fractais l-systems - computação natural -
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Fractais L-Systems - Computação Natural -. Componentes:. Alessandro Oliveira Giovanni Comarela Leonel Fonseca Tatiana Pontes Yuri Tavares. Sumário. Fractais Introdução Motivação Dimensão fractal L-systems Definição Histórico Estrutura Exemplos Aplicações. Introdução. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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FractaisL-Systems
- Computação Natural -
Componentes:Alessandro OliveiraGiovanni ComarelaLeonel FonsecaTatiana PontesYuri Tavares
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SumárioFractais• Introdução• Motivação• Dimensão fractal
L-systems• Definição• Histórico• Estrutura• Exemplos• Aplicações
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IntroduçãoSurgimento dos fractais:• Do latim fractus: quebrado, fraturado • O termo “fractal” surgiu em 1975 (Benoît Mandelbrot)• Inspirado no paradoxo da costa
Características dos fractais:• Autossimilaridade e/ou autossimilaridade estatística • Maneira bem definida de criação do fractal• Pertencem a uma “dimensão fractal”
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Motivação• Modelagem de estruturas naturais (árvores, flocos de neve, etc)
• Modelagem de objetos que possuem uma natureza caótica
• Maneira relativamente simples de se representar estruturas complexas
• Natureza aleatória de eventos naturais (crescimento de galhos numa árvore)
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Motivação• Problema da costa da Grã-Bretanha• Quanto menor o instrumento de métrica, maior o comprimento da costa
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Dimensão fracionáriaContando ε-bolas (modelo simplificado):• Cada ε-bola consiste em uma esfera de raio ε• Considere que para cobrir os segmentos do objeto em
questão sejam necessárias N ε-bolas• A análise da influência da diminuição do raio ε sobre o
número N necessário para cobrir o objeto estima a dimensão do objeto
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Definição L-systems•L-System é uma variação de uma gramática formal, que permite reescrita paralela;•Sua aplicação mais famosa é a modelagem do crescimento de plantas;•Permite modelar crescimento morfológico de uma variedade de organismos;•Utilizada para gerar fractais auto-similares;
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Definição L-systems
•A principal diferença em relação em relação as gramáticas de Chomsky está em como aplicar regras de produção: sequencial x paralela;
•Esta diferença reflete a motivação biológica. Produções capturam divição das células de organismos multicelulares (Várias divisões ocorrem simultaneamente);
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Definição (cont.)•L-Systems = Lindenmayer Systems
Aristid Lindenmayer 1925–1989
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HistóricoComo biólogo, Lindenmayer trabalhou com leveduras e fungos filamentosos e estudou os padrões de crescimento de vários tipos de algas. Originalmente, L-Systems foram concebidas para fornecer uma descrição formal do desenvolvimento de tais simples organismos multicelulares. Posteriormente, esse sistema foi estendido para descrever as plantas e estruturas complexas de ramificação.
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ClassificaçãoExistem vários tipos de L-Systems:
• Context-Free L-Systems;• Stochastic L-Sytems;• Branching Structures;• 3D;• Context-Sensitive L-Systems;• ...
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DOL-Systems
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Interpretação• Gramáticas geram strings. O que fazer com estas strings para que elas tenham uma interpretação gráfica?
• A cada símbolo do alfabeto é dada uma semântica para que cada string gerada possa ser mapeada em um “desenho”;
• Turtle Interpretation: Considere uma tartaruga andando no espaço bidimensional. O estado da tartaruga é dado pela tripla (x, y, a), onde (x,y) é uma coordenada no plano e a um ângulo (direção do próximo passo da tartaruga);
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Interpretação (cont.)• Turtle Interpretation: Considere o estado da tartaruga como a tripla (x, y, a), onde (x,y) é uma coordenada no plano e a um ângulo (direção do próximo passo da tartaruga).
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Interpretação (cont.)Curva de Koch:• Variável: F• Constantes: + e –• Axioma: F• Produção: F -> F + F - F - F + F• Ângulo delta: 90 graus
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Interpretação (cont.)
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Interpretação (cont.)Fractal Planta:• Variáveis: F e X• Constantes: +, -, [ e ]• Axioma: X• Produções: X -> F−[[X]+X]+F[+FX]−X e F -> FF• Ângulo delta: 25 graus
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Interpretação (cont.)Fractal Planta (Estágio n = 6)
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Stochastic L-Systems
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Stochastic L-Systems6 imagens produzidas pela mesma gramáticas. Todas representam o 5 estágio.
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Stochastic L-SystemsExemplo mais complexo (Flower Field)
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ExemplosCurva do dragão:• O Heighway Dragon (também conhecido como Jurassic Park
Dragon) foi inicialmente estudado por físicos da NASA• Apareceu na novela Jurassic Park, de Michael Crichton, a qual
deu origem ao filme• Na história, o conhecido matemático e teórico do caos Ian
Malcon criou curvas do dragão para simular as ações que seriam tomadas no parque
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ExemplosCurva do dragão:• Descrição
• Começando por um segmento base, substitua cada segmento por dois segmentos com um ângulo de 90° entre eles e com uma rotação de 45° alternadamente para a esquerda e para a direita.
