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Preliminares Funciones polin omicas y racionales Funci on exponencial y logarıtmica Funciones trigonom etricas
Funciones de una variable (I)
Sesion teorica 7
5 de octubre de 2010
Preliminares Funciones polin omicas y racionales Funci on exponencial y logarıtmica Funciones trigonom etricas
1 Preliminares
2 Funciones polinomicas y racionales
3 Funcion exponencial y logarıtmica
4 Funciones trigonometricas
Preliminares Funciones polin omicas y racionales Funci on exponencial y logarıtmica Funciones trigonom etricas
Funci on
Definici onLlamaremos funcion real de una variable real a toda regla deasignacion f entre subconjuntos X e Y de R de modo que acada elemento x ∈ X le hace corresponder uno y solo unoy = f (x) ∈ Y :
f : X ⊆ R → R.
X se denomina dominio de definicion de f e Y es el codominio.
Ejemplos: f (x) = 1x , g(x) = 1√
x3−8, funcion signo (sg(x)),
funcion valor absoluto.
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Representaci on gr afica
Definici onSi f : X ⊆ R → R es una funcion real de una variable real, sedefine la grafica de f de la siguiente manera:
Graf (f ) = {(x , y) ∈ R2 | y = f (x), x ∈ X}.
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Funci on inyectiva
Definici onUna funcion f : X ⊆ R → R es inyectiva si, dados x 6= x∗
cualesquiera de X entonces f (x) 6= f (x∗).
Graficamente, una funcion es inyectiva si cualquier rectahorizontal corta a lo sumo una vez a la grafica de la funcion.
La funcion de la izquierda es inyectiva, mientras que la de la derecha no lo
es.
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Funci on inversa
Si una funcion es inyectiva en un dominio X entonces, tomandoY = f (X ), la funcion f : X → Y es biyectiva, es decir, a cadaelemento x de X le corresponde exactamente un elemento yde Y y viceversa. Entonces podemos definir la funcion:
f−1 : Y → X
tal que, para cada y ∈ Y , f−1(y) es aquel elemento x de X conf (x) = y .
Se cumple que f−1(f (x)) = x para todo x ∈ X y quef (f−1(y)) = y para todo y ∈ Y .
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Graficamente: (y , x) ∈ Graf (f−1) ⇔ (x , y) ∈ Graf (f )Es decir: las graficas de f y f−1 son simetricas respecto a labisectriz del primer cuadrante:
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1 Preliminares
2 Funciones polin omicas y racionales
3 Funcion exponencial y logarıtmica
4 Funciones trigonometricas
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Funciones polin omicas
1 Dominio: R.2 Sus graficas cortan al eje de abcisas, como maximo, en n
puntos distintos (donde n es el grado del polinomio quedefine la funcion).
3 Cuestion: Demuestra que toda funcion polinomica degrado impar corta al eje de abcisas al menos una vez.
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f (x) = (x + 1)(x − 1)(x − 2)(x − 4)
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f (x) = (x + 1)(x − 2)2(x − 4)
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f (x) = (x + 1)(x2 − 4x + 5x)(x − 4)
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Funciones racionales
Las funciones racionales son aquellas que son cociente de dospolinomios:
f (x) =p(x)
q(x), p, q ∈ R[x ].
1 Dominio: {x ∈ R | q(x) 6= 0}2 Cada cero de q (que no sea tambien cero de p)
proporciona una asıntota vertical de la grafica de f .
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1 Preliminares
2 Funciones polinomicas y racionales
3 Funci on exponencial y logarıtmica
4 Funciones trigonometricas
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Funci on exp(x) (tambi en denotada por ex )
Definici onDado x ∈ R cualquiera definimos:
exp(x) = ex := lımn→∞
(1 +
xn
)n.
Definici onLlamaremos numero e al valor
exp(1) = lımn→∞
(1 +
1n
)n
.
OBSERVACION: e ≈ 2, 718281828459046 . . . es irracional.
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Propiedades
1 exp(x) es siempre positiva y monotona creciente.2 exp(0) = 1.3 exp(x)exp(y) = exp(x + y).4 exp(−x) = 1
exp(x)
5 exp(x)exp(y) = exp(x − y).
6 exp(pq ) = ep/q = q
√p para todo racional p/q.
