fr bez-mat zapiski pred
DESCRIPTION
matematikaTRANSCRIPT
I :1
Ze.piski predavanj ntl VTS v ~le.riboru
Izd'lla Visja t er.nisk:i so le. 'l M3.ribl)ru
, .
, I, . I "I '. ' -. J 1 I"
I . :,.~fC;~lCA . RACIC?:AL:: ;" , IRAC:O!iAL:1A, R;:AL:P. ,
i\0:.?::'~.-\3::;'_ ':="T =.'1: LA I I:lJUi' ::IJ.\
':noZico "tvo r ':'jo ele r:;enti glede no. njih 9ttupnc ::;ri?aa.!'!us"; .
Tj~oto'litev , de pripada el.,,::lent x mnaZic! !.1, napisemo x E Mali 1.1: 7 x (mno':'i:a vsebuje element x ) . Taka tVOl'ijo na ;'1'1me1' naravna 9t evi-
+ le. mnoZico N, niCle funkcija Y '" sinx mnoHco n .. ... 0 , "!: it , . ' 2" .
I cr :w latinske S'l ecede mnoz.lco A .,. a . b , . , .
J;inoZica B je del mnoZice A, je podmn')ZicB. mnoHce A, so
nah:l.ja v n.noHc i A, ce sledi z a vs a.I< element X , ki je v B :or:: E D tudi x f. A. To pisemo B e lt ali :. .:> B. Gov orimo , B je del n.."lO -
zice A ali A vsebuje lll."loZico B. Znaka C tel' .:> stC'. zna!{h :!.nl:luzije
ali vscoovanja .
C9 je B e A in istocasno A ~ D, sta mnoz1ci A in 0 enaki ,
k~r pise~o A ~ B.
Vzemimo m!1.oZici A t er D. Sl ernenti , ki se r.anajajo Ysaj 'I eni
izeed mnoZie A ter B tvorijo unijo (zdl'uzenje ali vsoto) mnoZie , mno-
iiea C. Pisem~ C = A V O. Ii je oporato r un1je . Uvidiroo , A tJ A' A,
A V E", B U A (komutativnost ) .
Vzemimo mnoziei A tfr B. Razli ka mno!ic A in B je A" B in
tvor:" clemente m11oZ1ce A, ki nis' v B. B ..... A so ele~enti r:;..'!oiHc e B,
kl niso v A.
Fr csek mnozic A tel' B so tisti elementi , ki pripadajo obeneo
mnozicl A tel' B. Za njih velja x E A in ohenem x E: B. !.ino:'ieo p~C!sek
obell:iimo 2 operatorjem n in piSemo C :s An B.
~~ozica brez elementov jc prazna ali nicelna mnoziea v ali
nli O. 0c mn ozi ci A tel' B n imata skupnih eleme ntov , jc An B v.
- 2 -
·Pros ek poljubne mnoz!ce s prazno mnozico j c prazna mnozica . A n v • v.
Nadalje uvldlmo , A () A. ::: A, An B '" B n A (komutativnoat) .
lilnoUca j e ome jena navzgor , c e obstaj a taka s tevilo iJ , da 90
v s ! el ementi mnoZice manj si ad M, x < M. Mno Zica je ome j cna ns spod ,
ce obstaja taka koncno s t evi lo ro , da velj a za vs e el emen te rnno z!ce
x> m. V naaprotnem je mnozica neomej cna .
UnoHca je koncna , ce 1ma koncno s tev ilo elementov , llnozlca je
ne s koncna, co vsebuje neekoncno mnogo eleme nt ov.
Ome jeno mno£lco 91 morerna predoclt ! s tock ami na omc jenam delu
s tcvils}(e premice , intervalu . Interval je zaprt I Co epadatn kraj1 s C!
int erval. tudl v =nazleo, odprt , ce krajisc l ne spadat a v cnoz1co .
Stekalls ce mnozlc p. je taka tocka , de se v pol jubno mnj hni oko-
l1e! te tacke naba ja nestat o· mnogo elementov mno zi ce .
Neskoncna pa omejena mnoiica i ma vsaj eno s t c!,ali sce . noka1.:
jeer jo omejena , jo more rno nanest1 Da omej en interval~ I n terval razpo ..
l ovimo. Ke r je v int6rv~lu ne steto mnogo elemantov , jih je vsaj v oni
polov! c! nestato mnogo . To polovico r a zpo lOvimo da l j e . V~aj v eni no-
vih pol ovl c ~ e neshto e l ement ov. 'Tist o r a z polov l llo da ljc itd. Taka
pri demo do po l j ubno ozkih int erva lov., ki mej e proti t ocki , v kat erih
pa je S6 nestato elementov . Proces nns vede ~ s t ekal l scu .
Mcd najosnovne j s e mnoZl ce spadaj o mno~H c e h cvil . :;, t cv1ln s
katcrimi stejemo reel. predme te itd ., so nar avns st evlla I, 2, J , 4 .
Vsukemu narsvnemu s t evi1u n marerno prlredi t! l e enega ncslednikn n '
t cr jc n'- • n + 1 . Tako je l' .. 2 l 2' = J ltd .
Med naravnlmi 9tevili uvedemo os novne ra.Cuns~e opero.c i j e s este-
vanj s , odstovenja . mn?zenjn 1n delj enje.
I
!
"
I ! i
f ,. I
- n{' v , ,
Vsota
- ) -.!oJ;: .)i:~," ·/h 1 ... 1 f= :: stavil a t ~ r b j IJ
:~c::.:: or a tcr b skupaj . Ses tcva.'1 je je komutativno a + b .= b + a , vso-
ta GC n& spremen~, ce vrstni red sum~ndov spre~enimo .
Ses t evnnj~ j e asocintiv!"lo . Vs" ta a + b + c + •• • 'se ne spre-
~er.i , ce sumQnde poljubno zdruzuj emo v nove suman de in te se s te jemo .
Sesteva.n j e je v okviru na r avnih stevil onolicno i zvr slj i vo .
K poljubnima naravnima stevilomn n , b j e mczn~ naj ti eno sarno taka
stevilo c , da bo a + b = c .
Sestevanje je v okv i ru J:l a r avnih stevil neomejeno i zvrsljivo . a.
l \ poljubn1ma nar a vnima stev!lom(!. , b je vedno mozno najti taka narav-
no stov1 1o c , de bo a + b = c .
. Unozenje naravnih stcvil je kox:\Utativno . Produkt a.o.c ... se
ne s pr emeni , c e vrstni red faktorjev poljubno zamenjamo . -.... ,
.,' I .- ;~ i: ~. ~ ,.;' ~ ., !.1no;enje n~rp.vnih ·'s -;;vi·l .j e~' a;ocia"t'i V-"no. ... PrQ<iuk~,_ ~~bi ' ~ _[ ' 1', ,s e
no spremcni po vredno~·b , tv f£lktorje poljubno zdruzujcmo v p..o ve f ak-
torje in te me d seboj mnoZ1l l o .
1!nozenje naravnlh 5-;ev11 je distri butivno . V produktu A.E
moremo poljubnega izme d f <.:.nor jev r a zdruziti v dve ali vee su.o.a.ndov,
do~l j ene sumandc mnoiiti z ostalim fak torje~ in dobljenc dcIne pro-
dukte sestet! . Pr i tem se r ~zultat rnnozen js ne spremp.ni . A. J : A (b l+b~
"'.1 1 + A0 2 •
tlnoze nje nara'lnih stevil je enolicno i zvr s1Jivo . j( pol jub-
nir.'la naravnima ste'l ilor.1.8 a , o jo n:oz-no lls j ti enD s aroo take nar~'lno
stovilo c , de bo ab = c .
.. --....._-_.
- 4 -
Mnoz.enje naravnih s t evil je neomejeno ~zvrslj1vo . K nar<lV-
nimB st eviloma a , b je vedno moino naj~i tako naravno s tevilo c, da
ds bo ab .. c .
Stavilo c , ki ad1Uvno dopolnjuj'e stevilo b do stevila fl ,
take da j e b + c e fl, je razlika stavil a-b. Taka je b+(8- b) ~ fl .
Razl1k~ a-b se ne spreceni, ce minuendu a ter s ubtrahandu b prie ta-
jeno al i odstej emo isto stevilo, na primer e.
St evilo C 9 katerim je traba dano stevilo b mnoziti, d o.
doblmo dano stevilo a , tako, de je be = e, j e kollcnik stavil fl tar d-
b , e ~ (a:b) • S . KOllcnik se no spremen! , ce divident a tor divi~
zor b mnozimo eli delimo z istim e tevilom.
Naravna s t evila 90 urejena po velikosti . Zn dve stayi11 fl .
b velja n ) b (a je ve Cj l cd b) , a < b (n je manjai od b) ali a:s b .
Odno s ! neenakosti in enakosti so tranzitlvni. Oe je a > b ,
b > c , je a ) c . Ce je a < b , b < e je a < c . Ca je a '" 0 , b .. c
je a = e .
Zakon m~noton1je nam pov~ , da se enakost ali neenako s t med
dvema naravni ma ateviloma ohranja , ce levi in desni strani pris teje-
000 i s to naravno ~tevilo all ce levo i n desno s tran mnazimo z istim
naravnim stevilom . Ce je ns priOl . a> b , je MC> b+e tor ne ) be .
Deljenje med naravnimi etev11i pa oi neemejeno izvrsljivo.
Nar nvno Stevilo a moremo delHi 7. b, co je a celostevilcni veckrat-
nik od b , ~e je a c kb , kjer je k naravno stevil o .
ltolicnike i zvrsljivih ali n ehvrs ljiv1h deljenj dveh nn rnvnih
s tavil pisemo kat nakaznna deljenja v ob11ki dvojic teh stavil v da-
j , •
- 5
nem vrstnem redu, tore j v oblikl ~ , Nevedene dvojice ireenujemo
ulo~ke . Zgornje stevilo je stevec , spodnje imenovalec .
Ce hace~o ulomke smatrat i kat stevil~ in z njimi rccunnti ,
jih mornmo urediti po velikosti in jim ?redplsati r acuns!.e operaci-
je .
• Dvo ulo~ka st3 enaka b £ d
ce je ad be . Uloreok ~~ ~
CO je od ~ ·cb .
Ce v ulomku stevec in irnenova l ee mnozi mo z istim s tev!lom ,
. k o.e ta l j nc prim . e , se ul omek ne spremeni . Ulorn a be er b sta cn:1.,{::'. , sa
je (oe )b .= .(be) .
'. a e nd+bc ~ tor % dolocim~ p0 prayilu b + d ~ ~
Uvidimo , take definirana vseta. je kOL'lut a tivna in 3soeietivn.:c . Na
c 0 pr im . komutctivnost: d + b ~ bd • c
Produkt ulornkev definiramo po pravilu b ' d oc bd
Kakor '1 idimo , je ta.ko defini r nn produkt komutntiven . Je pe.
tudi asoeiativen in distributi'/en .
• 1 so posebni slueaJ'! ulomkov , nnmrec ulom-Tudi nnravna f:teYi n
ki , dvojice z i menovalcern 1 .
V okviru ulomkov je divizijn neomej pno iz.'1rsljiva . Kolicn1k I
a e ru! cd peljubnih, ulomkov je zopet uloroek . x = b : d ~ b : ~
ad cd ad '" be : '(lc;' • be '
cd _ 1 = 1 Je nnmrec (cd) 1 = l (dc) . saj je de - 1 •
Gela in lomljen~ etevila ai ponazorlroo na stevi13ki premici ,
take , dEl. nanesemo cd zacetkA. atetje. toliko dolgostnih Mot , kolikn
je velikost stevile . Tocke , do kntere pridemo , nem predstnylja ste-
vilo.
Uvidimo , mnozicn ulomkov je povsod gaeta . Vsnk ulo~ck jo
> o.~
stckellsce mnozlce . Vzemimo ulomka a ter b , a b . Ulomek -r- je
gotovo po velikosti med njlma. Ce neenakosti a > b pristcjemo nn
) a+b ) O+b >
obeh straneh a, dobimo 2a) b+a , a -2-' enaka a+b 2b '""2 b,
torej (l. b. Med poljubnima ulomkoma je gato,,:> po '4gornjem ) 0+2b )
eden po velikosti vmes med aberne. . i~ed vmesnim in predhodnim je zo-
pet eden vmes itd. Med se taka bl iznjima ulomkoma jih je ncateto po
veli:~osti vmeB.
Skupnost eelih in loml jenih stev1l so r ac ionelnn zteviln .
Dnsi so ul omki povs scjani po stevlls1ci premici,
obBtajaja nn preroici sa ste o racionalnn , ki niso ulomk
V tacki 1 na stevil potegnirno pravokotnico Z do1-
zinc 1. Daljica, ki veze to lske premice z drugim kr~jiscem pr~vokotno postnvljene
stovilsko premico , pridemo
cionalno, je iraci'ona1na e
kj~r bi a tea kl ulamko. b
1) V2 ~ ~ -, kjer -sta (l' in b n
ob~ sodi', C~ b1 bili sodi,
se dala . Kvo.drirajmo enacb
, , " 2 Ijiv
, e. z '4, iz cesar sle
p~otislovjB. 12 je torej i
Irac10rialnu stevi
ulomke s {2 ne. dv3. 'razred
kvndrati 80 veoji od 2 , v
manjSi od 2 . V obeh r a zre
I '
- 7 -
ro.zrodu . Vsak ulomek zgornjega razreda je vecji ad vsal{ e ga u10f.1 ko.
s podnjeg~ razreda ,
Tu ko j uvidimo , do. je vsn k ulomek 1e v ene Ul izmed r c zredov .
Ce oi nn. primer u10mek a bil v zgornjem in spodnjom rn.zredu , bi bilo
n ) 11 , kar je protislovje .
Nad~lje ob~taja tak ulomek spodnjegll razredu, ki S 0 po
vrcdnosti ad dolocenego. ulomk a zgornjego. r azredn ruzlikuj a Zll mcmj
kukor poljubno m3jhno stevilo E, Bedi A neki ulornek zgornj~~a rn.zre -
du , u neki ulomek spodnjega razred3. . Delima razliko A-a s t:.'cko voli-
k im nc..ravnim stevi::"oro N, d'l bo d = A; n manjse ad poljubno muj hne3a
stcvi'l a f. Tvorimo aritmet i cno za?oredje a , a+d, o.+2d , a+3d , •••••
..... +{ ii- l)d , o.+ Nd '" A, Ce gremo po Clenih tego zo.poredja, bo eden goto -
od gosto po
vila , ki nis
ski premiei
cko 0 stevi
daljice , je V2. Nanesimo to dnljicO no.
do tacke V2 . -"/2 pa je HaviIo , ki n i
te'lilo . Ne marema ga namrec -pisati v o, ~ b bili nara.vni stevili. Ce bi namroc
aravni stevili , bi il ter ' b gotovo ne
hi jih 'Z 2 krajsali fako dcilgo, 'dok'l
o I) , dohino a 2 "'" 2b"2 , Sl edi , 0. ' je z.
di dalje , d'a j e ' sc-' b daljiv z 2 , kar
rucionalno st~vilo.
la moremo definirati s preseld , Razdel
a. V zgornjem razredu so ulornki , 'knt e
spodnjero po ulomki, knterih kvndrati
_dih so ulomki. VSllk u1omek . je vsaj v
vo zadnji v spodnjem r a zredu , sledeci pa zato z o v zgornjem rnzrcdu ,
ra-
bll-
bilo
bil i
cr bi
2 "(1e-
je'
imo
rih
sa
enem
obo pa se r~zlikujota zn d , ki je manjsi kat poljubno mujrillo stevi-
10 E Preseke r.lore mo t c.ko tvor i ti tudi S poljubnim uloml:or:: , Ie da
go. stejcmo ali v zgornji ali v s podnji razred.
Vzemimo preseka lX. in ~ . Definiramo , presek o.Y.. jo eon}:
prcseltu r) , ce so ulomki zgornjega ro.zredu pre s ck n C( v zc;ornjem
razrodu preseka n? , ulomki spodnjega razred u preseke ci v spodnjem
r Gzrodu presp.k?- p> ' Prosek cJ~ Je '/e c ji od preseka (3 , c o mo remo
t,.ajti ulom!-:e spodnjega rozredc pr es e ku 0' ... v zgornjem rpzrodu pres c-
ka ~ , piSeruo OJ ) 8. Pr osek fhj e manjsi od proselm (3 , 06 (0, c o norcmo' ulomke ~gornjegn rezred n pr~seka eX" najti v s podnje~ r a z-
rcdu prasek:! r~. Od dveh pre sekov je vecji tisti, ki ima vc c ji
spodnji r a zre d .
- " -
- 8 -
Uadalje definiramo raeunske operacije 5 p!"<!seki in dokn::ct.1o t
da so rezultati take definiran!h rncunskih operacij zopct preseki .
Vaota pr csekov fXJ tar ~ je presak, k1 ima. v spodojer.l rnzredu vao
te ulomkov spodnjih razredov obah navedenih 9resekov . torej ulomke
zgornjem pe vaote ulomkov obeh gornjlh rnzredov prcse~ov
uloilke A+B • .Produkt presokov C6.~ j e prasek , ki ilna v gornjc!!I
Tazrcdu produk:te ulol:!lkov gornjlh razredov obeh presekov , ulooko AB ,
v spodnj cm r a2redu produkte ulomkov spodnjih rezrodov nb obah yrose-
kov,
Iracionalno stevl10 je presek , ki n1 tvorjen z ulomlroJ:l .
1rocion8.1n1 prasek doloe!). neskoncni decimnlni ulomek . Bodi
prosek a.. . Najvecje calo hevllo spcdnjege. raueda bodi a . Od
ulomkov a ,lj a , 2 ; a,); • • • &, 9 ; n+1 je eden zadnji v spodnjen rnz-
redu , 3aj j e a+1 ze v zgornjom . Tn bodi a , a l , kjer je n. a1+1 ZC v
zgornjec razredu . Od ulookov a , all ~ a , al~' .. •. je eden zndnji v
spodnj em raz.redu , no. prim. a ,a l 0. 2; a tal a2+ I pa j e ze v zgol'nj em,
Taka dobimo ne skoncni ulome k a , B182A)B4 •• • .• ki je vodno v spod
njom rnzradu . co b! po. zadnjo deeime1ko zvecali za enoto , bi ze
prisli v zgornjl r~zred .
Navedani decimaln! ulemek j a tem boljSi pribllzek ir=clonal-
neaa atavilo. , eim vee decioalk 11110 . Nste.ncnost jc GnaKa tisti dcl(c-
dicni enot i, 8 katero ulomek prcnehamo . Saj , ce zadnje ~esto pove-
came za doticno de kadi eno enoto , ze iracionalno stovilo pre8ezem~t
ker prioemo v zgornji razred pruseka .
Rncionalna in iraeionalna ~tevila s1 mo~emo predocltl na
stevileki premici, eo realns stevl1a.
•
- 9 -
Odstevanje '/ dos1ej razsirjencl!! ocsegu St~ll n1 neomej~no
izvrsljivo . OdstevDnjA St6v:l e, b moremo izvrsitl / !~jC n ~ b .
Uvedamo in definir~o re13tivna stevila . Pozitlvne stcvilo
+:. je tisto , ki je za. enoto. ,vecje od 0 , neg<l.tlvno ste'l1lo -:1 jA ()., 'r,.Q TlJHi 040. Ker se tako def . ~tev . nnl1::l~.:l.jo n n.
I enO~'Etlnt1. vn;f"hevila . Steviln 'l zntl::om + eo so tisto , l~i je za
pozitivna , 1. znaxom - negOlti'tna . Stevllo brez zneka J ~ nosolutno.
vrodnost ro1ntivnega stevila , pisijmo 1+0. 1= I-n l= n .
Re1ativni !he'lili 6ta enaki, ce S8 ujemata v absolutni vl'ed-
nest! in znaku . Vaako pozitivno stevile je vecje od v9skega negativ
nega . Od dveh pozitivnih stevil je vecje tlsto, kl ima vecjo ab
solutno vrednost . Od dveh negativnih ste'll1 je ve~je tisto , xi 1ms
manj~o ab$o1utno vrednost .
Racunske operacije z relathn1!!!i stevlli definil'ama r.a sle
deei na~1n :
( - 0) + ( - b) - (a+b)
8nakopl'edznacena relativne. stevil a l:Ie9tevamo t ako , da ses
tevamo absolutne vrednosti i n damo sKupen znek . Bodi a > b . SedaJ
je
(+a) + (-b) : +(a- b) ,
'( - a) + (+b) - (a-b) .
Ro.znopredznaaena ste'llla sesteV81l10 tako , da ad vocje a090-
lutne v:ednooti oditejemo manjeo in damo znak vecjc absolutne vred
nest!. Dalje je:
- 10 -
(+,) (+b) +H~ ,
( - o) ( -o ) +t'.O ,
(+0.) ( - b) -,~b •
( - o) (+ b) - ab o
Relat i v na stevilo. m.'1oz.irno ta.ko , da mnozimo absolutne vred-
l'!.osti ter upostevamo , da je produkt enakopredznacenih stevil pozi-
tiven , produkt raznopredznacenih stevi1 nega tive n . Eno.ko pr:::.vilo
v e lja za deljenje rclativnih stevi1.
( +a)
( - a)
( - o)
(+b )
( - b)
( - b)
( +a)
+ ( a : o)
Kompleksna stevila r-oremo dcfinirati z dvoj i c ami roa1nih ste-
vil v doloconer.! vrstnem r(; du , Z '" (a , b) . Prvo stevi10 dvojicc je rc -
alna kamponentCl , drugo imaginarna kornponenta .
Komp1eksJ'1 a dv o jic Cl j~ 0 , ee stet obe kon ponent i C . INe kor.l-
p1el{sni stevili Eta enaki , ~e 5e ujemllta v r<3 lllnih in i l"o.,si narnih
kompo nent uh .
Komp l e ksno stevilo , ki i~a i magina r no komponento 0 , je rc-
ulno . P i iiemo , a'" (a , 0) . Taka je realml enott. (1 , 0 ) '" 1 . Komp1e!{ -
sno stevilo je imaginarno , ce imo. renlno kOllipo nc nto 0 , tor<::j (a , b) .
Imaginarna enot a je (0 , 1) i. Zeto je (a , b) '" bi.
Kornple ksni m dvojicaCl pr edpiserno r a cunske op.;racije n[, 81;:: -
•
I, I
- 11 -
je d'lojica , ki im3 pr vo stevilo 'Isoto prvih .stev i 1 dvojic sumnndov ,
dr ugo stcv il0 v~o t o drugih stevi1 dvojic sum~ndov . zl + z2 ~
'" (a1
+ 8.2
' 01 + 02) ' Tako defi nirano s e st ~vanje je kOr.1utntivno .
z l + z2 '" (a1
+ a2
, b1
+ b 2 ) ~ (a2 + a l , °2 + b l ) = (~2 ' b 2 ) +
+ (al
, hI) = z2 + 21
, Eneko b i uvidel l , de je taka defi nirano seste-,
v anj ') asociat i vno .
Primer : K.Jr.lp1eksno st&vi lo moremo pisati v obl1ki 'Isoto
z (e , b) ~ (a + 0 , 0 + t) ~ (a , 0) + (O , b) = U + bi .
Razlika kOI:1pleksnih dvoj i c z l '" (a l , b 1 ) , z2 '" (<1 2 , 02) je
dvojica , ki ima prvD stev ilo r uzliko pr vih stevil cbeh dvojic , dru -
go stcvil0 pa razliko dr ugih ste'l i l obeh d vojic . Je t orej zl ' - 22 =
(Ul
- a 2 , b 1 - b 2 ) ·
Froduk i; ko:npleksnih dvojic definiran:o . Bodita dvo.iiei
(82
, 02) ' Pr odukt je dvojica tvorjenn po pra-
v ilu 21 Z2 '" (a1
a2
- b102 , a1
b2
+ 8. 2b1 ) · Tako definirano iT'j "oozenj e
je komut.'ltivno . 21
"'2 '" (,) l a2 - b 1b 2 , e1b2 + ['.2° 1) ~ ( ..... 2<11 - b2b~. , 0 2bl ~ <1
1b
2) = z2z1 ' Encko uvidimo , da je t a ko definiranc mnoienj e
acqc i ativno i n dis.tribut ivno .
? r imer : i 2 ,;: (.0 , 1) • (0 , 1) '" (0 , 0 "" 1.1) = ( - 1, 0) '" -1.
Imuginnrna enota iro~ lasnost " dn j e nje kvadrut - 1 . Je
tore j i '" v::i . Kvadrat 'lrr:aginarne~a ste'fila je negati 'len , Ir!:agi-
narnc:>. stcvilc. so tista , kate r il:. kvad r ati so negativni. So zmnoz ki
yo 1 jubneg8. stev i1a z imagi:larno enoto . Vsakemu rea1nemu 5t~vi1u b
morerno talw pri'redi t i im2. gincrno s t e'li10 bi .
- 12 -
Ha kornpleksna stevila naletirno pri r esevanju enacb z r c -
a1nimi l{oefic i ent i. Resirno enacbo x2
- 2ax .;- a 2 ,. b 2 0 . Rcsitvi
sta xl '" a + bi , x2
'" a - bi t orej komp1eksni stev~l i.
enak~ Stevili 1.1 '" a + bi ter z '" e - b i, ki i rnnt a toreJ· .
real:ni J.:oroponenti in nasprotno pred znaceni po abso1utni vrednosti
enaki i maBinarni konpcnen t i , sta prirejeni a li !{oniugirani . Vsota
in zmnozek l{o niugiranih stevil ste r ea-lni St evili .
Imaginarna ste'li1a 5i pre dac i mo na novi i magi narni s t c'li1 -pr:wokotno
. _ • ". -'- • 1 zgor 0 sl:i premici , ki jo pot egne mn l na real no v to' k' 0 Nov dO
..... eno e , n a vz 0 n0gativ-nanasamo po zitiv :1e veckratn i ke ' mag' narne t d 1
ne veckratnike imaginarne enote .
lComplek sno stevi1r upodobimo 5 toc ko . do kat ere pridemo ,
ce gremo za realno kompanento v zdo1z realne osi , nato pa 1.0. i magi -
narno kanponento vzdo li imaginarne os i ,
-,-2- ' , -, -}i -3i
s 1. 1
( -& , , o
'i~O--e- :
OglejJ:lO si potel!C e irlla-
gina r ne enot!! . i O 1, 2 )
i, i '" -1, "1
. 2 . ]. • i '" - i ,
1 . :3
, 1
- 1 , •. .
Potence imaginnrne enote so
+ i ali ~ -'1,
\ I i \ I I
I
I \ I i I ,
\ I
- 1) -
veckratnikom 4 je 1. Taka ugotavima poljubno potenco imaginarne
enate in. Je na.crec , n ~ 4ro + 0 , kjer je 0 = 0 , 1 , 2 , 3 te r je
in"", i4m . ir:f"", i O•
Abso1utna vrednost korop1eksnega stevile. je razda1je. ad ste -
vila do zacetka stetja. ! z! ;: !z! '" Oz '" l a2 + b
2• K'ladrat a0 50-
lutne vrednosti !Z!2 c 8 2 + b 2 ;: zz je zronozek s tevi1a z n jemu
konjugira.nim, je n)rma komp1eksnega. stevila..
Prakticno vrsim'"l racunske operaci je s komp1eksnir,1:" stevi1i ,
kakor z b inomi obUke a. + bi upostevajnc povsod i2 -1-
Tako je na. prim: ko licnik kompleksnih stevil z1 z 2
8.1 + hI i a
2 + b 2i
Racionalizirajmo imenovalec ter razsirimo kolicnil{ s koni -
ugiranim divizo·rjem.
(al
+b1i}(a 2-b 2i)
('2+b 21)("2-b 21 )
+ b 2 2
. 1{.ol1cnik kompleksnih stevil je korop1eksno stevila.
Kompleksno stevi10, tacka Z je enolicno doloceno z ahsolut-vrad .... o~t oi-lepa
l{ oli~in:J.Da. 'VOM ,<#:t#N
'no vrednost,jO stevila !z! ter kotom , ki ga abso1utna
5 pozitivno resIna osjo , aroplitudnim kotom ~ . S teme
/r/r/moremo
izraziti o,be komponenti stevila , dob imo a. ;: !l.! co~~ ,
- H -
b ~ ! z! sin~ . Stevilo je z
(COScp- i. sin4l) .
Navedeni sistem reelne in ir.mginarne stevilsk~ pre:1lice j c
GaUDSOV s i stelJ! . Cela Gaus~ovo ravnino opiSemo 5 ko;.ple:;s.'limi ::t e -
viIi , ce spreninjamo absolutno vrednost !z! oJ 0 co 00 , ar.lplitudn i
kat pa od" 0 do 21\ .
Enotina ali norroirana kom?leksna stevila so tista , ki i ma-
jo a~solutno vrednost I, to r ej ! z ! = I , !~! :: 1 . Taka stevilo ime.
obliko ~ '" coscp + i . sin>p in koniugirano f ., ccsrp - i . sirtf,p . Nor-
mirano stevilo je funkcije anplitude . Ce amplituda spreminj~~o .
-:i opisujel'0 normirana knmpleksna stevila kroz.nico s polmcrom 1. Imamo ,
z = f(cp) cosy + i . siny. fs ru~ Y't' ~JI'nV'
Funkcional nost normiranega
~(--~r-----'f-~2-~---:)
51. 2
Sl erleco lasn~st J obimo , ce C ( 1, ·5 2 = f (~) . f(~l)
stevila ina lasno~t . U~ je
f (O) :: I, f( - qJ) '" cosijl - ioain<p
(cosP+i . sing:) (cosC!J- i: sin)!) cos:r*i . si :-.~.,
1 1 f(~) •
!n!102.imo dye normirani stevil i.
cos(P + 1. s inCil CI"SIPl + i . sinIP1
- 15 -
(cost.p + i . s in~)(cos~l - i . sinIPl) ( COS~l + i . Zin~l)(cost.pl - i . sin~l) = (cos~ + i . sin~)(cos~l - i . sin~l ):
Fn ,
lforrn i rana kornpleksna stevil"\ w')zi!l!o , d2. scstevumo argumen t e ,
delima , da odstev6mo argumente . N:)roirana ~tevi la pott:r.cirarno , da rono-
zi:no arcument 8 potenc:.lim eksp .... n~ntom . Isto l ast!lOS'; i"'lCtjo pa e kspo -
nentne funkcije , saj j~ alP za t.p = ° enako aO = 1 . Delj~ jc a~ . a~l
;:: at.p+-qJl , a lP : aWl", aftl-t.pl . (a'f)n = anlfl . Uorem!' ton:j pisati
kjer je treba stalnico a pravilnQ dol("cit i, j'l be) lcya s';ran c:1a!{B
desni . Logaritmirajmo dobljeno enacb~ glede na ~snovo 0 , dobimo
'P • Ina", In(cost.p + i.sinIP) , l!lB = In (cnap + i . Gi np) ~
LO'la stran je stalnica , ki ima i sto vrednost pri vsakom cp
tudi ?ri 'P ;:: O. Pri 'P : 0 pa je izraz Da de~ni strani nedo l ocen ~ .
Ugotovimo ga na pri~ . po L' Hospitalovem pravilu (g l ej po~l~v jc 17! ) . ,"' Odvaj amo stevec in imenova l ec po W i n vne se~o z 'P vrednost 0 , dob i mo :
106
In.
Imarr.o
lim I n{cosp + i . sinp) ~
i a li a i e
lim qr-- 0
- sin\C + i . cos,? ccsp + i. sln~
1 " 1.
- 16 -
Vsekemu kompleksnemu stevllU moramo dati eksponentn o o bli:-:o
z ~ ! z ! (cos~ + i . sin~ )
z = !i ! (cos, - i . sin~ )
! z!el.ry tor
!z!e- Hp
frimer : Izrazi sinrnx tor cosrnx s sinus! in kosinus i ~nojnetin kota x!
Desno stran ra:wijamo po oin ::l l:lskern stavku , dobirr.o cosmx + i.si nmx
'" cosrnx + ( ~) 1. eosm-Ix . sinx + (~}i 2cosm- ? x . Sin2x + ( ~ )i \~sm-370 •
,3 (m),4 rn- 4 ,4 (m),5 m-, ,5 . d ' , . s~n x + 4 l cos X. Sl.t'! X + 5 l cos x. s~n y + , • • . IE. csnl. Pl. -
semQ realne sur:ande skupaj in irnaginar-ne skupaj . Iz cn{\:':odi leve in
desne strani sklepamo nLl enakost korr:ponent :
cosmx
sinmx
(m- 1) /2 E o
m ID- 2 . 2 m m- 4 . 4 m m- 6 cosrnx - (2 ) C09 x . Sl.n x + (4)C08 x . Sl.n x - (6)C05 x .
m/2 E J.: m rn- 2k. 2k o (.- 1) (2k)cOS X . 51n x
m rn- I . (1 )cos x . Sl.nx (m) 0 m- ) . J x + (m)co ~m- 5y' ~'n5x + • •• ~ J C S x . Sl.n - 5 - . . .,..1._
k(ID 1:l- 2k-I. 2k+l ( - 1) 2k+1)cOS X. S1n x .
Dodi z1 ~ 8.1 + bli, z2
21 .f: 22 j e 21 + z2 '" (a1 +. 0. 2 ) ib1 ) + (a2
:z: 1.1 + z2 ' Konjugirano steYilo k z1 - 2.2 je I
z{ • ("1 - 8 2 ) -
i;: vsoti ali r a zliki je vsota ali razlika konj ugiro.nih vrednosti ste-
vi I.
- 17 -
!ia sliee n nacin uvidimo tud i , da je (z1/z2) ( Zl z2) '
l~onjugirena ste,vilo k produktu .!'.li kolicnilm je produkt o.li
kolicnik konjugir~ih stevil .
Z lahkoto uvidimo , do. veljajo pr i raEunanju z absolutnimi
vred~o$tni realni~ stev i l odnosl :
lahko
lahl:o
l'
1) ! a + b ! ~ l a ! + ! b ! I suj je pri sestev!lnju s ar.1i;: stevil
abso1ut ne vrec.nosti debma unieijo .
2) ! a - h! 2 l a! - l h ! , saj se pri odstev<.nju s~ih ~tevil
nbsolutne vrednosti tudi seStevajo .
J) lab! '" ! e! • ! bl .
! ~! 4) ! b!
Iste odnose dokazemo za korpp l eksn a stevila ,
Prcd~cio~ 5i v GaU5sovero s i 3temu vso t o stevil z1 + z2
0.. " 4 . "i
s 1. )
tacka , dakatere sma priali , ee
sma s l i vzuolz r ealne os i za
• + a2
, 'lzdolz ir:1. .. ginarne -1
osi p l 'loa hI + b 2 , 121 + z2 !'
' z ' so. 3tranice triko-, 2 '
tnika OAe . Zuto vt:lja :
! Zl + 22 ! .(. ! ZI ! + 12 2 1,
Enakcst 'leIja , co i~nta 21 in
22 ist; amplitudo , ce degene -
rira trikctnik v u~ljico .
s1. 4
- 18 -
V tnkotniku 0,0.£ j e OA =- ! zl ! •
OB '" ! 2 2 !, An;;: ! 32
- 21
! .
Ker jc ,str:mico. trL:otnika
ostllih stranie !Z2 ! ter IZ ' . 1"
vclj3 !z2 - 21! // !z2'
Enakost velja Ie. CC imc.ta
stevili z1 tel' z2 iate ~mpli
tude .
Absol tuna vrednc st produktc. j c torej
en~ku produktu ab 1 t 'h so u n1 vrednosti faktorjev
Absolutna vrednost kolicnikn je kolicnik ubsolutnih vred~osti .
Enn izrned osnovnih metod mcternntic nega r~ziskov~nj~ je metoda
popolne 1ndukcije . Ce veljn neke .or~vilo v nekaJ' l' . s Uco.jl.h , s;,lepamo
odtod costo nn splosno vcljavnost pr"v1·1 "_ . Skl"p ~ ~ v tCM SQi$lu se irne-
nuje cmpirijska , nepopolna induke1'j" ,'n e'osto ne .. u voa l. do pT~vilnih rezultatov .
Skle p papelne indukcije pa je : Bodi na k" pl'llvilo izrilzljivo
z nnravnim stevilom n . Naj ve1ja t o pravi10 Z.:l sluc.:lj n '" 1. Gc more -
rna iz veljnvnosti .on, sluc'" kl . .. <.OJ n s ePIl:l. na veljn.vnast pravi1r:. v slu-
c a ju n + 1 , pot em vel' '1 J:l prD.V~ 0 v splnsnem . z a VS:l nQr.:l.vna st~vi1n ,
.. '- ,
I
- 19 -
n Prime r: 1. Doknii~o : Lk ~ 1 + 2 + J + . . . + n : nCn ;-11. Uvidi~a ,
1 zn slucnj n 0:: 1 pre.vilo velj n. . Iz ob l':lzcn zo. slu '::'ll j n p~ s cdi zo.
n+l sluco.j n + 1 : ....... "'0(0+1) (n+l)(n+2)
~" 2 +n+l: 2 (n + 1)«n+1)+1 )
2
To pa. j e nase pra'lilo zn slucaj n + 1 .
vi1:1 za
En2 +
(n +
n 2 . Dokaiino : , Lk2 '" 1 2 + 22 + ]2 + 42 ",
1
2 !!in+l){2n+1 ) +, n "', 6
Uvidilllt) , zn s1ucaj n = I 91'.:1.v110 veIja . Ce sklp.p~,L'O iz pr~-
sluce.j n n. p1'o.\"i10 za s1ucc.j n + I , dobimo: E(n+l)2 c
(n + 1)2 n~n + 1 ) (2n + 1) + 6~n + 1)2 in <. 2 1)(2n + n + 6n+ 6} 6 6 6
IH2 n 2 + -in + 6) (n + 1)(2n2 + 4n + )n + 6) 6 6
(n + 1)(n + 2 )( 2n + J,) Ce post::lv imo n + 1 =, t . bo dobljeni rezu1-6 t ot Ht + IH2t..!.....ll '1 .... 6 • To pc. je tisto pran 0
t. zn slucaj n + 1 .
:1;1. POTENE , KOREN! , LOGARITEM
Zmnozek enakih fektorjev : a , n . Il . a .••• a '. :1 :: [" n je pot enco. .
&tcvilo fcktorjev n je eksponcnt , sam fCtktor n je o::movo . on '" 0 ,
In", 1 . Potence sdhevatllo cli, odstev3mo , k:!unr i:r.ajo en",l:e osnove
in enu:,,~ cksponento in to t~ko . de sestevu!.:Io ~.li odJ.te\"an;Q kocfici -
ante : o.xm + bxn ... CXm ! dxn '" (a ! c) xI:! + (b ~ d) xn. Potence L1no-
zimo , kad~r imajo :
1 ) enake 03nove ali
~) enekc eksp0nent e ,
1 ) am . an = a . a ' B .~ ... 0..0. . n m+n n . a , a ' " n . n : 0.
a jc vzet no.jp~ej m krat , nato s a n krat kot faktor, v ce1o:~ m + n
c
- 20 -
kro.t , m Q. !
an Poten ce enAkih canov mnozimo , do oanovo poten-
eirama z vaota eksponentoY.
m '" a , a b . b . h . b ,., b . b ., fa~torjev
a in b je enako &tevllo, vratn1 red jim spremenimo , de. s ledi vsake-
rou a en b , dobimo m par eY ob, t orej ab . ab , ab (llb)M .t am • bm :a
~ (ab)m . Potence enak1h eksponentoY mn~zimo, de. zronoz~ osnoy po.
tcncirnMO s skupnim eksponantom.
Deljenje patene :
a (m_n}+-+'YI n m- n -'--an
Eks ponentu div1denda sme pr i e t al! in ocsteli n . v eksponcn.
tu emo dobili 'Isoto (m-n) + n , nnto smo dividend razst~vi l i 1n z an
krajsali . Potence enakih oanov del imo , da osnovo potencircmo z ra~
l ike eksponentov .
a , a . n, a m
b .o.h. b m
a •• b.b
;0 b
Potence enakih eksponentov delima , da kvlicnik osnov
pot encirnmo B skupnim ekeponentom . Iz 1 . pr~v il~ ~ deljenju sled! : o
~o am-ft 5 am : am = 1, a O ~ 1 . Ce poljubno stcvilo po-
tenciramo Z 0 , dob imo 1.
- m ~
0-' a aO
a 1- ~ (l)m. Stev110 potenc1rnrno 2 nega-am am 0.
tivnim eksponentom t a ko , da reci procno stevilo potencirarno s pozi-
tivnirn cl{sponent om iate absolutne vrednos ti.
Potencir a njs potenc: n- kr o.t
m • • m • • • • l!!+m+m+ • mn •
"-- ---
- 21 -
l'otencira.nj~ :::.mo spremenili v mnozenje patane en:!kin o rmov ,
e;~9pOnent m je prisel v produktu n krnt kot sumund . Potence potonci-
ramo , do. PQtenciramo osnavo z zmnozkom eksponentov .
l{ dan1 n- ti potenei xtl .,. a morerno poiskati ~snovo x, prn-n
virna , da B korenimo z n ter pisemo : x ~ va: 0 je r~dikond , e koren~
sk1 ek"sponent . Shvilo a koreniti z n se pravi , k a kot n- t i patanei n
pOis::o.ti oenovo . Dobljena oanova l.j.lQ" ime. lastllost . da do\)imo zo pct n n,.
potenco a, ce jo potenciraUl;o z n , to!'ej (Va)n .. a j Vo. je stevilo I
lei da potencirano z n dano stevilo a . Tni<:o 1 ~.stnos t ima tudi stev110
!. Q.n , kajti
!. tel' je : 1 • a je 1e druga pisnva za
nra :0 an • Stevi10 koreniti se pravi , potencirati ga z reciprocni m
ko renak im eksponentom .
!! m • Potenco korenimo , da deli~o potencni ekspone n t c R
s ~orenski!!l ,
Ulornak v l omljen2m eksponentu morerno razsiriti:
!! m • a
!1 ~ mx m m mx ~ I ~an a = a. '" Va"~ )_V_a"
Koren se po vrednoBti ne spr emeni , ce poteneni in kor onslt1
e!csponent z isUm ~tevilom mnoZi!:lo , dobljena operacija je r~~:Hrjo-
nje korcnov.
Ce mx Sx pisem~ zgornjo cna~bo v nasprotni smeri -Vu
H m,r.n n a •
vidimo , da s e potenc~ po vrednosti ne spremeni , co poteneni ~~ ko -
r enski ~ksponent z isti~ stevilom delioo. Dob1jena operacija je
kraj§~je korenov.
- 22 -
:;orenc sestcve.:!1.0 ali ods t cvamo , Ce ir:lO!.jo el"'Lkc rcd~.;\"andc in e ~:spo -
ncnte in to take I da sestcva:no ali odstev:3.r:lt) prif)!1dajocc ~oc'::i c i -
ante :
'!'r ,Pr or P-V A ± d 'V B '" (a + c) . \1 ,\ + ( b + d) . YD.
KorC_18 mnozimo in delima , kada r irnnjo encke k ore!'l:':t:c Lkspon&tl.te:
! ! .!. V;. l !
'V~ ';(; 'r;= y;; Am A 0 A AID BID (AB)m
! 'b") VB BID
Ko r-ene enakih korenskih eksponentov ffi!'\oZimo Qzircr:m o e11.-
mo, dn koreni~o zmnozek oziroma kol!cnik radikandov s skupnim ko-
renskim eksponento!!l . Ce koreni nimajo enaki h korenskih c!:s !)Onentov ,
j ~ h r nzsirlno nn skupni eksponent, ki jc skupni mnogokotnik cks po-
nc ntov .
l(orene potenc irar::lo :
n0 V A'.
Koren potencirano. da pot(:llcirol!'lO rndik:md.
Korenjenje korenov:
ieoren korcnimo. da korenir.l.o rcdikand z zr.mo~kom kor,:)hs::ih I '. I
I I
- 23 -
oksponentov . Enacbe x.Y .. z vete medsebojno J kolicinc . Ce r .:: cunemo
vrednost potence z k dan! 09nov1 x in eksponentu y , potcncirano . Co
racun<U:lo oanovQ x k dani poter:e i z 1n eksponcntu y , !corvnir:lo in do-
b1no:
x '" rz. Ce racunaoo eksponent y k dzmi patenei z z ozirom.
na dQno osnovo x , logaritmiramo , rezultat je y ~ logxZ .
Logari trnlrati stavllo y glede no ,)snovo P so pravi . poiskil"
ti rou c!(sponent glede na osnova p. Co j o logp Y • x. potem jc
x y . ~ Logar item y je t1stl pateneni eksponent , s keterim ~ar~oo
oanovo p potencireti , de dobioo dana stevil o y .
Logaritem produkta :
x ali v eksponentni obliki : pX A l ' )
Ek~ponentni enacbl 1 ' ) mn~lino , dohimo pA + Y A. D. Enncba
pave , de ~a x + y ekspanent It: AB z osnovo p ali log AB . torcj :
Loger item prodult:ta je enak vsoti logaritnov faktorjev .
c bedi 2) ab ~ cAli 2' ) e ~ b
Co logaritrniraoo navadani produl:t 2) . dohimo : log El. + lo C; b
~.r:: r, ali log So .. log e - 1001; b . Enncba pC've , l ogaritao kolicnikn
2 ' ) je cnak r~zliki l ogeritmov div1denda in divi2orj~ .
Logarltec potence moremo pretvor iti v logcriteo produkta
- 24 -
(ln~kih foktorj ev ! log J..n " log A.A. A . •• LA " log .\ + lo g A +
+ 106 A + ••• log A + log A " n log Ai log An = n log A.
Logariterl potence je enak 'ZllInozku k e spon~nta z lognritmow osnovo .
Lognritem korena sprenen'·.o ~ '" v l~garite~ po tence :
n 1 log v-; '" log An 1 n l"g A
Logariten karena je enok k 1 • ~ J icniku log~rit~a rad1kunda in
~oren3kegu eks ponente .
log 1 '" l . .,gp pO
je O.
o . Logaritem 1 glede n~ poljubno oenovo
- 25 -
III , DEprnICIJE IN GLf,VNE L"ST N05TI
TRlGONC ME'rRIC rlI:I FUrlKCIJ
Vsi pra'lokotni trlkotnik1 , ki se uj e!:l:!jo v e.leu ko tu, no.
priI:ler (X" se ujeoaJo v v geh in 90 s1 zeto podobn1.
e
Ujernajo sa v r~zmerjih istol eznih str~nic ; ~
a " ~ it d . R~~merja strcnic se spre~ene
2 1e , ce so spl.'enen1
kot, rnz~e~ja strcnic so torej funkcije ko t ~ , kotne funkcijc a l i
tr i gonomet r icne funkcije .
kotu raznerj e mad protllezno kat4)to in hipot onuzo je sinus l~ote. ,
kotu r a amerje roed prilezno kateto in h:', potenuzo jc ko~inus kota ,
kotu ra.zl!lerje 6.ed protlle2.no kateto in prilezno je t angc u s koto. ,
It.:Otu . razoerje !':led prileino keteto in pr otilezno je kot:c.ngens kat.n. ,
torej : sin e.G .. !. , cos <X. = E. , tg c(, :: -ba , cos cG '" .£ c c c
o Ka r ~a~topajo v pravokotnem tr ikotniku le koti do 90 •
raz.sirimo definicijO trigono r:.etricnih funk cij no. poljubne kote .
- 26 -
Pravokotni koordinetni siste- J·e.s ' ste-. d h ,~ ... I.' V I} prc.vo:~otno
sa sokajo~ih . premic , koordlna tnih os! , k1 sta :
'j 1) x os ali abscisna. as .
7 (x,y) 2) y os ali orrlinatn!l as .
SeCisce osi je koordinatni
'I zl!~etek .
X Lego tacke dolocnta. :
-x X 1) abscisn , k1 pave , . n
koliko morflLlO iti v stIer!
abscisna osi ,
2) ordinata , k1 pave , zn / -'1
koliko !:lOraDO it1 v scer i
51. 6 ordinatne osl , d. prldemo
do toc ke .
Abscise 80 na desno cd koordinatnega zacctka. pozitivne , nn
leva nenat lv ne , ord1n t a a e na.vzgor pozitivnc , n~vzdol negntivne.
Pozitiven kot dobirr:o z vrtenjem pozitlvne Ilbscisnc osl v
OJrntnl sClar! urnega ka za l ca , negativen kat z vrtenjen pozi t ivne
abscisne os i v emeri urnega kazalca .
Poleg kotnih anot st opin j ,
minut I sekW1d n
1° ,,60 ', l ' je 60", u po -
rabljamo nnjc csce locno -If
mere . Kot ja prcmesorllzrne -
ren s kroznin lokor.t , ki -)
1~a sred1aco v vrhu kota .
81. 7
- 27 -
Znto !:lerino k")t . de! cerino pripndajoci 10k pri po1oeru 1. Kat I
lti pri pe.de. loku do1zine polracra, je enota , i!1!€:l"!ujena jo 1 ro.dio.n .
Polni kat ina. pri po1meru r c 1 10k 2it . z-n'-l.lb Z:lto 2n ro.liicno''' ,
Tako je 360 0 2 radianov n
1800 j'( r rl.dio.nov
60 0 n/3 radianov
30 0 n/6 radianov
90 0 n/2 radianov
45' n/4 radianov
Nacrtam.o krog s polOlerom 1 v koordinatner:l sista8u. Vc r -
tn.jno pozitiven kot Ci.;.
)(
Znvrten krnk a odsece no.
krogu tocko A. Ordinata
te tockc je y tcr a~
sin dJ '" f '" Y I abscise. je
x ter je cos Q:; r ::: X .
Definiramo : ~inuo adnosnO
casinus ncke gn !{ot o. je 01' -
dlnata ozirotla nbscisn tab- . od
ke , I<.i ja ~o~e z-nvrton
l: ro.k no. krogu s polmeroc 1. Takoj uvidimo , da je sinus v 1. !(Vc.-
drantu pozitlven in raste od 0 do I , v 2. pozitiven in gada ad 1
do 0, v ) , negativen in p"lda od 0 do - 1 in v 4 . nego.tiven in ras-
to. cd - 1 do 0 ,
Enako vidie?, de. pe coa1nus v 1 . kvndrontu pozitivon in
po.de ad 1 0.0 0 , v 2 . negativen in po.da od 0 do - I , v ) . ncgntivcn
U){'O.l~r .q.oQaspo .:~ 'Pi: • ){9SPO
o ~ atO}!. suo:3 ue.+ : O!le.r~u'uap
a.+ 'Cz uT '/J ii.+ = HV : O!l1P~A
avo 'O){Tu:j.O}Fl zI ' Rli ){ aSpo
U~O){ U){U.l~ ·s 1){~0~ A SO OU:j.
-U9l?UU ~ 9;?Oso.rd Jjl~..r){ Ual..IA'3Z
1,\
I
~ " \I
/'
SO Otq,U9~~+
Ot ' IS
i
- PO..rOdZA OlUa~UU ~ (0 ' I) V ,.v '.C, " -, A Otu~ 'el..zx~U 9~OUa ~O..I){ ;:!n
1 t a OUATl'!:.zod 0"',0;) ". "~ ""'''." ~ ..,,,, .... "oL l, F~' SO::.'~ ('X> + 11Z }j) soo
(')) + 11.2) so::. 6 ' IS
"'I \
or "P I Ol:r~PTA ' 6 'oqqs z, , I , '2 sc, ' 0 , ' 2 up
' 0 , 2 soo ' I- 2 'f
, '£
up~
' 1- = , so, ' 0 , u u,s
' 0 2 500 ' I 2 ;;: ;;: u,s
, I (J sc. ' 0 0 UTS
- B2 -
.l
z OU
\
- 29 -
de. jc t::mgens v 1. kvo.aretu pozitiven in r~ J t (; 001 11 1 0 ':. '
tg (~ - 0) = + op ::1. li tocncj c lirJ tg (I - I:) = + (Y) •
i-> O
vcrtujno topi kat (~ (glej alik:" 10 ) , Njegov tangens je - AD1.
Tnngcns je v 2 , kvadrantu n ... gativan in r astc od - cP cio O.
Vidimo namrec , da je tg ( ~ + a) .. - OIJ ali tocne~e lin
tg (~ + E) • - "" :>:,-)0 Y
r; ...... " ,
\ / .~/
S1. 11
B
, \ f)(~ , O)
~ )(
llcrt nj oo kat J . kvadran-
t. ~ n + ct l njcgov
tangen5 je /.3 tcr jc ta-
1ikse n k:.kar t:; a 'l ' tarej
je: ttl. (n + ~ ) = t) (;i, .
Tangens jc v ) . kvudrnntu
pozitivcn kckor v 1 ., v
4 . nogl! tivcn !;:o.ko1" v 2 . , .a-e periodiCna fun): c ija 9 pcri -
ado 11 . V sp1osm:m to r ej ve1ja tg (Kn + lX, ) ,. ~
No. kro,g s po1meror:l 1 nacrtamo v taclto A (0 , 1) t.3ngenta , }:otnngen-
--, 1;,-
y ~A
\V SI . 12
T; t no os (51 . 12) . vcrtamo
po ziti van oster !{at 0/. . Kraka kOr.'.plcr.!cntnrncga ko -
t:l adse:5et~. ~n l;:ot:::ne;entn i
osi odsck AB , :;:i je :
- Aa ~ AB '" 1 = c()b A.. • Tak
adsek dcfinir::l.r.lO kot koto.n-
gens kato. d, Uvidioo :
kot cngens jc v I . kvadrv..nt u
- JO -
pozitiven i n pada od t>O do 0 , Vcrtumo topi kat tc;r viJl~lO , do:!
jc kotungens v 2. kvcdrantu negctive n in pad~ od 0 do _ ~
Vcrtajno kat tret jego. k'lca ranta (''' :::= Jt + r/, . '":,lOGOV kot -
angcns J' e . .t.B , ki J' e tudi cot r.' iM 0 t ( N ) 06 \,AI • ".e.::1 : con +'-' - c~
pa tud1 cot (Kit + c:t ) cot ct.
