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Presentado por:
Lic. SANDRA SALAZAR PALOMINO Lic. WILBERT COLQUE CANDIA
APURÍMAC – PERU 2009
FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
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FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
Definición: Una función real de n variables independientes denotado por RBRDf ⊂→⊂ 2: es una regla de correspondencia de un conjunto “D” de vectores del espacio n dimensional a un conjunto “B” de números reales talque: RBRDf ⊂→⊂ 2:
( ) zxfx =→ ; ( )nxxxx ;;.........; 21= ( ) zxxxf n =⇒ ;......;; 21 A las variables nxxx ;;.........; 21 se les llama variables independientes y a z se le llama variable dependiente. Dominio de una función de varias variables: Se llama dominio de definición o dominio de existencia de la función f al conjunto:
( ) ( ) ( ){ }nn
nf xxxfxfzRxxxxD ;.......;;/;.......;; 2121 ==∈== Los casos más importantes para su estudio son las funciones reales de dos y tres variables, por lo tanto presentaremos los siguientes casos. 1º Caso: Si RRf →2: es una función real de dos variables independientes. RRf →2: ( ) ( ) zyxfyx =→ ,, Gráficamente:
2º Caso: Si RRE →3: es una función de tres variables independientes. S recibe la denominación de superficie, cuya ecuación es ( ) 0,, =zyxE , el cual define una o más funciones de la forma ( )yxfz ,= Es decir: ( ) 0,, =zyxE define implícitamente a la función ( )yxfz ,= ( )11 , yx
EJEMPLOS:
1. Describe y grafica el dominio de las siguientes funciones;
a) 22x-1z y−=
b) 22 44 yxz −+−= SOLUCIÓN:
a) ( ) 221, yxyxfz −−== existe 01 22 ≥−−⇔ yx
11 2222 ≤+⇒−≥−− yxyx ( ){ }1/, 222 ≤+∈= yxRyxD f Gráficamente:
b) ( ) 22 44, yxyxfz −+−==
sea ( ) 4, 2−= xyxg ; ( ) 24, yyxh −=
( ) ( ) ( )yxhyxgyxf ,,, +=⇒
( ) 4, 2−= xyxg existe 042 ≥−⇔ x 22 −≤∧≥⇒ xx
( ){ }22/, 2 ≥∧−≤∈=⇒ xxRyxDg
( ) 24, yyxh −= existe 2204 2 ≤≤−⇒≥−⇔ yy
( ){ }22/, 2 ≤≤−∈=⇒ yRyxDh
( ){ }22/, 2 ≤∧≥∈== yxRyxDDD hgf I
Gráficamente:
2. Hallar el dominio de ( )22 9436ln yxz −−=
SOLUCIÓN: ( ) ( )22 9436ln, yxyxfz −−== existe 09436 22 >−−⇔ yx
149
369422
22 <+⇒<+⇒yx
yx
( )
<+∈= 1
49/,
222 yx
RyxD f
Gráficamente:
3. Hallar el dominio de ( )
−=x
yarcsenyxf
1,
SOLUCIÓN:
( )x
ysenz
xy
arcsenyxfz11
,−=⇒
−==
1
11
11
≤−
≤−
≤≤−
xy
senz
a) Si 0>x , entonces 111 +≤≤+−⇒≤−≤− xyxxyx ( ){ }11/, 2 +≤≤+−∈= xyxRyxD f
Gráficamente:
b) Si 0<x , entonces 111 +≥≥+−⇒≥−≥− xyxxyx ( ){ }xyxRyxD f −≤≤+∈= 11/, 2
Gráficamente:
4. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. Límite:
Sea RRSf →⊂ 2: una función de dos variables independientes definida en el
conjunto S y sea ),( baa = un punto de acumulación de S entonces:
( ) ( ) εδε <−>∃>∀⇔=→
LyxfLyxfbayx
,/0;0,lim),(),(
siempre que
( ) ( ) δ<−< bayx ,,0 O equivalentemente a:
( ) ( ) εδε <−>∃>∀⇔=→→
LyxfLyxfbyax
,/0;0,lim siempre que
δδ <−<∧<−< byax 0 0 Observación: Al considerar ( )xf
ax→lim sabemos que el punto x se aproxima al punto a a lo largo
del eje x por la derecha y por la izquierda respectivamente, en cambio en una función de dos variables independientes ( )yxfz ,= el punto ( )yxx ,= se aproxima
al punto ),( baa = a través de dos curvas que pasan por el punto ),( baa = tales que: ( ) 1
1
lim Lxf
Cxax
=
∈
→ ∧ ( ) 2
2
lim Lxf
Cxax
=
∈
→
Entonces:
i. Si ( )xfLLax→
⇒≠ lim21 no existe.
ii. Si 21 LL = se considera una tercera curva 3C que pasa por el punto
),( baa = tal que:
( ) 123
3
lim LLLxf
Cxax
===
∈
→
Se puede considerar que el ( )xfax→
lim existe y para verificarlo se debe probar
dicho límite aplicando la definición.
2. Continuidad: Se dice que la función RRSf →⊂ 2: es continua en el punto SP ∈0 si se cumple las siguientes condiciones:
i. ( )0Pf existe
ii. ( )xfPx 0
lim→
existe
iii. ( ) ( )00
lim PfxfPx
=→
Definición: Se dice que una función RRSf n →⊂: es continua en SP ∈0 sí y sólo si
cada una de las funciones coordenadas: RRSf i →⊂: ; ni ,1=∀ son continuas en el punto 0P . EJEMPLOS:
1. Verificar los siguientes límites: a) ( ) ( )( ) 1223lim
3,2,=+
→yx
yx
b) ( ) ( )( ) 2lim 22
1,1,=+
→yx
yx
c) ( ) ( )( ) 424lim 22
1,3,−=+−+
−→yxyx
yx
d) ( ) ( )( ) 32lim 2
1,3,=+
−→xyx
yx
SOLUCIÓN a) ( ) ( )( ) 1223lim
3,2,=+
→yx
yx
( ) εδε <−≥∃>∀ Lyxf ,/0;0 siempre que δδ <−<∧<−< byax 0 0
( ) εδε <−+≥∃>∀ 1223/0;0 yx siempre que δδ <−<∧<−< 30 20 yx
De: ( ) ( ) ( ) ( )322362631223 −+−=−+−=−+ yxyxyx
Y como: BABA +=+
( ) ( ) 3223322332231223 −+−≤−+−≤−+−=−+ yxyxyxyx
5
523εδεδδδ =⇒<=+<
Si 5εδ = ; entonces ( ) 1223lim
)3,2(),(=+
→yx
yx
b) ( ) ( )( ) 2lim 22
1,1,=+
→yx
yx
( ) εδε <−≥∃>∀ Lyxf ,/0;0 siempre que δδ <−<∧<−< byax 0 0
( ) εδε <−+≥∃>∀ 2/0;0 22 yx siempre que
δδ <−<∧<−< 10 10 yx
De: ( ) ( ) 112 2222 −+−=−+ yxyx
( )( ) ( )( )1111 −+++−= yyxx
1111 −++−+≤ yyxx
Debemos acotar superiormente los factores 1+x y 1+y , elegimos entonces 11 =δ
313112011111
313112011111
<+⇒<+<⇒<<⇒<−<−⇒<−
<+⇒<+<⇒<<⇒<−<−⇒<−
yyyyy
xxxxx
( )( ) ( )( ) 11111111 −++−+≤−++−+⇒ yyxxyyxx
6633 2
εδεδδδ =⇒<=+⇒
Por lo tanto: { }
==
6;1min;min 21εδδδ
c) ( ) ( )( ) 424lim 22
1,3,−=+−+
−→yxyx
yx
( ) εδε <−>∃>∀ Lyxf ,/0;0 siempre que δδ <−<∧<−< byax 0 0
( ) εδε <++−+>∃>∀ 424/0;0 22 yxyx siempre que
δδ <+<∧<−< 10 30 yx
De: ( ) ( ) 1234424 2222 ++++−=++−+ yyxxyxyx
( )( ) ( )( )1131 +++−−= yyxx
1131 +++−−≤ yyxx
Debemos acotar los factores 1−x y 1+y , elegimos entonces 11 =δ
3114213113 <−<⇒<<⇒<−<−⇒<− xxxx
11 <+y
11314242 +++−−≤++−+⇒ yyxxyxyx
4
43 2
εδεδδδ =⇒<=+⇒
Por lo tanto: { }
==
4;1min;min 21
εδδδ
d) ( ) ( )( ) 32lim 2
1,3,=+
−→xyx
yx
( ) εδε <−>∃>∀ Lyxf ,/0;0 siempre que δδ <−<∧<−< byax 0 0
( ) εδε <−+>∃>∀ 32/0;0 2 xyx siempre que
δδ <+<∧<−< 10 30 yx
De: ( ) ( )( ) 32223112 2 −−++=−+++ xxxyxxxyx
( ) ( )( ) 31123112 −+++≤−+++= xxyxxxyx
Acotando x2 y 1+y , elegimos entonces 11 =δ
51313113 <+<⇒<−<−⇒<−⇒ xxx
8244213113 <<⇒<<⇒<−<−⇒<−⇒ xxxx
1313583112 2
εδεδδδ =⇒<=+=−+++⇒ xxyx
Por lo tanto: { }
==
13;1min;min 21
εδδδ
2. Calcular los siguientes límites.
a. ( ) ( )( )yxyxyx
−+−→
2
5,2,lim
b. ( ) ( ) ( )xxy
xysenyx
yx π
π
2cos
2lim2
3
2,1, −
+→
c. ( ) ( )( )( )xysen
xysenxysenyx 4cos1
2lim
0,0, −→
d. ( ) ( ) 44
22
0,0,lim
yxyx
yx +→
e. ( ) ( ) 22
22
0,0,lim
yxyx
yx +→
SOLUCIÓN: a. ( ) ( )( ) 9lim 2
5,2,=−+
−→yxyx
yx
b. ( ) ( ) ( ) 3
2
14
2
2cos4
2
2cos
2lim2
3
2,1,=−=−
+=−
+→ π
π
π
π
sen
xxy
xysenyx
yx
c. ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
[ ][ ] 22
2
2
0,0,0,0,16.
44
.4
4cos1
2.2
2.
2
lim4cos12
lim
yxxy
xysenxysen
xysen
xyxy
xysensenxy
xysensenxy
xysenxysenxysen
yxyx
−
=− →→
( ) ( ) 41
82
lim 22
22
0,0,=
→ yxyx
yx
d. ( ) ( ) 00
lim 44
22
0,0,=
+→ yxyx
yx indeterminado
Entonces nos definimos: ( ){ }xyRyxC =∈= /, 21 y ( ){ }22
2 /, xyRyxC =∈=
Sea ( ) ( ) 44
22
,yx
yxxfyxf
+==
1. ( ) ( ) ( )( )14
4
044
22
, 0,0,0 2
12
limlimlim1
1
Lx
xyx
yxxf
xCyx
yxCx
x===
+=
→∈
→
∈→
2. ( ) ( ) ( )( ) ( )44
6
084
6
044
22
, 0,0,0 1
limlimlimlim2
2
xxx
xxx
yxyx
xfxx
Cyxyx
Cxx +
=+
=+
=→→
∈→
∈→
14
2
0
01
lim Lx
xx
==+
=→
Como ( ) ( ) 44
22
0,0,21 limyx
yxLL
yx +⇒≠
→ no existe.
3. Analizar la continuidad de los siguientes limites:
a. ( ) ( ) ( )( ) ( )
=
≠+=0,0, , 0
0,0, ,, 22
yxsi
yxsiyx
xy
yxf
b. ( ) ( ) ( )( ) ( )
=≠+−+
+=
0,0, , 0
0,0, ,cos
, 22
2
22
22
yxsi
yxsiyxxsen
yx
yxx
yxf
SOLUCION:
a. ( ) ( ) ( )( ) ( )
=
≠+=0,0, , 0
0,0, ,, 22
yxsi
yxsiyx
xy
yxf
( ) ( )00
lim PfxfPx
=→
i) ( ) ( ) ∃== 00,00 fPf
ii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00
lim,lim220,0,0,0,=
+=
→→ yx
xyyxf
yxyx indeterminado
Entonces nos definimos las curvas:
( ){ }0/, 21 =∈= yRyxC y ( ){ }xyRyxC =∈= /, 2
2
1. ( ) ( ) ( )( )12
022
, 0,0,0
00
limlimlim1
1
Lxyx
xyxf
xCyx
yx
Cxx
===+
=→
∈→
∈→
2. ( ) ( ) ( )( )24
4
022
, 0,0,0
01
limlimlim2
2
Ly
y
yx
xyxf
yCyx
yxCx
x==
+=
+=
→∈
→
∈→
Como 21 LL = , entonces definimos ( ){ }xyRyxC tan/, 2
3 =∈=
( ) ( ) ( )( )
3
2
2
0
2
22
022
022,
0,0,0
011
0
tan1
tanlim
tan1
tanlim
tan
tanlimlimlim
33
L
xx
x
xx
xx
x
xx
xx
xx
yx
xyxf
x
xxCyx
yxCx
x
==+=+
=
+
=+=+=
→
→→∈
→
∈→
Como 321 LLL == , entonces ( ) ( ) 0lim220,0,=
+→ yx
xyyx
Por lo tanto ( )yxf , es continua.
b. ( ) ( ) ( )( ) ( )
=≠+−+
+=
0,0, , 0
0,0, ,cos
, 22
2
22
22
yxsi
yxsiyxxsen
yx
yxx
yxf
1. En ( ) ( )0,0, ≠yx Sea ( ) ( )0,0, 000 ≠= yxP
( ) ( ) ( ) ( )
( )0020
20
02
20
20
20
200
22
2
22
22
,,0,,
,cos
coslimlim
0000
yxfyx
xsen
yx
yxx
yxxsen
yx
yxxP
yxyxyxyx
=+−++=
+−++=
→→
( )yxf , es continua en ( ) ( )0,0, 00 ≠yx por lo tanto es continua en ( ){ }0,02
−R 2. En ( ) ( )0,0, =yx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∞−∞=
+−++=
→→ 22
2
22
22
,,,,
coslimlim
0000 yxxsen
yx
yxxxf
yxyxyxyx indeterminado
Entonces nos definimos las curvas: ( ){ }0/, 2
1 =∈= yRyxC y ( ){ }xyRyxC =∈= /, 22
( ) ( ) ( )( )
2
2
0
2
2
2
2
022
2
22
22
, 0,0,0
coslim
coslim
coslimlim
11
xxsen
x
xx
xxsen
x
xxyxxsen
yx
yxxxf
x
xCyx
yx
Cxx
−=
−=
+−++=
→
→∈
→
∈
→
Por definición de valor absoluto se sabe que:
<−≥=
0;
0;
xx
xxx
( ) ( )( ) 1
2
0
2
0
0
2cos
limcos
limlim Lx
senxx
xxx
senxx
xxxf
xxx=−=
−−=
−−
−=−−− →→→
( ) 2
2
0
0
011cos
limlim Lx
senxx
xxxf
xx==−=
−=
++ →→
Como 21 LL ≠ , entonces ( )xfx
0lim→
no existe
Por lo tanto ( )xfx
0lim→
no existe, entonces no es continua en ( )0,0
Ejercicios propuestos: Probar los siguientes límites:
1. ( ) ( )( ) 13lim 2
1,2,=−
→yx
yx Rpta:
=
8,1minεδ
2. ( ) ( )( ) 143lim2,3,
=−→
yxyx
Rpta: 7εδ =
3. ( ) ( )( ) 5lim 2
2,1,=+
→xy
yx Rpta:
=
6,1minεδ
4. ( ) ( )( ) 443lim 22
2,2,−=−
−−→yx
yx Rpta:
=
35,1minεδ
Encontrar los siguientes límites:
5. ( ) ( ) yxx
yx +→ 0,0,lim Rpta: No existe
6. ( ) ( )( )yxyxyx
−+→
2
5,3,lim Rpta: 19
7. ( ) ( ) 22
22
0,0,lim
yxyx
yx +
−→
Rpta: No existe
8. ( ) ( ) yyx
yx
tanlim
0,2, → Rpta: 2
9. ( ) ( ) 22
2
0,0,lim
yxyx
yx +
+→
Rpta: No existe
DERIVADA DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES: Definición: Sea RRSf →⊂ 2: una función de dos variables independientes tal que ( )yxfz ,= , es decir:
RRf →2: ( ) ( ) zyxfyx =→ ,,
a) La derivada parcial de la función f con respecto a la variable x está dado por: ( ) ( ) ( )
xyxfyxxf
xyxf
x ∆−∆+=
∂∂
→∆
,;lim
,0
; y es constante
b) La derivada parcial de la función f con respecto a la variable y está dado por:
( ) ( ) ( )y
yxfyyxfy
yxfy ∆
−∆+=∂
∂→∆
,;lim
,0
; x es constante
Definición: Sea RRSf →⊂ 3: una función real de tres variables independientes donde
( )zyxfw ,,= , es decir: RRSf →⊂ 3:
( ) ( ) wzyxfzyx =→ ,,,,
a) La derivada parcial de la función f con respecto a la variable x está dado por: ( ) ( ) ( )
xzyxfzyxxf
xzyxf
xw
x ∆−∆+=
∂∂=
∂∂
→∆
,,,;lim
,,0
; y , z constantes
b) La derivada parcial de la función f con respecto a la variable y está dado por:
( ) ( ) ( )y
zyxfzyyxfy
zyxfyw
y ∆−∆+=
∂∂=
∂∂
→∆
,,,;lim
,,0
; x , z constantes
c) La derivada parcial de la función f con respecto a la variable z está dado por:
( ) ( ) ( )z
zyxfzzyxfz
zyxfzw
z ∆−∆+=
∂∂=
∂∂
→∆
,,,;lim
,,0
; x , y constantes
EJEMPLOS: 1. Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones.
