Instituto Politcnico Nacional Escuela Superior de Ingeniera y Arquitectura Unidad Ticomn

Materia: Fsica Estadstica.

Grupo: 4FM1

Nombre: Vargas Hernndez Felipe.

Prof.: Sansn Reyes Leodegario.

Trabajo de Investigacin Fractales y Teora del Caos.

Fecha: 14/07/2015

NDICE- Definicin de Fractal- Tipos de Fractales- Construccin de un Fractal.- Calculo de figuras a partir de la ecuacin para el clculo de la dimensin fractal.- Historia de la Teora del Caos.- Teora del Caos. - Definicin de Atractor- Autosimilitud o Autosimilaridad.- Auto-organizacin- Criticalidad de un sistema Catico.- Determinismo.-Aleatorio o Aleatoriedad.-Catico o Caos.- Diferencia entre un Sistema catico y Aleatorio.- Incertidumbre.-En qu momento se puede considerar que un sistema es catico?-En qu momento se puede considerar que un sistema es Estocstico?-Definicin de Proceso Estocstico.-Teora del Caos aplicada a una serie de datos de ndice de rayos gamma obtenidas mediante un registro de pozo a profundidad.-Proceso de Datos.- Anlisis de resultados.- Bibliografa

Fractal.

Un fractal es una estructura cuya caracterstica comn es que su entidad est construida por la repeticin o iteracin de un proceso dado, haciendo esto que, independientemente de cmo la observemos o de que parte del conjunto tomemos, exista una autosemejanza, una similitud entre sus aspectos.El crecimiento de una planta, el sistema venoso, el curso de los ros, la costa de una regin, son claros ejemplos de esta expresin fractal.En todos estos casos una muestra o porcin del fractal es representativo de, y, recrea o reproduce a todo el fractal. La iteracin es la aplicacin repetida de una funcin o procedimiento al resultado anterior, siendo el dato de partida el resultado del paso anterior.

Su dimensin tiende a superar la unidad de las distintas dimensiones euclideas 1, 2, 3. La geometra fractal nos relativiza las distancias o mediciones y es utilizable all donde la geometra clsica euclideana no se puede aplicar, donde las formas no se pueden representar por rectas, curvas, o elipses, clsicas, una imagen de ello es el ejemplo de la costa de Gran Bretaa que posee una dimensin 1,2. El cauce de un rio, el sistema venoso o arterial, un rbol, los copos de nieve, y toda la existencia es un fractal, un fractal de fractales, pero tambin la repeticin de repeticiones, o un sistema complejo permeable de sistemas complejos permeables, etc.; es decir, todo es fruto de la repeticin de la aplicacin de la transparencia, esencia y condicin de la interface, como estructura de partida, y, la interaccin, determinada por la libertad, como funcin, la que evoluciona en todas las posibilidades, en toda la existencia, en el fractal de fractales, en el fractal infinito.

Fig. 1 Geometra Fractal en la Naturaleza, brcol. Fig. 2 Triangulo de Sierpinski.

A un objeto geomtrico fractal se le atribuyen las siguientes caractersticas:

Es demasiado irregular para ser descrito en trminos geomtricos tradicionales. Es autosimilar, su forma es hecha de copias ms pequeas de la misma figura.

Tipos de Fractales.

- Los fractales naturales son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximacin mediante fractales matemticos con autosimilaridad estadstica. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de los fractales matemticos en que los naturales son aproximados o estadsticos y su autosimilaridad se extiende slo a un rango de escalas (por ejemplo, a escala cercana a la atmica su estructura difiere de la estructura macroscpica).

- Conjunto de Mandelbrot es un fractal autosimilar, generado por el conjunto de puntos estables de rbita acotada bajo cierta transformacin iterativa no lineal.

- Paisajes fractales, este tipo de fractales generados computacionalmente pueden producir paisajes realistas convincentes.

- Fractales de pinturas, se utilizan para realizar el proceso de decalcomania.

