ft2-aula 5 fisica

Oscilaes (Item 5)

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Prof. Dr. Bruno Barros Cunha Departamento de Fsica DAFIS

Universidade Tecnolgica do Paran - UTFPR

Fsica 2

Viso Geral

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1. Movimento harmnico simples; 2. Pndulos; 3. Oscilador angular; 4. Movimento harmnico amortecido; 5. Oscilaes foradas; 6. Ressonncia;

Movimento dos ponteiros do relgio

Ponta A ou B de um aro de bicicleta se movimentando com v constante

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Movimento Harmnico Simples (MHS)

Movimento Peridico e Oscilatrio Todo movimento que se repete a intervalos regulares chamado de movimento peridico ou movimento harmnico. Chamamos perodo do movimento (T) o intervalo de tempo que estes ciclos levam at se repetirem. Assim, um nmero de repeties em um determinado intervalo de tempo (t), T dado por: Como n adimensional, o perodo tem unidade igual unidade de tempo. No SI medido em segundos (s).

n

tT

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Movimento Peridico e Oscilatrio Um movimento peridico, possui tambm uma grandeza chamada frequncia (f), que corresponde ao nmero de repeties (n) em um determinado intervalo de tempo (t), dado por: A frequncia medida pelo inverso de unidade de tempo, ou seja 1/s que recebe o nome de hertz (Hz) no SI.

t

nf

fT

Tf

1 ;

1

5


Um movimento de harmnico pode ser descrito por funes horrias harmnicas (seno ou cosseno), que so assim chamadas devido sua representao grfica: Quando isto acontece, o movimento chamado Movimento Harmnico Simples (MHS).

Funo Seno Funo cosseno

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Pode ser analisado como uma projeo de um movimento circular uniforme sobre um eixo. Sendo o raio da circunferncia a amplitude (A)do MHS.

cos

cos

Ax

A

x

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Funo Horria da Elongao Esta a posio exata em que se encontra a partcula na figura mostrada, se considerarmos que, no MCU, este ngulo varia com o tempo, podemos escrever em funo do tempo, usando a funo horria do deslocamento angular Ento, podemos substituir esta funo na equao do MCU projetado no eixo x e teremos a funo horria da elongao, que calcula a posio da partcula que descreve um MHS em um determinado instante t.

t 0

)cos( 0 tAx

)cos( 0 tAx

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Funo horria da velocidade Comparando com o MCU, podemos encontrar a funo horria da velocidade, lembrando que, para o movimento circular, a velocidade linear descrita como um vetor tangente trajetria:

sen

sen

t

t

vv

v

v

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Funo horria da velocidade Repare que o sinal de v negativo pois o vetor tem sentido contrrio ao vetor elongao, logo, o movimento retrgrado. Mas sabemos que em um MCU: Assim, podemos substituir estas igualdades e teremos a funo horria da velocidade no MHS:

Avt

)(sen

sen

0

tAv

vv t

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Funo horria da acelerao Comparando com o MCU, podemos encontrar a funo horria da acelerao lembrando que quando o movimento circular uniforme a nica acelerao pela qual um corpo est sujeito aquela que o faz mudar de sentido, ou seja, a acelerao centrpeta.

Decompondo o vetor acelerao centrpeta:

cos

cos

cp

cp

aa

a

a

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Funo horria da acelerao Repare que o sinal de a negativo pois o vetor tem sentido contrrio ao vetor elongao, logo, o movimento retrgrado. Mas sabemos que em um MCU: Podemos substituir estas igualdades e teremos a funo horria da acelerao no MHS: Ou

t

Aacp

0

2

)cos(

cos

0

2

tAa

aa cp

)(2 txa

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Observaes:

A fase (t + 0) sempre medida em radianos;

A pulsao ou frequncia angular () pode ser definida por 2/T ou 2f;

A fase inicial (0) o ngulo de defasagem da onda senoidal. Por exemplo, no instante t = 0,

uma partcula descreve um MHS est na posio 3A/4, ento determina-se sua fase inicial

representando o ponto dado projetado no ciclo trigonomtrico:

Frequncia (f): o nmero de oscilaes completas por segundo.

