Fracciones parciales ( Racionales )

Consideremos la siguiente suma de fracciones:

En esta sección se analizará el proceso inverso : dada una fracción , descomponerla en una suma de fracciones. Es decir :

DEFINICIÓN: Una fracción parcial es aquella de la forma en donde es un

polinomio de grado inferior al de .

Esta fracción se puede descomponer en una suma de fracciones parciales siempre y

cuando se pueda factorizar en factores de primero ó segundo grado . Dependiendo

de estos factores existen 4 casos y combinaciones de los mismos.

Caso 1

Para cada factor lineal (no repetido) de la forma que aparezca en el denominador le corresponderá la fracción :

Ejemplo 1 Descomponer en fracciones parciales

Se factoriza el denominador : x 3 - 4x = x ( x - 2 ) ( x + 2) , entonces :

multiplicando por : x ( x - 2 ) ( x + 2) :

x + 3 = A( x - 2 ) ( x + 2) + B x( x + 2) + C x( x - 2)

esto es una identidad , por lo tanto se puede asignar cualquier valor de la variable x.

sustituyendo x = 0 : 3 = - 4 A , de donde : A =

A = constante que se deberá determinar

sustituyendo x = - 2 : 1 = 8 C , de donde : C =

sustituyendo x = 2 : 5 = 8 B , de donde : B =

La fracción original queda de la siguiente forma :

=

Caso 2

Ejem. 2 - Descomponer en fracciones parciales :

Así entonces, la fracción se descompone

de la siguiente forma:

=

Primero se factoriza el denominador :

x 3 + 2x2 - x -2 = x 2(x+2) - (x+2) =

= (x+1)(x-1)(x+2)

entonces:

=

mult. por (x+1)(x-1)(x+2) :

6 = A(x-1)(x+2) + B(x+1)(x+2) + C(x+1)(x-1)

sust. x = 1 B = 1

sust. x = -1 A = - 3

sust x = - 2 C = 2

Factores de primer grado repetidos. Por cada factor de la forma (ax+b)n le corresponden las siguientes fracciones parciales.

=

multiplicando por (x - 2) 3 :

2 x 2 + 1 = A (x - 2) 2 + B (x - 2) + C

Para obtener los valores de las incógnitas A , B y C se puede aplicar otro método. Este consiste en

desarrollar las operaciones del 2do. miembro :

2 x 2 + 1 = Ax 2 - 4Ax + 4A + Bx - 2B + C

agrupando :

2 x 2 + 1 = Ax 2 + ( - 4A + B ) x + ( 4A - 2B + C )

igualando los coeficientes del segundo miembro con los del primer miembro , se obtiene un sistema

de ecuaciones :

Sustituyendo los valores de A , B y C :

=

Caso 3

Ejem. 3 - Descomponer en fracciones parciales :

A = 2 A = 2

- 4A + B = 0 B = 8

4A - 2B + C = 1 C = 9

Factores de segundo grado irreductibles. Por cada factor de la forma : ax 2 + bx + c le

corresponde la fracción parcial :

5x 2 + 12x + 9 = A ( x 2 + 3x + 3 ) + ( Bx + C ) x

5x 2 + 12x + 9 = ( A + B ) x 2 + ( 3A + C ) x + 3A

solución : =

Caso 4

Factores de segundo grado repetidos . Por cada factor de la forma : ( ax 2 + bx + c ) n

le corresponden las fracciones :

Ejem. 4 - Descomponer en fracciones parciales

sistema:

A + B = 5 A = 3

3A + C = 12 B = 2

3A = 9 C = 3

=

2x + 8 = Ax ( x 2 + 4 ) 2 + B ( x 2 + 4 ) 2 + ( Cx + D ) x 2 ( x 2 + 4 ) + ( Ex + F ) x 2

2x + 8 = ( A + C ) x 5 + ( B + D ) x 4 + ( 8A + 4C + E ) x 3 + ( 8B + 4D + F ) x2 + 16Ax + 16B

sustituyendo :

=

solución:

=

Ejem. 5 - Descomponer en fracciones parciales :

sistema de ecuaciones:

A + C = 0 A =

B + D = 0 B =

8A + 4C + E = 0 C =

8B + 4D + F = 0 D =

16A = 2 E =

16B = 8 F = - 2

solución