UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO

MARIA APARECIDA PINHEIRO ALMEIDA

PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA- MOSTRAR AS RELAÇÕES

EXISTENTES ENTRE AS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS E OS CONCEITOS

BÁSICOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA.

LUIS GOMES, RN

2016

Maria Aparecida Pinheiro Almeida

PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA- MOSTRAR AS RELAÇÕES

EXISTENTES ENTRE AS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS E OS CONCEITOS

BÁSICOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA.

Trabalho apresentado à Coordenação do curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio a distância da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito para a obtenção do título de Especialista em Matemática.

Orientador: Professor Dr. Iesus Carvalho Diniz.

LUIS GOMES, RN.

2016

Maria Aparecida Pinheiro Almeida

PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA- MOSTRAR AS RELAÇÕES

EXISTENTES ENTRE AS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS E OS CONCEITOS

BÁSICOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA.

Trabalho apresentado à coordenação do curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio à distância da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, composta pelos seguintes membros:

Aprovada em: _____/_____/_____

Professor Dr. Iesus Carvalho Diniz

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN

Orientador

Professor Ms. Odilon Julio dos Santos

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN

2º Membro

Professora Esp. Luciana Vieira dos Santos

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN

3º Membro

Dedico este trabalho a Deus e a minha família: em especial aos meus

pais José e Maria José pelo amor e incentivo durante toda formação

acadêmica.

AGRADECIMENTOS

A realização deste trabalho não seria possível se não houvesse o apoio de algumas

pessoas que nos motivam:

Agradeço primeiramente a Deus, pelo dom da existência;

A minha família, especialmente o meu esposo: Jessé Andrade pelo incentivo

constante;

Aos meus pais: Maria José e José pelo apoio incondicional;

A minha irmã Priscila Pinheiro pela contribuição neste trabalho;

E ao orientador o Professor Iesus pelo auxilio prestado.

As leis da natureza nada mais são que pensamentos matemáticos de Deus.

Kepler

RESUMO

Este estudo tem por objetivo apresentar uma pesquisa sobre as relações existentes

entre as Progressões Geométricas e os conceitos básicos da Matemática Financeira. Nesse

sentido a pesquisa enfoca a disciplina como importante membro da grade curricular, pois há

carência do estudo da disciplina em escolas de nível médio, enfocando o uso da Progressão

Geométrica descriminando as fórmulas e classificações por fazer parte de toda teoria da

Matemática Financeira elencando seus conceitos básicos, a relação entre tempo e dinheiro,

com isso, segue-se com o pressuposto de que elas se completam, pois os juros compostos são

ligados às Progressões Geométricas, e essa admissão é muito útil. Os conceitos de Progressão

Geométrica são cruciais para o estudo da Matemática financeira.

Palavras chave: Matemática financeira. Relação. Progressão geométrica. Educação

financeira.

ABSTRACT

This study aimed to present a survey of the relationship between the Geometric

Progressions and the basic concepts of Financial Mathematics In this sense the research

focuses on the discipline as an important member of the curriculum because there is a lack of

study of discipline in secondary schools, focusing on the use of Geometric Progression

discriminating formulas and classifications to be part of the whole theory of Financial

Mathematics elencando its basic concepts, the relationship between time and money, thus,

follows up with the assumption that they are complementary, as the compound interest is

linked to Geometric Progressions ,and such admission is very useful. The concepts of

Geometric Progression are crucial to the study of financial mathematics.

Key words: Mathematics financial. Relationship. Geometric progression. Financial

education.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO....................................................................................................................10

1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO E PROBLEMA .......................................................................10

1.2 OBJETIVOS 11

1.2.1 Geral 11

1.2.2 Específicos 11

1.3 JUSTIFICATIVA 11

1.4 APRESENTAÇÃO E ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO 12

2 CONCEITO E SIMBOLOGIA 14

2.1 RELATO SOBRE O PRINCÍPIO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 14

2.2.DEFINIÇÃO DE JUROS ..................................................................................................14

2.3. A FUNÇÃO DO DINHEIRO NA TRAJETÓRIA HUMANA ........................................15

2.4. O SURGIMENTO DOS BANCOS ..................................................................................17

2.5. O CRESCIMENTO DAS AGÊNCIAS (RENTABILIDADE) ........................................18

2.6. DIMINUIÇÃO DO LUCRO DAS AGÊNCIAS APÓS DÉCADAS ..............................19

2.7. INADIMPLÊNCIA ...........................................................................................................20

2.8. LUCROS CONTROLADOS ............................................................................................21

3 CONCEITOS BÁSICOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA...........................................23

3.1.CAPITAL............................................................................................................................23

3.2.JUROS................................................................................................................................23

3.2.1 JUROS SIMPLES............................................................................................................24

3.2.2 JUROS COMPOSTOS 25

3.3 TAXAS EQUIVALENTES 26

3.3.1 TAXAS EQUIVALENTES A JUROS SIMPLES- ANÁLISE GRÁFICA ...................27

3.4 TAXAS NOMINAIS 29

3.5 TAXAS EFETIVAS ..........................................................................................................30

3.6FLUXO DE CAIXA ...........................................................................................................30

3.7 VALOR PRESENTE OU VALOR FUTURO ...................................................................31

4 DESCONTOS ......................................................................................................................32

4.1. DESCONTO RACIONAL SIMPLES ..............................................................................33

4.2. DESCONTO COMERCIAL SIMPLES OU BANCÁRIO ...............................................35

4.3 RELAÇÃO ENTRE DESCONTOS RACIONAL SIMPLES E COMERCIAL

COMPOSTO.............................................................................................................................37

4.4. DESCONTO BANCÁRIO ...............................................................................................39

4.5. DESCONTO RACIONAL COMPOSTO .........................................................................41

4.6. DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO ......................................................................42

5 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA .........................................................................................44

5.1CLASSIFICAÇÃO DA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 44

5.2 FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PG .............................................................44

5.3 FÓRMULA DA SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG...........................46

6 APLICAÇÕES DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS NOS JUROS

COMPOSTOS...........................................................................................................................49

7 METODOLOGIA 57

8 CONSIDERAÇÕES FINAIS 58

REFERÊNCIAS 59

10

1. INTRODUÇÃO

Ao introduzir este trabalho o objetivo inicial é expor sobre a Matemática Financeira,

em seu enfoque formal (fundamentação teórica) relacionando a Progressões Geométricas.

A Matemática Financeira analisa as relações que existe em quantidades monetárias, ou

seja, ao receber um montante, hoje, futuramente não será o mesmo valor. O propósito da

Matemática financeira é investigar a evolução do dinheiro com o passar do tempo, nesse

sentido, estudá-la é muito importante para nossos alunos, uma vez que é necessário, aprender

acerca do capitalismo financeiro, pois o consumo exagerado está cada vez mais presente no

cotidiano dos nossos educando pouco instruídos, que não possuem qualquer instrução sobre o

custo do dinheiro, essa disciplina no currículo das escolas é significativa para formação dos

alunos de nível médio. Salienta-se também neste trabalho a importância da Matemática

Financeira na rotina de quem lida com encargos e obrigações financeiras. Portanto, o

conhecimento sobre a Matemática instrui os alunos a saberes matemáticos e

consequentemente a formação de um educando e cidadão autárquico e crítico, preparado e

eficiente, ou seja, um habilidoso a ponto de fundamentar as relações e de compreender como

ser alguém de influenciar na procura de uma sociedade mais digna.

Por isso se faz conveniente explorar neste estudo os conteúdos da Matemática como

essencial para a formação do aluno fomentando o desenvolvimento intelectual visando a

educação superior e mercado de trabalho.

1.1CONTEXTUALIZAÇÃO E PROBLEMA

De acordo com as possibilidades de observação através das pesquisas bibliográficas,

percebe-se que a Matemática Financeira não está sendo apreciada de maneira satisfatória no

currículo escolar. Uma das causas prováveis para esta indiferença com a Matemática

Financeira pode ser a inflexibilidade dos planejamentos, elaborados historicamente, nos quais

alguns conteúdos são preservados pela tradição, apesar da relevância ser discutida não

oferecendo possibilidades para estudar outras temáticas de abordagem mais expressiva para o

educando. Nesse sentido é indispensável o aluno amplificar o que se entende por Matemática

Financeira seus conhecimentos básicos, porcentagem, juros simples e compostos e relacioná-

11

la a Progressões Geométricas, enfim todo conteúdo que se faz necessário para uma boa

formação.

Dessa maneira a proposta de ampliar o currículo escolar, ou sugerir mudanças na

grade curricular de ensino, nos faz refletir:

Qual a relação existente entre as Progressões Geométricas e os conceitos básicos da

Matemática Financeira?

1.2 OBJETIVOS

1.2.1 Geral

Discutir a relação entre as Progressões Geométricas e os conceitos básicos da

Matemática Financeira.

1.2.2 Específicos

É necessário sujeitar-se a critérios de alguns objetivos específicos tais como:

Relacionar progressões geométricas aos conceitos básicos da matemática

financeira;

Elencar a importância do estudo da matemática financeira no nível médio;

Identificar as variáveis envolvidas no estudo da matemática financeira, taxa de

juros, o capital e o tempo;

Mostrar a definição e o termo geral de uma progressão geométrica.

1.3 JUSTIFICATIVA

Como já citado nas instituições de ensino a Matemática Financeira não está sendo

trabalhada como deveria no currículo escolar, devido a não flexibilidade, onde não há espaço

pra integração de novas disciplinas no currículo, além do que, os livros didáticos de

Matemática do nível médio não abordam de forma satisfatória a Matemática Financeira esses

12

fatos e a necessidade de exibir neste trabalho as relações entre Progressões Geométricas e os

conceitos básicos da Matemática Financeira me impulsionaram a desenvolver esse estudo,

assim no mundo atual, o sistema de ensino tem a obrigação de oferecer essas discussões que

são primordiais na formação dos nossos educandos, desse modo é indispensável acrescentar

algumas considerações que habitualmente se conhece por progressões geométricas e suas

relações com a Matemática Financeira.

Nesta óptica este estudo vem a sugerir que as instituições venham a incorporá-las no

currículo escolar visando à melhor compreensão dos alunos do nível médio sobre a temática

aqui citada, e levar nossos educando a refletir acerca do conhecimento adquirido através do

assunto aqui debatido.

