fractal modes of unstable lasers with polygonal and circular mirrors

10
Fractal modes of unstable lasers with polygonal and circular mirrors Michael Berry * H.H. Wills Physics Laboratory, Tyndall Avenue, Bristol BS8 1TL, United Kingdom Received 30 July 2001; received in revised form 1 October 2001; accepted 5 October 2001 Abstract The lowest-loss modes of unstable lasers are fractals, emerging asymptotically in the limit of high Fresnel number. The fractality depends on the shape of the feedback mirror. An explicit asymptotic theory can be constructed for the lowest-loss mode, in terms of a superposition of successively magni®ed edge waves. For polygonal mirrors, the su- perposition is anisotropic, and gives rise to a mode jux; y j whose graph is a surface with fractal dimension 3, consistent with previous analysis for strip one-dimensional) mirrors. For circular mirrors, the lowest-loss mode is dominated by focusing of edge waves at the centre of the mirror; the resulting superposition of circular waves gives rise to a mode jurj whose graph is a curve with fractal dimension 3/2. Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. 1. Introduction Lasers with one or both mirrors reversed are geometrically unstable, and modes leak away from the edges of the mirrors. Early calculations [1,2] indicated that these modes are highly irregular, and led to suggestions [3±6] that the modes are fractal. This has been con®rmed by recent analysis [7] for the lowest-loss mode of strip mirrors equivalent to one-dimensional mirrors in two-di- mensional cavities). According to this analysis, the transverse mode amplitude ux is a fractal func- tion of position, emerging asymptotically as a di- mensionless parameter A proportional to the Fresnel number) increases. Between the outer scale, proportional to the size of the mirror, and an inner scale, proportional to 1=A, the graph of juxj is a fractal curve with dimension D 2, that is, almost area-®lling, and maximally nondierentia- ble while still being continuous. The fractal struc- ture is a consequence of the superposition of many magni®ed edge waves. My purpose here is to explore the physically more interesting case where the mirrors are two- dimensional, building on and extending a previous study [4] of triangular mirrors. The mode ur ux; y now depends on the shape of the boundary mirror, because that is where edge waves originate. There are two very dierent situations. In the simplest cases, the edge waves propagate into the cavity without focusing. This is modelled here Sections 2±4) by mirrors in the shape of polygons. As with strip mirrors [7], multiple edge diraction can be neglected in the large-A limit, 15 December 2001 Optics Communications 200 2001) 321±330 www.elsevier.com/locate/optcom * Fax: +44-117-925-5624. E-mail address: [email protected] M. Berry). 0030-4018/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. PII:S0030-401801)01613-3

Upload: michael-berry

Post on 02-Jul-2016

214 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: Fractal modes of unstable lasers with polygonal and circular mirrors

������� ��� �� ������ ����� ���� ����������� ���� ��� �������

������ �����

���� ����� ����� �� ������� ������ ������� ������� ��� ���� ������ ������

���� �� � �� ���� ���� �� ���� ���� � !����� ���� ����� " !����� ����

��������

#� �����$���� ��� �� ������ ����� �� ��������% ������ �������������� �� �� ����� �� ���� ����� � ���&

#� ���������� ��� �� �� ���� �� �� ����' ������& (� )������ ���������� ����� ��� � ������ �� ��� ��

�����$���� ��% �� ���� �� � � ���������� �� � �������� �����* � ����& ��� ��������� �������% �� � $

���������� �� �����������% �� ���� ��� �� � �� ����� ��� ���� ����� �� � � ���� ���� ������� ������� �% ���������

���� ����� � �������� ��� ����� +��$���������, �������& ��� ���� ��� �������% �� �����$���� �� �� ������ ��

��� ���� �� � ���� �� �� ���� �� �� ������ �� �� ����� � ���������� �� ���� ��� ���� ���� ��� �� � ��

������ ���� ����� �� � � �� ���� ������� ������� �-�& � ���� .����� /���� �&0& (�� ������ ����&

� ���� ������

1���� ���� �� �� ���� ������� ���� ������������� ������% �� ��� ��' ���� ������ �� �� �� �������& .���� ���� ������� 2�%�3������ ���� ��� ��� �� ������ ���� ���%�� � �� � �������� 2�453 ���� �� ��� ���������& #��� ��� �� ���*�� �� ���� ��������263 ��� �� �����$���� �� �� ����� �������+7 ������ �� ��$��������� ������� �� ���$�$�������� �������,& (������� �� ���� ��������% ���������� �� ������ ���� �� � ������� � ��$���� �� ��������% ������ �������������� �� � �$��������� ������� � +������������ �� ������� � ���, �������& ���� �� � ��

����% ������������ �� �� ��8 �� �� ������% �� ������ ����% ������������ �� ���% �� ����� �� �������� � ������� � �� ���� ������� � � �% ���� ��%������ ���$*�����% �� ��)������ ����9�����$�� ���� ����� ���� ������ � �& #� ������� ��� �$� � �� � ����7 �� �� �� � ���������� �� ���������* � ����&

�� � ���� �� �� �� )���� �� ������������� ��������� ��� ��� �� ������� �� ���$���������% � ����� �� �� )����� � ����� ��� � 2:3 �� ������ ��� �������& #� ������ � ���� �� ��� ��� �� �� ���� �� ���� ���� ������% ��� � ���� �� ��� � ������������& #�� �� ��� ��� �9��� ��� ������&

;� �� ������� ����% �� � ���� ������������ �� ������ ����� � ��� ����& #��� �� ������ +/������ �4:, �� ������� �� �� ���� ����������& (� ���� ����� ������� 263% � ����� ��9������� ��� � ����� �� �� ����$� �����%

�" <���� ����

!����� =��� ��������� ��� +����, ���4���

���&�����&���-�����-������

� ��)> ?::$��6$@�"$"5�:&

!" ��� �������# �����&������A�������&��& ' +�& ����,&

����$:��B-��-C $ � ����� ����� � ���� .����� /���� �&0& (�� ������ ����&

D;;> /����$:��B +�� ,��5��$�

Page 2: Fractal modes of unstable lasers with polygonal and circular mirrors

�� �� �� ����������� ����� �� ��������� � ����� �E����� �� ��� � ��� ����$�������% ���� ��� *��� �������& #� �����*�������������� ���� ����������� ������ ���� �� ������� ����� �� � ��� �� ������% �� ���� � ����������*� �� �����������% ����� �� �� )���������� �� ��� ���� �� ���� �� �� ������ �� ��������& (� ����� ��� �� ��������� �� )��$���� �� �� �����$������ ��������% �� � ��������� ��� 4 �� �� ������� 4 ��� ������� �$������ � � �&

F��� ������� ���� �� ���� �� � �� �������� ������% �� � ���� ��� ������ ����� ������ �� ������% ���� �� ��������� ���� �� ������ �� �� �� ����& ��� )$����% ���� ��������� ������� �� �� ���� �� ��� �$� �� ������& #� ����� ��� ����� �� ����� �����8% �� �� +/����� ", ; ��������� ���� �������� +�� ���� ����������, ���%��� �� ������ �� ���� ��� ��� �� �����$������ ���� ��� ���� �� �� ����� ���������& #� � ���� ���� � ����� ��� � �� ������% ������������ �� ��������& / ����������%�� ��� � �������� ����� �� ������� ��� �� ��� �� ��> �� ����� �� ������ �� � ������� � ������ ������� � � ���% ����������� ���� � � ���� �� �����$������ �� ������&

( �9��� '�� �� ����$���� �� ����� �� �� ������� �� ����������% �� �������$����� � � ��� ���)���% � � ; � ��� ������ � ����� ������ ��&

� ��������� �������� ���������� ���� �� ��� �� �

�� ����������

=����� � ������ ���� �� ��� ������� ���$��� �� � ������ �% ���� �����*������ +����� ������� ������, $& 1�'�� �� ����� �� �������� +����', ������% �� �� ���� �� � �����% ���� �� ���� �� +���& �,% ������� ������ ����� ��������� ����� �� ��� � �& ;� �� �������� ����� � ��� ��������� � � ��� �� ��&% �� ���� �� �& ���� ������ �& #� �������� ���*� ���� �� �����% �� � ���� ���� �� �� ����� ������% �� ������ ������ �� �� ��� ������� ��� � �� �$���� �� �� ������ +��� �E������ �� ��� �����)�������,& /����� ����� 2B3 ����% ��� ���

������ ���� +�� ���� � ���� ����� ���� ������ �� ��������,% �� ���7 �����

����� � �����

� ��

�� )��

�����

�� ��� ��

������

���G� � �� �� ������ +���� ��� � � ���� �� ������ ������,% ��% ��� �������� � �� 7 ����������� � ��� & 2B3%

� � ������

���� � �� �:���

��� � �� � ���

�� �� ������ �� � �� �� �� ����� �)�� �� �� ������&#� �����$���� �� ��� � ����� �� ��

�������� ����

������ � �����

� ��

�� )��

�����

�� ��� ��

������

����� � � ������� ������

� � �����

���������� � �:�

;� � �� �� �������� �� �% ���� �� �� ������ ��� �� ������% ��� �� *��� ����� ��% )�����%

����� � �

��

�� �

���

� ��

��

)��

�����

�� ��� ��

��� �"�

#� ��� � ��������� �� ��������� �������$����% �� ��������� �� �� ����������$���� ������ � ��� �� +�,&

���& �& H����� �� ��������� ��� ���� ������ �$���

������� ����&

��� $� ���� ' ()��� *� ��������� +,, -+,,�. /+�0//,

Page 3: Fractal modes of unstable lasers with polygonal and circular mirrors

;� �� ����$� �����% �� ������� ��� � ��� ������)���� �� ������� ����� ���� �� �������� �� �� ���� ��% �� ��������� �� ��� ����& ��� ��� ����� �% �� ����� ���� �� ���� �� ������ ���� ���� � �� ��% �� *� �������� �� ��� ������ ���� +���& �, ��

����� ��� ������� �5�;� +",% �� ���� ������� ����� ���� ��� ���� �������� ����� �� �� ������ �������& #� ������$��� ����% �� � ����� ��������� � � ���� ��� ��$�� �� ������� +���& �,& #�� ����� �� ������� ��+", ���� ����� ����������� �� ��� ������ ���%�� � �� ��������� ���� ��% ���� ������ ����� �� ���� �� ��������% ���� ��% ��� ����������������% �� � ��� � ���� ��� ���� /����� ">

��� ��� �� � ��� ������ � ���������� � ��

� � ��� �

�6�+�� ���� � ���� � �� � ����� � �� ��$������ ���&,

#� � ����������� � � ���� � �� �% �� ��� ������)���� �� �$����� �����������% ���� ��%�� �������� �� ��� �� �� +6, ���� ����� ��� �� ������� ��� � �� � ����� �� � ������������ ��� � �� �& #� � ����������� � ����� �� �� ��% �� ��� � �����)���� ������������ ����& #� � � �� � � � ��� �����>

����� � �

��

��

�������

��

� �

������������

�� �B�

���

��� )� �����

� ��

� �@�

I�� ���� ���� � ��� ������ �% �� �� ��� +���$�� �� �� ���� �� ����) � ����� �� � ������ �,% �������� ���� ��� �� �� �� �� 8��&�������������% ���� ���� ���� �� ����������$���� ������� ���� �� ������ ������ ���� ���� ���� ������� ����� ����������% �� ���� ������� �� �����* ������ �� � ��� �% �� �� ����� ��� � �����)���� ����������������&#��� ������ ������� ������� �� ����� ����$�����&

#� ����� � � �� �������� �������� �� +�,% ���� ���� �� ����� ��� �� ��

� �� � J�� ��

���� ���� �� ����������$���� ������� ���� ����� � ����& (���������� ����% � ��� ������ ����� � �9�������& #� ������� ����� ���� ������� ���� � �� ���� ����� ��� �� ���������� 1 �� ��������� ������� �� ����$�� ��� �� �� ����������� ������ �& #������ �� �� ��������� ���� ��% ���� ���� �� �$��� ��������� ����������� �� � ����>

����

� ��

�� ������������������

)��

�����

�� �����

� ��������������������������

�� ����

��� � ���� �� �����$��� ����$� ���$���� ����% ���� �� ����������$���� �����% ��

� � ������� �

���� � ����

� ����� ����

#� � �� ��� ����� ��

���� � �

��

��

�������

��

� �

���

��������������������

��

����I�� ���� �� � ��� ����% ��������� 2% �� ����� ��

� +��& +@,,&

(� � �������% �� �������� ���� �� +��, ���� � ��������% ���� ��� � � �� � � � ����&#����� �� � � �� +��, �� � ���� �� � �& =���������� �� ��� ��

�% ���� ������$

��� ��� � � � �� ���� �� ���$����% ������% � �� �������8�����% �� ��������� )������� ����� ��>

���� � � ��������

��

� �

����

� ��������������������

� ��������������������������������� �����

��� ����

#� ����������� ���� �� ��� �� ������ �������� ������ ���� +�, �� ���� +:, �� +��,>

