Fascculo IV de Educao Matemtica

FRAES E NMEROS FRACIONRIOS

Nilza Eigenheer BertoniFascculo IV de Educao Matemtica........................................................1FRAES E NMEROS FRACIONRIOS................................................1

Atividade 1........................................................................................................4Um desvio para informaes tcnicas..............................................................5

Frao........................................................................................5Um quarto de queijo .........................................................................5

Resumindo.............................................................................7Frao: representa tanto certas partes da unidade quanto o registro numrico.............................................................7

Objetivo 1.........................................................................................................9Levantar dificuldades e problemas no ensino e na aprendizagem dos nmeros fracionrios ......................................................................................................9Objetivo 2.......................................................................................................11Discutir os eixos norteadores da proposta .....................................................11

Construo do conhecimento das primeiras fraes ............................16Atividade 2....................................................................24Atividade 3....................................................................29

Resumindo...........................................................................35Situaes aditivas-subtrativas.........................................................................44Situaes multiplicativas e de diviso...........................................................48

Resumindo...........................................................................57Frao : representa tanto uma parte da unidade quanto o ..........................................................................................57

Mais um exemplo de soma de fraes ..................................................63Usando trocas na subtrao .....................................................64Numa festa da escola havia uma lata de sorvete com kg de sorvete. Na primeira hora o pessoal j havia consumido kg. Quanto ainda restava ? .....64Entendendo o significado da multiplicao de nmeros racionais.................65

Esses so fatos importantes:...............................................68Multiplicando x 1 , o resultado corresponde a de 1 .. .. .68

Diviso de nmeros racionais positivos..........................................................69Na diviso como partilha, uma quantidade dividida igualmente num certo nmero de partes. Ao final vemos com quanto cada parte ficou. .69

Interpretao...................................................................................................71 .......................................................................................................................72

Compreender razo, proporo e porcentagem .....74Relacionando nmeros racionais positivos a razo e porcentagem .........74

Conversa inicial

Embora os nmeros naturais e os decimais, estudados em fascculos anteriores,

resolvam a maioria dos problemas do nosso dia-a-dia, as fraes, em sua

representao fracionria (no decimal) nos ajudam a entender melhor razes,

escalas, porcentagens, possibilidades e ainda so freqentes nas receitas

culinrias. Nossa preocupao maior com o conhecimento das fraes e do

conceito de nmero fracionrio, que no pode ser conseguido s com a diviso de

figuras geomtricas em partes iguais e a memorizao das regras operatrias.

preciso encontrar caminhos para levar o aluno a identificar essas quantidades em

seu contexto cotidiano e a apropriar-se da idia do nmero fracionrio

correspondente, usando-os de modo significativo.

Fraes tem sido um dos temas mais difceis no ensino fundamental.

Avaliaes e pesquisas atestam o baixo rendimento dos alunos no assunto. Nos

ltimos anos, as pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem desse tema tm

detectado inmeros problemas e levantado hipteses, que, entretanto, no

abrangem a totalidade da problemtica, nem so conclusivas. Talvez devido a isso,

propostas de ensino incorporando esses resultados so apenas incipientes. O mais

comum de se encontrar so as mesmas propostas de sempre, que comeam

informando as crianas sobre nomes e smbolos de fraes, apresentando

quadrados, retngulos ou crculos divididos e parcialmente pintados.

Escrever um fascculo sobre fraes , portanto, um desafio. Desafio que

enfrentamos, entendendo-o como mais uma etapa em nosso caminhar sobre o

assunto, como uma contribuio para a busca e a construo coletivas de soluo

para o problema.

Desde 1985, temos nos debruado sobre essa questo. No projeto Um novo

currculo de matemtica para o 1 grau, do Subprograma Educao para a Cincia

SPEC, (Mat/UnB, MEC/CAPES/PADCT), nossas pesquisas e experincias

levantaram muitos aspectos, vrios deles j confirmados por outras pesquisas e

recomendados nos Parmetros Curriculares Nacionais PCNs.

Entre esses pontos, destacamos:

a constatao da restrita presena, em nossa scio-cultura, de nmeros na

forma fracionria. Dominam os nmeros em representao decimal, na

mdia, nos negcios, na vida profissional.

Como conseqncia, adotamos, na proposta curricular formulada pelo

Projeto, a prioridade no ensino dos nmeros decimais (permeado com algumas

fraes usuais, como , 1/10, , bastante articuladas com a representao

decimal). Essa tendncia aparece tambm nos PCNS, em 1997.

a constatao de que os smbolos so obstculos compreenso inicial do

significado desses nmeros pela criana, o que nos levou a sugerir um

tempo inicial de aprendizagem no simblica das fraes.

a constatao de que trabalhar com famlias de fraes interrelacionadas,

como meio/quarto/oitavo; tero/sexto/nono, quinto/dcimo/vinte avo,

permitia que a criana estabelecesse relaes e atribusse significado a

operaes iniciais com esse nmeros. Elas percebiam, por exemplo, que 1

quarto metade de 1 meio; que 1 quarto + 1 quarto igual a 1 meio; que

duas vezes 1 quarto d 1 meio, que 1 meio dividido por 2 d 1 quarto etc.

Um fato significativo foi o raciocnio demonstrado por uma de nossas

crianas, ao se deparar, num jogo, com o desafio: quanto 5 teros menos

1 sexto? Ela foi rpida: 4 teros e meio. Nitidamente, ela apoiava-se na relao vivida e construda, de que o sexto era obtido dividindo-se o tero

ao meio; o sexto valia, portanto, metade do tero. Assim, ao pensar em 5

teros menos 1 sexto, ela pensava em 5 teros menos a metade de um

deles, o que daria, portanto, 4 teros e meio (tero).

Ainda no constatamos o uso ou recomendao dessa abordagem em livros ou

propostas curriculares.

a constatao de que as noes de mnimo mltiplo comum e de mximo

divisor comum interrompiam o caminho da construo da idia de frao

pela criana, e, alm do mais, no eram imprescindveis aos clculos. Da,

em nossa proposta, termos desenvolvido os clculos sem introduzir esse

conceitos.

a constatao de que os algoritmos operatrios desenvolvidos na escola

eram de compreenso quase impossvel para as crianas, e afastavam-se

muito dos algoritmos para as mesmas operaes nos nmeros naturais.

Comparem-se, por exemplo, os algoritmos tradicionais da soma e da

diviso de fraes, com os algoritmos da soma e da diviso entre os

nmeros naturais. So to distintos que as crianas no chegam a

identificar que os novos algoritmos possam estar efetivamente ligados a

uma situao real de soma ou de diviso.

Como conseqncia, introduzimos algoritmos, na aparncia e na essncia,

mais de acordo com as concepes da criana. Na forma, eles se apresentavam

verticais para a soma e a subtrao de fraes, e em chave para a diviso.

Exemplificando:

1 quarto + 1 meio 2 crianas + 2

1 quarto

..............

Pelo que sabemos, essa abordagem tambm no foi incorporada aos livros e

propostas atuais.

Essas experincias e processos foram, em grande parte, consubstanciados na

apostila Fraes, de Amato (1988), que integrava a equipe de pesquisa.

Experincias posteriores que desenvolvi em escola particular do DF, com a

elaborao de apostilas para serem aplicadas e acompanhadas junto s crianas,

incluam a observao de fraes em objetos do espao nossa volta e uma

articulao mais estreita entre o ensino e a aprendizagem de fraes, medidas e

decimais. Alm disso, a constatao de que, na maioria dos livros didticos no

aparecem problemas relacionados multiplicao e diviso de fraes, levou-nos a

intensificar o tratamento do tema. Foram includos, tambm, tpicos como razo e

porcentagem.

aps esse caminhar, em que procuramos exercitar contnua e crtica

observao e buscar sempre novas leituras, que chegamos ao momento atual, com

a disposio de enfrentar o desafio de pr em livro algo que reflita a soma de

experincias, leituras e inferncias conseguidas at o momento, e de estimular os

leitores a prosseguir nesse caminhar, como pretendemos fazer.

Atividade 1

Reflita sobre sua aprendizagem pessoal de fraes, e, caso voc ensine esse

tpico, sobre a aprendizagem das crianas nesse assunto. Pense nas dificuldades

encontradas, se houve ou no compreenso lgica dos processos utilizados, tanto

por voc como pelos alunos. Conte sua percepo geral a respeito desse problema.

Um desvio para informaes tcnicasAo incio desse fascculo, queremos esclarecer em que sentido estaremos

usando os vrios termos relacionados ao assunto: inicialmente frao e nmero

fracionrio, que sero utilizados nas sees 1 e 2; depois nmero racional, que

aparecer na seo 3.

Frao

O termo frao tem sido comumente usado tanto para designar certas partes

de um todo, ou de uma unidade, quanto para designar uma representao numrica

dessa parte. Esses usos esto consagrados e no procuraremos fugir deles. O

prprio contexto dir quando a frao est designando uma parte da unidade: aqui

temos um quarto de queijo, ali est meio melo, ou quando expressa

numericamente essa parte: o pedao correspondente a de queijo, a parte

correspondente a melo.

Um quarto de queijo de queijo Frao como representao numrica dessa parte: Algumas fraes podem ser equivalentes a outras, por representarem a mesma

parte da unidade. Por exemplo, equivalente a 2/4.

Nmero fracionrio

A idia de nmero sempre transcende os seus usos particulares e imediatos.

o caso do que chamamos de nmero fracionrio. Ele o nmero associado classe

de equivalncia de uma determinada frao. Podemos imaginar as fraes ., 2/4,

3/6, 4/8, ...45/90 etc como diferentes, num certo sentido, mas equivalentes. Mas a

todas elas, ao conjunto delas, est associada a idia de um s nmero fracionrio.

O que complica que no temos um smbolo diferente para distinguir o nmero

fracionrio associado a essa classe. Ele se confunde com o smbolo de qualquer

frao da classe, embora muitas vezes seja usada a frao que tem o menor

numerador e o menor denominador (no caso, ). A frao, usada como registro

numrico de certa parte da unidade, confunde-se com o registro do nmero

fracionrio que representa essa parte.

Visualizando o conjunto das fraes e o conjunto dos nmeros fracionrios

Veja: se fssemos escrever os smbolos de todas fraes, poderamos pensar

em escrever na primeira linha as que tm numerador 1, na segunda as que tm

numerador 2, e assim por diante. Teramos:

Fraes:

1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11 1/12 ....................