1.4 APRESENTAÇÃO E ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO

Tendo em vista as análises feitas sobre Matemática Financeira e Progressão

Geométrica, afirmando que os juros compostos estão ligados a Progressões Geométricas, é

fundamental frisar que os conceitos de Progressão Geométrica são essenciais para Matemática

Financeira por fazer segmento de toda sua teoria.

Dessa maneira o primeiro capítulo aborda um breve relato sobre Matemática

Financeira e seus conceitos, expor sua importância para a sociedade e consequentemente,

como disciplina escolar no intuito de expor aos alunos para que dessa maneira influencie na

formação de cidadãos preparados para o mercado de trabalho, em seguida apresenta-se a

contextualização e problema que relata o projeto de pesquisa e a descrição dos objetivos

gerais e específicos juntamente com a justificativa que questiona o problema de pesquisa.

O segundo capitulo inclui os conceitos e princípios da Matemática Financeira bem

como a origem do dinheiro, o surgimento das agências e bancos, a diminuição dos lucros das

agências após décadas, inadimplência e os lucros controlados.

O terceiro capítulo apresenta os conceitos básicos da Matemática Financeira bem

como a concepções de juros simples e compostos partindo da análise feita seguido, da

descriminação de juros racionais simples e composto, desconto comercial simples, composto

e bancário, taxas equivalentes e taxas nominais, expondo alguns exemplos com fórmulas e

resoluções de questões.

13

O quarto capítulo aborda os descontos racional simples, comercial simples ou

bancário, bem como a relação entre ambos, desconto racional composto e comercial

composto.

O quinto capítulo expõe sobre os conceitos de Progressão Geométrica, bem como sua

classificação, fórmulas, demonstrando através de fórmulas e resoluções de questões.

Dando o desfecho, vem o sexto capítulo que aborda as aplicações da PG nos juros

compostos. O sétimo capítulo descrimina a metodologia aplicada na pesquisa, a qual se

caracterizou de um estudo quantitativo exploratório através de pesquisas bibliográficas e em

sites para composição do projeto. Para finalizar o capítulo oito explana as considerações finais

que ressalta a importância da inserção do estudo aprofundado da Matemática Financeira para

que haja o correto manuseio da moeda (dinheiro) bem como o conhecimento básico de como

administrar o capital para sermos capazes de enfrentar e superar crises econômicas.

14

2 CONCEITO E SIMBOLOGIA

2.1 RELATOS SOBRE O PRINCÍPIO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

Em decorrência do interesse pela educação e do avanço do comércio do renascimento,

passaram a surgir várias obras desconhecidas da aritmética. Várias cópias dessas obras foram

impressas no continente europeu durante o século XVI.

Estes textos possuíam características diferentes; sobretudo aquelas escritas em latim

por intelectuais de conhecimento tradicional, muitos deles vinculados a doutrina da igreja, e

outras letras do vernáculo por instrutores práticos empenhados em ensinar adolescentes para a

prática comercial. A primeira aritmética publicada é a desconhecida e atualmente atípica

aritmética de Treviso, divulgada em 1478, na cidade de Treviso.

Refere-se a uma aritmética extensamente comercial, destinada a esclarecer a escrita

dos números, a realizar operações com eles e que envolve investimentos incluindo sociedade

e escambo. Como os ‘‘algoritmos’’ originários do século XIV, ela similarmente integra

problemas divertidos. Foi a primeira obra de Matemática publicada no universo ocidental.

Extremamente mais prestigiada na Itália que a aritmética de Treviso foi a aritmética comercial

escrita por Piero Borghi. Essa obra bastante útil foi divulgada em Veneza em 1484, e obteve

no mínimo dezessete impressões, a última de 1557.Em 1951 divulgada em Florença, uma

aritmética menos interessante, de composição de Filippo Calandri, no entanto fascinante para

nós pelo fato de abranger o primeiro modelo impresso do contemporâneo processo de divisão

bem como os primeiros dilemas ilustrados e surgiram na Itália. Dessa maneira há a explicação

da importância da Matemática Financeira para a sociedade:Numa sociedade do conhecimento e no mundo atual, em que as pessoas precisam

controlar seu orçamento doméstico, gerir seus negócios, discutir bases adequadas de

negociação, entre outras transações econômicas, alguns conhecimentos de

Matemática Financeira são, sem dúvida, imprescindíveis. Ademais, apresentam

grande relevância social, por isso merecem ser tratados na Escola Básica.

(NASCIMENTO, 2004, p. 50)

15

De acordo com Nascimento é no ensino médio que os alunos adquirem conhecimentos

sobre a matemática financeira contribuindo dessa forma para o correto uso do dinheiro.

2.2 DEFINIÇÃO DE JUROS

É muito primitiva a definição de juros, tendo sido bastante publicado e utilizado no

decorrer da história. Essa definição apareceu espontaneamente quando o homem deduziu

existir uma pequena ligação entre tempo e dinheiro. Ações de acúmulo de bens e a

desvalorização do dinheiro conduziam geralmente a concepção de juros, uma vez que se

sucediam principalmente em virtude do custo temporário do dinheiro. Os tabuleiros arcaicos

mostravam um elevado índice de talento com números e evidenciaram que o processo

sexagesimal posicional já encontrava a algum tempo definido. As várias obras primárias que

abordaram a divisão de mercadorias agrícolas e operações aritméticas fundamentando nessas

operações, os tabuleiros revelaram que os sumérios encontravam acostumados com as várias

formas de acordos legais e usuais, tais como: faturas, recibos, duplicatas, créditos, juros

simples e compostos, notas, hipotecas, registro de vendas e garantias.

Há tabuleiros que são certidões de estabelecimento comerciais, e outras trabalham com

procedimento de pesos e medidas. Alguns cálculos aritméticos eram realizados com a ajuda

de vários tabuleiros. Das 400 tabuas matemáticas aproximadamente metade eram tabuleiros

matemáticos. A outra metade compreende tabuas de multiplicação, opostos multiplicativos, de

quadrados e cubos, e tábuas de exponenciais.

2.3 A FUNÇÃO DO DINHEIRO NA TRAJETORIA DA HUMANIDADE

No período em que os indivíduos viviam em pequenas comunidades, retirando da

natureza apenas os produtos que necessitavam para sobreviver, sem sombra de dúvidas devia

haver um pequeno diálogo entre as pequenas sociedades. No entanto com o avanço do

artesanato e da cultura e em função da heterogeneidade da distribuição dos produtos naturais,

a transição comercial apresentou-se gradativamente necessária.

16

A primeira forma de troca foi o escambo, sistema no qual se trocava de modo direto,

(sem a interferência de uma ‘‘moeda’’), artigos e mercadorias similares a matérias primas ou

objetos primordiais. De vez em quando lidavam com grupos que mantinham contato pouco

amigável, essas trocas eram realizadas por meio de escambo silencioso. Um dos componentes,

em um local antecipadamente acertado, os produtos/e ou mercadorias nas quais poderiam

trocar no dia posterior, deparavam com os artigos e /ou produtos em seu lugar ou ao seu redor,

dependendo se a troca fosse aceita ou não. Se a quantidade não fosse considerada boa o

negócio poderia prolongar-se por vários dias, ou até mesmo, findar sem troca se as partes não

conseguissem achar terreno para acordo.

Com o crescimento dos meios de comunicação entre as comunidades e as

necessidades cada vez mais do comércio a execução do escambo transformou-se em um

problema. Não se conseguiam mais fazer a troca de mercadorias, de acordo com as vontades

de cada indivíduo.

Verificou-se, no entanto, a carência de um processo e avaliações e proporções,

baseado em um preceito (vizinho daquele do eixo de um processo de numeração) surgindo à

resolução de algumas unidades ou modelos estabelecidos. Nesse processo é sempre provável

calcular, qual ou qual valor, não apenas para os cálculos acessíveis bem como para a

normalização de processos judiciais significativos, e todos os tipos de utensílios práticos

serviam nessas circunstâncias. O primeiro escambo adotado na Grécia foi o boi, porém

antigamente o sistema de troca, distante de ser uma prática simples, era rodeado de

formalidades muito relativas a misticismo e atividades mágicas. Na cultura rural a idealização

do boi-padrão foi sucedida a ideia de ‘‘boi-sacrifício” que era relacionado do valor individual

ao animal.

Em compensação, nas ilhas do Pacifico, os produtos eram trocados em colares de

pérolas. Algum tempo depois, passou-se a trocar pedaços de tecido por animais ou

mercadorias. O tecido representava a moeda era o pedaço (palmos) dos tecidos indicam a

largura. Tais procedimentos apresentavam sérios problemas de aplicação. Dessa maneira,

conforme o crescimento do comércio, os metais exerciam uma função cada vez maior, nas

operações comerciais, passando a tornar a moeda de troca mais usadas entre vendedor e

consumidor, com isso, o cálculo dos produtos passaram a realizar através dos pesos, onde

cada metal possuía um preço diferenciado.

17

Da mesma forma no Egito, dos faraós, as variedades dos produtos foram

repetidamente calculadas e amortizadas com metal, cobre bronze, e ás vezes ouro ou pratas,

que eram transformados em placas, o cálculo era realizado também sob a forma de joias, cujo

preço se estabelecia de acordo com o peso. Até então não se tratava apenas do escambo, e

sim, de um autêntico modelo econômico. Desde então, por causa da qualidade do metal, os

produtos passaram a não ser mais negociados a simples vontades dos comerciantes ou

tradições, mas em decorrência de ‘‘legítimo preço” Ainda, se tratava de inserir nas transações

o peso-padrão, unidade de medida na qual o valor de cada um dos produtos ou ações eram

especificados seguindo esse princípio, o metal do outro podia substituir o ‘‘salário multa” ou

‘‘preço de troca’’.

A partir da contagem teórica e o agrupamento das espécies de elemento de acordo com

a base o homem entendeu o processo de cálculo avaliar, e medir. Aprendeu-se do mesmo

modo a criar números maiores, antes mesmo de compreender o conceito de finito, poder

produzir estratégias operacionais (mental, objetivas posteriormente escritas) e fundamentar a

origem de urna aritmética de início prática, depois se tornou teoria e encaminhou a álgebra

onde se têm a matemática financeira extensamente moderna.