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ExemplosCurva do dragão:• Variáveis: X Y• Constantes: F + -• Axioma: FX• Regras:
• Ângulo: 90°• “F”, “+” e “-” representam ações de desenho• X e Y são usados apenas para controlar a evolução da curva.
)( YFXX
)( YFXY
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ExemplosCurva do dragão:• Também pode ser gerado pelo conjunto limite da seguinte IFS
(iterated function system), no plano Real
• Essa representação é mais usada em softwares como o Aphophysis, da Microsoft
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ExemplosCurva do dragão:• Dobrando o Dragão
• Para as primeiras iterações, a sequência de viradas é a seguinte:
1st iteration: R2nd iteration: R R L3rd iteration: R R L R R L L4th iteration: R R L R R L L R R R L L R L L
• Padrão: Pegue a iteração anterior e adicione um R ao fim dela. Pegue a iteração original novamente, gire-a, mudando cada letra e adicionando o resultado após o R
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ExemplosCurva do dragão:• Dobrando o Dragão
• Esse padrão origina o método de dobramento conhecido como “dobrando uma tira de papel”
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ExemplosCurva do dragão:• Dobrando o Dragão
• Esse padrão também possibilita calcular a direção do n-ésimo giro da sequência• Para tal, primeiro expressa-se n sob a forma em
que k é um número ímpar. Depois, divide-se k por 4. Se o resto da divisão for 1, então o giro é para a direita. Se for 3, o giro é para a esquerda.• Exemplo: 76376º giro
76376 = 9547 x 8.9547 = 2386x4 + 3so 9547 mod 4 = 3so turn 76376 is L
mk2
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ExemplosCurva do dragão:• Dimensões
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ExemplosCurva do dragão:• Dimensões
• Seu perímetro é infinito, uma vez que é incrementado por um fator de a cada iteração• A curva nunca cruza ela mesma• Sua dimensão fractal pode ser calculada: • A dimensão fractal de sua fronteira foi aproximada
numericamente por Chang & Zhang:
2
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ExemplosCurva do dragão:• Dimensões
• Possui muitas auto-similaridades, sendo a mais óbvia a repetição do mesmo padrão rotacionado de 45° e com o tamanho reduzido por uma taxa de 2
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Lírio-do-brejo (Convallaria majalis):
AA → I[IF0]AFi → Fi+1
Onde I representa ramos e Fi o crescimento de uma flor
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Aplicando as regras da gramática:
AI[IF0]AI[IF1]I[IF0]AI[IF2]I[IF1]I[IF0]AI[IF3]I[IF2]I[IF1]I[IF0]A
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Lírio-do-brejo (Convallaria majalis)
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AplicaçõesFloco de neve de von Koch
1. Divide segmento de reta em 3 segmentos iguais.2. Desenha triângulo equilátero com segmento central como base.3. Apaga o segmento que serviu de base ao triângulo do passo 2.
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AplicaçõesFloco de neve de von Koch
1. Divide segmento de reta em 3 segmentos iguais.2. Desenha triângulo equilátero com segmento central como base.3. Apaga o segmento que serviu de base ao triângulo do passo 2.
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AplicaçõesMontanhas fractais
• Modelagem de relevo.
• Cada iteração estabelece uma altura para as medianas dos segmentos.
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AplicaçõesL-systems e Algoritmos Genéticos
• GA com genótipos inspirados em L-systems.
• Função de fitness baseada em hipóteses evolucionistas sobre fatores que tiveram maior efeito sobre a evolução das plantas.
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AplicaçõesL-systems e Algoritmos Genéticos
• GA para construção de figuras simétricas.
• Função de fitness favorece estruturas com simetria bilateral.
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AplicaçõesMitose Celular
• Processo de divisão celular conservativa.
• Célula inicial origina duas novas células com a mesma composição genética.
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AplicaçõesIris do Olho Humano
• Iris do olho humano formada por interpolação de padrões.
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Aplicações
Arquitetura de Plantas
• Crescimento de plantas representado por um l-systems.
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Aplicações
Arte em L-systems
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Considerações finais
L-systems são úteis e importantes por vários motivos:
• Permitem modelagem da natureza com estruturas complexas de essência caótica e aleatória.
• Possuem diversas aplicações práticas, uma vez que auxiliam na obtenção de formatos mais próximos da realidade.
• Devido à sua utilidade, há vários códigos disponíveis na web (de fácil uso) para a criação de novos L-systems.
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Referênciashttp://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wiki/index.php/Plant_generation_I
http://www.biologie.uni-hamburg.de/b-online/e28_3/lsys.html
http://www.generation5.org/content/2002/lse.asp
http://algorithmicbotany.org/papers/WebApps/LSystems/LSys.html
http://en.wikipedia.org/wiki/L-system
Lindenmayer A (1968). Mathematical models for cellular interactionin development I. Filaments with one-sided inputs. Journal of Theoretical Biology 18:280-289
Prusinkiewicz P, Lindenmayer A (1990). The Algorithmic Beauty ofPlants. Springer-Verlag:New York