funÇÃo do 2º grau ou funÇÃo quadrÁtica. definiÇÃo: a função f: ir em ir dada por f(x) =...
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FUNÇÃO DO 2º GRAU FUNÇÃO DO 2º GRAU
OUOU
FUNÇÃO QUADRÁTICAFUNÇÃO QUADRÁTICA
DEFINIÇÃO: DEFINIÇÃO:
A função f: IR em IR dada por A função f: IR em IR dada por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a ≠ 0, denomina-se reais e a ≠ 0, denomina-se função quadrática ou função função quadrática ou função do 2º grau.do 2º grau.
São exemplos de função de função do 2º grau:
f(x) = x² - 4x – 3, onde a = 1, b = - 4 e c = - 3
f(x) = x² - 9, onde a = 1, b = 0 e c = - 9
f(x) = 6x², onde a = 6, b = 0 e c = 0
f(x) = - 4x² + 2x, onde a = - 4, b = 2 e c = 0
Ex.: Considere a função do 2º grau f(x) = ax² + bx + c. Sabendo que f(0) = 5, f(1) = 3 e f(- 1) = 1, calcule os valores de a, b e c e escreva a função f.
Solução:
Inicialmente iremos substituir o valor de x e f(x) na função f(x) = ax² + bx + c. Assim:
f(0) = a.0² + b.0 + c, como f(0) = 5 vem que:C = 5f(1) = a.1² + b.1 + ca + b + c = 3, substituindo o valor de c fica:a + b + 5 = 3a + b = - 2
f(- 1) = a.(- 1)² + b(- 1) + ca – b + c = 1a – b + 5 = 1a – b = - 4
Resolvendo o sistema:
4
2
ba
ba
32
6
62
4
2
a
a
a
ba
ba
Substituindo o valor de a em uma das equações teremos:
1
32
23
2
b
b
b
ba
Portanto os valores de a = - 3, b = 1 e c = 5. A função tem sua representação algébrica f(x) = - 3x² + x + 5
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
Para construir o gráfico de uma função quadrática ou do 2º grau no plano cartesiano, vamos proceder da seguinte maneira:1.Atribuindo valores a x;2.Representando os pontos no plano cartesiano;3.Ligando os pontos de variável real.
Ex.: represente no plano cartesiano a função real f(x) = x² - 6x + 5.
Solução:
Construindo uma tabela com valores arbitrários para x vem
x f(x) = x² - 6x + 5 (x, y)
1 f(1) = 1² - 6.1 + 5 = 1 – 6 + 5 = - 5 + 5 = 0 (1, 0)
2 f(2) = 2² - 6.2 + 5 = 4 – 12 + 5 = - 8 + 5 = - 3 (2, - 3)
3 f(3) = 3² - 6.3 + 5 = 9 – 18 + 5 = -9 + 5 = - 4 (3, - 4)
4 f(4) = 4² - 6.4 + 5 = 16 – 24 + 5 = - 8 + 5 = - 3 (4, - 3)
5 f(5) = 5² - 6.5 + 5 = 25 – 30 + 5 = - 5 + 5 = 0 (5, 0)
Representando os pontos no plano cartesiano teremos:
E por fim a representação gráfica da função quadrática
ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Denomina-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x) = 0.
•Se ∆ > 0, a função tem dois zeros reais e distintos (x’ ≠ x’’)
•Se ∆ = 0, a função apresenta tem dois zeros iguais (x’ = x’’)
•Se ∆ < 0, a função não tem zero real
Ex.: Vamos encontrar, se existir, os zeros da função f(x) = x² - 4x – 5.
Solução:
054² xx
)5.(1.4)²4(
4²
acb
0362016 Como ∆ > 0 a função tem dois zeros reais. Assim:
a
bx
2
Calculemos agora seus zeros:
1.2
36)4( x
12
2
2
64''
52
10
2
64'
2
64
x
xx
Logo, os zeros da função são – 1 e 5
Ex.: Determinar os zeros da função y = x² - 2x + 6.
0202446.1.4)²2( Como ∆ < 0, a função não tem zero real
Ex.: Determinar os zeros da função y = 4x² + 20x + 25.
Solução:
Solução:
040040025.4.4)²20(
Como ∆ = 0 a função tem dois zeros reais e iguais.Continuemos então a resolução:
4.2
020 x
8
020 x
2
5
8
20'''
xx
INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DOS ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Pela definição dada anteriormente, vimos que os zeros ou raízes da função f(x) = ax² + bx + c sâo os valores de x para os quais f(x) = 0
Ex.: Construir o gráfico da função f(x) = x² - 2x – 3.
Solução:
Fazendo a construção da tabela podemos montar o gráfico f(x).
x y
-2 5
-1 0
0 -3
1 -4
2 -3
3 0
4 5
Note que a função intercepta o eixo das abscissas em dois pontos distintos, ou seja, para esses dois valores f(x) = 0.Portanto temos os zeros da função quadrática.
ESTUDO DO VÉRTICE DA PARÁBOLA
A parábola, que representa o gráfico da função f(x) = ax² + bx + c, passa por um ponto V, chamado vértice, cujas coordena-das são:
)(2
abscissaa
bxv )(
4ordenada
ayv
Os esboços dos gráficos, nos diversos casos são os seguintes:
0
a
b
2
a4
0
0
Logo: O vértice da parábola é o ponto
aa
bV
4,
2
O pensamento é muito mais importante do que o conhecimento “Albert Heinstein”