� � �

��

��

�������

��

� �

��������������������������������� �����

��

��:�

$� ���� ' ()��� *� ��������� +,, -+,,�. /+�0//, ���

Page 4: Fractal modes of unstable lasers with polygonal and circular mirrors

#� ���� ������ �� �� ������K� ������ �������� �� �� �� �� ������ �� ������� ����� ���� �������� +����� �)��, �� �� �& #� ������� ����� ��� & / ������� �� ���� �� ������������> ������� $ ��� � �� ������� ������ �� $ ������� $&

#� �� ����8����� ���� � ����� �� �������� �������� ���� +��, �� 7 ������% �� ��$� ��

�% �� �� ���� � ����� �����

2�%�%63% �� �������� �� �������� ��� ���) ��� ���� �� �� �� ���� �����*������ �� ��������������� ���� �� ���� �� ����������� ������������� �� ������& #� ������ ���) ��� ���� ����� � �� ������ ���% �� ��� � ��� ��� �� �� � ��� �� + ���� +5,,

���� �

��������

� ������

� �����

����� � ���������� ��"�

��% ��� ���� % �� ���� ����� � � +�� �� �$���� ���� � �� ����,% ���� � �� � ���������% ��� � � ����

���) � ������� ����������

� ��5�

(� ���� �����% �� � ��� �� ������ ���� ��������% �� ��� ����� �� ���& �& #� ������ �� �$�� ���� ������ �� � �� ������ ���� ���� �� �� ��� ��� �$���� �����& ;� �������)������� +��,% �� ������� ����� 2 ������� ������� �������� � ���& ;� � ��� ��� ��������% ��� � �� ��% �� �������� ���� �� �� ������ �� ����� �9�������% ���� ��% ��$�������� ���� �� �� �� �� ��&

� ���������� �������

��� �� 7 ������� ������� ���� ��� � ����+���& �,% ��� �� ��� ������ ���� ���� �������� �% ����

����� �� � �

�� ��

����� �� � ��������� �

�������������������������������������������������������������� �

����

�� � ���� �

����

� � �

�� ��6�

=��� ������ �� �� �����$���� �� ���� +��, ����� ��������������&

���& : ����� ����� ����� �� �� �� ���� � :% ��� ����� ��� � �� �& ;� �� ���� ����������� ��� �� � ������ �� � ������� �� ������ �� � �� ����� ������& #� � ���� ���� �����& :+, ���'� � �� ��� L��� ���� � �� ������������% �� )��� �� �� ����� �� �� ����� ���� �)� ������ ������� ���� �� � ���� ���������� ������� � � �& #��� �� ������� �����& " ����� ����� �� ��� �� �� 1$�)�� ��� � � ������� ��� �� � 4 ������ ���� �� ��� � � ��@@�� 2@3&

��� �� ������ % � � +�5, �� ����� � ������ ��� ��� ������ ����& ���& 5 ����� �� ��$��������� ������ � ��� � �� ������� ��� ��� &

���& �& <������� �� ������ ���� ������ ������� ���� �9���

� ���� +������, �� � ���� ��% �� �� �� �� �� ������

�� �� ������ ���� ���� � �� �� �� ���� ��& ���& �& D����� ���� ��� 7 �������$������� ������&

��: $� ���� ' ()��� *� ��������� +,, -+,,�. /+�0//,

Page 5: Fractal modes of unstable lasers with polygonal and circular mirrors

=����� ��� �� ��� � �������% ����� �����& �% ���� ����� ���% ��� �� ����% �� ���� �������� +������� �)��, ������� ����� �� �������

�)��& (� ������ �� �� � �� /����� �% ��$���� � ���� �� ������ ���� ���� �9���������% �� �� �������� ������ �� �

���& :& �� � � ������ �� �����$���� �� �� ������� ���� ���� � � : +�,4+�, ����� �����% +, �< ����% ��� +�, � � ��� +�, � � "��

+�%, � � ����& #� ����� �� ��������% ���� ����' ������ ������ �� ���� ������ �����)&

���& 5& #���' � ��> �� � � �� ������ ��� �� �����$����

�� �� 7 �������$������� ���� ���� � � �% �� � � ������ ��

� ���� ���> �� �����)������� ��� &

���& "& �� � � ����� ��� �� �����$���� �� �� 7 �������

������� ���� ���� � � :% � � �����&

$� ���� ' ()��� *� ��������� +,, -+,,�. /+�0//, ��"