a. xyyxyxz 33 4455 +−+=
b. 2yxz =
c. 22
22
arctanyxyx
z+
−=
SOLUCIÓN: a) xyyxyxz 33 4455 +−+=
yyxxxz
3125 434 +−=∂∂
3125 434 +−=∂∂
yxxxz
b)
2yxz = 12 2−=
∂∂ yxyxz
xyxxz y ln2
2=∂∂
c) 22
22
arctanyxyx
z+
−=
+−
∂∂
+−
+−+
=
+−
∂∂
+−+
=∂∂ −
22
222/1
22
22
22
2222
22
2
22
22.
21
.1
1.
1
1yxyx
xyxyx
yxyxyx
yxx
yxyxx
z
( ) ( )( )
44
2
22
2
22
22
2
222
2222
22
22
2
22
2.
21
22.
21
.2
yxx
yyx
xyyxyx
x
yx
yxxyxxyxyx
xyx
−=
+−
+=
+
−−+
−
++=
( )( ) ( )( )
4422
2
22
22
2
222
2222
22
22
2
22
22
222/1
22
22
22
2222
22
2
22
22
2.
21
22.
21
.2
.21
.1
1.
1
1
yx
yyxyx
yxyx
x
yx
yxyyxyyxyx
xyx
yxyx
yyxyx
yxyxyx
yxy
yxyxy
z
−−=+−+−=
+−−+−
−++=
+−
∂∂
+−
+−+
=
+−
∂∂
+−+
=∂∂ −
2. Calcular xz
∂∂
y yz∂∂
en ( )xysenez /=
SOLUCIÓN:
( ) ( ) ( )
( )xy
ex-y
xy
xy
exy
xxy
exy
senx
exz
xysen
xysenxysenxysen
cos..
.cos..cos..
/
2///
=
−=
∂∂=
∂∂=∂
∂
( ) ( ) ( )
( )xy
ex
xxy
exy
yxy
exy
seny
eyz
xysen
xysenxysenxysen
cos..1
1.cos..cos..
/
///
=
=
∂∂=
∂∂=∂
∂
3. Hallar las derivadas parciales de
222 zyxxw ++=
SOLUCIÓN: Sea xu = ; 222 zyxv ++= , entonces vuw = Utilizando formula se tiene:
( ) 222222
222222
222222
.ln2.ln.
.ln2)(.ln.
.)2.(ln.
222
222
2221
zyxzyx
zyxzyx
zyxzyx
xxzzyxz
xxzw
xxyzyxy
xxyw
zyxxxxxxw
++++
++++
−++++
=++∂∂=
∂∂
=++∂∂=
∂∂
+++=∂∂
4. Si xyxexyz /+= ; hallar yz
yxz
x∂∂+
∂∂
SOLUCIÓN:
( )
xyxyxy
xyxyxyxy
xyxyxyxy
exx
xexxy
yxex
yz
eexy
yex
yxey
exy
xxey
xx
eex
xyxz
///
///2
/
////
1..
.
+=+=
∂∂+=∂
∂+−=+
−+=
+
∂∂+=∂
∂+∂∂+=∂
∂
Luego:
( ) xyzxyxexyexyeexy
yxyz
yxz
x xyxyxyxy +=++=++
+−=∂∂+∂
∂ ////
5. Si zyx
xyz
eeee
u++
= ; hallar zu
yu
xu
∂∂+
∂∂+
∂∂
SOLUCIÓN: ( )
( )( )[ ]( )( )
( )[ ]zyx
xzyx
zyxzyx
xzyxxyz
zyx
xxyzxyzzyx
eeeeyzeeez
eeeeeeeyzeeee
eee
eeyzeeeexu
++−++=
++++−++=
++−++=
∂∂
..2
( )( )
( )[ ]( )( )( )[ ]
zyx
yzyx
zyxzyx
yzyxxyz
zyx
yxyzxyzzyx
eeeexzeeez
eeeeeeexzeeee
eee
eexzeeeeyu
++−++=
++++−++=
++−++=
∂∂
..2
( )( )
( )[ ]( )( )( )[ ]
zyx
zzyx
zyxzyx
zzyxxyz
zyx
zxyzxyzzyx
eeeexyeeez
eeeeeeexyeeee
eee
eexyeeeeyu
++−++=
++++−++=
++−++=
∂∂
..2
( )( ) ( )[ ]( )1 +++=
+++++++++
=∂∂+
∂∂+
∂∂
yzxzxyz
eeeyzxzxyeeeeee
zzu
yu
xu zyxzyx
zyx
6. Si 3 22 yx
zu
+= , hallar
∂∂+∂
∂+∂∂
zu
zyu
yxu
x3
SOLUCIÓN:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3/4223/2223/22223 22
3/2223 22
3
2
.322.
31.0
yx
xz
yxyx
xz
yx
xyxzyx
xu
+−=
++
−=
+
+−+=
∂∂
−
( ) ( )( ) ( ) 3/42223 22
3/2223 22
3
22.31
.0
yx
yz
yx
yyxzyx
yu
+−=
+
+−+=
∂∂
−
3 22
1
yxzu
+=
∂∂
( ) ( )( )
( )u
yx
z
yx
z
yx
z
yx
z
yx
yxz
yx
z
yx
zy
yx
zxzu
zyu
yxu
x
=+=
+++−=
++++−=
+++−+−=
∂∂+∂
∂+∂∂
3 223 223 22
3 223/422
22
3 223/422
2
3/422
2
32
3
23
3
2
3
233
Ejercicios propuestos: Determinar las derivadas parciales de las siguientes funciones:
1. ( ) xyeyxyxf += 3, Rpta:
+=
+=2
2
2
33
22
xyy
xyx
xyexf
eyyxf
2. ( ) 22
22
arctan,yxyx
yxf+
−= Rpta:
( )( )
−−=−=
−
−
2/144
2/1442
yxyf
yxxy
f
y
x
3. ( )yx
eyxf xy2
/ ln, = Rpta:
−=
−=
xyx
yexy
f
yx
yxex
f
xyy
xyx
2/
2/
2
ln1
ln21
4. 22
22 tanyx
zyxz
−−= Rpta:
−−=−=
22
22
yxyz
z
yxxz
z
y
x
Verificar si las siguientes funciones satisfacen las ecuaciones dadas.