2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 2/7 2/8 2/9 2/10 2/11 2/12 .........

3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 3/6 3/7 3/8 3/9 3/10 3/11 3/12 ......... ...Entretanto, se fssemos representar os nmeros fracionrios, cortaramos as

fraes equivalentes outra que j apareceu, pois um s nmero est associado a

todas elas:

Nmeros fracionrios

1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11 1/12 .......

2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 2/7 2/8 2/9 2/10 2/11 2/12 ...(cortar 2/2 2/4 2/6 2/8 2/10 2/12

3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 3/6 3/7 3/8 3/9 3/10 3/11 3/12 ...(cortar 3/3 3/6 3/9 3/12 ...Veja que os smbolos numricos que sobraram representam nmeros

fracionrios distintos. Cada um deles est associado a uma classe infinita de

fraes equivalentes entre si.

Mas ateno: no pense que porque 2/4 foi cortado, ele no pode ser pensado

como um nmero fracionrio. Poderamos t-lo deixado, como representante da

mesma classe de fraes equivalentes.

Logo voc ver que o nmero fracionrio a/b pode ser

visto como o resultado da diviso de a por b, onde a e b so

nmeros naturais.

E sobre os nmeros racionais?

Os nmeros fracionrios positivos, que foram escritos acima e que so o objeto

de estudo das sees 1 e 2 desse fascculo, podem ser chamados de nmeros

racionais absolutos, ou nmeros racionais positivos. Uma idia mais completa do

conjunto dos nmeros racionais ser vista na seo 3.

Resumindo

Frao: representa tanto certas partes da unidade quanto o registro

numrico

associado a essas partes

Nmero fracionrio: o nmero, nico (embora com vrias

representaes)

associado a toda uma classe de fraes equivalentes.

Pode ser identificado com um nmero racional positivo.

O que faremos nas sees 1, 2 e 3

As sees 1 e 2 so voltadas para a sala de aula. Elas fazem consideraes e

sugestes aos professores, a respeito de como conseguir uma boa e possvel

compreenso das fraes, por seus alunos.

Na Seo 1, procuraremos fundamentar as linhas gerais norteadoras da

proposta que vamos delinear para o ensino e a aprendizagem das fraes. Alm

disso, desenvolveremos idias sobre a construo, pelo aluno, do significado do

nmero fracionrio e de suas relaes. Tambm apresentaremos idias centrais

para a introduo da simbologia associada a esses nmeros.

Na Seo 2, nos deteremos um pouco nas bases atuais da Educao

Matemtica, para nos ocuparmos, depois, da construo das idias operatrias

iniciais entre as fraes um incio de clculo com nmeros fracionrios. Esse

clculo ser desenvolvido de modo contextualizado e significativo, sem regras ou

excesso de formalismo, desenvolvendo a inventividade dos processos de

resoluo, a capacidade de estabelecer relaes, de fazer hipteses e test-las, de

experimentar e comprovar, levando os alunos a desenvolver problemas e processos

aos quais possam atribuir significados, e a saber interpret-los.

A Seo 3 visa desenvolver uma melhor compreenso dos conhecimentos do

professor sobre fraes. Ele ser o mediador desse conhecimento para a criana,

dever saber atender s exigncias cognitivas e vivenciais do aluno, dever saber

refletir e opinar sobre o currculo. Para isso, importante que ele prprio tenha um

conhecimento claro do assunto. No se trata de repetir regras que ele decorou

anteriormente. O processo pelo qual possibilitaremos um melhor conhecimento

dos nmeros racionais positivos ao professor est calcado nos mesmos princpios

do processo que ele desenvolver com seus alunos, de modo mais aprofundado.

Esse processo levar em conta a contextualizao e a atribuio de significado,

no ter um carter algortmico ou formal, e desenvolver processos de resoluo

alternativos, que envolvam raciocnio, capacidade de estabelecer relaes, de fazer

hipteses e test-las, de experimentar e comprovar, de interpretar problemas. No

entanto, chegaremos tambm a explicitar a lgica de alguns algoritmos formais.

Seo 1 - A construo do significado de frao e do nmero fracionrio

Objetivos

1 - Levantar problemas e dificuldades quanto ao ensino e aprendizagem dos

nmeros fracionrios, refletindo sobre eles.

2 - Apresentar os eixos sustentadores da proposta a ser apresentada para o

ensino e a aprendizagem de fraes

3 - Introduzir uma proposta de construo do conceito de frao pela criana

4 Discutir a passagem do conceito de frao para o de nmero fracionrio

5 - Apresentar uma proposta de introduo da representao numrica

associada s fraes

Professor e professora

At o momento, contamos a voc sobre o caminho prvio percorrido por

ns, a respeito da aprendizagem das fraes, e recordamos uma questo mais

tcnica, relacionada terminologia usada em matemtica.

Podemos, agora, mergulhar de maneira mais livre nos problemas

cognitivos, didticos e pedaggicos que tm afetado o ensino e a aprendizagem

das fraes e dos nmeros fracionrios, e na busca de caminhos para super-los.

Objetivo 1

Levantar dificuldades e problemas no ensino e na aprendizagem dos nmeros fracionrios

1a. Uma dificuldade reside no fato desses nmeros serem pouco presentes em

nossa cultura, o que resulta na pouca ou nenhuma vivncia dos alunos com eles.

No obstante, esse nmeros tm grande importncia na matemtica, relacionando-

se a razes, raciocnio proporcional, ao clculo algbrico, a probabilidades etc

1b. Um problema constante o baixo rendimento apresentado pelos alunos,

nas provas escolares e nas provas de avaliao nacional, tanto na compreenso

desses nmeros quanto nos clculos com os mesmos. Alm das provas, inmeras

pesquisas tm demonstrado a dificuldade dos alunos referente a esses nmeros.

Pode-se dizer que, mesmo quando sabem efetuar os clculos, aprendidos de

forma memorizada, no sabem para qu us-los. Desse modo, comum encontrar

alunos que ficam bloqueados frente a perguntas como:

- quanto vale 3/2 de 25,00?

- com 22 litros, quantos frascos de 1 litros poderemos encher?

1c. Outra dificuldade reside na falta de desenvolvimento do significado e da

lgica subjacente aos tpicos desse tema, na maioria das propostas atuais. Em

geral, professores e alunos tm dificuldade em responder a questes como:

- resolva mentalmente: quanto d dividido por ?

- por que a diviso de fraes se faz daquele jeito estranho?

- por que se usa o mmc? por que ele usado na soma e na subtrao e no na

diviso e na multiplicao?

1d. Outra dificuldade reside nas propostas curriculares estaduais muito

extensas sobre o tema, que se refletem nos contedos de muitos livros didticos. A

apresentao feita como se os alunos pudessem adquirir competncias de

compreender esses nmeros, estabelecer relaes, operar com eles e resolver

problemas durante dois bimestres um na 3 srie e outro na 4 srie. Esse

dimensionamento inadequado traduz uma concepo de ensino fundamental que

visa formao do aluno-calculadora no importa o que ele entenda ou no, o

importante que consiga realizar qualquer operao com os nmeros naturais,

fracionrios, decimais. No importa mesmo que ele saiba como usar essas

operaes, ou como combin-las, na resoluo de problemas.

Essa concepo no se coaduna com uma educao que visa formao do

cidado autnomo e crtico, e sua insero ativa na sociedade. Autonomia e

criticismo no sero atingidos por esquemas de dependncia ao professor,

desvinculados de um pensar consciente. Por sua vez, a atuao ativa num mercado

de trabalho que requer capacidade de resolver problemas, avaliar situaes,

propor solues e ter versatilidade para novas funes, no pode ser alcanada

apenas pelo exerccio de um fazer mecnico, sem pensamento prprio e sem

questionamento. Felizmente os Parmetros Curriculares Nacionais apontam para

novos rumos nas sries iniciais, a prioridade dada representao decimal dos

nmeros; os contedos relativos aos nmeros fracionrios foram diminudos,

havendo tempo suficiente para uma introduo bem fundamentada a eles.

1e. Pontos especficos levantados pelas pesquisas

Mack, uma pesquisadora norte-americana citada por Nunes e Bryant (1997), p.

213, verificou, entre alunos de 6 srie, que a compreenso de situaes que

envolviam fraes fora da escola no se articulava com as representaes

simblicas aprendidas na escola. Ela props um problema: suponha que voc tem

duas pizzas do mesmo tamanho e voc corta uma delas em 6 pedaos de tamanho

igual, e voc corta a outra em 8 pedaos de tamanho igual. Se voc recebe um

pedao de cada pizza, de qual voc ganha mais? Depois, uma nova pergunta:

que frao maior, 1/6 ou 1/8? Mack observou que problemas sobre situaes

cotidianas no pareciam causar dificuldade; mas no segundo problema, com

exceo de 1 aluno, todos disseram que 1/8 era maior porque 8 um nmero

maior. Mack trabalhou com esses alunos movendo-se de uma abordagem outra

dos problemas apresentados simbolicamente a situaes de contextos familiares e

vice-versa e notou que os estudantes comearam a relacionar smbolos e

procedimentos escolares de fraes ao seu conhecimento informal. Nunes e Bryant

(1997), p.213, indagam-se se essa lacuna no poderia ser evitada por meio de uma

aprendizagem escolar que estabelecesse essas conexes, e aventam a hiptese da

causa do problema ser o uso escolar de procedimento de dupla contagem. para a

aprendizagem de fraes o qual consiste em, num todo dividido em partes

iguais com algumas delas destacadas, contar o nmero total de partes (por

exemplo, 8), contar o nmero de partes pintadas (por exemplo, 5) e escrever 5/8 ,

sem entender o significado deste novo tipo de nmero.

Nunes e Bryant (1997), citam tambm, na pgina 193, as pesquisas de

Campos et allii (1995), evidenciando que esse modo de introduzir fraes pode

causar erro. Nas pesquisas de Campos, foram apresentadas trs figuras, para que

alunos de 5srie reconhecessem as fraes associadas a cada caso.

Os alunos deram respostas corretas para os dois primeiros retngulos. No

terceiro retngulo, 56% dos alunos escolheram 1/7 como a frao correspondente;

12% escolheram 2/8 e 4% indicaram tanto como 2/8.