II 'j3 /' (,~----~=+~~--~~~
S1. 1J
Kot !lng~ns je 'I 3 . kvadran _
tu po zi tiven ka::or v 1. , v
4 . ' nC S::l.tivcn k",kor v 2 .,
je periodicna ft;.nl~cijll s
periecto n. . V1Jino lim
co t (+L ) ~ + (iJ • lin "£.. -') 0
co t ( - L) ;; - ()O . cot 0 :=
'1-. 0 ~oO lin cot (n + r)
~-)O
" + """ , lio cot (n .- r) £-> 0
<>0 , torcj ; cot 0 "
~ "'" , cot_ n 2 " 0 , cot n
. ~ CO
.
Znak tri gonooet ric nlh f unkcij po pOsul!lezni h kvudrantlh, j c
rnzviden 1z tabele :
I II
s i n + +
co s + -tg + -cot + -
S1. 14
III IV
- -- +
+ -+ -
1z ennkostranlcn~~c t r i ko t -
nika morc::lO ' ugo~oviti 'Ired .
nost trigono~etricnih fUn-
cij ketov ~ 1!'1 } . iz cnaka-
krakega prnvokot~cG~ trikat -
nikn pa vrodna:::t i triGono-
~et ricnih funkcij za ~ tor
- 31 ..
uob ino s lcdc'::e ':red:lOsti :
I:10reSO
I n ! n n Kot 0 6" 4 ) "2 1 ~V2 1 {j 1 sin 0 "2 "2 ._._---
~VJ !\12 1 0 co s 1 2 2 .. -!1JJ 1 1[3 DO tg 0 J --
cot 00 VJ 1 !V J 3 0 --
S1. 15
. t . t-ic"nih fun'c'j v v~9J'E: k·.-:lc!.r"~'l'!;ih Vrednos t 1. rlgonooe ~- l'I. ... ...
" ·, -_ednost~ v 1. kVlldrc.nt u . 'I:"!:.C/ jc n . pr . ugotoviti s powo~uo ...
B ..
Y sinus topeg" kob ,
... / ./
S1. 16
" \
/ ./
S1 . 1 7
x
AB ol s in (n - 1£ ) '" j\B ::II 1 '" ~ ( glej sliko st . 1 6)
cos (It - tt ) '" - OJ) "-
'" - C03 f)~ .
OB 1
(Cas:nus iz-~ncencGll kotll :
J'. - OA c03( -'2 - Cl) " - OA 1 . - sin ct (g l ej 01. s t , 17) ,
V 1. 81uc c.ju je ~il nrguncnt
1t - c(, ali (2 • ¥) -0;: , v
2 . s 1ucaju ) . ~) - ex, v • 1. s1ucaju t;ode,,~n nnogako t -
nika. ad ¥ Sf: fun~c ij.:'. o:~ro.n1 ,
" 2 . s lu=nj u 1ihl1':;:' J:1nogoko t -
nika a d ~ s e f tm!ti.:ij:t spreI:leni
v kofunkcijo in obra tno .
'I , ,I
,
!
- )2 .
Cc z,,- zno.nujer.lo s f ( x ) fUMcijo , :; cf ' }',)' , " 'ij , ~ .'CI:n',~r.: 0, ~,:a.T,:
f (2K , ¥+d, ). ~ f ( <t )
cf (2K , 2 ! (10 ) • ~ cf (0'. )
f (( 2;( + 1 )
cf((2K +- 1)
Ii
~!c\,)
~:td, )
j; cf ( o!, )
~ f ( 0(, )
Znnk desn1j. streni zgornjih enacb je tek , b ,krs:'l. !1 j~ ! .... n !:c ijn v
tisten kV l.'.dr :mt u , v katerell j e kat lave str:mi , ki lJ.U tl'igono-
i.letricno funk c ijo racunul!1o . Tako je nn. pricer : si!1 ( 1: :.?' ... )
'" - sin ct . ker j e 7t = 2 ~ tor 11 + cJ.... v ) . kv~dre.nt u , kjer jc
sinus negativ en . C:lS (n +C1v ) :;; - coset , ker je c03inu3 v J . kva-
drnntu ncgativen . Pray te.ko je sin (); +a,) '" - cos 0, , kcr i nano
3 . ¥ in kcr je .; inus v 4 . kvadrc.ntu negetivcn , cos (3~ + d )
sin cl , kor jc cosinus v 4 . kvo.dr n.ntu pO;'i. tiven .
Ogltoj l:lO si vrednost trigonocetricni.;. funl: cij neb.~.:i ·:nih
keto'! : sin ( - 0', ) = sin (211 :. a. ) :; - sin0-!.. argur:lcntu soo
nogli zaradi periodicnosti funkcij e sinus 2 7t priStet i. ~(C'. i sti
necin dobieo :
cos ( - OJ ) = cos (2n - OJ ) :: cos C(, . ~: r;(.) =
tg (n -c/, ) - ,.e/, , co, ( - ~ ) • cot (n - 0 ',)=
- cot d, ,
Punkcij c sin . ::t , tg x , cot. '{ so ta.ke , da se ji::l l ~ z.n •. l~ npreooni ,
CO oesto c.rgueent o. CX/ vnese t.1o - qj , i~enuj e !!lo jih ~ F'unkcije
cosinus pC!. ge po vrednosti n~ spreneni , ce n(::sto v.~ '/1'.0.:30:::0 - ct I
irlenujcno jo sodo funkcijo .
- JJ -
Trigonor..et ri cne funkcije vsot nli r z li;c t.or<'J:lO i.~ro.7.i ti
(I pomocjo trigonomctricnih funkcij sun:mdov . ZvezZl. med trigono -
Iletricn~ funkcijo vaote in trigonoL-:etricno funkcijO sur.andov je
c.dicijsl.:i teorelJ ..
V krog s polmeroJ'l 1 v koordinat nen s istc::1u vcrtaco :~ot
zavrt en krak odrezo nn kr ogu tocko r, o ko.t ; re ordinc.til
:B je sin ( 0(. +0 ) , absc i s6 DB po. cos ( 0{,+ (l ). Kot EAC je cnc.k
y
)I
s1. 18
, x
kotu c/.; , ker stn l<rnkn
tega kot a pr::vo::otna nn , krakn. kot A ((. Iz. slike
st . 18 v idino ,
+
+ '§' '" AE CD .
Iz trikot~ik~ AEC v1dino ,
d. je ;.E i- AC cos fX" iz
/} OC A P' • do je He . sin 0
I z 6 ODC vidino , do jn
CD . Oc sin d..t, iz .6 OCA
pa , do. je I)C '" cos 0 . Vr.}i.nosti navedenih daljic vsta'!i::!o v izrnz
(), «' (3 )" '-C . cos .:t.+ Dc . sin oG .. sin (ex., + \v ) , dobieo: s1:'1 vv + ... II', ,
:s sin (? cos dv + sind.,U!, toreJ :
sinus (oG + rJ ) :0 3tn .';/. cos (b + cos ~ sin r~ . Cos (d.. + 0 ) OB OD - Eo CD - Ee . Iz tJ ODC vidir.lO , dll
cos ~. ioz ECA pa , da je EC.).C sin lX.t. Tv upostcvamo jo Co Dc
(d + (?J ) • 00 cos d -v izrezu za cos ( ~+ r., ) in dobilJO : cos
Ac sind~ cos (;~ cos C? - sin ti- sin (; .
- 34 -
l1ndalje sledi za funkciji tg in cot :
sin ( 0(,. r, ) cos (0(. + (1 )
sin ~ cos 13 + cos 0(, sin 0 cos \?I'~ cos n - sin 0(, sin l?
:;tevec in imenovalec delimo s cos et C09 r; I dobimo:
CQS oin (o(.+ {3 )
tgrx. + tg 11 1 - tsoc ts ~ cot
cos ()(.. Of's ~ - sino!- sin (l; sinD(. cos (3 + cos o(. sin "
~t~vec in Imenova lec delimo S sinO(, 510 (3 in do.bimo :
cot ()(. cot '" - 1 cot t::It + cot ~
Obrazec~ za trigonometrlcne funk clje ra~like dobimo, ce
r azliko spremenimo v vsota in uporabimo obrazce za vsoto ,
oin «()!, - 0) = sin ((c<. ) + ( - (J )) = Sin cX, COS ( - 0 ) +
+ cos~ sin (- " ) .. sin c(. cos (3 - coset. sin 0· sin ( d - (3 ) ,. oind. coo G - cos c<,sin(lJ; Cos (d., - 0) = cos (0(,+ (- 0 ))
= cos et cos (- r, ) - sin dt sin ( - 0) . cos dcos 0 + sin C(.. oi43;
cos (tiw - C) = cos ol cos ~ + sin f.X sin f'. N. isti nacin dobimo za tg in cot :
ts (t;I, - (b ) • t5 G\, - t g 0 1 + tgO(, tg (l
cot (tiJ- 0 ) cot (~ cot '..h + 1 cot (~ - cot:X.
Trigonome.trlcne flUlkcije dvojnih katov sa izrazajo 9 pO ~
mocjo trlgonometricnih funkcij enojnih kotov:
- )5 -
sin 2d :; sin ( ol + at ) '" sin ct cos d + cos ri sin at 2 sinoGcos o!,;, torej sin 2a '" 2 sin cic oso.', ; .:05 20~'"
I . ~ N,..J 2 ,,-.,/ . 2 •. cos ( eX. + ~ ) '" cos (.7,,-CDS iiv - sin lA.I SilJi..A,..- '" cos fA,. ~. sJ.:1 Qf:..
torej cos 2 c<, . cos2,x. - 3i,,2('l ; tg 2 (;(. • t g ( ,,( + X,) •
cot 2 d.t cot ( a;:: ,. r1v )
Tri gJn0metr icne funkcije po iovic nih kct~v izra=amo s ?o-
mocjo t rigo nometricnih funk cij celih kotov:
at cosd", cos 2 "'""2
206 .2<::( cos --2- - S 1n --2- (dvojni kati ' )
eX. 0<.. Imamo sist em enacb za sin --2-- in cos -z-
cos 2 GG 2 0<...-"""'T" + sin --2-
2 <X.. cos --2--' -
1
co s c...->( ..
lz tega sistema na vadeni f un kcij i izra.1unc.;:;;c :
20(, coa --2-
2 c0
1 + cos C);" ~ o:~ +_ '\}1. + C02~ ~_"_ 2 co s T
1 - COG~ 0(. cos ex.. sin 2"" 2 , sin T ! V1
2
C"J eI_ sin 2 . V~ cos CI.,
t - - . cv + cos CL ~ 2 cos --,--
I I
- J 6 -
00 0:'-
cos - 2- cos <X,. cot - 2- 1 , i5I; 1 - cos Cl(, sin 2"
Vsote in razl ike trigonometricnlh funkcij pretvorimo v
produkte . V vsoti sin <X- + sin (3 plecmo kat d ko t vao ta dveh
takih !wtov x tar y , de je v njih r :: z;ik;\. r.. tOl' .! j :
X+y",C(,
x-y (l;
Iz navedenege sistema sledita za x in y vrednosti :
x • y •
Zgornja vsota je : sin cG + Sin ~ sin (x + y ) + sin (x - y)
sin x cos y + cos x sin y +
01., 2 sin x cos y c 2 sin 2
sin x cos y - cos x sin y = o • cos
oC (1 2
Enc.lea postopamo z ost€'.limi vsotarni oziroma razlikarni in dobimo
obrazce :
ain at + sin r.>
.in eX, - 91n0 co s <X.+ cos 0 cos c:i~ - coa n
2 sin
2 cos
2 r:os
cos
s in
0<-- 0 2
oC ("3 --2--
<xJ~ 2 cos 2
- 2 sin eX ; (?J sin 0{ ; G .
- 37 -
IV. ANALITICNA GEOMETRIJA TOCKE , PRE!UICE
IN STOZ ERliIC V RAVNINI
De moremo enelitl~nn , recunsko 9 PO$ocj o enach , ugotav-
Ijnti zveze med raznimi geometrijski oi tvorl , lastnosti reznih
geomstrijskih tvorov in. n jihove me"dsebojne odnose, uporabljamo
:rs,zne koordinatne sistema . P"'leg pravok"tnaga koordinatnegc.
si stema uporabljamo zel0 pogost " polarni sistem . Izherimo zacet -
no tocko 0 merekega sistema , iz kater~ga potegne~o poltrak, po -
larno as . 1ego tocke v tern sisteou
doloea'razdalja tocke od fl
~ ,
koordinatnega zacctka ali
radij vektor r tel' kot ,
ki ga radij oklepn s 90-
larno osjo ali amplituda ~ . )
1" Da bi do hili zv e~o mod pra-
81. 19 vokotnimi in polarnimi koor-
dinatami neke tacke , orientiremo polarno os vzdolz pozitivne abacis-
ne os1.
1'1
y
)(
1z 6 OMU ' raz.beremo :
1 ) x .. r cos qJ
y .. r sin qJ
Enncn! 1) stu prehod 1z
polarnih koordinat neke
tacke na pravokotne . Nadal -
je uvidirno iz fj, O~UJ ' de je
1'2 .. x2 + y2 , ~ = tg ¥. x
Y, rp .. arc tg x
- 38 -
Enacoi I') st~ prehod iz k pravo otnih koordlne t nel:e tacks no palerna . Vzemimo dve, poljubna k prevo otna koordina tna slstoma (x . y)
p'Y sistem tel' ( ~ • "'l) sistem .
Tocke. M iroa v (x , y) sis-
(~ . '? ) sistemu po f .1. Iz l ege (x , y) sistema p1'1-
)(0) demo do lege ( f I '? )' L sistema , ce (x , y) sist em
.... i-----.l..--...JM~';_-----)C......;:> najprej paralelno pl'eme.~me-S1. 21 mo , Taka pride izhodlsce v
O' in dobirno sistem {x o ' Prehod iz sistema (x , y) na (x • y ) o 0 nam povesta enachi :
2)x"xo + a
y .. Yo + b
hvrsili sma n · j t aJpre ransle.cijo v smer! x osi za n , nato pa v smer! y osl za h .
(xoYo ) sistem zavrtimo za. <X tel' prlrle:no ns ( f . '? ) sistem. Poljubno pret b k Val' 0 oordinatnega sistema sesta\' lja trans-
lecija in rot acija . IZ slike 19. vidimo :
Xo "" r cos «f+c:xi ) ,
Yo c r sin (y +rt.). tel'
- 39 -
f r cos ~ .
tr; r sin ~ ,
Ce zgornji eno.cbi rezvijemo , dobimo :
- r sin <p sin ()j , • cos <p cos a-:. sin ~ cos eX Y" s r + r cos <p sin lX .
Zn r cos 'fl t~r r sin <p vstavi!!)o f oziroma IT) in dobimO ,
f cos oG - "'l sin eX-~ .in 0(, + rr; cos C(; •
Enacbi ) st!l. transforrnacijski enach! za rotacijo keor_
dinutnebll sistema . Povesta nam , kako dobimo 1z koordinnt tocke
v z;::.vrtnem aistemu ( f . ~ ) kOQ'rd inat i tacke v nezavrtenem
(Xo ' Yo) ' Ce upostevo.mo se tranalncijo 2) , dObimo enachi :
4) x < F cos c::t If) .ineX + a
Y f sin ~ + rr; cos c(, + b
Obra tno transformacijo , ki nam pove , kako pride~o do
koordinat tocka v pravokotnem sistemu (x , y) ali , (xoYo) do ko.
ordinat tecke v ( f I rr; ) sistemu , doblmo , ce r eStmc ) ali 4 )
po f in r,; EI".acbl 3) mnoZimo 9 cos ex. oziromn sin a. in see ..
tejer.;o:
~ 1 Xo COS 00 + Yo sin~. Nadalje mn~zimo enacb~ z - sin d oziroma cos o(, 1n s9stejemo , dOOi!t.O :rt; . - Xo sin a, .. + Yo • cos e.G . Tnko dobimo k trensformaciji J) obrlltno trallsfor-
mo.cijo :
J') f · rr; =
Xo cos ct + Yo sin <X, • -x Sin d + y cos et. o 0
,
,I I'
l I ,
I
- 40 -
Ce ent>~:o postopamo s sisterr.om 4) I dobirno:
f ", ( x - a) cos C(..+ (y - b) sin r;i,fYj '" - (x - a) sin c£ + + (y - b) cos~ I t orej
4 ' ) f '" x cos()V + 'f sln tt - e cose( - b sin eX ,
rt; =- - )( sind+ y cos CI..; + a sin d- b cosa. a cos a:,,+ b sinat. '" c je f' komponentE! translac i je , a. sin t?(, -
- b cos d '" d je rr; korn po n lrt.e. tre.nslaciJe te r je glede nn to
(glej sliko 2l ! )
4 ' ) F'" x cos~+ y sin c::t- c
0/= -x sinc.'t+ y cos!X-+ d .
Velikost in naklonski kat dnljice ~oremo ugotoviti iz
krajiscnih koordinat daljice : lz slike 22 vidimo , dn ja
'J po Pitagorovem izrelcu ro.z -
daljn med dVdma tockcun
d = MI !II 2
Kat ~ I ki ga daljica oklcpa
3 pozitivn~ abscisno oajo ,
, I( je nakionski kot I njcga
51, 22 tangcns pn smerni kocfici -
ent.
lz slike 22 vidirr.l) : K
- 41 ..
Du1 j ico z danima krEljiScema rJ1 , fi2 r azde limo s toci~o Tl
~a daijici (notranja de1itev) ali s t~cko TZ izven deljice (zu-
nanja delitsv) v danem r~zmerju . Daijice stcjemo od leve proti
desni pozitiv!l.'"I , ad desne prot i levi negativno tar sta na primor :
daljici MITl in M2T2
81. 2J
deIitve pEl je poz1t1vnu .
poziti'lni I M2Tl pa n ega-
tivna. Deliino razmerja
notranje dalj~ce
MITl -- je M2'l'1
negativn:l,
delilno r a zmerje zun~nje
Koordina.ti .x , y razdelisce. dob::'mo 1z krajiscnih koord i nat .
M,
r,' /'1. 'i: ,
I~ 'I, 't
1,
.- ~ --+ "', x x,
81. 24
dobimo x :c in pray tako
><
y
1z s11ke vidimo , d~ je
daljica MITi'" x - Xl '
dnljica. T2Tl ~ x - x2 '
1z pcaobnosti trikotnikov L
in 1' 1 sledi : Ml Ti : T2Tl .:<
~ = 11 •. Ce l'nzrc ~hmo x - X2
enacbo :x - Xl
= 11. po x , x - X2
I I'
I ,I ,
- 42 -
Ce ~o dane koordinate ogljisc trikot nlku, dobimo njegovo
ploscino :
tro.pccov P AA1C1C
Ploscino trikotnika PABe dohimo , do sestejemo plosein!
ter PCC B B in odstejemo ploscino tr~peca 1 1 y
dobimo:
( (x~ 'h)
51. 25
FAA B B ' t orej ; 1 1
PABC '" FAA C C + 1 1
Recun da : Y1 -+ Y)
p '" 2 'XJ • Xl) +
Ce vrsimo neknzane rncunske operB~ije in izraz ~redimo.
Tocke ns krlvuljah imajo posebne lastnosti , de vc lja med ebsclsR=
roi in ordinatami tack na kr ivulji iata zveza . Zveza med abscisam1
in ordinatami tack no. krivulji je snacba krivul j e F(x , y) ~ 0 4
Ugotovimc zvezo med absciso in ordinato poljubne tacke lei
n n premici I ki oklepa s pozlti1fno nhsciSDO osja k.o t 0(. , no. ol'di -
n~tni osl po odseka ocsek n .
I I
j
I 1
- 4) -
11. slike !it . 26 'lidimo:
Y - n AI -x-' '" tg vv = K ali
1) y ~ Kx + n . Enacba
premice je torej line-
arna z\'eza mad spre-
men1jivkaoa X, y . 51. 26
Enncba 1) je razvit L. obl1ka enacbe prernice . Vso.::i linearni
enacbi ax + by + c ex c o morerna dnti r a zvito ob1iko y : - ~ - b
ter tOlmaciti : - ~ K • 'Sa. n krt smerni koeficient in
odsek no. ordinntni os1 . Vsaka 1inea rne. zveza. mcd dVama sPl'cmen1 jiv-
kame. predstavl ja ena.eb) premice . Oblika premice ax + by + c ::= 0
je zavisna od kocf!cientcv a , b , c .
Ce je b : 0 , j e enncba ax 2 - c, x '" - £. , pri po1jubnem • y je x vedno i sti - ~ , ima~o premico v r a zdalji - ~ vzpo~edno z
ordinntno osjo .
IY
51. 27
Ce je c '" 0 , imc.mo
X : 0 , tocke so na y
osi , anacba x '" 0 ja
enacbc ordinatnc a~i .
Ce je a
c y • - b
0 , je enc.cba
Pri vsckcm x
c . je y isti - b' :l.I.nar.lO
c premico v rnzdnlji - b
vzporedno z x osjo , (glej aliko 27) .
- 44 -
I -~ !Ir
,
S1 . 28
koordinatn i zacetek , - £ pa je : - ~ " a
koefic ient.
y
-x-) " \ Y
~------'» X
S1. )0
Ce j e tudi c ~ 0 , je
enacba y o . tocke so no.
absci2ni osi , enncbc y ~ 0
po. je en~cba ~b3cisne os1 .
Ce je c : 0 , je enncbn
ax + by o ali y = ... 2. x. a
KaT odgovarja no. pod l agi
te enacbe x • 0 tudi Y = 0 ,
gr e navedeno. pl' omica s ka t !
~ '" tg <X,. = K, torej smern i
Skozi ena tocko morerna
potegnit i poljubno mnogo
premic , dobimo prcoicje .
Izvodi premicjn oklepajo
raz l icne kate s pozi t i vno
abscisno osjo . Ce je t uk
izvod Y = kx + n , mo r a
it i ,
tocko skozi 1.11 (xl Yl )
ter je Y1 = kX1 + n,
1z enacb y .. kx + n, Y1 '" kX1 + n , eliminirllJ!!o Z odstev~.njem para-
met er n ter deblmo :
r - 45 -
2 ) pred stavl ja pri spret:!enljivem k sku}:nc_': premic s~:-::::~ . t~~~: :':
~ll (x1Y1
) . pri s talnam k pa premico skr>zi tocko Tl " Ce h i
11(1 t a!-':i prenll. (, i poznali se nadalj nj 0 t ocko M:z. (:<2 ' y 2) ,
tern tocki !':1 t er !J.2 rlolocata srnerni k oeficien~
po -
K premica je z dvema tockama popolnoma dolocena
in dabl. oblik..,
Ce i~berema za t ock i 1 skazi kateri gre premica , tacki na \{Oor -
dinatnih oseh Li (m , a) , N (0 , n), dobi premica o:-lH:IJ, iz :~a -
tere vidir:lo od=eke premice na koordinatnih oseh:
m
/},y N( O,'h)
~r,
S1. )1
Al y
\
if ("('- J'
I~
"" V S1. 32
)(
y ~ D- (x- m) al i nx + my ~ mn , - m
delir.lC Z J!l1'. dobimo odse!:o\'no
ob1iko :
4) ~ +';L 1. m n
Koaficiente ene.Cbe preroice
izrazimo z ~azdaljo p ko or -
dinatnega z '\cetka od prE)mic e
in z njenim na:(lans!dm kotom <p
Dobi:no l'!. (. rmalno ali Hcssejeva abliko premice . Izh3...jamo iz oc.:;ekovne
oblika ;. + ;- = 1 tar ugotovimo i z slike st . )2 . d l je ~ c.,)s <;
I!. :::: ain C9 , torej 1. '" cos (p n rn p
- 46 -
1 n'
To vneS,erno v odsekovno obliko in dobimo x cos <p + y sin cp p p
:- 1 ,'II!J. 0 ali
5) x cos ~ + y sin ~ - p ~ o .
Vsaki premici ax + by + c ~ 0 moremo dati normal no
obliko 5) , ce J'o razsirimo t k1' 1 P 9 a l!! ::Itavi om • da bo !,oefi-
cient pri x enak cos 'P , pr1 y pa s1n <P, Dobiml! _ a JO x + bf Y +
C (J = O. a(D cos Cf , bfJ sin CP , cf "' • P. Eno9.cbi a f' '"' "' cos cp I bp '" sin 'P kvndrirarno in sestejerno. dobimo a2p 2 +
+ b2
f 2 5in2 If! + CO$2 <P '" I , fl' ( 09. 2 + b 2) ~ I ,
Va2 2 + b
Ce se odlocimo , da stej emo razdaljo ad koordinatnega
zacetkc proti premiCi pozitivno , patem imajo pozit1vno razdaljo
do prern1ce vse tiste tocko , ki so no9. 1sti s trani premice kat
koordinatn1 zacetek . ~ darno v t em slucaju t ak znak , da bo cfD negativno stevilo , imnmo ai&~~ E - gign c ,
Premiea: ax + by + c : 0 je v normalni ob11k1:
5 ' ) ax + by + e
!: Va2 + b2
o
Razdalja tocke P (x y ) od premice a dobimo ," o 0
Normalna ob11ka s je: x cos ~ + y sin <p - p '" 0 , vz;porednice 8koz1
tocko P (xoyo) pa x cos ~ + y sin ~ - PI C o . Ke r lez1 tockn P (xo 'Yo)
- 47 -
51. 33
nn tej vzporednici, jo
Xo cos <p + y • sin ~ -1''i~ _ O'I{~
- PI 3/- Xo . cos Cf' - Yo '
• sin cp .
R!lzdaIja d :: p - PI :>
p - Xo COB ~ - Yo sin ~ .
"-6) d : - (xc cos <p + Yo sin ~ - p) ,
RazdaIjo od tocke do premicc dobimo , ce pri nevcdeni .
dolocitvi znaka s tevilu (D, vst!l.vimo koordinate tocke I od ko.tere
rnzdaljo isccmo , v negativno norroalno obliko premice . Pote~ so
ra.zdc.lje tock , ki so n!l. i st i strani premice kot koordinntni U ',-
cetek , pozitivne , Ce bi (D ju izbroli znak SingfD z sing c ,
bi r~zdalje tack z obratne stroni premice , kot je koordln~tni
zo.cctek , do premiee bile pozitivne , razdalja pa bi bila d '" Xo
cos <p + Yo sin 9 - P. dobUi bi jo , ce bi kar v norm£llno obliko
premice vstavill koordinCl t ·~ tocke , od kat ere ru zdaljo isceroo .
I Ie
51. 34
Tocke slmetrv.lc 8 ltotn ,
ki go. premici 8 1 in 8 2
oklepata, so onako odda-
Ijene od obeh premic 81 ter 52' Ie razdalji moreta
bi ('be enako prcdznaccni
ali raznopredznaconi . V
slucaj u enako pre~znace
nos ti razdalj poljubne
- 48 -
tocke simetrale od obeh pr eoic dohimo en ~cbo si~etrale. d~ izen~
eimo enc.kopredznllceni normaln1 ob11ki premlc , v slucaju r2znopred"
zna.eenost i pa izeil<~.Cit:!o nasprotnopredznaceni norldaln! obliki p1'o -
mi c .
~-+--------------~~x
81. )5
Seci~ce . krivulj Fl(X , y) ~
o i n P2 (x , y) ~ 0 je tocka
T (xo • Yo) ' ki lezi nco prv1
in drugi krivulji ter mora
zet o biU
P l ( xo ' Yo ) 0
F2 (xo ' Yo) • 0 .
Seclece 'krivulj je re9it~v
sistero~ , ki ga tvorita ona~-
bi krlvulj .
Kot . ki ga premici 91 in 82 oklepe.t a , d obiroo :
y n.
)
Bod! ct1 naklonski kat
pr eroice 9 1 in njen Sf:lorn i
koeficie nt tg ct, l " AI '
enacba pn y .. Kl x + " 1' c(.2
naklonski kat premice 52 teT
s mer n! koeflcient tg O-t2
'" K2 , eneche. pa y ~ K2x + n2 •
Oklepajoci kat cp '" a2 .. Gt'l'
tangena tega kate. pa tg~ ~
~<';;;+~F!:-..------""")( i> tg (a 2 - ~ 1 )
81. )6 ' g a 2 - tg <X l
1 + tg C(, 2 'giXl
I
I
I I I
- 49 -
Dobimo Z~ tg oklepajocega kota obr~zca
K2 - Kl
Premici stn vzporedni , ce okl epcta ka t 0 ter je
K2 - Kl
1 + ~ 1:{2 , 0
r edni , ce inata cnekn smerna koefic ienta .
Premici sta pravokotni, ce oklepata kat
stozerni cc ali stozkosecnice dobimo. ce s~cemo konus al i
dvojni stozec z ravninarni: Ce secemo dvojni stozec
z r3.vnino pravol:otno nn
as , doc i no krog 1 , ce se-
eeoa dvo jni sto~ec posovno-
kotno glade nn as, dobimo
eli pso 2 (slikc ~t . 37) .
Ce seceno dvojni st02CC
z r 8vnina vzporedno z
osjo , dobimo hiporbolo ) ,
ce pa se cem9 dvojni stoze c
vzporedno s tvornica , dobi~o
parabolo 4. (Sliko st . 38) .
81. )7
,I II
- ;0 -
V pr~YJkotr"!r:, z{oordinatner.; sistemu j e cna.cb::!. st ozcrnicc
kvadratna enacba
Sl . }6
t-Y .~"
/ M (X 'I)
( / <'(1/') ~ '1~ 'L
r~1 I )I. - 1'1 I ,
, I
'" 'L ,
/ ,
Sl. 39
" 2 2 -'- 2 x + y - 2 px - 2 qy + p , q
- 2 P = 0 , - 2 G b , 2 2 p + q -
10)X2 +y2 + ax + by + c o .
8) A x 2 + 2 :aX] + cy2 +
+ 2 OX + 2 Ey + F '" o.
Posebaj pa se definiramo
posarnezne stazernic e
glede nn njih opccificne
lastnosti.
Xrozn1ca je geomctrijs!:o
rnesto tack v ruvnini , ki
"" sa z/r oddaljene ad sre-
disce. S (p , q ) .
Iz slike st . 39 r~zbcre-
010 :
9) ( x _ p)2 + (y _ q)2 •
2 = r • Dob ili sma normi-
rn.no obliko cnucbe l;:ro ~ -
nicc . i1. katoro stu r0.2 -
v1dni koordinati sredis~a
P , q in palmer r. Ce 9)
rnzvije~o , dobimo :
2 - ce r . 0 , oli je
2 r . c ,
r I
- 51 -
10) je r a2vitc. ob1ik~ enacbc kro1.nice . L~agli a i ja se
ro.zjiriti s po1j.ubni r:l s-':e·/ilom A: Ax2 + Ay2 + Aax + aby + AC '" o .
ali
10) Ax2 + Ay2 + 2 Dx + 2 EY + F ,. 0 (2 D An t
2 E Ab , F " Ar.) ,
Taka kvo.d~t na enncba 8) predstavlja kr oznica , pri ka -
ter i je koeficient p1'i x2 enak kaeficicntu pri :l ( A = c) , mesa-
ni ';;vadratni koeficient pn je 0 (2'0 = 0) .
El ipsn je geomet1'ijskO me9to tack v r avnini , zn ka t ere je
v~o tn rl'.zdalj od dveh stdnih totk FI , F2 (zeriSC) stal:;.:l. neiz-
prcr:lenljiva kolicina. . Razdalji r 1 , r2' sta prevodnici .
r 1 + r 2 ~ const . ,;0..,/
,-. I,
'" 7,
I •
51 . 40
ie iz k~nstrukcije
vidimo, dn je kr i vuljo.
2 b , ki gre prtl.vol~otno
sko zi razpolovisce glnv-
ne osi TIT2 = 20. •
T3T4 • 2b .
1z pa teka prevodnic v tocki T2 v i dimo , da jc 1'1 + 1'2 ~
2 0. . vsota· p1'evodnic jc cnale!'. Gltl. 'f-
I
II I I
I
W j Sf
- 52 _ .
nemu pre~eru elipse r 1 + r 2 2a .
I z poteka prevodnic v t emenski tocki T) vi dim o : v to cki
~ 1 ~ r 2 := n . Razd~lja TJ sta prevodnici zar :ldi si:netriJ·e enak; r
ad ~nrisca do sr~disca je linearna ekscentr'cnost ~O ---... .lI.1 '" F 20 '"
'" e . 1z Pl OT) vid i mo , da jo ~2 2 a
u. 0 l iko , ce orienti -EnnebD. e1ipse dobi naJ·enost "vneJ·s·o b
r ::uno kooX'd in<! tn i osi vzdolZ. gl2.vnih osi e1ip3e • . Zf'.riSci i:nntn
Iwordin~te ... ocki Pi ( -e, 0) , P2 (e , 0) prevodnici v pol J·ub·n; t·
11 ex . y) pa stu :
2 y .
Dob ljeni enaebi odstejemo ,
leva stren r azstavimo in'
~....,(-:~""'::"------l-----~~~f---~ upostev.'lmo , do. je r 1 + r 2
:= 2a , dooimo :
4 e x 20
S1 . ~l
2 _
e evanJem in odstevanje:n prevo dni ci : 1z sistema. 11) dobimc s s s·t .
n - ~ a
, f-··
\ I
- 53 -
£nacbo elips e dobima, 5e iz 12} vrednost za 1'1 v9tavimo
2 v ono.l::bo r 1
Kvc.drirmji izvrsioo, enllcbo uredimo in upostevc.mo , do.
b2 in dob imo koneno:
13)b22 22 ?~2
x + a y ., 2.0 ali
1.
Ordinat o. v zariscu je parameter p . Krajisce pa=c.metrn
kaerdinati P (e,p) , b 2 2 2 2
ker lezi nil elipsi , je e + a p
2 2 b 4 b2
e ) , p ~ ~ t P ~ ~ a • Prava izsrad-a
noat , numericna ekscentri9nost , je kolicnik iz linearne ekscen-
C. 2 ._.2 b2
.b2
'- 2' 1 - 2 · n tricnosti in glavne polosi , a
Humcric nll ekscentricnos t elipse je manjsc>. od 1 ( f ( 1) . Hiper-
bole. jc geometrijskO mesto tack v rav(lini , zU kat ere je r2.z1ike.
razdalj ad 2 stalnih tock FI , F2 stalna, neizprenenljiva kolicina
•
s t~lni tacki sta go1'isc l, r ;>. zda lji pa prevodnici 1'1 - 1'2 >< xonst.
Premica skozi 281'i5ci, rea Ina os , odse ce nu hipcrboli
elavni· premer TlTz 2 a . Prnvokotnica skozi razpolov isce C;lnv -
nC l!;Co prcmero. (sredisce hiperbole ) je imagtnnrn8. os . 1z petaleo.
prcvo~nic . v temenski tocki T2 vidimo:
I .I
I I
II
II
f I
- 54 -
ali Tl - 1'2 = 2 Q . Rnz -
lika prevodni(; je glnvni
(:----------~<1~c1~~+-~---------- .. ,premer hiperbole . Raz -r. T"" It) l' \ F, ' dalja ad z2risca do srcdis-
ea je lineurne. e!:scontr!cnost
e J FlO '" ?20 = e . Dcfini -
/ ' j "< ' r amo imaginarno polos
S1. 42 - 2 2 2 b '" OT) kat b '" c - n •
i{oo r dinatn i sisto!:! orientiramo vzdolz glavnih osi tel' do -
bir:lo ze. kv~dr<J.ta prevorlic tlredn osti:
levi
nest!
Druga enacbo od~t e.j emo cd prvc , r3.z1iko kvn dratov na
r azstllvirnQ in upostev.:uno , d ., je r 1 - r 2 2 a, dobine : 2 2 r 1 - r 2 " 4ex , ( r 1 + r 2 ) (r1 - "2) " 4 ex
1'1 - 1'2 '" 2 a
S sestevanjem in odstevanjem dobi!!1o 1z sistema 15) vred-
Z11 r l tel' r 2 :
- 55 -
Ce iz 16) 'm';SCilO vrednost zo. 1'1 v pr'l~ en acbo 14) I
dobin:o:
2 2 Resimo oklepllje, urodimo in upoStavo.mo , dC'. jc G - e.
'" b2 tel' dobiuo :
2 - ~.1.
b
Tuko.j jc tud1 parameter ordino.ta v zariscu tel' ima njogc. kr8 -
jisce koordinnti P (6 , pl . Zeta je
2 2 a p 2 2 2 h(e - o.) ,
b 4 ~J P a
lluJ!eriCna c~~scentrienost
e? + b2 = 1 + b
2
0 2 n 2 . N".lr.leric!'l;":. ekscent r1enod hipcroolc jc
'fceja. od 1 0::-)::) 1) . Pr..; rnicn , ki se hip ... rbole v n0skoncnosti
dotilca. , je £l.simptota . Dobin:o jo kot premcr prep':'ce skozi sfC-
disco hiperbole , ki seku hiperbolo v neskoncnost1. Fr omer y :: kx
I' Y
S1. 4)
2 2 secemo s hiperbo10 b x
(!.2y2 o?b 2• ec y cliroi -
b · b2 2 niramo, do ~mo x . 2222.22 2
0. k x = 0. 0 , x (b
_ a2k 2) • n2b 2
2 x n 2b 2
" II
- 56 -
k t~i,:o izb ercmo, d o bo 2 ('¥.i . b 2 2,2
x --. Zeto mora bi"ti - :-. l{ O.
k 2 2 £... k :!: l!. c.sim~)to t i sto l!. b
2 , a , y x , y x . a 0 a
Por:1bala j<3 gcornetri.isko mesto tock 'l ravnini I ki so
cn2ko odcnljene od st~lne premice in stnlne toc~e. St nlnc prc-
mica je vodnicn , stnlnn to~kn po. Zarisce .
y Najblizj::l tocka vodnici
teme in zariscc jc as
je t ame T , premica sko zi
/ parDbole . Rnzdnlj :. od
Zo.riSC3 do vodnice je
- paramet~r p. j{oordinatni
sistem ori::.:ntirano tn::o ,
dn gre ~bscisna os skczi .
terne in zariscc , ordinatna
as po skozi tome T.
Sl , 44
;~oord in:ltc goris ca so F(~ , a}, cnacba yodnicc pa jc x
Enacbo pnrnbole dob i mo , ce upostcv~mo , da je r nzdnlja od toc -
81. 45
ke par'1.bo!e
F MF :0 V{x M do sori ;3ca.
P 2 2 - 2) + y
cnnka r£'.zda!j i tocke M
ad vodnice 1 + x . Enr'.cbu
pECI'llbo l e jc .E. + x 2
- 57 -
Go dobljeno ~nncbo kv~drir~mo in urediroo , dobimo :
18) i
2 x - px +
2 px .
£ 4
2 + y ali
Enncc,; stozernic rnorcmo izrnziti v po!nrnih ic.oordinut.:lh .
Vzemimo e.1 i pso' b2
:<2 +
+ o.2y2 '" a::'b 2, Zncctok
pclurnegn koordinnt~~ 6a
sistema bodi z~ri6cc F2
(e , 0) , od kodc r potcgnc• 7' ,f
~-----1----~FC-----+------<~~_~=+"---~~)tO>"m~o pol~rno as y s~cri proti . . , t emenu T. amplitude stcje -
roo ad t emens:{c tockc T .
iroD-ma : x - e r cos ~.
r = 0 -~ torej: a
81. 46 ;; a - gi.-(e n + r cos ~) .
0 2 2 - ~ 2 2 b 2 - 0 or cos k~r jc imamo: r = , • - e
0
b 2 _ t t"-r r = y r cos ~ , r + cos ~ p , n
S 0 r (1 + t cos ~) p , r 1 + E.. cos ~
19). r p
1 + -\ cos ~
Pri hiperbo11 pot egnemo pohrno as iz F2 prot! tcmcnski
tocld 't , od kn.ter c st ejerno amplitudl v obr c.tni smo ri u::.'ncgo. 1{(~.-
znlc..Q.. 6c je naklonsk:i kat r nd ijn q>l ' jc mnplit udo. q> '" 1': + <PI f
("
'I
I I
,'I "
I ,
"
;1
r
" 58 -
y
» X
81.. 47
{
i:n:lmo :
x - e . r C03 ~l '
r !'2' - ", torcj 0
r . ;;. (e + r cos ~l ) a 2 2 e - a + c r cos
r . a
. ker je 2 - 2 b 2 e " 0
2 + e r cos Ifl
r •
t r "" p + tr co s ~l
~
•
p + J. r cos (41 - n:) , r "" E
p - ,. r cos <P , r (1 + j. cos cp)
20 ) r o 1 + )ij co s Cjl
E
- n,
~l
je
p ,
?ri paraboli y2 2 p x pote&~emo polarno as iz zariscn
skozi tcmensko t oc!CQ T tcr sfejemo amplituda ad temenskc tockc v
/\
/
S1. 48
obrutni smeri urncgn
kaz:l l c<:. . Ce jc nc..klonski
kot rndija q>l ' jc amplituda
<p '" n + CPl ' I z 6 Fill.! ',
. d' 0 Vl lmo x - 2 '" ~ cos CPl'
Y = r . sin ttll ,
Dobljcni vrcdnosti vncsorco
v enacbo pnrnbulc in dobimo :
2 P (~ +
+ r cos CPI' , r 2Sin2 'fl1 p2 + 2 p r cos Cf11.
- 59 .,
N 2 2 Dcsrrt strrrni pristf:jcmo in odstejcmo r cos ~, in dobimo :
r2 sin 2 ~l P
2 + 2 P r co s ·~l 2 2 2 2
+ r C03 ~l - r cos ~l '
r2(sin 2 2 ~,) ( p
~l + cos . + r 2 2 (p 'Pl)2 , cos ~,) , r + r COG
r ~ (p + r cos ~l) ' Vstar i ;no ~l < ~ - " r p + r ccs (~- ,,) ,
r ~ p - r cos cp , r + cos ~ ? r(l + cos cp) p ,
21) r :::I 1 +' U cos cp
Ennebc stol.crnice morerna do.ti v pab.rnih koordir!D..tuh
cnotno obliko r = 1 'i'/P • kj or je nuroericno. eksccntric-+rE cos<p £.
slucuju kroga 0 , v slucaju elip5~ )t <:1 , v sluccjU nast v
hipcrbole t ) , 1 t er v slucaju pnrabole f. £
1.
- 60 -
V . OSNOVE DE'rERl'JI NANT
Vzernimo n elementov : aI' 0. 2 ' 0) 1 a 4 , ' 0 ' on ali zapo.
r "dn'h n"r" vn,'n " "" " .... _ _ ... :;;tevil : 1, 2 , 3 , 4 ... n " 1 , Tn luhko rc,zyo"
redirnc no. vee r a zlicnih nacinov , Pre hod i1. ena take rnzporcdbe
no. drugo aoenujelllo _ permu.tn.cij 0 ._ Tako bi bila neke. d..ru..go. razpored ...
ba nasih n elementov:
perrr.utacija 'P"- . ki prv-o-tno raz.por? dbo prevede v drugo, jo
I , 2 , J , 4 •• • • • .. • • • n - I, n
2 , 3 , I , 4 n , n - 1
Rozlicnih permuto.cij n elementov je torej toliko,
!calH:e je r.:lzli cnih razporedb. Najeno.stavnejsa permutacija je
mcdscbojDn. z omonjf!vu me st dveh elementov ali tranapo1<ic.ijC'. .
Vsnli:o razporedbo n element ov r::lOramo i2 pr votne dose~i z dolo_
cenim s t evilom trnnspozicij . Ce pridemo i2 prvotnc r~zporcdbc
nn l"lOYO . S sodim s te vilo m ~!'anspozicij , je permutacija. sodn, ce
z lihim stevilom , j e lihC'.. .
Ogl ejmo 9i stevilo Inoznih permutacij n elementov ,
Bodi stevilo perruuto.cij n c l ementov TIn ' stevila perl1lutacij
n _ 1 elementov TIn
_l
, • • . . . . . .••.•• dveh elementov n 2 , onoga
olcmc nto. TIL ' Tekoj uvidimo TIL ~ 1 , 1t2 '" 2. Vse moznc ruzpol'odbe
n elementov dob i mo , ce n o. jprej prvi e l ement drzima in astale '\'I.".,/> lwem" """,~tu
s prcmescamo ne. vse moine n a cihe , nato dr1.imo / d:rJ.gi elclimnt in
osta l e spremesc nmo na vse mozne n o.cin e itd . Taka ostan e vs ... \{
- 61 -
elv!!lcnt enl(r -.t nt' s ........ jem m;::!stu , os t a l e pr. premescamo m: vsc
mOZ~1e nacin e .
Dob i r::o zn t o " " " n nn_l ' T::<ko j e "2 2 n1 " 2 1 ,
11) " ) " 2 " ) 2 1 , "4 4 ") " 4 ) 2 1 nn
" n ( n - 1 ) (n - 2) ) 2 1 " n ,
Steviloy. v s e h rnoz.nih !Je r l:mtncij n elemen t<J v je n! S em
jc scv e d:l v s t ato. tud i i d en ti cl1a pe r mutncija , ki prevc d c pr'l o t -
n o r.:: zporedho v i s t o I t or ej
1 , 2 , 3 , 4 ..... n - I, n
1 , 2, J , 4 . .. .. n - I , n
Uvide t i moremo : vsaka pe r mu t acij a j e a l i SQd~ ~li lih a .
Ce do sezemo d0 1oceno r azpo r a dbc.. enkra t s s od i m s t c'l i lor.J t ran-
spozici j , j o dosez emo v edno s s oc im. I s to v e lja Z ~ lite pc r mu -
tc.c i jo . Vzerr: i mo n lwl i e in:
a t )
a s
Difer cncni produ k t ~t h kol i c i n defin i r amo kat produkt
r azlik vs eh e l ement '1'l 'Z V3:! .. i s ledecimi! t ore)
('1 - a 4 Hal "5)
(a2 - " 4 )('2 - "5)
(a) - " 4)(' ) - °5 )
- 62 -
Vso.ki rnzpo'redbi kolici~ 1) odgovnrja dclocc:.'J.<l. vrcdnost
d ifcrcncnega produkta 2) . Kqj se zgodi z diferencnim prod~iktom ,
CO iZ'Irsimo transpozicijo elementov a r ter as ' Bod1
fl.:'.stopn pred as ' ,o. r ter as n.:l.stopnta :
1) v faktorju a r - a , s
r < s , n r
2) v faktorjih n , ' 1
- a r ' at 1
- a s ' kjer je t1 poljubno
stov ilo manjse od r in s ,
3) v faktorjih ar r (t2<s,
4) v faktorjih a - at ' n r 3 s
kjer je t2 ~cd r in 5 ,
- a t ' 3
kjer je t J poljubno
stevilo vecje od r in s , r (s <tJ
(n .
Zamenjave. elementov ur tar as faktorju pod 1 ) znak
s prcmeni , produktu so zn3k spr emeni , fektorjclJ!a pod 2) za-
menja v produktu vrstni red , produkta ne spr<2?men i , obemn fnk -
torjcma pod J) znak prevrze , produkta ne spremeni , f nktorjel:lD.
pod 4 ) zemenja mesti , produkta ne spremeni . Poljubna transpozi -
cija dveh ol ementev tor<:j produktu Ie znak sprem..'!ni . VS['I,.':i sodi
pcrmutnciji odgovarja prodll.U P , v9aki lihi po - P . 1:er od6 c:: -V.:'.l'jll. vsaki permutaciji dolocen produkt , ki more biti saroo +P
~li SD.ffiO - P , more biti vsnkc permutnciju Ie soda ali Ie lihu .
i{or za. vso.ko soda slcdi lihll , je stevilo sodi h in lihih pcrum-
ta.cij enako po ~ !
Vcasih nas zanirna , na koliko nllcinov moretllo s k ol1lJ iniro.-
ti , izvzct i po k rnedsebojno rllzlicnil1 elementov iz n c1c.'7ICntov .
- 6J -
Obc 1eZimo to stavilo s (~) , Vst:.ko kombino.cijo k + 1 c1e::l ~ntov
iz n dl'lbimo , co kcmtinrlciji k element ov iz n dodamo se en
clement iz r eZE:rve preostlllih n - k elementov . To 1ahko 0 pre.·
ce lem (n - k) (~) izvzotij vimo no. n - k nacinov . I~~mo t~ko v A
T niso vsa med seboj rnz" 1:: + 1 elc:n~ntov iz n e leli.et"l.toV . u pa
k + 1 e l ement ov aI' "2 ' "3' • .. . ••• uk ' Hcno. . Vseko i zvzet.ie;
,., smo naorec dosl]gli '-k+1 n B '.< + 1 nacinov in to :: doda.jonj em
al
k ostali!:'l k ali 0. 2 k o:,;t21 1m k ali aJ k ostali!ll itd . £"tevi10
se'ooJ' razlicnih elementov bo torej r~zlicnih izvzetij k + 1 ned n
, i !:Il2mo rekurozij ski obr.:1zec (k+l) := k + 1 - t i del zgornJeg12 ,
elc"",enta 1z n oli (In) ;. n . En:>.ko je Stevilo izvzetij 1
(n) := 1 . Dcfiniraoo se (~) n
1 . Ce v r ekurzijski obrnzec vstuv-
n - 1 2, 3 , • . ••. I dobimo (~) := ---2--ljumo :?npored za k '.rrednosti I,
n (n) !L:...1. r' J::: J n ; 1 • I ' itd .... (~)
n(n- l) (n- 2) (n-k+l) 1.2 . J . 4 ..... k
b 1 ,. me",~uJ' erne tudi binor.J.sk.e simbolo . Naveanc sim " (l
~ 10 binomski Kct primer si ogl ejmo NcwtoncvO lormu ,
( b)n. obr'~_zec . To. no. pave , kuko potonciramo binom .:l +
to:cev .
l' k ' produktov enukiil fa.l{ -Pisimo n e.vedono potenco v ob L ~
) , + b) , (n + b) ." (e + b) (a +b )m " (~+b) . (a+b . la
dobimo 2m sum~ndov , ki • (0. + b) . 6e to zmnozimo , pll nino vol
- V· 0 zmnozl<i a - jev ter b - jev povsod v s~(UP-~~d seboj rnz1icni . S1 s
, rn " , bl'ez b - jev , tOl'GJ 0. • m. ?rvic nastopn en zmnozeK ni dimcnziji
- 64 -
'1'1 more j 0 imet i biz 1. ali 2 . ali
J .... ali m- tega faktorJ"(! . Je J';," t ... ore.j: olike , na kolilro
razlicnih nac inov morer.;o izvzeti b iz m raznih b - jev, ki na -
stopajo po fektorjih , torej (~) . Produktov a m- 2,,2 J'o t l' " <- 0 lko,
na kol i ko ra;zni)'l !lacinav Je mozno iZ'I;>.:eti po 2 b - ja iz m,
torej (~) i . t . d , Produktov am- kb k je toliko . ne koliko raznih
nacinov moremo i zvzeti k b- jev iz m ali (~) . Dobimo : {a+b)m *
(~)o.m . + (~)am- lb + (~)am-2h2 + (~)am- 3b3 + • ..• • + (~)a!il-kbk +
+ ••• • • (mm)bm• T m 0 moremc piseti tudi v skrajsani obliki (a + b)m~
Eam-kbk(~) • o
( jo( r,,\:J ,; .1.')'((1,)
Vzemimo n n - toric stevil , katerih prva bodi :
Prvi inciek5 1 !lum ·pove , da je to ?rva n-torica stevil ,
d r ugi indeks pa nam pave , kCitsI'O stevilo n - torice imar::lo . n . n -
toric tvori kvadratno shemo n2 et",vi l:
1111 , <;'12 ' a l } , Ill";" a 15 , /l I n '
/121 ' 8 22 ' fi 2J • /12 4 ' /125 ' a 2n ,
11)1 ' 9.)2 ' a)J ' 8 J4 , 11 35 , a 3n ,
J) <141"" 11 42 , 9. 43 ' e,+4 ' /1 45 ' ... a 4n ,
'. , - 65 -
Prvi indeks nam ' o,macuje vrsto , v k~teri se nahajc. ste-
vilo , d'rugi indeks p'O!. kalona . Taka je stevilo £\k v isti vrsti
in k- ti koloni.
