı koordinat eksenlerinin dönüklük kosinüsü olarak tanımlanacak olursa, matris gösterimi ile:

yazılabilir. Burada R dönüklük matrisi olarak adlandırılır.Bu matris karesel bir matristir fakat simetrik değildir.

[email protected]


5


Dönüklük matrisindeki rik elemanlarının rastgele mi seçilebileceği yoksa belli kurallara uygun olarak mı değer aldığı sorunun çözümü için x, y koordinat eksenlerini i, j birim vektörler olarak seçelim ve bunlarınXY-sistemindeki bileşenlerini hesaplayalım:

Eşitlikleri göz önünde bulundurulduğunda:

αααα

cos.sin.sin.cos.X

yxYyx

+=−=

[email protected]


6


Y

ij

α1

α X

=

αα

sincos

i

−=

αα

cossin

j

[email protected]


7


22211211

222

212

22

221

211

22

0cossinsincos

1sincos1sincos

rrrrji

rrjj

rrii

T

T

T

+==+−=

+==+=

+==+=

αααα

αα

αα

Birbirlerine dik konumda olan birim vektörlerin ortogonalite koşullarınısağlaması gerekir (bir ortogonalitekoşulu ve iki normal denklem).

=

yx

YX

27.019.069.036.0

−=

yx

YX

6234.07819.07819.06234.0

Burada ortogonallik koşularını irdeleyelim:1.0.362+0.192 =0.1657 ≠12.0.692+0.272 =0.5490 ≠13.0.36*0.69+0.19*0.27=0.013851 ≠0Ortogonallik koşulları yerine getirilmediği için düzlemsel bir dönüklükten-benzerlikten söz edilemez.

Burada ortogonallik koşularını irdeleyelim:1. 0.62342+(-0.7819)2 =1.0111.0.78192 +0.62342 =1.0112.0.6234*0.7819-0.7819*0.6234=0

[email protected]


8

88YRD.DOÇ.DR. BÜLENT BAYRAM

ÖDEV-2Öyle bir matris tanımlayın ki bir dönüklük ve bir de ayna tersliği oluşsun

ÖDEV-1xy-sistemine bir dikdörtgen yerleştirelim ve bu diktörtgenin köşelerini yukarıdaki her iki örneğe göre XY-sistemine dönüştürelim. Sonuçları karşılaştırdığınızda fark nedir?

r11=cos α, r12=sin α, r21=sin α, r22= -cos α

[email protected]


9

99YRD.DOÇ.DR. BÜLENT BAYRAM

ERR =−1

R matrisin inversi ile çarpımı birim matrisi verir.

Diğer taraftan R matrisinin transpozesi ile çarpımı da birim matrisi verir.

( )

=

=

1001

,jjijjiii

jiji

TT

TT

T

T

TRR =−1

RT ile çarpılacak olursa :

==

===

YX

rrrr

XRx

xExRxRXR

T

TT

2221

1211

[email protected]


10

YRD.DOÇ.DR. BÜLENT [email protected]

Doğrusal dönüşümler genel olarak:

x’=ax-by+cy’=bx+ay+d, a2+b2=1

Bu sistemin tersi alınacak olursa:

x=ax’+by’-(ac+bd)y=-bx’+ay’-(ad-bc)

a=b=0 ise ötelemeyic=d=0 ise dönme merkezinin koordinat başlangıcı olduğunu gösterir.