5. ( ) fyfxfyx
yxyxf yx 2;, 22
22
=++
=
6. ( ) ( ) fnyfxfDyCxByAx
yxf yx
nn
2;, 22 −=++
+=
7. ( ) ( ) xyyffxffyxxyyxf yx =++= ;/arctan,
8. ( ) fyfxfxy
yxyxf yx =++= ;arctan, 22
DERIVACIÓN IMPLICITA Definición: Sea RRSf →⊂ 2: una función real de dos variables independientes, se dice que la ecuación ( ) 0, =yxE define a “y” implícitamente como función de “x”; es decir ( )xfy = ;
x∀
Para hallar las derivadas parciales de funciones implícitas de varias variables se sigue lo siguiente:
1. ( ) 0,, =zyxE una función real de tres variables define implícitamente a ( )yxfz ,=
z
x
EE
xz −=∂∂
; z
y
E
E
yz −=
∂∂
2. ( ) 0,,, =wzyxE una función real de cuatro variables, define implícitamente a ( )zyxfw ,,=
w
x
EE
xw −=∂∂
; w
y
E
E
yw −=∂∂
; w
z
EE
zw −=∂∂
EJEMPLOS:
1. Suponiendo que w es función de todas las otras variables, hallar las derivadas correspondientes de las siguientes funciones.
a) 1)/(=−
xywsenew b) ( ) 0)cosh(22 =+− rwsrw
SOLUCIÓN: a) ( ) 01,,1 )/()/( =−−=⇒=− xywsenxywsen ewwyxEew ( )yxfw ,=⇒
( ) ( ))/(
22)/(
)/()/(
.cos)/).(/cos(.
/)/cos(.)/(.
xywsenxywsen
xywsenxywsenx
exy
xwy
xyxywe
xyx
xywexywsenx
exE
E
=−−=∂∂−=∂
∂−=∂∂=
( ))/(
)/()/(
.cos
1)./cos(.)/(.
xywsen
xywsenxywseny
exy
xw
xxywexywsen
ye
yE
E
−=
−=∂∂−=∂
∂=
( ) )/()/( )./(1)/(.1 xysenxywsenw exysenxywsen
we
wE
E −=∂∂−=
∂∂=
Por lo tanto:
)/(
)/(2
)./(1
.cos
xysen
xywsen
w
x
exysen
exy
xwy
EE
xw
−
=−=∂
∂
)/(
)/(
)./(1
.cos
xysen
xywsen
w
y
exysen
exy
xw
E
E
yw
−
−=−=∂
∂
b) ( ) ( ) ( ) )cosh(,,0)cosh( 2222 rwsrwwsrErwsrw +−=⇒=+− ( )yxfw ,=⇒
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )rwsenhsrrwrrrwwrwsenhsrrE
Er2222 cosh22.cosh. +−=++−=
∂∂=
( )rwssE
Es cosh2−=∂∂=
( ) ( ) ( ) ( )rwsenhsrrrrwsenhsrwE
Ew2222 1.1 +−=+−=
∂∂=
Por lo tanto:
( ) ( ) ( )( ) ( )rwsenhsrrrwsenhsrrwr
EE
rw
w
r22
22
1cosh2
+−++−=−=
∂∂
( )( ) ( )rwsenhsrrrws
EE
sw
w
s221
cosh2+−
=−=∂∂
2. Hallar las derivadas respectivas de:
a) ( )yxfzxzzyyx , ; 1coscoscos ==++
b) ( )x,yfzyx
zyxz =
−
−= ; tan22
22
SOLUCIÓN: a) ( ) 01coscoscos,, =−++= xzzyyxzyxE
zsenxyxE
Ex −=∂∂= cos
zxsenyyE
E y cos+−=∂∂=
xysenzzE
E z cos+−=∂∂=
Por lo tanto:
xysenz
zsenxyEE
xz
z
x
coscos
+−+−=−=
∂∂
xysenz
zxsenyE
E
yz
z
y
coscos+−−=
−=
∂∂
b) 0tan tan222222
22 =−
−−
⇒−
−=yx
z
yx
z
yx
zyxz
( )
( ) ( ) 0tan),,(
0tan,,
2/1222/122
2222
=−−−=⇒
=−
−−
=
−−
yxzyxzzyxE
yx
z
yx
zzyxE
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) 22
22/322
2/12222/322
2/12222/322
2/12222/3222/322
2/1222/12222/322
tan
tan1sec
sec.
.sec2.21
.
yx
z
yx
zx
yxzyx
zxyxz
yx
zx
yxzyx
zx
yx
zx
yxzx
yxzxyxzxE
Ex
−−=
−−=−−−=
−−+−−=
−∂∂−−−
−=∂
∂=
−−
−
−−−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 22
22/322
2/12222/322
2/322
2/12222/322
2/3222/12222/322
tan.zy-
tan.zy-
.seczy
221
..sec2.21
.
yx
z
yxyxz
yx
yx
zyyxz
yx
yyxzyxzyyxzyE
E y
−−=−−=−−−−=
−−−−−
−=∂∂=
−
−
−−−
( ) ( ) ( )( )( )
22
2
22
2/1222
22
2/1222/12222/122
tan.1-
1sec1-
.sec
yx
z
yxyxz
yx
yxyxzyxzE
E z
−−=−−
−=
−−−−=∂∂=
−
−−−
Por lo tanto:
( )
22
22
2
22
22
22/322
tan.1
tan
yxzx
yx
z
yx
yx
z
yx
zx
EE
xz
z
x
−=
−−
−−=−=∂∂
( )
22
22
2
22
22
22/322
tan.1-
tan.zy
yxzy
yx
z
yx
yx
z
yx
E
E
yz
z
y
−−=
−−
−−=−=∂∂
3. Si u y v son funciones de x e y definidas implícitamente para las ecuaciones
vuyx −=+ 23 ; 222 vuyx −=− hallar xu∂∂
y yv∂∂
SOLUCIÓN: a) Derivando ambas ecuaciones respecto a la variable x:
xv
xu
u∂∂−
∂∂= 23 ……….(1)
xv
vxu
∂∂−
∂∂= 41 …………(2)
Multiplicando por ( )v4− a la primera ecuación:
xv
vxu
uvv∂∂+
∂∂−=− 4812 …………(1*)
Sumando miembro a miembro las ecuaciones (2) y (1*)
( )uvv
xu
xu
uvv81121
81112−−=
∂∂⇒
∂∂−=+−
b) Derivando ambas ecuaciones respecto a la variable y:
yv
yu
u∂∂−
∂∂= 21 ……….(1)
yv
vyu
∂∂−
∂∂=− 42 …………(2)
Multiplicando por ( )u2− a la segunda ecuación:
yv
uvyu
uu∂∂+
∂∂−=− 824 …………(2*)
Sumando miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2*)
( )18
411841
−−=
∂∂⇒
∂∂−=−
uvu
yv
yv
uvu
4. Si ( ) zyezxu ++= ∧ ( )yxfz ,= . Hallar yu
xu
∂∂+
∂∂
SOLUCIÓN:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
∂∂+++=
∂∂++∂
∂+=
∂∂++∂
∂+=
+∂∂+∂
∂+=∂∂
+
+++
++
xz
zxe
xz
zxxz
exz
exz
ezx
zxx
eex
zxxu
zy
zyzyzy
zyzy
11
11.
