RESPUESTA EN FRECUENCIADr. Alejo Guilln C.Escuela de Ingeniera MecnicaDepartamento de AutomticaMaracaibo

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RESPUESTA EN FRECUENCIA

La respuesta del sistema ante una entrada sinusoidal, permite hallar la funcin de transferencia de un sistema con una planta compleja mediante un mtodo prctico sencillo.La representacin de la respuesta en frecuencia de un sistema sirve para dar una medida de su estabilidad relativa, completando la informacin que puede dar el criterio de Routh-Hurwitz.

RESPUESTA A UNA ENTRADA SINUSOIDALSea G(s) la funcin de transferencia de un sistema y R(s) una entrada sinusoidal. La salida del sistema en eldominio temporal es:

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Por tanto el sistema amplifica o atena en funcin de la frecuencia de la seal de entrada. Lo mismo ocurre con el adelanto o retraso de la seal de salida respecto de la entrada. Existen varias formas de representar esos cambios en funcin de la frecuencia,

En esta asignatura, sin embargo, slo se emplearn los diagramas de Bode.

EL DIAGRAMA DE BODEEl norteamericano Hendrik Wade Bode (1905-1982) us por primera vez en 1938 el diagrama que lleva su nombre para el estudio de estabilidad de sistemas en lazo cerrado. Durante la Segunda Guerra Mundial contribuy al rpido desarrollo de servomecanismos para dispositivos electrnicos de control de disparo. Su uso se extendi ampliamente en el estudio de los circuitos electrnicos. Un diagrama de Bode consta de dos grficas, una para la amplitud de salida y otra para el desfase de salida. Se los denominar respectivamente diagrama de ganancias y diagrama de fases.

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En realidad, el uso de los decibelios como unidad de medida es una forma solapada de representar la amplitud de salida en escala logartmica. Conviene resaltar que los logaritmos son siempre decimales, no neperianos. El factor 20 de la definicin, se debe en parte al uso de la fraccin del belio y en parte al empleo de la potencia de la seal lo que hace que haya que elevar al cuadrado la amplitud dentro del logaritmo y salga fuera de l como un factor de dos. En el eje logartmico de frecuencias se denomina dcada a cualquier intervalo que va desde unadeterminada frecuencia hasta otra diez veces mayor. Se denomina octava a cualquier intervalo que va desde una frecuencia hasta su doble. Tanto la dcada como la octava son distancias constantes en una escala logartmica.Los dos diagramas representan las frecuencias de forma logartmica en el eje de abscisas empleando rad/s. El diagrama de ganancias representa en el eje de ordenadas la amplitud de la seal de salida transformados a decibelios. El diagrama de fases representa en el eje de ordenadas el desfase de la seal de salida en grados.

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ESTABILIDAD RELATIVA

El criterio de Routh-Hurwitz informa sobre la estabilidad absoluta de un sistema, pero no dice nada sobre la estabilidad relativa del mismo, es decir, cunto de cerca o de lejos est de volverse inestable. Para dar una medida de la estabilidad relativa de un sistema se definen los conceptos de margen de ganancia y de fase.

Margen de ganancia

El margen de la ganancia es el factor proporcional que se debe introducir dentro del lazo de control para que el sistema se vuelva crticamente estable. El margen de ganancia es, por tanto, el cociente de la ganancia crtica del sistema entre la ganancia actual de la funcin de transferencia en lazo abierto.

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En la Fig. se muestran los lugares de las races de dos sistemas, uno en lnea continua y otra en discontinua. A los dos sistemas se les ha impuesto un comportamiento transitorio con amortiguamiento 0.5.Evidentemente, la ganancia necesaria para ello es diferente para cada sistema. El sistema de tercer orden se hace inestable para una ganancia crtica Kcr = 6. El margen de ganancia es MG = 5.82. En cambio el sistema de segundo orden no se vuelve inestable nunca. Su margen de ganancia es infinito.

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Margen de fase

El margen de fase se define como el ngulo que se puede sustraer al sistema para dejarlo en el lmite de estabilidad, manteniendo constante la ganancia del mismo. En la Fig. se sealan los puntos del plano S en los que se obtiene una ganancia en lazo abierto de K = 2 aplicando la condicin del mdulo.

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RESPUESTA EN FRECUENCIADiagramas de BODE

Caractersticas Principales

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RESPUESTA EN FRECUENCIA

La respuesta del sistema ante una entrada sinusoidal, permite hallar la funcin de transferencia de un sistema con una planta compleja mediante un mtodo prctico sencillo.La representacin de la respuesta en frecuencia de un sistema sirve para dar una medida de su estabilidad relativa, completando la informacin que puede dar el criterio de Routh-Hurwitz.

RESPUESTA A UNA ENTRADA SINUSOIDALSea G(s) la funcin de transferencia de un sistema y R(s) una entrada sinusoidal. La salida del sistema en eldominio temporal es:

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EJEMPLO:

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Especificaciones de diseo en el dominio de la frecuenciaMargen de Ganancia (MG)Margen de Fase (MF)Ancho de banda (AB)Mx. Resonancia (Mr)Frecuencia de Resonancia (Wr)Frecuencia de Cruce (Wc)

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Margen de fase y margen de ganancia

Ya se definieron los mrgenes de fase y ganancia y se relacionaron con la estabilidad relativa del sistema. Es importante resaltar que los mrgenes de fase y ganancia de un sistema controlado, y por tanto en lazo cerrado, se miden sobre el diagrama de Bode de la funcin de transferencia en lazo abierto.

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El Margen de Ganancia MG se mide en la frecuencia de cruce de fases del diagrama de Bode en lazo abierto. Es el valor en decibelios faltan al sistema para alcanzar los 0 dB. Si el diagrama est por encima de 0 dB a esa frecuencia, se dice que el margen de ganancia es negativo.

El Margen de Fase MF se mide en la frecuencia de cruce de ganancias fases del diagrama de Bode en lazo abierto. Es el valor en grados que hay por encima de 180 hasta el diagrama de fases. Si el diagrama de fases est por debajo de 180 a esa frecuencia, se dice que el margen de fase es negativo.

Un sistema en lazo cerrado es estable cuando sus mrgenes de fase y ganancia son ambos positivos.

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Ancho de banda

Es interesante apreciar cmo es la respuesta en frecuencia de un sistema controlado, es decir, en lazo cerrado. Sin importar la forma que posea la planta en lazo abierto, el sistema controlado en lazo cerrado es capaz de seguir fielmente a la entrada de referencia del sistema hasta un determinado valor de frecuencia. A partir de ese valor, que es prcticamente la frecuencia de cruce de ganancias del diagrama de Bode en lazo abierto, el sistema controlado empieza a atenuar y a retrasar la referencia: la salida del sistema no es capaz deseguir a la entrada.

Este fenmeno es una explicacin intuitiva del concepto de ancho de banda de un sistema controlado. Matemticamente se define como el valor de la frecuencia en rad/s en el que la ganancia del diagrama de Bode en lazo cerrado toma el valor de 3 dB. En la prctica este valor exacto se puede aproximar al valor de la frecuencia de cruce de fases del diagrama en lazo abierto.

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Respuesta en FrecuenciaPracticas MatLab

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INTRODUCCION AL DISEO DE CONTROLADORESSeleccin de controladores y sintonizacin de parmetros

Seleccin de Controladores Ajuste de Controladores:Mtodo de la ganancia lmite.Mtodo de sustitucin directa.Mtodo de sintona basado en Modelo: Ziegler-Nichols

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