Su dimensin de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensin topolgica.Se define mediante un simple algoritmo recursivo. No basta con una sola de estas caractersticas para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de caractersticas exigidas.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometra fractal. Las nubes, las montaas, el sistema circulatorio, las lneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representacin es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen lmites en el mundo natural.

Fig. 3 Conjunto de Mandelbrot. Fig. 4 Paisaje Fractal.

Construccin de un Fractal.

La construccin de un fractal se basa en el concepto de infinito. A partir de un motivo bsico que se repite indefinidamente se construye un objeto complejo en el que la estructura de todo el objeto se repite en cada pequeo trozo del mismo.

El copo de nieve de Koch (o isla de Koch)

El copo de nieve de Koch es una de las ms sencillas figuras fractales. Fue descrita por el matemtico sueco Helge von Koch en 1906.

Fig. 5

Para construirlo:

- Se construye el motivo bsico. Para ello:

Se toma un segmento que se divide en tres partes iguales,Se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud

- Se repite la construccin con cada uno de los cuatro segmentos obtenidos, lo que da 16 segmentos.

- Y as sucesivamente, sin parar nunca.

Calculo de figuras a partir de la ecuacin para el clculo de la dimensin fractal.La dimensin fractal, D, como veremos es una generalizacin de la dimensin euclidea, DE. Si partimos de un segmento de longitud 1, y lo partimos en segmentos de longitud L obtendremos N(L) partes, de manera queN(L).L^1 = 1

Fig. 6 Segmento de lnea partido en diferentes partes. 1 Dimensin.

Si el objeto inicial es un cuadrado de superficie 1, y lo comparamos con unidades cuadradas, cuyo lado tenga de longitud L, el nmero de unidades que es necesario para recubrirlo N(L), cumpleN(L).L^2 = 1

Fig. 7 Plano partido en diferentes partes. 2 Dimensin

Si, por ltimo, el objeto que tomamos es tridimensional, como, por ejemplo, un cubo de volumen 1, y lo medimos en relacin con unidades que sean cubos de arista L, entonces se cumple queN(L).L^3 = 1

Fig. 8 Cubo partido en diferentes partes. 3 Dimensin

De todo esto podemos generalizar que la dimensin fractal de un objeto geomtrico es D siN(L).L^D = 1Donde N(L) es el nmero de objetos elementales, o de unidades, de tamao L que recubren, o que completan, el objeto.De donde deducimos, despejando D, queD= log (N(L))/log(1/L)Ejemplos: Conjunto de Cantor.

Sabemos que N es la cantidad de figuras similares y L es el factor de reduccin, para obtener la dimensin fractal D, de la figura en la segunda lnea con intervalo abierto (1/3, 2/3), tenemos que:N(L) = 2 Usando la frmula: D= log (N(L))/log(1/L) calcularemos su dimensin fractal.L= 1/3 D= 0.63

Al igual si tomramos el tercer segmento con los intervalos (1/9; 2/9) y (7/9; 8/9), tendramos:N(L)=4 Usando la frmula: D= log (N(L))/log(1/L) calcularemos su dimensin fractal.L= 1/9 D= 0.63

Ejemplo:Triangulo de Sierpinski.

Sabemos que N es la cantidad de figuras similares y L es el factor de reduccin, para obtener la dimensin fractal D, del segundo triangulo, tenemos que:N(L) = 3 Usando la frmula: D= log (N(L))/log(1/L) calcularemos su dimensin fractal.L= 1/2 D= 1.58Al igual si tomramos el tercer triangulo, tendramosN(L)=9 Usando la frmula: D= log (N(L))/log(1/L) calcularemos su dimensin fractal.L= 1/4 D= 1.58

Ejemplo:Curva de Koch.

Sabemos que N es la cantidad de figuras similares y L es el factor de reduccin, para obtener la dimensin fractal D, de la figura nmero 2, tenemos que:N(L) = 4 Usando la frmula: D= log (N(L))/log(1/L) calcularemos su dimensin fractal.L= 1/3 D= 1.26

Al igual si tomramos la tercera figura, tendramosN(L)=16 Usando la frmula: D= log (N(L))/log(1/L) calcularemos su dimensin fractal.L= 1/9 D= 1.26

Historia de la Teora del Caos.