Sucedeu-se ainda o caminho para a produção de um calendário e de uma astronomia,

assim como para o progresso de uma geometria organizada, a princípio baseada em

dimensões de espaço, cumprimentos e capacidade, antes de ser presumida e exata.

Resumidamente, a aprendizagem desses elementos relevantes concedeu paulatinamente a

humanidade empenhar-se em calcular o tamanho do mundo, entende-lo melhor, utilizar

alguns dos seus vários mistérios, para sistematizar sua estruturação.

2.4 O SURGIMENTO DOS BANCOS

Há descrição de grupos financeiros desde os ancestrais, onde a sociedade Fenícia

usava diversas maneiras diferente de fazer pagamentos, como comprovação de crédito.

Porém, foi no século XVII que as agências bancárias se fixaram, com a propagação do

dinheiro em cédula pelo banco de Estocolmo.

Neste período, muitos países da Europa começaram a gerar seu próprio dinheiro

(moeda). Surgiram outros bancos no decorrer do século XIX, quando o crescimento

18

financeiro, causado pela revolução industrial, contribuiu para a constituição do banco

manufatureiro, cujo papel era de movimentar grandes quantidades de dinheiro para aumentar

o crescimento industrial. Atualmente os bancos são controlados pelo Banco Central, este tem

o papel de distribuir o dinheiro, confiscar bens financeiros e controlar as agenciam mercantis

e manufatureiras. Dessa forma eles determinam as normas que comandam o sistema

financeiro total de cada nação. Ademais, atualmente já existem as denominadas agências

internacionais que oferecem empréstimos a agências centrais de países pobres e ajudam o

crescimento de muitas nações Bird (Banco Interamericano de reconstrução e

desenvolvimento).

2.5 O CRESCIMENTO DAS AGÊNCIAS (RENTABILIDADE)

As agências são organizações financeiras que podem ser particulares ou

governamentais que oferecem negócios financeiros a comunidades. As agências obtêm

rendimentos por meio de juros e dos encargos obtidos através das operações realizadas.

Exemplo: tarifa de manutenção de conta, juros de empréstimo, tarifa de DOC (documento de

crédito) e etc.

As maiores agências privadas do país (Brasil) divulgam lucro de 2015. Itaú, Unibanco,

Bradesco e Santander mostraram lucro no ano de 2015 de R$ 23,36 bilhões R$ 17,18 bilhões

e R$ 6, 624 bilhões, reciprocamente. O Itaú Unibanco a maior agência particular do Brasil

divulgou um ganho líquido de 23,26 bilhões em 2015, um aumento de 15,4% em comparação

ao ano anterior. A diferença se deu devido ao aumento da vantagem financeira em

negociações com clientes e o comércio, conjunto com a prestação de serviços. Entretanto, a

carta de crédito no ano anterior marcou um aumento inferior inflação-aumento de 4,6% e a

agência prever que em 2016 a situação não deveria melhorar, com uma estimativa de aumento

no máximo de 4,5%.

O Bradesco segunda maior agência privada do Brasil, anunciou seu superávit

líquido em 2015 foi de 17,18 bilhões, apontando um aumento de 13,9% em comparação ao

ano anterior. O aumento dos juros recompensou o baixo aumento de 4,2% na carta de crédito

na agência, facilitando o crescimento do lucro. O Bradesco previa um aumento de 1% e 5%

no número de empréstimo no ano de 2016.Já o Santander Brasil agência filial brasileira do

19

banco espanhol, divulgou que fechou o ano de 2015 com o saldo líquido de R$ 6,624 bilhões,

o que equivale a um aumento de 13,2% relacionado aos R$ 5,85 bilhões do ano de 2014.A

filial apresentou 19% do saldo geral do grupo Espanhol no universo.Com relação ao último

trimestre de 2015, a agência Itaú Unibanco obteve um saldo de R$ 5,698 bilhões, um

acréscimo de 3,2% em comparação a mesma época do ano anterior. A agência Bradesco,

obteve um lucro de 9% em relação ao último trimestre, mostrando um aumento de 9% em

relação aos últimos três meses de 2014.Já a agência Santander, registrou um lucro de R$

1.607 bilhões no quarto trimestre que significou 5,9% a menos, que no penúltimo trimestre de

2015, onde o saldo foi de R$1.708 bilhões.

O banco do Brasil, maior banco do país, divulgou que teve um lucro líquido

contábil de R$ 3.008 bilhões no segundo trimestre de 2015,uma baixa de 48,3% comparado a

R$ 5.818 bilhões relacionados ao trimestre anterior, onde o lucro aumentou em 6,3%.Dentre

todas as agências brasileiras que já revelaram os rendimentos relacionados ao segundo

trimestre, o banco do Brasil foi o único a ter a diminuição no lucro comparado ao primeiro

trimestre, com a exceção dos acontecimentos inesperados, o saldo líquido do Banco de Brasil

totalizou R$3,04 bilhões de abril a junho, um aumento de1,3 a mais que o ano anterior. No

primeiro semestre, a agência mostrou um superávit contábil de R$8,826 bilhões quantidade

60,3% maior de que o primeiro semestre de 2014 R$5,506 bilhões o saldo totalizou R$ 6,065

bilhões em 2015, depois de apresentar R$ 5,438 no primeiro semestre de 2014.

2.6 DIMINUIÇÃO DO LUCRO DE AGÊNCIAS APÓS DÉCADAS

O crescimento do índice de desemprego somado aos juros crescentes devem ocasionar

o aumento dos calotes nas maiores agências no ano de 2016, que marcha para ser bem mais

enfraquecido com relação ao oferecimento de crédito. Sem contar com os prováveis danos na

qualificação dos efetivos, efeitos contrários de maiores impostos podem fazer com que as

maiores corporações do Brasil Itaú Unibanco, Bradesco, Santander e Banco do Brasil -

prefira, pela primeira vez durante décadas, e que a recompensa sobre os bens fique inferior

aos habituais 20%.

20

As projeções anunciam outro ano de crescimento de somente um dígito no crédito,

sobretudo por que não há desejo dos brasileiros para pegar empréstimos em meio a um quadro

de declínio da economia do país e o crescimento da taxa de desemprego.

Os mais negativos acreditam em equilíbrio ou redução das cartas, com ressalva das

categorias de consignado e imobiliários.

Por outro lado, a franquia de veículos vai permanecer em declínio, podendo se

equilibrar somente no fim do ano de 2017, a Federação Brasileira de Bancos (FEBRABAN)

programa aumento nominal de 7,8% em 2015 e 2016.

Até novembro, de acordo com os dados do Banco Central, o crédito aumentou 7,4%

durante um ano, somando R$ 3, 177 trilhões. A perspectiva é de um aumento de 7% neste

ano, ao contrário do valor de 9% no começo de 2015.

Desse modo, marcha para substituir o menor índice de aumento em mais de dez anos.

Nesse ano houve desaceleração um pouco mais rápida do crédito, o que é normal uma

vez que a demanda em 2015 foi menor impactada pela postergação de decisões por parte de

muitos participantes analisou Murilo Portugal presidente da FEBRABAN, em entrevista à

imprensa.

O procedimento para empréstimos será cauteloso neste ano de 2016.

Após darem preferência aos blocos de menor risco, as agências de grande porte

limitaram os créditos apenas para a aquisição da casa própria, por meio de acréscimo de juros

com a condição de maior valor na primeira parcela (entrada), e intensificaram os

negociamento de créditos atrasados.

Inclusive os adimplentes estão inclusos, na luta das empresas para impedir um

agravamento no número de débitos, visto que há abalo da lava jato no setor empresarial e no

âmbito macroeconômico, que tem repercutido no orçamento das famílias.

2.7 INADIMPLÊNCIA

Um famoso executivo de uma agência do exterior diz que a inadimplência neste ano

deve aumentar de maneira assustadora, forçando as empresas intensificar ainda mais as

provisões para devedores duvidosos (PDDs). No segundo semestre, um valor adicional de R$

16 bilhões realizado, dispondo dos ganhos com o aumento da contribuição social sobre o

21

lucro líquido (CSLL). As grandes agências prever o aumento dos calotes somente no fim

deste ano, em poucas situações, para o início do ano de 2017.

“Vemos riscos nas grandes e médias empresas que não estavam envolvidas na

primeira onda de aumento na inadimplência, no início de 2015, se a atividade econômica não

melhorar em meados de 2016”, analisa Carlos Macedo Cintra, Tyson Bryan e Steven

Gonçalves, do Goldman Sachs, em relato a clientes.

Segundo eles, isso poderia abalar instituições de pequeno e médio porte bem como

pessoas físicas que já encaram muitos obstáculos para pagar em dia as contas, causando uma

reviravolta na inadimplência das agências. Mais que aumentar os calotes, o período atual pode

trespassar 18 meses de outros períodos, prejudicando os rendimentos bancários este ano.

2.8 LUCROS CONTROLADOS

No quadro bem negativo, previsto pelo Bank Of America Merril Lynch (BOFA), o

superávit das agências no ano seguinte pode atingir uma queda de 18%, diante de perspectiva

de crescimento de apenas dois dígitos em 2015. O Goldman Sachs programa reparação de 5%

somando R$ 73 bilhões para o saldo associado de Bradesco, Itaú, banco do Brasil e

Santander. A UBS (União de Bradesco Suíços) e Deutsche Bank preveem morosidade dos

rendimentos, porém com um aumento de um dígito no ano de 2016.

Erivelto Rodrigues, da Austin Ratings, não considera que haverá diminuição dos

rendimentos das agências em 2016. A contenção dos gastos e aplicações eficazes nos últimos

anos, de acordo com ele, deve proporcionar as agências de 10% em seus lucros no ano

seguinte. “A inadimplência não vai aumentar tanto assim. Os bancos já constituíram provisões

suficientes. Em 25 anos acompanhando o setor bancário, nunca vi redução de lucros e não

será dessa vez”. Afirmou ele.