S temi n2 stevili p~edpisemo racunsko operacijo nil
slcdcci nacin : yzemer:lO pro ,lutts c l enov z gor nje kvndratnc shcme
tn!;:o , de v sebu j e v sak proi,,:ct po en eleme nt iz vseke v r ste pn
tudi po en e l emen t iz \' sak( kalone . Ce faktorje uredimo po
vrstah , bodo tald produkti morali imeti ob liko
k jer so i , k , 1, m .• •• • t zopet vsa s t ev i la ad 1 do n v nekcm
dolocenem vrstnem e du . Ce jc razporedba i , k , I , ro , ••• • • t
dobljene. s soda permutacijo otevil 1 , 2 , 3 , 4 n , dodnmo
ze oOGtojecemu j)!'oduktu fektO l' +1 , ce z liho / dodll:::o p!'oJ.utt u
f ak t or - 1. Vse mozne take pl'odukte se;ltejemo . Rezul tat , ki g a
dobirr.o , je detcrminanta zgo r .'1j i h n2 eleme:1tOY, Ker jc r az l ic -
nih rn.zporcdb drugi:1 i ndeksov n ! , ima dete r minant::! n ! sU!!lan-
d o\' (pr odukt ov ', .
Pi s amo :
all ' 8.12 ' Ill)' " 1 4 [lIn
a 21 , 8 22 , a 2J , '24 a 2n
4) D 0. )1 ' a}2 ' o.)J ' 0. 34 ... " In L ! a l i , u2k · o.;1 · n4m '· .
a np
a nl ' a n2 ' a nJ ' n n4 . " • nn
, II
- 66 -
Vzcmimo poljuban su~~nd dosne strani enc5be ~) . recimo
?n.k;;orje sU!:!andR 5) morl!r:':o Ul'(;diti tudi po dru&lh ,
l'!'),'!:>iCnih i ndeksih in to t:lko , de. fnktorja v ccloti z::'.l>lcnjujemo .
IJl'odukt Sf.: ne bo sprcmen~l. Z-:-. to j<:= '>1 10 potrcbnih s tl':-.nspo -
zicij cclotnih f:l.ktorjc'I , dobili sma
21'1 tem je sedoj iI ' kIt Il' ro1 . •• • t1 neka r nz poredbn , ::1 jo
nnstaln iz 1 , 2 , 3 , 4 , . , .. n s pomocjo s tr~nspozicij .
Kar jc 5) in 5') 15to , uvidi!!!o : 'IS.:!.!': surn"nd d.)tcrmi -
n ..... ntc r,:orerno debit i , !Se uredimo po vr3t1 horizontalnc in,lc::;;;c ,
~ v crtikc.1nimi pc iz z:l.cctne rnzporodb e I , 2 , ) , 4 I I . n i;::'1r -
sioo doloc21'!o stcvilo tra."spozicij ali ce urcuimo po vrnti
ver t ik :l lnc ir.deksc , s horizontulnifli p3 izvrSino 15tO stevl lo
tra.no:.)oz,icij . 15to vrcdnost deter:;lin~~te torej dobi:l.lo, ce urc -
diaD vcrtikc.lnc lndekso. n~ horizont :l lne p:1. izvrsi~o vuoh n!
fJOZni~l permutacij. prodt:ktom , !d jih dobimo s sodlmi pc r mut o. -if,
cijo.rlli prid~r::J.o fo.ktor +1 , produktu z Uhimi p£'rmutncijo.r.li
fo.ktor - 1 in vse to.ko dobljenc produkt~ sestdjcr-O . Detcrf.1i -
n~nto. jo torej tudi
T.:l. rczultc.t bi dobili tudl , ce bi co lotno detcroin<!!1t o zav l'tcli
o~::Jli glavne diagon~~l c zo. 1800 tel' tvorili no.vedene produ::ic
- 67 -
ta.l:o , de. hi uredil1 ole:,;o:1,e po horizont elnih indeI<:sia , "lOrti -
li:a1nc po perrnutirnli . Po vrtenju bi na~rec prejsnji horizo}! -
to.l:1i indc ksi postali v&rt ik~lni in obr~tno .
all ' 1l'12 , 0. 13 ' 8.1 4 , flln I aU ' 11 21 , 8)1 ' "41 ("nl
'XI.. a 2) , a2~ ' a 2n I l"12 ' 8 22 , 8 )2' 13.,.2 "n2 0. 21 , 8. 22 ' , "R. I
0.1) ' 0. 2) ' 8)) , £lte ) ... "n) a) l ' 11)2 ' a JJ • 6.)4 ' 8)n ,
D • - I ~ . on I on ' a 42 , 8
43, a4~ ' .. .
" I I
~ I I
ann I 8 2n , a 3n , c'4n 0 anl ' 8n2 , an)' 8 n4 , ... a ln , on!
D(;tcrminc.nt~ se torej po vregnosti ne spreoeni , ce jo z:l'lrtimo
ol:oli glavne diagonele zu 1800
•
Oglejmo si mnozenje daterrr.i:nante s poljubnim stevilOf.l .
Jodi det c ::.'!'1inDn t~, D ~ L 't ali . D.2k . a)l • a 4!!1' ·· , Ilnt '
ee jo nw oiioo s k , morc.Ito vseh n! suoando'l desnc strllni
, l' -, ioer v vseh sum:mdih Ql c - • J mno::Hti s k . Fakt or prik Juclmo na pr . ,t:(~'f'.~¥.r""" f,.j.4 •
1 i . . . 90- na ·.-rimer! z t'l , dobi -ccntu z dolocenin horizonta n !:I lnac~ ,~ , ~
po :
Datc~~inant3 je torej taka , do. i mejo vsi elementi prva
hnri-Lon·i:o.1ne vrste faktor k .
T - 68 - - 69 -
ik ul l ' k.:l12 , k'::lJ ka 11 I all ' B12 , ttl) u1n I
I 0.;: 1 ' Co 2l ' (122 ' "2J a 1122 • a 2) :::l.2n 2n j
im n J1 , aJ2
, ~)) ... a I ·K 0.) 1 ' &)2 ' a J ) ... ~3.r. )'\ I
!lnl ' un2 , anJ .. . ann I nnl ' a n2 ' "nJ ., . o.J'1..l1
Jc tal'oj D
Vzeoimo dolvccn sun~nd detarninante D. ki odgoV.:lrja s
t ranspo zi cijam vert ikalni:l indeksov , I
I
Dctcrraino.nto mnozimo s poljubnil:l ste'lilom k , do mnoZif.1.o vse
clene poljubne vrste ali kalone z danim stevilo~ k . Ob rc.tno
Tom t ranopozicij ac drugih inde~sov edgavarja v deter -
min~1ti ~ sunnnd z vertik~lniDi indoks! iste razporedbe
po. ~oremo stevilo , ki se nu~aja v vseh c l enih poljuone vrs~c
ali !(ol one . pisa ti kat fnkt o r pred deterr.linanto . Zaoenjaj!~.o v Ge izvr simo Be ene transpozicijo med i in k , dobiuo
determinanti vrc clnost 8umanda datarminal~t~ D. 113 Z obratnirl znakOf!l . pri
all ' 6 12 , a ly "14 a in
£1. 21 ' fiZZ ' u 2J' 1124 "2n
drugi determinanti morerna doacei iste sumande k3kor pri prvi ,
1e z. 1 transpozicijo vee , ki jim preveh zno.k , determinant::!
D °J1 ' £'.)2 ' Co)) . ")4 .. ... a)n Dl ina vrednQst - D.
Ce toraj v detarr.1in::lr, ~i zo.t:lcnje.mo medsebojno dy e vrst i
unl ' <1n2 ' " nJ ' a n. ..... nnn I ali koloni, deterr1innntn zna k s prcncni.
mcdsc"'>ojno dvc vrsti ali kalani , recino prva in drugo vrsto . Vzeoi!::lo dcter.::linantc :z, dvema en:..ki!:'lD. vrstama nli ko1o -
nnne , na primer z enake 1 . in 2. vr9tO :
Dobi!,10 detcrrnin~nto
0. 21 ' 0. 22 ' a 2), 9,2.';. "2n
all ' 0. 12 ' a 1) , 0.14 " In
D) . a)1 ' a JZ ' 1l33 ' a3~ . .. .. ")n
r"' <112 , aU ' a 14 ll.1n
I'"' 612 , 8 1) , "14 "In
D = <3.31 ' 6)2 ' &J3 ' 0. 34 . .. . . o)n
a nl' a n2 ' a nJ ' a n4 a nn
- 70 -
Ge enaki vrsti mod seboj zo.menj amo , se determinC'-ntni
zna k sprcmeni , ost:me pLl ist:;! detcrr.Jina. ..... ta , torej je
D'" - D, 2 D'" 0 , D '" o .
lsta bi dobili , ce bi vrsti bili proporcionalni . Fa!~-
to r proporcionalnosti bi i z determinl!ut e izpostavili in hi
dobili determinanto z dvc!:'.u ennkioa vrst::U:1U . De t ermi n;mtn z
d,vel:la. e nakina oli proporcion:!.lnio:! vrstacD. oziromn kolonnmc. i r:m
vrcdnost o .
Deter minunta D", L : u1i a 2k a 31 • •• .• ant imn n l
Dur.landov , (n- l)! sumandov vsebuje fuktor a l l ' 1z tch (Po - I) !
sun:mdov 2.11 izpostavino , v oklepaju so produk t i ( n-l) cleuen-
to''' , ki il:lC.jo prve i:1dekse stevi l a ad 2 do n , drugc indc ~: sc po.
tudi ad 2 do n v vseh L"loz,nih razporedbah . Soai:!! r.:'!zpol'cdbc.n v
produktih odgoverj a znuk + , lihim -, Kar je v oklepaju je n - 1
'1rst;l.o. deter!.:iin:m tCl , ki bi jo dobili iz prvotne , ce bi crto.li
prvo vrsto in prva kalona , torej
D a nn
+ •..••
Nnu~lje bi iz sledecih (n - I) ! sun~ndov , ki vsebujcja u 12 kat
f al:tor , izpostnvili 0.12
' iz nns1ednjih (n - I) ! sUr.JOondov, k i
vsebujejo u1J
, bi izpostnvi1i a lJ i td . V oklepajih bi dobi1 i
1 - 71 -
E- 1 vrstne dEterDinClnte .
. suo:!!1dav , ki gu vsebujejO kat fc.ktor • . IzpO~L~vi~o fl ik ~5
t . Clen Co .;" 1ei.i v i - ti vrsti in
dob ir.'Q kat' f uk or prl. ai i<: ' .... n.
k - t i ~{ol oni .
D
C'.ll ' 0.12 ' "13 '1 k - 1 ' '1 k ' '1 k+1 r'.1n
.0'.21 ' tl22 ' a 2) '2 k- l ' '2 k ' '2 1:+1 "2n
tl)2 ' a}} "} k- l ' o} " "3 k+1 .. , <'l)n
C. 31 ,
1 , E'-i _12' ci
_1
, J ,o.i _l , k - 1 , .o i _1 , k ' 8. i _1 , l~+l •• · o.i _1 , n aI _I '
a" U £' !.-+1 ········· · · [lin o.i1 , 8,i2 ' i3 ' .... ik - 1 ' ik ' 'i n.
n 0.) k - l' ank • 8.nk+1 . •. .•• • nn
V"_5t' .z i - I . vrsta , t o . z . i · ·2 it d . : . . , Po i - I .
ZC"!.I:l'3nj;:.Do i - t o .., '.r'd5 ; - ta vrst::l. nl! Cl1:; sta prve , de t0rr:1in::mtc. ,
t ro.ns po zic ijah ".... ... i - I . \o: - to kolono s k-l, to s
I:: i jo dobimo , jc ( - 1) D. Za:J.enJL!.L".o
;c-2 itd . Po k - l tra..'1spo?.icij<:h pride k-ta kalona na Nesta prve ,
k +i - 2 . ( ,)1(+1 D ( - 1 ) D."'" - ,1. •
dct crr.linc..n t a bo
Dobi:no dete rminanto :
. / .
- 72 -
[tik ' <! i l ' ~i2 a
ik_
l, Uik+1
3. 1n
:llk ' all ' 3.12 u1k_ 1 • a 1k+1 BIn
C.2k ' a 21 , "22 ... u 2k _1 ' a 2k+1 . .. a 2n
scdj jc "\1'; ce l n i clem, " kllkor je bil pr ej 8 11 , Pl'l njGm stoj i
I,:ot f a ktor v deter.r.Jinanti ( _l)i+kD poddo t ermiJ'"'..a. nto. , k i jo do -
b i r.:.o i z prvot ne , C8 crt ar:lo i - t o vrsto i n k- to kolo no . V snmi
deterninanti D stoji pri elencntu (l.ik kot faktor n avedcna
(n- 1) vrs t na deteroinantn po~nozena Z ( _ l)i+k .
Kolicino
ir.lCnujcDo poddeterminnnt o 9.1 i n1gBb rajski komPlCr:Jent 1 elcna
I
I I
- 7) -
Ce t:l r ej izpoztevirno .!i z sU::l::mdo'1 , ki t vorijo dctc::-r.!i -
I".o.n';o , 1:1cne d o locene vrs te . l' ... <'l pr i ::ler i - te. dooi:!lo v o!:lepa-
j.lO poddcter~.!inllnte . ki prip3.dojO tet:1 c l e nan , Pr nvimo , dctcr -
r.1in:-nto 3>:".0 rr.zvili tic doloceni ne prir:;er i - ti vr8ti. Dobir.lO :
Prnv t9.ko r.:orGmo deter!!linanto razviti po poljubni ]:0 -
10"ni : Vzemi no dYe n - torici stevila 03.1 t a 2 , a 3' a.~· ... an tel'
bl
, -;) 2 ' b ) . b-+ , .. bn
" Vsot o produkto 'l po dveh istolcznih Ko - .
liein cbch n - toric : alb l + 0. 2°2 + c,Jb J + e .J.b 4 + . •• + a nbn
incnujeoo sk:Jln rni produkt obeh (I. - toric .
T~ko ugoto'limo : de1;erninant a je skelnrni produ l:t po -
I jubno Vl'5te ali kolor!8 s poddeterminant a mi t c vrste nli 1:0-
lone . I~aj dob i eo , co 'tv{J ri1:10 sk:11arni produkt nc!: e vrstc s
poddctcrninantG.f.li neke d ruec vzpo r edne vrste . Tvor i oQ no. prir.wr
skulnrr.i p r odukt prve. vr3 t .. ~ s poddet(;rminantami cruge vrs t e
dctcrnip..m'.te :
all ' u1 2 , a 13 , aU a ln
u2}. , a 22 , a 23 , a 2• a 2n
8. J1 ' 0. 32 ' u J3' aJ.f fi3n
D 1i41 , a 42 , 3. 43 ' 0. 4,;, . , . l!4n
- 74 -
To bo 01lA2l + 3 l2 A22 + a lJA2) + n14A2~ + . •. +
+ UlnA2n . To bo delo dolJccno determin~nto , ki s1 jo rJCl~1ioo
r~zvito po prvi vrsti :
ull ' a 12 , 80 1) ,
Rl l , 8 12 , Cl1) '
e)l ' 1l)2 ' fl.)) .
D' . 0. 41 ' a 42 , a43'
8 1 ~
"11
a)4
a 4 ~ ...
a'n
"'n
a)n
a 4n
a nn
Rezultat je torej deteroinanta nl , ki ima prva in
druco vrsto enako in irne zato vrednost o .
Ska13rni produkt poljubne yrste ali kolone s poddcter-
minontnr.11 nekc dru gc vzporodne vrste eli koionc je o .
Tnko ho n'~ pril.~d r dvovrstno determinanta
D
Podcleterninenti prve vrste sta nClnrae All '" a 22 , A12
Deterninento ina Yrednost D = 0.1 1 a 22 - a 12 11 21 ,
Tako vplj a v splosnoo ze dvovrs tne determinante
I: nab - produkt elenov stral'l-
(produkt clanoy glavne din~o-
ske diegonale)
- 75 -
IZ:"'ncuno.j~o trivrstno -leterr.:inanto taka , da jo razvi j e;::o po
prvi '/rsti:
0lb 2CJ - alb~cJ + c1a 2b) - b1U2c) + b1c28J - cI h2n) = 3
'" rtl b 2 cJ
+ cl
o2b) + hI C2.9. J - 8.1 c 2b J - hI a 2c) - c1 b2'~!.) '
Dopisemo trivrstni dsternin:mti prvo in drugo kolono .
'1 "2 ") a 1 a 2 Vrednost deterr.!inante dohino .
ce 9l!steje:Jo produ;';:te clonov b1 b 2 b) b , °2 v sLleri gloyne diagonal e i~
c ) "2 odstejemo produkte i5lenov v
'1 '2 c , sr.wri s transke dillgonale .
V£Cr.limo, do. :3 ~ cleni do1occne vrste ~li kolonc ysate
[\.21 a 22 "23 "2n
'31 " ) 2 °33 (\)n
D
a nl , " n2 un) ,
M
Zgornje determinante razvija~o po prvi Yrsti , dobimo :
- 76 -
all ·12 a 13 a ln d ll , ~2,d1J ' . ., ct1n
a 2l ·22 " 2J Cl 2n n 21 f a 22 , " 2J CL 2n
aJ1 ")2 0JJ ... aJn + D.J 1 , [\. ) 2 ' 0JJ . .. " I n
an1 Q.n2 anJ ... a anI' 8,n2 ' anJ ... a nn 1m
I)etcr!:lino.l'!.to D mcr.3..I:lO piso t i kot vsoto en 9.ktJvrstnih detDrllli-
n.:::nt . lrcterih prve. im n v prvi yrsti prve sumande I dr ug.o. v pry!
'Irsti druge sumnnde det erm1nc.nt e D .. Cleni ost:llih ",st suno.n-
dov se ujCtlujo s cI ani deter!:!l.inc.nte n..
Determinant n s e po vrednosti ne spremeni , ce clenom
poljubne vrate nli kalone ~ristejeco istolezne clene druge
vrste odnoano kalone, ld j i h I!lOr€ r.lO tudi mnoz.iti z istim ste. v11om , Ce clenom prve vrs t e de t ernlnante D pristejeoo no. primer
k_kr~~.ike i stoleznih cleno~ drugs vrete, dobiDOj
a 21 a2~ "2J .. ' °24
aJ l 0.)2 "JJ "J4 , :
" n1 " n2 a nJ ... o.n4
(1,11' Cl I2 ' " 13 o. ln 8. 21 ' a 22 , a2J n2n
[1.21 ' 6 22 , "2J a 2n i.l. 21 ' (1,22' '2J ... "2n
£1.)1' 3)2 ' aJ) ... °In +k a)l ' a 32 , 0JJ "In
n nl ' a n2 ' anJ ... n a nl' a n2 ' a nJ ... a nn an
- 77 -
Ke r 1ma zadnjo. determin~ta dye en~k i vrsti , je njcne
vrcdno s t o . To 1nstnost u ~{l r ' b1jamo cesto pri racunur.ju deter-
ninCi1.t .
Pri;r.er :
1 , 1 , 1 , 'I 1 , 1 , 1 , k 1 , 1 . 1 , -, " ", k fo , ", 0,\ k - o.k k , a , a = \ ",k ( l-a , k( l-a) .
k, ", a , a k , ." , Ci , h l n , k , 1 'j
a , k , 1, a ' a , k , l ,V ,
1, 1 k ( l - a)(a- k) (l-k) . k(1 - .) (o- k)
k , 1
Pr vo vrsto deteroinante Si':'lO r.lnoZi1 i z ( - .:I,) i n k drugi
vrsti prist e li. Taka dobljeno deter:':1inant o sma razv i l i po drugi
v rst i. Hndo.ljc sna . . :'.,:):':ili ;Jrvo v r ot o dor.lje uc t r ivrs tno c.ete r-
mi n •. n t e z ( - e ) ter r. r.lg~ ':r::ti priste li. Z ~d njo t rivrs t no de -
terT.1in C'Xl.t o 3r:iO r uzvili po d ru.g,i vr:;ti.
I zrncunc jmo d e t or cinante :
all ' u12 , " l J a I m' 0 , 0 , 0
0. 21 , a 22 , u 2J 1:"2m ' ", 0 , 0
an 11J2 , 0JJ a Jm , 0 , 0 , 0
a rr, l' a a " 0 , 0 , ... 0 m2' mJ m.!n '
a ::'r:1+1 ,2 ' a a m+l , m' Um+1 , m+ 1, a 1::1+1 , 0+2 r!.m+ln '.1+1 , 1 ' 1:1+1 ,J
a o· a ... n unm+l ' a )1n+2 ' a
nl ' n 2 ' nJ n n ' !l.!1
" l: ! £lIft a 2n a 3p a <.!m+li un+2 k ... a
n 6 mi
78 -
Pri pI'V ih m horizont".lnih indeksih nllstopnjo v !?r'oduktih
vse :uo:l.ne r £czvrstitve '1Grtikalnih indeksov cd 1 do 0, pri s10-
deeih n- 11 horizontalnih indeksih pn Ie v se mozne razvrstitve
vcrt iknlnih indeksov ad m+l do n. Pr'lih rn elena" v vrstah ad
m+l do n v produktih sploh ne nustopo. . Zgornjo 'Isoto mo remo to~
rej ~isati v obliki :
[tr.l+ln
a nn
To lastnost determinant up or~bimo pri mnozenju dc ter-
rJinant , Produkt dveh en::.>.kovl'stnih determin:!.nt mOrGUlO pi s n t l:
all ' a 12 , aU ' "14 o'n b U ' b 12 , b U ' b'4 bln
0. 21 ' a 22 , n2J , a 24 D.2n
b 2l ,_ b 22 , b 2J' b24 "2n
llJl ' u 32 • llJJ ' [\34 ,. , a Jn b31 , b J2 , bJJ • bJ4 .. , 'In
o.nl' a n2' n oJ ' " n.j .. , a b nl ' b n2 ' b nJ ' b n4 ,. , b nn M
! I
I
- 79 -
Gll , ft 12 , Cu °In ' 0, 0 , c , 0
0.21 ' [t22 ' °2J ft 2n , 0 , c , c °
[1.31' .:132' 0JJ c.)n ' 0 , 0, c, °
a r.l ' ° n2' ° nJ 0 nn' 0 , 0 , c , °
- 1 , 0 , 0 , ° bll , '!:\2 ' b 1J b 'n
0 , -1, 0 , .. , 0 b21 , b 22 , b i ) b 2n
0 , 0 , - 1 , 0 b J1 , b 32 , oJ) b Jn
0 , ° , 0 , 1 b nl ' b n2 ' b nJ " nn
V prvih n ko!onuh, ki pripndnjo vrstal':'. ad n + 1 do 211 (11';'11..
spodnji kved r ull t) , more!r:o nai:!reC piso.ti poljubns stcvilo. , ker
i1e vplivC.jo n n vrednost determin<::nt e . Vrste od n + 1 do 2n
nno:HrJo po vrsti s cleni y rv(l horiz:ontnlne vrste in prib v<:ljemO
prvi vrsti. S t.eLl unici r:o prvih n clenov prvc '/1'ste, na slede-
cih n rocstih prve vrste }:C'.. d ob i rao elene ell' c12 , c1J ... c 1n I
lej or je
c - j i s o t edej skala.!'ni produkt i prve vrst (l det err.in:1!". to ( a j cv)
s kolonani nuge deterninar.te (b-je \')' Do. oi uniCili prvih n
c lenov drug~ vrste , r.:nozirr:o \' rs~(l od n + 1 do 2n po "rst i s
- 80 -
Clcni , S :l- prJ.s ej€r:!o . iIa . drugih n r.lestin druge vrste in drugi "r t' . Vt
drUEe vrste dobino clene
C2l 0.21
b11 + il22
b21 + u
2Jb31 + " , + f!2nbnl
c 22 3.
21 bl2 + u22b 22 + a 23b)2 + '" + u
2nbn2
c 2) . a 21 '0 13 + ~22b23 + 8,2)b 33 + '" + u2n
bnJ
c - ji druge vrs te so ska l arni produkti drug~ v r ste prve d e ter
min::mte s kolonr:.mi druge doterminfmte . Na t o !!U'loz i nO vrste od
n+1 do 2n s c l~ ni tretje horizontalne vrste in pri EtejenO
tretji vrsti , itd . Taka dobi~d deterr:! i nanto :
0 , ° , 0 ,
c , 0 , 0 ,
D ° , 0 , 0 ,
° , 0 , 0 ,
- 1 , 0 , 0 ,
° , - 1 , 0 ,
0 , 0 , - 1 ,
o . 0 , 0 ,
0 , cll ' c 12 , c13
" . 0 , C'21 ' c22
, c23
". 0 , c)l ' c)2 ' c3) ."
". 0 , c nl ' c n2 ' c n3
". 0 , b11
, b12 , b13
." 0 , b 21 ' b 22 , b 2)
". 0 , b)1 ' b)2 ' bJ)
. . . - 1 , bnl , bn2 , bn) , ..
c3n
c2n
c)n
C nn
b 'n
b2n
b Jn
b nn
iJ .'lcalje izvrsimo zaoenj two prve kolone z n+l , clruge jwlo
no:: z n+2 , itd . in u po8tev arr:o , de. pri vs~l,i zCllllenjavi determi nanta
prido'bi f8.ktor -1. Vrednost de.terninant e je :
i I I I I
I ,
-
cII ' c 12 ' c13
c 21 ' c 22 , c23 ... .
D=( - l) C nl ' C n2 '
C n3
bll , b12 , b13
°21 ' °22 , b 23 ... .
b nl ' b 1".2 '
b n3 .. , .
CII , c 12 , c13
=( _1)0 c 21 ' c 22 , c n
c)l ' c}2 ' c ~3 ".
C nl ' C f!2 '
C n3
81 -
c ln '
c 2n ,
c nn '
°In '
b 2n ,_
b nn '
ell".
c 2n
c 3n
C on
c 2n
c nn
0 , 0 , 0 , '" ° ° , ° , 0 , '" 0
0 , 0 , 0 , ". ° -1, 0 , 0 , ". °
0 , - 1 , 0 , ". °
0 , 0 , ° , - 1
- 1 , 0 , ° ", ° 0 , -1, ° ". 0
° , 0 , - 1 .. , °
0 , 0 , 0 " . - 1
c rm
Produ::t'dveh n_vrstnih detcrCJinant je tor ej n- vrstnu dcterni:r-O.nta
.
Clene poljub'1e vrst e produ:da dooi,?o , ce t'lorioo . slcal".rnc produltte
t o vrst e Pt:ve
de terr:linant e s kolone.tli druge det Eo!'oin<.lnt e . Kcr pa sc
vrednost u. ruge dcterr::inante ne spreoeni , ce jO zuvrtino zu 180°
- 82 -
okoli ;;lo'lne dic;;onnlc , c:cre(lO urav taka tvoriti s!(alnrnc Dro-. d"""'j< . vrstar.Ji IdeterOin::.nte (0.1i kolon dul:te vrst prve deter:_l in::-~ntc z
prve deterr.Jin~nte s kolonar.:ii druge deterninant~) .
PrineI' : dolaei produkt deterr.Jinant :
I, 2 , 2 , -I, 1 , 2 , 7 I 5, 7
J, 2, I, I , - I , 2 , I , ), 9 144
1 , 3 , 2. 2 , 1 , I , 6 , 2, 7
Pry.:!. '1rsta produkta so skalarn! produ:di prve '1rste prve detcr-
r.:inc.n tc z vrstOl!l.i druge . druga '1rsta pr9dukta SO skalarni pro -
dukti druge vrste prve deterr.:ine..nte z vrstami druee itd . ':'ako
bo 1 . clen 1 . vrete produkta ; 1 . ( - 1) + 2.1 + 3 . 2 7 ,
2. clen 1 . 1 + 2.( - 1) + 3 . 2 ~ 5 , itd . Pray taka oi magi i tvo-
riti stalarne produkte vrst s kolonu-oi , produk t bi bil deter -
7 , 2 , 9
1 , 2 , 11 "" 6 .4 + lo . !2 1~4
Linenrna nehor::ogenn enacbn z n nll.znankaro i r.JOl'e i nc ti obli!w :
Nenonogena je , l~cr ioa tudi c len b i brez "neznanke . N- tori.co stevil
Xl' ;:2 ' Y.J ' X4··. xn "taka dolociti , da zadosca enacbi 6) , so pravi ,
re.3iti cm.l.cbo . Ts.ke. e nacba ir.m poljubno mnogo rpihte'l. N- l ncznank
31 r" qrcno poljubno iz!':'!isliti , vsakemu takcrJu izboru pu prip:cda ne.
p'JdluGi ene.cbe 6} se n - ta neznnnko. , taka" da bo enacb~" 6} us tre-
- 83 -
zenO . vec takih eoacb tvari sister:J . Vzeni r.o toliko enB.cb I koliko
jc nczll;J.nk , dobi::lo sisteD :
all Xl , 8 12x 2 + 813X J +
a 21 Xl + c 22 x 2 + 8. 23x) +
uJIx l + 832
x 2 + <l:nXJ +
7)
, ,, +
.. ' +
.. . +
a1nxn
a 2nxn
a " In n
b
" b 2 ,
b 3 '
b n
ReSiti neho::",agen sisten 7) se prll'li , n- torico ate'li l
taka ugotoviti , do r esi vse enacbe 7} . Xl ' ~2 ' xJ ' 7.4 •. , xn
t . t koC'ficientov pri sisten resioo ne. sledeci nac in . De e rm~nan a
neznunkah if.1cnuj eno deternine.'1 to sistena I
all ' ['.12 ' a 13 [tIn
11 21 , a 22 , "23 D. 2n
D :'..)1 ' 0. )2 ' "33 a 3n
a " " a nn nl ' n2 ' n3
vrsti s poddeteroinant$li prve Mnozir.1o enacbe si3tBIT:<l po
kolone , tarej Z All ' .\21' A) :.. , A41 •• , AnI
enacbe sestgje~o . Ce n o. levi Xl ' x 2 , x)' x 4
, , + "21"21 + "31'-')1 + . •• docino : Xl ,a ll'll
tel' t aka r~zsirjcne
., . xn izpostavimo,
+ • . •• • ••• a n1 l'nl) +
+ x2
{a12
AU
+ a22
A21
+ aJZ
AJI
+ •• • + a n2'\".I) + •••• . •...••.• . •
+ • .• .+. ankAnl ) + • • ' ••••...••• X:l~o.lkl'll + a 2kA21 + s)kA)l
't- S)nA::n + .,. + annAnl) '"
- 8..;. -
;{ar je v oklepaju pri xl ' je skalarni produkt clcnov
1 . kolone s poddeter!.'1inant.:l!:ii te kolone , to pa je Vred!10st
determinunte i, . Kar je v oi-: J. c'"'e.jih D. ri osta1;'n k h .r' _ neznan a x 2 '
x3 , x4 .. . . xn ' so skalerni p~odukti clenov 2. , 3., 4., .. .
n - te 1<010ne s podcieterr.lin.3.-'ltami 1 . ko1one , t1 p~ so o . SJ.:alar-
nl produkt na desn! strani:
je deter ml nnntn , kl je taka kakor A, Ie de im2 cesta 1. ka10ne
hn ' t o rej :
all ' a12 , "1n a~l' .a22 , "2n
I
I-n; . an2 , a nn
I I
- 85 -
Ca hi hoteli dobiti na primer resitev xk ' hi cnache 1)
po vrsti mnoZili s poddeterr:inantaoi k- te kalone ·.l,.lk ' A2k ,
.~Jk ' A(fk .. . . Ank l n nato r :lZSirjene enacoe sesteli. Ko bi
Xl' x 2 ' xJ ' x 4 ., ' xk ' , .. xn izpostavi1i , bi v ok1epejih
pri vsah x, r azen pri xk d)oili skalarne produkte clanov
kolon s poddetarroinantarni vzporndne k- te kolone , ki so 0 ,
Ie pri xk b i doblli vredno s t deterr::iinnnte . Ne desni strnni
bi dobili determinanta Ak , ki je taka kakor determ1nanta 81s-
t e~a A, Ie mesto clenov k- te koione ina b1 , b2 , bJ • .• •• bn ,
torej ,
'\ ~. V i~enovalc ih vseh resitev je d~-
tcrminantn sistema A. Re91tvc tore j oostajajo , ce je deteTmi-
l".c.nta A od 0 razlicnn . l r::m pa 3istem I e eno resitcv . Cc hi imel
7) • • . 1 1 1 1
siatem nn primer se neko drugo res1tev xl ' ~ , X] , . . xn ' b i jo 110gli dobiti po istsr.\ postopku in oi dobil1 lsti rezultnt.
On nevedene reeitve res res1jo siste~ 7) vidimo: v k-to ennabo
r
- 86 -
8) AX) \ " 13 , '2 \ 2 ) + b J AJJ + .. . + b A n3 I , Elk ) n
Ax b , All! + '2 \'n + oJ A3n + .. . + b A I ' ''lm n " nn
!(er je l e v C'. stran ~ ;: - .e eneene uk1x1 + a k2x2
+ ukJxJ
+
+ • • • + B.knXn dobioQ vredn 'lSt te . eli; ena-:5be 8) zaporedoma rr.no -
;1](:1 in sestejer:lO . Dob imo :
;Colic i :18 v 0klEOpa,ii:-t l":J. d8sni st r a.ni pri b1
, b 2 , oJ •. •
, . , b so s kul~rn i produkti k- te vr~ te s poddetermin~tnmi 1 , 2 , n
J, , . . h - te vr" t. e . V3i oid8paji so a raze, oklcpajc.. pri b k , l:i
i ma vrednos t de terninante A. Imnr'lO
Ena6be pave , d::l. je ZLl. dob l jenc vredn.ast i neznank 8 ) ]. - t i
cnncbi si stCt1a us t r ezeno , so.j i :::l!l Z2. t a ke x levJ. strim enache
9) vrednos t i b k , Taka SrlO vide li , de. dooljeni i zrnzi :
x " 1 x n
ZD.l' CS rcsijo k - t o ena.cbo sistenf'l i n os t111e , knkor b i uvideli
na is t i nl!cin .
.. 87 -
FriJl<;! l' : ! 'r;,Sl sis t en :
A + .. + 2? 9
x + y z " ° 2x + y - z 1
Dcte l'r.'I in:mtn sisteCltl je
\ 1 , 1 , 2 \ v , 0 , J
A r 1 , - 1 \ 1 , 1 , - 1
2 , " - 1 2 , 1 , -1
J • ( - 1)
9 , " 2 1 9 , 1, 2
:'1 '" 0 , 1, .. 1
1 , 1 , - 1
\0, 1 , - 1 1 • - J
" 0, °
\ 1 , 9, ~ \ A " 1 , 0 ,
2
12 , - 1 1 1 ,
- 1 • -11 + 1 • - 17
\ 1 , 1 , 9
1<)'" \ "
1 , ° 2 , 1. 1
0 , 0 , 9
9 . - 1 1 , 1 . 0
2 , 1 , 1 ,
HeSi':ev je : Xl . -2 - J
:1
- 9 - 9 J •
ce ns-st opa v vs eil clenih Linear!l<3. enacae. j ;> homogena ,
nflzn~!,.!:a , ' , ncb z n ne znank~Di inlLt linf;arno . Si st o!:! n .~.ono gen~n en
obliko :
10 )
- 89 -
UJ1X1 + °J2x2 + aJ)xJ + . • •• + aJnxn j .
Det crnin.:::nta. sistema je :
ell ' e 12 , a13 "In
.:1 21 ' 0. 22 ' '2) "2n i.
n)l ' 0. 32 ' a 33 "3n
o
o
Determinante , ki nastopajo v s tevci~ resitev , im~jo veQ~O enc
izoed ko l en D, 3 .:!j so kolicinc b i '" b2 " b) " b '" o . n
I::IC.(1o : '\ 0 "2 0 ") 0
Xl Ii> x 2 A' x) 7, A A .- ...... , A
x -ll 2. n A A
Co je d e terminanta sistemll A ad 0 ra zlicn~ , i nano resitc'/ :
Al ,,0 , x 2 '" 0 , ;() '" 0 •.. xn " O. Sisten i:'Ja Ie navede!l<,) tri -
viq.Inc reSite.v . Ce po. je a.~ter:ninantn sist ena ; ... " D, utegncj o biU
A) An A . • 'A od 0 r llzlicna , si st em r.lOrc iJ:icti no -
trivinlno res i tev , t o je t a ka , dn ni50 vse neznnnke Xl ' x2 ' x)
•. • zn cn aka O. Potreben pogoj , de i ma sistem homoSeni~ ennco
- 89 -
netrivie lno T'lsitev ;le . O'l je de t er ninant :l sister.w. ;, '" ~ . Co to
jo: r.::sino siste~ no. slc~eci nacin . V }:vo. ,'.r.:..:ni s heni , matriki
:;:oli :; ir.. ki tvorijo d.ete!"~inanto s1sterr.a :
"1.1 ' ul 2" ' 0.13 ' n1 _~ !!. In
a 2!. , ;).22 ' u2) , "24 "2n
0. 31 ' °32 , '1)3 ' "34 a Jn 11)
e 41 , u42 , 0. 4) ' a ~.1 ... . ",n I I ~nl ' nn~ ' an) ' l!r.-i- a nn
POiSCC!D tu!:o d~terminanto nizjegn rnnga , ki je Ze od 0 rD.z'"
hcn(' . V nnv~ c:. -:::1i sher.li 11) poisccno vse n- l Y!'l~.,,!e dotcrninan-
te . Cc so se te vse 0 , po::.sc eno n- 2 vrstnc ltd, <)!1::~0 p=-idcno
do nclc p k ,·vTitne det eroi n3.nte , k < n , ki J e pr'!1 oil. 0 r:l.zlicno. .
. -Ilcz!'1a.nkar.l in e:1.?coo.o tnko spre;7le!1ioo vrstn~. red >~_;) . c,; bo to
dctcrr.::!.nD.nt.:.. z 1cve stro.n_ r:lntrice 11) zgoraj . Vzuoel'lO prvih
k eno.~b:
0 ,
o .
- 90 -
Clena z ncznankc.oi od k+l dalje prcneseno na dest1a str.::.r., dobi!:lo
ne hor.1.ogen sister.: za prvih k 'neznank: xl' x2
, xJ
... xk
' OS",Cllin
nczn~1kno dano poljubne vr~dnosti . Resimo torcj siston :
:lllki + e 12k2 + + [llkXk - ""lk+lxk+l - - e x In :il
£1 21 xl + '.l22X2 + + a2k
xk - a 2k+ 1xk+l - Cl 2nX
n
13) '::')1 xl + e') 2x. 2 + .. , + cJkxk < - a.3k+ l xk+l .. , - nJbxn
lie. isti nacin r::ore;:;o reihti nOi:logcni sistem , v ko.~crcu inar.1o
n~~j enu~b t kakor neznank .
Pri..lOr : reii sisten :
x+y - z 0
4x + Y - 2z 0
):~ + )y + z 0
Doterr.linc.ntn sister.:a jc ;
1, 1, -1 , .<
,'. 4 , 1, - 2 ) A
J , - J , 1 . ' ,
;:i ina vrednost O. Vzecir.:o prvi d'io ene-cbi
x + y z
4x + y 2.
RcSitcv jc x ali 3-z - 1 - J ' torcj
r I - 91 -
z 1 J
11 , '\ I:: :1 ~! :t. -2 t ore j y z " 2 J z ali - J
1 I:: :1 •
11, 4 , 1
y
y z=2 : 3
nc:litcv : x 1 J
y z '" 2 .3 oo~eno piseti v obliki
A : Y : z = 1 : 2 : .3 c li A = k, Y = 2k , ' z = 3k . kjer je k
po l jubno stevilo .
2) ?.p'.Gi siste::: : x + y - 5z 0 0
2x + v - Jz " 0
T. siste r:: piser.o : x + y 5z
2, . v 0 J.
I::: :1 I:: :1 x z
11 , 11 11, 11
2 , 1 2 , 11 ali x : Z 2 -1.
11 , 5Z\ 11, :\
2 , Jz h.... y • z ali y Z =- 7 : - 1 , torej :
,
- 92 -,. 93 -
VI. ANALI TiK;. TaCKE . VEKTORJI. AtlALITli\A ?REnICE (n~v pic no) ravn':':1D , dn pr~de:lo do navpicne l'a vnine . v :- 'It'eri
IN R:"VNl;fE V PROSTORU jo r £.dij r . DolZino stej -mo pozit ivno v obra tni f:L1CJ ri urnegD.
"
k n z c. lco. t e r j o s pr cr.~_nj a~:(J a d 0 do 2n . ~l~i~a ~) j e kat, ki gu
Sisten (slika st . 58) je
1'/1' , "
I~~T'\'J' ~I:'f)
,\ i-:l . .
r " _____ -')~'y pozitivnn., navzdol ad
'if' d;;;..J~ n -r ,_ , ~ 0 do - 2 je sirinn ne -
J. '-..,., . gativnn .
-y-' -"1"
r '2l.di.i cl' lepo. S f'.orizon-
Prn vokotni koordinet ni siste~ v prostoI'U je sisteD treh pr~Yo -
v trch pravokotno se scko.j oc ih pr emicah , koordinatnih csch .
ad 0 do ~ je sirina
t~lno r2.vnino . Nnv z;3or
kotno 56 sekajocih r o.vnin . koordina tnih r o.vnin . Te se selmja
desnorocen I ker ir.1o.jo pozi-
tivne soeri koor dinntnih
03i t~ko oedseoojno l ego , 51. 59
kako~ prv i trijc prs ti DB. bi ugotovi li zvezo ned prnvokotnimi in polarni~:1i
deane roke , ce jih posta- kO O1CJ...1.::l.t af.li , vzer:-:irno za .... acetno (navpicno) r3.v~ino (zx) ro.v -? Y
nino , za osnovno (hor i zontalno) ravnino po. (xy) r avnino . Iz vino pr~vokotno enego. na
drugegn: 6e gl odur.Jo iz st . 59 v i dirJo :
pozitivne smeri x osi . or ' '" r cos '1.9 , zeto ~e oorano os y zavrtet i v "J " , -
obrrltni s!:le1' i u1'ne gu ko.zc.l-X ::= r cos P cos
!..) 51. 58 -' y ., OT s in 4' , z:tto jc :-r '" r sin (fl cos C\/.
.z ::= r sin '19 co. (v pozitivni) , dn prid 0fO po naj krajs i poti do prekritja z z
08jO . KoordillJllt."le r e.vninc so : (yx) :Nvnina . (zx ) r avnina in (xy)
r nvnine . Lege poljubne t o(:ke T je dana 5 trerni koordino.tnni. x I o nr:!.o t ran sfor:::ac i jske enacbe za pre hod iz polnrncgo.
koo r dina ta je r azdalja ad tocke T do ( y z) ravnine , y koordinatn sist~Ck'\ na. pro.vokotni
j ~ rnzdo.lja od \.~ li ke T do (zx) ravlline in z kaordinato. jc 1'az-x = r cos ~ '1 cos "I
'-J
1) Y = r sin y cos V daljn tocke T ad (xy) ro.vnine . <'
z = r sin ,,/ Legn tocke pa more biti dana tud i s polarnioi koo1'dina-
tent. Koordinata radij r je r a zdal ja tocke ad koordtnn.tnega zn- Ce delimo druga enacbo s prvo , dobino ;
cetka . Dolzina 1 je kat , za knterega ~orano zavrt eti Zo.cctno
2 / .x +
- 9..+ -
tg ~ = l eli ~ : ~rc tg Y z x
Iz tratje en~tbe "iJiu~
sin 'rl'') c ~ r
Co pa c n'lcoe 1) k', nrl riraoo
2 2 + z . r ali r = \ /,2 + y
in sestej(;!r:lc. , pa d0bimo
2 2 + z Obratnn transfor -
r.lacijo. Z~ prehod iz pr:1 i') ~o -;n£j g::!. n9. po larni sifitec je torcj :
l' )
arc tg Y.. x
erc sin z
2 + ,
2 + z
Trctje enacbo. I ' ) nan pove , de je
tocl~c do koor dinCitnega z:lcctk:'l. r = \/ x2 +
r adij ~1~ r a=delje od
y2 + z2 . Uvidcti jo
morODO 1z 51 . st . 58 , S3j je d2 2 2 x + ,/ ,
2 2 2 2 r · '" x + y + z
Legll ali soer r :l.dija D::lre biU d:ma t -.:c i s koti , ki
jih olclepa radij s koordinatnir.li o~·r.;i . Ti koti so,::i 1 = 1 Xl',
d J C ~zr . Ugataviti jih r:loreLlC' iz slika st . 60 • .1', _
1/[\ 1',1 • • - - - ' )f
Dobino : cos
CO S d., 2
r
:l. r
Poljupnn smar v prost oru
j e d~na s casinusi keto v ,
/ I
I X
/ I / I
51 . 60
I I.
- 95 -
~~i j L , o!d~p!l. s koordil'\~tnini OSI~i. Inenuje!:".o jih SI:1ernc c09i-
nuse . !~oti ~ l ' (J./2 ' d ), :1iso f.!ed seb oj n ezavisni, mod
njiJ:! i j e poveznv:.1 :
torcj
o:;ir(H:l
2.-.1 2 • .1 2 . .1 co s (.A.l1 -+- ...:os ~'2 -+- cos C;V J
2 + z 1 ,
Vzemi["!iJ dve tocki v pr::lst aru . Koorrlim~tc tocke 1'2 z
so relc~ivne kaard inCite .
I ,-I
~I I I
... "' I ,/
/1
I
Dd T1 je v 51:':0 r1 x 05i
' do T2 -sc x2 - xl ' v SDcri
y osi so Y2 - Y1 , v sLleri
z os i se '2 - zl ter so
za,t o tP. relntivne koordi -
na te : T2(x2- x1 , Y2- Yl '
z2-z1 ) ' R~zd~ljo d = TI T2
·dob i r::o : 1
.; ./;/--~.--. - -x
Cosinusi katov I ki jih sr.ler T1T2 aklep~ s k.:)ordino.tni:'.1i
os-wi so : - -x 2 xl cos c.:02
Y2 ]1 d '2 - zl cos d' l d d
cos J d
5r.lcrni cosinusi in:ljo h :.stnost i:
- 96 -
• 1.
oklepata dve s:::!eri . Re1ativne koor -
dinc.te T 2 Z ozirorn n.:l T . 1 50 ;
Al ,., X2 "II Xl '
'2 • '2 ... Y1 ,
A) ., Zz .. zl. '
Relativne ko.ordina..te ~ k. T;J
BO.
ne1ativne koordinate tocke T) z. ozirom na T 2' so I
C1
.. xJ
- x2
;. D .. A 1 1 •
C2 • Y) - , B 2' 2 - "2'
C., • z., - z B .J ..I 2::: J - AJ'
Strnnice trikotnik .:l Q .1.1 T2 T) so : TIT2 ., A, TIT) .. B , T2'J:1) ::: C.
Po cosinusovem izreku iCIll!lo:
2 2 2 C ::: A + B
Leva st ran i tvrSitlo in skrcimo . dob1~o :
Enacbo del1!llo Z
A, cos,? • A
cos ~
- 2 A3 ter dobioo :
~ • B
I
- 97 -
so: s~erni cosinusi s::eri T1T2 po
" cos rN1 '1 ,\
,
"2 . cos dJ 2 '2 A
,
"J . cos 0.1 J
~ A
so : soerni cosinusi smeri TIT) P"
b , . coS P'l B, B ,
b 2 • cos O2
B2 . B ,
BJ , B cos 03 b J
Kot, ki gO ok1ep.t, sneri T,T2 ('1' '2 ' oJ) tor T,
TJ (b,
: b2
,
bJ
) jC dan po pr nvilu
4) cos ~. ',b, + "2b2 + a)b) .li C09 ~. c09';(." CQs(l;, +
COS (}., 2 cos ('2 + cos,J~J cos 0), cos inus >0" , ki ge."oklepot'
ove smeri je enek skalarne"u produktu snernil, cosinusOv teh suerL
!)Ve 900d 9tO p"vokotni (ort ogonalni) , co je ',b , + c~b2 +
• + n)b) S coS 2 ::: o .
ove sr.leri stu pravokotl"li , ce je skl'.1;l!'ni produkt stlcrnih
cosinusOv
obeh stleri o . ove soeri sta vzporEldni , ce je 0.1'0
1 +
+ a2b
2 + O)b) • cos 0 • 1 . Ker jO vscka s~er sco" s.bi vzpored -
no. , jc 1 . (lastnost snerni~ cosinusov) .
- 98 -
VEKTORJI
KoliCinc. , kj. jo doloes ve11kost in smer t je ve::tor ..
Vso.kc. usoet'jBw dA1.ltca j.g vek.l..o4;- . Ce.st.a lc:rajJ.SC1. cw.ljice. A -' ~
tor B, je vektor daljice AB '" a. VeUkost .daljice jc absolutn!t ~ -"
Vl"ednost vektorja f a! ~ t AB I. Vektor j& D .. ~ ima ve11ko9"t O.
OVn vektorja sta enaka , ce se ujeoat~ v velikostl in
sceri. Vekt ol"- t..o.rej Imemo parQ,l elno s sebo j premikati in osta.-
. velikost1 f D1ti ~eri .
Vektorji n o. do!ooeni pr eoici aU soen .so k.o.l1.oearn1.
.De!i.n1rajQ.O ~eSta.r:wj.o;a. pkt.n.rj.eY' "la. Ut.:i .a.c.e-rl. A.J. i pretlic .. ~
kor j e definirono sestevanje da lj1c . Dal jic1 AB ter CD ~este~ jauo . do. n O. drugo ic. r c.j i ace dnl jice Ai DaJ:UI&QOO daljiC() ED. V.sota
~e Ali + CD - ~ Kda j bo Vaot.a. ye.k,t.a:rJev Ai "tar CD. eD.D.kD 0 ... To
ba , ce je CD obratne sueri pc. tste velikosti kskor Air. Bodi .....>. -' A13 '" 0., vekto~ CO'; k1 je anake velikosti pn nasprotna smari
v,~ __ ...,. _____ ..,' .... j) -to't J;( FC kot Ai bOl!:O obelezili z. -A, / ~ a ( ::;: ==::::;;:=~':I n <to t3
51 . 62
-ker de pristct k vektorju a
vrednost O. Ce je tedo j neki
vckto r a., potem je vekto r ena ke '1elikost i -"
p<l naspr atne smsri . 0. . ...l ..l> ...::. _,
Sesteje~o v ektor a nn 1sti smer1 veckrat, dobioo a + a + a +
+ ••• + c': .. nt, v eletor , le i it;9. i~to ane r kat t 1n n-kr:1.tno c.bso-~
lutno vrednost . Ina! = n • !t !. Ce vsk t or ronoZimo s po1jui.ll1im 91m-
10rn10 stevilom n , dob1no vsletor iste s~cri po. n- kratne cbsolutne
vrednoeti . Ce je n negnt1ven , dobi vektor se naaprotno sner .
- 99 -
~ e je torej r; do.ni vektor , 90 v ektorji n::: vektorji ist c ali mls - · .>
!'Jrotne ::meri z abso lutno vrcdnostjo n t a ! in se i!!lenujejo 1<01in0-~ -'
urni vektorj:i. z vektoI"j ctl El. . Z r:o;)Unjem vektorja a s ?ri ::lI~rni::l
-' skll1 nrnir1 stev11cc dobir::o Yek-::or po 1 jubne v e1iko3"ti (I..Ll s.::cri n ,
Defini r e.joo seshva nje vektorjev poljubnih 5,l.:eri nu nc.c1n ~
kukor sno definirali seatevanJ& obH9.jn1h dal,iic . Vsoto voL:torjev -> ~ .> 0. tel" b dOh1t:lo , ce naneser:1O vekt or b po.ral~ lno s seboj ne ch'u~o
~
krajisce vektorj a n . Vektor vsote j e v ekt or , ki gre od 1. !crajiS-.> -'
en voktorje. a na dru.go kraji9ce v&kt.o.rja h • ?--!-
I
51. 63 .>
"I'vor1r.l0 v'SQ,to vee vo l:torje ', -l ..1..) -' 0. , b , c, • .. e . lia druzo
.> krajisee vektorjn n pro~c-
seno paralelno s soooj vett~r -> b I n !l. t aka doh1jeno drur;o
-> krajj,§ce vektorja. b vektor
C itd . Vel:tor , k i 'laze 1. kr[!.jisce 1. vektorja z drugitl krajHc91l .j ...lo..). -lo
zadnjegn vektorjs, je vekt or vsote a + h + c + ••• + e .
- ,
KOl ka dobirr.o rae liko velctorjov J ~ ..... a - b ? Vektor b naneaomo
p~rale1no 9 seboj v zacetno -' ...\ t oeko vek t orja <1. Ilektor c,
ki gre od drtigcgu kro.jiStn ·
-' vektorja b k drugel:lU kr<l--' jiscu vcktorjn a , i~o. 13st-
.> -' -' nost , dajen::b+c .
,..). ~ ~ .).J. ..l ~ C je torej D .. 'ti t saj je a ~ b + (:1 - b ) .
- leo -
Razliko vektorj~v dob i ffio , ce ncnesemo obu vektorja p~rn-
lclno s seboj v skupno zacctno tocko . Vektor , ' I<i gre od dru0e~a
j,rnjii3ca subtrahenda , k druge:::u krajiscu oinuienda. , jo ve~:tor
rf'.zlike .
Vzeoir.:o v ravnini 2 ve :~torju J
k1 nista nn 1st1 sneri , l;;i
nista kolinearnn. . '1sn.l~ s 10 -
dec i vektor r avni!'e j e 1L1.0-
arne sestev(1 n ::wcdenih vel<. -
S1. 66 torjev I je linearno izrc.zljiv ~ ~
s terJo vektorjeo:l. . Naj bosta dve nekol i nearnn vokt orjn 0. tcr b ,
"""" tretji vektor-favpi~e pa vektor c .
