funciones escalón unitario y delta de dirac
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Funciones Escalón Unitario y Delta de DiracTRANSCRIPT
CURSO: CÁLCULO 4
Tema: FUNCIONES: ESCALÓN UNITARIO Y DELTA DE DIRAC
UNIVERSIDAD
PRIVADA DEL NORTEN
1. Introduccion
La funcion escalon de Heaviside, tambien llamada funcion escalon unitario, debe su nom-bre al matematico ingles Oliver Heaviside. Es una funcion discontinua cuyo valor es 0 paracualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo. Tiene aplicaciones en in-genierıa de control y procesamiento de senales, representando una senal que se enciende en untiempo especıfico, y se queda prendida indefinidamente.
En ingenierıa es comun encontrar funciones que corresponden a estados de sı o no, o bienactivo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actua sobre un sistema mecanico o unatension electrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse despues de cierto tiempo.Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una funcionespecial llamada funcion escalon unitario o funcion Heaviside.
La funcion Heaviside, es una funcion discontinua cuyo valor es 1 para el argumentopositivo y 0 en el resto del intervalo.
H (t− a) =
{
0, 0 ≤ t < a
1, t ≥ a(1)
Definimos H (t− a) solo en el eje t no negativo, puesto que es todo lo que nos interesa enel estudio de la transformada de Laplace.
En el sentido mas amplio, H (t− a) = 0 cuando t < a. Cuando una funcion f definidapara t ≥ 0, se multiplica por H (t− a), la funcion escalon unitario ✭✭desactiva✮✮ una porcion dela grafica de esa funcion.
2. Propiedades
Cambio de signo del argumento:
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H (a− x) = 1−H (x− a)
La derivada en el sentido de las distribuciones es la funcion Delta de Dirac:
H ′ (x− a) = δ (x− a)
Transformada de Laplace:
L{H (x− a)} (s) =e−as
s
Lımites:
H (x) = lımn→∞
1
e−nx + 1, H (x)− 1 =
2
πlımy→0
arctanx
|y|
Es la integral de la funcion Delta de Dirac:
H (x) =
∫ x
−∞
δ (t)dt
El valor deH (0) es causa de discusion. Algunos lo definen comoH (0) = 0; otrosH (0) = 1;H (0) = 1
2 es la opcion usada mas coherente, ya que maximiza la simetrıa de la funcion, ypermite una representacion de la misma a traves de la funcion signo:
H (x) =1
2(1 + sign (x))
Consideraciones.- La funcion escalon unitario tambien se puede utilizar para escribir en formacompacta funciones definidas por tramos.
Una funcion general definida por tramos del tipo:
f (t) =
{
g (t) , 0 ≤ t < a
h (t) , t ≥ a
es la misma que:
f (t) = g (t)− g (t)H (t− a) + h (t)H (t− a)
Para tres funciones tendrıamos entonces que:
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p (t) , 0 ≤ t < a
q (t) , a ≤ t < b
r (t) , t ≥ b
es la misma que:
f (t) = p (t) + [q (t)− p (t)]H (t− a) + [r (t)− q (t)]H (t− b)
3. Transformada de Laplace de la funcion Heaviside.
Utilizando la definicion de transformada de Laplace, tenemos:
L{H (t− a)} =
∫
∞
0e−stH (t− a)dt =
∫ a
0e−st (0)dt+
∫
∞
a
e−stdt =
∫
∞
a
e−stdt =
=
[
−e−st
s
]
∞
a
=e−at
s
4. Segundo teorema de traslacion.
L{f (t− a)U (t− a)} = e−asF (s) =
Demostracion
∫
∞
0f (t− a)U (t− a) e−stdt =
∫
∞
a
f (t− a) e−stdt =
u = t− a, dt = dt
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∫
∞
0f (u)U (t− a) e−s(u+a)du =
∫
∞
0f (u)U (t− a) e−sue−sadu =
= e−sa
∫
∞
0f (u) e−sudu = e−saF (s)
∆
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Indice
1. Introduccion 1
2. Propiedades 1
3. Transformada de Laplace de la funcion Heaviside. 3
4. Segundo teorema de traslacion. 3
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