fourier serileri
DESCRIPTION
Fourier SerileriTRANSCRIPT
![Page 1: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/1.jpg)
ELM207 Analog Elektronik
![Page 2: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/2.jpg)
Bir Fourier serisi periyodik bir f (t) fonksiyonunun,
kosinüs ve sinüslerin sonsuz toplamı biçiminde
bir açılımdır.
Giriş
1
0 )sincos(2
)(n
nn tnbtnaa
tf
T
2
![Page 3: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/3.jpg)
Başka deyişle, herhangi bir periyodik fonksiyon
sabit bir değer, kosinüs ve sinüs
fonksiyonlarının toplamı olarak ifade edilebilir:
1
0 )sincos(2
)(n
nn tnbtnaa
tf
)sincos( 11 tbta2
0a
)2sin2cos( 22 tbta
)3sin3cos( 33 tbta
![Page 4: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/4.jpg)
Fourier serisi hesaplamaları harmonik analiz
olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi
basit terimlere ayrılarak, ayrık terimler olarak
çözülmesi ve yeniden birleştirilip orjinal
problemin çözümü için oldukça kullanışlı bir
yoldur. Böylelikle problem istenilen ya da
pratik olan bir yaklaşıklıkta çözülebilir.
![Page 5: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/5.jpg)
=
+ +
+ + + …
Periodik Fonksiyon
2
0a
ta cos1
ta 2cos2
tb sin1
tb 2sin2
f(t)
t
![Page 6: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/6.jpg)
1
0 )sincos(2
)(n
nn tnbtnaa
tf
burada
T
dttfT
a0
0 )(2
frekans Temel2
T
T
n tdtntfT
a0
cos)(2
T
n tdtntfT
b0
sin)(2
*integral limiti olarak
T
dttfT
a0
0 )(2
2/
2/
T
T
kullanabiliriz
![Page 7: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/7.jpg)
Örnek 1
Aşağıdaki dalga biçiminin Fourier serisi
gösterimini bulunuz.
![Page 8: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/8.jpg)
Çözüm
İlk önce, fonksiyonun periyodu ve tanımı belirlenir:
T = 2
21,0
10,1)(
t
ttf )()2( tftf
![Page 9: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/9.jpg)
Sonra, a0, an ve bn katsayıları bulunur :
10101)(2
2)(
22
1
1
0
2
00
0 dtdtdttfdttfT
a
T
Ya da,
b
a
dttf )( [a,b] aralığı boyunca grafiğin
altındaki toplam alan olduğundan
1)11(2
2],0[ 2)(
2
0
0alan
boyuncaT
Tdttf
Ta
T
![Page 10: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/10.jpg)
n
n
n
tndttdtn
tdtntfT
an
sinsin0cos1
cos)(2
1
0
2
1
1
0
2
0
n tamsayıdır ve,
olduğundan
0sin n
03sin2sinsin
Dolayısıyla, .0na
![Page 11: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/11.jpg)
n
n
n
tndttdtn
tdtntfT
bn
cos1cos0sin1
sin)(2
1
0
2
1
1
0
2
0
15cos3coscos 16cos4cos2cos
Dolayısıyla,çift ,0
tek,/2)1(1
n
nn
nb
n
n
Ya da nn )1(cos
![Page 12: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/12.jpg)
ttt
tnn
tnbtnaa
tf
n
n
n
nn
5sin5
23sin
3
2sin
2
2
1
sin)1(1
2
1
)sincos(2
)(
1
1
0
Sonuçta,
![Page 13: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/13.jpg)
Bazı faydalı tanımlar
n tamsayı olduğundan,nn )1(cos0sin n
02sin n 12cos n
xx sin)sin( xx cos)cos(
![Page 14: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/14.jpg)
Fourier serisi terimlerinin toplamı orjinal dalga
biçimini verir
Örnek 1’den,
ttttf 5sin5
23sin
3
2sin
2
2
1)(
Toplamın kare dalga vereceği gösterilebilir:
![Page 15: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/15.jpg)
tttt 7sin7
25sin
5
23sin
3
2sin
2ttt 5sin
5
23sin
3
2sin
2
tt 3sin3
2sin
2tsin
2
(a) (b)
(c) (d)
![Page 16: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/16.jpg)
ttttt 9sin9
27sin
7
25sin
5
23sin
3
2sin
2
ttt 23sin23
23sin
3
2sin
2
2
1
(e)
(f)
![Page 17: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/17.jpg)
Kare dalga Testere dişli dalga
Üçgen dalgaYarı çember
![Page 18: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/18.jpg)
Örnek 2
,)( ttf 11 t
)()2( tftf
f (t)’nin grafiğini çiziniz, .33 t
f (t)’nin Fourier serisini hasaplayınız.