1f. Alm desses problemas, ocorre ainda que, em comparao com o volume

das pesquisas realizadas sobre a construo do nmero natural pela criana, o

nmero de pesquisas sobre a construo do nmero fracionrio bem reduzido.

Objetivo 2

Discutir os eixos norteadores da proposta Embora as pesquisas ainda no apontem, de modo completo, um caminho para

a construo do conceito de frao e para a capacidade de resolver problemas

relacionados, os resultados obtidos j permitem fazer certas opes.

A proposta que apresentamos, com base em estudos, pesquisas e em nossa

prpria experincia, tem os seguintes eixos sustentadores :

2a. A noo de conceito matemtico de Vergnaud.Vergnaud afirma que, para estudar e entender como os conceitos matemticos

desenvolvem-se nas mentes dos alunos por meio de suas experincias dentro e fora

da escola, precisamos considerar trs fatores: o conjunto de situaes que tornam o

conceito til e significativo, o conjunto de invariantes envolvidos nos esquemas

usados pelos indivduos para dominar os diferentes aspectos daquelas situaes, e

o conjunto das representaes simblica, lingstica, grfica ou gestual que

possam ser usadas para representar situaes e procedimentos. Caracterizar um

amplo conjunto de situaes em que esse conceito possa ser til ao estudante

intrnseco ao prprio desenvolvimento do conceito.

2b. O desenvolvimento histrico da noo de frao vivido pela humanidade.

Trs aspectos salientam-se nesse desenvolvimento:

o modo provvel como chegaram s fraes: Tropfke (1980), em sua

Histria da Matemtica Elementar, faz uma descrio inicial do

aparecimento histrico das fraes a qual, numa traduo adaptada, diz o

seguinte: A tarefa de dividir k objetos em n partes (por exemplo dividir 7

pes por 10 pessoas) apareceu, na prtica, seguramente antes de qualquer

costume escrito. Talvez se tenha inicialmente dividido cada um dos objetos

em 10 partes desse modo obtinha-se a frao tronco 1/10, que podia ser

considerada, de certo modo, como uma nova unidade, e ento reunia-se 7

dessas novas unidades. A frao geral 7/10 assim, por um lado,

entendida como o resultado da diviso 7:10; por outro, como reunio de 7

unidades 1/10.

O fato dos povos antigos, principalmente os egpcios, terem se apoiado

fortemente nas fraes tronco, ou unitrias (com numerador 1),

- O fato de terem considerado tambm os complementos dessas fraes

unitrias, em relao ao todo.

2c. A necessidade de um tempo maior pela criana, em termos de apreenso cognitiva e de experincias vividas, para a construo desse conceito.

Aventamos a hiptese, a partir de experincias que realizamos, de que o tempo

dedicado a esses nmeros, nas propostas escolares, insuficiente.

De fato, na aprendizagem dos nmeros naturais, so necessrios vrios anos

para a sedimentao da compreenso de alguns nmeros iniciais desse conjunto.

Embora essa aprendizagem se inicie por volta de 1 ano e meio, muitas crianas

chegam aos 6 ou sete anos sabendo apenas identificar, nomear e comparar

quantidades at 6 ou 8 (no estamos nos referindo sua capacidade de recitar,

oralmente, a seqncia numrica at nmeros bem maiores, ou mesmo de saber ler

smbolos como 100 ou 1000). Se isso ocorre com os nmeros naturais, que

povoam nossa scio-cultura e com os quais a criana entra em contacto

diariamente, por que deveria ser diferente com os nmeros fracionrios, pouco

presentes no cotidiano, e com os quais a criana pouco ou nenhum contacto teve?

As propostas escolares no tm levado em conta esse fato. Basta olhar os livros

escolares para se ver que, aps a introduo da metade (quase sempre de um

nmero) feita em alguma srie anterior, nenhuma meno feita a qualquer outra

frao, at o incio do estudo desses nmeros, geralmente na terceira srie. Pode-se

notar ento, j na primeira e segunda pginas, uma boa quantidade de informaes:

vrios desses novos nmeros so apresentados, acompanhados da simbologia

correspondente; comum ainda serem introduzidas terminologias como frao,

numerador e denominador, frao prpria, imprpria, mista etc.

A escola prope que, em poucas pginas (e dias), os alunos aprendam:

os nomes um meio, um tero, um quarto, um quinto, um sexto, um stimo,

um oitavo, um nono e um dcimo alm dos famigerados avos.

a se referir a mais do que uma dessas partes: dois meios, dois teros, trs

quartos, quatro quintos etc.

os smbolos para esses termos: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10.

Ou 2/2, 2/3, 3/4, 4/5.

- alguma terminologia relacionada: numerador, denominador, fraes prprias,

imprprias, mistas, aparentes etc.

2d. A necessidade da compreenso dessas quantidades ser feita antes da

introduo dos smbolos associados. Essa outra hiptese que fizemos, de que a introduo prematura dos smbolos

fracionrios um obstculo construo da idia desse nmero.

Essa hiptese apoia-se em vrios fatores:

- Nossas observaes feitas no Laboratrio de Ensino de Matemtica, na

Universidade de Braslia. Um dos momentos relevantes dessa observao ocorreu

quando trabalhvamos com um grupo de alunos de 2 srie. Era usual

desenvolvermos os conhecimentos com as crianas antes que elas os tivessem

visto na escola. Trabalhvamos com noes iniciais de fraes e operaes

intuitivas ligadas a situaes do cotidiano. Por ser um caminho mais natural para a

comunicao, nos restringamos ao uso da linguagem verbal e a escritas

correspondentes, como:1 inteiro 1 quarto = 3 quartos. O grupo reagia muito

bem e no demonstrava dificuldade. As frias chegaram e suspendemos

temporariamente os trabalhos. As aulas na escola das crianas recomearam antes

e, cerca de um ms aps esse incio, elas voltaram ao Laboratrio. Foi

impressionante constatar o estrago cognitivo que essas semanas na escola

causaram s crianas. Elas haviam iniciado l a aprendizagem de fraes,

associada simbologia e nomenclatura. O desconhecimento que mostravam e a

confuso que faziam eram muito grandes, e s lentamente elas resgataram coisas

que j haviam compreendido, e admiravam-se de descobrir alguma conexo entre

aquilo, que era claro para elas, e o complexo universo simblico visto na escola.

Desde ento, nossas propostas foram no sentido de trabalhar-se, de um a dois

bimestres iniciais do ensino de fraes, sem introduo da simbologia, (Bertoni

(1994)), tempo que, atualmente, propomos ser ampliado. Amato (1988), tambm

prope que a simbologia seja apresentada lentamente.

Outro motivo para se adiar a introduo dos smbolos fracionrios a

complexidade apresentada por essa simbologia. Ohlson (zzzzzz), afirma que:

a complicada semntica das fraes , em parte, uma conseqncia da

natureza composta das fraes. Como ocorre do significado de 2 combinado

com o significado de 3 gerar um significado para 2/3?

- Tambm, por analogia com a aprendizagem dos naturais, pode-se observar

que a compreenso dos primeiros nmeros naturais no se faz simultaneamente

com o domnio de sua representao grfica. s vezes, devido forte presena

desses smbolos em nossa cultura, essas aprendizagens podem se dar de modo

paralelo: a criana aprende a ler nmeros menores que 10, mas ainda no tem um

conceito formado de cada uma dessas quantidades.

2e. A articulao do conceito de frao com inmeros outros

Ohlsson (xxxxxxxx), p. 54/55, menciona que Kieren identifica cinco idias

xxxxxxxxxxxxxcomo bsicas, a saber: parte-todo, quociente, medida, razo e

operador, que desenvolveremos ao longo do fascculo. As idias de parte-todo,

quociente e razo fazem parte dos contedos do segundo ciclo, nos PCNs.

Encontramos livros didticos que mencionam, de maneira rpida, pelo menos

essas trs idias. Essa pressa em fazer constar aspectos julgados relevantes sobre

fraes tambm contribui para a dificuldade dos alunos em formar uma base slida

de conhecimento desses nmeros. Ao nosso ver, o campo conceitual dos nmeros

racionais rico e extenso, envolvendo noes relevantes da matemtica

fundamental. um projeto para muitos anos de escolaridade. Como as noes

envolvidas formam uma rede, no importa muito o ponto de onde se parta, desde

que seja um incio consistente, que forme noes claras a respeito desses novos

nmeros, e desde que, com o tempo, se percorra os demais caminhos da rede.

Campo conceitual?

Resumindo

A proposta que desenvolveremos sobre o ensino e a aprendizagem do conceito

de fraes centra-se em:

- Explorar um conjunto de situaes que tornam o conceito til e

significativo

- Explorar fraes unitrias (associando divises e cortes da unidade

em partes iguais) e tambm seus complementos em relao

unidade

- Reservar um longo tempo (educao infantil, 1 , 2 e 3 sries)

construo das primeiras fraes

- Na usar simbologia, por um longo tempo inicial

- Ter em mente a vasta rede de conceitos relacionados,

considerando que seu desenvolvimento deve se dar de modo

progressivo e seguro.

Objetivo 3

Introduzir uma proposta de construo do conceito de frao pela crianaAo propor uma introduo para a aprendizagem das fraes, estaremos

levando em conta os quatro primeiros itens do Resumindo.

Assim, vamos apresentar situaes tanto parties da unidade quanto

divises de algumas unidades num certo nmero de partes iguais- que tornam o

conceito de quantidades fracionrias til e significativo; a serem exploradas numa

longa fase de familiaridade comas mesmas; envolvendo os nomes dados s partes

(e no os smbolos numricos), percebendo complementos e a formao do todo.

Ao construrem a noo dessas primeiras quantidades e de seus nomes, os

alunos estaro abrindo caminhos para a compreenso da idia dos primeiros

nmeros fracionrios, ainda que no saibam registr-los.