Page 6: Fractal modes of unstable lasers with polygonal and circular mirrors

���� �� �9��� �� ���& .������� ���� ����������

����� �� � � � ��������

� ����� �� � ������ ��

� �

�������

��

��� �� � �

������

��

� � ��B�

���& 6 ����� ��� �� �� ���% �� ��� ������ ����� ���������� �� �� ������� ��� �������� ���� � ��� �� ������� ���� � ����&

��������� �������� ������� �� ��� �� �

#� ������ �� ����� �� �� ��� ����$��� �� �� ����$� �����% �� ������ ����� 2:3% �� ������ � �� ����� �� ����� � �� ��� � �$��� �� �� �� +��, ���� �� ���� �� � ������� ���� ��������� �� � � � � ���)& #������ +�",% � �� �� �������� ����

���� � �� ��������

������ ��@�

#� � �� ���� ����� � �� ���� �� ������������ ��

� ��� ��

��� ���

���� ��� ���������������

����#��� �� �� ����������� ����� �% ��������� �������� ��� �� �� ������� ���������� �� ��$��� ���� �� �$���� �� �� �������� �� �������� ���� �����& ;� �� �� '� �� ��$������� �� ������� ��� �� � �� �� � ���� ������+�� � ���� �� ;� ����,% ������ �� � ���$����& #� ������� ������� �� �� ��� � ����)�� �� � �� ������� ������� �� �� � �������� �� � ����� �� � ���� 2��3 ����� �������� ������� ���� � ��� ����� �� � �� 1$������� ����� � ������ ��������& 1� ������ ��� ���� ����� � �� �� ��$��������� � ������ ��% ���� ��

������ �� �

���� � ���� ����

#�� ���� +��,% �� ������ � � ���) � � +�� ������������� � ������ *�� �����,%

������ ��

��� ���

���� � ����� ��� ������

������� �� �� �� ���� ���� ����� �� �� 1$�)��&

#��� �� �� ����� � �� � � ���������� ��� ��� ���� ��� � ���� ��������� �� �����������������% �� �� � ��� �� F��������4���$����� � �������& ��� � �� � � ������ ��������� ��� ������� ������� %% �� ���$� �������� � � � ������ �� � �������� �������� 2@3&G� �� �������� �� ����% �� �� � �� ��� � � �4 ������� �� ��� ����� ��� �� � ��� ������������& #����� �� ������ � ���� �� � ����������� ������� �� � � �& #� � ���� �� �� �� ��+���� ��% �� ����9�������, �� �� ��� � ���� ������������� � ����� �� ������ ���& ���& :+, ��� �$����� ���� ��� �� � ����% ���� ����& " �� 6+�,%��� ����� ��� � �� �% ��� ����� ���� �� ������� ������� �� ��� �� � � �� ���� ������� �& #��� �� ��

���& 6& 1����$���� �� �� ��� � ������� ������� ���� +�,

����� ���� +�� �� ���& :+�,4+�, �� �� � � ������ +���� �� ���$

���� �� �����, ��� � � �% � � ����� +�, ����� �� ����� ��� ���

� � �% � � �����&

��5 $� ���� ' ()��� *� ��������� +,, -+,,�. /+�0//,

Page 7: Fractal modes of unstable lasers with polygonal and circular mirrors

���� ��� �� � �� ������ �� � ����� �� ���� ���� ����� ��� ��� �� ��� ��% ��� L �� �� 1$�)�� � �� ��� ����������&

(� �����*������� ������� �� *��� �����+����� �� +��,,% �� �� ��� �������& ;� ��������� �� ����� ���� �������� ������ � ��*���� �� ���� ������ � ����$���� ��������������% �� ���� ����� ������� +��� �� �� $������� ���� � �� � ���� ��������� ��� � ���,%� � ; � ��� ��� �� ���� ��� ��&

! "������� ������

��� � ����� �� ��� � ����% �� �� 7 �����+�,% ��� � ��� ����� +���� ��� �� �����$����,���% ��

����� � ���

)� ����

���

� �� �

� ���

����

� �

)��

�����

� ������ ����

#� *��� ����� +", �� �� /��� +�, ��

����� � �

�� � �� )� �

���

���

� �� �

� ���

����

� ��

)��

�����

� ��� ��:�

� �� �� ��� ����� �� ������� �������% �� ���$���� ��������� ������ ���� ���� �� �$������ � � ��� � �� ����% �� �� ����� ��� � ����$��� �� �� � ���&