El caos y los fractales son parte de un tema mayor, la dinmica, rama de la fsica que empez a mediados de 1600 cuando Isaac Newton descubri las ecuaciones diferenciales, descubri las leyes de movimiento y la gravitacin general. Con estos elementos Newton resolvi problemas de dos cuerpos que interactan por medio de la gravedad pero, lo que de verdad le llamaba la atencin, era el movimiento de la Luna y su generalizacin conocida con el nombre de problema de los tres cuerpos. Las siguientes generaciones de matemticos y fsicos trataron problemas de tres cuerpos y notaron que resultaban mucho ms difciles que los problemas de dos cuerpos, hasta el punto de darlos como imposibles.El determinismo laplaciano.En 1776 el matemtico francs Pierre Simon de Laplace comenz a publicar 5 volmenes de Trait du Mcanique Cleste, donde el autor afirmaba categricamente que, si se conociera la velocidad y la posicin de todas las partculas del Universo en un instante, se podra predecir su pasado y futuro. Por ms de 100 aos su afirmacin pareci correcta y, por ello, se lleg a la conclusin de que el libre albedro no tena espacio en mecnica clsica, ya que todo estaba determinado por el estado del universo en un tiempo anterior. El determinismo laplaciano consista en afirmar que, si se conocen las leyes que gobiernan los fenmenos estudiados (y estas son deterministas como en mecnica clsica), se conocen las condiciones iniciales y se es capaz de calcular la solucin, entonces se puede predecir con total certeza el futuro del sistema estudiado.El cuestionamiento de Poincar.A finales del siglo XIX Henri Poincar (1854-1912), matemtico francs, introdujo un nuevo punto de vista al preguntarse si el Sistema Solar sera estable para siempre. Poincar fue el primero en pensar en la posibilidad del caos, en el sentido de comportamiento que dependiera sensiblemente en las condiciones iniciales. En 1903 Poincar postulaba acerca de lo aleatorio y del azar en los siguientes trminos: El azar no es ms que la medida de la ignorancia del hombre reconociendo, a la vez, la existencia de innumerables fenmenos que no eran completamente aleatorios, que simplemente no respondan a una dinmica lineal, aquellos a los que pequeos cambios en las condiciones iniciales conducan a enormes cambios en el resultado. Algunas de las propiedades identificadas por Poincar que hacan imposible la prediccin a largo plazo se encontraron en la prctica en sistemas fsicos tales como el clima, la sangre cuando fluye a travs del corazn, las turbulencias, las formaciones geolgicas, los atascos de vehculos, las epidemias, la bolsa o la forma en que las flores florecen en un prado.El aporte de LorenzEl comienzo de la reciente historia del caos se sita en la dcada de 1950 cuando se inventaron los ordenadores y se desarrollaron algunas intuiciones sobre el comportamiento de los sistemas no lineales. Esto es, cuando se vieron las primeras grficas sobre el comportamiento de estos sistemas mediante mtodos numricos. En 1963 Edward Lorenz trabajaba en unas ecuaciones, las ecuaciones mundialmente conocidas como ecuaciones de Lorenz, que esperaba predijeran el tiempo en la atmsfera, y trat mediante los ordenadores ver grficamente el comportamiento de sus ecuaciones. Los ordenadores de aquella poca eran muy lentos, por eso se dice que mientras Lorenz fue a tomar un t mientras el ordenador haca los clculos, y cuando volvi se encontr con una figura que ahora se conoce como atractor de Lorenz. Pens que se haba cometido algn error al ejecutar el programa y lo intent repetidas veces, logrando siempre el mismo resultado hasta que se dio cuenta de que algo pasaba con el sistema de ecuaciones simplificado con el que estaba trabajando. Despus de estudiar detenidamente el problema y hacer pruebas con diferentes parmetros (tanto iniciales como las constantes del sistema), Lorenz lleg a la conclusin de que las simulaciones eran muy diferentes para condiciones iniciales muy prximas. Al llegar a la misma, record que en el programa que l haba creado para su sistema de meteorologa con la computadora Royal McBee, se podan introducir un mximo de 3 decimales para las condiciones iniciales, aunque el programa trabajaba con 6 decimales y los 3 ltimos decimales que faltaban se introducan aleatoriamente. Lorenz public sus descubrimientos en revistas de meteorologa, pasando desapercibidos durante casi una dcada.La dcada de 1970 fue el boom del caos. En 1971 David Ruelle y Floris Takens propusieron una nueva teora para la turbulencia de fluidos basada en un atractor extrao. Aos despus el eclogo terico Robert May en 1976 encontr ejemplos de caos en dinmica de poblaciones usando la ecuacin logstica discreta. A continuacin lleg el ms sorprendente descubrimiento de todos de la mano de Feigenbaum. l descubri que hay un conjunto de leyes universales concretas que diferencian la transicin entre el comportamiento regular y el caos, por tanto, es posible que dos sistemas evolucionen hacia un comportamiento catico igual.