'ii / ;.-'8
"-~-C~-!--=A2't ~ i'~,2
(J 1'1 .r:t J:i . "l;:~.
S1. 65.
Vse tri pnra1elno prCLlc~rtiI:lo
v skupno zuct} tno toc!~o • • , Skozi drugo kr a.j1Scc voUtor-
ja ~. poteg:tino ? c. rdeli z t
~ ~ ~
e ter b . Na vektorjiil c. t er. ~ -> .> b ods.::ceco vektorjo. OA '" kla
--' -, ter OB '" k2b . Scd~j 'lidi:r::lo ,
-' -' -' dn je c = k10. + 1'2b .
VS3k vektor ro.vnine (it , b) je 1inearno izr!ldjiv z vct -~ ~ ~ ~ -'
torjemo. n tE..r b , je lineorna Sestava vektorjev El , b , . c je line-
-> -' ['.1'no ztlviscn od a ter b . Vsi trije vektorji so v ~' isti revni:1i ,
Vzemino ) nekoop1a:1Cornc ~ -> -'
vektorje Co , h , c v prostoru .
Vsak slcde.c ~ ve;"tor jc li-
ne:1.rno ZflviSen od te:1 , se
u 51.67
d~ linenrno iZ1'~ziti s teoi,
I I
- 101 -
-' je lino~rno sesta'la ten . Eadi sledeci vektor d . Vse .; nt'.J.losif;'!O .->
v skupna zucetno tocko . Skozi drugo r.r!:!.jisco vektorjo. d poteg--lo..J ..l..l ..l..l
nio.o vzporedne rD.'lninc z vektorski~Ji pari (a , :' ) , (£1 , c) , (b , c) . _'..l"'\ ~_,
Ne. vcktorjih a , b , c dobieo sec1Sca A, B, C. Dob ino 0/, "'- :'10. , -..-,) ..l -l ...J
on = k2b , DC 3 K)C . Potegnjene rnvnine tvorijo par~lelcpi ped ,
.J..! -'_, d = kla + k 2 b + k)c . - " Tclesna diagonala jc vektor o~~ d, don ieo :
Poljuben s i sten tr~h nekornplanurnih vc!ctorjev nllT.l Dore
sluZiti kot osnovni ali bazicni vaktorski triedcr . Z vcktorj i
b'lzicnega triedra so vsi vektorji v prcstcru line::r.rno izrllz1jivi.
4 vektorji v prostoru so torej vedno r::Iedsebojno linearno Zo.'115ni l
'1se:t iZr.l.ad njih je linearnu eestllva ostalih treh .
Bodi be.z1Cni trieder sistem treil. nekoll!plcnarnih vc:: torsklh
jih nnne3li v skupno zacctno toc!.o O.
S1. 68
Sedaj je po l juoen vel(tp,:r ~ (1) -' • ( 2)-' k '! . .eP. a '" fl e 1 + a e,. . Koll.cl.no
e(l) , a(2) , a()) p~vedo . zn
koUko r.;oramo itl vzdo l z vck-
-\ t orje e l , lH, ';el~ ,. " 'l l gl'i?P~
~l~ "6" t~, ZQ
~ ... koliko nato vzdolz e
2 in za koliko koncno vzdoli 03 , dn dobirno
Ycktar ~~ a(l) . a(2) , nO) so kontreve.rinantne kOf.Jponentc vei( -
..l. (1)..J t orj.2 . Co seo pisali a '" n a l
+ a(2}e:2
+ a ( );) 5r.;0 dekonpo-
nirali ali :r ~z.st!l.vili vektor -;; na kO r.1ponente \1zdolz bUzicnih ..1 -.! ~
ve:dorjcv °1 , a2 , e) .
~
rnogli bi pa poiskc.ti pr :l.Vokotne projekcija vcktol'ja C'.
.-> ~
no b~ziCne vektorje . T€ 5081 '" ! a ! cos~I ' a 2 '" !a!coS~2 '
S1. 69
- 102 -
-> uJ = ! e ! cos~J ' ~l ' ~2 ' ~) so
kati , ki jih v(d~tor it oUepa.
z bn.ziCl".imi vcktorji. ilnve -
dene prcYokotnc projekcije
vektorj'l no. b.:l.z1cne vel:torjc
so kavariantne konponento vck-
torj~ .
Vzemio.:l Z:l ba zicni s i ste~l siste!'!! vektorskih en:Jt desno -
r ocncga prnvokotneg~ k .. OOrQ1natneg~ sisteD~ . Vektorske enete x , ...) ..) -,
y, z as1 so i I j . k . na vedeni po.ralalep'ped ... be pre.vo!:otcn , ko -
vari~ntne koordinate sovpedajo s kontrnv~riantni~i tor ion~o
! ~!COSqll ' a(2) = u2
I~r (J) ~ 0y ~ .~ cos~2 ' a J .
! c.! COSql) . cosql1 ' cas~2 ' COSql) so s~erni kosinusi
vcktorjo. . Uvidir.:o . ee j , -I e ve~tor vekt~rska cnota la!: I , potem
so kooponontc vektorske cnote a x = cos'P1 , ay :: cosCP2 ' Lt. z. <.: cosCj'J '
StlCrni kosinusi kt . v e orJ::t so komponente vekto'rsk'e enots n.:l 5[101"1
vcl;:torja .
Bodi vekt or usr.;erjenv dllijice ;: dan s skrajiScc-r:w. Tl
(Xl ' Yl' zl) ' T (x ) -> ---' , -I ~ 2 2 ' Y2 ' z2 ' a = T1T2 · KOLlponente ve:..torjo.
: .. Tl T2 , ax ' B.y ' a z so rsletiv:1e koordinate daljice Tl T2 .
/ 7 a X2 - xl ' a ; Y2 - Y1 ,
- 1
1"4 ,,,, ... "'0;:- Dl
1I: 0- Il' I y _ .. :_ .,L • ____ . _: . ;
all I , ' I
:/ i/ ,, ___ ~ _____ __ _ I
, Oy 51. 69
x y
n Z2 - zl . Nad.J.lje je z ~ -,
a ! a ! coscp1 ' • ! n ! cosCP2 ' x y ~
n I !l.1 COSCf'J ' kjer so costpl ' z COSCj'2 ' COSql) sf.lerni kosinusi
vektorske sr.~e ri a li kOT.1poncn-
te vekt orske enate s~eri .
- 10) -
~
Vcl,':orsk:l en(.; t.:'!. sr:::J"-' l j,; a e
~ ~ ~ i . costfl
1 + j . cosqJ2 + k . COSI,;:)
" '" i - x + ~
! c.!
.., j ~:J + ! u i
Konponente vektorslte enota 3.1i norl31r::m ve ~< t"r j;)li ':.IO ,
ce konponente delimo z absolutno vrednastjO .
Kcr so konponente ve~ torjn usoerjene dnljice r~l~tivne
kocrdinnte x2 - xl c a A, Y2'~ Y1 = e y • 20 2 - z1
lutnn vrednost vektorja ali velikost daljice
.> !a!
If:laoo , kvadrnt aosolutne vrednosti vektarja je veote kvadr:-.tov
-" 2 2 2 2 konponente : !a ! = ax + ny + a z '
TI" r.lr.ozireo Z vektorji u\' ('!d eno slcdcca nnozen.11;'I.. vektorl s polj ubnio
skc.larnir:l stoviloo k . Dob i ao vektor i stc sneri , kolineo.ren ve!( -~ ~ ~
tor k:l, ki inn k- kr .. tno· o.b:;olutno vrednost . Inano ! lm! '" k!:\! ::
~-2-/2 2 i . k V a~ + o.y + ~z :: V (ke.) + (ko.y ) + (kaz ) , kaT pn J? o.bso-
lu";no. vrednost vektorj3 (k':'t • ka • ka ) . Vektor :::no~:irJo 5 ska-x y z l o.rnin steviloo taka , do. ko;:!ponente nnozir::o s toe sko.lnrnin
i5tevilOtl . -> ~ .Vze~i~o vektorja a ter b . Definirn~o sKnl nrno r-nozenje
~
voktorjcv n!\ slGdeci ne.ci!l . Projekcijo v ektorje. a n~ vci:torju j ...I J....I
b n_'1oi.ir:,o z absolutno vrednostjo vektorja b . Dobir.l0 , e. • b .. . --' -'
kjer je projekcijel vektorje. a na vektor b cnn~m J .J ...J.
al) l o. I COSCP , ce jt; cp kot , ki go. vekt orja a in b oklepdU . Jc
11 , --'
.0-
'I. " Of} ~
S1. 70
- 104 -
~
>it
~
'" l a !
uv idioo ,
-' ! b! cos'P . TrJ.koj
da je E:];::tl~.rno
nno z~~j e kc~utntivno . Ce n:!r.1reC vektorj a f u!<tcr jD.
zancnj ata vrstni Ted , dobir :o z::mozek projekcije vek to rja b ne
-' -, vaktor a z abs::>lutno vrednnstjo vektorja
-' -' , Jo torej e • b '" b
a , kar je zopet is t o
no.r.lrec ...lo _'
!n ! • ! b ! cosCfl . • a ,
Ska!ur ni produkt jt distribut iven . Vzel!li r.lO vs oto dveh
vektorjev -; + ~ ter jo ska l a rno rr~ozino ~ z vektorjer.l c . Vektor
i uej zacetno tocko 0
{II '&
A 11 \\
ter drugo krn jisce A. Njegova proje!. -
c ij a ~
TIe. vekto r c jc -' ~
"\ '" OAI • Vektor b ina ~,,>--\-'-"-->
ct::~----'-:'---L.o_",----> r-l~ ?q.
ZD.cetno tocko J; , dr~go
krajisce B, n jegovc pra-
jekcija n:::! vektor t J' C Alll '
81. 71 3 , B1 , B2 "00 v 1'2.'1n=-n i skozi
B , pra vokotno r!O. t . Za t o je ;:lTojekciJ"a vekto_"ja -: - , ...:l - + "0 nr!. ve::tor
c cnukn .032 , (a + b) - -'0 ' . ~ -c 1 - 1D2 == DC , j o (c+b ).c '" - B2
• Ker Je AB - A ~ .
s e vekt orjev nn tretji vektor jc vso tn nc + b c ' Projekcij~ v at
proje}::cij sunandov nu ... ~r!;tji vekt or . Sk.:t l arni produ): t vsote -I. \ _\ _' .... ~
rt+bz.vektor jencjo(a+b)c,(o+ ~ ~ <.' b) I e !", a. ! c ! ....:> ~ ....1 ..! C C
OJ. (; + b • c .
Skalerni produkt vsote dveh . v e kt o rjev s tretjin Ycl(torjem
j C 'fsota skalarnih produkt ov sumandov s trotJ' ;,-" ,·t . ~ ve~ orJe~ . Priner :
Vcktor sila F vrsi d 1 -' e 0 vzdoli vokt orja pot i s . D 1 e 0 opravlj u Ie
I·
- 105 -
-' -' -'
kooponentn sile F vzdolZ. s , torej pravokotna. pr ojekci j a sile F
~ ~ ..> -'
nn pot s . De l o je A . Fs ! s! , ! P! ! 5 ! . cos:p • kjeT'j e cp kot
oea s i lo in pctj o . Delo j~ t orej skalarni produ kt sile in pat i o
~
Vektor a ina soerne kos inusc
• • • -' _x J • - vek t or b p.
.. r-I~! ! ~ ! ' -', l a !
b b ~z _x, J, Kat, xi ge Qklepoto.
~ ___ ~~1~~ __ ~--~~ ~ - ) ) /F'/· CO S if'
,-" !b! ,,,,
! b! !o ! 51 . 72
~ ... veHorja. a in b je. dolocen po pre.vilu : cos~ '" -' ~
(ax/! e ! ) . (Ox/! O! ) + -' ...
pr odukt j e u b -' ~ (a/la!)(b/! b l ) . Skale.rni
ab + eh +ab
'
-'-b! x x y y z z • . , ...l
l a! . l b ! .. ab + ub + ab xx y y zz
Ska1ar ni produkt dveh v ektor jeV je vsota produktov odgo-
',a r jO-jocih komponent teh vektorjev . Ske..lar , ki go. to roj dob ino ..l ~ ..l ~
S s·ko.l!1rni::1 ;:mozenjen dveh vektorjev je n • b == !a ! • !b !. cosql ,
kjer je ~ ok1epajoci kat vektorjev . Ska l urni produkt vektorjeV
j' t orej 0 , c e s t a vektor.j n prav::lkatna , s a j j e ,
0 , 5knlar-C052' . -' 2 2 2
ni produkt vektorjo. s sebl)j je " n . ax + n + a j' kvadro.t y •
o.bsolutne vrednosti vekto r jo. . -' ... -' Bezicni vekt orji i , j . k pravokot nega koordin~tnega ais -
ki stoje prnvo kot no ene no dr-ubi. zOot 0
tene. so vek"torske enote . -' -' J"k'! 2
je -'-i
-' i
-' j
~ Jr! 2 -' -' !~ , 2
i . 1 , j j . J . . I, k k . , 1,
~ -' -' ~
i O. . j k . " . -" ->
Tvorif'lo sedaj skalnrni produkt vektorjeV 0. b '" ...l ~ ..l ~ ....:> \ (ia + jo. + ka ) (io + jby + k b z ) upos t evajoc c.ledsebo j nc
x :.l z x sku1arne produkte b~zicnih vektorj GV, i n dist r ibutivnos t sknlar-
--' nc,Su r:U10zenjn . Dobi r.:o : .::!.
- 106 -
-> -> b • i
~ --' i !l b + i x x
= 0xbx + uyby + uzb z CD. produkt£'.. dveh vek torjev .
Don1li soo pr'.!vilo h oree s::,,1<'.r:1e -I
-> -> Iz definicije a • :, = c.xbx + ayby + o.zb-z sledi takoj
-> -' ko~utntivnost skslarnega fJnozenja . Inaoo n . b ;. ub + D.b x x y y +
--' -' + ~zbz : bxax + by!ly + bz~z = b . a .
-' -'-' Eneka uvidir.lo d i stributivnost (a + b)c . (n + bx}cx + x
+ (, + b y) cy + (n . + bz} Cz . " e + " C + a c + b e + b e + y • x x y y • z x x y y
-'-' -' -' + b c o,c + 0 c . z z
Pri~er: Nacrtajmo v krogu ' enoto kata ~ tar w, kj c r jc
<? >. w. Pr lpadajocc. dru g=:. krak:l katov imata snerne k;)sinuse : costp ,
5in9 , 0 ter cosw , einw , 0 ,
-<, MnoZi!:lo jih sk:::tlnrno ,
dobimo : cso(~-w) ;.
k~.r je adicijski teo rcr.t
Zil funkc i jo kosir.us . Ce
pi sel:lo v doblj e llo mcsto
w . . .. -w , dDbi~o cos(~ + w) ;. cvs~ coSW - sin~ . sin W.
-' Vzemino 3 vektor je a (a I ~ I a,) , x y _ -' C (::x ' cy ' c z ) ' DeteT'oin:mto , tvorjeno 1z ko;~pon ent tell vek -
to:::'j CV , inenuj et'lo o.es .:mi ali pseudoskalerni produkt . Pisctlo :
" x ' a y ' 0 z -> -' -'
(a , b , c) b x ' b y ' b z e x ' e y ' e z
- 107 -
~ -' ' t J'n." tcr b v tCf.J. Tudi to. je sk:!I!l.T. ZJ.r.lenj'J.jrJo ncdsebo jno ve« or . ....
produl~t~ , dob i ::o :
, x ' by' b z 'x ' ay ' Oz
-' -> ~
-" .> --' ~x , by ' b z - (a. , b , c) •
(".J , " c) '. x ' 0.;; ' ", C x ! e y ' c, "x' Co y ' C •
l.1c3o.n i produkt ni kO:""1ututi·!e, t . ~e meds€.oojno zUr:l e n jU!":lo d '1U
• pr oduktu znnk spre~eni . vcktorja fukt orju , s a r.:esanet:!u
J.\e~o.ni pTod\.l.kt je d istributiven ,
•• ...l....l. \ax+ox ,aY+bY ' 'J. Z+ OZ\ lax , e.y' :!.'" 'ox ' by ' oz _ _ ) 0 - e c e + ex ' ':y ' C z
(0.+'0 , e , d '" e x' cy ' ... - x ' l ' z.
d d' d , dx ' dy ' d z dx' dy ' Z z' u'J ' Z
..... ..l..). ...t...)....:t ) Ee:2o:.n1. pr::ldukt vsot~ dve~ veietorj(!V (3. , c , d ) + (t . c , ci ,
3 slcCiec i !!lc dveI:'.a vel';torje::Hl jc vsota r.;es.:tnih produk to'l 5U'-1o.n-
do'! 3 t een vek~orje;'":a .
-' ' Inano dv e. v ekto r p. ' l. , b . -'
Poisci~O vekto r e , ki stoji
pr(\v ')~-; o t n':l ne. teh vek-: orji" . Ve l jnto. en.:"!.cbi
nmo:: ino
a c + r. c + a c 0 x x y y z z
b c + • e + b e O. x x 'y y , z
dn elioinirano i z enacb c y ' ~~~~b1 I ... racunaj~O e x t~ko . -
ter jih sestejer.o , dobi~o : z by t~r - c.y t, 0y \ c z \ :Y' ::1- t:.:1ako eliDinirar.lo c.
t1;~ . by \ y '
ax l ,
y ' ", \ ax ' u
y I rz'
ali e : e '" e z x z by ' b z bx ' by b " Ox
ir. dobir.'o :
lax . 0y
bx ' by
- 108 -
a z ' "x ay rX
' e ;/ C z
b torej e x e c
b x b:{ , b Y z z ' y
lk.V6deni nu vektorjih i , b\ pravokoten vek t or t i nn konponcllte :
ax I b • x
P:l:i t Gt1 nore biti k ?o ljubna ste'lilo . IZJereno k 1. Dobino ~ vc::tor prnvokoton
~
na a in O. k1 1m. kOMponente
-< "y . a
I· El z • ax j I a x ' :: I e " " ... .. .. ( z
b Oz b bx ,
y ' z ' bx ' ' "
Kvnclrnt absolutne vrecn0sti je !c! 2 • (0 b Y z
2 2 (ox + f.!y
2 - a b) + z y
+ (a b _ a b )2 + ( 2 z x x z a xby - " yo) + [/)(0 2 + ::: .x b 2 0 2 ) Y + z
...I. 2 -' 2 ~ 2 ~2 ! il : • ! o! -! o ! . ! b !
Sl:!r:::l absolutna vredr.ost ~ie ~
: c ! ....
! a !
kJer J" e (1') k' ....:I. .J y ot , Ki ga vektorjc. a in b oklcpntn .
51. 7J
Geo!!:etricno nan poceni
navedenn ubsolutrtn vred-
nost plascino paral~lagrc.
mn r,'!cd vektorjcr.:a. t in i . [)efipirar.;o : 'le;(tor , ki
stoji pr~vokotno nu d~r.ih
vel:tor,jih -cr, if in ioa 30 -
s:)lutn o VrednoRt numericno enako ploscilli pe.~31elogrfl.r;m tied
- 109 -
-' -' vektol'jeotl. c te!' b
~ .> torej !a ! ! b ! s intp . je v cktorski prosu~,t vek-
~ ~ tcrjcv a , h . i\onp:mente navedenega ve~torskega pr.Jdukto. so c1.':o -
vrstne deterr.iin;!:lte tVI) !"jene 1z kOJ:lponent o:'eh '/ektorjc"/ po
pravilu 0 y ' " a z ' a a x' •
~ -' ~ Z ..I X -' Y
ax b i +j +k b y ' b b z ' b b x ' b
z x Y
VektoTskerou produ~tu definiramo soer n& sledeci nncin ,
C:e zc.vrtioo 1. vektor fnktor po nnj;.; r :-.jsi poti v poziti-,:".i s:leri
do dr'..le;ega vek t orja kflkor des:'lorocni vijak , ina vektor .,eor gi -
bo..n ja vijc.ka .
-' -' Ce oprir.1eco no. '1~'itorj1.l. n. , '::l ?ruvokotno S::Jcr v iesrto - '
ro~~o tako , da grado prsti od prvega f3.ktorja a j.J drugegn fc.k-
..I torja b po n~jkr£.jsi poti , nan pnlec k~z.e s nc r \·ektor.,::cG.::'· pr~-
dulttn . ~~
Vidino , vcktor ex:-. iL1~ ista velikost p:'. !1rtsprotno otler
....:0 .l.. ...:. ...:. -: -' kat c.xc , veljo. bxc. "" - a xb . Vekta r ski pl'udukt I"!.i katlutC'.tiven .
Dok:lz~~ti hi r:ogh , do. je t-::!ko definir~ni vektors!d prO -...) j ....!; ....l ....l ...I"':>
6.ukt distrioutiven . '/elj:l (.'l + b) xc '" axe + bxc . ~ ....I J.
Tv~ri!:1o vckto r ske produktc bazicnih vek"'; orjev i , j , A .
~ ...J. ....l .,l. ~ j j..:l ....:0 ...) J, ~~ ~~ T::o.ko je ixj '" k , jxk '" i , kxi", j , i xi :: jxj:: kxk '" O.
Vo"bce je vE:ktorski produkt veoktor jo S scboj 0 , s,-j jc : .:1.xo.
". !;! . s inO"'" O.
Tvori::lo seda.j vek: ('Ir~ ki produkt dveh polju!mih 'lC~torjev ~ J ~ J ...I
prcdpost:l.vijc.joC distribut1vnos t fJnOzenj:l. . nxb (lo. x+ j:ly+ka. z ) ~, J, ...lo ~ ..) ..! (ib +jb +kb ) "'" i(~ b _ a. bl + j(~ b - a. b ) + ken b - 0. b ) c
X y.. yZ"loy z.x xz. xy y x
- 110
~ -, ..)"
i , J , k
ax ' a y ' .:l.z
bx ' by ' b z
Ce VZi:!..':Ieoo Z:l definicijo vekt ors~eg:l produkta ve!:tor ,
k~tercg:l koo ponente so dvovrstne dctermin~nte tvorjcno iz koo--' -' ponent vekt o~jev n , b po pravilu
do. vc1i:torski produkt ni kO:':!utat 1ven .
-'4 -' hxo. '" i
-' - j -'-'
- (axb) .
Ce v yekto r sken pr1duktu vektorja faktorja oedsebojno
. zenenj::l.!'Jo , se produktu z n:l.lt sprer.leni .
w _ , ~ _ ,
Slieno u'lidia o dis~ributivno·st . (c + b )xc
t /0; +
c • ,Y
-> + k
-> I (l +b , +j z Z
Ie . I '
-' +j
) .
a +b x x c ,x
... +k <lX+bX ' :y+by / -
cx ' y
) +
r ,
.1
" - 111 ....;
, -- '. _ i .~. \ 'I ' t , j"
(.;;:':' . "
, U' _': . . ( ... : ~ ~l ~. ,:.
prv-{'~um;hdi' :k'O~iPontjht tvo'r 'ijo ' axe I d~.~i' "~Ul!i~ndi bx~. _., .Vo-lj .o.., - . -1 ..}, ...l. ...)-1 ...)-1
( ~ + b)x c = axc ._+ ~;t:c . . .. . . r, .... , \ ~. ~. ! - ' •
Vektorski produkt je pro.vokoten .nn. vek~orjih f.nkto:r;jih : .,'. _'-" ' 0 1 " :; z 6. . , •• x b b
. . y' z
...l....\. ~ ...\..l -' 0 , Enako je (axb).b (h i 0. , b) c 0
Skalar ni produkt ve~t~rskega ,~~~d~kta z vektor jen ·fak -
torjcm je mesani produkt , v kc. teram nas t bpata dv'D. enn k'o. v cktorjc.
fc.1:t;orjo, ·, ja triv'rstna determin£lnta z ijvelDl!1 _enokimc. y'r5tc.rno., ·jo " , -, 0 , Vc!ttorski produkt je pravokoten n<l ,,;e kt'Qrj i~ . fQktorjih.
-'-' Oglejwo, 5i :/e,ktlorskO mnozen j !l vektors~Bg~ p'rodukt:t nxb
...l ~' ...l. ~ . ,., ...l..l s trctjim vektorjem c . To.k pr odukt (axb)xc je prayok~ten no. Qxb ,
J ~ j _ , zato je v r£lvnini a , b , je 1inenrna sestQva vektorj~v 0 , b .
Pisnti !:loremo
~ ~ ...l ~ _, 1 ) (axb)xo ~ sl~ + s2b
kjor sto. 51 in s2 princrnn s ka1arj~ . Mnozi mo enacbo 1) skularno ~ ...l...l~...l
z· vcktorjem c . Uti. levi dobimo meSani produkt (axb , c , c) , ki 10a
2 cnakrl.> '\'oktorjo. in je O. Dobi,mo
...) ..l. ...l....l. 2) sl(o. . c) + s2( b . c) = 0 al1
..l. -I. ~..l. ...l..l. - (b . c) : (£l. c) , torej s l ~ - k( b .c ) ,
~ ... 5 2 -k(n , c) ,
\' ~ :jor je k priceren sO l'azmernostni ,fektor. Enacba 1 ) dobi sedo. j
- 112 -
oolilto ~~ ~ ~"\'-l "\'..l._\
J) (oxb) xS - k(b . c)a + k(n . c)b .
J) je v cktorska enucba . Se neznuni s k~lar doloCi~o toko , do
jo pi semo za 1, komponento . ita l evi st rani je to Q,eter mi nantn
( a)(o) , y
c y '
(a)(b ) z ,
a z ' a 0 aY I x x '
c z b b b z' ·x
cy ' c x ' by I z'
Cz(Czbx - ~xbz ) -
k{-u b c x x x
- ab c - abe + c b e + b a e + bx"zc z ) xy y xzz xxx xy y
KO l i c l na nn l evi strani enacbe 4) je enaka kOli cini v
oklepo.ju na desni st r c.ni . . Sl edi k =' 1 . N.:1 se pravi lo vektor skego.
MOz.enjo v ektorskega pr odukta _dveh vektarjev s tretjin yek torjec
se glo.si ~........1 ...... _ , ...... ...... ...l. ..Jo.
5) (axb)xc (a . c)b - (b , e) . a .
. l" Y Ogl ejrr.o si skai arno L1nozenje dveh vektorskih produ~~toy .
. ~. ~ ~-t ~ ( ~~.rf)· l(' x.C{) ·I zracuna jlllo izra z. (nxb )(c!l«) . PiSi!:',o go. \' obliki r.1e3aneGc. pro-.... ' dukta
~..l ..)..),. _ oJ ...l. .,j 6) (o.xb)(exd) '" (axb , c t d)
~ ~ ~ ..,I.
«axb)xc) . d .
V desna st r om 6) '1stavimo izraz nn desni str.:t.'1.i 5} , do~imo
..1...l...1- .l. ..1~ ...... ..!...1...l....Jo ~..l ' -l..Jo -7) ( axb)(cxd) , «o . c)b - (b . c)a)d , (n . c)(o . d) -
...l. ~ ...l...1 • (b . c ) (o . d) .
- 113 -
Dobili sno pravilo sk~larneg~ cnozenja dveh ve~torskih produkt ov ,
Lcgrangevo ldentitet o :
~-,..:)..l. ~..l"')-1 ..l...)-'~
8 ) (axb) ( cxd) • (a . c)(b . d) - ( a . d)(b . c)
Priner: Doloei ahs:J1utno vrednost vekt or skaga r-rodukt a dveh vek-
torjev . Kvadrat aosolutne vr ednoat i je skal arni produkt vcktor-
s Jtega. produkt a teh vektorjev so!':! s seboj .
..) ..l 2 ' ..l...l. -'..l .Jo...l...Jo ..Jo ...l...l..!. ..). 9 ) taxh! • (oxb)(oxO) • (a •• )(b . b) - (a . b)(a . b)
..) 2...l.2 2 ...l2...lo 2 2 !a l !b ! (l-c oa 'i') '" !a ! !b ! si n <p • .
Ge levo in desno stran korenino , dobino ;
..:)~ ..l. ~
I O} !axb J .. !!i! .! b ! sinep .
Pri(,er . V krogu s po l r.:eron 1 nacrtMo kote. ep in w, tp > w.
Vektorja pol r.1erov nn kr <l.kih kotav sta ~<:p(cosip , sinrp , 0) , -'0 J ~
r l.d ( eoaw , sinw, 0) . Njih vektor ski produkt je rwxr<:p ..
(0 0 , eo~ , SinW \ ) . Od 0 ra~licnn je tre tja Kooponentn , a , , eos,+" sin<:p
za kate r o velj a :
11 ) sin(r.p- w) :0 \ COSW , 3~nW \ '" sino;p . cosw - eoscp . sinw . cos cp , sl.nip
Dobi l i s ea adic l j ski teor eo zn funkcijo slnx .
-> J -' nazv1 jno ate rmeninanta mesani produkt v ektor jev (a , h , c) ~
<lx' ny, <lz
bx ' by ' b z
cx ' cy ' c z
1 2) .-> ( n ,
po tre t ji vrs ti, dob1mo :
~ .>. b , c) • c I fly ' • I +
c x z
by , b z
a z ' • + Cz I flX ' . y I y x
oz , bx bx ' by
1 ,
I ! i
- 114 -
ile$uni produkt jc torcj sko.lnrni produkt poljubnego. ve!,:torjo. z
vcktorskio produ;{ton nadaljn i h dve h vektorjev .
lIf'.nesir::o vektorje Desonegn
produktn vista zccetno tocko ~-'
O. Vektorski produkt exb
oklepa s tr€tjir~ vcktorjeu -" C kat £ . Nevedoni trije v ek-
torji zajem.:jo prizeo p:lr o.-
lclepiped . Visir.a tc priZfJO
je pravokotnica iz drugcgo -loo ...} _,
:crllj i sca vektorja c na r avnino vCktorjev n , b . Tn znnsn -'
v c ! c ! cos t. Meliani produkt je
....) J...l. ..l...1...1 ~...Io ..J. . ~. ~
13) (a , b , c); c(:J.xb)::< ! c ! . !axb ! cos f = !axb! !c ! cos E
-'-' PrY! ic.ktor no. "desni strani 13) !ax:;, ! je plosclm. osnovncca pa.-
-' r aleloerana paralelepip~ da , ! c ! cos E po. je visina 1'.n tn osnovni
paral elogr an . Desne. strom je vo l unen paralelepi pcda . Mesoni pro -
dukt J vektorjev ja .,0 'H: likost1 ennk volur..nu perale1epi!1cc.a , ki
go okl cpajo ti t r ije vektorji .
Veziuo.drugn kraji3ca nasih ~-'
! a.''(b ! Osnovna p l askev totraedrn je ---2--'
j c :
vektarjev , dabir.~o tctr~cder .
~
v i~ 1na pa v '" ! c ! cos r .
1 1·0 V '" )'
-'..> ! axb ! - 2-
~
! c ! cos E -' (a ,
-> .l b , c} 6
I I
S1. 7~
Volu~en tetraodr~ , ki go.
t v orija trije vektol'j i z
l a t o zacetno tocko · je
se£tina ~~s?~ega produkta
tah vektorjev . Ce je vektor
- 115 -
-' .l -' c !;:ouplnnnren Z '1ektorje::-a a , b . t'lori z njir::a paralelepipe d '10 -
..I. ~ ..1 y
lU!.l!ta O. Inama (0 , b , c) '" O. Trije'vektorji so konpl:ma.rni , ce
jc njih nesoni produkt O. To uvidino tudi algeJ rajsko . Cc so JjJ ..I. J....l ~ ,
vektarji Il , b . c konplan::!.rni , jc c " SIB + 92b • Nj·ih !.'!csan~
produkt je .... ..1 .>. -' -' ..1
52b) 15) (a , b , 0) (a , b , 5 10. + . ..> -' ..1 ..l -' -'
(a , b , 'lC) + (a , b , S2b ) . 0
Mesena produkto. nn desni 15) s t e deternin3nti s proporci -
onnlnir.1D. vrstar:-,a in Z!l.to O.
Vzer.;ino dve. prostorna pravokotna koo r dinntn:l sisteaD. , Frv i
d i ' I)') , Po1jubn-'" tockn prostara iuo. iocj osi x , y , z , rug t ' " ) . -glede nu (xyz.) sistem koordina.~e T(X , y , z) , glode nn cf , "?, ( ) sisteJ:l pn T( ~ ,rr; , ~ ) , ,
sisteou ~./'f1 '
;-.;nncb"e, ki no.tl poveda , kako se koardinate tocko v ( xy :z.)
izro.zajo s j1or.ocj o koord~nat te tockc v (f ,«;, f ) s ietc -
r.:u y ohratno ,
1. 1\ '<,
y
x S1. 76
koordinat~cg2 siatenn .
Kr:lj'evni vektor tocke T v
prveo sistElr.:lu je -:(x , y , z),
v r1r~ger.; sistOLlU -;. ( { ,'7, f ) I vekt or oed koord1nntniT.1:l ze-
--" -' c~ tkooa OOr ~ ro '
r,'ed nnvcdel1ir.li treni vcl;: -
torji obstsja zvoza ~ _, ....l
16) r = r 0 + r '
..J, _\ _\
Bazicni vektorji (xyz) sistO!.ln s o i , j , k , bazi ~ ni vcl, t or ji
- 116 -
( f ,"'), f ) sisteo. pa ... i ' ,
... j ' ,
-' k ' • Vektorji -'
i ' , ~, .J J • k ' so vcktorske
enotc , kl ir.mjo glede M. (xyz) . t k -I ( ..1 ..1 - s~s eo orlpono2!nte i ' all '
~ ' (a21 ' ~22 ' a 23 ) , k'(a31 , a 32 , 3 33 ) , vcktor transl~cije
rO(n"l ' tL42 , a 43 ) · Onenjene vekt orje nor eno pisoti :
... -> -' -' r ' ix + jy + kz .1 -' ~ ... r ,. 8 41 i + ja42 + ka
43 0
r ' ·h ... k '~ + j '''1 +
17) -' -' ... 1/ i a ll 1- jOl12 + kal) -> -' -' ~ j ' :: 1821 + j9.22 + ktL2) -> ..\ -' -> k ' i a 31 + jan + k'JJ
No.v cdeno upohevll!':lo v 16). dobir.1o:
1 8)
t (i all -' -'
+ j a 12 + kelJ) +
+ f (TaJl ..\ . ..\
+ jan + ka33 ) ·
18) je vektorska enacbe . Pi sat i jo coreDO po kooponantah v obliki
treh skalarni h enaco . Prva kOr.Jponenta l eve strani(ko~ficient pri -'
v clctorju i) je enoka 1. kooponenti desna strani (koeficientu prl
v e}:torju I) it d . Dobioo :
19 )
EnO,cbe 19) povedo , kako se koordinate to c ks Tv ( xyz) sisto::1U
/ f · izrazo.jo S pOr.Jocjo kaordinat te tocke v (t , 1', ) sistC:1U .
- 117 -
C. U ' <:,].2 ' a 4) so koordinl'.te tocke f '" 0 , '? :c n , f ., 0 , torej
koordinate koordlnat!1eg3. zacetka ( f I \Yf f) sist~::l<: v (xyz) 8i 3 -
tcr::u . Inenuje !:1O jih koefi ':iente trans l 3.cije . Po veio r.n:-.1 nru:1rcc ,
za koli~:o Sr.lO (f ,Ill, f) -lis t en precakni li v sme:-l x , y , 20si ,
de soo pris1i iz 0 v 0 '. C( so koefi c i ent i transl~cije 0 , jc
trc.nsfor'!:l<lci ja ortogonalne. homogene. Gl as i ge :
x'" allf + (l21 rfJ + O)l f 19 ' )y. ,a12Y + "22 '1 + aJ2 ~
z a13 f + fl.2) '1? + aJ ) 5 Retlin.o a is t e:':l 19) po f ,?, f. Enac!le 19) tmoZi:-.lo znporod z
fl.ll , 0.12 ' 80 1 ) in jih sestejer.-.o . Na desn i f ' rr; , f izpostuvir.lo .
Koefici ent pri f je t , . t, '" 1 , pri Ifj , jl . t , .= 0 , pri f, _, .1 ) k ' • i ' '" 0 , dobioo 1 . en~t:bo 20) . Drugie. r:mozir.lo enacbe 19 ze.-
porad z 0. 21 ,0. 22 , 0,2) in ji;" seSt'.3jeoo . Pri f dOOiInO l' .~j ' : 0 ,
pri If! . j' . t, '" 1 , pri f , k' . j , ,.. 0 , dobi,:'!o 2 . em\t:t.o 20) .
Kon CIlO ( ::1 ':' Z11]0 enacbe sister.'~' 19) zapcred z D 31 ' ll32' (\)3 ' dobi rao
J . e n,:>.cDo 20) . V r.eloti je
f· nl1x + a 12y + aDZ + 81 4-
20) '1 - 821x + a 22y + a 2)z + 8 24
f · a 3I x + il)2Y + .aJJz. + a)4
J J J kjcr so ' 14 . - La lia l " 3 24
. - ia4ic-2i l 0.34 . - [e.4 . 4'.);
l ' , 1 ' -
kocficienti translacijc od siste::lo. ( f, "1, ( ) do s isteua (;{y Z. ) . ...) -~ j
PiBino v ektor s ke komponente baz.ienih vekt orjev i ', j ', k ' b l ade
- 118 -
nn sisteo (xyz ) . Ti tvorijo koeficiente hooogenega dele tr~nsfor
r:mcije 20) , so koeficienti trnnslacij e .
x y z
F--> ~, ~I ,f,
all ' 1112 • e13
21 )(f1~ a 21 , a22
, e 2)
f-> IlJl ' B.)2' 0J J
Vrste kvadrntne ureditve koeficientov t r ansforr.w.c ij e 21) eo S:.lorni
kosinusi f , rt) , F' , 1 d () I os~ gee ne xyz sisteo. Stolpei navedenih
koeficiontov 90 sr.lerni kosinusi X, y . z os! glede na (f, ~ , f) siateo. Determinanta kv9.d:l'!!.tne ureditv,e 21) je ortogonc.lna doter-
r.llna.nta
all ' e 12 , a1)
22) a 21 , 0. 22 ' "2J D
~)l ' 0.)2 ' aJ)
Njena vrednost je ~ 1. Izrncunajroo
0.11 , 8 12 , .1) al l' 111 2 , a , )
D2 B. 21 ' 8. 22 ' e 2) a 21 ' 0. 22 ' e 2J taka , de nnOZitlO
a)1 ' 8 32 , e J ) u 31 , a J2 , oJ)
vTste z v r st aoi . !}abino : ...I .. ->...1 ..>...1 i ' i' I i' j' I 1 ' k ' 1 , 0 , 0 .!>-> D2 ->.> ->-> j ' i ' I j • j , , j ' k ' 0 , 1 , 0 . 1 ali D ! 1-~...I ->"> ->-> 0 , 0, 1 k ' i ' • k ' . • k ' k ' J ,
..> ----" V zerJi~.~o vektor e • T1T2 , kjer ino.ta T
" T2 v sistcoih (xyz),
- 119 -
( f. "1, f ) koordinate °r 1 V -ktor it".n
V (x~rz) sister.;.u koopone!lte!l. ... X - x e. '" Y2 - Y n x 2 l ' y l ' Z
v (f I~; f) sisteJ:.u po. ir.1<1. vektor kocpo nsnte Ilf '" 12 - f l ,
" "/ ' ~ ,2 - 7" a f • f 2 - f" Sodej vidi~o ,
I I
Enako bi postop!lli Z ostalioi kooponentaoi vektorjo. . DobiDO tr~s-
foroacijske enacbe vektorGkih ko~ponent pri prehodu iz ene£a pro.-
vokotncsa sistem<:. ne drugi:
a I Cl.111lX -+ a12~y + n13a z
2) a '~ . 1l21a x + u 22 D.y + e 23 a z
I
a t ~)iax -+ 2.)28 y + 8))8. Z
ObratnCl. transforcacije p~ je
Vektorske kooponente se transfornirajo pri prchodu iz ene-
GG pro.vokotnegJ. sisteoa nil drugi ortogonalno hooogeno . 1'rojico. je
vcl:tor , ce se trunsformira pri prehodu iz enege pr!l.vOkot::1a,;;D. J:oor-
dinatneGCl. sisteoa na drugi ortogonalno hO:1ogeno •
- 120 -
To.ko hi mogIi dokszati vektorski znacaj vsote '1e:~t orj ev I
razlike vektorjev I v ek torskee;a produkt!! .
O!;lejoo 51 skelcrni produkt dveh vektorjev v ( f, 'P, f ) sistcnu . Vzcnino vektorja ;: t ar t. skaiarni produkt v ( f' rr; If ) sistenu bo
25) a~ bt +", ' ''I + a f bf • ("11", + '12'y + " l J'z) '
(u11bx + 8 12by + slJb z ) +(a21s X + S223y + n 2)az )
DeS:10 stran uredioo take , de. VZru!lCr.lO skupaj elene , ki vsebujejo
axbX' nato take Z Rxby • • . •. . Koeficientl pri exox ' ayo y • szbz so I , 'lsi ostal! pa O. DobiClO :
26) • f b{ + "'} '7 + af J' axb x + ayby + " zbz
Enacb~ 26) nan pove , de je sk~larni produkt invariantn Blede na
ortogonalno transfor~acijo koordlnatncga sistcDa . Skalarni pro-
dok t dVah v ektorjev je v vseh pravokotnih si st er.l ih po ob l ild in
vrednosti isti .
1z. naveder-ega poyz :lr.'leno nadal je . Trojica Ax ' "y ' Az t vori
vektor , ce je nje skal~Tni produkt 5 po l j ubnim vektorjem inv~ri-~
anta . Bodi b poljuben vektor . Sedej jc
27) kxbx + Ayby + Azb z ,I f bf + ''7 b? + Af bf
• A ~ (a l lbx + 8 12by + a13bz ) + A ~ (a2lbx + o.22by +
+ e 2)b z ) + A ( (8)lbx + a J2by + uJJbz )
r - 121" -
en: u :". "i Ox l'!.a lesr.i, S:1j ("0T3. e n:lcba 27) "izJ"jnt i 23. 90ljubcn -,
ve!: tC'r Bn::l.ko "/elj a ::'1 ';J te::- 0: , !)Obi::1o:
23)
A x
2£) t,y
a ll t. ; - I 0.12'"" ~ r
• ~:l;" O:) + "JIA r
+ "22"' 'I . C.J2A f
'n je vekto r s<a tr~nsfor~a:ija za kollcine Ax ' Ay l Az '
Tako n::! prioer uvi !ioo vektcrski znacaj vekt ::lrs::c B,rI. ..l .....) .....) -I
prodl:ktr" ?,) lj .lbnih vektorj~"' R, b , Skalarni produkt ~"('b 5 po -
.. ' l ~u::-.i . · :":' ~t~i:: '.'el ·t orje~J c je uesani produkt , t .:t. pa je in'fnri -
cnter , ., \' ~~ eh siste!:li~ i st:! ko liCi:111 , saj je volu:"Jen pnr.:l.lele -
_Hdhave c"'r.'~ni treni v ektorji ~, I
~ ~
b . c.
Fr c::lic'" jr d.1t" ·,. s "1:",er~o t ' 'Iektorr;-ko e:1oto ali poljubnin
no. pr ':'r.lic i. T( x, y , z) pao pc -
Ijuh :1~ t oc kc. :""0. prenic L ZVGZD.
ned koordin .... tr:..:!i poljubne tccke
ne preoi ~ i ~~ anncoa preoico . ------'r
Y Bodi poljucc·-. d::.n vekt or no.
prenicl , ki T:! l"e l) i ti tudi
VektC'T , '{ i .ece od znnnc
do ,"-,;~'bne t 'c;<: e , je kolL:l'l' ren z vektorjen n ,
;: .i.r .;: -; ~).r '~"""lljiv sorr:-'lf'rnostni para:':lc'\.er ,
- 122 -
Voljn enacb:!. ~ ~
29) r ::1 r 1 ;. S!l
prcD1c1 vsotn krajevnBg:J. ·i € .• tO!" jll c1.!lilC tocJ:e na '.)::-e01ci in prc-
v11no odr.lerjenegn koli.1eal·neg'l vektorje Z H!ktor .je::1 pre::;ice . To
jo voktorska. oblika en.:lcb o prer.l1ce . Ce sor nzmcrn)3tni p:lrarneter
s spreninjru.lo , debieo kre.'e r.e vektorjo po~jUtt.i:l tack preuicc .
Vektorska enacba :?9) je eno.kovredn:l s tree i sknlc.rni.::i
enllcb~.ni
x Xl + sal
30 ) y:c y 1 + s1l2
z
~na':bo 30) povedo , de. !>o ko ordinnte poljubne tocze nll prcLl1ci
lincarnc funkcije anese. in istega p:lr3r.!etrC". g . 30} je paro.oet -
r1cno. oblika prenice .
1z enn;:b JQ) no reno elil:liniro.ti pllrar:3cter s , dobil.1o :
31) s
Jl} je obiclljnn zve=::l ::led koordi:·n.tani x , y , z tocl<:e ::0. ~rer.lici,
obic~jnc eno.c~a pre:!1icc . HS3.ti jo m~re::10 torej 'Iedno, ce pozna.Do ~,
vel;:torsko enoto ali pa poljuben vektor a ne p::',mici in 9no tocko
nn prer.lic i.
1z 31) r:Ior oJr.o izpis:lti tri el".Etcoe !:'led po dver.lO. kool'dil1nt~].:l.
)oljuon~ tocke nn preL~ici ,
r I , - 123 -
1z dveh en'lC::' 32) sle c! i vedno tretjn . Enncbc 32) so cno.c -
be }rojckcij 9l'cnice v koordinatnih ravnin:lh . ..l. _, ....
Pl'ir.ler: Doloei scciscc preoic r = r 1 + sa tel'
-' r .... ....\. <":eC1see bo tocku , kjcr so koor dinnte tocke 1. 1'2 + s1b , ...
prcoic e e.1I:!.ite koordinai.a~ tOCke ne. 2 . pren1c i. Vc1ja t i nora
enacbe ..l ~ ~ ..l
J)} 1'1 + sa '" r 2 + 51 b
nli po kooponentoh
3~) sal - ~\ b l + xl - x 2 0
sa2 - 91 b l + ?1 - Y2 0
sa) - SIb) + Zl - '2 0
~ -' -' -' Enacba 33) , ki ji !'-areno dati o'!:lliko r 1 - r 2 slb - sn pove ,
de. so prenici se.cet"" ce jn vektcr od dane t OCkf 1. prcnicc do , da:1c tocke druGc prerlicc kooplan~ren z vekto~joDn a tel'
b~, ce so 'lsi trije v isti r~l\'nini .
sistcm treh enach 3 dvcol!. neznankao3 ~ tel' sl .>
Ijiv , ce je deterr.:inanta I) ..
a l , ' 1' xl - x 2
34 ' ) a 2 , b 2 , " 1 - Y2 • O.
a 3 , b J , zl '2 ..\ ~..l ...)
Tc dctcrrninanta pa je ncsani proQukt vekto rjev a , h , r 1 - r 2 ,
ki je 0 , nave::d eni vektol'ji so !(onplannrni. Cc pogoj ),~ I ) n1 iz-
polnjon , stn prenici oir.lobeznL
:z \
- 12~ -
Le;;o r :J.Vll".ne dol'Jcata 2 J
nek(line:cn:J. ve!:torja. a
t",I b. Cf} poznano f:c do -
l oceno t o:5ko ra.vnine na
- ~-- ... ~ ~.----;- r avninn r!.lna popolnott<l. . J ~
Yettorja a tel' b dolo cata
S1. 78 v ektor n n nOr'rJal i ravnine , ...l. ---I..l
ki jc n :: !lxb . Vsc r.:lvnin~; istira vektorje:n na normaE i naja isto
l~go , so vzporerlne .
1z T1( X1 , Y1 , Zl) n)~ ~~ eL.O po lj uono tocko ravnine , CO ; re -...l. ...l. _ \
no za pril:1eren vel<tor slu vzdolz a , n:lto po. za prirteron -....e!ctor S2b ~
'1zdolZ b . Velja (macho.
J )5) r
_, ~ --l
r 1 + SIB. ... 52!:>
v 35) sta. 81 tel' 3 2 ;:p:'Er:::::lljiva purE':n:etra , ee s . tel' 9.., sprer.tin-
jorJO , dobino kr3.je,":.~ 'Iekt ,.1'[' ,:) ra.znih tcck l'evni.ne . 35) je vek-
torsk.:l. enc,cba' ra'lninc . Pisi.::-.o jo po kOrJponento.h
x Xl + SIal + s c':ll
)6) Y Y1 + 9 1 0.2
+ 52
b 2
z zl + sla ) + "2b )
En.::.c b e )6,> nact pove do , da so koordinate. toc.k v ravnini linecrnc
fWlkcija dveh paro..-net r c'l . 36) jf:- p::tr.lmetricne. obli ka enD-ebc rav-
nine . 12 pr'lih dv eh enacb 36) bi r:!oeli 91 tel' 32 izracunati in
vncsti v tretjo e nacbo . D( bi11 bi linoarno zvezo med treDi s?r c -
r.ler.. lji"kani x, y , ::., koordinatani - poljuone t ocke ravnino . Dobil i
- 125 -
'J i o')i cnjno ena cb o r:l'll"'ine
• 0
t.!noZico enacbo
)5) -; - r~ -'
sl:a.Io.r no z noreal o r::lv~ i.n~', z vektorjem n
J J J
(sl~ ~ J ~
)8) ( r rl )n + 3 2b)(ax-=»
-' -' J (r rl )n 0 ,
J ~ -' -' Vc::tor norr'lc.le bodi n iAl + j.\2 + kA) .
JJ axb . Dobi::lo :
0 , t or ej
Enacb u ravnino
obliko (x - xl )!. l + (y - Y1 }A2 + (z - "1 )") . 0 2.11
)9) A x + A ... y + A)z + A . '" O. 1;:: 'T
dobi
Enacba )9) pove , de. ,ie enacb!!. rlJ.vnine poljuonn line::lrnn .:veza
lled treni sprer.enljivk:u:;i. Koefi c ienti pri st>renenljivkah pone-
vektorJ' a nor:r.l~le . Norr:li ro. .j :'o vektor norr.)ule v nijo konponen te
cnacb1 39) t el' deli~o
norno.le torej z \j. ... i em:c i: ) z absol~tn(' vredno9tjO v ektorj a
... A2 + A)2 . Koeficionti 1-'r1 spr er.lenlji',kah 2
bodo s::lern1 kosinusi n)r;:;ul oJ ali kcr.;jloncnts v€ktorsl{c enote nor -
c a l e "2 "1
"1 VAi + "
"2 V 2 2 2 2 A} Ai + .\2 + :\) '2 +
lIornir<!no:t enacba r avninc dobi obliko
- 126 -
·10 ) Y +
A4 z + r:;=~=:::;:-
\!A,2 .2 A2 V - +""2 + J
o.
o.
Oblika 40) je normalnn oblika e!"lc.cbe r:lVnjne . Normnlna ohlil(<l
cnnc')e ravninc je tista , pri kateri so koeficienti pri sprcr.:en-
Ijivkah srJerni kosinusi normale . Dol)it:lo jo , ce obicajno cnncho
rnzsiriuQ s faktorjem
~ " (X,y. I.,) Izracunaj~o razdaljo od poljubne
tocke izven ravnine do r~vnine .
Pravokotnica iz T1 (xl ' Y" zl ) I
f1,~x"y< "'j naj $cka ravnino v tocki T (Xo ' 0
S1. 79 Yo' zo) .
Enncba. r avnine pa bod! dana v nornoln' b"" ... 0 1iU 0.1 x + a2y +
+ uJz + 04 ~ O. Soern1 kosinus1 so ;
Xl - X 4') 0
d " Y - Yo ,
d .?
z, - z 0
d "J
- 127 -
i.inohr.IO enacbe 4') z:lpored z ." ·2 ' aJ ter jih sestejtlO , dobino
xl - :{ y - Yo '1 - z 0 1 0 2 2 2
d a, + d "2 + aJ . ., + ·2 + .J L d
Do!lljeno enecbo r.:.noZi~o z d in dobillO
42) d
Dcsna str~n· .. ~.~2) je leva stran norr.-.a l ne ohlike ru.vnine . Dobljeno
pOL,€mi : .... :.::~~,
."/ ~.~ nazdaljo ad t ockc do ravnine dabioo , ce v norco.lno obliko
rc.vnine vncseoo koord i nate tistc tacke , od keterc r azdaljo isccno .
Oc no pr1ner vstnvico v obrazec 42) koo r dino.tni zacetek , dobirJO
dq : ~4 ' Koe fi cient 114 v norDalni obl iki revnine poceni rnzdaljo
..>d l;:oordinntneg~ zacetka do r~vnine .
Priocr : Doloei nCt klaSicen nnein in vektorsko enacbo
rav:line skozi tri dOone tocke T1
( X1 , Y1
, 21 ) , T2{x2 , Y2 , 22 ) ,
.T/~2 ' Y)' zJl !
R<wnina bod! Al x + J',.2Y + AJZ + A4 = O. Koeficientc AI ' "2 '
:'J ' A, norc.t:o tako do1oc1ti , do. bo ravnint'. 81:\ :;kozi no.vedenc toc -"
ke . Koor( i no.te tock Tl , T2 , T) oornjo zadoscati zgornji cn~cb i .
Bit! noro.