!� ��� �� �� � ����$� �����)������� ��+�:, �� � � �� ����� �� ���� � ������ ����� ����$��� ��� ���������� ����% �� ��� ���� �� ����� ������� �� �$����� �����������&� � ���� �� � ���� ��� � �� �����% ����� ��������� �� ����� ����� ���� �� � ���� �������� �� �� �� ��� ����������& (� ����$����� ���������� ���� � �� �� ���� �� ����� ������ �� ������ �������% �� ����� �$����� ����������� �� �� �����) �� ����� ���$���& #��� ����

����� � �

���

� � ����

� ��� ��"�

��� �� ��� � � ��� ��

���� �� � )��

�����

�� ���

�������� ��5�

#��� ���� �� �� ��� ���� � �� � �� ������ ���� � ����& #� ��� �� �������� ��� ������� �� ���� � � � �� �������% � � ���� �� ���������� ��� � �� ����� ��� ���� ���� ���� � � � �� �� ������& ( � �� ������ ��$���)������� �� �� � ��� �� +�:, �� �������� �� ��������

��

���

� �� ��

���

� ��� ���

��

���

� ��

�� �

� �����

��6�

�� +�5,& (������� �� � ������ ���� ���� ���� ������ )����� ��� ���% � � �� ���������� � ��$7 �� ���������& ;� ��� ���% �� �*���� ���������� ��� ��� �� ��� �����% �� ��� ���������� �� ��� ���� ����� �9��� �� ���� �� ����% �� �������� ��� ��� ���������� ���� �� �������� ��&

#� ��������� ������� � ���� �������� ��+�", �������� �� +�, �� �� ��� �� ��� ����� ����������� �������& (� ��� ���% �� ������������ +��� �� +�",, ���� ���� � � ��������+���������, ��� �� �� � ��� ���% ��$����� �� +�", � � ���� �� �������� ������ ����������� �� ��� ����& .��� �� �� � �������� � ��7 ���� � �������� �����������%�� ���� ��������� �� �������� �� ���������������� ��� �� �� �����% �� � �������� �� M����� �� �� � ����K& #�� ��������� ��$���� �� �� ��������� �� ���� � �� �� ������$��� )��� ���� ��% ���� ������� ���� � ������������� +&�& 5&5��&� �� 2��3,>

��� )� ����

���

� �� �

� � )��

�����

� �

��

����

� ���� ����

���

� �� ����� ������

�����

� �� ��B�

G� �� �� *� �� +��, +��� ���� �� � �,& #������� �� �� �� ������ �� +��,% � � ������������� ��� ���� �� � ���� ���� �� � ���� ���� �� �� ������&

$� ���� ' ()��� *� ��������� +,, -+,,�. /+�0//, ��6

Page 8: Fractal modes of unstable lasers with polygonal and circular mirrors

I�� �� �������� ����� �� � �������������������% ������

���� � �

���

�����

��� �����

��

� �� ��@�

#��� �� �� ������ �� +��,& I�� ���� �� 9����� ����� �� ��� ��������% ��� � �� �� ���$��*������ �� ��� �� �$���� �� �� ������ �������� L ���*� �� � �� �� � ��� )�������+�5,% ����� ���� ��� �*���� +�6,% �� ���� ��$����� ���� �� ����� ����� �� ��������� �� $�������� �� ��� �� � �� �� ��&

��� � � � �� *) ��� % �� ����$� ��$��������� �� �� ���� � ������ �� +�5, ����������� �� � ���� �� �� ��� ��

� ��

������ �����% L �������� �� ����� �� ����� �9�������& G����% ��� ��� � �� ����$��$� ����� �� �� ���� �� +�@, ��

��� �����

��

� �� �������� ��

� �� ����� )��

���

� ��� � � �� ����

����� �� ��� �����% ��� � �����*������ ������� �� ��� � �� ���� �� ���� ������& #��������� ��� � ���) ���� �� +�5,& ��� ��������������% �� ��������� ���� � ���� ����������� ����������� �� �� ����� ����& ;� ������� �� � � ��� ���$��������� �����% �� ���$���� ���� � �� �� ������� �� �������� ����� ���)&