Teora del Caos. La teora del caos es la denominacin popular de la rama de las matemticas, la fsica y otras ciencias (biologa, meteorologa, economa, etc.) que trata ciertos tipos de sistemas complejos y sistemas dinmicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequeas variaciones en dichas condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro, imposibilitando la prediccin a largo plazo. Esto sucede aunque estos sistemas son en rigor determinsticos, es decir; su comportamiento puede ser completamente determinado conociendo sus condiciones iniciales.

Fig. 9 Un ejemplo bsico de esto es el atractor de Lorenz.Clasificacin de los sistemas

Los sistemas dinmicos se pueden clasificar bsicamente en:-Estables, cuando dos soluciones con condiciones iniciales suficientemente cercanas siguen siendo cercanas a lo largo del tiempo. As, un sistema estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u rbita, segn su dimensin (atractor o sumidero).-Inestables, cuando dos soluciones con condiciones iniciales diferentes acaban divergiendo por pequeas que sean las condiciones iniciales. As un sistema inestable "escapa" de los atractores.-Caticos, cuando el sistema no es inestable y si bien dos soluciones se mantienen a una distancia "finita" cercana a un atractor del que el sistema dinmico, las soluciones se mueven en torno al atractor de manera irregular y pasado el tiempo ambas soluciones no son cercanas, si bien suelen ser cualitativamente similares. De esa manera, el sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo.Una de las mayores caractersticas tanto de los sistemas inestables como los caticos es que tiene una gran dependencia de las condiciones iniciales (esto diferencia a ambos tipos de los sistemas estables). De un sistema del que se conocen sus ecuaciones de evolucin temporal caractersticas, y con unas condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente su evolucin en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas caticos, una mnima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplos de tales sistemas incluyen el Sistema Solar, las placas tectnicas, los fluidos en rgimen turbulento y los crecimientos de poblacin.Atractor.Un atractor es el conjunto al que el sistema evoluciona despus de un tiempo suficientemente largo. Para que el conjunto sea un atractor, las trayectorias que le sean suficientemente prximas han de permanecer prximas incluso si son ligeramente perturbadas. Geomtricamente, un atractor puede ser un punto, una curva, una variedad o incluso un conjunto complicado de estructura fractal conocido como atractor extrao. La descripcin de atractores de sistemas dinmicos caticos ha sido uno de los grandes logros de la teora del caos.

Fig. 10 Atractor de Lorenz.

Tipos de Atractores.

El punto fijo y el ciclo lmite son atractores simples o clsicos. Cuando los conjuntos son complicados de describir, nos encontramos ante un atractor extrao.

Atractores clsicos: En los atractores clsicos, todas las trayectorias convergen en un nico punto, es decir, todas las trayectorias terminan en un estado estacionario.

Atractor de punto fijo: Corresponde al ms simple, el sistema que tenga un atractor de punto fijo tender a estabilizarse en un nico punto. Un ejemplo comn es el pndulo, que tiende al punto en el que el ngulo es nulo respecto a la vertical, debido al rozamiento con el aire.