Construo do conhecimento das primeiras fraes

Professores,

Se querem levar as crianas a aprender as primeiras fraes, estejam atentos a:

aproveitar toda oportunidade em que aparecem divises de coisas ou objetos -

um ou mais do que um - resultando em partes iguais,

aproveitar toda oportunidade de objetos j divididos num certo nmero de

partes iguais, dando-se destaque situao e ensinando o nome dessa parte.

fazer as crianas observarem que todas as partes obtidas valem o mesmo tanto.

perceber que as partes podem aparecer numa ordem aleatria. Por exemplo:

pedaos de metade, em seguida dcimos, depois quartos, quintos, oitavos,

conforme apaream em situaes prticas.

A cada nova parte, ou frao, insistir:

- quantos daqueles precisamos para voltar a ter a coisa toda (formao do todo).

Essa compreenso, de quantas fraes iguais certa frao dada so

necessrias para fazer o todo, ser til ao longo de toda aprendizagem com fraes ela permite identificar de que frao se trata.

- tirando uma delas, quantas sobram na coisa que foi dividida ?

- se j temos uma, quantas precisamos juntar para poder montar a coisa inteira?

(complemento).

Isso ser iniciado nas ltimas sries da Educao Infantil e na primeira srie,

nas quais explora-se a noo de metade ou outra parte que aparea naturalmente.

Essas noes devem ampliar-se na 2 e 3 sries, no numa seqncia linear,

mas aproveitando as situaes nas quais essas partes surgirem, ou mesmo

provocando essas situaes, de modo gradativo.

Daremos algumas sugestes de como isso pode ser feito:

Educao infantil e 1a srieAs situaes de diviso do sanduche, da laranja ou do doce em duas partes

iguais ocorrem naturalmente, e vamos cham-las, de modo natural, de metades do

sanduche, da laranja, do doce. A metade pode surgir, tambm, na diviso de duas

laranjas por 4 crianas. Pode-se usar tambm a palavra meio ou meia.

Comentrio

Professor, para seu conhecimento (e no para comentrio com as crianas)

observe que, nos procedimentos descritos, esto subentendidas:

- a idia de frao como relao parte-todo: a laranja apresenta-se dividida

em duas partes iguais. Destacando-se uma delas, ser chamada de 1 meio.

- a idia de frao como resultado de uma diviso: 2 dividido por 4 d

metade ou meia coisa. Mesmo na obteno da frao unitria h uma

diviso: 1 dividido por 2 d metade ou meia coisa;

Resumo

Frao como relao parte-todo: Partir a laranja em duas partes iguais

e tomar uma delas (uma de duas). A frao resultante 1 meio

Frao como diviso: 1 2 = 1 meio

2 4 = 1 meio

Outras situaes (que no devem ocorrer s num bimestre, mas devem voltar

sempre, ao longo do ano).

- dividir igualmente a gua de um copo cheio em dois copos, para dar suco a

duas crianas, resultando em meio copo para cada uma. Dizer que o copo est

pela metade, ou que cada parte meio copo (relao parte-todo e diviso).

- Explorar a metade do rosto, do corpo, do banco, do tampo da mesa.

- Ao fazer uma dobradura, ensinar o que significa dobrar uma folha ao meio.

Mostrar que, ao fazer isso, obtemos duas metades iguais da folha. Se pegamos

uma metade, ainda sobra outra. Se reunimos as duas metades, voltamos a ter a

coisa inteira (noes de complemento e de formao do inteiro).

- Num jogo, explorar metade do caminho.

- Na diviso de 2 laranjas (ou outra coisa) para 4 crianas, explorar bem a

situao, ressaltando o fato de dar meia laranja a cada um.

ILUSTRAO: 2 LARANJAS E 4 METADES DE LARANJA

Aqui fica mais clara a idia de frao como resultado de uma diviso, pois no

dividiu-se apenas uma unidade, mas sim duas unidades entre 4 crianas. Logo, a

metade pode ser obtida pela diviso de 2 por 4 (ou 3 por 6 etc).

Frao como resultado de uma diviso

24 = 1 meio 36 = 1 meio.

- Tambm interessante explorar concretamente: o metro inteiro, a metade do

metro; o litro inteiro, a metade do litro. Por exemplo: pegar uma fita do tamanho

de um metro e dobr-la ao meio; pegar um frasco onde caiba um litro, ench-lo de

gua, dividir em duas partes iguais. Fazer perguntas que tornem a situao

significativa: quem mede mais do que um metro? O passo de cada um, maior ou

menor que meio metro? Quem consegue beber meio litro de suco ou gua um dia?

A lata de refrigerante, tem mais ou menos que meio litro? Essas atividades

envolvem medidas. muito comum aparecerem fraes, quando efetuamos

medidas. Uma situao bem clara seria:

Frao como medida Exemplo

Tomar uma vara que sabemos ter 1,5 m de comprimento (mas os alunos

desconhecem isso). Pedir que, com sua fita do tamanho de 1 metro, verifiquem o

comprimento da vara. Eles vero que ela tem 1 metro mais 1 pedao. Questionar se conseguem explicar melhor que pedao esse. Procurando um modo de

resolver, eles vero que esse pedao vale meio metro.

Quando efetuamos uma medida e no obtemos um nmero natural, ento

sobra uma parte, que nossos instrumentos avaliam como uma parte fracionria.

Sobre o registro 1 2

Apesar de no haver inteno de introduzir o registro nessa fase, pode

ocorrer das crianas verem em algum lugar essa representao e lerem, talvez, um

dois. O papel do professor informar, sem maior nfase, sobre o significado

daquela escrita numrica, dizendo, por exemplo: a est escrito um meio. Quer

dizer metade. o 1 separado do 2 por um risco. Somente nesse caso, de

aparecimento do smbolo em algum lugar que chame a ateno das crianas, o

nome ser informado. No necessrio pedir que as crianas escrevam.

Nessa fase Educao Infantil e 1 srie - caso surja alguma coisa dividida

num outro nmero de partes iguais, pode-se informar no momento o nome de cada

parte. Por exemplo: algum doce repartido em quatro partes um quarto - uma

jarra de um litro que aparea graduada em dcimos um dcimo etc. No

necessrio repetir e voltar a esses termos, a no ser que a situao se renove.

Propondo sempre problemas

Maria cortou uma laranja para dividi-la bem certinho entre si e uma colega.

Que parte da laranja cada uma recebeu?

Estimular o pensamento de cada uma, bem como qualquer tipo de expresso da

resposta: falada, escrita, desenhada.

Lembrar que, nessa fase, as crianas tm necessidade de registrar todas as

partes obtidas na diviso (e no apenas dizer o que coube a uma elas, para ser

generalizado para as demais). Exemplos de expresso das respostas:

- Eu ganhei meia laranja. A Dbora ganhou meia laranja.

- Uma laranja Metade para mim e metade para minha amiga. meia laranja- Uma laranja meia laranja

-

- Se a representao da diviso j foi introduzida:1 laranja 2 crianas

Celina estava fazendo 9 anos. O pai dela lembrou que metade da vida ela havia

morado com seus avs. Quanto tempo Celina ficou com os avs?

No necessrio ensinar nada. S deixar a crianas pensarem, fazerem hipteses, apresentarem respostas de um grupo a outro e repensarem... at se

certificarem de uma soluo a que podem chegar sozinhas.

2 e 3 sries

Nessa fase, as crianas devem continuar a aprender e a compreender a noo

das primeiras fraes. De modo anlogo aprendizagem dos primeiros nmeros

naturais, isso pode se estender por vrios anos talvez cerca de dois anos, para

que as crianas construam o entendimento das primeiras fraes.

Ainda estaremos dando nfase s fraes unitrias, a quantas de cada uma

formam a unidade. Se a situao faz referncia a vrios pedaos de uma mesma

frao unitria, diremos: dois pedaos de 1 tero, 3 pedaos de 1 quarto.

Como dissemos, essa explorao no deve ocorrer linearmente (1 meio - 1

tero 1 quarto 1 quinto etc) ou s num momento da 2 srie e em outro da 3,

mas deve voltar sempre, ao longo desses dois anos.

Sugestes de situaes que podem ser aproveitadas para continuar a introduo de nmeros fracionrios

Para introduzir a noo de um quarto:

Aproveitar a diviso de um sanduche, uma laranja ou um doce em quatro

partes iguais. Dizer o nome de cada uma: um quarto. Fazer notarem de quantos

quartos precisamos para formar uma coisa inteira.

- Para introduzir a noo de 1 oitavo - Brincando com a pizza

Ilustrao: pizza dividida de modo todo errado, fatias estreitas e outras largas

Se algum contar que comeu pizza, perguntar se viu como ela estava dividida.

Podero fazer um desenho. Provavelmente ela aparece dividida numa seqncia de

fatias justapostas e desiguais.

Continuar o questionamento se sabem em quantas partes ela vem dividida,

como o cozinheiro do bar ou a me fazem para dividir a pizza.

Fazer uma pizza de massa de modelar e mostrar como dividida:

- Marcar mais ou menos o lugar do centro

- Fazer um corte reto, de um lado ao outro, passando pelo centro e dividindo a

pizza. Questionar sobre o que se obteve (duas metades)

- A partir do centro, fazer um corte perpendicular ao anterior. Como a palavra

perpendicular no ser usada, marcar o lugar do corte com auxlio do canto

reto de uma folha de papel. Ou mostrar com a mo como os dois cortes devem

ficar.

- Questionar: o que temos agora? Se falarem trs pedaos, perguntar se algum

sabe o nome daqueles pedaos. Se falarem 3 metades, mostrar estranheza: Mas

uma pizza pode ter 3 metades? Mas duas metades no formam a pizza inteira?

O objetivo lev-los a falar: uma metade e dois pedaos menores, ou mesmo:

uma metade e duas metades da metade (quartos, caso algum se lembre).

- Prolongar o trao que est s pela metade.

Questionar se agora temos pedaos iguais, e quantos so.

Informar (novamente) o nome: 1 quarto de pizza. E quantos quartos

precisamos para formar a pizza inteira? (formao do todo a partir da frao). E se

tiramos um quarto, com quantos ficamos? (complemento da frao no todo). Se os

alunos estiverem satisfeitos, parar por aqui. Se disserem que a pizza no est

completamente cortada, mostrar como podemos imaginar o meio de cada quarto:

A partir desses tracinhos, fazer cortes que passem pelo meio da pizza:

Pronto! A pizza est dividida em 8 partes iguais, igual da pizzaria. Cada

pedao desses chama-se 1 oitavo. Um oitavo metade de um quarto.