#� � �� + ��������8, �� ��% �����)�$�����%

���� � � ����)�����

���

��� �����

��

� �� ����

��� �� ������ % +�@, ���� �� �����)�������

� � ����)�����

����)���

� �

��

�� �������� ��

� �����)�������� ��� ���� ����� �

� �

��

�� �

���)������� ����

�� �� ����� ��� ���� �� ��� ������ �& #��������� � �� �9��� ���� ����� �� ����������������% ��� � �� � ������� ����� ���� ����� ����% ����� �� � �������� ����� �� �� ��$J���� �� ��� % �� ��� �� ����% ����� ���� ������������� �� ��� ��

�& ��� � ���� ��� ������%

���� ����� ����� ����� ��� ���� �� ������� �����$��� ����������� ���������& ���& B����� ���� �� ����������� ��������� �� +��, ������� �� ���� � �� ����� ��� � ����� �������� ���������&

���& @ ����� �� �� ���*� ������> )���%���� ��� �� � ������ ��������8����� �� ��+������8, �����) �� +��,% �� �����)����%���� ��� ���� +��,& #� �� ���'� ��� �9�$�� ���� ���� �� ����� �� ��������� �������%���*����� ����� � �� ��� 2:3 ���� �� ���� ���� ������ �� ���������& I�� �� ������ ���'����� ��� ����* �� 2�3% ������� ���� � ����$������ �� ��� � � ����& #� ������ ��� ���� ��% �� +�� �� ����� ����, ���� �� �������% �� ���� � �� �� � � ��� ��� � �����% ��� �� �� �����)������� ����������� ������� �� �� ������ ���' +������ � �������������� �� ��� � � ���� �� � � �$7 �� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ����,& ( �����������������% ��� �� � �� ����� ��� � � �����" �5��� � ��"�B�6 � � �% �� � � �%����� �� 2�3% ����� ������ ���� ��� ������� ���& ��+�, �� 2�3% )��� ���� ����� �� ���������' �� ��������&

#�� ���� �� �� � ��� ���� �� ��� ���$*�� ���� �� ��� � � �� �� � �� �������

���& B& #���' � ��> �� � � �� �����$���� ������ �� �����$

������ ����% ��� � � : ���� � ��> �����)������� +��,&

��B $� ���� ' ()��� *� ��������� +,, -+,,�. /+�0//,

Page 9: Fractal modes of unstable lasers with polygonal and circular mirrors

��� �� � �� �� ��& F�� ���� ���� �� ������ � �� �����% �� ���� ���� �� ������ ���'%�� ������ ���� �� +��, ��� � �����)���� �� ���� �� ���������� ���� �� ��� �� ���� � ��$�����% �� �������� �� �� ��& #�� �� E �� ��������� �� �� �� �� ����% ���� �������� �� ��) �� ���) � � +�� ���� ����� � ����� ����� �����$�������, ��

���� � )��

�����

������

������

��

� �

��� ��� � �:�

� �����

����

+�� �� �� ��������) � � ��� ���� �� �,&#��� �� � F��������4�������� � ������ 2@3 ������*������ �� �� ��) ��� �� �� �������� ������� � �� ���� �� ������� ������� � � ���%����� �� �� ���� �� �� �� ���� ������& ;� ���*���� �������� ���� � ������ )���������� 2:3% ������ ���������� �� ������ ���� ��� ��� ��

�� ���� �� �� �������% �� ���� % �� ������ ��������� ���� ��� ��������&

#� �9��� ���� �� ���������� �� ��������� ���� ��� ������� �� ���� ���� ����� �� ��$������� ������� �� ������ ���� �� �� ��� ������ � ����& #� ����� �� ���� �� �� ���� ��$������ �� +��, 4 ����� �� ����� �� �� �� �� �������� 4 ��������� �� �� ��������� ��� ���� ���$��� ��

� �� �� ����������� �� �����& /��� � �����

�� �� ����� �� �� ��� �������� ���� ���������� ���� �� ���% �� �9��� �� ������� ���$����� ����� ����� �����)����& � � �� �� ���% �$�� � �� ��������� �� % �� ��� �� ����$������������% �� ����� ���� �� ������� ������� ����������� �������� +������������ �����, �� � �� ������ ���� �� �� �����& (���$������� ����% �� ����$� ����� �� ��� ���$� � ���� �� ���������$� ���$��$��� �����&

# "����� ��� �������

#� �������� ����� �� ����� ��� � ����� ��������� �� ����������� �� ������ ��$��� ��� �% �� ����$���� �� ����������&#� ������������� ���� �� ���� ���� �� ����$���� �� �� � ����> ��� ����������������% �� ����������� � ���������� �� ����������� ����% �� ��� ���� ��� �������% � � ��$�������� �� �������� ���� ��� ���� ���� ��� ��� �� ���� �� �� ������& G����% ���� �� ����� ����� ���� �)����% ���� �� � ����� ���� �� �&