Atractor de ciclo lmite o atractor peridico: Es el segundo tipo de atractor ms sencillo. Este tipo de atractor tiende a mantenerse en un periodo igual para siempre. Como ejemplo, se puede tomar un pndulo alimentado para contrarrestar la fuerza de rozamiento, por lo que oscilara de lado a lado.

Fig. 11 Ciclo Lmite.

Toro lmite: Una trayectoria peridica de un sistema puede ser gobernada por ms de una frecuencia. Si dos de estas frecuencias forman una fraccin irracional (es decir, si son inconmensurables), la trayectoria no se cerrar y el ciclo lmite se convertir en un toro.

Atractor catico: Aparece en sistemas no lineales que tienen una gran sensibilidad a las condiciones. Un famoso ejemplo de estos atractores es el atractor de Lorenz.

Atractor extrao: A diferencia de los atractores clsicos, los atractores extraos tienen estructura a todas las escalas. Un atractor es extrao si tiene dimensin de Hausdorff no entera (o "fractal") o si la dinmica en el atractor es catica.

Autosimilitud o Autosimilaridad.

La autosimilaridad, es la propiedad de un objeto en el que el todo es exacta o aproximadamente similar a una parte de s mismo, por ejemplo cuando el todo tiene la misma forma que una o varias de sus partes. Muchos objetos del mundo real, como las costas martimas, son estadsticamente autosimilares: partes de ella muestran las mismas propiedades estadsticas en diversas escalas. La autosimilaridad es una propiedad de los fractales.

Fig. 12 La curva de Koch, presenta un ejemplo de autosimilaridad.

Tipos de Autosimilaridad.

Autosimilaridad exacta.

Se dice que hay autosimilaridad exacta cuando una o varias partes de un todo repiten exactamente su similaridad con ese todo. La autosimilaridad exacta permite la amplificacin sucesiva con repeticin exacta nica, mltiple o infinita de las propiedades iniciales. La autosimilaridad exacta aparece a veces en sistemas de funciones iteradas (IFS).

Autosimilaridad aproximada.

La autosimilaridad aproximada o cuasiautosimilaridad se encuentra frecuentemente en la naturaleza (autosimilaridad natural). Por ejemplo, cuando la forma de la parte y la forma del todo presentan leves diferencias en la similaridad. Generalmente slo se cumple dentro de una porcin limitada de ese todo. Puede generarse artificialmente incorporando un factor de ruido aleatorio a la expresin de una autosimilaridad exacta.

Autosimilaridad estadstica.

La autosimilaridad estadstica es la menos exigente. Slo se conservan algunas propiedades estadsticas durante el cambio de escala, como en las montaas o en los crteres lunares.

Fig. 13 Autosimilaridad Exacta. Fig. 14 Autosimilaridad Aproximada, Fig. 15 Autosimilaridad Estadstica.

Auto-Organizacin.

La autoorganizacin es un proceso en el que alguna forma global de orden o coordinacin surge de las interacciones locales entre los componentes de un sistema inicialmente desordenado. Este proceso es espontneo: no est dirigido ni controlado por ningn agente o subsistema dentro o fuera del sistema; sin embargo, las leyes seguidas por el proceso y sus condiciones iniciales pueden escogerse o ser causadas por un agente. El proceso es generalmente desencadenado por fluctuaciones aleatorias que son amplificadas por realimentacin positiva. La organizacin resultante est completamente descentralizada o distribuida sobre todos los componentes del sistema; esta organizacin resulta tpicamente muy robusta, capaz de sobrevivir y auto-reparar daos o perturbaciones sustanciales.

La autoorganizacin se da en una gran variedad de fenmenos fsicos, qumicos, biolgicos, sociales y sistemas cognitivos. Ejemplos comunes son: la cristalizacin, la emergencia de patrones de conveccin en un fluido, osciladores qumicos, la mano invisible de la economa, enjambres de grupos de animales y el modo en que la red neuronal aprende a reconocer patrones complejos.

Fig. 16 Ejemplo de Auto-Organizacin.

Criticalidad de un sistema Catico.