![Page 19: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/19.jpg)
Çözüm
T = 2
T
2
![Page 20: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/20.jpg)
Katsayıları hesaplayalım:
02
11
22
2
)(2
1
1
21
1
1
1
0
ttdt
dttfT
a
![Page 21: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/21.jpg)
0coscos
)cos(cos0
cos)]sin([sin
sinsin
coscos)(2
22
22
1
1
22
1
1
1
1
1
1
1
1
n
nn
n
nn
n
tn
n
nn
dtn
tn
n
tnt
tdtnttdtntfT
an
xx cos)cos(
![Page 22: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/22.jpg)
nnn
n
n
nn
n
n
n
tn
n
nn
dtn
tn
n
tnt
tdtnttdtntfT
b
nn
n
1
22
1
1
22
1
1
1
1
1
1
1
1
)1(2)1(2cos2
)sin(sincos2
sin)]cos([cos
coscos
sinsin)(2
![Page 23: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/23.jpg)
ttt
tnn
tnbtnaa
tf
n
n
n
nn
3sin3
22sin
2
2sin
2
sin)1(2
)sincos(2
)(
1
1
1
0
Sonuçta,
![Page 24: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/24.jpg)
Örnek 3
42,0
20,2)(
t
tttv
)()4( tvtv
v (t) grafiğini çiziniz, .120 t
v (t)‘nin Fourier serisi açılımını hesaplayınız.
![Page 25: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/25.jpg)
Çözüm
2
2
T
T = 4
0 2 4 6 8 10 12t
v (t)
2
![Page 26: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/26.jpg)
Katsayılar:
12
22
1)2(
2
1
0)2(4
2
)(2
2
0
22
0
4
2
2
0
4
0
0
ttdtt
dtdtt
dttvT
a
![Page 27: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/27.jpg)
222222
2
0
22
2
0
2
0
4
2
2
0
4
0
])1(1[2)cos1(2
2
2cos1
cos
2
10
sin
2
1sin)2(
2
1
0cos)2(2
1cos)(
2
nn
n
n
n
n
tn
dtn
tn
n
tnt
tdtnttdtntvT
a
n
n
![Page 28: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/28.jpg)
nnn
n
n
n
tn
n
dtn
tn
n
tnt
tdtnttdtntvT
bn
21
2
2sin1
sin
2
11
cos
2
1cos)2(
2
1
0sin)2(2
1sin)(
2
22
2
0
22
2
0
2
0
4
2
2
0
4
0
0sin2sin nn
![Page 29: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/29.jpg)
122
1
0
2sin
2
2cos
])1(1[2
2
1
)sincos(2
)(
n
n
n
nn
tn
n
tn
n
tnbtnaa
tv
Sonuçta,
![Page 30: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/30.jpg)
Simetri
Simetri fonksiyonları:
(i) çift simetri
(ii) tek simetri
![Page 31: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/31.jpg)
Çift simetri
Herhangi f (t) fonksiyonu grafiğin düşey
eksenine göre simetrik ise çifttir, yani
)()( tftf
![Page 32: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/32.jpg)
Çift simetri (devam)
çift fonksiyonlara örnek:2)( ttf
t t
t
||)( ttf
ttf cos)(
![Page 33: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/33.jpg)
Çift simetri (devam)
−A dan +A ya çift bir fonksiyonun integrali 0
dan +A ya integralinin iki katıdır
t
AA
A
dttfdttf0
ee )(2)(
−A +A
)(e tf
![Page 34: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/34.jpg)
Tek simetri
Herhangi f (t) fonksiyonu grafiğin düşey
eksenine göre asimetrik ise tektir, yani
)()( tftf
![Page 35: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/35.jpg)
Tek simetri (devam)
Tek fonksiyonlara örnek:3)( ttf
t t
t
ttf )(
ttf sin)(
![Page 36: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/36.jpg)
Tek simetri (devam)
−A dan +A ya tek bir fonksiyonun integrali
sıfırdır
0)(o
A
A
dttft−A +A
)(o tf
![Page 37: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/37.jpg)
Çift ve tek fonksiyonlar
(çift) (çift) = (çift)