�����% ��� ����� ������ �� �����% ��� ������ � ���� ��� �� �� �� ���� � ��� +������� ������� �� �� �� ����,% ����� ���� L �� ������� ������ ��� � �� ��� �� �����& ;� �� ��������� �� � ������ ��������� ��������� �� ���� ����% ����� �� �� � ���� � �� ���� ���� �� ���� ��� �������� ���� ���$��������� �� �� �9������� ����������� 2��3 ��������� �� ��������� �� �����& G����% �� �$���� �� �� � ��������$�����* � ���� ������� ������% �� �� 9�� �� ���� �� �� �� ������ ���������� ������ �� � �� �&

/���% ��� ��������� �������% �9������� ������ ������ ���� ������ �� � � ���������� �$��� ������ ���� �� �9��� � ���� ��

���& @& 1����$���� �� �� �����$������ ����% ��� � � ���%

� � � +�, )��� +�, �� �����)������� +��,& +0������ ����� ��

���������&,

$� ���� ' ()��� *� ��������� +,, -+,,�. /+�0//, ��@

Page 10: Fractal modes of unstable lasers with polygonal and circular mirrors

������ ����% �� ��� � � ���������� �� ����*� ��������� �� �� �� �����������&

#���% ������ ����� ���� ������� �� �����$����� +��� �� ��� �9��� ��������� � ���� ���� �9��� ��� ��� ������,% ��� � � �� �&

�� ���% ����� ��� �� ��� ������� �� ������)��� ��� � � ���������&

�����% � ��� ��� ��� ���$��������� ������$���� �� �� �$��� ���� �� �% �� ��������� ������ �� �� �� ���� �� �� ���� ��$������� ��� �����*������ �� �� �� �������������������� ���� ����������� ������������ �� � ����& #��� �� ������ ����� ��$������� ��� �� �����% ��� �� ����� � ��� ������'� �� ����� � ���� ��������� ������ ��������� �E������&

/�)��% �� ����������� �� ��� �� ��� �� ������� � �� �� ��� ������ ������� �� +�, ��� �� �� �% ����� ���� ������ �� �����$���� ��&

$���������

2�3 D& G�����8% (��������� ����� �� ������ ��������

���% �& !��& /��& (�& 5� +�@6�, �"�B&

2�3 F&G& /� �����% N������$��������$�� ��������

���� ���� ��$�� �� �����% �& !��& /��& (�& � +�@B5,

�BB"&

2�3 H&D& O�����% �&D& F�����% ������� ��� �� � ��

������ �� ������$������ �����% !��& 1��& ��

+�@@B, �@�@&

2:3 H&D& O�����% H&/& ��<����% H&G&=& I�% �&D& F��$

���% ������� ��� �� ������ ���������% I�� � :��

+�@@@, ��B&

2"3 H&G&=& I�% �&(& P���% �&D& F�����% H&/& ��<��$

��% <�9������ ������ �� ������� �������� ���% !��&

=��� �& �@� +����, �5�&

253 �& =� �����% �&�& D����% �������$� ���$�$������� 9��

�� ���$������� ������� ��� �� � �� �� ������ ��

������ ������� ���������% D���& ��& 1��& B" +����,

"���&

263 �&0& ����% =& /����% F& ��� /�������% #���� ��

������ ���� ���> � ���� �� ����������% !��&

=��� �& �@6 +����, �@�&

2B3 (&.& /�����% 1����% N�������� /���� ���'�% ����

0����% �@B5&

2@3 �&0& ����% Q&0& 1���% !� �� F��������4��������

������� � ������% D���& ���& /��& ( �6� +�@B�, :"@&

2��3 O& �������% ������� H�����> ����������� �� ��$

����� �� (�����������% F���% I� P��'% �@@�&

2��3 ;&/& H�������% ;&�& ��8��'% #��� �� ;�������% /���

�� D�� ���% (����� D���% I� P��'% �@B�&

2��3 �&0& ����% =& N������% =��������� ������> �����������

�� �� ����� �� ���� �9������� �������% D����& !��& �B

+�@B�, �"6&

��� $� ���� ' ()��� *� ��������� +,, -+,,�. /+�0//,