La fluidez en un sistema catico se manifiesta cuando las conexiones entre elementos cambian con el tiempo como consecuencia del movimiento al azar o por otras causas. Un elemento (una hormiga, una neurona) que est inmvil puede volver a la actividad ya sea por interaccin o de forma espontnea, siendo las actividades espontneas totalmente caticas. As, a baja densidad de elementos, las fluctuaciones seran muy irregulares porque habra poca interaccin y los elementos no propagan bien sus cambios. A grandes densidades las fluctuaciones del sistema se tornan peridicas: la activacin de un elemento se propaga en forma de onda. Pero entre ambos extremos (irregularidad y periodicidad) existe una densidad crtica, un punto de bifurcacin, en el cual la informacin transmitida se hace mxima.

Determinismo.

El determinismo es una doctrina filosfica que sostiene que todo acontecimiento fsico, incluyendo el pensamiento y acciones humanas, est causalmente determinado por la irrompible cadena causa-consecuencia, y por tanto, el estado actual "determina" en algn sentido el futuro. Existen diferentes formulaciones de determinismo, que se diferencian en los detalles de sus afirmaciones. Para distinguir las diferentes formas de determinismo conviene clasificarlas acorde al grado de determinismo que postulan:

-El determinismo fuerte sostiene que no existen sucesos genuinamente aleatorios o azarosos, y en general, el futuro es potencialmente predecible a partir del presente. El pasado tambin podra ser "predecible" si conocemos perfectamente una situacin puntual de la cadena de causalidad. Pierre-Simon Laplace defenda este tipo de determinismo.

-El determinismo dbil sostiene que es la probabilidad lo que est determinado por los hechos presentes, o que existe una fuerte correlacin entre el estado presente y los estados futuros, aun admitiendo la influencia de sucesos esencialmente aleatorios e impredecibles.

Cabe resaltar que existe una diferencia importante entre la determinacin y la predictibilidad de los hechos. La determinacin implica exclusivamente la ausencia de azar en la cadena causa-efecto que da lugar a un suceso concreto. La predictibilidad es un hecho potencial derivado de la determinacin certera de los sucesos, pero exige que se conozcan las condiciones iniciales (o de cualquier punto) de la cadena de causalidad.

Aleatorio o Aleatoriedad.

La aleatoriedad se asocia a todo proceso cuyo resultado no es previsible ms que en razn de la intervencin del azar. El resultado de todo suceso aleatorio no puede determinarse en ningn caso antes de que este se produzca. El estudio de los fenmenos aleatorios queda dentro del mbito de la teora de la probabilidad y, en un marco ms amplio, en el de la estadstica.

La palabra aleatorio se usa para expresar una aparente carencia de propsito, causa, u orden. El trmino aleatoriedad se usa a menudo como sinnimo con un nmero de propiedades estadsticas medibles, tales como la carencia de tendencias o correlacin.

Fig. 17 Aleatoriedad.

Catico o Caos.

El caos habitualmente se refiere a lo impredecible. Debido a variaciones lingsticas, el significado de la palabra se desplaz a desorden. El caos es la complejidad de la supuesta causalidad en la relacin entre fenmenos (eventualidad) sin que se observe una traza lineal que relacione la causa con el efecto, sino ms bien un complejo clculo, que consta de:

-Una delimitacin isolineal entre distintos sistemas.-Un rea, como resultado del punto anterior, en la cual se expresan las propiedades.-Un clculo integral que define el potencial de trabajo de la propiedad bajo observacin.-Un clculo diferencial que define la barrera de potencial o resistencia que el medio ofrece.-Un clculo de transformacin entre los distintos sistemas de referencia, que define las nuevas referencias para definir la integral en un nuevo eje referencial.-De una iteracin que sea capaz de predecir planteamientos hipotticos, y que permita integrarlo como base del conocimiento humano.

Diferencia entre Aleatorio y Catico.

Como podemos ver la aleatoriedad o aleatorio esta dado porque los procesos que se generan, esta diseados de tal forma que el resultado es impredecible, como tal no se puede determinar, y con respecto a lo catico sabemos que es un fenmeno en el que no se puede determinar el comportamiento de un sistema, como se podra decir, su resultado ser impredecible, pero est afectado por otros factores, a diferencia de la aleatoriedad.