( ) ( ) ( )zxx
eex
zxyu zyzy +
∂∂+
∂∂+=
∂∂ ++
( )
( )
∂∂++++=∂∂+
∂∂++=
+
++
yz
zxzxe
yz
eyz
ezx
zy
zyzy
1
1
Entonces:
( ) ( )
( )
∂∂+∂
∂+++=
∂∂+∂
∂+++++=∂∂+∂
∂
+
+
yz
xz
zxe
yz
xz
zxzxeyu
xu
zy
zy
11
11
5. Si xyzu = ∧ ( )yxfz ,= demostrar que:
∂∂−∂
∂=
∂∂−∂
∂yz
yxz
xuyu
yxu
xz
SOLUCIÓN:
( )zy
xz
xyxu
xx
yxy
xzxz
xyxyx
zxz
xyxu
+∂∂=∂
∂
∂∂+∂
∂+∂∂=∂
∂+∂∂=∂
∂
( )zx
yz
xyyu
yx
yyy
xzyz
xyxyy
zyz
xyyu
+∂∂=∂
∂
∂∂+∂
∂+∂∂=∂
∂+∂∂=∂
∂
Luego:
∂∂−∂
∂=
∂∂−∂
∂=
+∂∂−
+∂
∂
yz
yxz
xu
yz
yxz
xxyzzxyyz
xyxzyxz
yxz 22
Ejercicios propuestos: Determinar las derivadas parciales de las siguientes funciones:
1. ( ) zxyyxzyxf cos242,, 23 −+= Rpta:
=−=−=
xysenzf
zxyf
zyxf
z
y
x
2
cos28
cos26 2
2. ( )22
22
,,zyyx
zyxf +−= Rpta:
( )( )( )( )( )
+−−=++−=
+=
−
−
−
22222
22222
122
2
2
2
zyzxzf
zyzxyf
zyxf
z
y
x
En los siguientes ejercicios demostrar lo que se indica:
3. ( ) zyx
n
zfyfxfzyxzyx
zyxf 0;,, =++
−++−=
4. zy
zyx
zxzy
xz
11;
2 2222 =∂∂+
∂∂−=+
5. ( ) 2222 )(;,, zyxfffxzzyxyzyxf zyx ++=++++=
DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Sea RRSf →⊂ 2: una función definida en el conjunto abierto S talque:
( ) ( ) ( )x
yxfyxxfyxf
xx ∆−∆+=
→∆
,,lim,
0
( ) ( ) ( )y
yxfyyxfyxf
yy ∆−∆+=
→∆
,,lim,
0
Son sus derivadas parciales de primer orden de la función f con respecto a las variables x e y entonces las funciones definidas por:
( ) ( ) ( )x
yxfyxxfyxf xx
xxx ∆−∆+=
→∆
,,lim,
0
( ) ( ) ( )y
yxfyyxfyxf yy
yyy ∆−∆+
=→∆
,,lim,
0
( ) ( ) ( )x
yxfyxxfyxf yy
xyx ∆−∆+
=→∆
,,lim,
0
( ) ( ) ( )y
yxfyyxfyxf yy
yxy ∆−∆+
=→∆
,,lim,
0
Si los límites existen son llamadas derivadas parciales de segundo orden de la función f , también se denotan por:
( ) ( )( ) ( )
yy
xx
fy
yxfy
yxfy
fx
yxfx
yxfx
=∂∂=
∂∂
∂∂
=∂∂=
∂∂
∂∂
2
2
2
2
,,
,,
( ) ( )
( ) ( )xy
yx
fxy
yxfx
yxfy
fyx
yxfy
yxfx
=∂∂∂=
∂∂
∂∂
=∂∂∂=
∂∂
∂∂
,,
,,
2
2
Siguiendo el mismo procedimiento podemos hallar las derivadas parciales de orden más superior, como por ejemplo.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )yxxyy
yxxy
yxx
fyxxyy
yxfyxxy
yxfy
fyxxy
yxfyxxyxf
y
fyxxyxf
yxyxf
x
=∂∂∂∂∂∂=
∂∂∂∂∂
∂∂
=∂∂∂∂∂=
∂∂∂∂
∂∂
=∂∂∂∂=
∂∂∂
∂∂
,,
,,
,,
54
43
32
NOTA: La notación con operadores indica que el orden de derivación es de derecha a izquierda, mientras la notación con sub índices indican que el orden de derivación es de izquierda a derecha. PROPOSICIÓN: Sea RRSf →⊂ 2: una función definida en el conjunto abierto S tal que la función y sus derivadas parciales de orden superior son funciones continuas en el conjunto abierto S
entonces se cumple que sus derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales para todo par ( ) Syx ∈, , es decir: ( ) ( ) ( ) Syxyxfyxf yxxy ∈∀= ,;,, Una consecuencia importante de esta proposición es que en una función de varias variables se puede cambiar el orden de derivación sin que por ello se altere el resultado siempre en cuando la función y las derivadas parciales de orden superior sean funciones continuas. Por ejemplo la función f y sus derivadas parciales de orden superior son funciones continuas, entonces se tiene que: ..........==== yyyxxxxxyyxyxyxyxyxxxyyy ffff EJEMPLOS:
1. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de las siguientes funciones:
a. ( ) 244 4, xyyxyxf −+=
b. ( )
−+=
xyyx
yxf1
arctan,
c. ( ) xyezx
zyxf −
++=
11
ln,,
d. 0;2222 >=++ aazyx SOLUCIÓN a. ( ) 244 4, xyyxyxf −+=
( ) 243 44, xyyxyxf x −+=
( )( )( ) xyyxf
xyyyxf
xyxf
yy
y
xx
812,
84,
12,
2
3
2
−=
−=
=
( )( ) yyxf
yyxf
yx
xy
8,
8,
−=
−=
b. ( )
−+=
xyyx
yxf1
arctan,
−+
−++
=xyyx
dxd
xyyx
f x 1.
11
12
( )( ) ( )
( ) ( )( )( )222
2
11
11
xy
yyxxy
yxxy
xyf x
−
−+−−
++−
−=
( ) ( )( )
( ) ( ) 222
2
222
2
2222
2
11
1
1
111
2211
xyxxy
xyf
yxyy
f
yxyxyxxyyxyxy
f
x
x
x
+=
+−
−=
+++
+=
++++−
++−=
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( )222
2
111
.1
1xy
xyxxyyxxy
xyf y
−
−+−−
++−
−=
( ) ( ) ( )( ) 222
2
222
2
2222
2
11
111
111
2211
yyxx
yyxx
f
yxyxyxxyxyxxy
f
y
y
+=
++
+=
+++
+=
++++−
++−=
( )( )
01
21
2
22
22
==
+
−=
+
−=
yxxy
yy
xx
ffy
yf
x
xf
c. ( ) xyezx
zyxf −
++=
11
ln,,
( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
0
11
11
11
.11
11
11
.11
11
.
11
1
2
22
2
2
==−=
=+−=−+−=
+−=++−
++=
−=−+=−+
+++=
−
++
++=
yzxz
xyyy
xyxyxy
yx
xyxx
z
xyy
xyxyx
xyx
ff
exf
fexyef
eyx
f
zzx
xz
f
xef
yex
yezz
xz
f
xydxd
ezx
dxd
zx
f
2. Hallar las derivadas parciales del orden que se indica.
a. xxyf si ( ) ( )xyxyxf ln, =
b. yyyxxxf si ( ) senxysenyxyxf 33, += SOLUCIÓN
a. ( ) ( )xyxyyxy
xf x ln1ln.1
. +=+=
xxyy
f xx
1==
0=xxyf
b. senxyyxf y23 3cos +=
ysenxsenyxf yy 63 +−=
( )xyxyf
senxyxf
xyxf
senxyxf
yyyxxx
yyyxx
yyyx
yyy
coscos6cos6cos6
6cos6
cos6cos3
6cos2
3
+−=−−=
−−=
+−=
+−=
3. Si ( )ysenyyxez x−= cos , hallar:
2
2
2
2
yz
xz
∂∂+
∂∂
SOLUCIÓN
( )( )
( ) ( )( )( )( )
( )( )( )yysenyyx
yyysenyyxey
z
yysenyxe
yysenyxesenyyyxsenyeyz
ysenyyxeyeyex
z
eysenyyxyexz
x
x
xx
xxx
xx
cos2cose
coscoscos
cos1
cos1cos
coscoscos
coscos
x
2
2
2
2
−+−=
−+−−−=∂∂
++−=
−+−=−−−=∂∂
−++=∂∂
−+=∂∂
( )[ ]( )[ ]
0cos2coscos
cos2cose
coscoscos
2
2
2
2
x
2
2
2
2
=−+=∂∂+
∂∂
−+−+
−++=∂∂+
∂∂
yeyeyey
zx
z
yysenyyx
ysenyyxeyeyey
zx
z
xxx
xxx
4. Si ( )( )[ ]yxyxz −+= ln , hallar 2
22
2
2
2y
zxyz
xz
∂∂+
∂∂∂−
∂∂
SOLUCIÓN
( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )222
22
222
222
222
22
2
2 2224222
211.1
yx
yx
yx
yxx
yx
yxxxxz
xyxyxyxyxyxyxx
z
−+−=
−++−=
−−+−=
∂∂
=−++=−++−+
=∂∂
( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )222222
2
222
22
222
222
222
22
2
2
2222
422
2422222
211.