Estimular a criana, em outros dias, a cortar massas redondas, na escola ou em

casa, em 8 partes: comeando pelas metades, depois obtendo os quartos e oitavos..

- Explorar meia hora e um quarto de hora. Chamar a ateno para o fato do

ponteiro maior dar uma volta completa no mostrador, entre uma hora exata e a

seguinte. Questionar: e quando passar meia hora, quanto ele andar (meia volta no

mostrador). E onde o ponteiro estaria, quando passar 1 quarto de hora?

- Como dividir uma folha de papel em 4 partes iguais? (H vrios modos).

- Questionar sobre as vrias maneiras de se obter um quarto de torta:

Explorar: Tirando-se um quarto, quantos quartos sobram na torta?

(complemento da frao no todo)

Voltar sempre a uma questo bsica:

- Quantos quartos so necessrios para formar a torta inteira? (relao entre a

frao e o todo). Lembre-se: ao perceber quantas fraes iguais certa frao dada

so necessrias para fazer o todo, o aluno poder identificar de que frao se trata.

-Verificar quanto : 1 quarto do lpis; 1 quarto dos alunos da classe.

- Mostrar pedaos cortados numa coisa inteira e perguntar se vale mais ou

menos que 1 quarto.

- Tambm se pode mostrar um pedao isolado, contando que se possa imaginar

o todo de onde foi tirado (fatia de queijo, de pizza, de bolo redondo). As crianas

devem internalizar que 1 quarto o nome que se d ao pedao obtido pela diviso

do objeto em 4 partes iguais e que quatro quartos juntos, de uma mesma coisa,

formam essa coisa inteira (formao do inteiro). Portanto, devero imaginar se 4

pedaos daquele que est sendo mostrado formam o queijo, ou a pizza. Se no

formarem , porque o pedao menor que 1 quarto.

Para estimular os alunos, deve-se constantemente propor problemas, mesmo

sem os nomes das fraes:

1 A me dividiu um doce em 8 partes iguais. Joelmir, Maria e Glucia vieram e comeram tudo. Joelmir comeu metade do doce. Maria comeu uma das partes cortadas. Quantas partes do bolo Glucia comeu?

2 - Uma professora tinha 10 alunos. Ela dividiu uma goiabada em 10 pedaos, para dar um pedao a cada aluno. Mas trs alunos no quiseram. Dois deles eram irmos e deram seus pedaos para um primo, o outro deu seu pedao para um amigo. No lanche, os colegas comeram os pedaos que ganharam.

Quantos alunos comeram goiabada? Quantos alunos comeram mais do que um pedao? Quantos pedaos eles

comeram:? Quantos alunos comeram s um pedao?

3 - Tia Lucy tinha 5 doces para dividir igualmente entre 4 sobrinhos. Como ela

poderia fazer essa diviso?

4 Quatro crianas compraram 3 barras de chocolate e querem dividi-las igualmente entre eles. Como eles podem fazer isso?

5 Quantos meio litros cabem em um litro e meio? ? E quantos quartos de litro cabem em um litro e meio?

Atividade 2Resolva os problemas acima, do jeito que as crianas podero resolver. S

pensando, desenhando. Lembre-se que elas ainda no aprenderam conta nenhuma

com as fraes.

Uma idia para introduzir a noo de um quinto:Integrando com aula de Histria, contar que, quando o Brasil era colnia de

Portugal, os reis de l exigiam que 1 quinto do ouro produzido nas minas do Brasil

fosse enviado a Portugal. A embarcao que levava esse ouro era chamada Nau

dos Quintos. Explicar como era calculado 1 quinto.

Mostrar que 1 copo comum vale 1 quinto de um litro. Enchendo 5 copos e

despejando numa jarra, conseguiremos formar 1 litro.. Um litro pode ser dividido

em 5 copos iguais.

- Para introduzir a noo de um dcimo :Mostrar o que significa um dcimo de um bolo, de 1 litro, do metro, de 1 real

(10 centavos), do peso prprio (algumas atividades so mais adaptadas 3 srie).

- 1 bolo dividido em 10 partes iguais

Cada parte chama-se 1 dcimo (Frao como relao parte-todo)

- Para obter-se o dcimo do litro, dividir antes um litro em 5 copos iguais

(comuns, tipo americano). Dividindo cada um deles em duas partes, teremos 10

partes iguais a meio copo. Cada meio copo vale 1 dcimo do litro.

Outras fraes (mais adequadas 3 srie)

Para introduzir a noo de outras fraes, devemos proceder de modo anlogo.

No caso de sextos e oitavos, podemos usar tambm o que chamamos pratos ou

caixas sextavados, ou oitavados. A parte acentuada representa 1 sexto da caixa.

Outras idias:

- Cortar caixas de uma dzia de ovos em duas, trs, quatro e seis partes iguais e

verificar quanto vale meia dzia, 1 tero de dzia, 1 quarto e 1 sexto de dzia.

- Observar as janelas da sala e ver se elas esto divididas em partes iguais. Se

isso ocorrer, ver que nomes tm as partes que aparecem: meio, tero, oitavo etc.

- Quantos meses tem 1 ano? E meio ano? 1 tero do ano? Um sexto do ano?

Caso os alunos manifestarem curiosidade a respeito de certas fraes unitrias, o

termo poder ser informado:

Aluno: - E se eu divido em 12, como se chama cada pedao?Professor: - Combina com 1 oitavo, chama-se 1 doze avo.

Referindo-se a certa quantidade de fraes unitrias

Ao trabalharem situaes que envolvem fraes, comum os alunos terem que

se referir a uma frao unitria, tomada vrias vezes. recomendvel que, durante

certo tempo, refiram-se a tantos pedaos da frao unitria, como:

2 pedaos de 1 quarto3 pedaos de 1 oitavo 4 pedaos de 1 quinto Usando essa representao mais extensa eles conseguiro expressar suas

estratgias e resultados com maior segurana:

Eu comi trs pedaos de 1 do bolo e ainda sobraram dois pedaos de 1 . 5 5Se eu tenho 5 pedaos de 1 da pizza, preciso de mais 3 pedaos desses 8

para formar uma pizza inteira.

Essa fase de nomear tantos de 1 , tantos de 1 importante para a 4 8

aquisio de maior facilidade no reconhecimento, formao de imagens mentais e

raciocnio com relao s fraes.

Tambm surgiro expresses como:

1 mais 2 de 1 formam uma coisa inteira

2 4

Em particular, nossos experimentos iniciais parecem apontar para a soluo de

um dos problemas destacados numa das pesquisas citadas, no tocante ao

reconhecimento de partes pintadas no contguas, num todo dividido:

3 de 1 oitavo - o que dizem alunos que vivenciam nossa proposta

Se as partes pintadas no tm marcas das divises, os alunos dizem:

1 de 1 quarto e 1 de 1 oitavo

As crianas demonstram maior compreenso da natureza das partes. Se

perguntamos: como voc sabe que esse 1 quarto ? elas respondem: porque 4

desses enchem tudo. Da mesma forma, se perguntamos: como voc sabe que esse 1 oitavo ? eles respondem: 8 formam toda figura.

Esse modo de descrever um pouco mais fcil do que aquele que a escola

ensina, pois no exige a coordenao simultnea de dois nmeros - o que indica

em quantas partes foi dividido e o que indica quantas foram tomadas - para

compor um terceiro. Assim, dizer 1 quarto mais 1 oitavo mais fcil do que

imaginar a figura dividida em 8, notar que 2 esto destacadas, mas uma delas vale

duas, e fazer a coordenao: dividida em 8 e tomadas 3, como o nome dessa

parte? No h problema em que as crianas digam 1 quarto mais 1 oitavo em vez de 3 oitavos. A percepo da equivalncia ser adquirida gradativamente.

Aps essa fase, em que o aluno descreve, por extenso, quantas fraes

unitrias est vendo, temos um prximo passo de natureza verbal.

At aqui, frente a situaes do tipo: o chocolate estava dividido em dcimos, 5 meninos dividiram o chocolate igualmente entre si, quanto cada um pegou?, os

alunos estavam acostumados a responder: 2 pedaos de 1 dcimo. O professor poder comear a informar que podemos dizer 2 dcimos.

Essa passagem, de natureza verbal, demanda ateno. Na verdade, trata-se de

fazer uma eliso de linguagem:

(Eliso: supresso de uma vogal final em uma palavra antes de outra palavra comeada por outra vogal ou por h.// Supresso, eliminao.)

Substituir Por6 pedaos de 1 dcimo 6 dcimos2 pedaos de 1 oitavo 2 oitavos

Essa nova maneira de falar ser desenvolvida por simples observaes. Ao

ouvir 3 pedaos de 1 quarto o professor observa: podemos dizer 3 quartos .

Quantidades fracionrias que envolvem mais do que uma unidade

Os alunos j sabem que, com 4 quartos, formam 1 unidade. O professor pode

questionar quantas unidades formam com 9 quartos, e se ainda sobra algum quarto.

Os alunos devero pensar, discutir entre si e concluir, sozinhos, que com 9

quartos d para formar duas unidades e ainda sobra 1 quarto.

Se tiverem uma quantidade como 27 doze avos, o professor ou professora

dever questionar: e com esses doze avos, quantas coisas inteiras d para formar?

Levar os alunos a perceberem que precisam juntar de doze em doze, para ir

formando as unidades. Percebero logo que, juntando 12, formam uma unidade, e,

juntando mais 12, formam outra unidade, e at a j gastaram 24 doze avos. Ainda

sobram 3, que no d para formar uma unidade. Entendero que 27 doze avos o

mesmo que 2 unidades e 3 doze avos.

Mais tarde, ou com nmeros maiores, eles podero usar a diviso para saber

quantos grupos de 12 pedaos conseguem fazer. Sabero que o resto significa o

nmero de pedaos (doze avos) que sobram.

Um problema com muitas pizzas e muitas pessoas

24 pessoas foram juntas a uma pizzaria e pediram 18 pizzas. No h uma mesa

onde possam sentar todas juntas. Como distribuir as pessoas e as pizzas em mesas

menores, de modo que todos possam comer igualmente? (Adaptado de Streefland,

mencionado em Nunes e Bryant (1997), p. 214).