11


Aşağıdaki şekillerde koordinat sistemleri birbirne ters değilse düzgün ortogonallik (soldaki şekil), eğer ters ise düzgün olmayan ortogonallik(sağdaki şekil) söz konusudur.


y’

x’

y’’

x’’

y x

P

O’

c’ d’

x

y’’

α x’’

y

O

y’’y’

x’

x

y

x’’

O’

O

c’

αx’

Pd’

y y’’α

12


GENEL BENZERLİK DÖNÜŞÜMÜ

x’=a1x-a2y+c y’=a2x+a1y+d

şeklinde yazılabilir. Buradan:

x=a1’x’+a2’y’+c’ y=-a2’x’+a1’y’+d’


)()('

)(

)()('

)(

22

21

2122

21

2'2

22

21

2122

21

1'1

aacadac

aaaa

aadacac

aaaa

+−−

=+

=

++−

=+

=

13


Ölçek faktörü ve dönme açısı:


1

222

21

2 tan)(aaaak −=+= α

14



244491,1514491585,11485066,864878,098

244940,3597492835,00445106,175050,717

245946,8441492626,87815242,75039,386

245893,5366493597,16525220,025166,915

245579,41491115,65218,424833,494

244618,72494068,835043,745208,793

y'x'yxNN

DÖNÜŞTÜRÜLMÜŞKOORDİNATLAR

x'=a1x-a2y+cy'=a2x1-a1y+d

202336,1963y'1-a2x1-a1y1=d=0,906398026II/III=a2=

459850,0337x'1-a1x1+a2y1=c=7,447110026I/III=a1=

171363,1924(x2-x1)2+(y2-y1)2

155323,2594(-1)*(y2-y1)(x'2-x'1)+(x2-x1)(y'2-y'1)

1276160,548(x2-x1)(x'2-x'1)+(y2-y1)(y'2-y'1)

960,69-2953,23174,68-375,3(2)-(1)

245579,41491115,65218,424833,492

244618,72494068,835043,745208,791

y'x'yxNN

15


DENGELEMELİ BENZERLİK DÖNÜŞÜMÜ

En küçük kareler yöntemindeki dolaylı ölçüler dengelemesine göre düzeltme denklemleri:


−

−−

=

.

.''

.

.''

....

....1010........0101

.

.

.

.

2

1

2

1

4

3

2

1

22

11

22

11

2

1

2

1

yy

xx

aaaa

xyxy

yxyx

vv

vv

x

x

x

x

16


Matris gösterimi ile:


−−−−−= 'xbKv a

Normal denklemler:

−−−−−= ')( xKbKK T

aaTa

Normal denklemler açık yazılacak olursa:

[x2+y2]b1 + [x]b3 + [y]b4 =[xx’+yy’]

[x2+y2]b2 - [y]b3 + [x]b4 =[xy’-yx’]

[x]b1 - [y]b2 + nb3 =[x’]

[y]b1 + [x]b2 + nb4 =[y’]

17


n, ortak nokta sayısını ; köşeli parantezler 1 den n e kadar toplamlarıGöstermektedir. Her iki sistemde de, koordinat başlangıçları, ortak noktalardanOluşan kümenin ağırlık merkezleri olarak seçilirse:

x’m=[x’]/n, y’m=[y’]/n, xm=[x]/n, ym=[y]/n

Ve koordinatlar bu başlangıçlara göre ötelenirse:


0][][]'[]'[

''''

====

−=−=

−=−=

−−−−

−−

−−

yxyx

yyyxxx

yyyxxx

miimii

miimii

Bu koordinatlar normal denklemlerde yerine yazılırsa köşegen terimlerin dışındaki terimler sıfır olur. Buna göre a1, a2 parametreleri:

18


olarak bulunur.


][][]'[]'[,

][][]'[]'[

222221yxyxxxa

yxyyxxa

+

−=

+

+=

nyaxaya

nyaxaxa ][][]'[,][][]'[ 21

421

3−−

=+−

=

Bir noktanın ortalama hatası vx, vy kalıntı hatalarına bağlı olarak;

42][][

0 −

+=

nvvvv

m yyxx

Bir noktanın konum hatası ise;

022

][][m

nvvvv

m yyxxp =

−+

=

19


Bilinmeyenlerin ortalama hatası:


nmmm

yx

mmm

aa

aa

043

22

021

][][

==

+==

Bilinmeyenlerin bir fonksiyonu olarak ölçek ve dönüklüğün ortalama hataları:

][][ 22

0

yx

mmm+

== αλ

20



022

22

''1

][m

nyxyxmm ii

yx

+

+

+==

Dönüştürülecek ortak nokta ya da herhangi bir noktanın koordinatları

ii yx , olsun. Dönüşümden sonra bu noktanın koordinat ortalama hatası:

olur. Burada 22ii yx + ilgili noktaların ortak noktalar

kümesinin ağırlık merkezine uzaklığıdır.

