Franklina M. B. Toledo / Alysson M. Costa 09:22 19 mar 2009.

Otimização em grafos

Problemas de roteamento em arcos

Franklina M. B. Toledo / Alysson M. Costa 09:22 19 mar 2009.

roteamento em nós roteamento em arcos

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[I] H.A. Eiselt, M. Gendreau, and G. Laporte, Arc routing problems, part I: The Chinese postman problem, Operations Research 43 (1995), 231–242.

[II] H.A. Eiselt, M. Gendreau, and G. Laporte, Arc routing problems, part II: The rural postman problem, Oper Res 43 (1995), 399–414.

[III] S. Whlk, A decade of capacitated arc routing, in: The vehicle routing problem, Bruce Golden et al. (eds), (2008)

[IV] Computers & Operations Research, 33, Issue 12, December 2006, Pages 3361-3362. Part Special Issue: Recent Algorithmic Advances for Arc Routing Problems

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As pontes de Königsberg

desenho original de Euler

retirado de [I]

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KaliningradoIrina Gribkovskaia, Øyvind Halskau Sr. and Gilbert Laporte, The Bridges of Königsberg—A Historical Perspective, Networks, Vol. 49(3), 199–203 2007

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Michael Clegg & Martin Guttmann’s sculpture

• Clegg & Martin

• The Seven Bridges of Königsberg is an installation based on a partial selection from the themes of the original project, an Open Public Library which operated in Duisburg in connection with the exhibition Kant Park which took place in the Lehmbruck Museum in 1999. The structure of this library is based on a diagram of the seven bridges of Königsberg. The mathematician Euler proved that one cannot cross all the bridges, each only once and, without gap or overlap, return to the point of origin. As a consequence, the books in the library, whose structure is based on the same diagram, cannot be arranged alphabetically, from A to Z, when all the shelves are full. This is a library, which resists order, an anarchist library, if we may. Based on the original project we designed a new installation, which emphasizes the mathematical properties of the structure in virtue of which it cannot be ordered.

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Euler, 1736

Uma solução (ciclo euleriano) existe se:

a) o grafo é conexob) cada nó tem grau par

E se dois nós tiverem grau impar ? ! Então é possível obter um caminho euleriano saindo de um nó e chegando no outro.

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Qual o caminho ?

Euller estava preocupado com existência.Qual caminho ?

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Qual o caminho ?

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Grafos direcionados e mistos

• Grafos não-direcionados

• Grafos direcionados (puros)

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Grafos direcionados e mistos

• Grafos mistos

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General routing problems (Orloff, 1974)

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retirado de [I]

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Rural/Chinese

retirado de [I]

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General routing problems (Orloff, 1974)

• Problema do carteiro chinês (CPP)• Problema do carteiro rural (RPP)• ...

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• Problema do carteiro chinês:

– "A mailman has to cover his assigned segment before returning to the post office. The problem is to find the shortest walking distance for the mailman".Meigu Guan (O "matemático/carteiro" chinês)

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Estratégias de solução

• Quando não existe um ciclo euleriano...

• Duas etapas:– Fazer o menor "aumento" no gráfico que o

torna euleriano.– Obter o ciclo euleriano (tempo polinomial).

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• Grafos não-direcionados:– matching problem (Edmonds and Johnson,

1973)

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Edmonds and Johnson, 1973

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Idéia

grafo não euleriano

grafo euleriano

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the matching problem

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Algoritmo (Edmonds e Johnson)

1. Se o grafo é euleriano, determinar tour. FIM2. Seja I o conjunto de todos os nós de grau

ímpar.3. Seja dij a distância do caminho mínimo entre

os nós i e j, para cada i,j 2 I.4. Determinar o matching M entre os elementos

de I que minimiza os custos dij envolvidos.

5. Adicione os arcos dos caminhos mínimos associados ao matching. O novo grafo é euleriano, determinar tour. FIM.

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Exemplo

1

2

3

4

matchings possíveis:1 e 2, 3 e 41 e 3, 2 e 41 e 4, 2 e 3

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Caso direcionado ?

0

+1

-1

-1

0

+1

0

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Caso direcionado (completamente)

• Grafos completamente direcionados.– minimum cost flow problem (Edmonds and

Johnson, 1973)

0

-1

-10

+10

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Caso direcionado (completamente)

0

-1

-10

+10

xij=1, se o arco (i,j) está na solução

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Caso misto

• NP-Hard mesmo se:– o grafo é planar;

– todos os cij's são iguais.