O texto comenta que os alunos podem tentar arranjos diferentes: se eles usarem

duas mesas, sero 12 crianas e 9 pizzas em cada; se usarem 3 mesas, 8 crianas e

6 pizzas em cada; caso usem 4 mesas, tero 6 crianas em cada e precisaro cortar

algumas das pizzas pela metade e ter 4 pizzas e meia em cada mesa.

Nesse problema, aparece a idia de razo:

9 pizzas para 12 crianas o mesmo que

6 pizzas para 8 crianas, que o mesmo que

4 e meia pizzas para 6 crianas, que o mesmo que

3 pizzas para 4 crianas, que o mesmo que

1 pizza e meia para 2 crianas, que o mesmo que

........... de pizza para 1 criana.

Como dividir uma pizza e meia por 2? Tente, mas sem usar contas

decoradas....

Observe que, em qualquer caso, foram 3 quartos de pizza para cada pessoa.

Comiles, no ?

Comentrio aos professoresNo problema, temos uma relao entre o nmero de pizzas e o nmero de

pessoas.

18 para 249 para 12 6 para 8 3 para 4 Costuma-se chamar essa relao de razo. A razo inicial era 18 para 24. Nas

divises entre as mesas, essa razo no mudou, embora tenha sido expressa por

outros nmeros. Por que sabemos que no mudou? Podemos argumentar que 3

pizzas para 4 pessoas o mesmo que 6 pizzas para 8 pessoas, ou 9 para 12 etc

Mas como podemos ter certeza que essas razes no mudaram?

Lembram-se que, ao final, conclumos que seriam de pizza para cada

pessoa? Pois . Essa frao est associada com todas as razes descritas. Vejam de

que modo: dividindo-se os dois nmeros que apareciam em cada razo, um pelo

outro, d sempre essa mesma frao.

18 24 = 9 12 = 6 8 = 3 4 =

Essa frao significa o seguinte: em qualquer das razes, o nmero de pizzas

igual a do nmero de pessoas.

Razes no so um assunto muito simples, mas problemas que as envolvem

podem e devem ser trabalhados com as crianas. Voltaremos ao tema na Seo 3.

Todos os problemas j apresentados conduzem a estratgias prprias das

crianas. Alguns deles no pedem, propositadamente, uma informao numrica,

que pode bloquear o raciocnio. Em vez disso, perguntam pela maneira como a

situao pode ser resolvida, o que estimula muito mais a criana a pensar.

Atividade 3Professor ou professora: Pegue um livro de 3srie e abra no incio do captulo

de fraes. Observe as duas primeiras pginas desse captulo

a) Anote todas as fraes que esto sendo mencionadas nessas duas pginas e

os smbolos introduzidos para elas. Anote tambm toda a nomenclatura especfica

de fraes que foi introduzida.

b) Pesquise no livro se o autor havia explorado anteriormente qualquer das

coisas anotadas.

c) Voc considera que, s com o trabalho dessas duas pginas, a criana

construir realmente, de maneira slida, a idia das fraes que esto sendo

exploradas?

d) E se o aluno j tivesse passado por um longo perodo de familiaridade e

explorao dessas fraes, como descrevemos acima, sua aprendizagem daquelas

duas folhas poderia ser diferente? .

Observao: Junte o xerox das duas pginas resoluo da Atividade.

Objetivo 4

Introduo da representao numrica associada s fraesRepresentando as fraes unitrias

Se o aluno tiver clareza sobre o significado de cada frao, sabendo usar seus

nomes para designar partes que aparecem no cotidiano, ento a introduo de

alguns smbolos - comeando pelos que designam fraes unitrias - no ser

mais um obstculo sua compreenso.

Assim mesmo, cuidados devero ser tomados. Um bom incio ser introduzir o registro numrico 1 . No difcil ach-lo, principalmente em receitas culinrias.

2

Pudim de PoIngredientes:1 xcara de cubinhos de po de forma1 ovo

1 colher (de sopa) de manteiga ou margarina derretida1/2 de xcara de passas 2 colheres (de sopa) de acar mascavo1/2 colher (de ch) de canela em p1 xcara de leiteModo de Preparar:Aquea o forno em temperatura moderada .Coloque os cubinhos de po numa forma refratria com capacidade para 2 e

1/2 xcaras. Bata o ovo ligeiramente com um garfo, junte a manteiga, o leite, o acar mascavo, a canela e as passas. Despeje sobre os cubinhos de po. Asse at que, enfiando uma faca entre a borda e o meio, esta saia limpa.

Sirva morno. Para 2 pessoas

O aluno dever familiarizar-se com o uso do smbolo 1, por cerca de um 2

ms. Devero observar manchetes de jornais ou outro material que contenha essa representao. Depois disso, podero conhecer 1 = 1 quarto e 1 = 1 oitavo. 4 8

Nesse ponto, eles comeam a fazer inferncias.

Percebem que, quando pegavam 1 quarto, haviam dividido a unidade em 4

partes iguais e o 4 est aparecendo na representao do 1 quarto.

Percebem que, quando pegavam 1 oitavo, haviam dividido a unidade em 8

partes iguais e o 8 est aparecendo na representao do 1 oitavo.

Comeam a fazer suposies, a achar que, na escrita do 1 dcimo, dever

aparecer 1 em cima e 10 embaixo. Esses raciocnios devem ser encorajados. A

generalizao deve vir da parte dos alunos, segundo o ritmo de sua aprendizagem.

Ao fazerem essa generalizao, os alunos estaro percebendo uma funo histrica

do denominador, comprovada pela prpria etimologia da palavra:

Denominador o que denomina, d nome frao.

Desse modo, aps cerca de mais um ms, os alunos estaro familiarizados

com as representaes das fraes unitrias, no tendo dificuldade em l-las:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 5 10 3 6 9 7

Se os denominadores so maiores que 10, teremos a terminologia avo ou avos.

Mas a representao no causa maior problema: se um todo foi dividido em 15

partes, represento por 1 e leio 1 quinze avo.

15Esse trabalho com as fraes unitrias reala o nome das fraes, dado pelo

denominador.

Essa fase prepara e facilita a representao de mltiplos pedaos de uma

mesma frao unitria, sobre a qual os alunos podem manifestar certa curiosidade.

Eles podem pensar: 2 de so 2 quartos, tem um jeito de escrever isso?

Teremos uma passagem, de natureza simblico-representacional:

Modo de escrever por extenso Pode ser substitudo por3 de 1 8

3 8

2 de 1 5

2 5

Com esse desenvolvimento, comum os alunos conservarem o costume de ler

3 como 3 de 1 8 8Isso no tem importncia, pois trata-se de uma interpretao correta, que faz

mais sentido para o aluno. Aos poucos, ele adquire a terminologia correta.

Atividade 4Ao longo da Histria, diversas culturas representaram fraes de vrios modos.

Pesquise na Internet sobre alguns modos que existiram, diferentes do atual.

Objetivo 5 Levantar dificuldades quanto passagem da idia de frao de nmero

fracionrioDurante as etapas sugeridas, a criana constri a compreenso das fraes e

aprende a identific-las Embora pense nas fraes mais como partes concretas de

algum objeto, percebe, aos poucos, que se tratam de partes ou quantidades ligadas

a nomes que as quantificam - nomes que envolvem nmeros, como 1 quarto, 2

sextos. Aos poucos, a idia de nmero fracionrio vai insinuando-se.

Do mesmo modo que, para a construo da noo de um nmero natural -

3, por exemplo - necessrio que a criana perceba algo comum quando pega

colees com 3 elementos, tambm para a construo de um nmero fracionrio

1/3, por exemplo, necessrio que a criana perceba algo comum quando v 1/3

da folha de papel, 1/3 do bolo, 1/3 da dzia de ovos. Essa percepo do algo

comum que conduz abstrao da noo do nmero associado quelas situaes

mais fcil nos naturais do que nas fraes. Isso porque, nos nmeros naturais, a

correspondncia biunvoca entre as colees mais visvel, traduzida por

expresses como o mesmo tanto. Ela aprende a ver, com poucos anos, se h o

mesmo tanto de garrafas e de tampas, ou se existe o mesmo tanto de cachorros e

de crianas num desenho, aprende tambm a ver pequenas quantidades de bolinhas

e a pegar o mesmo tanto de peas de um jogo. A correspondncia se d entre

conjuntos discretos. Nas fraes, o processo correspondente o de perceber que

representam a mesma parte de um todo. A correspondncia pode ser entre uma

parte contnua de um todo e uma parte contnua de outro todo (1/3 da ma e 1/3

do bolo) ou entre uma parte contnua de um todo e uma parte discreta de outro

todo (1/3 do bolo e 1/3 da dzia de ovos). A dificuldade maior na abstrao

facilmente vista em jogos anlogos, nos nmeros naturais e nos fracionrios. Por

exemplo, nos nmeros naturais pode-se trabalhar com um domin de juntar a pea

que tem o mesmo tanto (quantidades at 3, 4, ...10 ou 12, conforme a idade). As

figuras so diferentes, em forma e em tamanho. As crianas no tm dificuldade

em juntar uma parte que tem um sol bem grande com outra parte que tem uma

pequena mosca, nem em juntar 2 garrafas com dois gros de milho. O domin

correspondente para fraes, em que a criana dever juntar peas que expressam

a mesma parte do todo, oferece maior dificuldade. Ela poder juntar, por

exemplo, 1/3 de queijo redondo com 1/3 de chocolate (o tamanho original do

chocolate fica evidenciado pelo invlucro) ou com uma caixa de ovos com 4 ovos.

necessrio um trabalho do professor para estimular essa associao. Para

Cotosk, V. (1998), a percepo da relao entre a parte tomada e o todo,

interpretada, reiteradamente, em variados contextos concretos que vai, a nosso

ver, engendrar a percepo de p/q como algo independente das concretudes consideradas. Quando dividimos uma dzia de laranjas em quatro partes iguais e

tomamos trs dessas partes, ficamos com 9 laranjas. Mas o que vai instigar a concepo de 3/4 como um nmero no o 9 em si, mas a poro da dzia que o

9 representa. Essa que a novidade a ser trabalhada como um desafio percepo da criana: 3/4 de um segmento deve ser enfatizado no s como o

segmento resultante da operao de dividir o total em 4 partes e tomar 3 delas, mas tambm e principalmente como a poro do todo que esse segmento menor

representa. Isto exige um olhar simultneo para o segmento menor e o todo.