21


Nokta Model Koordinatları Ver. Arz. Koor. Dönüştürülen Model KKalıntı Hatalar.No: x y Y X Y" X" vy vx

1125 5242,7 5039,38 45821,5 2101,2 45821,57 2101,303 -0,07226 -0,103291124 5220,02 5166,91 45768,26 3071,58 45768,26 3071,444 -0,00296 0,1363171253 5000 5000 43978,86 2027,93 43978,74 2028,011 0,116999 -0,081291222 4907,24 4909,4 43205,91 1437,51 43205,95 1437,462 -0,04178 0,048267

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

n=4 [vv] = 0,020665 0,03819S= 20369,96 20115,69 178774,5 8638,22 KontrolS/n= 5092,49 5028,923 44693,63 2159,555 Svx = Svy = 0 0 4,23E-11Nokta Ağırlık Merkezi Orijin Olduğuna Göre Koord Dönüşüm Elemanlarının Hesabı

x' y' Y' X'1125 -150,21 -10,4575 -1127,87 58,355 [x'Y']= 648174,11124 -127,53 -137,987 -1074,63 -912,025 [y'X']= 215345,31253 92,49 28,9225 714,7725 131,625 I = [x'Y'] + [y'X'] = 863519,51222 185,25 119,5225 1487,723 722,045 [y'Y']= 358569,2

[x'X']= 253477,9II = [y'Y'] - [x'X'] = 105091,3[x'x']= 81698,91[y'y']= 34272,05III = [x'x'] + [y'y'] = 115971lcose = I / III = a = 7,445998

S=0 -9,1E-13 2,73E-12 -7,3E-12 0 lsine = II / III = b = 0,906186[Y]/n-a[x]/n-b[y]/n = a 2217,823

Yeni NoktaModel Koordinatları Dönüştürülen Koordina[X]/n-a[y]/n-b[x]/n = a0 -30671x y Y" X" l = Sqr(a2 + b2) = 7,500937

1251 5106,19 5050,73 44815,4 2309,519 e =arctan(b/a) = 7,709819289 5066,87 4878,09 44366,18 1059,673 mp = Sqr([v2x+v2y]/(n 0,171544

1248 5043,74 5208,8 44493,64 3543,0991252 4503,35 4961,26 40245,58 2189,611

22


Ortogonal olmayan bir matrisle yapılan dönüşüme Affin dönüşüm denir. Özellikleri:

•Herhangi bir doğrunun dönüşümü yine bir doğrudur.

•Bir doğru üzerinde bulunmayan üç nokta dönüşümden sonra yine bir nokta üzerinde değildir.

•Paralel doğrular dönüşümden sonra da paraleldir. Kesişen doğrular dönüşümden sonra yine kesişir ve kesişme noktasıbirbirlerine karşılık gelirler.

•Açılar dönüşümden sonra değişir.

•Belirli bir yönde ölçek değişmez kalır. Yönle birlikte ölçek de değişir.

•Bir doğru üzerindeki doğru parçalarının karşılıklı oranları değişmez kalır.

•Geometrik şekillerin alanları dönüşümden sonra sabit bir miktar değişir. Bu sabir miktar dönüşüm matrisinin determinantına eşittir.