(tek) (tek) = (çift)
(çift) (tek) = (tek)
(tek) (çift) = (tek)
Çift ve tek fonksiyonların çarpım özellikleri:
![Page 38: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/38.jpg)
Simetri
çift ve tek fonksiyonların özelliklerinden:
çift periyodik bir fonksiyon için;
2/
0
cos)(4
T
n tdtntfT
a 0nb
tek periyodik bir fonksiyon için;2/
0
sin)(4
T
n tdtntfT
b00 naa
![Page 39: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/39.jpg)
Çift fonksiyon
2/
0
2/
2/
cos)(4
cos)(2
TT
T
n tdtntfT
tdtntfT
a
(çift) (çift)
| |
(çift)
0sin)(2
2/
2/
T
T
n tdtntfT
b
(çift) (tek)
| |
(tek)
2
T
2
T
)(tf
t
![Page 40: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/40.jpg)
Tek fonksiyon
2/
0
2/
2/
sin)(4
sin)(2
TT
T
n tdtntfT
tdtntfT
b
(tek) (tek)
| |
(çift)
0cos)(2
2/
2/
T
T
n tdtntfT
a
(tek) (çift)
| |
(tek)
2
T
2
T
)(tf
t
0)(2
2/
2/
0
T
T
dttfT
a
(tek)
![Page 41: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/41.jpg)
Örnek 4
21,1
11,
12,1
)(
t
tt
t
tf
)()4( tftf
f (t)‘nin grafiğini çiziniz, .66 t
f (t)‘nin Fourier serisi açılımını hesaplayınız
![Page 42: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/42.jpg)
Çözüm
2
2
T
T = 4
0−4−6 2 4 6t
f (t)
−2
1
−1
![Page 43: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/43.jpg)
Katsayıları hesaplayalım. f (t) tek fonksiyon
olduğundan,
0)(2
2
2
0 dttfT
a
0cos)(2
2
2
tdtntfT
an
ve
![Page 44: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/44.jpg)
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
tn
n
n
n
tndt
n
tn
n
tnt
tdtntdtnt
tdtntfT
tdtntfT
bn
cos2sin2cos
cos2cossincos
coscoscos
sin1sin4
4
sin)(4
sin)(2
22
1
0
22
2
1
1
0
1
0
2
1
1
0
2
0
2
2
0sin2sin nn
![Page 45: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/45.jpg)
1
1
1
1
0
2sin
)1(2
2sin
cos2
)sincos(2
)(
n
n
n
n
nn
tn
n
tn
n
n
tnbtnaa
tf
Sonuçta,
![Page 46: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/46.jpg)
Örnek 5
f (t)‘nin Fourier serisi açlımını hesaplayınız.
![Page 47: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/47.jpg)
Çözüm
Fonksiyonu tarif edelim;
3
22
T
ve
32,1
21,2
10,1
)(
t
t
t
tf
)()3( tftfT = 3
T = 3
![Page 48: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/48.jpg)
Katsayıları hesaplayalım.
3
81
2
32)01(
3
421
3
4)(
4)(
22/3
1
1
0
2/3
0
3
0
0 dtdtdttfT
dttfT
a
3
8)23()12(2)01(
3
2121
3
2)(
23
2
2
1
1
0
3
0
0 dtdtdtdttfT
a
Ya da, f (t) çift bir fonksiyon olduğundan,
Veya, basitçe
3
84
3
2
alan toplam
boyunca periyodBir 2)(
23
0
0T
dttfT
a
![Page 49: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/49.jpg)
3
2sin
2
3
2sinsin2
2
sin2
3sin2
3
4
sin2
3sin2sin
3
4
sin2
3
4sin
3
4
cos2cos13
4
cos)(4
cos)(2
2/3
1
1
0
2/3
1
1
0
2/3
0
3
0
n
n
nn
n
nn
n
nn
nn
n
tn
n
tn
tdtntdtn
tdtntfT
tdtntfT
an
;3
2
![Page 50: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/50.jpg)
1
1
1
0
3
2cos
3
2sin
12
3
4
3
2cos
3
2sin
2
3
4
)sincos(2
)(
n
n
n
nn
tnn
n
tnn
n
tnbtnaa
tf
Sonuçta,
ve 0nb f (t) çift bir fonksiyon olduğundan.
![Page 51: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/51.jpg)
Parseval Teoremi
Parserval teoremi periyodik bir sinyaldeki
ortalama gücün, sinyalin DC bileşenindeki
ortalama güç ve harmoniklerindeki ortalama
güçlerin toplamına eşit olduğunu ifade eder.