A1X1 + A2Y1 + AJ 2 1 + A4
AI X 2 + A2Y2 + AJ 22 + 114-
Al x) + 1~2YJ + AJZ) + A4
o o o o
- 128 -
43) je hor.logen sist etl za iskace koeficiente AI ' ,'\. 2 ' A) . '\.r Iua
n<'ltrivi::l no resitev, ce j~ deter~;inant a sistefJu 0 , ee vclja
x , y , z , 1
xl ' Y1 ' zl ' 1 4·1 ) O.
x2 ' Y2 , "'2 ' 1
x3' Y3' z)' 1
,~ , ~) pa je linenrna enacba 5 treni sprei.:enljivkani. Zadoscaj o pn
ji koor~nate tack TI , T2 , TJ • saj dej a deterninanto z dvcnu pa-
ralclnir.w. enakina vrstnma , k1 je O. 44) je torej enncb~ nase 18-
ko.nc r c.vnine .
81. 80
Vektorja v ravnini sta ~.-'{,
X2 - Xl ' Y2 - Y1 ,/ ter x) - xl '
YJ - Yl , zJ - zl ' Vektor no1'-
elale je tvrej vekto1."ski pro-
dui( t n = (x2 - xl ' Y2 - SI '
22 - 21 ) x ( x ) - xl ' YJ - Yl ,
Zy - zl) . Foljuben vel~tor v
r ovnini gre na priner ad clnne
tocke T1 do poljubne tocli:e lj .
Inc. kOr.1po nente T1 l,j' (x - xl ' Y - Y1 ' Z - 2 1 ) • Za tacke II v r':l.Vnini
---' -" --' ~
jc Tlil pl'avokoten nn n ter je enacba ravnine TIAl n . 0 eli
45) (x - x l Y - Y1 , Z - zl) ' « X2 - x l ' Y2 - Yl , z2 - ,'1;1)
x(x) - xl ' Y) - Y1 , z) - ' z1 » : O ~
segpentno n11 odsekovna ooliko. enache rc.vnine je tisto ,
" i z itr:ttere nor·i no v i dQ ti odseke , ki jih ravninQ odre2.e nn koordi -
!!:ltnih oseh . Ibj bo odsek nn x osi 0 , na Y os i 1". , nn z osi 1.
- 129 -
1(6) X , y , 20 , 1
O. 0 , n . 0 , 1
a. 0 , I , 1
poter. gre ravnina sko zi
tocke ~(n , 0 , 0),
N(O , n , 0) , L(O, 0 , 1) ,
Ce upostev'lloo enacbo 44) I
jc l:"'Racba te r:lvninc
pr vi vrs ti , dobioo x (nl) - y( - ml) + z(mn) -R(:!.zvij mo jo po
nnl U. Enacbo delimo z nnl , dobioo :
47) ~ + Z +;'",1. m n 1
vzcnino d'Ie rllvnini
48) A1
X + A2Y + A)Z + A4
0 l x + B2Y + B) 'Z + 8 4
o o
-" -, ) t B(13 D2
, B) koli-Co sta vckt orj~ nn nornalah A(A1 , A2, A) er l '
• k J'!l n iato. ko1ine -neo.rn('" sta ravnini vzporcdni. Ce na'fedenn v~e to r
¥ itt! 48) po x t or y . se r nvnini secet 9. v preoic i. Resieo sse, nrno. , ....
ter Y kot 11nearni funkciji z , debine Do'uir.lo x
49) x • L1 ( z)
Y L2 (z )
Z z,
,19) je !?!!.l'OJ::etricnc. oblikn pr~r-ice , secisC!l ravnin.
130 -
Prf.. J':! icQ r.o re mo tudi de f i nirati kot sccHice ravnin . To.k:.
onacoa pr o,-"lcc J' e dan:>' ¥b - Z uveos enac ama r avn!n . I~a torej o~liko 48) •
Pricer: Dolce i vektor ne pre~ici . ki je dana v ob liki
cnncb dveh r evnin 48) . Vek t or precice prosecnice je prnvokcten
nu norn.1' p . -" ...> ... r Ye r aVnl.ne A tor ne. normal1 drugs r avn ins B in jc
zato ve ktorakl pr odukt ob'eh navedenih norroo1 . -, ..... Ir:l amo p '" -'-' AxS .
Nil premi ci se sed f'. j izb&rir.o po l Jubno .t ocko . z1 izberi:1O
poljubno . Iz sister:o. 48) slecl.ita zl se pr1pada.joc i vrednosti Xl '
11 ' fins a obicajna oblika enn-cbe precice bo potern
y - y • ___ 1
P2
Dolcei cnacbo r o.vnine , ki gre skozi secisce r~vnin
48 ) A1X + A2Y + AJZ + A4 >:: 0
B1x + B2y + BJz + B4 0
Vsnka tocka S (x , y , z) scc i sca ravnin r esi abo cnacbi 48) . Na-
prn.vioo nO'/o enacbo
Nnvedenn t ocks. S , ki r .eS! abe en'3.cbi 48) , re si nto tudi cnncha
50) , Ravnina 50) gre t orej tudi .skozi seci sce r avnin 46) pr i
poljubnem s , Ca s spr~ninj ano , dob i~o druzino r~vnin skozi sc -
cisCQ danin r avnin . To druzino r~vnin 50) i Denuje~o so p rnvnin
s!:oz sec i sce danih r .:lvnin 48) .
- 131 -
Pricer : I zb eri sko zi sec i ~c e ravnin )x + y + Z - 1 '" 0
tor x + )y - z + 1 '" 0 tisto , ki stoji pravc ko tno na prvi r:lV -
nin! . 3
n~vnin~ skozi seei sce dnnih r avnin je izvod sope x(t + 9 ) +
+ y(l + J s) + z ( l - s) - 1 + s ... o . s corar::.o taka izbrati , dn bo
ro'mino. pr nvokot n3 nn ravnini ) x + y + z - 1 O. Skalnrni pro-
dukt nornal r nvni n je O. Bi ti mor a J (J + s ) + I (1 + 3s) +
+ 1 ( 1 - s) 0 , 1z cesar s ledi s '" - ~l . Ravninn je
( 11) ( 33) ( l.l ) 11 1'211 x 3 -"5 + y 1 - "5 + z 1 + 5 - 1 - 5'" 0 a.}. x - .y +
+ Bz - 6cO .
- 1)2 -
VIII . Z . .:.POREDJ,\ ! i(mJVc~GENC;' Z;,POREDIJ , LDlIT.\
Pascben sluc~j rr.nozice je zeporedje . Tukaj tvorino
elenente , elene , po dolocenen pravilu , ki elene uredi po vr-
stnen redu ter moreT.O clene ozn:lx~t' s -t ·1 ' _'-'...... s ev~ ;o::e.mi , indel.:si ,
dobimo : an • • •. 0. .
Z~poredjc je torej nnogoterc~t stevil, ki jih tvorirno
po dolocene~ pr evilu ter je glede na te pravilo vrstni red
ysal<eruu steyilu ze vnaprej do l ocen . Tudi zaporedje more biti
ncskoncno , pa nc.vzgor in nn spod omejeno . l.iore po. biti tuch
neor.'lcjeno .
Zaporedje more iI:'.eti natancno zgornjo rlejo . n~vzgor
omejeno zaporedje i r::tt:. natancno zgornjo r.lejo i.l, ce so vsi cleni
ZU!Jorcdjn nanjsi oc. j,I . t orej an
( M, marerna pa dob iti elene , ki
Z2. poljubno r:J!ljimo stevilo zvecani ie po velikosti presezoje I.! I
tcrej 2.n
+ (- > M ali an't !,j - E.: • Natancna ozgornja mejc. M j e
torej v ecja od vseh elena\' zaporedja , ce po. jo za polju~no l:1.aj -
hna :::ita"lila f z:nanj s Q.."llo, noreno v z~poredu ze najti elene , ki
s o v<;lcji od t ako zmnnjsaocg3. Stevila l,\ - E
Dokazati bi !!:ogli : vsako l'Hlvzgor otlejeno zaporcdjc ir.11l
nntnneno zgornjo nejo . Pray tako morerno uvideti : vsake nn spod
or.lCjcno zaporedje ina. nat~mcno spodnjo mejo , to je nuj ti r.lOrCr.lO
st~vilo r.1. , ki je manjse od vseh clenov znporcdjll, ce pn stcvi lo
r:l zo. poljubno majhno stevilo t zvecnmo , dobi[Jo v zaporcdju ze elene , k i ~o r:J~njsi ad tnko dobljsnega stevila rtl + t. ' torcj
r - 1)) -
i!:l:::ti Cl".o an ~ rn + f . Neskoncno , todn ooejeno z~poredje more
ali vee stekn.lisc . Ce ioa z~?oredje Ie 1 stekaliSce , n!l pricer
D. , je ypoljUOnO J:lujhni okolici stevila a nesteto onago elena'" in
Ie v okolici stevila a je nesteto onego clencv , Skora vsi cleni
zaporodja so v neposredni okolici stevila n , ad kat~regn se za
poljubno oalo razlikujejo. Ce Ie gre~o v vrstneo redu cl~nov
dovolj dale~ . se vsi nadaljnji clcni ad a za poljubno 1:10.10 r8.Z-
likujejo, pra:fitlO, cleni z r astocim vrstnim redon teze , liL1iti-
r o.jo I;: a, 2B.poredje je kovergentno in iron limito n .
Zeto definirnmo : zaporedja a l , u 2 , u} ' 0. 4 .• , un
je konvergentno i n iroa linit o a , lim an '" a., ce je absolutna 1'I '.~r::II
vrednost ruzlike dovolj poznega elena an in stevila n nnnjsu
ad poljubno majhnega stevi ln £ , ce je 10' n dovolj velik , nn
prir.lcr vecji od nekega N (e) , torej
1) 10 - el < £ n
, n ) 11 (t) ,
Mejni indeks N. ki go. ooreao prekoraciti , bo znvisen
od t . klljti cio oanjsi £ 'lochteva.f.:O , ten '1ecji mor:). biti N.
Uvideti noreoo , du je potreben pogoj 'loa konvergenco
n
zaporedja tudi ta , de. je absolutne. vrednost razlike poljubni h
dvch dovolj poznih clenov r.1.'3.njcia od poljubno oajhnegn stevilo:o. E
Dokezeno , ce je zaporedje 0.1 , 0. 2 ' 8), 8 4 .... un
konver8e~tno in iron limito a , je
2) In - a I < f: n+P n ce je le n ) N (f ).
2) jc torej pot reben pogoj Z~ konvergencO znporedj~ , Ve jc
n~nrcc zgornje zuporedje konvergentno . je /un+ p - 'a/, <
n
'i !
- 1)';' -
ce jo 10 n) til ( ,- ) pc 'udi Ian - 01 < ~, co je Ie n '1 "Z (£ ), :kj ,gre n prcko if (f~ ) , ki je '!'ecji ad Nl ter N2 ter st" r-ri
t.:'.. :~c :') n aba prcj13nja pogojo. hkrati lzpolnjena . Izracunajr.1o a.!J -
solutno Vred!lOst razl1ke la - a I ::1 1£1. _ I n+p n n+ p an + a - n
'" I(an+p - 0.) + ( a - u n )/ , Dobill s~o absolutno v~cdnost vsotc ,
:~i je oanjse ali kvecjeou eneka vsoti c.bso lutnih ' vrocinosi;i su-
nundov ,
J) la - a I • 1(, - a) + (a - a )1/ n+p n Mp n ~
Illn+ p - £1.1 + Ian - n/ < (+S 1 ,
Absolutni vrednosti no. desni strani neenacbe 3) stc llri
n> N (C) oiJ.nj Si od po zE, c- 1$- t· ., c: dob1· -_0 ~ e p e~o ~cs 0 nJ~n po ~, .~
no dcsni vee in i mrumo :
J) ;, - ·n I. '" 1(0 - a) + (a - a n )/ n+p n n+p , t h - al l + Ian 01 ( ~ + n+p - 2"
'!orcj i.:1c.mo:
4)/. - ol<F n+p 'n • ce jo I e, n > N (~) .
Pogoj 2) je torej po'; r f:b lf.l:l pogoj za konvl::ogonco ZllpO -
redjc , Je pa tudi zados tfrn . Ce vecja 2) , ion zaporedjc Ie eno
stcka.lisce in je konvergent no .
Ce hi 11':1e10 zLpol'edje kljub pogoju 2) dye stek.'llisci
no. primer a in h , bi ~e~jovolj poznimi cleni tipo. a iz 2) n+p
bUi taki na primer a n ' ki se od a po volji oalo razElcuj ojo 1
pc. tudi nt". prir.wr a , ki sa ad b po volji melo r ozlikujcjo . "Z
·/clj~.lo hi :
r , I I
I
5) ' a - at < [ ! n1
n1 ,> HI U:' )
v Z)· bod1 N vecji ad "1 F"
od 0 za r:enj kot po volji n
oko:.ici okoli a Zaredi 5) n
- 1J5 -
tor
tudi od
najhcn
in 6)
"2 ' 0 tar a s, za t o t u d i n1 nZ E rozl1kujet ~. , aba stu v Z [
pa sta a in b v 2 [ okolici
okoli 1111. tar a 1 nZ
Sn2
se razlikujeta po aosolut -
ni vrednosti kvecjer.;u ~a 2 €.
4 t t utor b sta v -+ f. okolici okoli an ' Kar po. Doro':,O z doyolj
volikin N :-~"1.pr3viti (. poljuono majhen , S~ a ter b tak" malo
razlikujeta mad seboj , kuko r hoeev.o , i;vorite. ena steke.llsce in
zcporedje je kcnvergentno . Iman~ tako Cey£hy- jev kriterij kon-
vergenc e zaporedj~ , zuporedje je konvergentno , ce je izpolnjc~
pogoj 2) /ll.n+p
Vloetlir.:o 2 konv'7rgentni z!lporet:.ji :
an'
7) b 1 , b Z ' b y o. " ., b ,
rI I bn - bl < (
.. '
€ 2" ,
a , lin :In :c< a , n --') ro
b , liD , n = b ,
n-7oo
n ) li2 (£)
- 136 -
Dokezer.lO , do. je Z!lporedje vsot po c'feh istolezn"h Clei10v
a + b "- n
tudi konvergentno in ica za lir:l1to vsota limit obeh z :lporedij
0. + b , Uvidioo na:nrec , da. je absolutna vre dnost rezlikc la + b "- n
- (a + b)/ clUnjsa ad poljubno najhnega stevile , ce Ie g re!:l0 z n
doyolj dulee . n ") U ( £. )., kjer je N ( £) vecji cd Nl in u2 '
~ + /b - b/ ,
""'-b) / ,/ /. - ./ + "> n
Absolutn9. vrednost vsate je nar.:rec ccnjse ali kvecj'cr)U
eno:>.!~a. vsoti absolutnih vrednosti sumandov 0<. ter (3, ti po. ate
zeradi konvergence zaporedij 6) te r 7) manj9i "od po ~. snj 300
(n + b)/ ( c , ce je
1" n '> N (E ) ali Ii!:! (an + b n ) .. Il + b = lii:! an + liu c n '
r. -7 00 . Lioes IIsate je e:1ek v soti limit pO!:la~eznih sUf.lc.ndov .
Enako vidi~o za r azliko , saj je Ian
al + Ibn -
/ n - b - (n - 0)/ < c. , liD (a - b i n n n n
- bn - (. - b)/ =
/ < £ F. b 2'" + '"2 in
a - b : lin a "-
Lines razlike je ·enak razliki limit .
Vzet!ino konvergcntni zaporedji 6) ter 7}
6) a l , a 2 , 8. ) • • • a n ••. a , ll~ an a , n -) co .
Ian - ./ < E; .. n ) Nl ··( E) . I
- 137 -
7) bl
, b2 , 'tJJ • •• on • . . b , 11:-,1 b n ;; b, n ---7 oc .
n ) N2 ( ,: ) .
Za?o!'torlje p!' :J'iuktov ;:'0 dveh i stol..:znih c 1e:"!.:)\'
jo tudi k::mvergentno in i::.2. liL.ito ab , se.j je a-solatnn vred -
no~'; r~zlike I(cnbn - ab) Jr:.::mjse od poljubno naj ll1e s~ shviln ,
cc lc g rc:-.:o z n preko N (E l , kl je vecj e.,d Nl CC ) te r
a;:) - ab - 3 b + n It n n
+ ,~~ • . Desn i 'st!".:J.ni- pristeje!:~o in c.dstejeno ::lb , :!.)bL,o :
It!ncn nbl
/n - ~/
"
( / a , n
<. £2 +
/' a '.J nli
(a b - 30) - Deb - b) - ~(a - a) , t orej n n n n
-. a / . /', - b/ + /0/, Ibn - b/ + /b/
/., /£ + / b/E , / ab - ob I ( 10( £+ /a/+ n n
Ke r j.~ kolicina :1! dcsni £' , p J l juf):10 rmjPJ'lrl , je lin
10 ) an b n
.. . • in il:'.ll. ze
~
li~ito kolicnik linit obeh znporedij ; saj je /~ a
0 - b n
na:r.jse od poljubno l:il'l. j hnc:ga s t ay.U n f:. oe j e le o ) :r
/
( £) ,
kjer je ;1 ,~) 'Iccji oj :'1 ( f ), ter :-12 (f. ) . ::'og l e~j.1o coso lutno
- 138 -
" /n a b - ab vrcdnost razlike l,.!l - ~/ ; - ill , n n/ , 0 b '" f b b n n n
a b - 3bn nb + cb I " I
'o2+ b (bn
- b)
bee a) + a(b - on: / ___ n~ ____________ -"'-I . ,2 + (b _ b)
n
Ce nest o
~bsolutne vr~c~osti stevca vzaoeco 'Isoto absolutnih vrednost1
su:umdo 'l ter absolutni vre In05:1 r £!.z l1k len - n/, Ibn - bl
no. dODcs tino 5 S9 vecjir:a s:ey1l0tm. E: • dobino n.:l. desni strani
gotovo vee , ce oesto i ne noy.::.!ca '0 2 + b (bn - b) vneseso mUlj ,
nD:::rec b 2 - /bIt je ul:l'Jek ne desni gotOVQ vecji in inano ;
/n _!'./ < bn b Ib/< + lal ( /b/ . (/b/ -, ) I.
an a <- Ibl + lal o - ,;/ < " - /b/ . (/bl - <I
n
'" C/, Ker je koliCina t J no. desni strani neen:l.kost1 po l jubno a li!:la
DC!.jr..nn , je liD b n <:: lic~ n . Lines kolicnika je enak kolicnDu n n
lioit . Zaporedj e 81 , . :l. 2 ' :I.) . a 4 • . •. an ••. . j e t~onotono no.-
rascnjoce, ce je vsalt sledeci Clen '/8cj1 od prec.hod..'1.~Ba ,
:In+l ) an> an_I) 3.n_2')'. · · · ·· ') e~ ) aI ' Vsako novzgor
oncjeno nonotono noraseo.joce zoporedje jc konvergentno in ina
nc.t:mcno zgornjo nejo za linito . Ce je nlltoncna zgornja Deja. M,
ve.lja za vsok .:l.n neenakost an < !.l , za dovolj pozne cleno , za
kotcre je n ) N ( f. ) pa. velja an > M - E.. , kjer je t po1julJ -
no na.jhno stevilo , torej t.t - an < F.
k:-.r j'e krite r ij konvergence zaporedja .
PraY t ako je '1sako no. s pod onejeno oonotono padnjoce
zllporedje konv ergentno in iJ::lEl nntancno spodnjo nejo 0 zn 1inito .
lJonotono padajoce zeporedje je tisto , pri kllterer:! je '1ScU{ s l cdeei
Clen wmjsi od predhodnego. , an < 0n_1 < lln _2 .. •. • <0. 2 ( 0.1 '
- 139 -
IX . DEPINICIJA FUNKC1J . Df..NOST FUNKCIJ III
VRsrE FUNKCIJ
Poljubno soodgoverj~nje po dvah ali vec kolieln je
funkcija . Kolicine, ki soodgovorjajo, 90 sprenenljivkc . Oneji-
co se v n::.da1jnjer:l na 2 sprenenljivki. Soodgovarjonje ocd dver.1a
sp r eoen1 ji'lkaJ:!a ali zavisnost n ed dve:::a sprenenlj1vkaca tloro
biti dana t ah Elle ricno , odgovarjajoce '1rednosti spreoenljivke so
1c.hko dane na 09nov1 te.be1e . Najcesee pa je Z'Ieza ned sprenen-
1j!'1kaui dana nn oanov! po1juone enachs .
1) ' p (x , y ) • 0
P pou~ni po1jubno povezavo !":led X, y . Enacba 1 ) je oznaka za
po l jubno nerllzvit::> ali implicitno funkcijo dveh aprerl~nljivk .
Cc iz cnacbe 1) izracun~no enD spr~nenljivko s ponocjo dru5c ,
na pri oer y 9 ponocjo x, dobioo
2)y=f(x) ,
kjcr je f poljubcn izraz v x . 2) je r azvita ali ekspl1citna. flm-
kcija , x j e nezavisnu spreuenl jivk:t , y je z~'1isno. spreuenlj iv\;:n
ali funkcijska vrednost.
Ha podlngi enacbe 1) _li 2) nore~o vS3kernu x pri r cditi
odgovar jajoci y . Ce snatrano take prircjene vrednosti x , y kot
abscise in ordinate tock v koordinatnen siateou. dobiao Lmogo-
terost tock , ki tvori krivuljo . Ce je povezava ~ed x in y dana
n n oanov1 krivuljc. graficne predocbe , praviao , da je funkcija
da.na grafi cno . Na. osnovi grafikona , gratlcne predocbe I ooreno iz-
tlerit i funkcijske vrednosti , ki odgovarja j o poslllll.6:mi tl vl'odnostin
/ \ Y
''' t~
" S1. 81
- .140 -
nezavisne sprener:ljivke x .
Enacbi 1) a.li 2) st.:o.. zVezi
oed abscis<:!Ji in ordinntuai
tack, ki so nu krivulji K,
~ sta enacbi krivuljc K.
FunkcijOl 1) ali ,2 ) je enolicnn , ce odgo""arjn vsah vrcd-
nosti nezt'.vl::me sprer.Jenljivke x ena sana Vred.'103t funkc .ijC Y.
F'.lnkcija nora bit i dvolicno. , trolicna •• . . mnogn!icno. , cc odgo-
vc.rja vs.:tki '1rcdnosti . nez::'v~sne sprer.lenlji"ke x , 2 , J ali vee
vrednosti fU'1y.cije .
runk ~ije loheo glude ne vrsto , nncin pu"/eznvo t(x) , Ce
jo f(x) pOlino!:!, , je funkcija celc. r ac ionalna fUll:~cija
)y<f(x) a >:n .'1 - 1 .'1 - 2 o + a1 x + l!2X +. , . +
Posebn~ slu'::njt ::'0
line~rna funkcij u y ax + b , 2
Y ~x kve.dratna funkci Jll + bx + " , kublcna funkcija Y ax) + bx 2 + ex + d
itd .
Kolicnik pol i.norJQV j e l oolj ena racione.lna. fun;:cija
Pn(x) n xn + 1: - 1 n- 2 :1,) 0 nIx + e 2x + + a x + n y
",,( x) . n - l ,0
b "- b ,/' - 1 b ::1 - 2 x + + . 2x .; + b m-l x + b 0 1 0
I I I I i
I
- 1~1 -
Racion~lne funkcije J) in 4) so enolier.e.
Ce je y kot fu.'1.Kcija od x dan nn osn:>vi a1eebra.js:tc
cn~cbe poljubne stopnje v y , kjcr so koeficienti polinoni v x , je
f'.mkcija algebl"o.jska .
VS2.ki vrednosti nezQvisne sprer.lenljivke x odgovnrju ZQ
y enacba n- te stopnje , ki ioa n resitev . Algebrnjska funkcijn
je torcj tol i kokrat rnnogolicna funkcij n , kolike st opnjo jc
enacbo. 5) Zll y . Ce je 5) enacbn prve stopnje Z8 y . je funkcijn
looljena rncionalna , ce je poleg tega se Pn_1( x ) : 1 ali 'co je
Pn{x) s Pn_l(x) deljiv, jo funkcija cela racionalna. . Pu~~cija ,
ki ni nlgebrajsko. , je transccndentna . Prioer tranac endcntnih
fun!;:cij so kotna funkcije ali trigonooetricne f unkcije .
6) y sin x ,
y cos x,
y tg x,
y :z cot x.
K t ranscendontnl~ funkcij oI!l spadajo tudi eksponentne funkcije .
7) y
y
, 7 ' ) y
x > • ,
a.X, ter logaritec,ska funkcijB
VSllko funkcijo Illore:r.o povadll ti v obratni .9.o:1eri , kako so nczavisna
- 1 42 -
sprcncnl~ ~':A~ ': Lzraza s. pooocjo funkc i jske vrednosti y . Tal:o
ne. prif.lor '/ o')l'!l'tni :;meri poveno enacbi 7) . de j e x oks poncnt
k y - g 1 0'::; nu osnovo e oziroma a a li x :z: lny ozlrm:lo x=logllY'
Uovi znvisni .JJI!' er:lf:nljiyk:.. dano zopet Qznnko y, noznvisni po
x in ioe.rJo
7') ~ ~ lnx, odnusno y '" lagex ,
Logariten,sk.::. !'unkc i ja 1 ' ) je obretna ali inverzna funkcijn
cksponen te I'u ,'lkcij e 7) .
Sli::lJ.;) po·,er.lO anacbe 6) v ob r atni smeri , da j a nezn-
visna spreoenljivka x ka t nli 10k , ki pripada vrednosti trigo-
nor.letricne t unkcij e Y . kar nu"HitulO :
x nrc sin y, (arcus sinus), x == ar~ ';,1$ y ,
x t.rc t~ y , x '" erc cot y .
Ce sprcr.Je!'!.1-jivke fj,, '. , iu ?, /rcl j'am
fI I'??VlAJ'.e zopet preznznacujemo , dObiCOJC~klonetricno
6 ' ) y a::'c Si ~l X,
c. ': c co - x ,
y a:-:-c t" x ,
y a rc co -: x .
CH:locotricne Iunkcije laatajo vrednost kote 8 porJocjo vrod-
nosti trigonometric~e ::' .1: ~:c ije .
Bodi Y = arc si.1 " ali- x sin y = cos (~ - y) i n n 'Iorej : za.to 2" - y = arc cos x , n arc sin x . ore cos x , dobieo : 2" -
8) arc sin x + arc n ena1:0 cos x 2' arc tg x + arc cot n x 2'
- 14) -
Zveza oed tri Gonooet ricnimi funkcij a mi 1n kofun l:cij cm
a B ) se Odraza pri y klooet r i cnih funkcijah v obliki ena b 8 •
X. ZVEZtlOST FUNKCIJ ! LI MITE FUUKCIJ ! LASTNOSTI
GREDE NA GRAPICNO PONAZORITEV
Funkcija y 3 f(x) je v nekem intervalu ( 0 , b ) nozavisne
spr ct'.enlji'lke x definirana, ce odgovarja. vsaki vrednost! neZQ-
visne spreoenljivke x v teo intervalu dolocena , koncna , rculna
vrednost f unkcije y f(x) .
Oglejco sl I nstnost funkcijo
A f(A+R)- f(x) v nekl tock! x nnvedenegB
inte rvala . Ce nezo.vis no sprc-
--...p" nenljivko x spreoonlt'Jo U!. h ,
ffK.) t('I(r~ ) od x no. x + h , sc funkcija
spreceni za f (x + h) - rex) . Ce odgovo.rja v tocki x dovolj
Sl. 82 mjhni spreoe~bi neza v1sne
spremenlj i vke h poljubno j:'l:~ jhno. spreneoba funkci j ske vrednonti
fex + h ) - f( x } . provino , ti n je funkcija v tej t ock1 zvozn n .
Tako definiramo: f unkcija y = f(x) je v enaki tocki x
zve:zna , ce je v tej tocki ~bsolutna vrednost razlike If (x + h) -
- f(x) i oonj30 od po l jubno n~jhne kolicine t I ce je lo lh ldovo l j
j "i d eke a ~ ovo lj majhnega stevila ('f . nnjhen , nn prirne r can;:; 0 n g '-\
To napiseQo v ob liki neenakosti .
1) If(x + h) - f(x)I <~ , ce j e Ie I hl < d' .
- 144 -
VzeI!l.irJo 2 ali vee funkcij , ki so na do!oceneo intervalu ~ vezne .
Vsotc ali rllzlika teh funkcij je zvezna funkcija :.,ovsod tun ,
kj er ste obe funkciji :ovezn! . Noj bosh'. fU .lkc i.jn 'Yl(x) tor ~2(x)
i n n a j bo , <:f 2) l~l(x + h) ~2(x)1 < ~ ce 111 1 T' je 1, . 1
N2 (x + h) ~2(x)1 < t ce jc 1, /h/ < d; T'
Oglejmo si funkcijo vsote ali rnzlike f(x) = ~l(x) ! ~2(x) .
Tvorioo nbsolutno vrednost razlike: /f (x + h) - fex)/ = /~l (x + h) :
~2( x + h) - ~l(X) + ~2(X)/ ' P1SBI!l.o jo kat absolutno vrednost Ysoto ,
ki je rnanjsa ali kvecjeou enaka vsoti absolutnlh vrednosti sumandov.
,Mesto naveden1h Sunllllldov po. piSemo glade nn neenachi 2) kvecjetlU po
2£' l:cr sne Zll fhl vzeli manjso vrednost . ki je manjsi ad c:J 1 tor
·J2 • Dob1~O ' If(x + h) - f(x)1 • Nl (x + h) ! ~2(x + h) - ~1 (x) ;:
;: ~2(x)/. 1(~l(x + h) - ~l(x)) + (! 1 )(~2(x + h) - ~~(,,))/{. I~l(x+h) -
- ~1 (x)1 + N 2 (x + h) - ~2( x )/ < ~ + ~, ce je Ie Ihl (d.
Vsotn ali razlika zveznih fU:1 l c ij jc z·/ezno. funkc ijo. na
skupneo obcocju zveznosti posanezni~ funkcij,
Produkt zvezn~h funk cij ~l(x) t er ~2(Y.) , kjer jc
2' ) Nl (x + h) ~l(x)/ <E co j. 1. Ihl < or l '
1~2(x + h) - 'r2(x)1 < E ce je Ie Ihl < J 2 ,
ja zv ezn~ funkcijn no. skupneo obcocju zveznosti obeh foktorjov .
30di f{x) = ~l(x) • ~2{x) . Tvorico nb aolutno vrednoBt razlike
Pisoti jo noramo kot absc lutno vrednost vsote , ki je ccnjsn ali I
r
- 145 -
tve cje~u enoka vsot i nbsolutnih vrednosti 9uoandov, ze kat ere po
Gledo ' lC. ncen~lcbi 2 ' ) ugotovimo, da eta poljuhno tlO.jhno. . Razliki
) pristejeoo in odstejeco koll~lno ~l(x + h) ~2(x) in d~bl~O :
If(x + h) - f(x)/ 0 1~1 (x+h) ~2(x + h) - 'r.l (x) ~2(x)1 •
l~l(X • h) 'r2 (x + h) - ~l(x + h) 'r2 (x) + ~l(x + h) 'r2 (x)
'r1 (x ) <jl2(x)1 • 1~1 (x + h)(~2(x + h) - ~2(x)) + ~2(x) .
!~1 (x + h) - ~1 (x)) I ~ 1~1 (x + h)/. 1~2(x + h) - ~2(X)/ +
+ N';'x)l. ~-)<',( <p'~~I- t't1I . E(Nl (x + h)1 + 1~2(x)/) .
Za h vza!'!lemo oanj od J' , kjer je cl manjsl od J1
ter J 2 ' Kol1cll".a na desni stranl je zmnozek poljubno majhne
koliCine £. 1n koliclne v oklepnju, ki je koncna , saj ata fun-
kclji v n avedanem !nta!VOolu d~!in1ranoati konen!. Ker je tnk
produkt pri zgoraj navodenem h poljubno msjhen, je produkt zveznih
funkcij zvczna funkcija na skupneo o bmo~ju zveznoati' po~et:1ez.nih
faktorjev .
Kolicnik zveznih funkcij ~l (x) I 1f2 ( X) . f(x) ~1 (x)
• 'P2
(X) j.
na sknpnen obnocju zveznosti dividendo. in d1vizorjo. zvezna fun-
k (lijn. 'locke nezveznosti so t ::,c , kjcr je inenovalec O. 0Gl ejmo
s1 r.1Js.olutno vrednost razlike
~1 (x + h) ',) I ~2(x + h) pri pogoju zveznost1 dividendo.
in diviiorja 2 ' ) , Razliko 4) spravimo nn skupni imenovolec t ar
st cvcu pri stejeno in odstejemo kolicino tfll (x) ~2 (X) ter pisano
st evec kat yso to suoanaov .
J~bsolutna vrednost Stevea je TlIe.njoo ali kvecjeDiu ennka vsoti
llJoalutnih vrednOeti sumandov v A~veu . ti pa so prl pogoju 2') po-
- 1-+6 -
1jubno majhni .
<
~l(X)
~2(x/
1~2,-(_X_)_(~~dl~(X_+~h~)_-<i~+1~(X~)~)h+~~~1~(X;)~(~~2~(~X~)~-~~~2~(X~+_h~)~) ~2(x + h ) "'2 ( X) I ~
1'I'2(X)1 • N 1 (x + h ) m ()I I ( )1 - '1 x + ~, x • /<P2(x +. h) - 'l'2(x)1
1~2(x)/ .;' + 1'1'1 (x)1 t:
1~2(x + h)1 : J~2(x)1 f (/<Pi (x)1 + /<P2.(x)/) 1~2(x + h)1 • J~2(x)J
• s tern eel u10oek , CC ~tevec desne stron1 je p01jubno majhen <n
jc 1e ~2(x) od 0 r ozl!cen . Nezvezna je torej funk cij:-. I e tau , kjcr
je ioenova1ec ~2(x) : O.
Tako hi mog1i dokaznti zveznost posameznih funkcij . Cala
zv wnEl. za ~sak oncne x , 1oo1jena r~cion~l-rc.ciona.lna funkcij ' je · e" k •
no. funl"cij Q j e ne zvozna pri niclah i oenove.lca , Trigonor.let r icni , \
fun],ciji sin x in ·cos x ste. zvezni za vsak koncen x , fun i(ciji tg x
,.. sinusn- o in cot x po ste nezvezni pri n1clah cosinusa. oz1ro".'
Eksponentna funkcija je zvezna pri vseh koncnih vrednostih
neznviene apreoenljivke x .
Cola r ac10nalna f unkcija: y
-
- ! 47 -
( ) ) ( n n-l n 2
fx+h -f(x :o ax + h) +E1.1(x+h) + a2( x +h) - + ••• +
+. ( h) + _ ( .. xn n-1 n-2 an
_1
x + en '"'"0 + a 1x + 9. 2 + •• • + an_Ix + an) '
Binooe v oklepajih de sne st r ani potenclraoo . Prvi sumnndi n n- 1 spotcncirnnih binoeov so 00x , e1x , '" ~~_ lx , on ' to unici j o
nasprotno predznaceni cIani suhrnhenda . Clcni , ki ost~~uj o , vse-
bujejo vai h v rnznih potencah kot f akto r . Zc.l':lc-.i tc:gc. nOfcoo
na. desni strani h izpost nviti in dobill'lo : fex + h) - t(;.::) = il .
a(x), kjel' je a( x) palinol!! v x . Ker je fex + h) - f(x} ~r.ma2.ek
dovo1j oa.jhnega steviln h s polinomoo a(x) , ki je za vse koncne
x koncen , je celn racionalna funkcija zvezna zn vse koncnc vred~
nosti ne zavisne sprooenljivke x .
Ko l icnik zveznih funkcij je zveznn fun kcija , zuto je loo~
Ijena r acionalnn funk cij a zveznn funkcija za vse koncne x , tocke '
nezveznosti i na tam , kjer je irnenovulec O.
OGlejoo s1 zveznost trigonooetricnih funk c i j :
f(x) = sin x , f(x + h) - r(x) sin ex + h) - sin JC ..
z: 2 cos (x + ~) sin ~
5) f(x) 0 "'-cos -C ', f(x + h) - f(x) cos ex + h) - cos x ~
.. - 2 sin ex + ~) Bin ~
rri dovo1j maj hneo h je sin ~ poljubno oejhen , sin (x + ~ ) t er
cos (x + ~) pa sta za yank x konc~a . Zcnozka desne etreni anacb
5) sta po1jubno majhna , funkcij 1 f(x) = sin x t ar fex) .. cos x
stu Z Cl '1se x zvezni .
/
- He -
Kcr . je kol i cpik zveznih funkcij zvezna funk c ij~ , stn funk- "
cij i tg x '"' ~~~ ~ tar cot x "" ~~~ ~ zvezni funktij~ Z<l vsc kOnCn&
XI tocke nezveznosti pa imata pri ni clah funkcije cos x azironil
sin x. Tocke nezv€zn.osti f unkc i je tg x so: '
E . .l!!. 5n-- lOh· k t "'1 ... 1t toob a nezvozno.s t i 2' 2 ' ~ .. ~ ~ 1 onaga r& n~ Ou 2' ~
" funltc ijo cot x pa so D, n , 2n . )n • • • s odi rnnogoklJi6 tniki ad 2 '
x Oglejmo ai ek sponent.o "flUlk cijo f(xl '" 0. ". . ,
Ua h U!l8n;l..SjUjemo proH a I S8 a h p.roibliiuje vt'ecinosti 1...1
ah _ 1 pa vrednosti O. a X je konc en z.a vse koncne x , zn.to jo Q~
no. stran ena.cbe (6 ) za dovolj roo.jlme h po.ljubno t:l.:ljlma .. . E::sponon..
tno. funl(cija je zvezna za vse kanen!! x.
Labarite~ska funkcija f(x~ ~ log x:
x + h (h, f(x + h) - fex) := log (x + h) - l.og(x} - log (--x-> .. loS 1 + x'-
Co gre h prot! 0 , gre (1 + ~) prot! 1 za vsak konccn x ,
r u zen z a x = O. l og - pa gre pr ot i O. Lo garitem je zveznn funk c ljn
zn vsc kone ne x , razen- za x = O.
Funkcij a y .. f{x) ' C1.ore bit i definirana za vse toc!i:o nclrega
intervale. (D. , b), Ie v do l oceni tocki Xo l ma nedoloceno vrecrn.ost.
Co im~ v poljubno mnjhn i okolici tocks Xo vrednost i , ki so polj ubno
00.10 rnzlikujejo od neke kancnc vrednost i A. ce je torej If(x) - AI ( , <. ' / / < r t pr·v~ ':'o , de i mn f~nkc'i ja v t acki xo' 1i0.1 -~ z o. :t - Xo ( , po en ..........
to f .. V navadani nee no.cb i je £ poljubno lI'.aj hen, co je Ie l~ dovolj
mnjhen . PiSer.Jo : lim (f(x) -= A. X~X' o
I
Ii
- 149 -
Funk c ij1 predpiseDo v tack i Xo vrednost A.
Ce bremo po poljubnen zaporedju vrednasti nezevisne spre-
nenljivke proti xo ' gre zaporedje odgovnrjajoc i h funkcijskih vred-
nosti vedno proti isti koncni vrednosti A. Funkc ija y '" f(z) ina.
v tOC~i Xo lin ito, ce odgovarjajo poljubnio zuporedj £t!;, nc~avisne
Sl)rcDcnljivke , ki linitiI.'ajo . proti xo' zaporedjo. fWlkcijskih
vre dnonti, ki liQitira jo vsc k isti koncni v rednosti A. CO gremo
po vrednostih nezevisne spremenljivke ,
dobieo leva lioita . Levo lioito torej
k i so canjse od x k x , o o. '\) rF'lnf(!I)"
dobimo , ce vsto.vir.lO/ r.!est o
x vrednost xa - f in grana z C proti 0 , torej lim f(xo - f ). : -) 0
nez.E\vismi' sprer.ten-Desno linito dobimo , co greDo po vrednostih
Ijivko , k i so vacje od Xo proti xo ' V flL"lkc i jo vstnvino zo. no:z.a-
visno s prenenljivko Xo + ~ i n greno z E. proti 0 ,
Potrobcn pogoj zn eksistenco linite je torej , d n je
ka. desn!.
torej lin f(Xo+€)' t->O
l eve lirJitn e na-
Punkcija X2 + 2x - J
x2 + Jx - 4 ima " tocki x 1 nedoloc'::rIo '1rcd-
nost ~ .
Leva limi ta je (1 - f) 2 .+ 2(1 -i.) lim (1 _ ( )2 + 3( 1 -t)
, 2 4 lim <.
5 - 5 c
lim
lim
- 3 1 -lim - 4 1
€ ([ - 4) ± <(;_ 5)"5
--
2 [ + (.2 + 2 -2 t + <
2 + 3 -
Desna limi ta je l
(1 + ;)2 + 2(1 +f ) _ ) 2
(1 + £) + 3(1 + £l - 4 1 + 2 £. + t. -> 0
",lim f 2 + 4 ~ t (E + 4) 4
2 lim
£ ( (; +5) -"5 '< + 5 ~ ,
t.~O t-) 0
2 {~ - 3 )!' - 4
(: '- "1 '0
- 4
- 150 -
Desna linlt ~ je cnaka l evi, navedenn f~~kci j ~ iD~ v
tocki x = 1 lini to ter ji t olTJ pripiseno vrednost~ . Virok ne-
dolaccnosti naved€ne funkci~e v tacki x = 1 jO , da im~ta stovoc
in i:ncnoval ec koren ski f9.ktor x - I , ki povzroci, dEl i oo funl~ ci
ja v tock! x = 1 vradnost ~ . Pravo vrec!nost funkcije v to.!tl to'cki
dobino take , da s tevec in icenovalec r a zs tav i oo , S Bkupnio fak-
torjem krajsaoo, nato pn vstavioo vrednost nez2visne spreoen-
I jivko , ki pripada tej ta cki . Prejsnjo limito torej izracunaoo:
+ 2x - )
+ Jx - 4
x -~ 1
l iD ( x + 3)( x - 1 ) (x +-\)( x 1)
x -..,. 1
liD X + J x + 4
X -) 1
i 5
Mejne vrednosti looljenih racionalnih f unk cij I co c;ro
n~znvi sna spremenljiv~a pratt 00 . dabloo , co deli~o stevec in
ioclnova.lec z najv i sjo potence ns-zOovisne sprecenlji'lke , ki v funk-
cij i nustopc . Stevec in ioenov~lec sta izrazena z re c i pr ocno vo -
tonc:ln i nezQ.visnc spremenlj ivke, t", po. gredo proti 0 , ce grc
' x --7 0) •
Pric.l(lr ».2
liD 2 Dx
T Ex + C '" 1 \1:1 + Ex + F
I
V n.:;slednjeo booo r~bili :'.i .1:'to liD Si~ x Zar a.d i lihosti
x -4 0
funkcije s in Be moreco oroejit i no. lioitironje po pozit i vnih I
vrodnostih n e znv1sne spreo~~: jivke proti 0 , snj je
liu 910( - x) '" lin - sin x = lim~. PredoC i r.1O si v kro{,u s -x - x x
- 151 -
polneron 1 vrecllost x , sin x ter t g x . Iz slike 63 l'J.zb c l'Coo : --' .= OB 1 , AB x , BC ~ sin x,
AD t5 x . 'l'l'ikotnik OAB i cc
ploseino 1. sin x !Irozni --2 - ,
~ izsek OAB plo scino x.1 U l:l - 2- ,
t riko tnik OAD in~ yloscino
) h!.s....! I 2 . Ce ~l:'.edi~a to pl os ":'
tJ ( A X cine po velikosti, do bino:
6) sin x < x < t '3 x kjer 61. 8) 2 12 2 '
. jo x poljuben pozUven kat , Neen:lcbO 6) kro.js:::.co z 2 in vznucr.1O
reeiproCllO vrednosti , pa dobino :
6 ' ) 1 "-sin -,:. / .l > c~ s x x . 5l.n x
1.1nozioo necn~cbo s pozitivno kolic i no s in x in dobino :
7) 1 '; Si~ x '> cos x .
Co lir."!itirnoo z x prott ~ , gre cos x pr ot i I , funkcijo.
jc torej po velikosti oed 1 in kolicino· cos x , ki teU
proti I, co gr e x -? k i · ~ Z" x -~ 0 0 , oejnn vrednost fun C Je x ~ ·1
ja tCd2j tudi 1 in iop~o
8 ) lin ~ • 1 x x -4 0
Z:l grD.ficno prcdocbo funk c ij e j e dobro , d!l. poznnoo nekr'.-
t cre splosn~ l :ls tnos ti funkcij . Krivulj n je sir.letricna ~lcdc no.
ordinctno as , ce nastopc spre~en1 jivka x 1e v sodi potenei . Co 2 ir.l:1 cn",-cb~ krivul je obliko F( x • y) = 0 , odgovnr jc pozitivneou
in nC u:Ltivnaou x iste Ilbsolutna vrednosti ist .:\. enncba zn y . to rtlj
- 152-
e 1sti y. Bnnko vidit:lo , ce no stopn. v en:J.cbi krivul j ;:. y I e -; 8:)Ci.
. .( h o ~1 i" l -)( ( -Xo X~ X,->
, )<
S1. 84 l' '/
L _ . )<, -X"
81. 85
pote.nei, do. je krivuljn
s imetricn~ gl ede n~
obs ci sno as , Cc jc enoc-
jo ~ e znvi3ne sprecen-
Ijivke y f(::) , kjer
je fe-x) = - f(x) , jc
krivulj n posevno sinct-
ricna ( glej sli ko 8t . 85) .
Krivu~j o. Dore ineti._<llllllP-e
tote . Asioptotn krivuljl
j e preoica , -kl s o kri -
~ulje v neskoncnoDti do-
~1 (x) Loolj ena funkcijO . Y=-~2---(-x-)
i on osioptote zc taD , kjcr
jc ioenrJv~lec ::>. ee ;ie
~2(x) = "0 (x - t"~l)(x - tY'2)
(x .- (/' ) '" I so asioptote
preoice pnrolelne z crdi-
nutno osja;
9) x - cGI :: 0 I X - oJ2 :: 0 I X - d J == 0 • ••
'\sicptote I ki ni so vzporedne Z ordinntna Dsja . ionjo ob-
liXa 10) Y == kx + n . Ce greno z x dovolj dalec, se flrnkcij s!~e
vredost~ prer.lice ad krivulje Y "" f( x) zn po ljubnc oalo razlikujcjo .
'F-·'1'
1/ S1. 86
- 153 -
'\-'" , I " , '." I IY I
I I I
'v
Dobirao : ll ) f(},')
kjer je l io Cf( x ) J4. -) Co-'
kx+n+Cf(x) ,
o. Funk ..
c ijske vrednosti funJ,cije
oziroo~ ordinate krivul je e
s$1 od ordinc.t prenice nsiop-
to t e rnzlikujejo za kolicino
~( x), ki liuitirn z r nzsto-
oi o X prot! o . 1z 11) dob1eo
soerni koefi cient k in a dso k
nn ordinatni os i n nsinptote .
V enacbi 11) limi tirQ.r:o Z x
11') lio f(x) lim (kx + n) + lim ~( x )
x -4 ro
DruBi sUI:'\2..nd dcsne atrnni je 0 , torej :
lin kx lim f (x) - n , x -) 00 , k litl X • lio f (x) . k lin !.W - lin ~ Drugi x x
x -) 00
sae rni koeficient asimptote :
12) k • lin f~X)
x --1 00
x->
sunnnd desne s tra ni
iz 11') izrn.cunallo n : n '" lim f(x) - lim kx ali :
12 ' ) n < lim (f(x) - kx) x -7 00
00
je
- n,
0 , dob imo
Ce jc enncba kr ivulje vsata. ali r azlika funkcij , dobimo ordinate
- 1 54 -
o z rome odstejeno ord in~te funkcij istc~mc krivulje , do._ sestejer!o i
suncndov , ki pripadajo posarnezn1m ,tocknm. - - - - --- - ----r"rlf1.~1Spredocba funkcije
." H-...J..l.J..-----> 87 31-
Y IIV· , I y
I ' / I '
/
I ' , ' , , I
/ . / I ,
31 . 88
,
' ~
x = ' ~l(x) + ~2(x) + '13 (x)
~e razvidn~ iz slike at . 87 .
Primer : predoci funkcijo 2 x - 0 y = x:). Funkci j a i m£).
asi opto t o vzporedno z or-
di nat no osjo x - J '" o .
Ca st avee delioo z ioeno-
v a l e am , dobimo : 2
£-:....i x _ J", x+ J + _5_ x- J
(tora j kolicnik x + J in
ostanek 5) . Kar liDitirn
.2.... x-J z rustocin x prot i 0 , '
je nsinptota pl'e!:lico.
y = x + 3: Funkcijo piseno
tudi y '" ( x + 2 )(x - 2 ) x - 3
Znak , . ki gn ina funkc i jn no.
le'y ~ od t ockc -2 dobi no I ce ·vst a vioo zn x "" - 2 - t (kjcr
j e E po l jubno rJujhno. pozi -
tiv nn kelicin a) . Tako debieo
sign Y. - . -, - - - . -de b i oo med - 2 in +2 :
l:Indn1je
s ~gn y c: + , deano od 2
v stnv100 za x kolicino
I'
I I I
- 155 -
x = 2 + t 0 sign y 0 ~ = -. Desne od tach 3 dobino znct , ..,. ±-.!2. = so tabelo co vstnvi!.lo x = 3 + E- 0 sign y = +. Ugat- 0vioo
+
ne kc.j prirejeni h vrednosti :
11y
o " . 3
.. ,~ 12
Krivulja , ki soo jo 1ot ~ _ li . je: hipcrbela.
Mogli b i krivtll jo ~onstruirnti s ses·teva-
njen ordinat preoice y = x + 3 ter hiper-
bol e y _5_ x- 3
XI. NEKATERE LA3TNOSTI ZVEZNIH FUNKCIJ
t1gotoviti Doremo , de. je f~nkcije , ki je nf'. intcrvnlu (o. , . b) ,
kc.l:or tudi nn krnjiscih zve zn.'l , taka , da morer.lO Loa cel intcrval
najti t ake dovolj mujhno koliCino J , da. je zn v.;Clk par nez:;lvis -
nih s prcncn1jivk Xl ' x2
nn intervalu : I f( x 2 ) - f l:·1) /< t. !, ce
jc le / x2 _ x/ < d . £ je tuka j poljubnC' L:ljhn U s':.evilo . Prc,vi- .
00 , funkcijo. Y = f(x) je na intervalu ennkonerno zvezria. Dokuzuti
DoreDO obrlltno . Ce je fW1k ci j a y = f(x) n o. nekeD intervalu enc.ko -
Derno zveznn , je zvezna v v snki tocki interval a •
VzcLlino nil intervalu (a , b) t.vezno funkcijo , ki iw\ 1ust -
nest , do. je v Co negativno: , v b pozitivna ali obrctno , sign a. '" -sign b .
Un i utervalu (0. , b) je ysc.j ena t o.ko. tocka., de. je funkc ijo. taD o .
Rc.zpo levir:lo inter val s tocko J: 1 " ce f ( f 1) ni 0 , ir.,o. ftmkcija
vso.j v cni izned polovic eba znc.kn . Interval z obel1Cl. znni;:ooo. raz -
polovine s tocko f 2 ' ..... snj v eni izoec. novih po lovic iDa funlccijn "
- 156 -
2 zno.lca . Ce taka nndaljujem'o I pridemo do zapo r edja intervc. lov .
k1 so vse ozji in ozji , in do zoporedjn rnzpolovisc f ( f f) .... r' V poljubno ozker.t interval u okoli .r hi ~or.:l.la. funkci -
ja. iDeti e ba znaka . Ce je interva l taka ozek , do. je /x .- F l(cJ, torej v intervalu ( l -,[ f + c:f ), so funkcijsko vrednoati
oed II. - £ in A + C Ce A n1 0 tar je pozitiven ali negat iven ,
oor etlQ zllrndi poljubne oajhnosti koli cine E kol1 iSino,; tako 1z.-
brat1 , da bo A - t 1n A + £ 11111910 ist! znak , znak , k1 il£1 1ma A.
Funkci ja hi iocla v t eo intervalu 1st i znak , k~r je protislovje ,
f( f ) n orn bit i 0 , f( f) = o . Funkcija, ki je v n eko!:l i ntcrvnlu
(0 , b) in no. krajiscih zvezna , je nn te~ i ntervalu navzGor in no
spod ome jenll . Ce b~ ne prime r bila navzgor neor-ejena , hi ostajllin
tock" , kj cr bi ir.tela funkcij.:l ve cjo vrednost od poljubno veliko~a
koncneea stevila M. Interval (a , b) r a zpolovioo . Vsoj v en! po l o-
viei so tocke . kjer so funkcijske vrednosti v ccj e od poljubno ve -
1ikeSCl stcvila M. Dobljeno polovico znova r azpolovi::w itd . Pridcr:1o
do. polj ubno ozkih intervalov I v kat erih ico. funkcijll polju0no ve -
like vrednost i. Zaradl zveznost! PIl se v dov o l j 'ozkeo intervalu
(J do vol j rnnjhen) (f -J, F + fJ) funkcijske vrednosti ro.zliku-
je j o zu poljubno ma l o I so v mejah oed f ( f) -t in ref) + t in
ne tlorejo biti po 1 jubno velika . Funkc1ja. io3. povBod no. i nte rvo.1u
koncn<! vrednost . Te.ka navzgor in nn spod ooej ena zvcznn funkcija
inn nntnncno zgornjo mejo M in natancno spodnjo oejo o .