[email protected]


23


Affin dönüşüm aşağıdaki şekilde tanımlanır:

AxaXyx

aaaa

aa

YX

+=

+

=

0

2221

1211

20

10

Burada:a10 ve a20 iki öteleme, a11 , a12 , a21 , a22 ortogonallik koşulunu Sağlamayan dört elemandır ve bir taraftan her iki koordinat yönünde belli bir Ölçek diğer taraftan koordinat eksenleri etrafında iki bağımsız dönüklüğü içeri

Benzerlik dönüşümü Affin dönüşümün özel bir halidir. Affin dönüşümde dönüklük matrisi ortogonal olmamasına karşın benzerlikDönüşümde ortogonaldir. Bunun yanında ölçek faktörü her eksen için sabittir.

[email protected]


24


Buradan affin dönüşümü bağıntıları:

mRxaXyx

rrrr

maa

YX

+=

+

=

0

2221

1211

20

10

ÖDEV-4

rik parametrelerinin hesaplanabilmesi için her iki sistemde eşlenik kaç adet noktaya gereksinim duyulur?

daybxYcbyaxX

++=+−=

[email protected]


25


daybxYcbyaxX

++=+−=

Çözüm için her iki sistemde de bilinen eşlenik 2 noktaya gereksinim duyulur. Bu durumda:

daybxYcbyaxXdaybxYcbyaxX

++=+−=

++=+−=

222

222

111

111

[email protected]


26


1 ve 3, 2 ve 4 eşitlikleri birbirlerinden çıkarılacak olursa:

)()()()(

212121

212121

yyaxxbYYyybxxaXX

−+−=−−−−=−

Olur. Matris gösterimi ile

−−

=

−−−−−

)()(

)()()()(

21

21

2121

2121

YYXX

ba

xxyyyyxx

−−

−−−−−

=

−

)()(

)()()()(

21

211

2121

2121

YYXX

xxyyyyxx

ba

−−

−−−−−

−+−=

)()(

)()()()(

)()(1

21

21

2121

2121

212

21 YYXX

xxyyyyxx

yyxxba

[email protected]


27


Buradan a, b parametreleri:

2221

221

21212121

2221

221

21212121

)()())(())((

)()())(())((

yxXyYx

yyxxYYxxXXyy

b

yxYyXx

yyxxYYyyXXxx

a

∆+∆∆∆−∆∆

=−+−

−−+−−−=

∆+∆∆∆+∆∆

=−+−

−−+−−=

c, d parametreleri ise dönüşüm formülünden:

??110115317017012012021301501101101

YXyxNokta No

[email protected]


28


AxaXyx

aaaa

aa

YX

+=

+

=

0

2221

1211

20

10

Affin Dönüşümü genel haliyle yukarıdaki biçimde tanımlamıştık.Benzerlik dönüşümünde söz konusu koordinat sistemleri dik koordinat sistemleri idi oysa Affin dönüşümde dik ve eğikkoordinat sistemleri söz konusu olabilir.

a11,a12,a21,a22,a10,a20 parametrelerini hesaplayınız


29


=

zyx

zXyZxZyYyYxYzXyXxX

ZYX

)cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos(

==

333231

232221

131211

rrrrrrrrr

RRxX

Z

X

Y

x

yz


30


ψ

ω

κ

ω Birinci eksenψ İkinci eksenκ Üçüncü eksen


31


x=xωxωψ

y=yω

z=zωyω=yωψ

ψ

ω

κ

xω

zω zωψ

xωψ

xωψκ=x

yωψ

yωψκ=yzωψ= zωψκ=z

Bir xyz koordinat sisteminde tanımlı P noktası bu sistemle ω,ψ,κ dönüklüklerinesahip XYZ sistemine dönüştürülür. Burada dönüşüm matrisi aşağıdaki gibi tanımlanır:


32


x

z

x’

z’

ψ

ψ

−

=

−=

''

cossinsincos

cossinsincos

''

zx

zx

zx

zx

ψψψψ

ψψψψ

−=

−=

ψψ

ψψ

ψψ

ψψ

ψ

cos0sin010

sin0cos

'''

cos0sin010

sin0cos

R

zyx

zyx


33


−=

ωωωωω

cossin0sincos0001

R

yz y’z’