No SI a unidade o hertz (Hz), definido como: 1 hertz = 1 Hz = 1 oscilao por segundo = 1 s-1

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Exemplo

)cos()( 0 tAtx

)(sen)( 0 tAtv

)()( 2 txta

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A lei do Movimento Harmnico Simples Combinando a segunda lei de Newton com a acelerao ( = 2 ) Uma fora restauradora proporcional ao deslocamento pode ser expressa matematicamente pela lei de Hooke: Para uma mola a constante elstica dada por O movimento harmnico simples o movimento executado por uma partcula sujeita a uma fora proporcional ao deslocamento da partcula e de sinal oposto.

xmxmamF )()( 22

kxF

mk

O sistema bloco-mola constitui um oscilador harmnico simples linear, onde o termo linear indica que F proporcional a x e no a alguma outra potncia de x. A frequncia angular do MHS do bloco est relacionado constante elstica e a massa do bloco.

* Sem atrito

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A lei do Movimento Harmnico Simples Frequncia angular Perodo do oscilador linear

m

k

k

mT 2

Todo sistema oscilatrio (trampolim, corda de violino e outros) possui uma certa elasticidade e uma certa inrcia, portanto se parece com um oscilador linear. Estes elementos esto concentrados em partes diferentes do sistema: A elasticidade est inteiramente na mola, cuja massa desprezamos, e a inercia est

inteiramente no bloco, cuja elasticidade ignorada.

Em uma corda de violino, porm, os dois elementos esto presentes na corda.

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A Energia do Movimento Harmnico Simples

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A Energia do Movimento Harmnico Simples A energia potencial de um oscilador linear est associado inteiramente mola e a x(t), elongao ou compresso. A energia potencial U (t) dado por: A energia cintica do sistema est inteiramente associada ao bloco e obtida por: Substituindo 2 por k/m temos:

)(cos2

1

2

1)( 222 tkxkxtU m

)(2

1

2

1)( 2222 tsenxmmvtK m

)(2

1

2

1)( 222 tsenkxmvtK m

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A Energia do Movimento Harmnico Simples A energia mecnica dada por

KUE

)](sen)([cos2

1

)(sen2

1)(cos

2

1

222

2222

ttkx

tkxtkx

m

mm

Relao trigonomtrica isto corresponde a uma unidade

2

2

1mkxKUE

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Movimento Harmnico Simples (MHS) Angular

Um Oscilador Harmnico Simples Angular Neste caso, o elemento de elasticidade est associado toro de um fio suspenso, e no ao alongamento e compresso de uma mola. O dispositivo recebe o nome de pndulo de toro. Este se oscila em torno dessa posio em um movimento harmnico simples angular. A rotao do disco de um ngulo em qualquer sentido produz um torque restaurador dado por: onde a constante de toro, que depende do comprimento, do dimetro e do material de que feito o fio. Podemos comparar o MHS angular com o MHS linear (lei de Hooke) substituindo a constante elstica K pela constante de toro (capa) e a massa m pela grandeza equivalente, o momento de inercia I, assim: (Pndulo de toro)

IT 2

20


21


22


Pndulos Neste caso a fora de retorno est associada gravitao, e no s propriedades elsticas de um fio ou de uma mola.

O Pndulo Simples

Peso do pndulo

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O Pndulo Simples A componente Fg sen (que tangente trajetria do peso) produz um torque restaurador em relao ao ponto fixo do pndulo porque sempre age no sentido oposto ao do deslocamento do peso, tendendo a lev-lo de volta ao ponto central ( = 0), chamado de posio de equilbrio. De acordo com a equao de torque =

)sen( gFL

Onde o sinal negativo indica que o torque age no sentido de reduzir e L o brao de alavanca da componente Fg sen da fora gravitacional em relao ao ponto fixo do pndulo. Substituindo na equao de torque = , onde a acelerao angular do pndulo. Podemos simplificar sen quando temos ngulos pequenos, sen = , logo:

I

mgL

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O Pndulo Simples Quando um pndulo se move para direita a acelerao para esquerda aumenta at o peso parar e comear a se mover para esquerda, e vice-versa. O perodo (T) do pndulo pode ser escrito como: O momento de inrcia do pndulo I = mL como o momento de inrcia do pndulo, logo:

(pndulo simples, pequena amplitude).