Por outro lado, procedimentos com atividades e taxas os resultados assegurados devem

suavizar as péssimas informações do mercado de empréstimo. Segundo especialistas haverá

sustentação das margens financeiras, já que o Banco Central já comunicou que poderá haver

aumento da taxa básica de juros, recentemente em 14,25% ao ano. Continuar com uma

política pecuniária contracionista pode colaborar para a prorrogação do processo de

22

precificação das cartas, ação que pode apesar de tudo ser diminuído com o baixo aumento do

crédito, no ponto de vista do Goldman Sachs. A matemática precisa estar ao alcance de todos e a democratização do seu ensino

deve ser meta prioritária do trabalho docente. A atividade matemática escolar não é

“olhar para coisas prontas e definitivas”, mas a construção e a apropriação de um

conhecimento pelo aluno, que se servirá dele para compreender e transformar sua

realidade. No ensino de matemática, destacam-se dois aspectos básicos: um consiste

em relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas,

figuras); outro consiste em relacionar essas representações com princípios e

conceitos matemáticos. (BRASIL, 2000, p.19)

Segundo os PCN”s o estudo da matemática financeira deve ser explorado nas

instituições para que através de comparações e vivências possam adquirir conhecimentos para

solucionar questões cotidianas.

23

3 CONCEITOS BÁSICOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

Matemática financeira é um instrumento útil no estudo de algumas possibilidades de

aplicações ou financiamentos de patrimônio. Consiste em utilizar métodos matemáticos para

facilitar o cálculo financeiro de um fluxo de caixa.

3.1 CAPITAL

O capital é a quantia aplicada por meio de um cálculo financeiro também conhecido

como: valor atual, valor principal, valor presente ou valor aplicado.

3.2 JUROS

Juros equivalem ao rendimento do recurso aplicado em alguma operação

propícia. Os juros podem ser aplicados conforme dois regimes: simples e composto.

Juros simples é o rendimento de cada espaço de tempo geralmente é calculado

mediante o recurso inicial atribuído ou investido.

Juros compostos é o rendimento de cada espaço de tempo calculado com base

no saldo inicial de igual período, ou seja, o juro de cada período é acrescido ao capital inicial

e passa a acumular juros também.

O juro é o rendimento pelo suprimento do dinheiro. Ele sucede visto que parte

das pessoas optam pelo consumo imediato, e decide pagar certa quantia por isto. No entanto

quem preferir esperar até dispor do valor necessário para adquirir sua aspiração, e nesse

24

período quem dispor este valor a alguém, menos pessoas, deve ser remunerado por esta

abstenção na proporção o tempo e risco que o negócio envolve. O risco, o tempo e a quantia

em dinheiro acessível no mercado de trabalho para empréstimo informam qual será a

remuneração, também conhecida como taxa de juros.

Quando utilizamos juros simples e juros compostos!

Na maior parte das operações que envolvem dinheiro aplica juros compostos. Estão

entrepostas: aquisição com cartão de crédito, aquisição a médio e longo prazo, empréstimos

bancários, os investimentos financeiros usuais como caderneta de poupança e investimentos

em fundos de renda fixa, etc. Quase não encontramos uso para regime de juros simples: é o

caso do cálculo de curto prazo, e do regime de desconto simples de duplicatas.

Taxa de Juros

A taxa de juros mostra qual remuneração será paga ao valor emprestado, para um

determinado espaço de tempo. Ela é geralmente expressa de modo percentual, logo depois da

especificação do intervalo de tempo a que será aplicada.

6% a.a (a.a significa ao ano)

15% a.t (a.t significa ao trimestre).

Outra maneira de apresentação da taxa de juros é a unitária, que equivale a taxa

percentual dividida por 100, sem o símbolo %.

0,18 a.m (a.m significa ao mês)

0,15 a.q (a.q significa ao quadrimestre).

3.2.1 JUROS SIMPLES

O regime de juros será simples quando a porcentagem de juros atingirem apenas sobre

a quantia principal. Sobre os juros produzidos a cada período não atingirão novos juros. Valor

principal ou unicamente principal é a quantia inicial atribuída ou aplicada, antes de somarmos

os juros.

Convertendo em fórmulas temos:

J= P.i.n

Onde:

J = juros

25

P= Principal (capital)

i = taxa de juros

n = número de período.

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser quitada com juros de 6%

a.m. pelo regime de juros simples e devemos quitá-la em 3 meses.

Solução:

Os juros que quitaremos serão:

J = 1000 x 0,06 x 3 = 180

Ao somarmos os juros ao valor inicial temos o montante.

Montante = Valor Principal + juros.

Montante= Principal + (principal + taxa de juros x número de períodos)

M = P.(1+ (i.n)).

Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 50.000,00 a taxa de 10%

a.a. durante 156 dias.

Solução:

M = 50.000. [1+ (10/100). (156/360) ]

M = 52.166,5.

A taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Por isso dividiu-se

156 dias por 360, para alcançar o valor proporcional em anos, visto que o ano comercial

possui 360 dias.

3.2.2 JUROS COMPOSTOS

O sistema de juros composto é o mais utilizado na sociedade financeira

consequentemente, o mais utilizável em operações do dia a dia.

Os juros produzidos a cada intervalo são agregados ao valor principal para o cálculo

dos juros da próxima temporada.

Dá-se o nome de capitalização o período em que os juros são agregados ao valor

principal. Após quatro meses de acumulo de capital, temos:

1º mês: M= P (1+i)

26

2º mês: O valor principal é equivalente ao montante do mês anterior. M = P x (1+i) x

(1+i)

3º mês: O valor principal é equivalente ao montante do mês anterior. M = P x (1+i) x

(1+i) x (1+i)

4º mês: O valor principal é equivalente ao montante do mês anterior. M = P x (1+i) x

(1+i) x (1+i) x (1+i)

Resumindo, obtemos a seguinte fórmula:

M = P x (1+i)n.

Observação: A taxa de juros i deve ser apresentada na mesma medida de tempo n, ou

seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Com o objetivo de calcularmos somente os juros precisa subtrair o valor principal do

montante ao final do período:

J = M- P

Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$ 6.000,00 aplicados a juros

compostos, durante um ano, à taxa de 3,5% ao mês. (Usando log de 1,035 = 0,0149 e log

1,509= 0,1788)

Solução:

P = 6.000,00

T = 1 ano= 12 meses

i = 3,5% a.m.=0, 035

M =?

Usando a fórmula M =Px (1+i)n, obtemos:

M = 6.000. (1+0, 035)12 = 6.000. (1,035)12

Fazendo x =1, 03512 e aplicando logaritmos, encontramos:

Log x= log 1, 03512log x =12 log 1, 035 log x =0, 1788x = 1, 509

Então, M = 6.000. 1, 509= 9.054

Portanto o montante é R$ 9.054,00.

3.3 TAXAS EQUIVALENTES

27

Duas taxas ou valores i1 e i2 são equivalentes, se investidos ao mesmo capital P

durante o mesmo intervalo de tempo, por meio de diferentes quantidades de investimento,

geram o montante final.

Seja o capital P investido por um ano a uma taxa anual ia.

O montante M ao final do intervalo de um ano será igual a M = P. (1 + ia).

Suponhamos agora, o mesmo capital P investido por 12 meses a uma taxa

mensal im.

O montante M no término do período de 12 meses será equivalente a M’ = P

(1+ im)12

Pela designação de taxas equivalentes visualizada acima, devemos ter M = M’.

Portanto, P (1 + ia) = P (1+ im)12

Desse modo concluímos que 1 + ia = (1+ im)12

A partir dessa fórmula podemos calcular a taxa anual proporcional a uma taxa mensal

conhecida.

Exemplos:

1.Qual a taxa anual proporcional a 6% ao semestre?

Solução:

Em um ano temos dois semestres, então teremos:

1 + ia= (1+ is)12

1 + ia = 1, 062 -1

ia = 1,1236 -1

ia = 0,123612,36% a.a.

2. Qual a taxa anual proporcional a 0,5 % ao mês?

Solução:

1 + i= (1+ im)12

1 + ia= (1+ 0, 512)

ia = 0, 512– 1ia = 0,06176,17 a.a.

28

3.3.1 TAXAS EQUIVALENTES A JUROS SIMPLES – ANÁLISE GRÁFICA.

Outra maneira de verificar a atuação de uma determinada aplicação, sujeito ao sistema

de juros simples seria por meio da observação gráfica. Com base no capital inicial C e a taxa

de juros simples i, a fórmula que associa essas variáveis junto com o montante M e o número

de períodos n transforma-se em uma função de variantes dependentes (M) e independentes

(N), como mostraremos a seguir:

M (N) = C. (1+ i. n), onde C e i são invariáveis.

O domínio dessa função localiza-se no primeiro quadrante. Dessa maneira não iremos

trabalhar com valores negativos tanto do montante quanto do número de períodos. Desse

modo

Dom (M) = R+

M

C. (1+ i) 1

C

1

Um evento significativo do gráfico da função juros simples ser linear e não cruzar a

origem. Isso acontece por que iniciaremos sempre de um determinado capital inicial C. Desse

29

modo, com n = 0 dispomos do menor valor do capital C, considerando-se que não há período

de capitalização para que os juros alcançados no primeiro período pudessem ser somados ao

montante.

Exemplo 2.4.1 Determine o valor que devemos investir para atingirmos um montante

de R$ 20.000,00, 14 meses após esse investimento a taxa de juros simples de 50% ao ano.

Solução:

Temos o montante = 20.000,00, o número de períodos n = 14 meses. Precisamos

encontrar o capital inicial.

Primeiro transformamos o número de períodos de meses para ano.

Ano Meses

1 12

X 14

12. x = 14

X = 1412

A expressão do montante para o sistema de juros simples é dada por M = C. (1+ i. n).

Logo:

20.000 = C. [1+ (0,5.1412 )]

C = x= 20.000

[1+(0,5. 1412

)] C ¿20.0001,58 C ≈ 12.658,23.

Conseguiríamos solucionar a referida questão conservando o número de períodos fixo

n = 14 meses, contudo, mudara unidade temporal da taxa de juros simples.

ia= 12. im

im = ia12 , então:

im =0,512 ≈ 0,0416 = 4,16% a. m.