ω ω

y

x

y’

x’

κ

κ

−=

1000cossin0sincos

κκκκ

κR

κωψ RRRR =


34


+−−++

−=

ψψκψωκωκψωκωψψκψωκωκψωκω

ψκψκψ

ωψκ

sincossinsincoscossincossincossinsinsincoscossinsinsincoscossinsinsincos

sinsincoscoscosR

Burada birbirini izleyen dönüklükler:

X1=R1x (1. dönüklük)X2=R2X1 (2. dönüklük)

Toplam dönüklük : X2=R2R1x=Rx

Burada R1 ve R2 dönüklük matrislerinin çarpımı ile genel dönüklük matrisi elde edilir.


35


Burada matris çarpımı gerçekleştirilirken dönüklük sırasına mutlaka dikkat Edilmelidir.

RT=(R1R2)T=R1TR2

T

ÖRNEK-1:

ω= -1.3948 gonψ= 0.1041 gonκ= -0.8479 gon verildiğine göre R dönüklük matrisinin elemanlarını hesaplayınız.

elde edilen matrisin ortogonal olup olmadığını test ediniz.


36


ÖRNEK-2:

Bir P noktası xyz sisteminde tanımlanmış olsun. Bu sistem X1Y1Z1 sistemi ile ω1,ψ1,κ1Dönüklüğü olsun, X1Y1Z1 sistemi aynı zamanda X2Y2Z2 sistemi ile de ω2,ψ2,κ2dönüklüklerine sahip olsun. P noktasının X2Y2Z2 sistemindeki koordinatlarını vexyz ile X2Y2Z2 sistemi arasındaki ω,ψ,κ dönüklüklerini hesaplayınız.

gonmatrisiRgon

gon

gonmatrisiRgon

gonx

3223.1010853.11726.0

8479.01041.03948.1

670.152699.83461.43

2

22

2

1

11

1

−=−=−=

−=+=−=

−−

=

κψω

κψω


37


12

12211

RRRçözümİkinci

XRXxRX

=

==

RxX =2

R matrisi yardımı ile ω,ψ,κ dönüklükleri hesaplanabilir.


38


Merkezsel İzdüşüm

c=99,16

.P’

x

y

H

M

P1’ P2’H

O

P2”P1”

P2

P1

H

c

c

negatif

pozitif

O: Projeksiyon merkeziH: Resim asal noktasıc: Kamera sabitiM: Resim orta noktası


39


P1’ P2’H

O

P2”P1”

P2

P1

H

c

c

negatif

pozitif

Burada P’ resim noktası ve P noktasıArasındaki ilişki kolinearite (eş doğrudaşlık) koşulu iletanımlanır


40


y

x

M

H(x0,y0)

cP’(x,y)

P(XYZ)

Y0

X0

Z0-Z

O(X0,Y0,Z0)

X

Y

Z

X-X0 Y-Y0

xy

Z


41


Özel Durum: xy ve XYZ sistemindeki eksenler birbirine paralel olsun,yani tam düşey fotoğraf söz konusu olsun.

Bu durumda:

cy

ZZYY

cx

ZZXX

ZZYYcy

ZZXXcx

cZZyYYxXXcZZ

yYY

xXX

−=−−

−=−−

−−

−=−−

−=

=−=−=−

=−

=−

=−

0

0

0

0

0

0

0

0

000

000

λλλ

λİdeal bir durum için elde edilen bu denklemlereİzdüşüm denklemleri denir. Bu denklemler Yorumlanacak olursa; X0,Y0,Z0 koordinatlarıve c kamera sabiti (asal uzaklık) bilinen birDüşey fotoğrafta X,Y,Z arazi noktasına karşılıkyalnız x, y koordinatı elde edilir.

Yani P uzay noktasına karşılık fotoğrafta tek birP’ noktası karşılık gelir. Bunun tersi doğruDeğildir, yani P’ fotoğraf noktasına karşılıkOP’ izdüşüm doğrusunda sonsuz nokta Karşılık gelir.