![Page 52: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/52.jpg)
=
+ +
+ + + …
2
0a
ta cos1
ta 2cos2
tb sin1
tb 2sin2
f(t)
t
Pavg
Pdc
Pa1 Pb1
Pa2 Pb2
![Page 53: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/53.jpg)
Sinüzoidal sinyal için (kosinüs ve sinüs),
R
V
R
V
R
VP
2
peak
2
peak2
rms
2
12
Sadelik açısından sıklıkla, R = 1Ω, olarak
alırız,
2
peak2
1VP
![Page 54: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/54.jpg)
Sinüzoidal sinyal için (kosinüs ve sinüs),
2
2
2
2
2
1
2
1
2
0
dcavg
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2211
babaa
PPPPPP baba
1
222
0avg )(2
1
4
1
n
nn baaP
![Page 55: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/55.jpg)
Üstel Fourier serileri
Euler eşitliğinden,
xjxe jx sincos
dolayısıyla
2cos
jxjx eex
2sin
j
eex
jxjx
ve
![Page 56: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/56.jpg)
Fourier serisi gösterimi aşağıdaki gibi olur;
11
0
1
0
1
0
1
0
1
0
222
222
222
222
)sincos(2
)(
n
tjnnn
n
tjnnn
n
tjnnntjnnn
n
tjntjn
n
tjntjn
n
n
tjntjn
n
tjntjn
n
n
nn
ejba
ejbaa
ejba
ejbaa
eejb
eea
a
j
eeb
eea
a
tnbtnaa
tf
![Page 57: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/57.jpg)
Burada,
11
0
222)(
n
tjnnn
n
tjnnn ejba
ejbaa
tf
2
nnn
jbac ,
2
nnn
jbac
Dolayısıyla,
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
ececcec
ececc
ececc
1
0
1
11
0
11
0
Diyelim ve2
00
ac
c0c−ncn
![Page 58: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/58.jpg)
Sonra, cn katsayısı,
T
tjn
T
TT
TT
nnn
dtetfT
dttnjtntfT
tdtntfjtdtntfT
tdtntfT
jtdtntf
T
jbac
0
0
00
00
)(1
]sin)[cos(1
sin)(cos)(1
sin)(2
2cos)(
2
2
1
2
![Page 59: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/59.jpg)
Çoğu durumda kompleks Fourier serileri
trigonometrik Fourier serilerinden daha kolay
elde edilir.
Özetle, kompleks ve trigonometrik Fourier
serileri arasındaki ilişki:
2
nnn
jbac
2
nnn
jbac
T
dttfT
ac
0
00 )(
1
2
T
tjn
n dtetfT
c0
)(1
nn ccYa da
![Page 60: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/60.jpg)
Örnek 6
Aşağıdaki fonksiyonun kompleks Fourier serisini
bulunuz
2 44 2 0
2e
1
)(tf
t
![Page 61: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/61.jpg)
Dolayısıyla
Çözüm
2
1
2
1
2
1
)(1
22
0
2
0
0
0
ee
dte
dttfT
c
t
t
T
12T
![Page 62: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/62.jpg)
)1(2
1
)1(2
1
)1(2
1
12
1
2
1
2
1
)(1
222)1(2
2
0
)1(
2
0
)1(
2
0
0
jn
e
jn
ee
jn
e
jn
e
dtedtee
dtetfT
c
njjn
tjn
tjnjntt
T
tjn
n
dolayısıyla1012sin2cos2 njne nj
![Page 63: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/63.jpg)
jnt
nn
tjn
n ejn
eectf
)1(2
1)(
2
Sonuçta,
0
2
0
2
0 2
1
)1(2
1c
e
jn
ec
n
nn
*Not: c0 , cn de n = 0 konularak hesaplanabilirse de,
bazen bu mümkün olmayabilir. Dolayısıyla, c0‘ı tek
başına hesaplamak daha iyi olabilir.
![Page 64: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/64.jpg)
2
2
12
1
n
ecn
cn kompleks bir terimdir, ve nω’ye bağlıdır.
Dolayısıyla, nω ‘ye karşılık |cn| grafiğini çizebiliriz.
Başka deyişle, (t) zaman bölgesindeki f (t) fonksiyonunu,
(nω) frekans bölgesindeki cn fonksiyonuna dönüştürdük.
![Page 65: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/65.jpg)
Örnek 7
Örnek 1’deki fonksiyonun kompleks
Fourier serisini hesaplayınız.
![Page 66: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/66.jpg)
Çözüm
2
11
2
1)(
11
00
0 dtdttfT
c
T
)1(22
1
012
1)(
1
1
0
2
1
1
00
jntjn
tjn
T
tjn
n
en
j
jn
e
dtedtetfT
c
![Page 67: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/67.jpg)
)1(2
jn
n en
jc
Fakat njn nnjne )1(cossincos
Böylece,
çift ,0
tek,/]1)1[(
2 n
nnj
n
j n
Dolayısıyla,
tek0
2
1)(
nn
n
tjn
n
tjn
n en
jectf
*Burada .00cc
nn
![Page 68: Fourier Serileri](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022100309/545163ceb1af9fce228b4680/html5/thumbnails/68.jpg)
1, tek
0, çiftn
nc n
n
Grafik çizimi aşağıdadır,
2
10c
0.5