A contagem outro procedimento usual nos nmeros naturais que pode ter um

anlogo para os nmeros fracionrios, contribuindo para dar um sentido de nmero

s fraes. Como exemplo, o processo de contar de em , percebendo a

formao de quantidades inteiras. Expressando essas seqncias os alunos

percebem a ordenao e conseguem fazer comparaes entre nmeros digamos,

entre 2 e 3 - num outro nvel, independentemente de terem que visualizar

representaes concretas para cada um

Seo 2 Introduzindo as idias de operaes com os nmeros fracionrios nas sries inicias do Ensino Fundamental

Objetivos da Seo

1 Apresentar novas tendncias curriculares 2 Apresentar as propostas dos PCNs, referentes ao ensino e

aprendizagem de nmeros racionais na forma fracionria.

3 Apresentar idias norteadoras para uma proposta do ensino-aprendizagem do clculo com fraes, fundamentadas nas concepes

expostas de educao matemtica e nas tendncias curriculares atuais.

4 - Introduzir clculos com fraes, centrados em situaes-problema

associadas ao contexto cotidiano, que possibilitem ao aluno consolidar a

idia de frao, de nmero fracionrio e de suas relaes.

Novas tendncias curriculares

No h como perder de vista que este fascculo destina-se formao bsica,

em nvel superior, de professores das sries iniciais. Do ponto de vista de capacit-

los para o ensino e a aprendizagem dos nmeros fracionrios, preciso refletir

sobre o que relevante a esse processo - quais so as tendncias gerais em

Educao Matemtica, em particular sobre os nmeros fracionrios, e no que se

fundamentam; quais so as diretrizes a respeito desse ensino, nos PCNs; e qual a

linha de desenvolvimento do ensino e aprendizagem desse tpico que adotaremos.

Mudanas na concepo de educao matemtica tm causado alteraes nos

currculos de matemtica de vrios pases, que passaram a privilegiar a

competncia na inventividade de processos de resoluo, mais do que na

apresentao de resultados. Isso diz respeito, diretamente, construo

significativa das operaes e de estratgias para resolv-las. A criao de

processos revela o raciocnio, a capacidade criativa de estabelecer relaes, fazer

hipteses e test-las, experimentar e comprovar. A apresentao do resultado,

muitas vezes, relaciona-se ao domnio de uma tcnica para resolver aquele

problema especfico. A prioridade para a criao de processos relaciona-se

diretamente com a preparao para a vida profissional no mercado atual.

Em Romberg, (1995) p. 94, encontramos, em captulo de autoria de Jan de

Lange: Durante experimentos na Holanda ao longo da ltima dcada, ficou claro

que a matemtica no novo currculo no-algoritmica, tem mltiplas solues,

envolve incerteza e necessidade de interpretao. O que significa que ficaram

para trs: a nfase nos processos operatrios mecnicos, os problemas sempre com

solues nicas, a infalibilidade dos clculos e a crena total nas tcnicas e nos

resultados, onde se dispensava qualquer interpretao.

Por outro lado, o contexto da vida real passou a ter um papel especial nas

novas tendncias de educao matemtica, seja na resoluo de problemas, ou

como ponto de partida para o desenvolvimento de idias e conceitos matemticos.

Os PCNs e os nmeros racionais na forma fracionria (at a 4 srie) Em nosso pas, essas idias permeiam os Parmetros Curriculares Nacionais,

que devem nortear as propostas curriculares estaduais e locais. Destacamos de l

algumas frases relevantes, relacionadas ao ensino e aprendizagem das fraes.

Constam entre os objetivos do 2 Ciclo do Ensino Fundamental:

- Construir o significado do nmero racional e de suas representaes

(fracionria e decimal), a partir de seus diferentes usos no contexto socialSob o ttulo Contedos de Matemtica para o Segundo Ciclo temos:

- Neste ciclo, so apresentadas ao aluno situaes-problema cujas solues no se encontram no campo dos nmeros naturais, possibilitando, assim, que eles

se aproximem da noo de nmero racional, pela compreenso de alguns de seus significados (quociente, parte-todo, razo) e de suas representaes, fracionria

e decimal (pgina 83).

No item Contedos Conceituais e Procedimentais, do mesmo ciclo, temos:

Leitura, escrita, comparao e ordenao de representaes fracionrias de uso freqente (pgina 86).

Nas Operaes com Nmeros Naturais e Racionais aparece um item referente

adio e subtrao de nmeros racionais na forma decimal, sem o item

correspondente para a representao fracionria. Tambm no item Orientaes

Didticas sobre as Operaes com Nmeros Racionais (pginas 124/125), no h

referncia ao clculo de racionais na forma fracionria.

Em sntese, de acordo com os PCNs, o desenvolvimento de fraes at a 4a

srie deve centrar-se nas idias associadas ao nmero fracionrio, e na leitura, escrita, comparao e ordenao de representaes fracionrias de uso

freqente.Ao nosso ver, no h como dissociar essas competncias da resoluo informal

de situaes-problema, por meio de operaes intuitivas com esses nmeros.

Atividade 5

Se voc d aulas na 4 srie, responda voc mesmo. Se no d, pea a um

colega que esteja lecionando nessa srie, para responder s questes:

a- Voc conhece o programa sugerido pelos PCNs para o tema nmeros

fracionrios (ou racionais positivos), at a 4 srie?

b- Os captulos sobre esse assunto (fraes e nmeros fracionrios), no livro

que voc adota ou toma como referncia, esto de acordo com o que

proposto nos PCNs? Cite os pontos de convergncia e os de divergncia.

Mencione o nome do livro, do autor e ano de publicao.

c O programa que voc desenvolve sobre esse assunto em sala de aula est

de acordo com os PCNs? Cite os pontos de convergncia e os de divergncia.

As consideraes introdutrias que fizemos, baseadas tanto em estudos

internacionais quanto nacionais, sustentam a linha de desenvolvimento que

adotaremos no ensino e aprendizagem do clculo inicial com fraes.

Resumindo

A proposta que desenvolveremos, relativa ao ensino e aprendizagem do

clculo com fraes, centra-se nas seguintes caractersticas:

Sem algoritmos usuaisCom pouca notao formalInsero num contexto de realidadeDesenvolvendo a inventividade dos processos de resoluo Desenvolvendo o raciocnio, a capacidade de estabelecer

relaes, de fazer hipteses e test- las, de experimentar e comprovar

Desenvolver problemas e processos aos quais os alunos possam atribuir significados

Interpretando problemas e processosExplorando problemas com mltiplas solues ou sem solues

Introduzir clculos com fraes, centrados em situaes-problema

Professor e Professora Vocs vero, por meio de situaes e atividades, como o clculo operatrio

com fraes pode ser introduzido, respeitando as caractersticas que citamos,

fundamentadas nas concepes atuais de educao matemtica e nas tendncias

curriculares atuais.

Apresentaremos as operaes, inicialmente, restritas a famlias de fraes:

Meios quartos oitavosTeros sextos doze avos

Quintos dcimos vinte avosEm cada uma das famlias, as operaes evidenciam as relaes entre as

fraes correspondentes, possibilitando ao aluno consolidar a idia de fraes, de

nmeros fracionrios e de suas relaes.

Aps o trabalho com famlias, apresentaremos consideraes mais gerais sobre as operaes, mas ainda de modo no algortmico, num contexto significativo para

o aluno, e desenvolvendo a inventividade dos processos de resoluo.

Se voc resolver essas atividades, ou aplic-las a seus alunos, estar

descobrindo que h muitas maneiras de ver as fraes e os nmeros fracionrios e

poder constatar, tambm, vrios modos de pensar que os alunos tm.

Observao: A parte desse fascculo referente a famlias de fraes foi adaptada de PROFORMAO (1998).

MEIO QUARTO OITAVO

Veja que h modos diferentes de se obter meios, ou metades de uma folha,

conforme o jeito que se corta:

Quando temos metades, dividindo-se cada uma ao meio, a folha fica dividida

em 4 partes iguais 4 quartos.

Tambm h vrios modos de se dividir uma folha em 4 partes iguais. Em

qualquer um desses casos, obtm-se quartos da folha. Um quarto da primeira folha

vale o mesmo que um quarto da segunda ou da terceira, embora paream

diferentes:

Dividindo-se cada quarto ao meio, a folha fica dividida em 8 partes iguais 8

oitavos. Veja que tambm h vrios modos de cortar oitavos da folha. Todos eles

valem igualmente. O que se gasta de papel em um deles, o mesmo que se gasta

em qualquer dos outros. Se for um chocolate, tanto faz voc comer um pedao da

primeira barra, ou da segunda, ou da terceira:

Veja que fizemos vrias divises com a folha de papel:

1 folha 2 partes iguais = 1

2

Meia folha 2 partes iguais = 14

1 quarto de folha 2 partes iguais = 18

Fazendo operaes envolvendo meios, quartos e oitavos

Usando apenas seu conhecimento das fraes meio, quarto e oitavo, e sem usar

regras para operaes, coloque os resultados:

a) 2 + b) 5 - c) 1 2 4 4 1 1 2 4 3 x ___ ___ ___

1/2 cocada 2 partes de doce 3 crianas 6/8 de bolo 2

Duas metades formam 1 inteiro (ou uma unidade): 12

+ 12

= 1

Dois quartos formam uma metade: 14

+ 14

= 12

Dois oitavos formam 1 quarto: 18

+ 18

= 14

Com multiplicaes, podemos escrever essas somas assim:

2 x 12

= 1 2 x 14

= 12

2 x 18

= 14

A explorao da famlia meio-quarto-oitavo, centrada em divises sucessivas,

evidencia a propriedade de que quanto mais dividimos certa coisa, menor fica. Ou seja, ela propicia a compreenso da relao inversa entre o nmero de partes e

seu tamanho. Dessa maneira, a criana passa a reconhecer prontamente que 1/8

menor do que porque dividiu em mais partes.

Conhecendo dois modos diferentes de obter a frao 3 4Voc j sabe que a frao pode ser vista, entre outros modos, como uma

relao parte-todo e como uma diviso. Vamos estudar melhor essas duas

interpretaes. Para isso, vamos imaginar aes concretas que nos permitam obter

trs quartos de alguma coisa. Por exemplo, de um bolo.