I

mgL

mgL

IT 2

g

LT 2

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Pndulo Fsico A anlise do pndulo fsico idntica anlise do pndulo simples, substituindo L por h. Um pndulo fsico no oscila se o ponto fixo o centro de massa. Formalmente, isso corresponde a fazer h = 0, nesse caso temo T = , o que significa que o pndulo jamais chega a completar uma oscilao. O ponto do pndulo fsico que fica a uma distncia L0 do ponto O chamado de centro de oscilao do pndulo fsico para o ponto de suspenso dado.

mgh

IT 2

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Movimento Harmnico Simples Amortecido Quando o movimento de um oscilador reduzido por uma fora externa dizemos que o oscilador e seu movimento so amortecidos. Quando o sistema est se movimentando a palheta se move para cima e para baixo o lquido exerce uma fora de arrasto, consequentemente sobre todo o sistema (a energia mecnica diminui).

O lquido exerce uma fora de amortecimento proporcional velocidade da palheta e do bloco. Nesse caso temos: Onde b uma constante de amortecimento que depende das caractersticas tanto da p como do lquido e tem unidades de quilogramas por segundo no SI.

O sinal negativo indica que se ope ao movimento;

=

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Movimento Harmnico Simples Amortecido A fora exercida pela mola sobre o bloco Fm = -kx. Vamos supor que a fora gravitacional a que o bloco est submetido

seja desprezvel em comparao com . A 2 lei de Newton para as componentes ao longo do eixo x. Substituindo v por dx/dt, a por dx/dt e reagrupando os termos, obtemos a equao diferencial: A soluo desta equao : Onde xm a amplitude e a frequncia angular do oscilador amortecido, dado por:

makxbv

0

kx

dt

dxb

dt

xdm

)'cos()( 2/ textx mbtm

4

'

m

b

m

k

mbt

mex2/

)(tx

mbt

mex2/

mx

mx

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Movimento Harmnico Simples Amortecido Esta uma funo cosseno cuja amplitude dada por

/2, diminui gradualmente com o tempo. A energia mecnica no constante para um oscilador amortecido. Se o amortecimento pequeno, podemos determinar E(t) substituindo xm na equao de

energia mecnica do MHS por /2 , obtemos:

Nos diz que, como a amplitude, a energia mecnica diminui exponencialmente.

)'cos()( 2/ textx mbtm

mbt

mekxtE/2

2

1)(

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Oscilaes Foradas e Ressonncia Existem duas frequncias angulares associadas a um sistema que executa oscilaes foradas: 1) A frequncia angular natural , que a frequncia angular com

a qual o sistema oscilaria livremente depois de sofrer uma perturbao brusca de curta durao;

2) A frequncia angular e da fora externa que produz as oscilaes foradas;

Um oscilador harmnico simples forado ideal tem seu deslocamento x(t) dado por: Onde xm a amplitude das oscilaes. A amplitude da velocidade Vm das oscilaes mxima para:

)cos()( txtx em

e

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Ressonncia o fenmeno que acontece quando um sistema fsico recebe energia por meio de excitaes de frequncia igual a uma de suas frequncias naturais de vibrao. Assim, o sistema fsico passa a vibrar com amplitudes cada vez maiores. Cada sistema fsico capaz de vibrar possui uma ou mais frequncias naturais, isto , que so caractersticas do sistema, mais precisamente da maneira como este construdo. Como por exemplo, cordas de um violo ou uma ponte para a passagem de pedestres sobre uma rodovia movimentada. Todos estes sistemas possuem sua frequncia natural, que lhes caracterstica. Quando ocorrem excitaes peridicas sobre o sistema, como quando o vento sopra com frequncia constante sobre uma ponte durante uma tempestade, acontece um fenmeno de superposio de ondas que alteram a energia do sistema, modificando sua amplitude. Se a frequncia natural de oscilao do sistema e as excitaes constantes sobre ele estiverem sob a mesma frequncia, a energia do sistema ser aumentada, fazendo com que vibre com amplitudes cada vez maiores.

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Exemplos de Ressonncia

https://www.youtube.com/watch?v=WMUUkNeinlw

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Exemplos de Ressonncia

https://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw

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