7 exp(x) posee una asıntota horizontal (el eje de abcisas).
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Funci on logaritmo natural
La funcion exp(x) es inyectiva, luego tiene funcion inversa.
Definici onEl logaritmo natural, o neperiano, o de base e, denotado porlog(x), se define como la funcion inversa de exp(x).
log : R+ → R, y = log(x) ⇔ x = exp(y)
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Grafica de log(x)
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Propiedades
1 El dominio de log(x) es R+.2 log(x) es estrictamente creciente.3 El eje de ordenadas es una asıntota vertical.4 log(1) = 0.5 log(xy) = log(x) + log(y).6 log(x/y) = log(x)− log(y).7 log(xα) = αlog(x) para todo α ∈ Q.
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Funci on exponencial
Definici onDado a > 0 y x ∈ R se define
ax := exp(x · log(a)) = ex ·log(a)
Propiedades:
1 axay = ax+y
2 ax/ay = ax−y
3 axbx = (ab)x
4 ax/bx = (a/b)x
5 log(ax) = x · log(a)
6 (ax)y = axy
7 ap/q = q√
ap si p, q ∈ N
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Funci on logaritmo
La funcion exponencial en base a 6= 1 tiene inversa.
Definici onSi a > 0 y a 6= 1, se define la funcion logaritmo en base a, y sedenota por loga(x), como la funcion inversa de la exponencialax .
loga : R+ → R y = loga(x) ⇔ ay = x
Observacion: log ∼= loge.
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Grafica de loga(x)
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Expresi on de cualquier logaritmo en funci on dellogaritmo natural
y = loga(x) ⇔ x = ay = ey log(a) ⇔ log(x) = y log(a) ⇔ y =log(x)
log(a)
Por tanto:
La funcion logaritmo de base a 6= 1 cualquiera puedeobtenerse a partir del logaritmo neperiano:
loga(x) =log(x)
log(a).
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3 Funcion exponencial y logarıtmica
4 Funciones trigonom etricas
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Funciones seno y coseno
Definici on
Dado un numero real x , se definen cos(x) y sen(x) como las coordenadasdel punto P de la circunferencia unidad tal que el area OPQ es x/2 o,equivalentemente, la longitud del arco de circunferencia que va de Q a P esx .
NOTA: Se entendera que, si x es positivo, el arco QP se recorre en sentido
anti-horario y, si x es negativo, se recorre en sentido horario.
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Propiedades
1 sen(x) y cos(x) son funciones periodicas de perıodo 2π.2 sen2(x) + cos2(x) = 13 sen(−x) = − sen(x), cos(−x) = cos(x)
4 sen(x + y) = sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y)
5 cos(x + y) = cos(x) cos(y)− sen(x) sen(y)
6 sen(2x) = 2 sen(x) cos(x)
7 etc.
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Tangente y cotangente
A partir de las funciones seno y coseno se definen:
tan(x) =sen(x)
cos(x)cot(x) =
cos(x)
sen(x)
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Graficas
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Funciones trigonom etricas inversas
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Funciones trigonom etricas hiperb olicas
Definici on
Hiperbola unidad: {(x , y) ∈ R2 | x2 − y2 = 1}.
(cosh(x), senh(x)) son las coordenadas del punto P de lahiperbola unidad tal que el area de la region OPQ es x/2.
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Propiedades
senh(x) =ex − e−x
2y cosh(x) =
ex + e−x
2cosh2(x)− senh2(x) = 1
cosh(x)− senh(x) = e−x
cosh(x) + senh(x) = ex
Tambien pueden definirse la tangente y la cotangentehiperbolicas:
tanh(x) =sinh(x)
cosh(x)
coth(x) =cosh(x)
senh(x)para x 6= 0
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Graficas
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Funciones inversas de las hiperb olicas
Inversa de sinh(x): Argumento del seno hiperbolico:
arg senh(x)
Inversa de cosh(x): Argumento del coseno hiperbolico:
arg cosh(x)
Inversa de tanh(x): Argumento de la tangente hiperbolica:
arg tanh(x)
Inversa de coth(x): Argumento de la cotangentehiperbolica:
arg coth(x)
Estas funciones admiten expresiones en terminos delogaritmos (veanse los apuntes).