Calculando o capital inicial com a taxa de juros mensal i = 4,16% temos:

20.000 = C. [1+ (0, 0416. 14)]

C =20.000

[1+(0 , 0416.14 )] C =20.0001,58 ≈12658,23.

30

3.4 TAXAS NOMINAIS

A taxa nominal é aquele no qual o período de composição e incorporação dos juros ao

capital não condiz com o mesmo que a taxa está anunciada. Exemplos:

-360% ao semestre com capitalização mensal

-1180% ao ano com capitalização mensal

-400 % ao ano com capitalização mensal

Exemplo: Uma taxa de 15% a.a, capitalização mensal, terá 16,08 a.a como taxa

efetiva:

15/12 = 1,25 1, 012512 = 1, 1608

3.5 TAXAS EFETIVAS

A Taxa efetiva é quando o tempo de composição e incorporação dos juros ao capital

condiz com o mesmo que a taxa está anunciada. Exemplos:

-140 % ao mês com capitalização mensal

-250% ao semestre com capitalização semestral

-1250% ao ano com capitalização anual

Taxa real: é a taxa real corrigida pela taxa inflacionária do intervalo da operação.

3.6 FLUXO DE CAIXA

O fluxo de caixa funciona para constatar as operações financeiras em um intervalo de

tempo. O tempo exibido na horizontal dividido pelo número de períodos necessários para

observação.

As entradas ou recebimentos são exibidos por setas verticais, ou seja, voltada para

cima e as saídas ou pagamentos são exibidos por setas apontadas para baixo. Como mostra a

tabela abaixo:

31

150 450 VF = 100

VP = 100 ↑ ↑ ↑

0 1 2 3 4 5

↓ ↓ ↓

250 350

Denominamos VP o valor presente, que representa o valor que temos na data 0, VF é o

valor futuro, que equivale ao valor que possuiremos no final da movimentação, depois de

juros, entradas e saídas.

3.7 VALOR PRESENTE OU VALOR FUTURO

Na fórmula M= P. (1 + i)n, o valor principal P conhecido ainda como valor Presente

(PV = presente value) e o montante M é ademais conhecido como valor futuro (FV = future

value).

Nesse caso a fórmula pode ser reportada como: FV = PV (1 + i) n. Exemplo:

Quanto teremos em 12 meses se investirmos R$ 1.500,00 a 3% ao mês?

Solução:

FV = 1500. (1 + 0,03)12 = 1.902,00.

32

4. DESCONTOS

A concepção que temos sobre desconto, é, por exemplo, a diminuição feita sobre o

valor de um determinado produto, quando pagamos o mesmo no ato da compra. Em

Matemática Financeira desconto, é a diminuição sobre a quantia de certa ação na qual alguém

compra dias antes da data de pagamento. O desconto será representado pela letra D. Os

descontos se subdividem em:

Desconto Racial> simples e composto

Desconto Comercial > simples e composto

Debateremos a seguir os tipos de descontos de forma prática, com o intuito de facilitar

o entendimento da matemática financeira.

Antes de detalhar a definição dos dois tipos de descontos, é imprescindível

evidenciarmos a algumas concepções significativas referentes ao período de avaliação do

problema.

Valor nominal ou futuro da ação: Trata-se da quantia do resgate estabelecido

para uma ação no dia do pagamento, isto é, o montante da negociação (VF).

Valor atual ou presente da ação: refere-se a quantia vigente do dia do desconto

(VP).

Exemplo 3. Considere que um indivíduo tenha em mãos uma nota promissória no

valor de R$ 50.000,00. Supondo que o mesmo tenha negociado a promissória com uma

33

agência pela quantia de R$ 45.000,00 num período anterior ao prazo de pagamento, temos

que:

Valor nominal: VF = R$ 50.000,00

Valor atual: VP = R$ 45.000,00

Desconto: D = VF- VP D = R$ 5.000,00

De maneira simples, podemos deduzir o desconto como sendo uma taxa solicitada

pelo comprador da ação, pelo adiantamento do dinheiro. Neste caso podemos calcular o

desconto de acordo com o valor atual (VP) ou nominal (VF) da ação. O mais adequado seria

realizar o desconto baseando-se no valor atual, haja vista que o desconto é como se fosse um

juro e sendo o juro relativo ao valor atual da ação, corresponde ao valor do capital no referido

momento. Apesar disso, o desconto predominante será o calculado baseado no valor nominal

da ação por proporcionar maior lucro ao comprador da ação. Com isso surgiu dois tipos de

descontos, o desconto racional e o comercial, como veremos a seguir.

4.1 DESCONTO RACIONAL SIMPLES

O Desconto Racional é também conhecido como desconto real ou desconto “por

dentro”, é utilizado sobre a quantia atual da ação e será representado pela letra D. Esse

desconto atua de maneira proporcional a juros simples, e assim sendo representará o valor

atual da ação. Por isso, se de uma determinada ação for abatido n períodos antes do dia do

vencimento, a uma taxa e com um determinado valor presente VP, temos:

D = VP.i.n.

Geralmente, na maioria dos casos que incluem descontos, o valor nominal da ação é

visto e não o atual.

Desse modo é preciso entender a fórmula de desconto simples baseado no valor futuro.

Temos que VF = VP + D, desse modo, temos VP = VF – D. Aplicando a fórmula D =

VP. i. n e trocando VP = VF – D temos:

D = VP .i .n D = (VP – D). i .n VF .i .n – D .i .n D + D. i. n = VF. i. n

D. (1+ i. n) = VF. i. n

34

Deslocando D, temos:

D= VF .i . n1+i . n

Podemos ainda inferir uma correlação para ser aplicada em desconto racional. A

correlação de valor nominal (N) e o valor atual (A).

VP = VF – D

VP = VF–VF .i . n1+i . n

VP = VF . (1+i . n )−VF . i . n

1+i . n

VP = VF+VF . i .n−VF .i . n

1+i . n

VP = VF

1+ i . n

Perceba que VP = VF

1+ i . n pode ser transcrita como VF = VP. (1 + i. n) e deste modo

constatamos que de fato, estamos adequando o dos juros simples, VF = VP. (1+ i. n) ao

desconto.

Exemplo 3.1 Um cliente deseja quitar um débito do qual o valor nominal é de R$

8.644,00 três meses antecipado. Qual será o desconto adquirido, sendo a taxa vigente do

mercado de 48 % a.a. e o sistema utilizado foi o do desconto racional simples?

Solução:

Para solucionar a questão, utilizaremos a fórmula direta do desconto racional simples:

D = VF .i . n1+i . n

Igualando a taxa de juros com a unidade temporal do período, usando a equivalência

detarifas para juros simples, temos:

ia = 12 im

im = i a12

im = 4812

35

im = 4Dessa maneira, permutando os valores na fórmula do desconto racional simples,

temos:

D = 8.644,00.0,04 .31+0,04.3

D = 1.037,281,12

D≈ 926,14

3.1.1. Qual o valor atual de uma duplicata de 8.300,00, 2 meses antes da data provável

de pagamento, à taxa de 36% a.a., utilizando o desconto racional simples?

Solução:

Neste problema usaremos a fórmula da relação entre valor atual e valor nominal de

uma ação, isto é,

VP = VF

1+ i . n

Devemos mudar a taxa anual para mensal, para isso usaremos a equivalência de taxas

a juros simples, desse modo teremos:

ia = 12 . imim= ia12 im = 3

Substituindo os valores na fórmula, temos:

VP = 8.300,001+0,03 .2 VP = 8.300,00

1,06 VP ~ 7.830,18

Portanto o valor atual da duplicata é de aproximadamente R$ 7.830,18.

Exemplo 3.1.2 Um título foi resgatado 120 dias antes do prazo de vencimento, foi

negociado pelo valor de R$ 55.500,00, à taxa de desconto racional de 60% a.a. Determine o

valor nominal desse título.

Solução:

Para resolvermos este problema, usaremos a relação entre valor nominal e valor atual,

dada pela fórmula VF = VP. (1 + i. n). Como sabemos que 120 dias corresponde a 4 meses,

36

precisamos somente mudar a taxa anual para mês usando a equivalência de taxas a juros

simples, logo:

ia = 12 . imim= ia12 im = 60

12 im = 5.

Calculando o valor nominal do título, temos:

VF = 55, 500. (1+ 0,05. 4)

VF = 66.600,00

4.2 DESCONTOS COMERCIAL SIMPLES OU BANCÁRIO

O desconto comercial simples ou bancário é também conhecido como desconto “por

fora” é utilizado sobre o valor nominal da ação. O desconto comercial ou simplesmente

desconto bancário será representado pela letra D. Este tipo de desconto é o mais usado por

exemplo para quem está pagando sua dívida antes do vencimento pois o valor do desconto

será o maior permitido.

Este tipo de desconto corresponde a uma espécie de juros simples no qual o valor

inicial VP foi trocado pelo valor nominal da ação ou valor futuro (VF).

Para utilizarmos o desconto comercial a uma taxa comercial com N período de tempo

antes do vencimento deveu ter:

D = VF. id. nSalientando a relação entre o valor atual e o valor nominal (VF = VP + D) poderá ser

entendida da seguinte maneira:

VP = VF – D VP = VF - VF. id. nVP = VF . (1- id. n)Para fixar o valor nominal em função do valor atual, precisamos apenas isolar a

variável VF em VP = VF. (1- id. n), logo teremos:

VF = VP1−id . n .

Exemplo 3.2.1 Qual será o desconto comercial de uma duplicata no valor nominal de

R$ 50.000,00, quitada 35 dias antes da data do vencimento, à taxa de 60% a.m?

37

Solução:

Para a resolução desta questão, basta utilizar a fórmula direta do desconto composto

D.

Devemos primeiro converter a taxa mensal para diária utilizando a equivalência de

taxas, deste modo:

im = 30. id

id= im30

id= 6030

id = 2Calculando o desconto comercial simples, temos:

D = 50.000,00. 0,02. 35

D = 35.000,00

Portanto o desconto comercial será de R$ 35.000,00.

Exemplo 3.2.2 No ano 2.003 certo cliente resolveu pagar um débito no valor de

15.000,00, 28 dias antes do vencimento. Qual será o valor que o cliente deve pagar, se a

operação deu-se com base na taxa de desconto comercial de 39% ao mês?