42


y

x

M

H(x0,y0)

cP’(x,y)

P(XYZ)

Y0

X0

Z0-Z

O(X0,Y0,Z0)

X

Y

Z

X-X0

Y-Y0


43


Şimdi genel durum ele alınacak olursa, iki sistemin dönüşüm problemi elde edilir.Genel olarak:

−

=

−−−

cyx

rrrrrrrrr

ZZYYXX

333231

232221

131211

0

0

0

λ

Bu eşitliklerde 1. ve 2. satır ayrı ayrı 3. satıra bölünecek olursa:

cryrxrcryrxr

ZZYY

cryrxrcryrxr

ZZXX

333231

232221

0

0

333231

131211

0

0

−+−+

=−−

−+−+

=−−

Yukarıdaki her iki tarafı (1/λ)R-1 ile çarpılacak olursa:

−−−

=

− 0

0

0

332313

322212

312111

ZZYYXX

rrrrrrrrr

cyx

λ

)()()()()()()()()()()()(

033023013

032022012

033023013

031021011

ZZrYYrXXrZZrYYrXXrcy

ZZrYYrXXrZZrYYrXXrcx

−−−+−−−−+−

−=

−−−+−−−−+−

−=


44


)()()()()()()()()()()()(

033023013

0320220120

033023013

0310210110

ZZrYYrXXrZZrYYrXXrcyy

ZZrYYrXXrZZrYYrXXrcxx

−+−+−−+−+−

−=

−+−+−−+−+−

−=

Yukarıdaki eşitlikler her bir obje noktasına bir resim noktasının karşılık geldiğini göstermektedir.


45


cryyrxxrcryyrxxrZZYY

cryyrxxrcryyrxxrZZXX

33032031

2302202100

33032031

1301201100

)()()()()(

)()()()()(

−−+−+−+−

−+=

−−+−−−+−

−+=

Yukarıdaki eşitlikler ise Z koordinatına bağlı olarak bir resim noktasına sonsuz sayıda arazi noktasının karşılık geldiğini gösterir.

Dolayısı ile bir fotoğraftan objeye ilişkin üç boyutlu koordinatlar elde edilemez.


46


x0,y0 : Asal noktanın koordinatları

c : Kamera odak uzaklığı

İç yöneltme elemanları olarak adlandırılır.

X0,Y0,Z0 : İzdüşüm merkezinin koordinatları

ω,ψ,κ : Resmin üç dönüklüğü

Bu altı parametre dış yöneltme elemanları olarak adlandırılır.

Toplam 9 parametre fotoğrafın mekezsel izdüşümünü tanımlar.

Burada kamera odak uzaklığı kamera kalibrasyon raporları ile bilinir.

İdeal durumda ; x0=y0=0 olması beklenir.


47


ÖDEV:

c= 162.67 mm , x0=y0= 0.00 mm

X0= 362530.603m, Y0= 61215.834m, Z0= 2005.742m

-0.034091 0.999407 0.004822

R= -0.999419 -0.034096 0.000621

0.000784 -0.004798 0.999988

XP1= 363552.124 m., YP1= 61488.048m., ZP1=588.079m.

XP2= 362571.087 m., YP2= 61198.320m., ZP2= 596.670m.

verildiğine göre bu noktalara ait resim koordinatlarını hesaplayınız, grafik olarak gösteriniz.


48


DÜZLEMSEL MERKEZİ İZDÜŞÜM VE PROJEKTİF DÖNÜŞÜM

Obje düzleminde Z=0 kabul edilirse:

y

xM

H(x0,y0)

cP’(x,y)

P(XYZ)

Y0

X0

Z0-Z

O(X0,Y0,Z0)

X

Y

Z

X-X0

Y-Y0



33032031

2302202100

33032031

1301201100

)()()()()(

)()()()()(

−−+−+−+−

−+=

−−+−−−+−

−+=

Eşitliği aşağıdaki eşitliğe dönüşür:


49


321

321

321

321

cycxcbybxbX

cycxcayaxaX

++++

=

++++

=

Buradaki iii cba ,, Yukarıdaki eşitliğe bağlı olarak :

.

