Фрактали. ГеФрактали. Геоометрична метрична природа дивних атракторів. природа дивних атракторів. Фрактальна розмірність в Фрактальна розмірність в біологічних системах.біологічних системах.

ПідготувалаКарпа НаталіяПМІ-53м

“ “Холодна” і “суха” Холодна” і “суха” геометріягеометрія

Основний принцип: все повинно бути регулярно, рівно, правильно..

Абсолютно інший рівень Абсолютно інший рівень складностіскладності

Бенуа МандельбротБенуа Мандельброт

Помер 14 жовтня 2010 року в США в віці 85 років

Давайте обчислимо Давайте обчислимо берегову лінію Британії!берегову лінію Британії!

Новий підхід до вимірювання складних природніх об’єктів

Нова Геометрія ПриродиСімейство фігур “фракталами”.

Отже, що таке Отже, що таке “Фрактал”?“Фрактал”?

Фракта�л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) — нерегулярна, самоподібна структура. (1975 р.)

Звідки беруться Звідки беруться фрактали?фрактали?

“Коли ви дивитесь на поверхність, ви бачите всю її складність і вона здається вам дуже нематематичним об’єктом. Треба думати не про то, що ви бачите, а про те, як можна отримати те, що ви бачите”.

(Бенуа Мандельброт)

А отримати можна шляхом безкінечного повторення.

Зірка КохаЗірка Коха

Отримаємо специфічну криву , яку називали «дефектною» чи кривою -«монстром»

Повертаючись до берегової Повертаючись до берегової лінії..лінії..

З геометричної точки зору берегова лінія Британії – фрактал.

Мандельброт знав, що не зможе виміряти довжину цієї лінії.

Але припустив, що зможе виміряти дещо інше – її нерівність.

Щоб зробити це, необхідно було переглянути одне з основноположних понять в геометрії – розмірність.

Розмір і Розмір і МіраМіра

1. Розмір (характеризує величину об’єкта)

2. Міра (характеризує кількісну величину об’єкта)

Міра суми рівна сумі мір.

РозмірністьРозмірність Введемо позначення: D — розмірність, M — міра L — розмір. Формула, що пов’язуватиме ці три

величини:

M = LD

Отже, розмірність D прийматиме значення {0,1,2,3,… }

Якщо фігуру зменшити в N раз, то вона вкладеться в початкову рівно ND разів.

Вірне і наступне твердження: якщо при зменшенні фігури в N раз, вона вкладається в початкову n разів, то розмірність можна обчислити за формулою:

D = ln(n)/ln(N)

Якщо куб (D=3) зменшими в 2 рази, то він вкладеться в початковий 8 раз (23=8).

Якщо трикутник (D=2) зменшити в 3 рази, то він вкладеться в початковому рівно 9 разів.(32=9).

Поговоримо про Поговоримо про розмірності…розмірності…

D = 0 D = 1 D = 2 D = 3

Чи існує дробова розмірність?

Існує! Існує!

Фрактальна розмірність — поняття, що означає величину, яка говорить про те, наскільки повно фрактал заповнює простір, коли збільшувати його до дрібніших деталей.

Розіб’ємо весь n-вимірний простір на куби з довжиною ребра ε і об’ємом εn.

Хай N(ε) — мінімальне число кубів, які в покривають фрактальну множину, тоді:

Існування такої границі означає скінченність об’єма фрактала в D – вимірному просторі.

При малому ε: N(ε)≈ Vε–D  де V = const. Отже, N(ε) не що

інше, як число D-вимірних кубиків, що покривають об’єм V. Так як такі кубики можуть бути майже порожніми, то D<n

Фрактальна розмірністьФрактальна розмірність

)1ln(

)(lnlim)( 0 a

aNAd a

До слова про дивні До слова про дивні атрактори..атрактори..

Чим дивні атрактори відрізняються від інших атракторів?

Геометрична будова дивних Геометрична будова дивних атракторіватракторів

Розмірність дивного атрактора єдробовою.

Значення розмірності - критерій відмінності простих атракторів від дивних.

Термін "дивний" атрактор був уведений саме для того, щоб підкреслити, що такі атрактори не є гладкими множинами.

Фрактальна розмірністьФрактальна розмірність Через надзвичайну важливість фрактальної

розмірності виникає питання про явне її обчислення для тих або інших атракторів динамічних систем.

Гіпотеза Каплана – Йорке: фрактальна розмірність пов'язана з характеристичними показниками Ляпунова . Ця гіпотеза припускає, що фрактальна розмірність dF збігається з ляпуновскою розмірністю dL.

Для того, щоб встановити геометричну структуру дивного атрактора, необхідно взяти яку-небудь малу область фазового простору й простежити, як із часом вона еволюціонує.

Інформацію про зміну малого елемента фазового об'єму динамічної системи дають характеристичні показники Ляпунова.

Розмірність фрактала Розмірність фрактала КантораКантора

k – число ітерацій . N – к-сть кубів, що покривають

атрактор a – сторона куба

631,03ln

2ln

3ln

2lnlim m

m

mFd

При к=0: N=1, a=1. При к=1: N=2, a=1/3 При к=2: N=4, a=1/9 При k = m

mN 2 ma

3

1

Задача Задача Gaston JuliaGaston Julia

Що отримаємо після великої кількості ітерацій?

1980 р. Мандельброт написав власну формулу , що об’єднала всі множини Жюля в одне зображення.

Проітерував формулу при різних значеннях параметра і спостерігав як змінюються множини Жюля.

Фрактал Мандельброта Фрактал Мандельброта став емблемою став емблемою фрактальної геометріїфрактальної геометрії

Класифікація фракталівКласифікація фракталівТочна самоподібність —фрактал виглядає

однаково при різних збільшеннях. Майже самоподібність —фрактал

виглядає приблизно (але не точно) самоподібним при різних збільшеннях.

Статистична самоподібність —що зберігаються при збільшенні.

Слід зазначити, що не всі самоподібні об'єкти є фракталами; наприклад, числова вісь є точно самоподібною, але, оскільки її розмірність рівна одиниці, вона не є фракталом.