Solução:

Para solucionar esta questão precisamos calcular o valor atual do débito anunciado.

Desse modo, basta utilizar a relação entre valor atual e nominal para desconto comercial

simples. Mais uma vez devemos mudar a taxa de mês para dias, dessa forma temos:

im = 30. id

id= im30

id= 3930

id = 1,3Calculando o valor atual do débito na data anunciada, temos:

VP = 15.000,00. (1- (0, 013. 28))

38

VP = 15.000,00. (1- 0,364)

VP = 15.000,00. 0,636

VP = 9.540,00

Portanto o cliente quitou o débito com o valor de R$ 9.540,00.

4.3 RELAÇÃO ENTRE DESCONTO RACIONAL SIMPLES E COMERCIAL SIMPLES

Existem situações em que há a necessidade de calcularmos o desconto comercial

simples possuindo o racional simples ou reciprocamente. Dessa maneira, podemos procurar

uma relação que inclua os dois descontos simultaneamente.

Esta relação é simples e fácil de compreender. O cálculo do desconto racional simples

é realizado com base no valor atual de uma determinada ação. Definido pó D r, a sua sentença

é dada por:

Dr = VF .i . n1+i . n (I)

Já o desconto comercial simples é baseado sobre o valor de certa ação, onde o

comprador da mesma obtém lucro, haja vista, o valor do desconto será bem maior. Definido

por Dc, a sua sentença é dada por:

Dc = VF. id. n (II)

Perceba que a partir do desconto comercial simples obteremos a fórmula para o

desconto racional simples ou vice-versa, utilizando (I) e (II), obtemos:

Dr =Dc

1+ i . nou Dc = Dr. (1+ i. n)

Exemplo 3.3.1 Numa negociação de desconto de uma duplicata que irá vencer em 5

meses o Dc é R$ 150,00 a mais que o Dr. Qual será o valor nominal da duplicata se submetida

a uma taxa de 24% ao ano?

Solução:

Para resolver a questão, primeiro teremos que igualar a unidade temporal da taxa de

juros com a quantidade de períodos n. Usando a equivalência de taxa a juros simples, temos:

39

ia = 12. im

im= i a12

im= 2412

im = 2Perceba que se acharmos o desconto comercial dc usando a fórmula Dc = VF. i. n

encontramos também o valor nominal N.

De acordo com o enunciado, temos que:

Dc = Dr + 150

Dr = 150 - Dc

Porém Dc = Dr. (1+ i. n), desse modo

Dc = Dr. (1+ (0,02 . 5))

Dc = 1,1. Dr. Assim

D = 150 - Dc e Dc = 1,1. Dr. Logo

Dc = 1,1. (150 - Dc) Dc - 1,1. Dc-150. 1,1-0,1. Dc = -165Dc =−165−0,1 = 1650

Calculando o desconto comercial composto, obtemos:

1650 = VF. 0,02 .5

VF = 16500,1 =R$ 16500,00

4.4 DESCONTO BANCÁRIO

Os bancos ao realizarem atividades como: abertura de contas, emissão de talões de

cheques, dentre outros serviços cobram certa porcentagem.

O desconto bancário é visto como uma ampliação do desconto comercial, apenas com

a acessão da taxa de serviço bancário “t” que normalmente inclui o IDF (Imposto sobre

Operações Financeiras) o qual reflete sobre o valor nominal. Desta maneira as fórmulas que

determinam o valor do desconto comercial simples são modificadas passando a integrar a taxa

de desconto bancário, com isso passam a ser da seguinte forma:

40

Desconto Bancário

D = VF. id . n + VF. t

D = VF. (id. n +t)

Valor Presente

VP = VF – D

VP = VF – VF. (id. n +t)

VP = VF. [1- (id. n + t)]

Exemplo 3.4.1 Um construtor foi a uma agência e pagou um débito no valor de R$

20.000,00, 90 dias antes da data de pagamento. Se a agência cobrou uma gratificação de 0,4%

onde a taxa de desconto comercial foi de 20 % a.a. Qual será o valor do desconto?

Solução:

Para responder esta questão, basta mudar a unidade temporal da taxa de juros para dias

conforme os números de períodos dado. Assim

Anos Dias

1 360

X 90

Logo: 360. X = 90, assim x = 90

360que simplificada por 90 resulta em x = 14

Calculando o valor presente, temos:

VP = VF. [1- (id. n +. t)]

VP = 20.000,00. [1- (0,2. 14 + 0,004) ]

VP = 20.000,00. 0, 964

VP = 18.920,00

Exemplo3.4.2 A taxa de serviço de uma agência custa 4 % foi abatida no dia 03/01/15

uma duplicata no valor nominal de 9.000,00, com data de pagamento para o dia

03/04/15.Sendo o valor do desconto bancário de R$ 6.000,00. Determine a taxa de desconto

praticada.

Solução:

41

Para solucionar a questão é preciso apenas utilizar a expressão do valor presente com

taxas bancárias. Observe que n= 3 meses.

Logo:

VP = VF. [1- (id . n +. t)]

6.000,00 = 9.000,00 [3. Id + 0,04]

VP = 27.000,00. id + 360

Temos que:

id = x=6000−360

27.000 ~ 0,2088 = 20,88% ao mês.

4.5 DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

O desconto Racional Composto, quando se refere a uma determinada ação, é a

diferença entre os valores nominal e atual, os quais são calculados de acordo com o método de

acumulação composta.

D = VF – VP

A expressão para o desconto racional em função do valor nominal da ação, será

alcançada pela expressão de montante composto VF = VP. (1+ i)n, desse modo temos:

VF= VP. (1+ i)n

VP = x=VF

(1+i)n ou VP = VF.(1+ i)-n

Uma vez que D = VF – VP e VP = VF.(1+ i)-n obteremos:

D = VF –VF. (1+ i)-n

D = VF. [1- (1+ i)-n].

Exemplo3. 5.1. Calcule o desconto racional composto, atribuído a quitação de uma

duplicata de 30.000,00, quitada 3 meses antes da data de vencimento à taxa de 2% a.a.

42

Solução:

Para resolver a questão utilizaremos diretamente a fórmula para desconto racional

composto, visto que a unidade temporal da taxa e do número de períodos são patíveis. Assim

D = 30.000,00. [1- (1+ 0,02)-3]

D = 30.000,00. 0,057677

D = 1.730,31.

Exemplo 3.5.2 Determine o valor atual de uma nota promissória de 80.000,00,

negociada racionalmente à taxa de 2% ao mês, 4 meses antes do prazo de pagamento,

Solução:

Como a unidade temporal da taxa e o número de períodos são compatíveis,

utilizaremos imediatamente a relação entre valor atual junto com valor nominal VP = VF. (1+

i)-n obteremos

VP = 80.000,00 (1+ 0,02)-4

VP = 80.000,00. 0,923845

VP = 73.907,60.

4.6 DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO

As agências utilizam com pouca frequência o Desconto Comercial Composto. Apesar

disso concluiremos as fórmulas básicas para a estimativa do valor nominal, atual e do

desconto comercial composto.

Obteremos o desconto comercial composto por meio do desconto comercial simples,

utilizamos a fórmula VP = VP. (1- i). Onde VPn será o valor atual comercial da ação, n

períodos anterior ao prazo de vencimento abatendo a taxa composta i, temos:

VP = VF. (1- i)

VP2 = VP1. (1- i)VP2 = VF. (1- i ).(1- i) = VF. ( 1- i)2

VP3 = VP2. (1- i)VP3 = VF. (1- i )2.(1- i) = VF.( 1- i)3

⁞

VPn = VPn-1. (1- i)VPn= VF. (1- i )n-1.(1- i) = VF.( 1- i)n.

Logo, temos que o valor atual comercial da ação VPné determinado pela equação:

43

VPn= VF.( 1- i)n

O valor obtido após o desconto comercial será representado por VP ao invés de VPn.

Podemos idealizar a fórmula anterior de maneira diferente, o valor nominal em função do

valor atual da ação. Desse modo:

VF = x=VP

(1+i )n ou VF = Vp. (1- i )n .

Para obtermos a fórmula do desconto comercial composto, representado pela letra D,

basta recordarmos que VF = VP + D, logo:

D = VF- VP D = VF- VF. (1- i )nD = VF. [1- (1- i)n D = VF. [1-(1- i)n].

Exemplo3. 6.1. Qual o desconto comercial composto, pago na quitação de um débito

no valor de R$ 40.000,00 a taxa de 1,5%%, 3 meses antes do vencimento.

Solução:

Para solucionar este problema podemos utilizar a fórmula para os juros comercial

composto imediatamente, haja vista, que a taxa de desconto e o número de períodos são

concedidos mensalmente.

D = VF. [1- (1- i)n]

D = 40.000,00. 1-(1- 0, 015)3]

D = 40.000,00. 0, 0444

D = 1.776,00.

44

5. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

As Progressões Geométricas são compostas por uma sequência numérica, em que

tais números são determinados (com exceção do primeiro aplicando à constante q, também

conhecida como razão. O próximo número da PG é o algarismo atual multiplicado por q.

Exemplo (3,6,12,24,48,96, ...), a razão é 3.A razão é um número lógico (negativos, positivos,

fracionários, com exceção do zero). Para encontrar a razão de uma p G, precisamos apenas

optar por um número da sequência, e dividir pelo número anterior.

5.1 CLASSIFICAÇÕES DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Dependendo dos termos que constitui uma PG, a mesma será classificada em:

PG decrescente, aquelas aonde os valores dos termos vão crescendo.

45

a1> 0 e 0<q<1, por ex.:(96,48,24,12,6,...).

PG constante, aquelas onde os termos são iguais, isto é, a razão é igual a q = 1. Por ex:

(8, 8, 8, ..., 8).

PG oscilante é aquela onde os termos alternam em positivos e negativos, deste modo

a1 ≠ 0 E q < 0.

PG quase nula é aquela onde apenas o 1º elemento é distinto de zero. Por exemplo, (3,

0, 0, 0, 0, ...).