1
yx
xy
yx
yxxz
yz
xyz
yx
yx
yx
yyx
yx
yyyxy
z
yxy
yxyxyx
yxyxyz
−=−−−=
∂∂
∂∂=∂∂
∂−+−=−
−+−=−−−−−−=∂
∂−
−=−−+−+
−+=∂∂
( ) ( )( )222
2222
2
22
2
2 2822
yx
yxxyyxy
zxyz
xz
++−−+−=
∂∂+
∂∂∂−
∂∂
5. Dada la función ( ) ( )yxgeyxf byax ,, +
= donde ( ) ( ) 1,, == yxgyxg yx . Hallar los
valores de las constantes a y b tales que: ( ) ( )yxfyxf yx ,, = ;
( ) ( )yxfayxf yxxy ,,1 +=+ SOLUCIÓN:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )yxageeyxagef
eyxagyxgef
ex
yxgyxgx
ef
byaxbyaxbyaxx
byaxx
byaxx
byaxbyaxx
,1,
,,
,,
1
+=+=
+=∂∂+
∂∂=
+++
++
++
43421
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )yxbgeeyxbgef
eyxbgyxgef
ey
yxgyxgy
ef
byaxbyaxbyaxy
byaxy
byaxy
byaxbyaxy
,1,
,,
,,
1
+=+=
+=∂∂+
∂∂=
+++
++
++
43421
Como ( ) ( )yxfyxf yx ,, =
( )( ) ( )( ) bayxbgeyxage byaxbyax =⇒+=+ ++ ,1,1
( ) ( )[ ]( )( )
( ) ( )[ ]( )( )byxabgaef
eyxgaeyxgbaef
ayxabgbef
eyxgbeyxgabef
byaxyx
byaxx
byaxbyaxyx
byaxxy
byaxy
byaxbyaxxy
++=
++=
++=
++=
+
+++
+
+++
,
,,
,
,,
Luego: ( ) ( )yxfayxf yxxy ,,1 +=+
( )( ) ( )( )1
,,1=⇒
+++=+++ ++
a
byxabgaeaayxabgbe byaxbyax
Por lo tanto: 1== ba INCREMENTO Y DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Sea RRSf →⊂: una función definida en el conjunto abierto S tal que ( )xfy = sabemos que el incremento de la función f en el punto predeterminado a S esta dado por:
( ) ( ) ( )xfxxfxf −∆+=∆
También si RRSf →⊂ 3: es una función de tres variables independientes definida en S tal que ( )zyxfw ,,= entonces el incremento de f en el punto ( ) Szyx ∈,, está dado
por: ( ) ( ) ( )zyxfzzyyxxfzyxf ,,,,,, −∆+∆+∆+=∆ Siguiendo el mismo procedimiento se puede hallar los incrementos de funciones de cualquier número de variable. DEFINICIÓN: Si RRSf →⊂ 2: una función de dos variables independientes definida en el punto
( ) Syx ∈, entonces la diferencial total de la función f es la función df definida por:
( ) ( ) yyxfxyxfdf yx ∆+∆= ,,
O lo que es lo mismo: ( ) dyyf
dxxf
yxdf∂∂+
∂∂=, donde: dyy =∆
Del mismo modo si RRSf →⊂ 3: es una función definida en S tal que ( )zyxfw ,,=
entonces la diferencial total de función f en el punto ( ) Szyx ∈,, está dado por:
( ) dzzf
dyyf
dxxf
zyxdf∂∂+
∂∂+
∂∂=,,
Y así sucesivamente se puede hallar la diferencial total de funciones de cualquier número de variables. OBSERVACIONES:
Se tiene que: ( ) ( ) ( ) ( )yxdfdyyf
dxxf
yyxfxyxfyxf yx ,,,, ≅∂∂+
∂∂≅∆+∆≅∆
O lo que es lo mismo: ( ) ( ) ( )yxdfyxfyyxxf ,,, ≅−∆+∆+ De aquí que el incremento de una función se puede aproximar por diferenciales. Por otro lado si una cantidad ( )yxfz ,= se aproxima mediante otra cantidad ( )yyxxf ∆+∆+ , con un error de fz ∆=∆ se tiene los siguientes valores:
1.
ff
zz ∆=∆ se llama error relativo.
2. ff
zz ∆=∆
100100 se llama error porcentual
Y teniendo en cuenta el hecho de que el incremento de la función dff ≅∆ se tiene:
1’. f
dfz
dz= error relativo aproximado
2’. f
dfz
dz100100 = error porcentual aproximado
DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Dado una función de dos variables independientes con derivadas parciales de orden superior continuas en el conjunto S sabemos que:
( )
dyyg
dxxg
fd
dgdfdfd
∂∂+
∂∂=
==2
2
( ) ( ) ( ) ( )22
2222
2
2
2
222
2
2
2
dyyf
dxdyyxf
dydxxyf
dxxf
dydyyf
dxyxf
dxdyxyf
dxxf
dydyyf
dxxf
ydxdy
yf
dxxf
xfd
∂∂+∂∂
∂+∂∂∂+∂
∂=
∂∂+∂∂
∂+
∂∂∂+∂
∂=
∂∂+∂
∂∂∂+
∂∂+∂
∂∂∂=⇒
Como f y sus derivadas de orden superior son continuas, entonces: xyf
yxf
∂∂∂=
∂∂∂ 22
( ) ( )
( ) ( )
fdyy
dxx
fd
fdyy
dxdyxy
dxx
fd
dyyf
dxdyxyf
dxxf
2
2
22
222
2
22
22
222
2
2
2
2
∂∂+∂
∂=
∂∂+∂∂
∂+∂∂=
∂∂+∂∂
∂+∂∂⇒
Procediendo en forma similar la diferencial de orden “n” para la función f está dado por:
fdyy
dxx
fdn
n
∂∂+∂
∂=
Análogamente es una función de 3 variables independientes ( )zyxgw ,,= tenemos que:
( ) gdzz
dyy
dxx
dzzg
dyyg
dxxg
zyxdgdw
∂∂+∂
∂+∂∂=∂
∂+∂∂+∂
∂== ,,
Entonces:
gdzz
dyy
dxx
gdwdn
nn
∂∂+∂
∂+∂∂==
EJEMPLOS: 1. Hallar la diferencial total de las siguientes funciones. a. ( ) 22, yxyxyxf +−=
b. ( )22
,yx
xyyxf
+=
c. )cos(),( yxeyxf xy +=
d. z
yx
xyzyx )(),,( +=µ
SOLUCIÓN
a. ( ) 22, yxyxyxf +−=
dyyf
dxxf
df∂∂+
∂∂=
yxxf
fX −=∂∂= 2
xyyf
f y −=∂∂= 2
dyxydxyxdf )1()2( −+−=
b. ( )22
,yx
xyyxf
+=
dyyf
dxxf
yxd∂∂+
∂∂=),(
222
23
222
232
222
22
)()(2