Dokazloo cks1stenco nntancne zgorn je ne je M. Vze~imo no.
int ervalu zve zno funkcijo y .. f{x). VzemiJjo stevili /. tor '\1' tako ,
do. bo 1'. vecji od vseh funkc.1.j skih V'rednosti, f(x) < A,. n cl:o.j
funkciJskih v~e4nosti pa bo se vecj i h od Al • S t evl1ski interval
- 157 -
(AI ' A) razpolovimo z A2 , Al < ;'.2 < A. Ce je A2 vecji od vseh
f(x) , vzcoino v nCjJrej (AI A2 ) , ce ne , vzameno nadalje (i'2'\) '
Vsckakor vedno nadalje razpolovino interval , ka t e rega ena noja
jo stevilo , xi go.. nekaj f~~kcijskih vrednosti po velikosti prc-
ko.su·, eno. meja pa j e vecjo. ad vseh funkc1jskih vrednosti. Ko
r o.zpo l nvljanje dovolj dol go nadaljujemo , prideoo do poljubno
ozkih intervalov , ka ter1h oeji lir.lltirata prot1 natoneni ~or.nji
ncji M. Tako v~dioo tudi oostoj nata ncne spodnjo :::ejo .
Funkoija vrednost natancne zgornje o.li natan~~e spodnje
r.lcje no. i n terva.lu za.res zavzace . Moreoo. torej no. interv~l~ (a , b)
najti t a ko tocko ;( , do. ja f(:C) • M ozirotlo. tocko 1'0 ' d£'. je -1,' . -"11
f (xm
) ~ o . on no. pr ine r obstaja no. intervalu t aka tockn 4l ' d~
jo f(An) = M, uvidir.Jo s ponocjo razpolnvlj anjc. interva.la . Inter-
va.l zapolovino s tocko Xl no. 2 polovici . Vsa.j v eni po1ovici inn
funkcijn nnto.ncno zgornjo nejo M. To polovico ra.zpolovi ::lQ...s tocko
x2
• Vs~j v eni novi polovici zavzano fW1kcija vrednos t M, to r az-
po l ovitlO da.lje itd. Dobi:::lo zaporedje tc';~k x l ' x 2 , x) •• , XyJ in
za.poredj.e intervalov , od katerih j c vsak sledeci ozji od prcdhod-
ne ~a. . Ce s no sli Z delitvijo dovolj dul ec , soo pris11 do intervale.
okOli . XM ' (~'1 - J , ~ + J ), v ~atere[l se zeI'!ld1 zvowosti funkcij -
ske vrednosti
oo.jhen , Ci je
giblje j o med
1e d dovo1j
M + t in M -€ , kjer je C poljubno
najhen . Intervali lit:.itirajo proti ~d '
kjor iOIl funkcija vrednost M, r'A1.t) ::; M.
V intervalu (a, b) , kjer je funkcije:. zv'~zno. in ina. n:t.t~n -
cno spodnjo. nejo m in natnncno zgornjo mejo M, ::o.vzeuD. funkcijo.
vso.ko vrednost A, ki je po velikosti oed r:t in rd , vsaj enk.ra.t .
- 158 -
Obstaj~ torej vsoj en a. taka tocks f . do. je f( 'f ) '" A. Kar je A
po velikost i oed m 1n M, t!l < A <I.!, je 1 ( ) c - Ani f Xo - A naga-
Hvno M - A all f (:~.I) - .\ pozitlvr.o. Punkciju f(x) _ A jc torej
no interva lu (xo ' 1M) zvezna , ne krajiscih pa i ce r azlicnn znnka .
Za to mora obstajati na tee intervalu vsaj ont: taka t,!cka. ,
kjer je funkcija. 0 , torej f( f ) - A '" 0 , :1'( I ) ,. ; .. v intervalu (a, b) conotono narascajo~ .::L f un kc ija jo taka ,
do. z rcstoco nezavisno sprernenljivko tudi funkoijsk!l vrednost ne-
prestano r aste . Ce je X21 Xl ' x) x2 ' x 4 ) x) •• •• , j.e tudi
f(x 2 ) > f(x1 ) , f(x}) ') f ( x2 ), f(x4
» f(x}) '" feu) = ~ , feb) IJ . Yanko vrednoet A mad f(a) c c in feb) .. hi zavzc.me funl~-
cij c. 1 0 enkrut . Ce hi bila f( f 1) '" f ( f 2) '" A, kjcr je 12) f 1/
bi !':lo rc.lo. funk c i ja ad f 1 narascati in padati in hi no bila !'lono-
tono n~rascajoca .
lato velja tud1 za monotono pada joeo funkcij o , k1 ja taka ,
da z r c.st oco nezavisno spremenlj1vko funk cijsk.::J. vrednost neprastano
pada . Za taka funk cijo je x2> Xl' x» x2 , x.~ ) x) • • • f(x2 ) < f("J,), f(x} ) < f(X2 ), f(x
4) < f ( x}) .. , f(a) " hi , feb) _ m.
T"d/ fa/fa {ll?filet/a 'ioui o /.1 ~ v>«kO" v/l.~d-'nOS7 ' lied n.c./conc·,,,· • ..,,, . •. ,,~ .. ' '' ~ t)')'?C(1./.' r. S'on)c/ R711r7'a 7. .
- 159 -
VII. DEP:NICIJA I n G-:,or •. ETRI CfI! POMEN ODVODA
?unkcija J ~ f(x) bodi na i nt ervn lu (a . b ) definirana i n .
zvezne . Tocki x od&ovar ja funkc ijsk~ vrednost y ~ f(x) . Co x za .t
h 9;Jr eoeniJ:\o . od£ovar ja t 'll,o dor 1jeni tQ.ck1 Xl '" x + h fun!,cijsku
vrednost Y1 f(x + h) Ce toraj neza,visno sprerncnljivko x t. premo -
nir.lo loa h = x 2 _ xl:> L) x , so funkcijsku vrcdnos t s preoe ni za.
Y1 .. Y CI /), y,. f(x + h) - f(x), Ker odsov a r j n spror:lcc;' i n c zn.-
visne s)remen l jivke Ll :< spr eneobo. funkcije ~ y ~ f( x + h) - f(x) ,
o d6ov~rju
jo .6 v :::>
.6 x
enoti s preosmbe ne zavisne sprewen1jivke spr c nleo".).n funkci-f(x + h) - f(x)
h
Spr eoenba funkcije , ki odgova,rjo. enoti sprcoenbo u ozavisno
spreoenl jivke, j e enak~ kolic~~ku mad spreoembo tunkcijc in odGo-
v~rjajoco aprerJecbo ne za vis na sprer.Jenljivke ter se ioonuje difo-
rcn~i kolicnik ~ f(x + h) - f( x) ox h "
y
,
Diferencni kolicni!c n.:.stop!l
pov s od I kj er opazujcrJo 90 -
oagovnrj anj ~ ko1iein, zn-
visnost oed kolicit~l.J:li in
kako se enn ko licin~ Glede
->'1 , ::, i(;<t-lIr..n dr ugo s pr cninju. V ki -
nenutiki (nauk 0 Biban ju)
j e pot zo.vi sna od Cc.so. . V
~~ !) ----- )(, : l( t ~ -?
1,. 6 t oprc.vi ~ocl{:t pot
31 , .89
enati opr nvi tockn pot L\ s --~v .
L>. t
S2 - S1 '" .1 s . V cc.oovni
Diferencni kolicnik rued pot j o
- 160--
in CCoSOD je torej povprecna hitrost v cnsovnem preslc d~~u ~ t .
Tud i hi t rost 58 n a prestnno spreninja tar je funkciju casn . Ce se
v casovnen pr e sl edku t2 - t~ = 6. t hitrost sprameni ZU v 2 - VI ::
~V t se v c~sovni enoti hitrost spremeni ~a ~~: a . Diferen-
eni ];:olicnik oed hitrostjo irl caSaD je povpreeni pospcsek v ca.saV-
nen prcsledku .6. t .
Diferenen~ kol' cn'_· k _ ~ f(x + h) - f(x) , 1 ... .... A X' : h po. JO pri do 0 -
eanem x se funkciju 5p~emeobe rieznvisne spreoenljivke h . Co h spre-
minjOJ:lo , 58 difereneni kolicnik spreI:linja . More ob stuj c.ti tudi
nejnn vrednost dferencnegll ko l ienikc. , ce r 1'e h pro ti o . Imenu j eIDO
jo odvod funkcije v . tocki x in pisemo :
iiu ~ I () I ' f(x + h) - f(y.) (l x = Yox= ~m h
f ' (x ) ,,!z dx
C X -7 0 h--7 o
Potre nen pogoj za abstoj advoda je , du je f~nkciju v na-
vedoni tocki x zveznll . Ca bi ze l o mujhni vrednosti h --)r 0 odgo-
vurjalu koncna vrednost spreoembe f{x + h) - f(x) , bi se l kolicnik
ce z vse neje , kcr je za nas pojeCl brez pOLlena . To. poc;oj pa n i
n :dno zo.dosten . Funkcij8, ki je zveznn v naki tocki , ni nujno ,
du je to.n odvedljiva .
Odvod poti po casu dobimo , ce lir.litirano v difcrencnom ko-\ ~
licniku oed potjo in cason s caso vnim presledkoD 6 t ~ o. Tn od-
l in ~ ~" a , trenutni pospe-
I.l t ~ 0
vod je trenutnn hitrost . Pray t ake je
sek . Kakor je rnzvidno iz s like s t . 89 , j ' : dif .;t'encni ko l icnik
tanGcns n aklonskega kota sekante skozi t ocki z absc iso x in absci-,
so x .1- h o.li smerni koeficient sekante skozi 2 bliZnji tocki. Ce
- 161 -
li'.litirur.1o s h pr ot i 0 , gre drugu tocka proti prvi , sekanta se
s pre,ni n jr'. v t~n;;e nt o, G eorJe~ ri cno j e t Ol'e j odvod s n erni koefici -
ent t a nsente krivu lje v t oc~i od'/ odn .
XIII. PR !~VI1A ZA ODVAJJ..NJE FllfKCIJ
' I
1;( 'if : Vzenimo produkt stalnice c
z dana funk ::i j o ql(X) ,
y • f(xl
kolicnik
c p (x
"'" CCj.l( x) . Difcrencni
j e -6 y '" (\ x -
+ h ) - cr.p(x) h
fe") ; I 0 c -p(x + hh) - p(XL , odvod .pt. x -: fJ.
~t-____ -L ______________ CL __ ~~X 6 " pa y ' '" lin ~ -
.ox ';:1\ -> 0 ---~--> ) ~(x + h) - ",(xl _
c lio h -h ---1' 0
S1. 90 Cql ' (x) .
Dah ili soc l} (cl.\l(x)) , =- c cp'(x). Odvo d produkt" konstnn-
te s funl{cijo jc produkt konstflnte z odvodo n funkcijc. Bodi funk-
f(xl cij~ vasta ali r~zlika funkc i j Y
cni lwl i cnik je tl v. f(x + hl - f(x) llX h
~l(X.+ h) t ~2(x + h) - ~l ( X ) + ~2(x) h
~2(X + h) - ~2(X) • Odvod do bi n.o , ce lin itirc.:;o s h p r o ti 0 : !: h
y ' '" lin A y := li:u o x x __ 0
• ~'l(x) t ~ ' 2 (') '
~l(x + h) - ~l( x ) h
h ~ 0 h -'; 0
- . 162 -
Od%d '/sate ali r ... zl1ke funkcij je enak vS'Jti eli rllzliki odvodov
posc.neznih funk cij.
Oglej~o s1 odvod produkta funkcij y: f(x) : I ~l(x) •
Diferencni kolicnik je ~l (x + h) 92(x+1o) - ~l (x) ~2( x)
---. h
Stoveu prHitej81!lo in odsteje::Jo_ lute kolicin.:> <PI ( x + h) c.p2 (x) .
.f::..y = ~l (x+h) ~2(X+h) ~ '1'1 (x+h) 'l'2(x) + '1'1 (x+h) 'l'2(x) - '1'1 (x)'I'2(x) Q,x h
Prvi in drugi clen ter tretji in cetrti c l en steven VZO,l:lCr:l0 s!cupaj
in delino shin dobi~o :
..Ay. _ I.,\x -
'l'2(x+h) 'l'2(x) '1'1 (x+h) - \'1 (x) '1'1 (x+h) -=---7h-''--- + 'l'2(x) h • S h limi-
tiraDe k 0 , doblmo : y' 'l'2«+h) - 'l'2(x)
'" lir.! qJl (x+h) . 1io h + "'lifil ~ Ax AX -)C h...." 0 '1'1 (x+h)" - '1'1 (x)
lim h
h ~ 0
00011:10 pravilo za oavod produkta :
Ce vs ebuje funkcija poljubno mnogo fnkt orjcv f(x ) = "lex) . u2{x) ...
un(xL se pravl10 glasi:
• .. + u1
u2
uj .,.. u~ .
u + n
- 16) -
Odvod kollcnika y f(x) Difer-eneni kolicnik jc
'1'1 (nh) '1'1 (x)
_1_y = .:,'1=.2 (_X_+_h.:,) -;:-~'I'2,-(_X.:,) 6 x h h
ijtevcu prl stejeno in odstejeno isto kolicino : q.o l ( x) C!l2(X) , dobioo :
h
Prvi in drugi suoand ter tretji in cetrti sU!!land '! ZOLler.IO slmpaj
in delioo s h , dohino :
'1'1 (x + h) - '1'1 (x) ~2(X+h) - Q'2(x) ~ _ _ ~£.2(_x_) ____ h"-____ -_'I'=-1 (_x_)_ -_-_-J!"==
[} x - 'l'2(x+h) ~2( x )
S h lil:,itirD!:"lo k 0 in dobino
h ~ 0
Linitiranje 1zvrsino in dobimo pravilc :
'1'1 • 4) ( - )
'1'2
t orej
/
Punkcija y '" f(x) more biti posredno zavi ::m:l od x , t'lko
. da jc ziw1sna no.jprcj od sprencnljivke u , ki j (l fun!{cij~ od X,
- 1(.; -
tnl:o d o. im81!lo : U = f (u(x}) . y je fun~ci j~ funk':!lje ali indirel<tna
fun l~c ij<l . Ce je u zveznn funk c ij a. ad x in f 7.ve zn .:? " funk c ijo. ad u ,
je tudi f zveznn funkcija ad x . Ce nanrec x spre men iQo za dovo lj
r.:.njhno !colicino h ter je / h / «($ ( J dovol j ·:l~t,ihr.c lwlicino.) , je
n.bsolutnn vrednost spremembe funkcije U Clo.nj sc DC 1Jo l jub no r.'L'l j hne-
&n 3tevila. '? . /u (x+ h ) - u(x)/ <'? Ce u S~l·,,:n.:-: :~.~? zo. dovolj
uajhno kolicino 1 ter je 1 < "'7 ( ft] dovo l j : l -.~~"' r ) , j C: /r(u+1 ) -
- f (u) / <f I kjer je E: poljub no O.:.j:l(,n . wvo.i.j r.t. j lm! sprcr:lCri~i
h nczo.visne s prGr.!enljivke x odgov!lrjo. p.}lju~no najhna. s prcmcnba.
u - ja , ki jc oa.n jsa ad dovalj oajhnegn s tcvilu 1 I tej lK'. odcovo.r -
ja. poljubna oajhno sprcmeobo. funkc i je f . Punkcijo f j u torcj 2 VOZ -
nc. funkcijo. sprer.;enljivke x .
Odvod posredne funkcije y = f (u(x») dob imo :
loe x s prencnir.!a . za. h, se u s prei.leni ZOO u(x+h) - u(.x)
u(x+h) ::. u(x) + k ., Diferencni kolicnik je
f (u(X+h)) - f (u (X)) h
k tar jc
Za u(x+h) vne'Se mo u(x) -+ k ta r stevec in icencv.:1l cc r :;!. z3irino 8 k ,
~ V f(u+k) - f eu) .! Paktorja v i tlen ovu-l cu z:u::~nj :;lr.lo : -~x h k
..Ax _ f(u+k) - f eu) u{x+h) - uC>:) h ax - k
(;0 grct10 9 h proti 0 , gre zaradi zveznost i ,:t:nkc ~.j", u ;c proti 0 ,
za.redi zvcznosti funkcl je feu) po. J"e 'stavec 1. f nl(tor ja pol ju'Jna
r.!o.j hen I dabiea :
y ' . lim A:t <l x
f{u+k) - feu) • lim u(x+h) - u(x) lim k h
(Ix -> 0 k - ) a h -) 0
1 - 165 -
Prvi fakt or desne strani je odvod funkcije f po posredu-
joei sprcmenl j ivki U , drugi fo.ktor pa je odvod posr~dujocc sprc-
oenljivke u po nezavisni spremenljivki x . Je tore j y · .. - -r-~lvJ..,..u!l;t.}.
~ n obelczimo odvod
y ' • lio ~ 6 "
(tx --> 0
z ~ dx
(Bovar~r.lo odvod y pa x) , potem mareoa dabljeno prav ilo piso.ti :
5) ~ df , du dx du ' dx
'Odvod" poaredne funkci je" je enak zmno zku odvodo. fQn!;cijo
po po~red~jo~i" spremenljivki 2. odvod om posred.ujoce sprCDcnljivke
po nez~visni spre~enljivki .
- 166 -
XIV . ODVODI ELEMENTARNIH FUNKCIJ
Odved stulnice: y = f(x) • c , "1 • f(x+'n) "" c , difcre.n--._
~ni ko1i~nik j e ~._" f(X+h) - f(x) c - c .() x h ~- --h- '" a . Od"/ad j c
Y' .. Ii c - e n -h- ' lim 0 .. o . (c) ' o . Odvod st olnice jc O. h ~o
Odv Od fun kcije y • f( ) f() x .. x , Yl '" x+h <; x+h , diferencni ko-
licnik: ~ "X-'+'-'h!....::-~x~ Il..x h "- = 1 , odvod Y' • 11111 1 ,. L (x) · = l~
Odvod potence s celosteT11cnim ekaponentom: y xn
"" x . x . x . x ' " x . x . Y ' (x.x.x . x . x .. . x . x)' '" l . x . x . x . x . • ,.
x .x + x.l.x.x.
x . 1 n -1 r.x
, . • x . x + x . x . 1.x. t • • x.x . + •• • x . x .x.x.
Odvod ..z.gonl.jega produ.k:ta. .vse.buje namI\Cc. .n~-
dov , v katerih nas t opa f."'OT x 1 k t po n - 1"3. Do i$teg~ rezultatu
pridei.10 na sledeci nabn : y " rex) _
diferencni kalicnik J'e ~ (x+h)n ,6, x;;' h
h ~ xl - x 1n dob1mo:
- x
St ovec t 1 ' • razs av rno ~n Z xl - x kraj~amo .
2 x + .t. +
n - l n-2 n- J x2 n-2 n-1 xl + xl x + xl + • . • + xl x + x
Ce lirJitirar.to s h proti 0 , gre xl -) x in dobimo :
y' ::: xn-1 + xn-1 + xn-1 + • • • + xn- l + xn- 1 :: nxn- l
. I I I
I I
- 167 -
Potenco y "" xn odvajano po prnvi1u 1) (xn ) ,
Fravilo soo izvedl1 za celoStcvilcne n .
n -1 nx
£ Dokazeoo gc. za lomljene eks"ponente n ,..Po y '" x
q,
~
Funkcljo 'potencirano s q, dobimo : yq x p • Levo in desno
stran odvajamo tar up0SteVflnlo! da je leva Gt r an posredno funkci -
jn od x (y j e funkcijn, "ki posreduje) .
Zn y vneseno vrednost
y ' '" p. q
p- l x q::I Y
£ q
p - 1 !--xP- ,P.
q £ - 1
Izvrsino del jenjo : y ' ::: E xQ q Ker je £ • n , deb100 pr~vi10 1)
q
Izvedir:lo prnviln zo odvojanje tr1gonol!1etricnih funl;:cij .
y ~ f(~) ~ sin x , Y1
'" f(x + h) 3 sin (x + h) , difercncni kolic -
nilt jc
sip.(x+h) - sin x h
2x + h h 2 cos --2- sil'! '2
h
Stevec in imenovalec desne strani de11mo z 2 in ianno
h ::: cos{ x + '2) , sin h 2 - h-
'2 Ce linitirnmo s h proti 0 , doblco :
cosx . 1", snj je limita drugeg:! faktorja desne strani I , torcj
2) (a1n x) ' c cos x.
Ennlto lzvedemo odvod tunitcij Y cos x . Difercncni kolicnik
- 168 -
cos (x+h) - cos x h
- sin (x + h) 2
sin h 2
- h-
2
- 2 sin (x + ~) s in _~ h
y ' - lirJ sin (x + h ~ 0
% ,
0 ~ )
• lit!. sin h
2 ~ .. - sin x. ( cos x) ' - s in x .
2
tg x odvajarno kat kolicnik ~ cos x
y ' • ( s10x) ' co s x - (co s x) ' s in x 2
y'
cos x
1 - -.,- torej (tg x) ' c.os - x
1 --2-cos x
No ennk nncin dob1no odvod funkcije y ~ Got x
(cos x) ' sin x - (sin x) ' cos x . 2
- 1
sin2x
s~n x
torej ( cot x) ' 1 - . -2-51n x
y
~ sin x
Ciklometricne funkc i je so obr a ti t r i gono met ricnih . Co jc
torej y = nrc sin x , je x s sin y . Odvajano l eva in deSha st r on
cna.c~c x :: sin y ter upos tevcmo , do je deS ha st r ah p03redno funk-
cijc. 0:1 x , \{je r je y posredujoca sprenenl j i vkll .
Dobino : 1 . cos y y ', _ 1_ y ' . cos y 2 2
Je p' cos y + sin y >
i n \/ 1 2 . Ii 1 2 torej cos y . - sin y - x ,
1
- 169 -
1 • (arc sin x ) ' 1
Ennko dobimo odvode ost alih ciklometricni~ f unkcij :
y ~ arc cos x . x :: cos y , 1 :: - sin y y ' , y ' -' -1
sin y ,
2 sin y - cos Y '"
y
y ' '" - ____ ~1"-___ ., (nrc cos x ) '
v;-7 nrc tg x , x L--
2 ' cos y y '
, _ .. _-_ .. -
2 cos y ,
2 1 + tg Y
1 ----2-' cos y
2 cos y 1
2 1 + tg Y
1 2
1 + x , torej
y
y ' 1 1
----,,2 I (ere tg x) ' ., ---2 l+x l+x
a r c cot x , x cot y , 1 -L- y ' 2 • sin x
1 1 s in2y --.--2-'
Bl.n y
1 ---2 1 + x
1 ---2 1 + x
, (nrc cot x) ' ";I ' '" -
t orej
-no. b 1 ugotovili odvod logn rite rJsk e funkdje , ~i ogl cjoo
lioi t o 6) lio (1 + 1 )n n
n -) ' 00 '"
Ii f U 'i/( '~ '/" (H ,~) Ta lioite i~n ist o vredno st , ce gre~o/ po pozit ivnih cc-
lo;:t evilcnih n ce z vse rncje a li ce gr eco po looljenih a li tudi
- 170 -
ir~cionalJ.ih stevilih ~ez vse Deje. Naj b:)std Ii tc. r n + 1 dYe
Zc.porcdni pozitivni celi stavili , x pa lao) Jer~() ali. i ro.cionc.lno
stevilo , ki je po '/elikosti r:led obe::!<l cBlir,IU_ nc. ... (: denl::!u stevilonu ,
torej
6) n < x < n + 1.
Za rc ciprocne vrednosti velja
.!. '> 1 x X+!'
Zaradi 7) ve l ja tudi
1 l ' 8) 1 + n '; f + x) 1 + n~l
Ce navedene kollclne neennkosti 8) potencir~o z iatim
stcvilon x iz 6 , znaka k za neena ost ostnneta , dob i mo :
9)(1+~)X > (1 + .!.)x x > (1 + _1_)<
n+l
Co prvo najvecjo kol1cino neenn kosti .~ ) P)~.1nC iro.r.lo r.lOsto
z x S SEl vc cjim cksponentom n + 1, tret J"o 7. od , v " '( r.l3.nJ ,nrJ CIi:SpO -
nentor:J n , oatane prva kolicina najvecjn , t re ':jD. nuj'Jlln jsD. in intu:10
10) (1 + ~)n+l > (1 + ~)x > (l + n:1/' ali
10 ' ) (l+~)n (1+~) (l+~)x )
Z r cs tocim n gre 1 + 1:. k 1 1 + 1 k 1 n ' r.;:n I
(1 + _1_ )n+1 n+l
1 1 + n+I
1 n+1 lin (1 + r;n) po inat~ iste vrednost , ki jo iDa
n+1 -,/ro
- 171 -
1 x tudi liD (1 + x) , s o. j je po '1clikostl med o':lena navedenioQ liei-
x -) CO
tci.ca . Navedena liroitn ima isto vradnos t . ee greno po po zitivnih
ali l'IosatiYn~h n cez vse rneje; lim (1 + ..lJ-c ,. lim {...R..;O .. -n 0-1
r.l -) OJ
liD (tl ... 1 + I)D ,. lie (1 + _l_}D tl-l tl-l lio ( 1 + -'-1)0- 1 , (1 + -1-) ~
r.l - D-l
• l i n ( 1 + -!-lo-~ ' ssJ' je liD (1 + __ 1 __ ). 1 0 - 1 • ~1 •
- Lioita lio (1 + m:l)o- 1 - je po vrednosti enoka liniti 110
r.l-1 -> co 0 -ry: 00
Po oil'lo!:lsken obrazeu izracunajoo ( 1 ... 1}!1 nato po. Z.Jl. liDi-n '
tirajr.io eez v So:! neje .
(1 + -n1 )n. 1 + (!!1).!.+ .!!)...1.+ n \2 2 n
1 n .,' (1 + it) 1 + !l
1 1. + n ( n-l) n 1.2
1 n(n- 1Hn- 2) "2 + 1.2. 3
+ n(n-l)(n-2)(n-)) 1.2 . 3 . 4
n
n(n- I) 1. 2. 3
(n-k+1) K
( n) ...1. k k
...1. .. 3
· 0
, n
ldno ii.enj a z drugi m faktorjen posame znih suo:lndov desno stromi "t{)..l(o·
iZ.Vl'iHr.lO , da deliroo vsak faktor steven pfv egD. de l ". nW:Hmdov Z & in
dobioo:
1(1 - ~) (1 - .?-)(1 _ .I.) + ______ ~o-,-~~n-----"n"-
1 , 2 . ).4
+
1 1(1 - ;;)
1.2 + 1(1
1 - it)(l 1. 2 . 3 +
1 2 k-l 1(1 - it)(l - ;;) .. . (1 - n)
+ . • • + ------.!L----...!!iiK----------~-- + ..
- 172 -
Ce linitiraoo z n -) 00 , dobino :
1 1 1 1 1 + r + Q + 'l.2:'J + -~1-. 2"''"'. 3~.'''4~''-L-----· -ll)
1 + " . + k ,l+
yso t n clenoy deane strc.ni od tretjega chna ualje _je _8;0 :--
t .. d 2) 1 1 1 ova ;.lo.nJ SIl 0 1 "2 + 2;'2 + 2.2.2 + ~2-. ~,'=-.~2-. ~ 2 + .,., suj so lato"
cle~10v geooetrijskeg<.l. zaporedja 3 1. c ! enoC\
tcr znuso.
1 -
1 '2
1 '2
1.
PQ.- j e 'Isoto.. vsot c. 12)
1 1 in -koliC.ni.k.a.m. - '2 .,
Lini t a: j e t orej po vrednosti roanj SU ad ) , j e ned 2 in J .
Izraz $':; 1io .( 1 + . .!.)n je osnova prirodnih l og2..ritoov , stevilo . n
c
no -7 OJ
2 , 7162818 . • - ~ .IlJar.lO l im'_ (1+ 1:. )n '" e . -n n -)' 00
Stevilo e no rcuo iz-
racu'!J.a.ti no,tancno po. po1jubno stev i10 decir.lalk , ce Ie sestcjemo
dovolj suna ndov desne strani · 'enacbe " ll ) .
u~otovino o dvod f unkcije Y ~ l O&ax, Diferen cni kol i cnik
je _6J " l olli ~x+h~ - lop; x. • Razliko. l ogaritnov v .stevcu je 1oga
-~,x
ritem kolicnika ~ ( 1 + h) . x x
log ( 1 + te) . x
h _1 l og (1 +!l) h x
l og (1 +
1:. i)'-1. upostevano : ce 5['.0 1Hi '" '!1 pro ti 0 , n Vstavil!lo !:! x
rJorar.1o iti tl _) U) . Ker je 1:. =- E , je dii' cre:'.cni kolicnil< h x .
- 173 -
log (l + log «1 +
Gdved je lines dobljenega , ce 6re h -.' 0 , oziroT.1n
y ' 1. lin l og (1 + 1:. ):':i :1. I:l
0 -) 00 D -) 00
Dobi li sno :
Co i anDo prirodni lognriteo ( 05nO V 3. e) , t0rej y In~: , je
Vzenino potenco s polju bnin eksponentoo , ki r..ore b i ti
tud i irnc i onnlen : y :; xn . Enacbo l ogaritniruno :
Iny :; nlnx . OdvajnnO u postevo.j ·oC , dn je leva. strq,n in-
dil'ektna funkcija od x:
L y
y ' =
n x'
n !0...
x
y ' !1Y • Za y v stavino xn in rlo'uiuo x
n-l nx
O)r~zec, (xn ) , :t n xn - 1 veljo. torej za polju:; cn ek"pone:nt . OdvajanO
c li sponentn o funkcijo Y :; eX . Obrat na funk c ij::l j( Iny -; x . Odvajo.Ill0
dobljeno enncbo po x , dobi[!lo f:; I, y ' :; Y . y ' :; eX , te r cj
(eX) , :; eX , Vzenir.lo potenco s poljubno osnDv'Y: .Y
Izr['.cunCfJO x, dobi no x =- lOG~/ ' Ibhljcno enl:::'O odvnjaOO
po x : 1 L y
log e a li y' " -X---l og e
x " y ' -~ l og e
1.;) (ex ) , x e
x ' x · (a ) ' :; a Ina ,
::?lno. , torej
V prcdhouni enacb i sno upo stevcli, do. je lognc • lOGe~ " I , znto je
.....L- = lnn . 100 c
- l7-i -
X:O/ . NARASCANJE IN PADANJE FUNKCIJE . ROLLEJEV
IZREK , LAGRANGEV IZREK
Bodi v interva~u (a , b) zvezna in odvedljiva fun kc ijo.
y ; f(x) . Ker je lines diferencnega kolicnik~ ~n 3k ouvodu funk -
cij , so diferencni kolienik ad odvoda t er.l r.l;;ll!j r n zlikuje I eio-
bo1j smo 90 s h priblizali o.
Pisat1 coreno :
/(X+h}h - f (x) _ f t (x)
/h/ { J =. 0' , pc JU no DnJ ega ste-Absolutna vrednost leve str""'i je manJ·s"." l' h 'hn "
vilQ L. t I ce je I e h dovolj najhen . Diferen;:ni ko~i~nik so od odvada
ro.zlikujo zo. neko kalieino rr; , ki gr t' pro":i
f(x + h) - f(x) ~"'. = f ' (x) + '"? ali
,:~ 17,1'0 h proti o .
1) f(x+h) - f(x) = h ( f ' (x) + "I ). M o'/: 'Yoa 8'
l CJ.cl o hdOV1j 'h I • o o nJ en , je , po l jubno oajhcn in o~i oklepo.j
ioo. pradznak odveda f ' (x) . Ce je pri pezit~vneo h odvod pezitiv c n ,
jc f(x+h) - f(x) > 0 , f(X+h» f(x) , funkcij:l. z rnstoee nczaviano
y spreoenljivko nnr~scn . Punk-
51. 91
Cij ll n .:lro.sc :l. tarJ , kjcr je
prvi odvod pozitiv~n . Ce je
v enact i 1) pri pozitivneo
h otlvo rl f ' (x) ncgntivon , je
f(x + 0) - f(x) .( o .
f(x+h) < r(x), funkc i jo.
Z l'o$l;-lCO n~7.:lVisno spreuon-
- 175 -
ljivko pada . Funkcijn p~da tan , kjcr je odvod nCb~tivon . Vzeoi no n~
'I interv~lu (~ , b) in na
krnjis ~ih zvczno in odved-
ir.l..': v kl· ,_ ~ j i$eih tocli:uh in-
tOl'y ;... lu ·1re:J.nest 0 , f( C.) '" 0 ,
• f(~ ) ~ ~ . o ~ ~tnja v su j cnn
t aka tockU n~ intorvulu , da Sl. 92
je tan odvod O. Kcr je funkcije zvezna in onejena . iun nat~ncna zEornjo ali natancno spodnjo oejo . Ce je v vseh tockuh a , je stal-
nic.:l in i nc pOVGod odvod 0 , ce ne, nnreste in zopet pade nu 0 i n
ina. nat::meno z gornjo uejo ali pa pade in zopet nar:).ste no 0 in inn
gotovo
natoneno spodnja ocjo . V tocki natencne zgornje ali natancnc
spodnje ocje ioa gotovo odvod o . Vzeuir.'!o zgornjo r.:ejo . ~ c bi itlClc.
t uu funkcija pazitiven odvod , \.)i nnro.scnlo. ter bi v slodeCi tocki
inola ~e vecjo vrednost , kar je ner.'!ogoee . Co b i i ne la. funkcija v
tocld nllta.ncne zgornje oeje ncgat iven odvod , hi t::Ll pndala
in h i -. d t d 11 k'r J'c ncr,1O~oce . Odvod
v prcdhodni tocki inela vecJo vre nos 0 I , ~
v tocki zgornje nejo nora biti torej O. Isto dok:lzeI.o zn nntuncno
spodnja oeja .
'I
S1. 9)
V tacki Xtf '" ~ ali ~J ., f je
torej bo t ';\ ·O f ' ( ~) '" O . • Lc.ngranE~V sto.vak nan pave :
ee i oono v intervalu (a , b)
z vezno in odvc d1 jiva funkcijO
y := f(X) , poten obs tnjo nn i n-
t ervnlu vsaj ClUl taKa. toekn f
"" 176 -
fib ) f(a) t gO" , f (~-'--=-..1lEl - f ' ( ~ ) J to - a. - ~ de. je turJ od'lod t ' b - a \
Al y Kal;:or jy J" .l zvi dno iz slike , st . 19 -1 , 11 • • !1 tn fJto.vek pave ,
":0. ,- ':: at :i ; ;"J. intervalu
. '1S~ rrl, > .'(C tockb. t I v ;
~3.t(ri. j ~ -; a ngcntn vzpored-
rin. s sek.'lllto slwzi: kro.jiscni
tacki interval:> . • . V:!.cnir:lo funk-
cijo F(x) ~ f(x) - fen) +
SJ . 94 + A(X - i!,) . Tn fu ... ~Jcciju jc
zvczna, cdvedljivu in i oo v tacki a vrednost O. stalnico 1. dolocir.lo
taka . do. bo l'unkcija F(x) ioein tud i v tacki b vrednost o . V , teu
sluc.aju bo 0 '" feb) - r(a) '+ ACb - a) ter 'ba zar ..... di teg!! ntulnica
, f(b) - f(~ " " --" '" _ b _ a . Punkc:l.J9. F( x) zadosca seduj predpostavkon Ro -
llejevegc. izrc~:e , 7.ato obst:lja nn intervalu (3 , b) vsaj ena. taka
tocku F ' do. je F ' ( ~ ) := O. f( h) )- f(~) ~~~~~"~. Del futcrvala
b - u
b - a , torej f - 8 < b - n ,
"D , kjer je f- a a - b je o
Zato je f ' (~) + A'o 0, f l ( f)
f - a. j c J - a
b-=-n
nanjsi ad G ! l cg~ intervo.ln
(1 Z~ '." 1 "': nn intorvo.lu
f - a , (b - 0) ~'1 , h odtocl t= a + ,~j h iz enacbc I
2 ) izr,.cunano f(b) ; fib) fi n ) + (b-a) f ' ( f ) ali
3) f(a+h) = f(a) + h f' (a + ~ h) ,
Lq.ng,rangev stavek ) nnLl pove , da j e spremmbo funa:cijc ,
ce nczuvisno s!'reoenljivko spre!:lenino za h, enaka zLlnozku n pretlCrl-
be sprcr.lCnl~ivke "'Z. odvodoLl funkcije v neki vnesni tocki nn inter-
vulu Dcd n in n+h. Cc je funkcijn nn int e rvnlu ned a. in b taka ,
r
- 117 -
dn je njen odvnd povsod 0 , je stalnica .
Ce n,ezav isno sprer:.lsnljivko Z:l poljubne h sprecenir.lo . je
f(c.+h) :; f(a) + h .f' (a. + " h) . Kar je za vsak h f ' (a + -D h) '" 0 ,
je v vsaki tocki a + h n B. i nterval u f (a+h) :; f{a) '" c, funkcija
je stalnice .
XVI. DIFERENCIAL .F UNKCIJE . VISJI ODVODI
Ker j e lin es difere ncnega kolicnika odvod , lir.1 ¥X '" ~" -~O
se difere n cn1- ko1icnik od odvoda razlikuje 20. do1oceno '" f ' .(x) ,
kolic i no ~ ter je !;: :::> f ' (x) + f'f) • Ce gre ;.;: ---7 0 , ere
"1-> 0, torej lin '?:; 0 . Ir:mmo (\ x ~ 0
Spreuenbo funkcije D. y tvorita sur..lenda f '(x). D.. x. ter -t;dx.
Kcr Gre z (j x tudi '''I k a , je f' (x-) • .1x gl.:lvni del sprcncube
funl{cijc , ki gn. i menuj en o dHereI!cial funkcija , piseno
2) dy = f ' (x) . a. x .
Di.fc.rencie.l funkcije je ennk zn:-a zku advada s spreT.lci.lbO
neznvisne sp r eoenljivke . 170 sl i ke st . 95 vidioo , do je difercn cial
fjx. f ' (x) . Difcrencio.l funkcije jc gcometri cnl
sprcnoTJbo. ordinn.te tangente krivulje . potegnj enc v tacki x do tocke
X do tocke x + Dx, Drugi sUr:1and spreneo b c funkcije
, ,
I' 'I
- 178 -
v ","l ~" Y' ( -
~ ely l)'
f(,"~l
Difcl' -3 n c inl nez.J.visno spre-
2) dx '" 1. 6 x . Difcrencio.l
nezo.visne sprcnenljiv!i:c je
sprer.lenba nezavisnc spre- ' --r-~--------L-----7 7'-----"->---,f,c-'» J( oenljiv ke . Enncbo. 2) dobi
S1. 95 ohlika
2 ' ) dy '" f ' (x) dx ali f ' (x) ~ ~~.
' Odvod narema pisati kat kolicnik diferencio.lov ali dife -
1'enci0.1;1i kol1Cn ' k . Za od"od ' t ' k ' - i1 ~ df '" f'(xl . ~ • lmaDa o1'eJ ozna e y - dx dx
Odvad posredne funkcije y '" f (u(x» pise~~ y ' '" f ' (u)u ' , diferen-
cinl pn dy "" f ' (u)u ' dx , Kalicina u' dx je difu' cnciul iJosrcdujoce
s p r(JrJon1jivke U , torej du '" u ' dx , diferencinl indireKtne funkcijc
je :
oblild :
Jll ) dy '" f ' (u)·,ali df
dy '" du ' du ,
) ' ) y ' : df du du dX'
Vsa pravila zo. odvajanjo oororJo pisati v d lf e!.'vncio.1ni
4) dxn n-1 ~ nx dx ,
0 sin x cos x d x ,
d cos x - s i n x d x ,
d tg x ~
1 ox --2-cos x
d 1 cot x - --2- dx,
sin x
" 179 -
1 ----- dx , d arc sin x -'
1 dx , d a~ c ,;..; :; __
U o.1'c t ,; __
d arc cot x ~ -l+x
2 ox ,
d x X dx , e e
d x ,/'lnadx , u
d1n x 2~ x, logae dx
d logax x
d(uv) == vd1t+ udy ,
vdu - udv --2---' ,. Casto j-c ad.vod funkcije Z\'ozna in odvedl j iv,"l fun!<cijo. tor
[lorCUO tvori~':" (' ':-! OC. odvoda ali drugi odvod :
lin
x
f ' ' (x) df ' ( x)
dx
Tako j '~ drugi dif e ~' €nC"i1;ll d2y " f ' (x) dx . Slir.no ,je trotji f ' '(x+h ). - . f l' (.'X) D
odvod druGcga odvoda : y". '" f 'J ' (x) = lit.. h '"' dx)
h ----7" 0
Tako i .-,uoo visje odvode f " (x) , f' '' (x), f(4)(x) ,
6 dxn
pa t udi visje diforen-
cialo , na prioer k-t~ d if eroncial dky f Od ~ .. ) :l ~:. po tenca s celiO
:- 180 -
eksponentoc Y ~ xn ina n zaporednih odvodov . (n + 1) . Odvod je 0 1
1'i s o :
5) y n x
y oo~ x, vidio~
y ~ sin x
y'
y"
y ,<i. 1
(n ) y
y' '" cos x - 6i n ,~ .. x)
yrt . -ain x .. s i n (1' + x)
y" " " :::I -cos X __ .s,i.p. t J2 + ~~ .
y(kl... sin {x ~ ~l
n- l nx
n! n ... l)xn ... 2
' n .. ) - n{n-1 X n. 2).>
n(n-l)(n- 2)(n-) ,., ) . 2.1
y cos x
" y' . - sin x ~ c"",""" 21 y " - cos x cC's (x + :It )
-:1 ' '''!. _ ,<;:in Jt r c-,oa1,'1 .. ~) (k ) ( x + " Y co s k-Z) '
Vs i odvodi funkcile Y .. e X SD enoki Q.ll1.i :£u.n,.kcJ..j1 :t
y(4). -
y '
y
x e
ee' 'je y
hl x4
, .. ,
(k) x y = e
1 y " 1 y "' 2 lnx , je y ' . x' . -""2 ' x J •
x
/n) (_1)n-1 (n-1) . n x
- 181 -
XVII . T,\ YLOROVA R,'.,ZVRSTITEV FUNKCIJ
! Bodi polinom
1) f(x) a 2 J n
y + a1x + a2
x + oJ' + ... + " x 0 n
za x vncseno a + h i n dobi~o :
f(ll+h) '" ao
+ 81
(a+h) + a 2 (a+h)2 + a)(ah)J r -"4(a+h)4 + •••• •
•• 0 + a (a+h)n . r,
Ce nakaz~na potenciranj~ izvr s i ma i n ur edi~o po pot~cah !4
d:>hir.:a :
2) f(o+h)
Koeficient e Ao ' AI ' A2 '0 ' An izrncunc.::lo in taka dahimo ,
nt'. kolika narast e funkcija palinoL! rex) , ce s rrenenina argument
ad a no. a+h. Ce za h vneseno x, dobino :
Folinm:! n- te stapnje i ma n zaparednih odvodov, Ce tvorir.to te odvo-
de dobina : f'(t.) A 2 J 2 ,,) kAkX:< - l '" 1 + A2x + A)x + 4i' 4 x + ••• +
o •• + nAnx n- l
f " (a+x ) = 2A2 + 2 . )A)X + n-2
+ . 0. + n(n-l) Anx ,
f " I (~+x) ::: 2 . )A) + 2 .) . 4 "4 x + . ,.
+ 0 • • + n(n-l ) (n- 2) AnXn-)
+ .,.
- 182 -
f(k)(a+x ) • k(k- l)(k - 2)
•• •• (n- rl:+1 ) A xn- k n
3 . 2 . 1 Ak + . .. + n(n- l)(n- 2)
n(n- l)(n- 2)(n- 3) • .• 3 . 2. 1 An
Po i sc eno vrednost fun kcijo 2 ' ) in njenih odvodov v tacki
X 3 0 , dobino :
3) f(a) Ao
f ' (a) Al f l. (a) 1.2 '2 [ ''' (a) o 1. 2. 3 A3
f(4)(a) 1.2 . 3 . 4 A4 f(k)(a) k ! Ak
f(n) (a) n! An
1z coach J) do bir:lo koefiCi!::!lte : .
4) A • f(o) 0
1'1 !.:.lil 1
"2 :r.::.hl 1. 2
AJ f ''' ~ll) 1. 2. J
- 183 -
Do;, ljcnc koeficiente 4) vncse::10 v encb') 2 ) 1.'\ U )')iuo :
f ' f e ' r " (n) 2 5) f(a+h) '" f(a) + ~ h + 1. 2 h +
+ [ "' (a) hJ + ... + r(k)( a) 1. 2 , 3 k!
Enll.cba 5 ) pave I na kol i ko narll.::;te .>t'I:',', ~. , ':) :'. l'gt1aent
tl s preoanio o ze. h , in kako se vredr:os t f( c: L) l~l";.c-..a ~ odvodi
funkcijo 'f v tocki a in 9 po tencaiJi spl'eoe!:loc r,cza-/i3no sprer.len-
Ijivke h . Vrednost polinonu n- te stopnje v tacki u+h Dorer:.lO r az-
viti po potencah spreoeohe nezavisne sp~e!:lenl j ivke h , razvrstitcv
se koncnn z n- to potenco .
Izrazu 5} analogen izrn.z pa moreno tvoriti zn vsako funk-
cijo y : f(x), ce je Ie n - kret odvedl jivn . Dobljeni izroz n e bo
f(o+h) , ternvec se bo od f (a+h) razlikovol zo neki dodatek Rn'
ostnnck . Inano :
6) fCa+h)
+ f ''' {a) 1. 2 . J
!.:.lil ~ . 2 f(a) + 1 h + 1.2 n +
Ce je f u nkcija y c f (x ) v s aj n+l kr ..... t 0."ff'cIj iva . r.torcr.lO
ostnnek Rn ugotov iti .
Vcnei h je f unkcija taka , da it:u pol .i u ~.no :nnogo. zupored ni h
odvodov . No d esni strllni- enocbe 6) coreco t voriti poljub no r:m9go
clenov . Ostnnek po. se casto mc.njsa tenbolj , c lavee clenov VZnr.1CrJO
no. des!!.i 9t~nni, ter l ~r.litira z rastoci~ n proti o . 'Dobieo Tay-
lorov~ r.:Lzvrstitev funkc l je f(n+h) po potencah spr"enel.1be nczavisne
s;)rc:.lOnIjivke h .
- 184 -
Ostanek izracunaco:
Tvorioo funkcijo :
7) P(x) : f (b) - f(x) - ~ (b - x ) _ ~ (b_x)2 _ 1 1.2
f' '' (x) ) - - (b-x ) -1. 2 . ) ... - (n)
f (x) (b_x)n n!
- R (£=!)p kJ"er J' e poljubno stev110 n b-a .
'l'ukaj jc b "" D.+h. Funkcija 7) iC::L l sntnost , da je 0 v kraj~scnl
tock! intervale b , pc tudi v t acki a no. podlagi eno.c0e 6) . Z~.to
po Rollejeveo stavku obstnja vso.j ena taka tockn f nc. intcrvalu
(0. , bL a < {( b , da bo odvod v tej tack! 0 , torej F' ( i )" o .
TvorltJo odvod funkcije 7) , dobioo :
f..:i!l _ f " (x' [ H {X) p ' (x) : - f ' (x) + 1 ~ (b - x) + -l--(b"-x ) _
f "' ~x~ 2 f ''' ( x ~ 2 r (4) (x) (b -x» ) ;: 1.2 (b - x) + 1. 2 (b -x ) 1. 2 . J
:; - r(n)(xl (b_x)n- 1 +
f(n) (xl (b_x ) n -1 (n- 1)1 (n- l ) !
f(n+1) n __ P__ p 1 (b) - R (b - x) - . - - n-!- - x + (b - n) P n
Po dvc. z.:.!porednll elena deane stroni se oed seboj un1 citll in
dOll i uo koncno
8) P ' (x) • _ f ( n+1)(x)
- - Co - x)n + --2-n! (b - a)P
Odvod 8) v tecki f j e 0 ali
R (b_x )P- 1 n
I I I
I !
r - 185 -
R.'1 oC:.tori io:racun.::.co :
f(n~l)( l ) (' _ f )n ( b __ , )"
n ! p (b-~')P 1
n ! p
~.li
v 9) vstavil!lo l , 9 " Q a + 1; h , kjer je V stevjlo , ki je ned 0
torej
R n
( 1) q a n- p+1 p f n+ ( 8.+ Vh) (b - a-V h ) :t
n ! p
,n+11 ( 6+ ,yh ) hn- r>+l (! = ~J)n- ;n-l"p n! p
(a+ ~h ) hn+ 1
n! p
dve O"l \ki ostank:l . Ce vst~.viiJO v ~4av l~dno uporabljano .... ...
10) za p '" n+l , (!obino obliko
r(n+l) ( .... +.oOh) hn+l
(n+l) !
Go v~tc\'ino Z<l p :. I , dot-ino dru 50 obliko
( 1) " n+1 1)n f n+ (n+Vh) h 0 - 1, n!
" ) tvor' no , do. vneseLlO v zadnji (n ... l) - ti c len I"ilZVr -Ost ~ek 11 ..
stit v c 6) ncsto a vrednost v neki v!':lesni t0ck:' :l~ int nrv:llu J;.lOU
t orej .+ J h . R~z~rstit ev 6) no!"o<::.) :: ~'\!;i tOGo. J cnjo.ti 0. i n n+h ,
. . cHen Llesto 0. vred-s po ljubnl r.l clenon toke , do. vst uvil.l0 Y " ~'1 :'.1_
nest C+~ h . R.."l.zvrstHcY 6 ) dobi o!)l. i :,e :
13) f (o+h )
- 186 -
h4 + •• • +
hn + ~f_(_n_+_l_)TO(~e+~1?Th~)~h~n_+ __ l (n+1)!
Ce jenjaDo razvrstitev z .drugin cleno~ , dob i rno ka t paseben
slucaj Lcgrangev izrek ; f(a+h) f (a) + hf ' (0. + {}h ) . V ra;.wr sti -
tev 1 ) vstavino za a+h x - a in dobimo :
i:.W. c.w. 2 14) f(x ) • ,(.) + 1 ( x - a) + 1.2 (x - a) +
f "' (a) J O!u n + 1.2 . 3 ( x - a) + . .. + n ! ( x-a) +
n+1 (I n+1 ,f __ ~(~.~+~V~( ~x-~a~)~)~(~x~-~aL) ___
+ • (n+1 ) !
v 14) SDO funkc ijQ f(x) razvili po potencah (x- a) , pr av i r.lO , razvili
Sr.la jo v pot encno vrsto akali n . Konvergentna je 'loa take vrednosti
nezo.visne sprenenljivke x , za katere gre ostanek
, (n+1) ( , ( » . (x _a)n+l R, '-____ ~a~+~V_~x~-~aL~~~L.---n (n+l) ! z rastoci~ n proti o .
t; c v 14) pisel:'!o 'loa a ;< 0 , dobir.lO Mac Laurinova razvrstitev fun;(cij e
f{ x ) v potencno vrsto po potancah x ali akali 0 in inaI:lo :
15) f(x) f(o) d2J. + 1
f(4)(0) x' + 41 +
f(n+1) .() + ( V x)
(n+l) 1
x + f.:..:.W.
... +
n+l x
2 1
f(n) nl
2 f ''' ~o} x) x + )1
(0) n x +
+
'\
Kat pl'it::crc !' ... ?,V ljeo v 1)ot encne Yrste P:l potencah x I UI'Jcci-
jc y = eX , y sin x , y ; cas x , y In x, y = a r c tg x ter bina~
eX, 90 vs l odvo1i eX; y ; eX~ izrek (f( x ) ::
(n) y = eX , v to c;C i a pa inaja v r-edn.ost 1. . .Po-obra..z.cu
15) dohi::ilo :
2 x) x4 n lJx n+l , 16) x J. + x x x e . X e 1 + 2! + JT + ... + -- + (n+l) ! 4' n l
,'x n+l e . x Ostunek je '\, (n+l) I Za vsak. koncen x je e $. k • oncen .
Ge n pove3nmo za 1, pridobi ostanek f aktor n:2 ' ki postano n~nj
ih ad 1 , ka n+2 pr ckarac1 x . Ostanek se z r astoci;:J. n w.aujsu~..in
gro [aoot! 0 , ce gre n ~ (l) . Vrstll za eX je konvergentnn zn vse
koncne x . Oglejao g1 trigonametrtcni funkciji sin x in COs x .
y . !:lin x , odv'Jdi so :
y ' cos x . sin (x + ~) 2
y " - sin x s in (x + 2 ~) 2
y '" - cos x ain (x + ) ~) 2 y(4) · +~in x sin (x + 4 ~)
2 •
(n) ~ n 1!.) y !'l in ( ;< + iI
Y cos x , odvodi so;
y ' - sin x co. ( x + .'!.) 2
y " · - cos x • cos (x + 2 ~) 2
y ' " · sin x cos ·(x + ) .!!) . . 2
V tocki 0 so sodi odvodi sinusa 0 I Iihi odvodi "!: 1 , li l11
odvodi cosinusa 0 , sodi pa ! 1 . Vrst i sta po obrazcu 15):
- 188 -
17) sin x "-I + + 9 '
cos x
Os t<:!. nl:a stu R n
oziromo.