5.2 FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PG

De acordo com a definição, uma PG (a1a2,a3,...,an,...) com razão q, a partir do primeiro

termo, para adiantar um termo precisa apenas multiplicar o primeiro termo pelo quadrado da

razão q, (a3 = a2q2), deste modo sucessivamente. Desta maneira obtemos o termo de ordem n.

Logo, temos

a1= a1

a2 = a1q

a3 = a2q

a4 = a3q

⁞

an-1 = a n-2 .q

an= an-1.qMultiplicando os termos iguais anteriores, obtemos:

a2, a3, a4..., a n-1 . an = (a1 . q) (a2 . q) ... (an-2. q) (an-1. q)Resumindo a igualdade anterior, temos:

a n = a1 (q.q.....q)Então, o termo geral de uma PG é dado por:

an = a1. q n-1; n ℮ N*.

Em que:

a n é o termo geral

46

a1 é o primeiro termo

n é o número de termos.

Deste modo, podemos provar que esta fórmula, também conhecida como fórmula do

termo geral de uma progressão geométrica (PG), é verdadeira para todo n ℮ N*, utilizando o

princípio da indução finita, de acordo com o que veremos adiante.

I) Para n= 1, temos:

a1= a1q1-1a1q0a1= a1

II) Consideremos que a igualdade é verdadeira para n = k ℮N*, k ≥ 1, ou seja,

ak = a1qk-1.

Em seguida, salientamos que a igualdade é verdadeira para n= k + 1, ou seja, a k + 1 = a

1 q k + 1 - 1

Percebemos que, pela elucidação k + 1 = ak .q , dessa maneira, utilizando o princípio

da indução, temos:

ak+1 = a1 qk-1. q= a1 qk+1-1.Então, a igualdade é verdadeira para n= k+1.

Consequentemente, pelo princípio da indução finita an= a1 q n-1 é verdadeira para todo n e N*.

Exemplo: A produção de um estabelecimento nos meses de abril, maio e junho,

respectivamente constitui uma PG. Se na produção em abril foi de 9.000 unidades e em junho

foi de 36.000 unidades, quantas unidades foram produzidas em maio?

Solução:

Utilizando a fórmula do termo geral, temos:

a1 = 9.000 ; an= produção em junho = 36.000 e n =3. Definiremos o valor da razão q.

Teremos:

a3 = a1q3-1

36.000 = 9.000 q2

q2 = 36.000 9.000q2 = 4

q2 = 2

Em seguida determinamos a2

47

a2 = a1 .q

a2 = 9.000 . 2 = 18.000

Logo foram produzidas em maio 18.000 unidades.

5.3 FÓRMULA DA SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO

GEOMÉTRICA.

Supondo que os primeiros termos de uma PG de ordem (a1, a2, a3, ... a n-1, an), onde q ≠ 1,

sendo Sn = a1 + a2 + a3 + ... a n-1 + an (I)

Multiplicando-se os dois lados da igualdade pela razão q, teremos:

Sn. q = ( a1 + a2 + a3 + ... a n-1 + an ) .q

= a1. q + a2.q + a3. q , ..., a n-1 .q + a n .q (II)

Compreendemos que numa PG o quociente entre qualquer, partindo do segundo, pelo

seu precursor é igual a razão, ou seja, um certo termo (com exceção do primeiro) é o produto

do seu precursor pela razão. Desse modo, a2 = a1.q; a3 = a2 .q; an= an-1.q .

Permutando esses resultados em (II), temos:

Sn .q = a2 + a3 + a4 + a n + a n .q .

Diminuindo (III) de (I) , obtemos

Sn .q - Sn = (a2 + a3 + a4 + a n + a n .q) – (a1 + a2 + a3 + ... a n-1 + an ).

Realizando as subtrações, teremos:

Sn .q - Sn = a n .q - a1 . (IV)

Visto que an= a1 .qn-1 e permutando em (IV), obtemos:

Sn .q - Sn = a n .qn-1 .q - a1

Sn.(q -1) = a1 . ( qn -1)

Sn= a1 .( q n -1)

(q-1)

Exemplo 1: Determine a soma dos seis primeiros termos da PG (-2,6,18,...).

Solução:

Primeiro precisamos encontrar a expressão que calcula a soma dos termos da PG de n=

6, desse modo:

48

S6 = a1.(q6 -1)

(q-1)

Onde a1 = -2; como a razão é obtida dividindo-se o segundo termo pelo primeiro,

temos:

q = a2

a1

q = 6−2= -3

Determinando a soma, temos:

S6 = -2. [(-3) 6 -1]

(-3-1)

S6 = -2.728

-4

S6 = 364.

Exemplo 2: Uma pessoa aposta na loteria no decorrer de seis semanas, de maneira que,

em cada semana, o preço da aposta é o triplo da semana anterior. Se a quantia da primeira

aposta é R$ 90,00, qual será o valor total apostado após as seis semanas?

Solução:

Temos que: a1 = 90 e q = 3, daí

S6 = 90. (3 6 – 1)

(3-1)

S6 = 90.(−728)−2

49

S6 = 32.760Portanto no período de seis semanas o total apostado foi R$ 32.760,00.

6 APLICAÇÕES DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS NOS JUROS COMPOSTOS.

Nesta parte, veremos algumas aplicações das Progressões Geométricas na Matemática

Financeira.

No sistema de juros compostos, os rendimentos gerados ao final de cada intervalo de

tempo são somados ao capital produzindo o montante (capital mais juros) do período. Esse

montante, no que lhe concerne, renderá juros no intervalo de tempo seguinte constituindo um

novo montante, e assim por diante.

Comecemos analisando o seguinte problema de juros compostos.

Exemplo 1. Um capital de R$ 20.000,00 foi investido a taxa de juros de 3 % ao mês.

Qual o montante no final de quatro meses?

50

Solução:

No sistema de juros compostos, temos:

I) No primeiro mês: 3 % de 20.000,00 = 600,00(juros gerados no primeiro mês).

Logo M = R$ 20.000,00 + 600,00 = 20.600,00 (montante no término do 1º mês).

II) No segundo mês: 3 % de 20.600,00 = 618,00 (juros gerados no segundo mês).

Logo M = R$ 20.600,00 + 618,00 = 21.218,00 (montante no término do 2º mês).

III) No terceiro mês: 3 % de 21.218,00 = 636,54 (juros gerados no término do

terceiro mês).

Logo M = R$ 21.218,00 + 636,54 = 21.854,54 (montante no término do 3º mês).

IV) No quarto mês: 3% de 21.854,54 = 655,64 (juros gerados no final do 4º mês)

Logo M = R$ 21.854,54 + 655,64 = 22.510,18.

Portanto, no final dos quatro meses o montante é R$ 22.510,18.

Percebemos que, no sistema de juros compostos, acontece o chamado “juros sobre

juros”, visto que para calcular o montante (valor futuro) de certo intervalo de tempo

calculamos os juros conforme o valor acumulado no intervalo anterior, isto é, o juro não é

permanente.

Dessa maneira, podemos constatar no problema citado acima que:

i) No fim do primeiro intervalo o montante juntado é dado por:

C1 = C0 + C0i = C0 (1 + i)

ii) No fim do segundo intervalo o montante concentrado é dado por:

C2 = C0 (1 + i) + C0 (1 + i)i = C0 (1 + i)(1 + i) = C0 (1 + i)2

iii) No fim do terceiro intervalo o montante juntado é dado por:

C3 = C0 (1 + i)2 + C0 (1 + i)2.i = C0 (1 + i)2(1 + i) = C0 (1 + i)3

iv) No fim do quarto intervalo o montante concentrado é dado por:

C4 = C0 (1 + i)2 + C0 (1 + i)2.C0 (1 + i)2. i= C0 (1 + i)2(1 + i)2 = C0 (1 + i)4

Perceba que, no sistema de juros composto, as quantidades calculadas acumuladas ao

final de cada intervalo formam uma progressão geométrica, dado que o valor do montante no

mês posterior é determinado a partir do montante do mês anterior adicionado do juro sobre

este valor, o que equivale à multiplicação do valor do montante do mês anterior pela razão 1 +

i, onde i é a taxa de juros.

51

Portanto, a sequência (C0, C1, C2, C3,..., Cn,...) é uma PG de razão 1 + i, na qual para

conhecermos o montante ou valor futuro para um intervalo n qualquer, precisamos apenas

usar a fórmula do termo geral de uma PG, que de acordo com o que vimos anteriormente, é

dada por:

an= a0 . qn

Onde an= cn; a0 = c0 e r = 1 + i. Dado isso, podemos comprovar que no final de n

períodos o montante arrecadado será de, cn = c0 (1 + i)n, para todo n ℮N*.

Observação 1. Conseguiríamos solucionar o problema anterior, utilizando a fórmula

supracitada, sem precisar calcular o valor futuro dos meses anteriores. No problema temos:

C4 = 20.000,00, n = 4 meses e i = 3% = 0,03 ao mês, como cn= c0 (1 + i)n temos:

C4 = 20.000 (1+ 0,03)4

C4 = 20.000.1, 12550881

C4≈ 22.510,18

Portanto, o montante calculado ao fim de 4 meses é R$ 22.510,18.

Definição 1. Duas taxas de juros se mostram equivalentes quando, emprestadas a um

mesmo capital e pelo mesmo período de tempo, geram o mesmo juro. Deste modo, se a taxa

de juros alusivos à certo período de tempo é igual a i, precisamos que a taxa de juros relativos

à n período de tempo e representada por:

52

1 1 + I =(1 + i)n ou I = (1 + i)n - 1 ou i = n√1+ I−1

Onde I é a taxa para os n períodos de tempo.

Exemplo 2. Determinar a taxa proporcional a 24 % ao ano para o seguinte período:

. Período de um semestre.

Solução:

Temos I = 24 % ao ano, haja vista que um ano possui dois semestres, ou seja, n = 2,

dado isso e como i = n√1+ I−1 ,obtemos:

i = n√1+0,24−1

i = √0,24

i = 0, 489948,99 % ao semestre.

Exemplo 3. Determinar a taxa anual de juros proporcional a 6 % ao trimestre.

Solução:

Temos i = 6 % ao trimestre, e visto que um ano possui123 = 4 trimestres, como I = (1 +

i)n - 1, obtemos I = (1 + 0,06)4 – 1 I = 1,2624769 – 1 = 0,262526,25 ao ano.