.

.

.1203202

1103101

rZrXarZrXa

−=−=

şeklinde tanımlanır.

(A)

(A) Eşitliğinde her iki taraf e bölünecek olursa:3c


50


1

1

21

321

21

321

++++

=

++++

=

ycxcbybxbX

ycxcayaxaX Eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerin anlamı şudur:

•Bir fotoğraf düzlemsel objelerin tanımlanmasındakullanılabilir

•8 bağımsız parametre bir düzlemsel objenin merkeziizdüşümünü tanımlar.

Merkezi izdüşümdeki 9 mekansal bağımsız parametrenin 8 düzlemselparametreye indirgenmesinin nedeni şudur: Bir obje düzlemindeki merkezi izdüşüm 9 parametrenin bağımlılığından oluşur. Özel bir durum için Obje düzlemi fotoğraf düzlemine paralel kabul edilirse bu bağımlılık kolayca tanımlanabilir. Buradaki bağımlılık c kamera sabiti ve izdüşüm merkezinin Z0 koordinatı arasındadır ve Z0/c oranı bilinir.


51


O1

O2 P’1

P’2Q’2

Q’1

Q P

Z02

c2 Z01

c1

Buradaki temel problem genel durum için 8 parametrenin belirlenmesidir. Bunun için her iki sistemde 4 kontrol noktasına gereksinim duyulur.


52


ÖDEV:

????5.1825.1821.6281.628PP

1600.121600.122086.482086.48--96.64396.64328.47228.472DD

1899.761899.761376.401376.40--74.33774.337--45.76245.762CC

3507.463507.462229.382229.38101.785101.78532.18332.183BB

3552.123552.121488.051488.05110.074110.074--33.28833.288AA

Obje koordinatlarObje koordinatlarııX [mm] YX [mm] Y

Resim koordinatlarResim koordinatlarııx [mm] yx [mm] y

xa1 + ya2 +a3 -Xxc1- Xyc2=Xxb1 + yb2 + b3 -Yxc1 - Yyc2=Y Şeklinde 8 denklem yazılır.


53


=

−−−−

−−−−

−−−−−−−−

12.160048.208676.189940.137646.350738.222912.355205.1488

640.154559.451096643.0028472.0000644.201406.590001096643.0028472.0222.141937.861074337.0045762.0000317.102987.620001074337.0045762.0007.357881.1121101785.0032183.0000917.226748.710001101785.0032183.0996.390243.1181110074.0033288.0000796.163534.490001110074.0033288.0

2

1

3

2

1

3

2

1

ccbbbaaa

221.2479069.1821728.0815.7360217.1084330.1292.4066065.8021

33

222

111

==−==−=−=−==

bacbacba

mY

mX

74,25251005182,0.728,0001623,0.330,1

221,2479005182,0.815,7360001628,0.292,4066

43,18391005182,0.728,0001623,0.330,1

069,1821005182,0.217,1084001628,0.065,8021

=+−−++−

=

=+−−+−

=


54


Özel Durum: Resim düzlemi obje düzlemine paralel olarak kabul edilirse:yani ψ=ω=0) Dönüklük matrisi aşağıdaki şekilde tanımlanır:

−=

1000cossin0sincos

κκκκ

R



33032031

2302202100

33032031

1301201100

)()()()()(

)()()()()(

−−+−+−+−

−+=

−−+−−−+−

−+=

Bu durum

eşitliğine uygulanacak olursa:

−−

−+

=

=

−−−+=

−−−+=

0

0

0

0

0

000

0

000

0

cossinsincos

))(cos)((sin

))(sin)((cos

yyxx

mYX

YX

olursayaz ıazılacZm

yyxxcZYY

yyxxcZXX

B

B

κκκκ

κκ

κκ

elde edilir.