2 x 1 - 2T
sin ( ·{jx + (n+l) ~) . xn+l (n+l) !
cos ( ~~ ") n+ 1 x + (n+l) 2' • x
(n+ 1) !
Prvi f a kt or stevc e.v v ostankih je po absolut ni vrcdnosti
mn.njsi ali kvecje!:lu enc.k 1. Ce .;remoz n dovolj dal e c , n :)r ese~e
po absolutni vrednosti v9ak konene x, astahek pa dob i , ce n p(lv e -
CB.L10 Z2. 1 , fakto r ~, ki je manJ'$i od 1 , ost~nki z r as tocim n n+2
padnjo in limitirnjo k o . Vrsti 17) stn konvergentni zo. vs e kon-
cne x .
Ca darno v vrati zc. eX areurne~tu imaginarno vre dnost i Xt
d00imo :
ix ix 2 ix 3 4 ix5 6 · ix7 8 ix9 1 "-- x x x
c , + - - )! + 4T + 51 - 6T - 71+ + 1 2' 8 ' 9 '
Realn0 in irnagi narne elene locimo , iz imaginarnih iZpos -
tav i~o i in dobimo :
i:;{ C
x 8
8' . ( x
- - .~ .. +~ 1'-9
x -9! + ... )
ix e jc kompleksno stevil o z renlno kornponento CDS x in irnaein .. rno
l:omponcnt o sin x , torej :
18) ix c cos x + i sin x .
S:,!'..cb i 10) L , l 8 1 ) s~a sis teD z.s. sin x in cos x , iz kn -
sin x i :: c os {~ ter dobimo :
1:-: -ix 8 C ··· - - 2--
ix - 1x
Z c.eJ.j e l_jeU (.nncb 19) dob i ma ~~~ ~ e - C
i{eiX+a - iX) t g
cot x i(eix + e- iX )
ix - ix c - c
Tako morer.:.o trigonoce t ricne funk c i Je i 'l:rLziti in d cfini -
rati z c funk c i jo . Iz Instnosti trigonomeiricnih f u rrkcij slcdc
ne. podlagi enC1.cb~ 18) "n eka; ere lastnosti ek 2pOne)l1 ne fun kcijc ,
Ker str:. sin x in cos x pe riodicni funk ciji s peri-odo :2 "It , je e
f u;nkcij £l pe r iodicna lunkcij'l. s pe riado 2 i T . v : 8 ) vstavimo
x=-2 1t in dalJimo :
2i-r. ~o:; 2 Ii .. i 5i::1 2 " 1. c 0
x+k2 n i x -(:::" i y lk x Zut o j c ; c e e e c
Za f(;~) x e , v~lju tore~ f, x + k . 2ni) = f(x) .
1z enac~ 18 ) :"n 1£ ' ) _-' Euler~ eve i{-ent-itr:""'"f "- t!lorcmo Inhko
uvidcti lastnos i i in OSn0\C :we,:e med tri£.ononeti'icnimi fUi1.kcijnni ,
un prir.!Cr a dic i 'jski tea r er <
( co~ x + i s i n x) .
, (cos y + i sin y ) .
Mnozenje b ino'":1o~ " nC' desni s truni i zvrsi:nlJ in dobi!!lo :
( x+y ) 0 co::; x cos Y - sin :-:: sin y + i (sin :x cos Y + cos(x+y) + i sin
+ cos x sin y ) .
- 190 -
Dobljena enacba je enakost ko~pleksnio ~tevil, iz k~ tero
sl~ lepat:Jo na enakost kO!":lponent :
20) cos (ny ) cos x cos y - sin x sin y)
s in ( x+y ) sin x cos y + cos x sin y) ,
Enacb i 20) sta adiacijski teorem fun kcij sinus in cosinus .
ooreoo razlociti v eX sode potence od lihih i n dobimo :
Dobljcna
( 1 + x6 6T + ••• )
111-1 \ 3 x + (3T x 5
+ 51 +
dele definirar:;o kat hyperbolicni f unkciji
x2 ,4 x6 8 21 ) ehx 1 + 2T+ + 6T+ L + . ". 4 ! 8 !
8hx 1>. x3 x5 x7 x9 . 1 + TI+ 51 + 7T + 9T + , • • t
'" I Eonko
incnujer:!o jih cosinus hyperbolicus odnosno sinus hy poxbolicUB.
,\nalogno definiraoo :
Torcj je
21 ' ) tghx" ~ chx
22) x e '" chx + shx
-x e = chx - shx ,
cthx chx shx
snj vidino , de je prva funkcija 21) soda . druga 1ihe i n jo ch( - x)
chx, 5h (-x ) '" - shx . -Iz 22) i zracunama hyperbolicni funkcij i in
.de bieo :
x - x 23) ehx
s - e 2 sh'"
- 191 -
upostcvajoc enac~i 21' ) pn se : thx eX _ a-x
x - x' e + C
c~ghx
x - x "1 + e
x -x e - e
Ln~cb i 2~ sm~traoo z~ defiflicijski enacb i hypero01icnih f unkcij .
Odvode teh funkcij dob i mo :
(chx) ,
x e
-x + e ) ' 2
-x + e 2
chx .
No.daljc je : X e -x
(thx) ' , (~') ' x -x
(cthx) '
, +e
4 - x 2 + e )
1 ---2 (chx )
x -x 1 / (e x
e I \ ' (e + -x - x , - e
- 4 - 1 x -x 2 - 2-
(0 e ) sh x -
2) (shx) '
(chx) '
(thx ) ,
'(cthx) "
chx ,
shx ,
1 - 2-eh x - 1 - 2-sh x
shx, (shx ) I
- x 2 e 1 -
(e x -
torej
C, x
-x 2 e )
+ e- x )2
e - x)2
- x - c ) ' 2
Hipcrbolicni~ funkcijaro definiru~o inverzne funkcije
(:tren funkcije) . pur.kciji y '" shx je inverzna f lmkcija Y ~rshx ,
ennko y = chx , Y '" archx , da l je jc Y = thx , y : arthx in y = cthx,
- 192 -
y • nrc thx. Ce v9tavimo v vrs to zn si n x meato argurnenta imaginnren
ur&uoent i x, dobi~o:
sin i :x
cos i x == 1 +
Z~to lr.l<:uno:
25) s in 1 x
x4 4 '
6 x + 6T + ••• • ~ chx .
ish x,
cos 1 x ~ ch x,
t g i x it ghx.
cot: 1 x -1 cthx
ishx, anologno
Un podlagi tah e nach odgovarja vaM,! zvezi .tiled trl!;onooct-
r icnioi funkcijami analogna zveza ~ed hyperbollcnini , odicijsketlu
teoreou t ~igonooetricnih funkcij adicijski t eareo hyporbolicnih
fun kcij . Taka je 9in21x + c09 21x '" ch 2x sh2x '" 1.
.6)
1 --2-cos 1x
1 --2- , t ore j - sh x
ch2x - sh2x . 1
1 t h2x 1 - = - 2-ch x
cth2x - 1 _1_ sh2x
1 - 2-ch x
1 -2-ch x
1 -~ -2-
sin ix
Odvode hyperbollcnio funkcij am inverzni~ funkcij dobimo :
Ce jc y '" arshx , je x • shy. Le vo in des ne stran d,rugc enC'.cbe
- 193 -
odvnj ano po x, scatrajoc , de je desna s tran posredno funj~cija ad
x (y je ponadujoca sprellle n1jivka ) .
1 '" ch y .y'. y' : c~y • 12 prve enacbe 26) dob1~o :
~. Zate je odvod : y' __ 1_
Vl+x2 chy .. VI + Bh
2y
(o.rshx) I • __ 1_ • Enako doo i mo odvode osta11h area fWlkcij:
V1+X2
y = archx , x = chy , -1 • I .l . I en"c"be ") shyy , J '" shy ' z prve <.0 ':0
do bioo shy .. V 2 - 1 • ~, odvod y ' = __ 1_
ch Y \/x2_1 . 1 Uadalje y .. erthx, 1 = 1 y' , y ' (archx) I - 2-
Vx2-1 ch Y
2 12 druge enacb e 26) dobimo ch y . 1 l_th2y •
1 --2 l-x
torej y' =
Ch2y .
1 --2 l - x
1 y' , y ' - ,2 Iz trctj 0 y . nect hx , x cthy t 1 . - 2- = so ~. sh Y
2 1 _1_ tarej y' 1 enocbe 26 ) dobioo : - sh y . --2
l- cth2y 2' l-x l - x
Do bili sma odvode hy per bolicnim funkcij ao inverznih
funkcij :
27) (arshx) I '" __ 1_
Vl+i
( arc'hx) , _1 __
\f x2_1
(arthx ) , 1 --7 l - x
(arcthx) • 1 --2 l-x
- 194 -
Binomski obrazec dobioo , ce razvije~o funkcijo f(x) ~
(l+x)ti , Odvodi so :
f ' (x)
f " (x)
f "' (x)
r:J.(l+x)o-l
o(n_l)(1+x)D.- 2
0(0_1)( 0 _2)(1+x) o-J
0(0- 1)(0-2) (oo-n ) (1+x )m-n-l
Vrcdnosti v tock! 0 so f (o) '" I , f ' (0) !l , f " (o) 1
r(k\o ) ,. 0(0- 1 ) • .• (o- k+l). Funkcija je :
kjer je
Rn=
29) Rn
f(n+l)( 0x}xn+1
(n+l)! , torej
0(0- 1) ...
Ce je m celo stevilo , r nzvrs t!tev jenja 2 o-t o potenco ,
ce ne , dobimo neskoncno vrsto , ki je kon'lergentna za tistc x, za
ko.terc gre ostanek 29) proti 0 z r n:stocim n. o"st1lnek morcuo pisa.ti :
Kolicina v glavnel!l oklepaju je konona t er je pri poljubneo n po
nbsolutni vrednosti manjsa od nekega koncnega stevi i a M. Za pozi -
, x < tivne x , ki so manjsi od 1 pn Je 1+ .\' x · x < I , ostnnck jc po
- 195 -
n.b solutni vrednosti: Rn < IM/ • /x/n~l , kar limitil'a Z .o.stocio
n proti o . Vrsb. 18) je konvergentne. zn 0 < x: { 1. No. slicen n1l-
ein bi u c otovili konvergenco zgornje vrste no. obmocju - 1 < x < 0 ,
ce bi pis:lli drugo obliko ostanka .
B~nODski koeficienti i mejo lastnost , do. je :
('0) 'j (0) _ '!2011(o~'-:.!1~).I.(O§:~-",2OJ)c...,..w.....J(~o!::-"k+;clU) m- k I saJ e k - 1 . 2 . 3 . 4 k
Desna stran razsirioo z (n- k) ! in dobir:lo";
(m- k+l) • (o- k) . • • 3,2.1 k! (m-k)l
PraY taka vidimo , da je :
m ) o(m-l) ... . (rn - k :c
(r.l- r.l+k+l) - m(rn-l )· ••. (hI) (o-k ) !
Deano stran razs iriDo s k! in dobio6 :
~ !
(rn-ld! k ! .
Dobino torej : (~) " (~- k)··
Druga taka lc.stnost je :
. n( r.:! - l) ••• (o- k+l) 1.2 . 3 . 4 ... k
r:l(I!l- !) ••. (r.l- k+l){l:1- k) .. + 1.2 . 3 . .• k . {k+l)
"m)J( ":t .. -"l",lc"k"! -'.-!.J( 1""" .. -:1k,,+:..!1,"-) • (l + ~:~)
_ (m+l) (Co' ) (m) (n+1) - hI '. torej k + k+1 '" k+1 .
(0+1) fi(O-I) • •• (n - k+l ) 1.2 , J .. ' k ( k+1)
(Glcj Pnscniov trikotnik!) . Ro.zv i jemo v potencno vrsto .)koli 0 funk -
cijo Y '" In(l+x) . Zaporedni odvodi so :
,i f
f ' I (0)
y'
y "
y " ,
_1_ l+x
1 .- ---2 (1+x)
2 + (1+x) 3
- 196 -
V tack! 0 imejo odvodi vrednost : f(o) :; 0 , f l (o) (4) (0)
-I, f ' " (0) '" 2 . 1 , f (0):; - 31 ••• f (0) =
Vrstn i~a obliko :
30) 1n(1+X)
'" + xn n + Rn ' kjer je ostanek Rn
ali Rn
z, pozitivne vrednosti sprarnenljivke x mad 0 in
(x < 1 x < < 1 , ostnnek j~ . ~o absolutni 0 j e 1+ 19 x x
nosti < Ix/ n+l kar limi tira r nstoCio n proti
Rn z 0 , n + 1
1,
1,
vred-
cclo za
x 1. Vrs ta je konv ergentna za vse 0 < x ~ I , torej tudi za
x =- 1. l\onvergento ne podrocju - 1 <. x < 0 bi ugotovili nc. slicen
neein , ce bi r a zvili drugo obliko ostanka .
r
- 197 -
Logaritroe n u r a v:1ih stevil bi dobili , ce bi u go tovili. 10-
gnrito e prastevil. Logarit rJi s esta,vljenih stevil so vsate loga-
ritr.lOV faktorjev (pr astevil) . (Taka vidino , d9. je kakor s18di 1z
)0).
log 2
Ttl vrsta zel0 poce.s! konvergira ill bi mo~aH sesteti tnl10L;O ~lenov,
ce bi hoteH rlahiti rezultat na prin er na 5 decinalk tocno. Ce v
vrs to )0) vstav i no za x vrednost -x ~ t;1 , inemo :
In(l- x) x I
Odtod dobimo l+x 1n l=n :: 1n (1+ x) - In(I- x) 0
+ .... , torej
7. l+x 3 ,,5
31) 1n 2 (x + x ;; + !S..+ r:x )+ 7
Co pos tavino v Jl) z~ x
1n
1 1 + '3
1 1 - ")
1n 2 2 (1 ")+
1 ) ' dobif.lo
1
35. 5 +
do il lj ena vrsta konvergir~ ?cIo hitro .
2x 1 +
,9 9+
1 InJ dobimo , ce vstavir.'lO v 31) za x '" 2' inano :
1 1n3 --+
25 ,5
2, 2x5 2x 7 )+ --+ - 7- +
5 ·
... )
.... ) ,
Cc hocm:lo dobiti In poljubnega n~ravnega stevila p . vst o.Vir.10 v
)1) Ul. x vrednost x '" .E.:.l. DooirJo v vsnken slucnju konver[;entno ".1
- 198 -
vrsto , saj je vrsta 31) konvergentn~ za vsak x < 1 , vsaj taka ,
kakor geof:1etricno. vrsta x + xJ + x5 .. ... , E:l p+1
po. je yravi ul Of:1 ek.
Razvi jeno funkcij o Y ~ arc tg x . Zaporedne odvode je tezko
i zrazit i z ne zavisno spr enenlj i'lko X, onago laze pn s funkcijsko "If ""'.7Y'4/'>1 ' /p'a 'i'd, 1)1'
vredno stjo y. Pisemo ~t zgornj~ f unkCijJj in zaporedoo8 odvnjano
tcr dobimo :
y "
y " I
y" ,
( <I ) y
tg Y x, ~ 2 cos y 1 ,
2 sin y cos yy ' , y "
2 cos 2y cos 2 yy ' + 2
2 y ' - cos y
2 sin 2y cos y :
sin 2y cos y s in yy '
- 2 y' co a y (cos 2y cos y - sin 2y sin y) I
- 2 y ' C03 Y cos ) y , - 2 cos J:! C09\:: z
+ 2. 3 sin )y COSJy y ' + 2. 3 cos Jy
2 . 3 C05 2y y' (51n Jy cos Y + cos )y sin y),
4 2 . 3 sin 4y . cos y
,
( n) 12 gornjega uv i dimo s pl osno p'ravilo . Lihi odvod y
. "
n =' 2p + 1 je /2 p+l) =' ( -l )P (Zp) ! cos(2p+ l)y 2p+l
cos Y
Sodi odvodi v t ockah 0 so o . Ce je tg Y x 0 , je y
tc r so vrednosti odvodov:
o
I
- 199 -
f(o) c 0
f' (0) 1
f ' ! (0) , 0
f ''' {o) - 2
f(4)(o) c 0
f(5)(o) 4!
'1 rs ta se glasi:
x) 5 x7 x9 )2) tg x x
arc x - J + "5 '7 + 9+ .. . Rn,
kjcr j e -0 x ) cos n :d n ( ~ x) n+ l
Rn :': cos :t. x
n+1
ali po ,Ii,) ~ 19x) sin ~ n n+1
Rn :': n ~ cos- v
n+1 I x
Vaekakor je JIDnozek prvih dveh faktorjev ~tevca nanjsi od 1 ,
ostunek pC'. gr~ za. x , ki so po vrednosti rued 0 in 1, 0 < x · (. l Z,
r;:!.s tocin n proti o . Vrsta j u konvergentna zoo v rednosti neznvi snc
sprcmcn1jivke , ki so n~njse ad 1 po. tudi se v tac ki 1. f
Co vsto.vimo v )2) za x vrednost x ~ 1 , d abioo Leibnizovo
" vrs t a z a 4 ' ke r je arc tg 1 TI 4' . Dobimo :
, ))) "4
Tu vrsto. je slaba konverge ntnu ter bi no r ali vzeti zel0 r.ma~o clc -
nov , do. b i dob ili no. primer n nn 5 decinalk tacna .
Vz eni::io kota oG in ~. za katera je tg ex.: '" ~ , tg (3 torej d == arc t g ~, 0 '" a r c tg ~.
1 "3
- 200 -
Vidimo : ot + 0 je t ak ka t , da je tg (~ + 0) tOi(X' + to!: 0 1 - t g!Ntg ('
1 1 2 + 3 --1 1 - "6
I, torej tg (~+ (3 ) 1 ,
N 11 n b ' 1t ,1 1 V .J+ I J '" arc t g 1 == 4 ' Do l.CW "4 = arc t g '. 2 + arc tg "3
Vrednost arc tg ~ in arc t b ~ dobioo iz vrste 32). Imnno :
34 ) n 1 1 1 1 1 ) 4" (2 - -- +
25 . 5 - -- + --+ .. ,
23.) 2'. , 9 -2 . 9
+(1 .: · 1 1 1 _1_ + ) i/I --+
)5 . 5 - --+ .. ,
) )).) )' . , )9 . 9 -
No. osnovi obra zea 34) marerno r nzmeroma h itro uga t oviti vrednost
stovila n nn po l jubno onago decinalk .
r I I I
I
\
- 201 -
XVIII , I MPLICITNO ODV':"JANJE , NEOOLOCENI IZR,\ZI
Funkcij~ Y = f(x) core biti posredno funk cija ad x , kjer
i~o@o t ud i 2 ~li vee pos r edujoeih funkcij . Bodi
1) Y 0 f (u(xl , v (x ll.
f bodi zvezna funkcija spre Llen1j,ivke u , pa. tudi s preoenljivke v ,
u in v pa naj basta zvazni funkcij i spremen1jivke x . OglejI:lO a1
nojprej funkcijo posredujoe ih s preoen1jivk 1 ) y == feu , v) . Co v
1) Ie u s:)rem~njaClO , v pa drz i no pri stalni vrednosti , i ClaT.iO
fun\~cijo ene nezavisne- spreClen1jivke , Odvod y po u pri s ta lncr.1
v jc pareia lni (delni) odvod po u , pisemo :
lin f {u+k . v ) - feu , v) k
k ~ 0
Pray tcko imomo
parci alni odvod funkcije po ~ f
v ,~ lio feu . v +1) - feu . v)
1
1 -> 0
PareiO-lni n odvodor: )dgovnrjnjo sevetia po.rcialni diferen-
cia1i . V slucaju funkcije
cialnn di fcrcncin1a d- f .: U
dve h 'Of ou
ne zavisnih spre~enljiVk stu pur-
il f du , dvf ~ ~ dv .
Odvod funkcije 1 ) Y '" f {u(x} , v(x») po x bo :
2 ) df li~ f (u(xt h) , v (x+ h) - f (u(x) , v ex») dx h
h -'> 0
c: e x spremenir,lO za h , s e u sprer.!eni zo. k , v po. za 1 , torej
u(x+ h ) "" u(x) + k , v ( x+h } '" v( x) + 1. Ce je le h dovolj m::tjhen , sta
;.c in 1 po abso1utn i vrednosti poljubno rnnj hna zaradi zvcznosti .
- 202
f'l1l1(cij u .in v . St~'H!C ena~l ,c 2} ali s jJremembo funkci j e f . :. i odgo-
v <:!.rj a spremembi neza\'isn p. "' l'r emenlji \·k e h mo remo pisnti :
6 f f(u+k , "1+ 1) - f ( u, v) '" f(u ... k , v+l) - :' (u+ l: , v) +
+ f(u+k , v) - .t( u, v) .
Prvn dve s uroanda sta s"rem"1'1' a. funkci j e Ie ,; lede :'le sprelllcnlji v~co
v , c!ruga dva pa sp ren.emo a .... ~nkcij e Ie glede ne u . f retvorimo jih
po langrnngevem izrcku 1n 'kb i mo :
. 1 + lJ f ( au u +
Prvi Iaktor prvega sumanda' ~e odvod PC) v v :leki vmesni tocki mod
v i n v-tl , prvi fakt o:' drug~ga surn2.nda pa odvod po u v neld vDlesni
tacki med 11 ill u + k . Ce je tor"p.j f unkcija f zvezna funkci j::l. ad u
in v in po u in v odvedl jivu in" ce sta u in v zv cz:ti funl;:ciji ad
_, ' od30varjata !Jovol ,) majhnGmu h poljClbno rnajhni kalicni!~i k in 1.
:Jovo lj majhnilll k i :1 1 p~ o·igov .... l'ja p("Iljubno majhen 4 f , ':-unkcija
y;: f (u(:<) , v e x »~ je :L;1€!7.n a fi.l.nkcija nd A. . Odv od 2 ) bo sedaj :
y!. dx
(u + lim
h
h ~ 0
Ce gre h proti n, gresta k '" 6 u in 1 '"' d v p!"'o t': 0 , parcialnB
odvod a v vrnesnih toc kah prE:iet a v odvoda v i;ockah u in v in dobimo :
" " "J ) ~~ dv dx
eEl b i imEli funkcijo polj u~no IMogo posredujocih ::;prcrr:ci11jiv!;: :
:L"un:~ cija U- jev , u - ;H ;;a zv czne funkcije od x , bi dobili :
I - 20) -
df ()f dU1 Of dU2 Of 4) +
~ u2 + i> u) dx i)u1
dx dx
Of du n ... + DU ti x n
Vzer.1i'1l0 ne raz-/it o funk c ijo rlveh spremenlj ivk :
o .
"
dU) dx
+ .••
F ' c~ ,( ~to komplic irana in j e tezko nav~dc.no ?~\n::cij9ka povezave. Je }- -
funkcijo pisati v eksplicitni obli~i :
5 ' ) y ,. f ( x) .
Zato j e t u d i po tej poti tezko prlti do odvodov y ' df dX' Srr:o.traj -
't funk~iJ"o 5) za posredno f unkci jo dveh vosredujo~ih mQ nerazv~ 0
sprcr.lcnljiv k x '" x, y '" y {x) '" f{ x). Enac90 5) od'/tljamo po x po
pravilu J) in doc imo :
0, 0F , ,) F
dx !Y 'JF y ' 0 ali -- + ~ ? ;:'x dx + Oy 1 x 0 X
Iz dob lj eM enacbry morp.mo izracunati y '
y '
Dobil i sma t aka obrazec .0 -~ mplicitno odvajanjc :
OP OF 6) --+ -SCi y 0 ali y '
Dx
P~imer : doloci odvod nerazvite , J}'
eXY = o . Parc ia~na odvoda sta : ~x = x xy + e - xe .
,l . ~ -~ 0
fun kcije P(X~) '"
eY + ye X _ ye xy ,
o .
xeY + ycX
Z ~ 0 xeY +
- 204 -
Po pravilu 6) dobimo eY + yeX - yexy + (xeY + eX - xeXY)y l
odv?d jc torej:
0 ,
y' oY + yeX ye xy
xeY + eX - xe xy
Gesta je funkcija dana t aka I da s ta abe spl'emcnl j ivki Y tcr x
funkcij i ~na same tretj a spremenljivke t:
7) y y (t)
Xox( t) .
Funkcija je da.na paramet ri::!no. Odvo ,l po 1'-.l';.::1Ctru t Qzna-
e imo s p' ko t k d ' :!.Y. • dx . ~ • a 0 a Je dt '" y , dt '" y.:. y mO!'(:rl":) sm:,trati ko t
posredno f unkcijo od x, saj je na osnovi pr"8 <Jnacbe 7) y zaviscn
ad t , "t pa na osnod druge enacbe 7) 'la~isen od x . Zat o je
£:i._£:i. dx - dt
1 '" dx dt
dt . dx
. Ce pa odvajamo enacbo x ~ x(t) po x , dobimo
dt • dX '
torej je dt 1 1. dx dx i
dt
Zgornji odvad bo ;
dy
£:i. :y ' i 2.1 Drugi o:lvod dobimo : dx x dx
CIt
£L d~ d~ dt
y " _x _ _ x_
dx dx dt dx
y " ( ~) ' . 1 y ' , 'Y:k - 'x~ 1 y " xi' -'xl x x 0 .2 x ,3
x
" (!() SUeno dobimo po l juben v isji odvad t ~(, j<.: Js.n y • dobimo
( k+1 ) y
- 20 5 -
parn- n,ctricno x ': a cos t I Y b sin t . Pr',i odvod je y ' b cos t e. ein t
y' = _ £ cot t saj je x ~ - a sin t , a
y " ::
y "
(_ Q cot t)' 1-a x
b "2 a
1
sin\
Y" o(_E. a
y = b cos t . Drugi o dvad j e
_ 1_ ) . 2
s~n t
___ 1 __
a sin t
Funkcija f( x ) ima cest'o v daloceni tacki a nedoloceno vred -
nost : f(a)
«a)
f(a)
2. , ali f(a) o
, ali
V vsaki poljubni blizini a pa s~ ad nake dolocene vrednosti
A za pol,jubno malo razlikujc/,i. Omejiti se smemo I e na pry! slucaj ,
v~u rlrugc je mocno dOVGsti na sl~caj 1 . ee je nnmrec
f(a)
Cc je f(a)
L a jc ~(a)
~,(a)
~2(a) .!E.. , moreI!lO to pi sat i kot. f(a) 00
a • .J) , je f(a)
<fICa) - <tl2(a):::o - co , je f(a~
1 ~l(a)
1 ~2(')
2-o
1 <i;W ~ ~l(a)
2-o
o punkcija Y :: f(x) i1:lej v tocki a nedoloceno v rednost '0 ' tore-j
2-o
2-o
- 206 -
vrodnost funkcije vzemil!lo v bliznii "; (l'~ i I- ". in dobimo :
8) f(a+h)
+
+
~1 (a+h)
~2(·+h)
~l(n)~a) n !
~2(n)~a) n!
+
+
hn +
hn + .,.
0 , dohimo provo vradnost izraza , CO v B)
5 h krajsamo in gremo 5 h proti o. Imamo :
f(a) = ~i (a)
~2 (a)
Co sta tudi prva odvoda v tocki a se nie , krajsamo d ~sno stren s h2
in limitiramo s h protl a t dobimo:
f(a) itd . ~i ' (a)
<tl2 ' (a)
Go sta t aka k - ta odvod'.l. zadnja , ki st r, 0 , Yr 1. j ;'\r.!1) d -:- sno atran 5 h k+l
5 h. pe. limitirar.lo k nie , dobimo :
~1 «+1)( ) f(a) = . '
. ~2«+1)(.)
Ozlcjrno 9i so drugi slucaj : y
1
rex) . i( .)
Piso.ti marernO
rex)
;p;w 1
~l( x )
• kar ima v tocki a vrednost ~ o
Slucaj obr:.wnav':l.lno po pravkar izveden~m L ' Ho,,:,italovcm prnvi l u :
, . lim f(x)
- 207 -
( _1_ ) • ~2
l im -( _'_) .
~1
x -) a
.'} ..
DVojni ulomek na desni strani odpravimo in
x -7 a
'l'2(x) . 'l'l(x) lim 'l'i (x) hm Cf'2(x)
x ~ " x - > a
~,(x)
~2(x) =
lim ~~(x) ---r-~l(x)
x -:; a
Produkt l i mit love strani jc limes produkta , imemO :
'I'l (X) 2 '1'2 (x) 'l'2(x) 'l'2(x)
'l'2(x) lim ~2(x) 2
lim -- ali lim ~l(x) lira 'Pi (x; ~,(x) 'l'i (X)
x -> a x - ) a X-7 6 X --->
Dobljeno morcmo pisati : lim lim
x -7 a
a
Tudi pravo vrednost limite . ki 1me v doloceni tocki a nc-
doloc cno vrodnost -2L • r acunamo po L ' Hospitalovcm pravilu . <D
- 208 -
XVI'!. EKSTREM P UNKCI JE
Vzemimo funkcijo y '" f ( x), ki je ne n ekera int crvnlu ( a , b)
definirann , zv€;zna in odvodljiva . Oglejr:1O si ft;.nkci j o v t ocki x • o
VSaKl. 'J ck i v doloccne m LIorc nastopiti sluc a J' , da ima funkeiJ'. v " t'
intcrvalu (x - J d ) o ' Xo + oko li Xo povf.od 'Ie -':j . ..; vre di1.osti lcnkor
v xo ' da je t orej :
za vsak h , pozit iven ali negativen , e'e j 1 1'1 < J e en . Funkcija
imn v tern slucaju v tocki Xo relativen e kstrem minimum . Ce jo
funkci j a t aka , de i ma v dolocenern intervnl u ( x o
otoli x o povsad manjse vrednosti kn~or v ce xo '
- J x +J , 0
j c torej
f(x o + h ) - f ( x O)<0
Ihl < J, im.
za vsnk pozit iven a li negntiven h , - zo. ka-
t ercea j c funkcijo v t ock i Xo rela tiv an ekst rom mak-
Xo 1'0 n t i ven oks trem , •• uffi4 FWlkc i ja y '" f(x) im3 v neki t oOk! 1
c e imD. tum funkcijska spr eme mba 1) t (x + 'n ) f ( ) i o - Xo _ sti prod4i
znuk nc ~'c de na pred zna k sprcmembe nezav isne spremenl ji'lke h .
C c j c mwcdeno. s pr emembo. 1) pozi t ivnn . il:lll ! unl<c i j a v x minimum, o
ce ncc~tivna , maksimum .
U~iDvitl;i mo r eroo: ce i ma' funk cijn v t ock i x ck;,t r Of'i , jo tam prvi o
Vzemima sluee. j mak sir.lUma v tocki x . (1;: 1:: i bi l tum odvod o
poz:].ttven , hi tam fun ltcija narai3calu i n bi imela v · sl edoei t ocki
v ccjQ vrednos t , kar je nemozno . Cc bi h i1 prvi odv od n egativen , bi
.dIL.. 0 , . ~lkciJ~ pnrl~ a tar bi imelu v predhodni t oc k i x - h vec jo v rodnost o
!~u;:or v xo ' kar jo nern~Zno. Odvad v Xa mora bit i a ••• Vzem ' mo slucaj
- 209
minimuma v x o ' Ce bi bil v Xo advod pozitiven, bi funk c ija n a r3scalu
in bi .imcl:J. v predhodni tocki Xo - h manjso vrednost kat v x o ' ko.r
je n emozno . Co bi bil v Xo rdvod negativen , hi funk cija pa dala in
imclu v sledeJ::t t ocki Xo + h manjso v rednost , kar je neL1ozno. Odvo'd
mora b iti 0 , f'(Xo ) " o .
To uvidimo tudi, ce si ag1edamo f unk cij'sko spremcmbo 1)
f( xO +h) _ f(xo
} ' Tn mor a imeti v slucaju ekstrema st alen znnk , brcz
ozira nn znak ~preroembe nezavisne spremen1jivke h . Po Lagrangcv crn
s tav lcu morerna spremembo 1) pisati :
2) f (X., + h) - f(x o ) '" f ' ( x o + ~h ) • h .
!i"adc.lje je f l (XO
+ 3 h) '" f ' (xo ) +. '? qe grc h proti' 0 I
gr~ '1 proti o . Ce j e h dovalj majhen , f ' (Xa ) po ab solutni vrcd-
i ma isti znak kakor f ' (xo ) ' no sti. prevladu nad
spromcmba j e :
'? in f ' ( x ) + rtJ , 0 '(
Vzemimo , da bi v tocki ekstrema Xo Jdvod bil p0 7>it ivcn ali
negut ivcn .'..,.. Potem bi ogl oti oklepa j v 2 ' ) v dov01j majt n i ok01101
akoli x 0 ' (x - h , x + h ) imel isti znak . S~mi funkcijski SPl'C -
0 0
mcmbi 2 ' ) pa bi se znak sprcmeni1 , ce bi nezavi s ni spremc nljivki h
zll<.tk sprcmenili , kar j e n emoz n c . Qdvod v Xo mora biti o.
potreben P? goj z~ nastop ekstrema j e, do. i ma fun~cija v
tisti tocki odv o d o . Pogoj pa n i zadosten . Vzemimo , do. imn funkcija
Y'" f(X ) v x advod a , f l {X ) ::= o . Oglajrno si funkcijsko sPl"cmembo , o . 0
ki jo uGotovimo po Ta ylorovi razvrstitvi in kancajrno s clono!'J , ki
ima dru~i odvod :
- 210 -
f(x +h) - f(x ) = f ' (x / + o 0 0 "
Je pa f ' ' (x o
f ' '(xo+ l'~h).h2 1. 2
limitira ~ a , ce
ima. pri dovo l j majhnem poljubno predz.no.-
cencm h znak u d f I, ( ) o 0 a xo ' Ke r je f' (xo ) :: a i:n&. spremcmbo. funl:ci -
jo pri poljubno predznacenem , po absolutni vredno~t i dovolj maj hon
h znnk drugegn odvoda f" (xo ) ' tor ej stalen zn~y.. 0 ,
imomo znrC$ minimum , ce j f " ( ) < e Xo 0" pn "',' ''' 3imum . Co jo ao drugi
. 0 ' bi r azv r st i te'l koncnli odvod 0 , trctj i pa ad a razll'c,n v toc-ki x
s clcnoo 5 tretjim odvodom t e r bi funkcl'jska sprcme mbo. bilo.
f" ' ( Xo+ -Jh).hJ Q 3 ' • f " ' (x + 'V h) I hi pri dovolj majhncm
o-duoc/v un1IlS'h/ I(lc-"',: 0
o • \,.:e h znak sprcmeni . tud1 funkcijska h ! imel znnk odvoda f " ' ( x) x
sprcmcmba znnk spremeni , ekstrema n1 . Ce j f '" ( ) e Xo negativcn , je
funkcijska sprememba 1) do Xo pozitivna , f ( x o - h) ') f(Xo ) > f( xo+h) , funkcija. po.do. , po Xo j e funkcij sZ: ::. sprcmemb a negativna,
f(x +h) - f(x ) <: 0, o 0 < f(x
o) ' Funkcij.:!. zopet padtl. , imruno
tako imcnovani prevoj . Ce jc f'" ( XO) poz i tiven , j e funkeij sk .... sp r e -
mambo. glede no f(Xo ) do x negativna I f "' ( XO+ Jh) . (_h)J < , J ! 0,
1\ f(xo- h) - f(Xo ) .( 0 ,
~ ....., ~ f (xo- h) ,.- f ( x 0) , f(Xo) > f ( xo -h ), "
~ " " '" , 0 , f unk c i ja do x nC'.ro.sco. . Po " je
?!. ~ 0 0
"'- ~ .... .... funk c i j3;;:o. sprencrnbn
(? ~n:;: x;. )x f ''' (xo+ Vh) ~ h3
>"fJ1"" " J ! > 0 ,
S1. 96
nnrasea , ekstrema ni , imnmo prevoj.
- 211 -
'1obee v idimo , ee je prvi od nie r o. :ll. ;"' 1. c :v 1 sodi , je \
- --'> , '<. "
f(x~ ~lJJ - f(x o ) :
r(2')(x ., ~h ) . 1,2k o
~ ~-:-+-_::'~_-.J::-_"-.:JL __ -----~,) Ta. imo. st.:l.lGn ~nak , z.no.k (J I Xo:-~ )to ;! ... ~ 2k- t eg~ odvodo. , snj jo
S1. 97 so d~ potence. sprememb e h
vedno pozitivna , imamo ekstrem . Co bi bil lihi odvod prvi , ki je
od 0 razlicen , je funk cijska sprememba
f ( x +h) - r(x ) o 0
Dasi tlJlS advod sto.len znak, ga. cdatna spr~:nerubo. nim!l , leer
se lihi pa tene! I h2k+l zno.k spremeni , ce s pr E'm ' );~' l.:!:",':wisnc spre- •
oenl jivlcc h znai': spremenimo . Ekstrem'3- ni , ::'c.o . ·,1 '!Oj .
\ Ekst rem funkcije dob imo : pO i llcem" r ... ,j L'· . • · ,)d t c r ugotov
it'10
vrnanasti x , pri ko.terih je prvi odvod 0 , l'esimo e no.0bo f ' (x) ... o •
Co jc prvi ad nie razlicen odvod sodi t~r jc pozitiven , imaroo mi -
nimum , e c negativen , imamo rnaksimurn . Ce je prvi od 0 r azlicen od-
vod lL,i , cKst rerna. ni .
Slu c a j ekstremn ugotovimo tudi s POr.loc jo prvega odvoda . Ce
imn funkciJ8 rnaksimum v t ock1 XO ' pot em do Xo nara9ca , po xo pada .
Prvi 01vod j 0 d~1 Xo poz! tiven I postane pri Xo enck 0 I po Xo pa po-
stune ncgativen. Ce iroa funkcij a mi nimum v t o~ki x o ' potem
do Xo
pada , po Xo narasea. Prvi odvod j e do Xo ncgut io/en . postnnc pri
- 212 -
Xo enuk a , po Xo pa postnne pozitiv€n . C(;J i (1D. :uj1 -ct;i j a ~rcvoj , ima
prvi odvod do xo isti zn<lk kG-kor po xo ' saj ;]1. x ,) funkcijn. nnro.sCn. ,
se v Xo ustali, po Xo pa zopet narasca oziroma do Xo pada , so v
Xo u~tnli, po Xo pa zopet pada . 1 2
Primer : 1 ) Doloei ekstrer.'l funk ci jc Y '" x· - Jx + 3x .
Prvi odvod je y' 3 x2 _ 6 x + 3 . EI(strem bi utagnil bit i taro ,
kjcr je 3 x2 - 6 x + 3 '" 0 , x2 _ 2:< + 1 0 , Xl = 1, x 2 '" 1 , torcj
{) x _ {) . im~mo y " (1) '" o. v tacki T (1,1). Drugi odvod je y " Trotji odvod y ' " '" 6 je od nic razlicen , im;:u:1O pr,;:voj . Funkcijo.
do x '" 1 narasca , pri x '" 1 se ustali , n<".to z,opet narasea . Ima lliO
sliko st . 98). Prvi odvod je y ' '" J(x - 1)2 , To. je prevoj (glcj
"y pri vscke r.l x, rTzen pri x '" 1 ,
pozitiv cn . ' 0 x'" 1 funkc l jn
na r as ca • t;- l ' ;~ c y ' = 0 , pri
x = 1 S ~ u~t~l~ , ker je
~' __ lQ~"-________ ._'~ ________________ ~~ y'(l) = 0 , po x '" 1 narasca
,
kt:r je y.) o .
51. 98
Primer : 2) Doloei ek5trem funkc i je y '" 2 xJ
- 9 x2 + 1 2x.
Prvi odvod je y ' = 6 x2 _ 18 X + 12 . Ekstrewno vrcdnost ima fun-
kcija tam , kjer je y ' '" 0 , x2 - J x + 2 = 0 , Xl = I , x2 :: 2 .
Drugi
odvod y " 12 x _ 18 . Nj egova vredno st pri x:: l jc
y " • -6 , pri Xl • 1 irna funKcij" mcksirna lno vrednost , pri x 2 • 2
jey" =6 , pri x 2 2 ime. funkci j a minioa1no vrednost. Oooil 1 smo
Ymx • 5 pri x • 1 , Ymin • 4 pr i x 2 , OglcjrnO 5i prvi odvod okoli
tacke x '" 1 . Njcgov ?flak pred x 1 dobimo , c·:! vnesl:f!lO za x v rodnost
" - 213 -
dovolj majhno pozitivno :; t c','i10 t dobi mo 2
_ 18(1-E) + 1~ . Y' • ( l-E) • 6 E+6 E . x ~ 1 - r . kjer je L
y' (+1 - L) 6(1 _2E+E2 )
1'r ..... i odvod je pred J{ := 1 pozitiv"n , funkcij a narasca
• Po x 2 .
1
je prvi odvod y ' (l+E) ~ 6(1+2E+E ) - 18(1+L) + 12. Y' (I+L
)
2 2 ' :: -9 r. + 6 r. . Pri dovolj majhnen r. je L <. L. , prvi odvo d jc nc-
gativen . Funkcija d,c 1 raSte . po 1 pada , imD. torej v 1 maksir:lUI!!. .
PraV tako bi videli znaCa.j ekstreroa v tocki J{ '" 2 .
xx . a OOLOCENEM INTEGRALU
. . t a1 a /x / b z,, "'zno funkciJ'o " '" f(x) , Vzeml.mO na l.n erv u ~ ~ ~ J
ki bodi na te~ intervalu pozitivna . Ro.zde1imo int e rval z vmcsni
mi
t ockct;fi no. vee d'clov , podintcrvalov . Razdel i s ca 59 tockc : Xo'" a , be' spodnj<l McjC funkcijstih vrcd-
Xl ' x2
' xJ
•• •. • . xn _l ' xn := • e Je nosti funkcije m, zgornja
' / I:1eja ,10\ , potem vclja zo. vse
\ \ i""
funkcijskc vrcdnosti :
'\ t~·l m < f(x) < hi. Sirine. ce-
lego. intcrvn.lo. je Xu - x 0
!ft."'11 '" b- ::l. , StrinE!. posnlllCznih
\ rl¥..I podint .: rvn. l ov n ed razdelit -
- 214 -
... vsakem podinter'la1u i ron f unkc i j a ne ko spodnjo 1:1cjo Dlk
in n eko zgo r njo r.lejo Mk , ta r v c 1 jn : spodn jll P.I",ia. ce10tnega intcr-
vn1n j c ~nnjsa od s podn j ih mej pos.:unczn ih podi:lterva l ov m ~ tn1 ,
lil {. m2 , m .( !ll) ..• m ~ rnk , zgorn j a me j c. c e 10tnega in t ervala
jc ve cjn od zgo r n jih Illej podlnhrvalov Ml ~ r.i, 1"'2 ~ ?II • • •• • 14:n ,< 1,1-
Ugotov i mo in definirajmo plo §clno , ki jo ooejuje z~~at na ordinata v
tocki a , koncna ordin~ta v tocki b , abs cisoa os in kri'lulj~ _ ZonDzek
s podnje mojo funkcije s Sirino inte rva l e j e go tO\'O r.:anjifii od t e
plosc ine , znmoZe k zgorn je me je s Sirino inter\·<..:l.:l po. vccji . Zmno-
zek src dn je funkc i jsk e vred nost i f ( t ), v ned vLldsni t ocki f Z s i r javo int e rva la ima vrednos t, ki je vec ja od prvega in ma njsa
od drugoea zmno z ka . Tvorit i morerno vsoto produktov spodnjih mcj
funkc i j v posameznih pod i nt ervo.1ih S sl:r'inlo i podi nt e rvalov , dob imo
spodnjo vsoto Sl ~ ml •
, A x I( + • ••• I!ln • .D xn To je plo scina, le i jo oklc-
pa znc!:tnc. ordinata , obsc i s na o s , kon cna o r dina t e t e l' poU gonalna
PQt~ zo . ki po t oka v sa pod krivulj o . Tn spodn j a vsot~ jo oo t ovo vecja
od r,l ( b- a ) . Ka r j e b-o. v 50t a dolZ1n pod i ntcr \' a lov je :
1) m(b-a ) = Ill, ~ Xl + m' II x 2 + t1 ' .Q x ) + + m.l:l xn' 2) sl '" IllI ' c:, Xl + m2 ,/lx2 + Il), !.J x ] ~ m ' Llx. n n
l~cr s o ml
, 1!l2 ' In) • • • mn ve~Ji od m, so 1s tolcZ ,~i. c l eni enacbe 2)
vea j i od isto leznih clenov v s ote 1) tel' j e :::1('~ -t') , ( al • Tvorimo
vso t o produk t ov s rednj ih funkt i j skih vredno s t"~ ;; ihrinam1 podintcr-
vnlov nl i s r ednj o v 50 to , dobimo :
3 ) () 1 • f ( f 1) • /}; Xl + r( f 2 ) • L\ x2 + •••• +
+ f ( f n ) • L\ xn • i" f ( f k) • L\ xk •
I I
- 215 -
].:tvede!'la vso t a j e vecjc. od spodnje vsote 51 ' Ker jc
mI.K f( F 1) ' :::12 { f (f 2) "', so istolez,n i cleni V50tC 0 vcc j i od ir>toleznih c l enov vsote ~1 ' Jl: torej 51 .(. 6 1 , Vsota
1 6
jc mnnjsn. od vsote tvorjone z zgorn .:! ir,ii ['le~OJ,:i funkcij po podi n -
tcr"~lih , so. j j e f ( € 1 ) .(. ~\ . f( f 2) '; 1" 2 .• , f( f n ) ~ i~n ' Ce
p ri['l c rjc.~o i s t o1 e zne c l ene obeh vsot
, 4) ~ ,. MI , L). Xl + M2 , Ll x2 + MJ ' f .... } J ~ d"'(\O, cia ~ 0 t t1l') / '1}1, II) 1Jt{-/'. ' ad or/y, ~ 'f')!';"; v !<Jtv :i I!
5) (b- a)r.t = M , A x1 + !,1 'Ax2 + M,A x) +
',, : ' + l.i , d xn ~" n
~! ,!}.X . n
1
Istolczni c1eni spodnje vsot<t 5) so '/ccj i oj i .7 t c l')tnio clonov vsote
4 ) , Z(lto je S1 $:. (b - a) M. Vel j a :
6) (b - a)m ~ sl ~0 {, Sl ~ (b - a)M ,
Dolitcv n:t podintervale zgost i t'lo . VZE:::1ir.!:) llil. pr i mer k-ti podint crva l ,
lei Go. r u zdelirno na 1 novih podin tcrva lov : j \ ,-- - - - - -
·1 ,j .;-,..-~ I~-'12 '- -. ------/ - _.
<ff\ (~ .I, J.,. S ,~ i
spodnj c me j c +
f 'mk r' ij '! podintor v alih ; s o :
Sl . , 100 r.wje pn Mi ' 1'2 ' IJ ) ,." Mi'
sumo.nd apodnje vsote 51 ' ki pr i pa da k- temu int ~rvnlu ,ie (7) IDle L1 Xk ==
= ~~ J 1 + fI\: ~ 2 + Ok dJ'+ ..... + mk J I' f;..;J \.~,no , '; v orj e ne s ,
spodnj i rn i [lcj a mi funkci j po pod i ntervalih gos~' j.i '.li litvc , It i pripada
k-t enu podint e r vnlu j e
I.
- 216 -
8) s ( k ) " c ' J , c5 , r 2 · 1 1 + !!l2 ' 2 + 0 J .{j J + . .• , ,J T D1 - l '
s o spod njc ncj e funk c ij nov e , gos t ej se de Etve podint e l'valov i:1 to r -
va l a Xk vec j~ ad ok ' je d el v sate , ki .. r ipada X-tenH i n te!'valu
8) vecji ad 7 ) . s e j so suma ndi v sct e 8) v e cj i a d istole ini '1 su mnn -
do v vsate 7 ) . Ker so doprinosi posan:eznih podint e rv El l ov L)x1 , ..
pri z~oscevanj u delitev na nove podintervale se dn~ vec ji , spodnj e
Ax - n
vsa t e p1'i nad~ l j nj ern r azdel j evanj u podint ervalov no. nove ~ntcrvale
ras tcj o, i ma mo : m(b - e.) ~ $1 ~ 52 ' ,{.62 , Enak:> vi di no , zgor nj e
Deja funkc i j po po dint e r vaHh intervala ..d xk :
v sete z z go rn j i mi mejami vzdo lZ. ~ xk '
S~k ) ~ ' l,ti °1 °2+ J (
9) + 1.12 M' + " , , iA i. ,J l ' ) )
pr ejsn j i sunA.nd zgornje vsot e , ki pripada intcrve lu .L\ xk p. jO :
10) " k,il Xk " Ilk ,J + Mk J 2 + illk (J) + '" + !.lk J1 , 1
Kc r so zgornj e meje f unk :::ij navih int e rvalov tlo n ji'e o j !,jk ' ~;o su-
Q~di v so t e 9 ) oanjsi ad i stol eznih su~anaov v so t e 10) . zgornje
vsotc t o r e j z zgo3c eva nj em (~e lite '{ pa dajo , YCd:1 0 rn so spodnje ""fl--od r;li''1'n// l'l Moyn;',-rn.' u' o (,
vso t c r.10)"1_jSC od zgornjih . -,lrd ovail po s o p.:. v c likosti vsote tvor -
j cn ,~ !'; srcdnji ::i f un lw ijski::i vred no s t o : . Ce t~k c zgos cc'Ionjc dcli -
t;v nndo.ljujemo I pr i d e~o kOllcno do po lj ub no o z k ii""_ podiL~crvalov . do
t.:.l::ih , '1 ka t er1h s e funkc i jrlk e vrednosti zn r .:ldi 'Zvezn osti za po l jubno
~alo r~zli kujejo , v te h bo ~ ud i a bsolutnn vre dnos t r a zlikQ z~o~nje
i n spodnj e mc j e funkc ij e poljubno majhnn .
kar s mo de l ili i n t e rv a l e dO-/ o l j gosto . Gl e de zgornj l-' it' spounjih
- 217 -
vsot velj a neenacba:
1 2 ) ~(b-o ) ~ "I ~ s2 { s) t 5 p < e: (, , , 5p ~
< 5 " p- l ~ 5
p_
2 ~ 52 ~ 5, f.. " ( b- a) ,
Z zgosceve.njell razdelitev dobi~o n C'. s;:c,d in n::lvzgo~ ome j eno
nara~canje z aporedje spodnjih v sot :
t or nc spod 1n nevzgor ooejeno pndajoee zapor ~ djo zgornjih vsot :
Desi spodnj~ vsoto narescajo z~ostitvijo . z gornj ~ V50t O pndcjo , gO Odrl t7l1 C( """4 / (r(.''/!,
spOdtlje "sote vedno manjse od / zgorn jih . Ugot oviti noreoo : zaporedje
spodnjih "sot 1) ter zgornjih v sot 1 4) stu konv ergentni in i~QtQ
i~to limit o , ki jo iea tudi sred~ja vsote ~ in k i jo definirano
ko t ploseino , ki jo oroejuje zacetna ordinata , konc na oruinata, ab -
s c is!'\<J. os in krivulja , ee sma sli s stevilom d.clitvenih t o~k: cez
vs e n cje . Ce s~o z deli t vami intervala pris li dovo lj d~le c , so n cm-Odg(1)".L "r/o../o{i/.
ree spodnjc vsote od/ zgornjih Zil poljubno r.:;o.lo r:lzlikujejo . Po dovOlj n
po zni dc litvi , na primer p-ti, je spodn J :! V2-:lt n s '" Em, ' Ll x. , zsor-p n l( .I(
n j c vsoto. po. Sp "" n EM, ll xk , 1 K
Razlika obeh
Kcr . smo a l i z delitvaCli dovo l j d:llec , j e z ::::. r~di zve znosti:
! iJl - m1 ! ( E 1 ' ! ~12 - m2 1 <- f: 2 .. .. !M - n ! . n n < C n' k j cr so
t l' E. 2' [ 3 t:n poljubno majhna StQvila . Co V'7..p..memo nb-
s o l utno vrednost razlike !Sp - Sp ! in upostev~~o . d~ je absolutna
• , -I
! ,
;
- 218 -
vrcdnost v sote mnnjsn. ali kvecjemu enaka vsoti absolutnih vrcdnosti
sumnndov , dobimo :
Ce vnesemo mesta absolutnih vrednosti r a zlik maks i roalnih in mini-
ruo. l nih funkcijsk ih vredn osti po i nteX:Vallli "najvecji 'ad nnvcdenih
t. , smo vnesli prevect i mnmo : !Sp- sp ! < E ( .a xl + /J. Xz +
+ .6. x) + ••• + fj xn
). K~~ je v sota podintervo.lov v ok l epoju
b - n , iii'.D.l:'Io : ISp-Sp! < € (b- a) , kjer je £. poljubno mp.jhno Gte"
vilo •.
!Sp- Sp ! torej Z vecanjem stevl1a podinter va l ov limitira
k a , spodnje in zgornje vsote imajo isto limito , ki je tudi
lim G '" lim
v mejch me d a
~ f ( ! k ) LI xk in ki 1 n-)oo i n b te r pisemo' lim G
jo imenujemo doloceni integral
b ! f(x)dx = I. n
Te t~o. defini r amo ' kot ploscino med zacetno ordina.to, koncno
ordinato , abscisno osjo in krivuljo .