(Papadimitriou, 1976)

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Windy Postman Problem (WPP)

• O grafo é não-direcionado, mas o custo de percorrer uma aresta depende do sentido tomado.

• NP-hard mas pode ser resolvido em tempo polinomial sob algumas condições.

casomisto

WPP

cada aresta (i,j) gera custos cij iguais para os dois sentidos

cada arco (i,j) gera custos cij no sentido i! j e 1 no sentido inverso

casodirec.

casoñ-direc.

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WPP

• Formulação

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Algumas variações

• Hierarchical Postman Problem.

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• Exemplo

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Algumas variações

• The cumulative chinese postman problem:

http://www.crt.umontreal.ca/~nikolaj/problems/cumulative.html

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General routing problems (Orloff, 1974)

• Problema do carteiro chinês (CPP)• Problema do carteiro rural (RPP)• ...

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• A maioria das aplicações práticas estão relacionadas ao carteiro rural

vila rural

vila rural

arcos não necessários.

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Aplicações

• Street sweeping

– Bodin and Kursh (1978, 1979)– Restrições nos horários ("janelas de tempo")

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Aplicações

• Retirada de neve

– Níveis de prioridade (HRPP).– Restrições adicionais:

roteamento dos veículos depósito, estratégias de re-roteamento em caso de

intensificação da tempestade...

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• Coleta de lixo

– questão do aterro sanitário– tarifação

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Aplicações

• Problema dos leituristas

Retirado de: "Algoritmos para o problema de roteamento de leituristas", Fábio Usberti

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• Entrega de correspondências– depósitos...

PRV

PRA

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• Para o CPP:– Versão não-direcionada ou totalmente

direcionada: polinomial– Versão mista ou WPP: NP-Hard.

• Para o RPP:– Versões não-direcionada e direcionada são NP-

Hard. (Salvo quando R=A ! CPP).

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RPP não direcionado

• Resolução– I) O grafo G(V,R) é conexo– II) O grafo G(V,R) não é conexo

I) Unem-se os vértices de grau ímpar de R e se resolve um problema CPP (ciclo euleriano).

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RPP não direcionado

II)

pre-processamento

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RPP não direcionado

II)

pre-processamento

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Heurística para o RPP não-direcionado

• O grafo resultante do pre-processamento tem "ilhas" conexas de subgrafos com arestas requeridas

G1G2

...Gn

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• 1) Construa a menor árvore ligando G1...Gn, seja l(t) o custo desta árvore;– seja l(R) o custo dos arcos em R.– l(R)+l(t) · z*

– No exemplo: l(R) = 11, l(t)=3

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• 2) Obtenha o menor matching entre os nós de grau ímpar do grafo induzido por R + a árvore.– seja l(M) o custo deste matching.– l(R)+l(t)+l(M) · 1.5z*

– No exemplo: l(R) = 11, l(t)=3, l(M) =5

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• Este algoritmo foi proposto por – Frederickson (1979)

baseado no trabalho de

– Christofides (1976)

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Heurística para o RPP direcionado

• Pode ser reduzido ao caso direcionado do CPP sempre que R for conexo.

• Procedimento de pre-processamento similar ao anterior.

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• Cristofides et al. (1986)– Construa uma arborescência centrada em um

vértice qualquer e atingindo G1...Gn

– Resolva um problema de transporte tal que o número de arcos chegando em cada vértice seja igual ao número de arcos saindo do vértice

– Determine um grafo euleriano

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Atualmente...

Computers & Operations Research, 33, Issue 12, December 2006, Pages 3361-3362. Part Special Issue: Recent Algorithmic Advances for Arc Routing Problems

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Recent Algorithmic Advances (títulos)

• Lower and upper bounds for the mixed capacitated arc routing problem

• New lower bound for the Capacitated Arc Routing Problem

• A comparison of two different formulations for arc routing problems on mixed graphs

• A tabu search algorithm for the min–max k-Chinese postman problem

(min–max k-Chinese postman problem: k ciclos, com cada arco sendo atravessado ao menos uma vez. Objetivo: minimizar o comprimento do ciclo mais longo.)

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Recent Algorithmic Advances (títulos)

• A constraint programming approach to the Chinese postman problem with time windows

• Privatized rural postman problems

be (lucro) - na primeira vez que o arco é atravessadoce (custo) - sempre que o arco é atravessado

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Recent Algorithmic Advances (títulos)

• A constructive heuristic for the Undirected Rural Postman Problem

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Recent Algorithmic Advances (títulos)

• Road network monitoring: algorithms and a case study • A genetic algorithm for a bi-objective capacitated arc

routing problem