1 modo para obteno de do bolo:

Pegar apenas um bolo, dividi-lo em 4 partes iguais, tomar 3 delas.

A frao aparece como 3 partes de um inteiro que foi dividido em 4 partes iguais. Esse modo expressa uma relao entre a parte tomada e o todo: foram

tomadas 3 em 4. A frao est sendo vista como uma relao parte-todo.

2 modo para obteno de do bolo:

Aqui devemos tomar trs bolos iguais, e dividi-los em 4 partes iguais:

Podemos dividir cada bolo em 4 partes, dando uma parte de cada um a cada criana

Cada criana recebe um quarto do primeiro bolo. Tambm vai receber um

quarto do segundo bolo, e mais um quarto do terceiro.

Ao todo, cada criana recebe 3 quartos de bolo. Portanto: 3 4 = 3 4 Ou seja, o resultado da diviso de 3 por 4. Aqui a mesma frao aparece como resultado da diviso de trs bolos para 4

crianas (diviso de dois nmeros naturais). A frao est sendo vista como resultado de uma diviso.

Frao como diviso

Esse um aspecto pouco explorado na escola. Poucos alunos

conseguem perceber que as fraes (como partes de uma unidade) podem

ser vistas como resultados de divises de um certo nmero de unidades

em partes iguais:

2 = 2 5 3 = 3 7 5 7

Portanto, o nmero fracionrio 2/5 expressa o resultado da diviso do

nmero natural 2 pelo nmero natural 5. Tambm se pode expressar o

resultado dessa diviso na forma decimal: 2 5 = 0,4.

Os dois resultados : 2/5 e 0,4 so iguais. So a representao

fracionria e a representao decimal de um mesmo nmero racional.

TEROS, SEXTOS E DOZE AVOSTambm interessante, em certo momento, trabalhar de modo conjunto com

esses trs tipos de fraes.

Se dividirmos uma unidade em 3 partes iguais, ou de mesmo valor, cada uma

recebe o nome de 1 tero e representada por 13

.

1 tero 1 tero 1 tero

Tambm poderamos ter dividido horizontalmente, obtendo tiras fininhas.

Valeria o mesmo que o tero representado na figura apresentada.

Veja outra maneira curiosa de se dividir uma folha em trs teros.

Primeiro marcamos o tero da direita. O que sobra vale, portanto, 2 teros.

Dividindo-o ao meio, como quisermos, aparecem dois pedaos de 1 tero, que

valem tanto quanto o primeiro tero.

1 tero 1 tero 1 tero

Vamos prosseguir nas divises. Pegue o tero da esquerda e divida-o ao meio.

E agora? Quantos desses pedaos so necessrios para encher a figura? Como

so dois pedaos para cada tero, sero necessrios 6 para a unidade toda. Quando

seis pedaos iguais formam a coisa toda, cada um chama-se1 sexto. Voc viu que

1 sexto metade de 1 tero.

1 sexto 1 sexto 1 sexto

1 sexto 1 sexto 1 sexto

Podemos tomar algumas dessas partes. Por exemplo:

A parte escura representa 2 sextos da figura.

Outro modo de dividirmos os teros ao meio:

Cada

tringulo desse vale 1 sexto da figura

Continuando a dividir ... Se dividirmos 1/6 ao meio:

Veja que precisaremos 2 pedacinhos para cobrir 1 sexto, portanto 12 para

encher toda a figura. Por isso a metade do sexto chama-se 1 doze avo .

Dividindo-se todos os sextos ao meio teremos 12 partes, cada uma chamada 1 doze avo e representada por 1 .

12Fazendo operaes envolvendo teros, sextos e doze avos

a) 3 mais ou menos que 1?.............................6 2

b) Se j tenho 2/3 , quantos sextos preciso para formar 1

inteiro?...........................

c) 2 + d) 1 - e) 2 6 6 3 1 6 3 3 x _ ___ ___

1 /3 2partes 6/6 3 crianas 9/12 3 crianas

A dvida de um aluno e uma estorinha em sala de aula

A explorao de mais uma famlia de fraes permite ao aluno prosseguir na

percepo do que ocorre quando dividimos uma frao unitria ao meio. Ele

dividiu 1/3 ao meio e obteve 1/6. Dividiu 1/6 ao meio e obteve a frao 1/12.

Percebe que 6 o dobro de 3 e que 12 o dobro de 6.

Pode sentir curiosidade em saber se isso aconteceria com qualquer frao. Se

tomasse, por exemplo, um pedao de 1/7, e o dividisse ao meio, o novo pedao

obtido seria igual a 1/14?

Antes de correr a pegar material concreto, ou correr a fazer um desenho,

bom que o professor estimule reflexes. Ele pode dizer: Bom, pr voc ter 1/7

precisa ter dividido uma coisa em 7 partes. Dividindo s uma delas ao meio, voc fica com dois pedaos cobrindo o 1/7. Quantos pedaos desses precisa pr cobrir

todas as 7 partes? Com perguntas e argumentaes bem colocadas, a criana poder perceber que sero necessrio 14 pedaos daqueles para cobrir todas as

partes (stimos). A ela j identifica a frao: 1/14.

Caso haja dvidas, pedir que verifiquem isso do modo que quiserem.

Repetidas vezes, temos visto algo diferente acontecer. Ao surgir a dvida

inicial: tomando um pedao igual a 1/7, e dividindo essa frao ao meio, a nova

frao obtida ser igual a 1/14?, o professor diz algo como claro que sim. Em seguida desenha prontamente no quadro uma unidade dividida em sete partes,

divide todas ao meio, geralmente com um nico risco, e diz: viram? Ficamos com quatorze avos. As crianas ficam paradas, olhando, sem reagir. Claramente no

compreendem o que foi feito. Em parte, porque s queriam saber se 1/7 dividido

ao meio dava 1/14. No queriam tomar 7 stimos e, muito menos, dividir todos ao

meio. De repente apareceu uma unidade toda, cheia de stimos e com muitos

quatorze avos. Eles no entendem nada.

Outra observao: dizer claro que sim gera certa reao no aluno - porqu ele prprio no viu algo to fcil? Evitar fazer novas hipteses ou perguntas.

Ressaltamos, novamente, que o estudo das famlias reala a relao inversa

entre o nmero de partes em que a unidade dividida e o tamanho de cada parte.

QUINTOS, DCIMOS E VINTE AVOSComo nos casos anteriores, dedicar alguns dias ao trabalho com essas fraes

far os alunos perceberem melhor as relaes entre elas.

Dividindo-se uma unidade em 5 partes iguais, ou de mesmo valor, cada uma

recebe o nome de 1 quinto e representada por 15

. Se tenho quintos, juntando 5

deles, formo a unidade. Dividindo-se cada quinto ao meio, a unidade fica dividida

em 10 partes iguais, cada uma chamada 1 dcimo e representada por 110

.

1quinto

qui

nto

1quinto

qui

nto

1quinto

qui

nto

1 quinto

1 quinto

1dcimo 1dcimo 1dcimo 1dcimo 1dcimo

1dcimo 1dcimo 1dcimo 1dcimo 1dcimo

Juntando-se 10 dcimos, ser formada a unidade toda.

Dividindo-se cada dcimo ao meio, a unidade ficar dividida em 20 partes

iguais, cada uma denominada 1 vinte avo. importante que esses esquemas de representaes tenham sido precedidos de

manipulaes mais concretas. J sugerimos, na Seo 1, mostrar que um litro de

gua pode ser dividido em 5 copos de gua (do tipo comum, ou americano), e

depois dividir a gua de cada um dos 5 copos em duas partes iguais. Desse modo

vamos obter, ao todo, dez meio copos. Isso permite dizer que:

a) Cada copo comum corresponde frao ____ de litro.

b) Meio copo comum corresponde frao ____ do litro.

Fazendo operaes envolvendo quintos, dcimos e vinte avos

a) O bolo est dividido em 2 metades. Uma metade est dividida em 5 fatias

iguais. Cada fatia vale 1 .......... do bolo.

(Repare: 5 fatias formam metade do bolo, 10 fatias formam o bolo todo. Logo

cada fatia vale 1 dcimo)

b) 1 e 2 + c) 1 e 4 + d) 9 10 10 10

2 e 4 2 e 8 3 10 10 10 .

.................. .................. ............

Repare que em c) obteremos 3 e 12/10, o que poder ser escrito 4 e 2/10.

e) 1 inteiro f) 2 g) 1 2 = ___ 10 5 2 10 3 x ___ ___

Atividade 6Cite algumas vantagens e desvantagens do trabalho com famlias de fraes..

Situaes aditivas-subtrativasResolvidas por mtodos prprios e registros livres, fundamentadas na

compreenso das quantidades fracionrias e de suas relaesAs situaes e problemas propostos devem considerar o campo conceitual

aditivo-subtrativo, do mesmo modo como foi feito com os nmeros naturais. Essas

atividades visam consolidar a idia de fraes e nmeros fracionrios, por meio de

seu uso em situaes do cotidiano, que exigiro reflexo sobre o significado das

partes que aparecem nas situaes e dos nmeros associados a elas.

No h um modo de se ensinar a resolver essas atividades. Elas devero ser

apresentadas aos alunos para que as resolvam por estratgias prprias, calcadas em

sua compreenso do nmero fracionrio. Os registros tambm devem ser livres,

usando palavras, desenhos, esquemas, com ou sem smbolos numricos.

Situaes ligadas ao campo aditivo-subtrativo

1 - Para fazer um leite batido, foram misturados:

Meio litro de leite

1 quarto de litro de suco de laranja

1 quarto de litro de suco de acerola

Quantos litros de leite batido foram feitos?

Soluo 1: Mental1 quarto + 1 quarto

igual metade (ou meio)Meio + meio d um

litro todo

Soluo 21 quarto + 1 meio + 1quarto metade Metade 1 (inteiro)

Soluo 3 + + 2/4 = 1

Voc consegue imaginar mais uma soluo, diferente da usual?

Repare: Esse problema envolve uma situao associada idia de combinar

dois estados para obter um terceiro, mais comumente identificada como ao de

juntar. (Na verdade, combinamos 3 estados para achar um quarto).

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2 A me dividiu o bolo inteiro em 10 fatias iguais. Depois do lanche s