Observação 2. Um erro bastante comum é trocar taxas proporcionais por taxas

equivalentes, por exemplo, é bastante costumeiro achar que juros de 15 % ao mês é

proporcional a juros anuais de 12,15 % = 180 % ao ano, o que não é correto, haja vista que 15

% ao mês é 180 % ao ano são chamadas de taxas proporcionais, uma vez que a razão entre

elas é igual a razão dos intervalos aos quais elas se referem, na verdade sabemos que para

calcular a taxa anual de juros equivalentes utilizamos a fórmula a seguir:1 + I = (1 + i)n , logo

a taxa de juros anual proporcional a 15 % ao mês é I = (1 + 0,15)12 – 1 = 4,3503 435,03 %

ao ano.

Isto é, o significado da sentença “180% ao ano, com acumulo mensal” e “15 % ao

mês”. Dessa maneira, podemos imaginar que os juros são de fato 180% ao ano, porém não é

correto, de acordo com o que vimos anteriormente, os juros são de 435,03% ao ano, o que é

superior aos 180% ao ano. A taxa de 180% ao ano é denominada de taxa nominal e a taxa de

53

435,03 % ao ano é denominada de taxa efetiva, onde a última é a mais usada nos cálculos

financeiros.

Definição 2. Dois ou mais recursos típicos de um determinado período dizem-se

proporcionais quando, a uma dada taxa de juros, geram resultados iguais numa data comum.

Desse modo, após analisar a taxa equivalente no sistema de acumulação composto, a

fórmula Cn = C0 (1 + i)n é o método primordial da equivalência de capitais para alcançar o

valor futuro, precisa apenas multiplicar o valor efetivo por (1 + i)n. Para alcançar o valor atual,

basta dividir o valor futuro por (1 + i)-n, de acordo com a figura abaixo.

(1 + i)-n

<---------------------------Cn

----------------------------------------------------------->

0 n (tempo)

C0---------------------->

(1 + i)

Este método nos ajuda na tomada de decisões que inclui, por exemplo, uma compra,

qual será a melhor opção: compra “a vista” ou “a prazo”, onde definimos uma data chamada

“data pontual” e utilizamos a equivalência de capitais para verificar as opções de pagamentos,

nesta data. Ressaltando que devemos utilizar a mesma data pontual para averiguar todas as

condições de pagamento, e a melhor será a que tiver o menor valor.

Exemplo 4. Izabel comprou um ventilador, remunerando R$ 120,00, um mês depois a

compra e R$ 140,00 dois meses após a compra. Considerando que os juros são de 20% sobre

o débito, qual é o preço à vista.

Solução:

Temos i = 20 % = 0,02 ao mês, e os pagamentos a seguir

R$ 120 R$ 140

------------------------------------------------------>

54

0 1 2 n(meses)

Já que queremos o preço à vista, definimos a data pontual 0. Deslocando os

pagamentos para esta data obtemos:

120(1+0,20) +

140(1+0,20)2 = 100 + 97,2 = 197,22 = 197,22

Portanto, o preço à vista é de R$ 197,22.

Exemplo 5. Socorro tem duas opções de pagamento na aquisição de uma geladeira.

a) 3 parcelas mensais de R$ 800,00.

b) 9 parcelas mensais de 500,00.

Em ambas os casos, a primeira parcela é paga no ato da compra. Sabendo que Socorro

é capaz de fazer seu dinheiro render 2 % ao mês, qual é a melhor opção de pagamento para

ela?

Solução:

Temos i = 2 % = 0,02 ao mês, e as seguintes condições de pagamento:

A- R$ 800,00 R$ 800,00 R$ 800,00

>

0 1 2 n

(meses)

Para verificar, calcularemos o valor das duas formas de pagamento no mesmo período,

daí, escolhemos a data pontual 2. Transferindo os pagamentos para esta data obtemos

Forma de pagamento A:

V2 = 800 (1 + 0,02)2 +800 (1 + 0,02) + 800

V2 = 832,32 + 816 + 800

V2 = R$ 2.448,32.

Forma de pagamento B:

55

V2 = 500 (1 + 0,02)2+ 500 (1 + 0,02) + 5001+0,02 + 500

¿¿ + 500

(1+0,02)3 +

500(1+0,02)4 +

500(1+0,02)5 +

500(1+0,02)6

V2 = 500. (1, 0404) + 500. (1,02) + 500 + 490,19 + 5001,0404 + 500

1,0612 +

5001,022 + 500

1,0421 + 5001,063

V2 = 520,20 + 510 + 500 + 490,19 + 480,58 + 471,16 + 489,24 + 479,80 +

470,36 = 4.411,53.

Portanto, a melhor forma de pagamento é a opção A.

Exemplo 6. Uma financeira propõe a um cliente duas ações, conquistando a primeira

em um ano, no valor de 10.000,00 e a segunda em um ano e meio, no valor de 20.000,00. O

cliente concorda e assina uma duplicata com vencimento para seis meses. Sabendo-se que a

taxa de juros estipulada na operação foi de 20% ao ano, qual é o valor da duplicata em seu

término?

Solução:

Temos: i = 20 % = 0,20 ao ano. Visto que o prazo é dado em semestre, a taxa

semestral proporcional é:

i = √1+0,20 -1

i = 1, 095 – 1

i = 0, 095 9,5 % ao semestre.

Dessa maneira as parcelas são dadas por:

R$ 10.000,00 R$ 20.000,00

--------------------------------------------------------------------------------->

0 1 2 3 n (semestres)

Adotando a data pontual 1, e deslocando todos os valores para esta data, obtemos

56

X = 10.000

(1+0 , 095) + 20.000(1+0 , 095)2

X = 9132,42 + 16679,17

X ≈ 25811,58.

Portanto, o valor da duplicata em seu término foi de R$ 25811,58.

Exemplo 7. AQUISIÇÃO DE BENS: POUPANÇA OU CONSÓRCIO?

Provavelmente conhecemos algumas pessoas que fazem consórcio para adquirir um

objeto (veículos, eletrodomésticos, etc.). No entanto, raramente sabemos de alguém que faz

poupança para comprar bens. Provavelmente a explicação esteja relacionada a diferença entre

a dívida contraída e a autoimposição de um compromisso financeiro.

No caso do consórcio contrata-se uma dívida com vencimento determinado e no dia

acordado quita-se a dívida. No caso da poupança o “compromisso” é menor, ou seja, o

poupador geralmente não o encara como “obrigação” e muita das vezes não realiza o

compromisso que impôs a si mesmo.

No entanto do ponto de vista financeiro, qual das alternativas é mais lucrativa para o

comprador? Para responder tal dúvida, analisaremos o exemplo a seguir. Supondo que o valor

de um bem de R$ 25.000,00, cujo consórcio é de 24 parcelas de R$ 1.250,00 e a aplicação em

caderneta de poupança lucrando mensalmente 0,70%.

Uma maneira simples de confrontá-los é verificar em quanto tempo (meses)

aplicando-se R$ 1.250,00 na poupança o aplicador possuirá os 25.000,00 necessários para

comprar o bem desejado. Considerando que o depósito inicial na poupança ou a primeira

parcela do consórcio sejam efetuados no prazo de 30 dias, temos que:

1250 (cada parcela)

25.000,00 (valor do bem)

0,70 i (taxa de rendimento)

Dessa maneira:

Usando a fórmula:

Sn= (1+ i )n. q0

Sn= (1+ 0,007)24. 1250

57

Sn= 1.477,80

Após 24 meses teríamos:

24. 1250 = 30.000

Somados aos juros obtidos:

30.000 + 1.477,80 = 31.477,80

Logo: 31.477,80 dividido por 24 parcelas, temos

31.477,80 / 24 = 1311,575

Como o bem custa 25.000,00 temos que:

25.000/1311,575 = 19,06.

Ou seja, em aproximadamente 19 meses o poupador conseguirá o montante de

25.000,00 para comprar o que desejar e com a vantagem de poder “negociar” um desconto

pela compra à vista. Na comparação com o valor que pagaria ao consórcio lucraria o

equivalente as 5 últimas parcelas (R$ 6.250,00).

58

7. METODOLOGIA

Para execução deste trabalho foi realizada pesquisas bibliográficas e em sites na

internet, através de averiguações sobre o referido tema, buscou-se explorar através de análises

em sites a relação entre os conceitos básicos da matemática e a progressão geométrica. Este

estudo se aplica como qualitativo e exploratório uma vez que foi buscado apurar como

acontece essa relação entre ambas, dessa maneira esses métodos possibilitaram no decorrer do

estudo ampliar os horizontes sobre o assunto.

59

8. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Com o término deste estudo foi possível entender as relações existentes entre

Progressões Geométricas e os conceitos básicos da Matemática Financeira, pois as

Progressões são essenciais para a Matemática Financeira por fazer parte de toda sua teoria, os

juros compostos estão ligados a progressões geométricas, dessa maneira elas se completam e

relaciona entre si.

A pesquisa focou em mostrar e abordar aplicações de cálculos que envolvesse as

partes para evidenciar como o processo ocorre. Percebe-se ao fim desta pesquisa a

necessidade que uma precisa da outra para o desenvolvimento de cálculos matemáticos.

Como é de consciência de muitos o estudo da Matemática e das Progressões

Geométricas é muito importante nas escolas de nível fundamental e médio, é necessário que

haja a chamada educação financeira desde os anos iniciais do nível fundamental para que os

educandos possam desde cedo aprender a manusear corretamente a moeda (dinheiro) possuir

noções de como administrar o capital, envolvendo custos, juros, tempo, dessa maneira para

que ocorra é preciso alteração dos currículos nas escolas, incluir essas disciplinas que

oferecem a formação intelectual financeira, desse modo a sociedade e o mercado de trabalho

contará com profissionais capazes de enfrentar graves crises econômicas e que tenham

aptidão para superá-las.

60

REFERÊNCIAS

BRANCO, Equimara Selma. Matemática financeira: Problemas da nossa realidade. aiores<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAulahtml?aula=19516.> Acesso em 18 fev. 2016.

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Secretaria de Educação Fundamental. vol.3. 2 ed. Brasília, 2000.

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