)()2)(()(
yxyxy
yxyxyyx
yxxxyyyx
xf
+−=
+−+=
+−+=
∂∂
222
23
222
223
222
22
)()(2
)()2)(()(
yxyxx
yxyxxyx
yxyxyxyx
yf
+−=
+−+=
+−+=
∂∂
dyyxxyx
dxyx
yxydf
+−+
+−= 222
23
222
23
)()(
[ ]dyxyxdxyxyyx
df )()()(
1 2323222 −+−
+=
c. )cos(),( yxeyxf xy +=
dyy
fdydx
xf
yxdf∂
∂+∂∂=),(
xyxy yeyxyxsenexf
)cos()1)(( +++−=∂∂
))cos()(( yxyyxsenexf xy +++−=
∂∂
xyxy xeyxyxseneyf
)cos()1)(( +++−=∂∂
)cos()(( yxxyxseneyf xy +++−=∂∂
Luego:
dyyxsenyxxedxyxyyxsenedf xyxy ))()cos(())cos()(( +−+++++−=
[ ]dyyxsenyxxdxyxsenyxyedf xy )()cos(()()cos(( +−+++−+=
d. z
yx
xyzyx )(),,( +=µ
dzz
dyy
dxx
d∂∂+
∂∂+
∂∂= µµµµ
)1
()()1
()(2
11
yy
yx
xyzy
yyx
xyzx
zz ++=++=∂∂ −−µ
)()()()(2
21
21
yxxy
yx
xyzyx
xyx
xyzy
zz −+=−+=∂∂
−−µ
12
2
)()1(
−+−=∂∂ z
yx
xyyyxz
yµ
)()()1)(()(yx
xyLnyx
xyyx
xyLnyx
xyz
zz ++=++=∂∂µ
Luego:
))()()1()1(
()( 2
221 dz
yx
xyLnyx
xydyyyxz
dxy
yz
yx
xyd z +++−
++
+= −µ
2. Si xez z cos= . Hallar zd 3
SOLUCIÓN:
zdyy
dyx
zd 33 )(∂∂+
∂∂=
zdyy
dxdyyx
dydxyx
dxx
zd )33
( 33
32
2
22
2
23
3
33
∂∂+
∂∂∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂=
zdyy
dxdyyx
dydxyx
dxx
)33
( 33
32
2
32
2
33
3
3
∂∂+
∂∂∂+
∂∂∂+
∂∂=
zdyy
zyxz
dydxyxz
dxx
z)
33( 3
3
3
2
32
2
33
3
3
∂∂+
∂∂∂+
∂∂∂+
∂∂=
senxex
zxe
xz
senxexz yyy =
∂∂−=
∂∂−=
∂∂⇒ 3
3
2
2
; cos ;
xey
zxe
yz
xeyz yyy cos,cos,cos 3
3
2
2
=∂∂=
∂∂=
∂∂
∂∂
∂∂=∂
∂=∂∂
∂∂=∂∂
∂)cos()cos()( 2
2
2
2
2
3
xexx
xexy
zxyx
z yy
xesenxex
yy cos)( −=−∂∂=
senxexexy
zxyx
z yy −=∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂∂
)cos()(2
2
2
2
3
)cos3cos3( 32233 xdyesenxdxdyedyxdxesenxdxezd yyyy +−−= )cos3cos3( 32233 xdysenxdxdydyxdxsenxdxezd y +−−=
3. Hallar el valor aproximado utilizando diferenciales de: ( ) ( ) ( )222 97,599,102,5 ++ SOLUCIÓN: ( ) ( ) ( ) ( )222 03,06001,0202,03,, −+−++=∆+∆+∆+ zzyyxxf
Sea ( ) 222,, zyxzyxf ++= Tomar:
03,0 ; 601,0 ; 2
02,0 ; 3
−==
−==
==
dzz
dyy
dxx
( ) dzzf
dyyf
dxxf
zyxf∂∂+
∂∂+
∂∂=,,
222222222 ; ;
zyx
zzf
zyx
yyf
zyx
xxf
++=
∂∂
++=
∂∂
++=
∂∂
( ) dzzyx
zdy
zyx
ydx
zyx
xzyxdf
222222222,,
+++
+++
++=
( ) ( ) ( ) ( ) 02,003,0496
01,0492
02,0493
6,2,3 −=−+−+=df
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) 98,602,049
03,06001,0202,03,,
,,,,,,,,,,
222
=−+=−+−++=∆+∆+∆+
≅−∆+∆+∆+≅∆⇒≅∆
zzyyxxf
zyxdfzyxfzzyyxxf
zyxdfzyxfdff
4. Se desea embalar un televisor cuyas dimensiones son 55cm de largo, 40cm de
ancho y 80cm de altura con un material homogéneo cuyo peso es de 3/201
cmgr
si el grosor del embalaje lateral es de 5cm mientras que de la base y la parte superior de 2,5cm cada uno. Usando diferenciales calcular aproximadamente es peso de la envoltura. SOLUCIÓN:
Sea: =x el largo de la parte interior del volumen =y el ancho de la parte interior del volumen =z la altura de la parte interior del volumen
cmc
cmbcma
85)5,3(28060)5(24065)5(255
=+=
=+=
=+=
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )54055108055108040 ++=++=
∂∂+
∂∂+
∂∂≅
=
dV
xydzxzdyyzdxdV
dzzV
dyyV
dxxV
dV
xyzV
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )[ ]201
54055108055108040/ ++=×= nPcdVPe
435055022001600 =++=Pe DERIVACIÓN DE FUNCIONES COMPUESTAS Para funciones diferenciales de una variable real la llamada regla de la cadena es un método para derivar una composición de funciones. En efecto: Si )(xfy = con )(xgu = entonces: ( ) ( )[ ]xgfxgfy == )(o
Luego: ( )[ ] ( )xgxgfdxdu
dudy
dxdy
''==
Ahora veremos la regla de la cadena para funciones de dos variables donde cada una de estas variables es a su vez función de otras 2 variables. Así consideramos las funciones: RRfRRg →∧→ 222 : : donde ( ) ( ) ( ) zyxfyxvug == , ,, Al hacer la composición de estas funciones obtenemos una nueva función gf o=β definido por ( )[ ] zvugf == ,β
Como z es función ( ) zvu =,β es una función de dos variables podemos hallar las derivadas parciales de z con respecto a las variables u y v mediante las siguiente regla de la cadena. Sea RRSf →⊂ 2: una función definida por ( )yxfz ,= tal que ( ) ( )vufyvugx ,;, == son funciones diferenciales con respecto a las variables u y v .
Si las derivadas parciales vy
uy
vx
ux
yz
xz
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
;;;;; existen, entonces, z es función de
las variables u y v tal como se observa en el siguiente diagrama.
