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Francisco Periago Esparza
Fundamentos Matemáticos del
Método de los Elementos Finitos
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
Universidad Politécnica de Cartagena
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Esquema de la PresentaciónModelización Matemática
Análisis Matemático:El Método Variacional
Análisis Numérico:El Método de los Elementos Finitos
•Mecánica de Fluidos
•Difusión de Calor
•Electromagnetismo
•Elasticidad, etc. etc.
•Existencia de Solución
•Unicidad
•Dependencia continua respecto de los datos
•Descripción del Método
•Control del Error
•Simulación Numérica de Elementos Finitos con Matlab
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MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Mecánica de Fluidos
V
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MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Ecuaciones de Navier-Stokes. Fluidos viscosos incompresibles
Claude-Louis Navier(1827) Georges Stokes (1845)
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MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Difusión de Calor
qD
2500
350 450 550 650
50100150200250300350400
temperatura ºK
cobre
aluminio
acero
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MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Ecuación del Calor
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
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MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Electrostática
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MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Ecuaciones de Maxwell del Electromagnetismo en el vacío
James Clerk Maxwell (1862)
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MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Membrana Elástica Sujeta en el Borde
Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos
L
u(x)
xf
0
f
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MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Elasticidad Lineal. Caso Estático
Robert Hooke (1678)
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MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Más modelos….. y ecuaciones en derivadas parciales
Etc, etc, etc….
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MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
El Laplaciano
Sir Isaac Newton (1643-1727)
Pierre-Simon Laplace (1749-1827)
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CONCLUSIONES I
La Filosofía está escrita en ese gran libro del universo, que está continuamente abierto para que lo observemos.
Pero el libro no puede comprenderse sin que antes aprendamos el lenguaje y alfabeto en que está compuesto.
Está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sóla de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto.
Galileo Galilei (1564-1642)
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CONCLUSIONES II
1. La Modelización Matemática es la mejor herramienta de la que disponemos para entender buena parte de fenómenos físicos que interesan a la Ciencia y la Tecnología.
2. Estos modelos matemáticos se componen de sistemas enormemente complejos de Ecuaciones en Derivadas Parciales que fueron formulados hace muchos pero aún hoy día sigue siendo un reto resolverlos satisfactoriamente.
3. El Método de los Elementos Finitos es uno de los métodos numéricos más usados por la comunidad científica y por la industria para poder resolver numéricamente dichos modelos.
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SIGLO XX: AÑO 1946
Laurent Schwartz (1915-2002)
Teoría de las Distribuciones (1946).
Nuevos conceptos de Soluciones de las Ecuaciones en derivadas Parciales
John P. Eckert y Johnn W. Mauchly contruyeron en 1946 el ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), primer ordenador de la historia
METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Richard Courant (1943)
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SIGLO XXI: Método Científico
1. Modelización Matemática
2. Análisis Matemático
3. Análisis y Simulación Numérica
4. Control, Diseño, etc…
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ANÁLISIS MATEMÁTICO
Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos
( PM )
( PM ) NO TIENE SOLUCIÓN CLÁSICA!!
L/2
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¿QUÉ SE PUEDE HACER ENTONCES?
( PM )
Trabajo virtual de las fuerzas exteriores
Trabajo virtual interno de deformación
( PV )
L/2
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ANÁLISIS MATEMÁTICO
L/2
Paul Dirac (1902-1984)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO
Teoría de Distribuciones
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ANÁLISIS MATEMÁTICO
Teoría de Distribuciones
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ANÁLISIS MATEMÁTICO
Ejemplos de Distribuciones
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ANÁLISIS MATEMÁTICO
La derivación es una operación válida para cualquier distribución !!!
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ANÁLISIS MATEMÁTICO
( PM )
L/2
( PV )
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ANÁLISIS MATEMÁTICO
( PM )
( PV )
a(u,v)< f,v >
L/2
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ANÁLISIS MATEMÁTICO
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ANÁLISIS MATEMÁTICO
Formulación en Mínima Energía
Principio de Mínima Energía
Principio de los Trabajos Virtuales
Ecuación de Euler-Lagrange
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MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Idea General del MEF
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MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Construcción de los Espacios de Aproximación
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MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Construcción de los Espacios de Aproximación
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MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
El Problema Variacional en los Espacios de Aproximación
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MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
A modo de Resumen
MEF
Sistema de ecuaciones algebraico
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MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Estructura de la Matriz de Rigidez
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MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Simulación Numérica con Matlab
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
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MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Ensamblado de la Matriz de Rigidez
0...0000
0...0000
0...0000
0...0000
0...0000
Ah
Ah1
Ah2
Ah3
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MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Control del Error en el MEF
( PV )
•Regularidad de la malla•Regularidad de la solución débil•Grado de los polinomios de interpolación
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MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
El caso de las dimensiones 2 y 3
a(u,v) < f,v >
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Función de forma en dimensión 2
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
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MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Problemas Evolutivos. Ecuación del Calor
Concepto de solución débil. Se ha de cumplir:
Solución del problema discretizado con elementos finitos:
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MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Tras sustituir la solución del problema discretizado en la formulación variacional obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:
incógnita
matriz de masa
matriz de rigidez
término independiente