N~stane vprasanjc , ali pr i demo s poljubno delitvijo , ki jo
v cdno oolj zgoscuj emo· vedno do i ste limite , ce je tarej taka dcfi -
nirC'.n integral anol i cen. . Vzemimo, do smo vzeli doloceno dc:Iitev,
k i nas je po r zaporednih zgosti tvah lntervaloY privedla do vsotc E
- 2- ( t poljubno mnj -
hno stev ilo) . Neka druga delitev bi nas po r ' zgoatitvah delitev
privcdla no. vsoto S ' ( r' ) ' ki i~a limito . I I ter je I S~ , - II !
Nndnljujmo 1 . del i tev tako , do.
drugo delitev z r ' zgoatitvami
no. 1. deli tev z r zgost itVll!'.li 110r..CSCwo
-'7'It:kdd.t,'"j'1"rlfJ d 'f 1l9t1 .;("e,'fdV nl tf obratn~rkar do. iato . Dobimo v 80ti
Sr+r ' ali S ' r '+r' ka r je i sto . Vaota n ove delitv e j e nad.":.\ljevt:.njc 1.
ali 2. i n se torej ad I kako r t u d i od II za poljubno malo r~zlikuje , II .. ,~, I l' _'1 ' /£/'
f - 219 -
dobimo : J
!~- 1~1 I (Sr+r' - I) + (11- S~,::+/ ) 1 ~ ! Sr+r,-1! + 1I1- S~ ' +r I.(
<+ .+.E. Radike mad· tako dobljenima integralom::. je manjsa od po-
ljubno lllaj hn e ga etevila €. I v ebeh s luc<.j i:1 UO·. bo i3 ~ O limi to .
vrcdnest integrala je po velikost.,i v oojah r:H;d n {b - u.! ter M(b - n) ,
WI. b oaj jc m(b-o) ,< ! f (x) dx / LI(b - a) .
. . Ce d 81imo n eenacbo s pozitivno kolicino b - a , dobino :
~ _1_ b-a
b
S f ( X) dx ,{)I, e
Kcr z a v zame funkcija vs a ko vradnost oed n a tancno spodnjo
in l'!.otc.ncno zgornjo mejo m odnosno M vsuj enkr at , ·obs t nja no. in-
i~ela tam funkcija vred-
f(x)dx • f( f ), ali tcrvnlu vsnj en~ tnka tocka do bo .,
b _1_ nost h = o. f t"(X)d~ 1 t orej bo b - a
a ' '
(' a
mor e!':"lo izvrs i ti od tocko n do f(x) dx = (b-a)f( ~ ) . sumacijo
poljubna tocke x , dobiTllO
x I Y 1 f(t )d t. Rezultat je isti
a kako r ko li ooe1czinio nezo.-
/
"--.,1\ c •
/ ~J ;{ I. visno sr '¥:enljivko funkcije,
" ~ pod int ugra1om . Vredno st i n-I'
" ~ t egr ala je zo.visna 1c od , -~--t-----~~~----~~-.~~ , --f:- :J.. or J e meJ' e , ,j C eno1icne. a )l..1I.· l ;..... ir x z g n
~ · if - I .o.x -x ;t ,-; '')1 P<j t", 11,; funkciJ'a zgornJ·e mcje . K' 0(- "'- (t d/!J'~
, s 1. 101
de J' e integr,nl' zvezna funkcija zgornje nejc , F (X )
Uv idcti "[;Ioreno ,
I
.~
- 220 -
x f fet) dt. Vidimo tudi , da je
a t f(x)dx n
lio E f(? ) 1 r k
n -> CD a
lin (f( r n) (xn_l - xn) + f ( ~ )( fn-l xn_2 - xn_l ) + .. , +
b r + f( ~ ,)(XO - x,» = lim ~ f( f )(-b x ) = -1 ,k k '1\ _.> CO
f(x)dx. a
CO integriramo v obratni i ./' Sr.H:r , ffirj i zamenjamo , dolzine b
podintcrva-a J f(x)dx = - f f(x) b
dx . lov znnk spremene, integral znak s ·premeni.
y a
Ce vzamemo nr:. intervalu med a
in b v~esno tocko c tar zgos-
titve podintervalov t~ko na-
daljujemo , da p~dejo celi i n-
tervali na levo in desna od · c ,
vid i mo , da dobi~o celotno
~~(?~\t------~!--. -----cL----------~1--'"x. vsoto, ce v soti ad a do c
pristejemo vsoto od c do b ,
31. 102 torej :
b c b b
f f c
+ l' . Ker je na primer f f ir.ll?ITIO : . a a c c b
b c c c b c
( f - l' ali f r + r a b a a b
zveznost i ntegrala kat funkc1.je zgornje roeje dobina : Ce zgornjo
x+h mejo
zvecnmo za h , dobimo F{X) =
x x+h
I,
f(t) dt + I' f (t )dt l' n x
x
r. f(t)dt ; F( x+ h) = r f(t)dt a
F{x+h) - F(X)
x+h r f(t) dt . x
- 221 -
Po prejsnjem je desna s tran enake. zm!1ozku iz Hrj avc interI
val~ s funkcijsko vrcdnostjo integranda v neki vnesni tocki f I
torej
15) F(x+h) - F( X) = h • f( f ). Dovolj majhni sprc1:;embi nezav isne spremenljivke x. ali zgor-
nje mej'; odgovarja ·na podlagi enaebe 15) pal jubna ronjhna sprememba
funkcije integrala . Ce enacbo 15) delil!lo 9 h , 'lidimo , de je diferen-
eni kolienik integral. integrand v nek~ vmesni t aeki na intcrvalu
h . . I
Ce s h limitirumo k 0 , gre f k x in imamo :
l i m p( x+h} - F(xl. - r(x} . h -
h ~ ,
Integral je tudi odvedlj iva funkcija po zgornji meji . Odvod
integral. po zgornji meji je inte grand. Integr.eija je tarej abraten
post apek k odvejanju . Vzemima funkcija f (x) , ki j O integrirajmo . 00-
" bljena funkcija F ( x } ~ ~
f(t)dt je taka , da d~ njen odvod prvotno
podintegralno funkcijo.
(F(x)) ' , ~ f(x) . ali dF( x ) ~ f( x ) v diferencialni
obliki dx ' I
dF(x) = f(X) dx . Integr.' ~ funkcije f(X) je taka funkcija , de da
, njcn odv od dana funkcijO f(x) .
Vzemimo
, da je integrapd vsata ali r e.zlika funkcij ter imamo:
J (f(x) : g( x»dx. Ta·pisemo kot limito vso te , dobimo ,
a b
li';' l: (f(f k) a
b b
b
: lim E g( f) fj x k ' t or ej : J (f( X) ! g(x» dx =f f(x)dX : a a
n b ,
: J g(x)dx. 0
I I i\ 'I Ii
I" " r I , \.
il
II , I 1
\ 1 , I I
- 222 -
Integral vsote ali razlike funkcij je enak ysot~ nli 1'az-b
liki integraloY teh funkcij . Enako vidirno : f c . f(x) dx a
lim ~ c . f( f k) !J xk • 1z dcsne vsote c izpostavimo , dobimo : o
b b b r cf(x)dx c . lir.1; f( f k) ,6·Xk =' c l f ( x)dx. 1ntegrl'~1 produkta
a stulnice s f unkcijo je enak produktu stalnice z integral om funkcije .
Vzemimo zvezno funkcijo f(x) , ki je v i ntervnlu n {. x {.. b b
pozitivna . Ugotoviti morerno , da je integral f f ( x ) dx > o . Ce a
vzamemo navedeni integr al kot limit o vsote , ima ta Ie pozitivne su-
munde in i mn zato pozltivno vrednost . Vrednost 0 imn Ie v slucnju,
ce je Yzdo l z celege intervala funkcija O. Ce iM3 funkcija vzdolZ b
.celega inter vala a {. x ~ b negativno vrednos t je integral f' f( x)dr a
nogativen . Od tod s l edi , ce je na intervalu a .{. x ,( b funk c i jn f(x) < b b
g(x) velja : f f(x) dx < { g(x) dx . Po prejsnjem je nnmrec :
a a b b b
f(x) - g(x) ( o in zato : f (f- g) dx <- 0 , J' f(x )dx < r g(x)dx .
Ce je torej
0 0 a
n a nekem interv nlu : f,(x) ( f 2(X) < f J (x) velja :
~ f2
( x) dx < ( fJ( X) dx, Vzemimo no intervalu
zvezni funkciji f(x) in g( x } , kjer pa iDa g(x) vedno po -
zitivno vrednost . f(x) im~ natancno spodnjo mejo m in nuta~cno
zgornjo mejo fL Fa."1kcijskn vrednost zmnozk3. funkcij ( (x) • g(x) je
torej po :vrednosti med mg(x) in Mg(x) , torej mg(x) ~ f(x)g(x} ,< . b
r.1g(x) . Zato je tud i int egrnl: , b
m r C;(x) dx in M l' g( x )dx , a a
r f( x ) g( x ) dx po vrednosti [Jf}r1.
a
- 223 -b b \f(x)g(X)dX ~ M\ g(x)dx .
b Ker je \f(x)g( X)dX
:> spodnje in nntnncne
,bg(X)dX , je enCl.k zonoz7
0. n 0. po velilwst i :."ied zrmozko,- ~ nat:mcne
zg'Jrnje ;-~e je funkcije z integrnloo
ku n eke srednje funkcijske vrednost i fU· ) s ten integrnloT,l b b
torej : , f(x)g(x) dx::: f(;») g( X)dXf To je 1 . integralski sto.-e:. ) (\
vek 0 povprecni vreCn.ost ig
XXI . NEDOLOCElI INTEGRAL
Doloceni integral ,xf(t)dt je taka f unkcije:. zgornje oe-
" je~ de:. dd odv~jnno.
()xf(t)dt) ' ~ f(K) .
po zgornji oeji integr~u . Veljn:
Doloceni integro.l je tore j eden iZTJed
" rezultntov obrntnegn pos topkn k odvnje:.nju , prirejn donenu
odvodu f(x) p r votno funkcijo .
Poise ina danenu odvodu f(x) prvotno f~~kc ~jo. Bodi tn
F( x ) ter je (F(x» ' ~f(x) , Velja ~n tudi (F(~)+.) '~f( x ) . f (x )
K dnnenu odvodu l co rerJo prirediti poljubno on aga prvot-
nih funkcij , ki jih dobiriO , ce polj.ubni resltvi F(x) pri-
~tc jeoo poljubno stnlnico c , Reziiltat obr:ltne operncij~ k
odvnjanju i nenuje no ne doloce ni in tegro.l , piseJ:lo, prvotna.
funl{Cija k doner:u odvodu f(x) je F(x)= )f(x) dx +c .
S por-oeja nedolocenego. integrala neke funkcije f( x) do-- x
b i na dolaeeni : Doloecni integr~l , f(t)dt i n ncdoloceni [\
inte grnl F( x ) k funl{ciji r(x) i natn i sti advod in se zc.to
nedsebojno.le za. konsto.nto razlikujetn . Velja:
No.vedeno.
tudi zo.
Velje. :
\xf(t)dt ~ F(x) +0 a
ennebo. veljn Zil vso.k x nn integro.cijsken inte r vo.lu
x~a in je Z[\to : \~f(t)dt ~F(a) +0 al i o~ -F( a) .
x )f(t)dt ~F(x) - F(n) n
je nQIJI' CC 0 , ker je dolzino. inter -
- 224 -
valn o . Vrednosc dolcl!enega integrale. !!led. dvema nejc.or. dobir=;o , ce
od integralske vrednosti v tack! zgornje oeje od6tejemo vrednost
lntcgrala v tacki spodnje ~ejc .
Dgl<:-jsoo ai int eg!'ul : [ (f(X) ± g(x» . dx .
Bod! : / f(X )d.X:S F(xL f g{X)dX ::o G(::c). uta je rex) '" p ' (x) ,
g(x) " C' (x) , f(x) ~ g(x) F ' (x) ± G' {x) • (F (x ) ~ G(x» ' ali v
obliki integra.ls : j Cf( X) ~ g(x» . dx '" p( x ) :!: G(x) 1E j'f(X)dX !
• : j g(x)dx . Imamo :
1) [ ( f(x) ~ g(x))dx , j f( X)dX ~ I g(~)dx . N('d v(o/e7l ;
, Integral vsote ali razlike funkcij je enak vsoti ali r az liki lnte-
gral ov teh funkclj .
Poglej~o integral : ~Cf(~)dX ' Bodi ~f(X)dX 3 F(x) ali
f(X) p i (x) . cf(x) '" cF ' (x) (cP(x» ' ali v integrnlski oblikl :
2) / Cf(X)dX ,ve rlo ro c'&l1t'
cp(x) ::0 C ~ f(x)dx ./Integral z~nozkn stal-
nice s funkcijo je e!!nk zonoxku stalnice z integralom fWlkcijc . Iz
tabl1 ce Qdvodov ~oremo skl~pat1 no. pravila za integriranjc raznih n+1
fWl!ceij . Odvodu xn odgavarja funkc i ja i ntegral Xn
+1
, saj je
n+1 J) ( _x ___ ) , ~ xn nli
n+1 n x
( n+1
x dx '" ---- + c . n+1 Taka moreco vse
obrazee za odvode pisnt1 v integralskih ob li kah , s teu do. povemo ,
do. je integral dobljenega odvoda funk c ija , ki seo jo odvajali .
(sin x) I ,. cos x , I' cos x dx sin x + c
( - cos x) ' sin x, ( sin x dx -CDS X + c,
(tg x) ' 1 ! dx tg x + c --2-cos
2x
. cos x
I.
I
- 225 -
( - cot x) , 1 --2-sin x
(arcsinx) , __ 1_
Vl - x2
( - arcc osx ) , __ 1_
~
(aretgx) I .. --\'
l+x
( - nrceat x ) I
(chx) I . shx ,
(shx) ' chx ,
1 --2 1 ..
1 - 2-x +a
shxdx
chxdx
/ dx --2- ' - cot x + c sin x
f dx
V1-x2 . '1rcs1nx + c
( dx
V1 - x 2 - arceosx +
f dx --2 " 1.+x
aretgx -;- c ,
f dx --2 " 1+x
- arCCD tx + e ,
I dx , r;o-- 2-- '" In(x+ VX +a)+c , x +a
f x - x . -. dx chx + c , " --2-
J x - x • +. dx s~x + c , " --2-
(thx) ' _1_ I dx t hx chx - 2- • + c , ch x
(cthx) ' ...:1.... [ 4-" - cthx + c , Sh
2x sn x
c ,
1 f dx In(x+ \Phc ~arsi'lx) ,
Vl+x2 '" arshx + c
Vl+x2
(o.rchx) .
(artgx ) ,
__ 1_
W; 1 --2
1- x
archx + c In(x+ VX.2- 1)+C , f dx
VX 2- 1
f dx 1 x+l l _x2 E archx + c ,. "2 In x- I + e,
- 226 -
(or'. thy \:
r o"'d,< x
0 + 0 , x
f x " t!: dx .!!- + c , lna
(In::) ' , A f 9-:5-. lnx c , x "
f 3 2 ' J{2' ....
l'rj:'1e!. Rnsi inte:;:~f" .. · (4( - Jx +.j . Vx +l)dx . Ker
j c jn';c::;_~chd 'lfota funkci~, .p pisemo kat 'isoto i.nt eg.!':l.l ov p090.-
~.l c z n':'!', '!'l""JCi.Q) \ : ki j~.h rE;s:~lo po 1. obra'Zocu J}, dobimo :
4) I' 1 ,
"
x'ox - ) . I ,
+ '
2, 5 f' X C-;! ,. 3" •
1 T 'j
+ '( + c
K 3 +
3 / 5 Vx + x + c .
Ces t o ::IcreClO integ_':·l pocnostaviti ~ v :: tavitvij o nove s pre -
... (J. " : e r uve emo no';o -sprcr:'!cn_ J l.V. 0 , nc:-!.lJ' ivke . cY e ~m"mo r f( ~)dx t d ," k t
:,"_ je s prv0tno i zraz:jiv.J." obliki 4) x '" fl ( t), dobimo z dJ. f e -
rel1Ci r~:lj ::l!Il , Jo:ako se dif ,) ·~nc i(l.l dx izraz. t'. s POCl')~jo diferencinla
Izraza i7 -l) ;l.'l ' :, \- l: e .:-etlo v iLt e g:':"31 in dob i no :
ZmHozck pod znnko::l int e0:" " ;~ f (f l{ t» fi(t} ... f)(t) je novi, mordn
:mos~aYnej~i iflteg l'6.t1 'l ~ .~ :) , .:.ntegrnl je f r./'; }dt.
r F"" " ; .J ' - "'-" \ / P.x . ),'- (
• od'io.jarjern dcb~.!lo :
./ • bx + c
/ 3t2dt J t
= 3 , / tdt •
- 227 -
2 2
grncijO poenostavillo s t nkozvnno integracijo po delih (per partes) .
Ver.10 , da je odvod produkta funkcij : (uv) ' '" u 'v + uv '. En::::.cbo in-
tegr iro.no in dobimo uv '" ( u'vdx +
6) / u ' vdx '" uv - )" uv" dx
/ uv ' d:< . Odtod sledi:
a l i j vdu ::. uv .. ! UdV.
InteGrand leve s trani, ki more biti kompliciro..'1 , r o. zsto.Vil':lO v
produkt funkcije v in dif erencnla u ' dx, ki gn znomo lnteGriratl .
Rezulta.t lntegracije je po obrazcu 6) YSota izintogriro.-
ncga deln uv, ter inte gral ~Uv ' dX ' kjer je morda ~OVi inte-
grand uv ' enos t avnejsi .
Pri~er : 1) ~ (Ax+B)eXdx . Ce s~atraoo eXdx zu diferencial
, x x zn<lnc funkcij,e e , ki IllU je integral e , dobi mo po obrnzcu 6) :
! (AX+B)eXdX (AX+B)ex _ j Af/dX'" (AX+B)ox - Aex
+ c '"
'" (Ax+B-A)ex + C. ' 2) I (Ax+B)lnxdx = , (Ax+B)d x s~D.trUClO kot
" . Ax2 d~rerenc~al znane f unkciJc - 2- + BX , dobimo po obro.zcu 6) : , 2
I Ax f ",,2 _dx Ax
2 (Ax+B)lnxdx '" ( - 2- + Bx) lnx - (2 + BX) x (7 + Bx)lnx -
fo.X2 - 4 - 'Bx + c.
- 228 -
nIl . INTEGRAL! RACIONAL:HH FUNKC!J ,
DITEGRJ..LI ALGEBRAJSKIH FUNKCIJ , INTEGRAL! TR;.USCENDENTUIH FUNKCIJ .
Ce je poljuben polinoa n- te stopnje P (x) od .g lJIJOltiDlj'.uC"'l. n + .,' n- 2 .... 2:;( + ••• + 0n_lx+an ' irna/ enacba n- te stopnjo obliko :
Uvideti I:J.oremo : Vs-".k:l algebrajsk£l enncba 1) i ma vsnj 1
koren , bodisi realen a li kO ~lpleksen . Moreco t orej dcbiti vsa.j en
to.k x l' do. b o
o .
. Levt'
+
Vsi surn:mdi desne stran! so deljivi 5 korenskim faktorjern
x - Xl ' ki go. I:J.ore~o izpostnviti in dobimo : Pn(x) ~ (x-x1)Pn_1(x) .
l{cr je f aktar pri x - xl polinom n - 1 stopnje , sled! : Ce je x .. xl
rcsitev poljubne algebrajske enacbe 1 ) Po( x) c 0 , je leva strnn
enocbe z x ~ xl deljiva .
Enncbe dobi sedaj obliko (x - x1)Pn_1(x) 0 , redi cesar
!:lorn hi ti .
I - 229 -
Fr~·.v tnko sklepur.lo dalje . Ce Je x = x2 ro3itev en::!.che . 4), je
POlihO!:l Ph_lex) Z X-X 2 deljiv , Pn_ l~X) "" (X - x2 )Pn
_2
( x ) , z~to je
Pn(x) = (x-x1 )(x-x 2 ) Pn _2(X) ' Ce tako nadeljujemo , pridewo po
n- 1 korakih do polinoffia 1 , st~pnje , po n kor~kih do st~lnice ,
dabina :
'Enacbn Pn(X ) ~ 0 i mo tolika resitev , kaliks je stopnja anQcbe .
llcknteri koren! morejo nastopati tudi ve ckl'at , Ce n.:lstopa xl
OG kr.:-.t I x2 r.> kra t .... xn t krnt , imo. pOlinotl Pn(x) o~llko : (J. 0<. I'> I' £
Pn(x) : I ( x-x l ) ,, (x- x 2 ' , (x- x) , (x- xp ) kjer je
d..+0+~'+",+t :n ,
Vzernimo polinom P (x) n ,te l' Pm{ x ) , kje:r jc stapnjn 1. po l i - '
nona n vecja od stopnje dl'ugegs polinome. m, n / m. Pry! polinot:l
marauo z drugim delHi , dobieo polinoo kolicnik , ki jo n- m - te
stopnjo in do l ocl::ni os tU!1ek , ki je nizje stopnje od n • Dobioo :
ali
Pn(x) Doremo delit i z "lex) , dobirno kolicnik Q2( x ) in ostnnek
R2(x), ki je nizje stopnje od R1( x ) , R1(X) delimo z R2 (x) , dabimo
kalicnik Q)(X) in ostanek R) , itd . Kon cno pridemo do ostonkn Rp_1 "
ki jo a ,sledeclm a~tnnkom deljiv , dobimo :
5) Pn(x) Q1( x) p (x) + m H1 (x) ,
.,Pr:l(x) • Q2(x) R1 (x) + H2 (x) ,
~1 ( x ) Q)(x) R2 (x) + R)(X) .
Rp
_2
(X)
Rp
_l
( x )
- 2)0 -
Qp(X) Rp_1 (x) + Rp(X) ,
QP+l ( x ) Rp(x) .
Polinom M{x:), s kate rim je deljiv ostanck Rp je ner Rp_1 '
Rp
_2
' ••• R3
, R2
, Rl ter r~li 2 . enacbe 5) tudi Pm ' radi 1 . pc
Pn
, M(x) je to r ej skupne. nera po linomov Pn(X) ter P (x) . No.jvecjn " tuka. skupna. !:lera je sam ost ;:mek Rp ' Dobimo jo Z T-<lv edeno verizno
delitvijo . Ova pOlinomo. sta sti tuja I ce i mat a st al:1 i cO za slmpno
nero . Palinao P(x) i mej n-kt~ten kor enski fak to r lx-xl) ' E1so.ti ga
oorena : P( x } = (x _ x1)np1(x) . Ce polinom pex) odvo.jnmO , dobiroo :
p l ex) = n( x-xl) P1
(x) + ( x - Xl) Pi (x) , Guvod vsebuje se koren-n-1 n
ski faktor (x _ x1
)n- l , po1inom in nje gov odvod in~to skupno mer~
(x _ x1
)n- 1 . Ve ckr~tni kor eni enncbe p(x) ~ a re s ijo to rej abe
en.:l.cbi p(x) ~. 0 ter p ' ( x) ~ o . Veckrat ni karen nnstopa v polinomu
za I veckratno kakor v skupni me ri polinoma in njegovega odvoda .
Racionalna f unkcij a 'more biU cela ali 1or.11jcna . Ce je:
integrand cela r ac ionalnn funkcij8 , razpade integral v vsoto in-
togralov , kjer so int egrandi potence :
+ • • , + n+1
f n - l I n- 2 , r / xdx + dx
x
+ a 1 x dx+a 2 x dx+ ... + e an I
0 -+ n-l a n+1
n n- l 2
+ x x x 'i.--:n+ ' 2 ---n:l + ... + a n- l 2+ anx+c .
LW Ce i roama lomljeno r acionalno funkeijo f (x) , kjer je stevec
vis j e stopnje ad imenavalea , stevec delima z imenavalceo, dobimo :
- 231 -
LW f(x) • Q(x) + , kjer je f1 (x) kvec j€t1U n- l stopnje ,
ce je f(x} n- te stopnje . N~s probleo se re ?uc ira M!. resitcv inte-
kje r je steve c ysaj za 1 ni£ j e stopnje ad
i oenovalca . I nt eg,rand ul one""
misliti kat r ezultat sestevanjo. ulomkov :
__ _ A;,.l_ 7)
(x-x, )CX-
A2 + -(-X--x--',5''-~--~l - 1 +
B, B2 + +
(X-X2)(', + (\ _1
(x- x 2) .
C, C2 + +
(x-x )if {-l
(x- x ) p p
B)
(x-x2)
., .. ,
s i mo retlla
+ + ~ ... ,. - 2 (x- x 2)
+ 3-"-. , x-x p
t
Ce gea tevanj e novedenih n pa~cinlnih ulo mkOV izvraimO,
dob ino tocno 1 st1 I menovalee , .teve e pa je po linoe
,,- 1 stopn je ,
ltuterega koefici ent 1 ao l inearna sestave stevcev AI ' A2 •.• , •••
.. ,
d. bo dob l jeni Stev , o id, nticno , n ak polinomu f,(X) , IzeneCimo
',oohoi ent e prl 1st1h potenodh v obeh poUnomih . Dobioo sistom n
lin.er nih enocb
z n nezna nkoo1 , k1 j' enolicno resljiv
: Lonljeno
( ) • f( ) en01i6no razs tavi ti v Vso-
Stevee pareialnih ulomkov t ako ugotovimo ,
racional no funkc i ja f1 X + x marema
to n parcialnih u1omkov po obrazCu 1) .
Pri mer : Razstavi v vsota pnrcialnih ulo~ov :
JX2 - 8x + 6 ( 22 x-1) (x- 2)
+ __ c __ + D
( x_2 )2 i(.:2'
Resimo oklepaje:
- 232 -
3x 2 - ax -+ 6 > (X··1)2 (x_ 2)2
• __ A_ ,. + (x - 1)'
L+ x-1
3x2 - ax + 6 = Ax2 - .fAx + 4A + DX) - 5Bx2 + 8Bx _ 4B + Cx2 _
- 2Cx + lJ + OXJ - 4.DY.2 + 5Dx - 2D;
. dcsno stran uredioo po padajocih potencah sprenenl jiv ke x , dobi~o :
JX2 - ax + 6 = xJ(B+D) + x 2 (A - 5B + C - 4D) + x(-4A + BB _
- 2C + 5n) + 4A - 4:8 +. C - 20.
Kor sta s1 polinooe i dent i cno enaka , so s1 enaki koeficienti pri
istih patencah, dohi~o:
D + D '" a
"A - 5B + C - 40 3
-4A + 8B - 2C + ?D - a
4/\ - 4B + C - 2D = 6
B - D iz prve enacbe vstavimo v os tale J , dabima sisten :
-4A 2C - 3D - 8
4A + C + 2D '" 6
Tn sisteo r f'sieo , dobioo : A", I, B=o , Cc 2 , 1)::0. UloI!lck j e :
Jx2 - ax + 6 (x_1)2(x_ 2)2
1 2 ---+ ---(x_1)2 ( x_2 )2
Ce taka razstavljeni i nte -
I
I I I
I I
- 23) -
grand 7) integri r ana , dobieo :
r f1 (x) 8) f(x) dx
( x- x )1' p
C2 + -_-"-:-, ( x- x ) J- l
P
I A B + • ••• ) dx + (x:;x- + ~ + . .. • + .uJ. 1 2
1. . ~£t. d..eA.-y'; ~ef!u.I" ~. JO'm/~ ..t;...·~~o
+ ••• +
~i,) MfJ1'l'l1../D # I ., 1 . Int egral des n e st rani izvrsen i C!<l v ioenovalcih naj -
c(.-1 B-1 , y - 1 visje potence ( x- xl) I ( x-x2 ) •• .. (x-XpJ<l' • Skupni io.e -, 0::-1 (1-1 {-1
novalec izintegriranega dele. je : ( x- xl) . (x-x2 ) . .. . . • (X-Xp ' I
vrcdnost i nt egrals je :
. f f 1 ( x ) 9) f ( x ) dx
Ste'r ec p(x). je po~.inon za 1 niZje st.)pn je ad ir.lcnovalcil ,
praY tako pa je tudi Qp_l(x) polinol:! za ena niZje stopnje ad adga-f (x)
v .... rj.:::.jocega i !:!enovalca . R:\cun 5i mnogokritjoenc5tavit:lo , CO i(x)
no r~zstavljaI:io v pa rcia.lnJ ulo~ke , te~vec p05tavimo abrazcc 9) ,
cnacbo 9) odvajamo te r dolacimo koeficiente polinomov P(x) tor Q( X) ,
ka smo odpravili ulomke , s prirnerj avo s polinomoc f1( X) . Priner :
Izrac~~aj integral:
- 1
OdvajD.I:10 ,dobir.::Jo :
Jx~ - 2l + llx 1
dx --::-A<>;X",+f::!'B", .. t. Cx + D (x- 2)(x-1) +j (x - 2)(X- l) dx .
AA,,( x!>.2...:_:.,)!.!x,!+,,2~),...::--'!( A>;Xp+"B,,)-->.( "2x,,-,,,3"')41 ex + D - 2 2 (x- 2)(x-l ) '
( x-2) (~ - l)
- 2)4 -
) 2 )x - 12x + 11x _ 1_= Ax2 _ 2 Jl..x + 2A - 2Ax - 2Bx + 3Ax + JB +
+ ex ) + 2ex + nx2 - JDx + 20
JxJ _ 12x2 J 2 + 11x - 1 '" ex + x (A - 2A - )C + D) +x( - JA - 2B +
+Je + D) + x ( - JA - 2B + JA + 2C - 3D) + 2A + )B - 20.
Pri~erjava koeflcientov do sistem:
C • )
- A - JC + D '" - 12
- 28 + 2C - 3D '" 11
2A + JB + 2D ", - 1.
CP. resiDo zgornji sistem, dobioo :
A:2 , B", - l , C=J , 0= - 1 , Int egr a l je :
.,-=2~x~-='_~ + I Jx - 1 (x- 2)(x- 1) (x - 2)(x - 1) dx •
2:;( - 1 I d I ( x - 2)(x- l) + 5 X~2 - ~~~ 2x - 1
(X- 2)(X- 1)'
+ 51n(x-2) - 21n . (x_l )+c .
V n:J.jenostavnejser:: sluc£!.ju ina int egral obliko :
I [, (X)dx (x- x1 ) ( x x
2) ••• (x- x ) kjer je fl ex} polinom Zfl 1 nizje
n stopnjc ad ioenovalca . tor j ,
~ : n- stopnje . Razs tnvljanj c v vsoto p::!rcialnih ulooko\' da :
A • . • + _ _ n_ x-x n
I I
I I ,
/,
I I I
- 235 -
Ce se resieD ulookov dobieo :
'0) £,(x) = A,(X- x2)( x- x)) • .. (X- Xn )+A2(X-. , )(x- x)) . ..
• •• (X- x n ) + • •• + 1'n (X-X1 )(X - X2 ) .. • ( X-Xn
_1
) ·
Ce vstevioo v enacbc x ~ xl ' dobiroo :
Ce vst avi~o v 10) x ~ x2 , dob1rno :
... .. . • Taka dobimc integral ;
J ) x-1 I A (x-2)(x-l ) dx ~ x- 2 dx + IX~l dx , kj er je A
3x-1 2x- J
v tocki % : 2 , ka r da A a 5 , B ~ 3x- l V tocki X E I , knr du B = - 2 . 2x- 3
Vrednost integr a.ls je po pre j snjec : 51n(.:<- 2)-21n(x- 1)+c .
I ntegrnnc.1 more: biti r ac iona1na zveza , '/ kat eri DQ,stopn kva-
dr atn i koren kvad r ntne funk cl je' x2 + ~x + c , core 1eet! obliko
P(x , Vax2+bx+c), kj er je P poljub,nll 1oo1j£ma r!lcione.1no. f unkcijn ,
\ ,1 ~ . Vex +bc+c nore n~stopati v poljubni stopnji . Ce potencir~nj e ko-
r onov izvrsill'lo 1n po1inooa v stevcu in illlenovelcu uredioo I dobi
integrand ob1iko :
P(x) + O( x) \/ax2 + bx + c
PI (x)+ Q1 (x) V ax2+ bx + c
Iceno'lo.l cc raoionaliziramo ter ulomek razSirimo z raz11ko
PI (x) .. Q1 (x.) yax2 + bx + c o .. Ko nnozenja in deljenja iz.vrsimo ,
- 236 -
+ x ,
01 racionalni funkcij1. Integr:3.l bo : ! P2(x) dx + !Q Vax2+bX+C
Prvi sunand resino z razstavlj~njem integrandn v parcialne ulomke .
V integrandu 2 . integrale. re.cionaliziraDo stevec , tako , da go.
rlnoZino in delimo s 'Vax2 +bx+c . Integral bo :
f P3(x)
Vax2-:bX+C
dx , kjer more biti PJ(X) ce l a ali lonlj ena
rncionalno. f unkcija . Ce je P3(x) looljena racionalna
dx .
in je stcvec visje stopnje od inenovalce , delieo stevec z ioenoval-. P4(X) . P5 (x) .
cem , doblno Q4(X) ~ C(x) + Q4(x) . Drugl su~nd desne strani raz-
stovimo v parcialne ulomke , docirno :
C(x) + Al
---n + (x- a)
__ A=:2,..-,; + (x_a)n- 2
Ineli booo torej oprnvka z integrali
! Al dx
Ox , (-X-_-.-)n~~\I'=ax~2~+==bX==+==C C(x)
+ bx + c
.. 'I\I'-;'a~x: ::::,d==X = + bx + c
kjer je C(x) cela racionalna funkcija . Integrale oblike
+
I '" dx
(x_a)n \ / ax2 + bx + c
pretvorino no. int egrale , ki imajo
v imenovalcu Ie \!ax2 + bx + c z vstnvitvijo nove spremenljivke
,
- 237 -
t -...!...... • ReSiti je torej tr"ba Ie integral oblike j __ r?CX)dX x- a Vax2+bX+C
kjer jc p(x) cola racionalna funkcija . Integral 001ike
, kjer je Pn(x) poljuben polinoe n- te stopnjc
resipo : Ugotoviti careno , dll je uozno v enacbi :
Pn
_1(x)
• 2 ~ +bx+c
stalnico Al tako izbrati , da je polinoo Pn_1 (x) v stevcu no. desni
etrnni n- 1. stopnje . Ce nnorec v 11) izvrSi:'lQ odvajenje in se rcsir:lO
ulonkov , dobieo :
n- l( ,AI x 2nx+b)
~ 2P ~x) . Polinae 1eve streni uredimo po padajocih pctencah x, n- l ' n n- 1 ) . 2P (.) dobiDO : x (2ao· 2(n- 1) Ala- 2A1~} + x ( ••• + • .. = n-1 x .
'0 l~ocficicnt pri xn je 2a 1 - 2nA a . Ce vza mepo v cnacbi E) AI'" no.
, 0' 1
bo polinou 2P (x) n- 1 stopnje . Nt:\. slicen naCin moreno stnlnica n- l
, ~.-,.
- 238 -
A2 take izbrati , de. bo v
Vax2 + bx + ,0
Pn_2(X) po1~nom n- 2 at epnje . To tako nadaljuJemo , do k1 er ne dobieo
nn dean i str~ni v s t evcu sta1nice . To bo po n kora kih , dooi e o zapo-
rcdje enacb :
'" (AI1xn- 1 Va x2 + bx + c) ' + Pn ... 1{x )
Vax2 + bx + 0
Pn_1(x)
Vax2 +, bx + C
n 3 V 2 Pn_3( X) .. (AJX - ax + bx + 0) I + .-;=-:j:~-=== Yax 2 + bx + 0
P2(x ) • (A x Va x2
P1(x) + bx + 0 )' +
Vnx2 + bx
n- 1 Vax2 + c + bx + c
F1 (x ) • (An V ax
2 +' bx + c) I , + k
Vax2 + b x + c V ax2 + bx + c
Ce 1eve in d t i _. es ne s ran enacb 1) ses t ejemo , se vs! kolicnik1 ob1 i ke p, (x)
V ';'2 + bx + c
no. obeh straneh dobljene enacbe unicijo razen
14)
- 239 -
ter ._;=:;::::k=== Vax2
. + bx + c
p (x) n = (,Qn- 1 (x) Vax2 + bx + c I
k + Vax2
+ bx + c
in dobir.:o enacbo
yax2+ bx + c) ' +
Enacbo 14) i n t egr1rano , dobioo obr azec :
15) n 1; P (x) dx
Vnx2 + bx + c Qn- l (x ) Vax2 + bx + c +
+ c
V obrazcu 15) je ~- l ( x ) polinorn n- 1 stopnje . Integral oblilto
iscemo v abliki i zr aza desne str~11
enncbc 15) . Dobi~o ga , ce ~aefic icnte poline~a Qn_l (x) ter stnlnica
k talw delacioe , dn bo enaebn 15) identicno i zpolnjcna . Enacbo 15)
odvajnoo , se resino v.1ookoY te r 5 prioerjavo kooficientoY pri istih
potencnh polinollov leve in desne s tran i ugotovi~o n koeficientov po-
linooQ Qn_l( x) ter stnlnice k . Zato dobimo ravna n+1 enncb z n+1
nczno.nkani .
Resi integrel.: dx . i oziroo nc obra-
zec 15) piseno :
+ 2x2 + )x + 2 dx
~
- 2~O - .
16) odvnj3J:lo in se resino Ul Oi.lkov , dobioo :
JxJ + 2x2 + )x + 2
w:-;. (AX
2 + Bx + c)x + (2 iI.x + B) Vx2 + 1 +
+ _---'D"-_
\(T:7. Jx ) + 2x 2 + ) x + 2 '" (2 Ax + B ) ( x 2 + 1) + (Ax2 + Bx + C) x + D.
PolioOD desne s trani ured i no po padajocih potencah spr enenlj ivke
x t e r dob i mo : Jx) + 2 :;< 2 + J x + 2 '" ) AX) + 2 Bx 2 + x ( 2A + C)+B+ D.
Priocrjnva koe fi cientov pr i 1s t ih potencah poilnomov obeh strani da
sisten : JA,. J , 2B", 2 , 2A + C os ) , B + D:; 2 . Resiao gll in dobimo :
A ~ 1 , B = I , C '" I, ~ '" 1 . Integral 16) je :
)' )xJ + 2:;( 2 + J x + 2 dx
\~ ( x
2 + x + 1 ) ~ + - V x- + 1
+ ~ dx z::(:x? +x+ l) Vx2 + . 1+ 1n( x +~) + c . ~
I ntegral obl1ke : I p( ~r;?, ?r-r V x •
c _ _
V XS •.. ) dx moreno Inhko
prevosti na int egral raciQnalne funkcije . Bodi III najl':!anjsi skupni
anogoltrntnik korensk i h eksponen t oY· ll, b , c Uvedemo nov o spre-
nenl jivko t nn pod1agi enacbe x E t m, dx 0- 1 \) 1·,o<l ~H !1. rrl(lt" "h tJ·" ·tVv,,,
ot dt . C~ vGtnvino ! za .
x, se vsi korcnski eksponent i oakr ajsajo , 'dobioo :
funkcija. Priner : Resi i n tegr al
• Vst{lvi!!lO X t4 . dx 4t 3dt, integr~l dobi obl iko :
- 241 -
J zllX. ~ 4 ( . J ~
dt . St evec i nt egr anda dc snc st l'ani
do l ieo z ioenovalcsc , dobi~o: j
f Vx't:. \ 4t .....ffH't V x + 1
4t 5 _ t 4 + - 5-
4,3 - 3-
0 - x - t . i 5
.3 + t 2 _ t + 1 _ 1 ) dt • t;l'
_ 2 .. 2 + 4' - 41n (t+l ) + c
4 -. « -41n 4
\ /<3 - 2 Yx + 4 (n +l ) + c .
1ntesral ob Uk e J -;=' ::;::= 0" res i oo , da kvadratno f unkci jo pod
Vax. 2 + bx + c kOl' cnoo pri[1ernO preobl i kn~er:lo . 1z kvo.drnt ne go. tr i nol':w. pod \coronom
1z post~vico a , nato p~ linearni in kvadratni clen v okl cpaju dop01-
nioo do popolnega kvadratn s pr is t evanj en kvndrata polovicc 11nc-
a r nCOl koefi cientn v o:<lepaju.
Dobi DO :
Pr vi t r i jc cle ni v ok l cp:t j u $0 (x + ~:l)2 i n inar!o :
( lL)2 D : a x + 2a - 4a
D jc diskrimi nen t a b2 - 4nc . Integral j e 17}
I Va(x ~c jc kvad r ntn i koeficient p~zit iven , ga izpos t av i oo i n piscr-o
prcd integr a l ski znnk ,
D
4a2
. In «x+ 2a ) + ( x + 40) -b V b 2
£ ) a .
- 242 -
Ce je kvadratni koeficie nt ~ negativen, izpostavirno iz r ..l.dlkanda
- a in dobieo :
18) _1_ V::;;
Vsta.viaQ b Vo x+'2a"'2;-,t , dx. Yo dt . t b 2e I 1n egral o ·
__ 1 _
'Fa _ 1_
VD 2-.;-
1
v:a arcsint + c '" _ 1_ arcsin -.r-;.
V2c.x + b e Cesto norerno datl integralu iracionalne funkcijl + c .
VD oblii:o fxm (0 + bxn)Pdx , kjer so 0, n, p racionalna stevila (cela
oli lOr.llj ena) • Prevesti go. ooreoo no. elecentarne integrale v treh
SlUClljih :
1 . ) C~ je p cela stevilo. Potem je integr~nd r a cionalna
funkcija korenov sprenenljivke x . Ce ste 10 ter
viI 0 t er n, ystaviao novo sprei-enljivko Z: x :
i inenovnlca ste-n m;,(i , i) k. zen I -Jer
je on (10 , i n) najeanjsi skupni cnogorratnik i nenovalcev i tar i !.l n
2 . ) Ce stu stevili m in n takl, do. je In + 1 cela stevilo, n
n i . vs tavl::1O a + bx '" z p . KJ er je ip loenovalec stevila p .
) . ) Ce so stevila m, n , p taka , da je ~ + p celo stevilo , n
Yst c.vioo ax- n + b .. zip, kjer je i ir.J.enova!ec p
n 2
2 1 dx j J-2
::0 x ( l + x )
If;2 J' P
1 - .,
stevila p.
• dx , n I,
) , zato V!:lt :>.v ino :
I
I ! '. k
- 2~) -
2/3 2 2/)x- l /) dx )
1 + )z , dz \IX x = z , 2z.dz , dx . '
x = \](z2 - 1») , i1:1:)'oo :
) 1 ) - 1) . z . ) Vi" . z • dz
. ) J' (z2 _ 1)2 dz = ) / (z4 _ 2z2 + 1) dz • ) (~5 _
~e j c z = Vr 1-.-W-X-2
2/) 2 x = z -I,
• dz =
z) •
Integrale trnnscendentnih " funkcij oblike / R( eX)dx, ,kjer
je R ro.cionalna funkcija , resino z vstavitvijo" nove sprenenljivke
eX z t , cXdx = dt, dx = ~t , integral je ~R(t) • :t , inteGrand
jc torej zopet raciona1na funkcija nove sprecenljivke t. Integral
I R(ln~)dx, k~cr ja R racionalnn funkcijc: , res1co , co vstc.vioo
lox = t, x ~ e t , dx : etdt, int egral je .I~(t) etdt . Co jc R(t)
cciD. rc.cionnlnn fi.,mk ci ja; ClOrCtlO r esit i nnvedeni integral z in-
teGrc.cijo per partes:
~R(t)etdt = R{t) e t - j'R'(t)etdt . Drugi integral deane
strani je integral iste vrste kot prvotni, "Ie d:l je R' (t) za I
nizje stopnje kakor R(t). Pbstopek z integracijo per partes nadn-
Ijuj eoo , dokler ne prideno n3. desni _d_O integraln k / etdt , b .. ga
resino. Ce je R(t) , loolj ena r acionalnn funkcij a , delimo stevec z
ioenovaloeo , dobiruo
Prvi integral desne
strani resino po prejsnj em z integracijo per partes , pri drugeo in-
tcgrand razstnvico v pnrcialne ulomke , ki dajo integrnle oblike
A J' (t :. dt . To integrirano z integracijo per partes
sontra.joc (t -
t
d t·
t )0(, 1
- 244 - '
'loa du debioo :
e t ,\ / c A dt =
t )"'-1 (t - t )'" 1 - d + 1 (t '- 1
. f(t etdt
"" - 1 - t 1 )
A
- a: + 1
Integral desne strani obravnav~~o ~~ nn i st i nacin , dokler ne prideoo , _ t «Dncno do integrala oblike f a . (t _ t ) dt, k~ de novo transconden-
tno funkcijo . Integral trigOnoa:etri~nih f' ! .J. unKcij R(sinx , cosx)dx ,
kjer jc R r~cionalna funkcija resuJ"eno . I . • de vstavioo novo sprcocn-
Ijiv!.to nil podlagi subs~itucije
t ~ tg ~ dt •
2 dt
2 2 x cos '2
2 dt
dx 2 C052 f dt ,
2 dt dx
~ 2 x tg '2 + 1
sin x
cos x
1
~
2 sin ~
·2 2
C052 . .! _ sin2 x 1 2 2' '" tg2 x
1 - -1--~ + 1 t
2' + 1
2t
1
1
+ 1
j ( 2t il - 2--'
t + 1 dt , 2t
~
cionclne funkcij~ . ki sno gu ocravnavali .
to pa je integral ra -
Integral f 2 dx ~cos x + bs i n
2x
re sirno ; iz irnenovnlca iz-
postl.lvioo cos2x in dob"ioo:
2 cos x
. vstavimo tgx ~ t .
dobi:lo : r dt Z zaoenjavo t = V~ u. dt n ... bt 2
.
dx - -2- dt , cos x
'If" du prideno M
V"- ( du _1_ (1 du Tega integriraoo , dvbimo : inte~rd b
-L 'lOb
arctgu
J a
> c
db' ( ~ C' tgx)+c .
2 '(8'; + au
_ I_ . arctgt . V"'-
2 + u
_1_
'lOb , arctg .
IntcGr~le oblike r£inr:1xCOSnXd~ I kjer ste m in n celi po
zitivni ali neQativni ste/ili , sprecinjaoo 2 integracijo per partes
v integrale ist!? ob lik e z vedno oonjsioa potencnir..a ej{sponentol:tn D '
tor ~ . IntegrOlnd pise!':lo ( ~?Sn- lx) (sinmxcosxdX) t er Sl!'1atratlo koliCino
v 1. oklepaju za u , v drugeo za c.v . Integracijo per perte9 i~vrsiroo
in dobioo :
j' n n cosn-lx.sinn+ l,
19) sin x . cos x.dx ::: I:l + 1
fl o+2~ n-2 sin }t.,. cos x . dx .
1z cn;;\.cbe 19) integral desn..) strani izracune.r:O in obe leZino :
11 + 2 = 0 ' I n - 2 '" n ',
- 246 -
n- 1 . 0+1 cos x . 91n x rn+1 /
,1:1+2 n-2 Sl.n X, cos x . dx n- 1 + ---n- 1 f . m Sl.n x
0 ' - 1 + --n ' +1
f . n ' n ' . Sl.n } . . cos x. dx
n ' +1 . 0' - 1 cos x . Sl.n x n ' + 1
f c ' -2 n ' +2 sin x . cos xcx .
20) f . m n Sl.n X, cos x.dx ~ ~
• s n xeo!! xdx . /
i r.l - 2 n+2
Dobimo obrezec
cosn+1x . sinC- Ix n + 1
m- 1 + n+1
+
Rekurzijsko formula 19) uporabljamo pri poz1tivnOfJ n in
negativnco m 20) po pri pozitivnem m in negativnem n .
V integralu desne strani enacbe 19) piseno sinr:1+2x .,
• [l ( 2 1:1 I:l 2 Sl.n x I - cos x) = sin x - sin x . cos x , integral razpade na dva
integral a , od katerih ima drugi integrand sinux . cosnx , Tega pre-
nasena no leva strnn in ga pristejemo integralu leve stl'llJ1i , iz
doblje~ega 1zr9.cunano I sinI!l.x , cosnx , dx . Racun da :
Sl.n x . cos x . dx = ! . n n cosn- Ix . s!n0l+1x n + 1
n-~ n - 1 f cos x . dx - i;:;l
+ ~:i f sinr:1x
r n n sin x.cos x . dx
n - 1 .:n+l cos x . s~n x + n-l n + 1 0+1 (
m n- 2 sin X.cos x . dx . Taka dobieo obrazec
21)
j rn n - 2 • sin x . cos x . ~x .
Slicho pre1rugacirno enacbo 20' , ce piserno v integralu desne stranl
za cosn+2x : coanx(l - sin2x) . Dobimo obrazec
- 247 -
22) sin x . cos x . dx : f 0 n • m + n n+rn
• s~n x . cos x . x . " J . 0 - 2 n d
Obrazca 21) in 22} uporao1jar.lo , C8 ho ceco v navedenem in-
tegrt'.lu zniZevati eksponcnt I e pri sinox ali cosnx. Z zaporedno
uporaho obrazcev 19) , 20) , 21) eli 22) , pr~demo na elementerne in-
tegrale ! s 1nx, dX , j~osX , d X. ! Sinx , cosx , dX , Is:~ ' Ic~:x •
Ce inano v integrandu produkt dveh trigonometricnih funkcij , pre-
tvorirno ta produkt v vaoto . Ker je
sin(a+b)x + sin(e- b}x = 2 ainex . cosbx,
cos(etb)x + cos(a- b)x '" 2 cosax . cosbx ,
cos(atb)x - cos(a-e)x -2 sinux , sinhx ,
jc f sinax . cosbx . dx .. ~ f sin(a+b}x . dx + ~ j 'sin(a- b)X , dX
' ''' - 2(;+b) f cos(a+~)x - 2(a~b) J cos(a- b)x+c ,
! coaax , coShX . dX '" ~ J cos (a+b)x . dx + ~ J cos(a-b)X . ~X '"
1 2(a+b)
1 sin (a+b)x + 2{a- b) 4 sin(e- b)x+c ,
! Sinax , Sinbx , dX = - ~ ! cos(stb)x . dx + ~ J cos·(e-b) . dx '"
1 1 2(u+b) sin(a+b) x + 2(a-b) sin (a- b)xtc .
Integrale produktov algebrajskih funkcij s transcendentnimi ,
POSkuSQ.I:lO . poenostaviti z int egracijo per partes .
Prioeri :
1) Resi integral I dx , Uporabimo 1nteg!'~cijo per (xp + 1)11
, 1
I
j I ~ ,
- 248 -
partes , kjer '1zamaoo 7.n u 1 , za d'l pa dx . dob i r.lo :
(xp + I)n
2) ) --""-"n j dx
(xp
+ 1)
x
x x . px;:O- ldx
(xP+l,:n+l
Stev·cu integrele desn~ strnni priStejeoo i n odstejcoo l,
do~) ljeno piseco v obl1ki vsote dveh integr.e. l o'l , dobit:1o :
+ pn
1z dobljcne enacbe
x .
( x P+l )- 1
( xP+l)n+l
izracunnrno :
J' dx + (pn - I) ... (x" +1)n
x
+ pn-l pn
+
ali
V dobljeni enacbi vpe l jemo oznal{o 0+1 '" 0 , dob ico obrnzec :
24) f dx
s ~ooocjo navedene rekurzijske for~ule zniiujemo eksponent v ioe -
novalcu integrcl e . V slucaju p 3 2 , dobioo obrazec :
25)/ 2dX
tl .. ~ m- l (x +1 ) 2(m- 1)( x +1)
- 249 -
2) Resi L~tegral :
/ ox ' P 2 2· - 0
(x +1) obr!!zcu 25) dcoL10 :
J ox x
2+1
x 1 + '2 arctg :.:+c . 2(x2+1)
J) ReSi integral : f __ -:~7-d;X==== (x_2)2 Vx2 - 4x + 3
. Vpeljor::o novo
1 sprcQenljivko x:2 t ,
1 dt x- 2 ~ t ' dx = - ~ I
t x ~ + 2 . liE;vedena
t
r~zult~t. vneseno v integral in dobi~o:
dt t 2
2)2 - <I (f + 2) + )
t t . dt
! ,V(f 2 - 1 )
f L....!tt 2 2 Vstavir-o novo sprcrnenljivko I - t : Z , . -
- 2tdt
r ',/1 -
4) ReB
V1_,2
2zdz, integral bo f z:z
2 ' I . V1 -1 , + c ---2 + c
(x- 2)
/
dx in' ,grc1 , -Y;;x::;2;:::= ==
- 4x + J
idZ He
1 Vx2 - 4x + J + c . . - 2
• Prva dv~ clc~~ r~dikanda
dx dopolni[lo do popo l ncga kvadre.ta , dobimo :
- .+x+4 - 4 + 3
of dx
V 2 1 (x- 2) -
Uv~dci.,o zanenjilvo x- 2 ,. t , imano
f dx
V ( x_2)2. - 1
. f dx
Nx2 - 4x + )
In ( t+ f d<
o V,2 _ 1
In(x - 2 + V x2 - 4.x + J) + c .