55


Bu özel durumda fotoğraf bir harita gibi düşünülebilir. Burada sadece ölçek küçültülmüştür. Bu durumda yukarıda yazılan eşitlik bir süzlem affin dönüşümütanımlar. Yani bu durumda iki öteleme, bir dönüklük ve bir ölçek faktörüsöz konusudur. Burada ölçek faktörü: Z0/c dir.

mRxaXyx

rrrr

maa

YX

+=

+

=

0

2221

1211

20

10

−−

−+

=

0

0

0

0

cossinsincos

yyxx

mYX

YX

B κκκκ

S

s

O

Z0

cκ=X0=Y0=x0=y0=0 kabulü ile

s/S=c/Z0=sabit=1/mB


56


1

1

21

321

21

321

++++

=

++++

=

ycxcbybxbY

ycxcayaxaX

Eşitliği yardımı ile Obje düzlemindeki XY ve Fotoğraf düzlemindeki xy koordinatlarıyardımı ile fotoğraf düzlemindeki herhangi bir nokta obje düzlemi cinsinden ifade edilebilir. Burada iç ve dış yöneltme elemanından oluşan dokuz parametreli merkezi izdüşümlü ışın demetleri projektif geometri ile bağlantılı olarak resim ile obje arasındageçerli olur.

Projektif geometride metkezi izdüşümlüışın demetlerine alternatif olarak aşağıdaki özellikler geçerlidir:•Eğer kontrol noktaları yardımı ile dönüşüm yapılacaksa yaklaşık değerlere gerek yoktur.•Projektif geometri dolayısı ile iç yöneltme elemanlarının bilinmesine gerek yoktur•Affin dönüşüm, projektif dönüşümün özel bir halidir.


57


ÖDEV: xy sistemindeki kontrol noktaları (1(0,0),2(1,0),3(0,1),4(1,1)) olarak verilmiş

olsun. XY sisteminde ise (1(0,0),2(2,0),3(0,4),4(2,4)) olsun. Buna ek olarak xy sisteminde 5(0.5,0.5) noktası verilşmiş olsun. Bu noktanın XY sistemindeki

koordinatlarını hesaplayınız.

Yaptığınız dönüşümü yorumlayınız.


58


X-ekseni(Y=0) obje ekseninde, x ekseni de (y=0) resim doğrultusunda olsun. Bu durumda

11

31

++

=xc

axaXolur. a1,a3 ve c1 bir doğrunun merkezi izdüşümünü tanımlar.

Dolayısı ile 3 kontrol noktası ile diğer noktalar dönüştürülmüşolur.

SORU: neden 3 konrol noktası?

Yukarıdaki eşitlik aynı zamanda çifte oran özelliğini tanımlar.

Bir doğru üzerinde bulunan dört nokta için yazılacak bir çifte oran

merkezsel izdüşümde sabittir.

S

D’ C’ B’A’

A

B

C

D

sabitBDAD

BCAC

==


59


Merkezi izdüşümün diğer bir özelliği de:

Paralel doğruların izdüşümleri kesişebilir. Ancak izdüşüm düzlemine paralel olan doğrular izdüşümde de paralel kalır. Paralel doğruların izdüşümde kesişme noktasına “KaçışNoktası” denir. Kesişen doğrular izdüşümde de kesişir. Kesişme noktaları birbirine karşılık gelir.

K’Ufuk çizgisi

K’


60


ÖRNEK:

APBQC doğrusu boyunca bir fotoğraf çekilmiş olsun. AB=4,5 m., BC=5.0 m P,Qnoktalarının koordinatlarını hesaplayınız.

x

A’p’ B’

Q’C’


61


1. BL1. BLÜÜM SONUM SONU

[email protected]


fotogrametrİnİn temellerİ matematİksel …bayram/foto/mattem_gray.pdf · •karl kraus,...

Documents