Entonces las derivadas parciales de z con respecto a las variables u y v está dado por:
vy
yz
vx
xz
vz
uy
yz
ux
xz
uz
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
;
OBSERVACIÓN: 1. En el siguiente diagrama el exponente del dominio de la función g indica el
número de ecuaciones diferenciales y el exponente del rango de la función g indica el número de términos que debe tener cada ecuación diferencial en el segundo miembro así por ejemplo:
; ; ry
yz
rx
xz
rz
vy
yz
vx
xz
vz
uy
yz
ux
xz
uz
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
sz
zw
sy
yw
sx
xw
sw
rz
zw
ry
yw
rx
xw
rw
vz
zw
vy
yw
vx
xw
vw
uz
zw
uy
yw
ux
xw
uw
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
;
;
DEFINICIÓN: Sea RRSf →⊂ 3: una función definida por ( )zyxfw ,,= tal que
( ) ( ) ( )tgztgytgx 321 ; ; === son funciones diferenciales respecto a la variable t en este caso en lugar de una derivada parcial se obtiene una derivada total. En efecto:
dtdz
zw
dtdy
yw
dtdx
xw
tw
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
EJEMPLOS:
1. Por la regla de la cadena hallar las derivadas correspondientes de las siguientes
funciones: a. xyez /
= ; srx cos2= ; rsensy 4= b. yxz 2
= ; tx cos= ; senty =
c. 222 zyxw ++= ; sex r cos= ; sensey r= ; sez =
d. 2222 )( yxyxLnz +++= ; tex t cos= ; sentey t=
e. yx3=µ ; tyx =+5 ; 232 tyx =+
SOLUCIÓN
a. xyez /= ; srx cos2= ; rsensy 4=
( ) ( )( )
( )[ ] 044
cos2
cos2cos2
44
cos2
cos241
41
cos2
tan2
cos24
/
//2
=−=∂∂
−=∂∂
−=∂∂
+−=∂∂
∂∂+∂
∂∂∂=∂
∂
senssenssr
erz
ssr
rsenssens
sre
rz
sxy
sensexr
z
sensex
sexy
ry
yz
rx
xz
rz
s
srrsens
xy
xyxy
sy
yz
sxxz
sz
∂∂
∂∂+
∂∂∂∂=
∂∂ )4(
1)2( //
2 rsensex
rsenssexy xyxy +−−=
+=
−=∂∂
)2(cos2
4cos4
cos2)2(cos4
1 tan2/ rsens
srrsens
srsr
ersens
xy
srexs
z sxy
+=∂∂
sssen
ss
esz s
cos22
cos2cos2
2tan2
se s
2
tan2
cos2=
b. yxz 2
= ; tx cos= ; senty =
dtdy
yz
dtdx
xz
dtdz
∂∂+
∂∂=
)(coscos))((cos2cos2 222 tttsenttxxysentdtdz
+−=+−= )2(coscos 22 tsentt −=
c. 222 zyxw ++= ; sex r cos= ; sensey r
= ; sez =
rz
zw
ry
yw
rx
xw
rw
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂+∂
∂++=
ry
yrx
xzyx 222
1
)cos.cos(1
22sensesensesese
eerw rrrr
sr−+
+=
∂∂
sr
r
ee
e22
2
+=
szzw
sy
yw
sxxw
sw
∂∂∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂∂∂=
∂∂
∂∂+∂
∂+∂∂
++=sz
zsy
ysx
xzyx 222
1
))cos()(cos(1
22
ssrrrr
sreesesensesensese
eesw ++−
+=
∂∂
sr
s
ee
e22
2
+=
d. 2222 )( yxyxLnz +++= ; tex t cos= ; sentey t
=
dtdy
yz
dtdx
xz
tz
∂∂+
∂∂=
∂∂
)12
.(coscoscos22
22222+=+=
++
+=
∂∂
tt
t
t
t
et
ete
ete
yx
xyx
xxz
)(coscos senttetesentedtdx ttt −=+−=
)12
(22
222
22 +=+=+
++
=∂∂
tt
t
t
t
esent
esente
esente
yx
yyx
xyz
)(coscos senttesentetedtdy ttt +=+=
)(cos)12
()(cos)12
(cos senttee
sentsenttee
tdtdz t
tt
t +++−+=
[ ])(cos)(coscos)12
( senttsentsenttte
edtdz
tt ++−+=
tt
tt etsent
ee
edtdz
+=++
= 2))(cos2
( 22
e. yx3=µ ; tyx =+5 ; 232 tyx =+
dtdy
ydtdx
xdtd
∂∂+
∂∂= µµµ
.(*)..........3 32
dtdy
xdtdx
yx +=
( )( ) tx
dtdy
yxdtdx
x
dtdy
dtdx
x
dtdy
ydtdx
x
dtdy
dtdx
x
x3234
4
2
2
3 101510
2210
232
15
5
2
−=−−=+
⇒
=+
=+
−
( ) txdxdy
yx 323 102152 −=−
22315
2310152102
23
3
−−=
∂⇒
−−=
yx
txt
dyyxtx
dtdy
=+
−=−−
tdtdy
ydtdx
x
ydtdy
ydtdx
yx
232
3315
2
2224
xyxty
dtdx
ytdtdx
yxx
21523
32)152(
24
2
224
−
−=
−=−
En (*)
)215
210()
21523
(3 23
33
24
22
−
−+
−
−=
yxtx
xxyx
tyyx
dtdµ
215)210()23(3
23
232
−
−+−=
yxtxxtyxy
2. Si ( )2222 ; xyyxfw −−= . Hallar
∂∂+∂
∂yw
xxw
y
SOLUCIÓN
( ) ( )( ) vuvu xfxfxvufxvufxv
vw
xu
uw
xw
222,2, −=−+=∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
( )( ) ( )( ) yfyfyvufyvufyv
vw
yu
uw
yw
uvu 222,2, +−=+−=∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
( ) ( ) 02222 =+−+−=
∂∂+∂
∂yfyfxxfxfy
yw
xxw
y uvu
3. Si ( )yxfz ,= es diferenciable en yx , ; si θcosrx = ; θrseny = Hallar:
22
∂∂+
∂∂
yz
xz
SOLUCIÓN
θθ senyz
xz
ry
yz
rx
xz
rz
∂∂+
∂∂=
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
cos
θθθθθθ 2
2
2222
cos2coscos senyz
yz
xz
senxz
senyz
xz
rz
∂∂+∂
∂∂∂+
∂∂=
∂∂+∂
∂=
∂∂
( ) ( )θθθθθ
cosryz
rsenxzy
yzx
xzz
∂∂+−
∂∂=
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
( ) ( )
θθθθθ
θθθ
22
2
22222
22
coscos2
cos
ryz
yz
xz
senrsenrxzz
ryz
rsenxzz
∂∂+∂
∂∂∂−
∂∂=
∂∂
∂∂+−∂
∂=
∂∂
θθθθθ
2
2
222
2coscos2
1
∂∂+∂
∂∂∂−
∂∂=
∂∂
yz
yz
xz
sensenxzz
r
Por lo tanto:
222
2
2
2
2
22
2
2
222
2
2
1
coscos2
cos2cos1
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂
∂∂+∂
∂∂∂−
∂∂
+
∂∂+∂
∂∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂
yz
xzz
rrz
yz
yz
xz
sensenxz
senyz
yz
xz
senxzz
rrz
θ
θθθθ
θθθθθ
4. Si
+=xz
xy
xfxzxy
w ;ln hallar: zw
zyw
yxw
x∂∂+
∂∂+
∂∂
SOLUCIÓN
( )*....................,,ln
,,ln1
∂∂+
++=∂
∂∂∂
+
∂∂++=∂
∂
xz
xy
fx
xxz
xy
fxzy
zy
xw
xx
xz
xy
fxz
xy
fx
xxzy
xzxy
xw
Sea xz
v =∧=xy
u
vu fxz
fxy
xz
vf
xy
xf
xxz
xy
f−−=
−∂
∂+
−∂∂=∂
∂22
,
Por lo tanto:
vu
vu
zfyfxz
xy
fxzy
zy
xw
fxz
fxy
xxz
xy
fxzy
zy
xw
−−
++=∂∂
−−+
++=∂∂
,ln
,ln
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES
EJEMPLOS:
1. Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera que es paralelo al
plano
SOLUCIÓN
( ) ( ) 0.: 00 =∇− PFPPPT
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )0000
222
00
,,2,,22,2,2,,
01,,
10,6,8
*...........................////
zyxPF
zyxzyxzyxF
zyxzyxF
N
NKPFNPFPPT
=∇==∇
=−++==
=∇⇒∇⇒
En (*): ( ) ( )
( ) ( )
kz
ky
kx
kkkzyx
kzyx
5
3
4
5,3,4,,
5,3,42,,2
0
0
0
000
000
=
=
=
=
=
Como ( )zyxFP ,,0 ∈ ��se cumple que:
( )( ) ( ) ( )
25
1k 150k 1534
01,,
2222
20
20
20000
±=⇒=⇒=++
=−++=
kkk
zyxzyxF�
Entonces:��25
5 ;
25
3 ;
25
4000 ±=±=±= zyx �
( ) ( ) ( )10,6,825
1
25
5 ;
25
3 ;
25
42,,2 0000 ±=
±±±==∇ zyxPF �