Incertidumbre.

La incertidumbre refiere la duda o perplejidad que sobre un asunto o cuestin se tiene.

En qu momento se puede considerar que un sistema es catico?

Cuando el sistema no es inestable y si bien dos soluciones se mantienen a una distancia "finita" cercana a un atractor del que el sistema dinmico, las soluciones se mueven en torno al atractor de manera irregular y pasado el tiempo ambas soluciones no son cercanas, si bien suelen ser cualitativamente similares. De esa manera, el sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo. El caos es por definicin un fenmeno determinista no lineal. El hecho de que un sistema sea catico implica que, aunque ste parezca tener un comportamiento errtico y aleatorio, en realidad es determinista.

Un sistema catico es un sistema dinmico que cumple:

1. Es sensible respecto a las condiciones iniciales.2. Es topolgicamente transitivo.3. Sus rbitas peridicas son densas.

En qu momento se puede considerar que un sistema es estocstico?

Se denomina estocstico al sistema cuyo comportamiento es intrnsecamente no determinista.

Definicin de Proceso estocstico.

Un proceso estocstico es aquel cuyo comportamiento es no determinista, en la medida que el subsiguiente estado del sistema est determinado tanto por las acciones predecibles del proceso como por elementos aleatorios. No obstante, de acuerdo a M. Kac y E. Nelson, cualquier desarrollo temporal (sea determinista o esencialmente probabilstico) que pueda ser analizable en trminos de probabilidad merece ser denominado como un proceso estocstico.

Teora del Caos aplicada a una serie de datos de ndices de rayos gamma obtenidas mediante un registro de pozo a profundidad.

Mediante un registro geofsico de pozo se obtuvieron una serie de datos de ndices de rayos gamma a diferentes profundidades en total fueron 2511 muestras, se presentaran los resultados y el programa que se utiliz para graficar fue el programa Origin Lab.

Fig. 18 Registro de Rayos Gamma a profundidad.

Figs. 19 Podemos ver que una dispersin de los Datos generara por el proceso del caos al alterar el sistema dinmico modificamos su sistema lineal a uno catico.

Fig. 20 Sistema Lineal afectado por el caos.

Anlisis de resultados.De acuerdo con nuestros datos obtenidos podemos describir el proceso del caos el cual ocasiono que nuestros datos pasaran de un sistema dinmico lineal a uno de comportamiento catico.Bueno como podemos apreciar en las figuras 19, tenemos una serie de dispersin de datos que nos mostrara como es que los datos obtenidos de ndice de rayos gamma para un registro pozo, tienden al caos, no podemos seguir un patrn lineal en dichos datos.De igual manera al realizar dichas mediciones no sabamos cul sera el resultado de dicho proceso, como pudo salir de esta forma como se pudo obtener algn otro resultado. Para describir el comportamiento catico lo que se hizo fue aumentar una columna de ndices de rayos gamma invertida para generar el pequeo cambio en el sistema, (el cual perturbara al sistema original) en el cual se encontraban los datos por ejemplo si tenamos un valor de resistividad de 50, 51,52, 53 nuestro cambio para aplicar el caos en las resistividades sera 51,52,53,54 lo que se realizo fue recorrer los datos de las resistividades en otra columna para poder graficar estos contra los ndices de rayos gamma que se encontraban dentro del marco del sistema dinmico lineal. Las respuestas obtenidas se presentaron en graficas de dispersin. Y ya la figura 20 muestra los datos afectados por el pequeo cambio de datos en el sistema.

Bibliografa.

http://platea.pntic.mec.es/~mzapata/tutor_ma/fractal/dim_frac.htmhttp://www.ub.edu/iafi/Recerca/Seminaris/caos.pdfhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_caos#Breve_historiahttp://cibernous.com/autores/elcaos/teoria/ia.htmlhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_caosFRACTALES Y SERIES DE DATOS GEOFISICOShttps://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia