funciones exponenciales
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Análisis completo de la gráfica de la función exponencialTRANSCRIPT
FUNCIONES EXPONENCIALESCLASES DE MATEMÁTICA
ESCUELA DE COMERCIO “MANIE A. DE ESTOFÁN”
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
Una función exponencial es una función de la forma:
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
: ( ) . x hf f x c a k
, , 1donde a c h y k con a o a
En una función exponencial, la
variable independiente
está en el exponente
Vamos a comenzar su análisis considerando:
Entonces la ecuación que define la función es la siguiente:
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
0 11 ;c h k ay
: ( ) xf f x a
Si la ecuación que define la función será
realicemos una pequeña tabla de valores y
grafiquemos:
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
( ) 2xf x
x y
3 8
2 4
1 2
0 1
-1 ½
-2 ¼
-3 1/8
Observa: La función es creciente y
,
Im 0,
Domf
f
2a
Observa en la siguiente gráfica, donde se hizo variar “a”, los puntos (1,a) y (0,1)
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
Para tener en cuenta:
cualquiera sea el valor de a, el
punto (1,a) y el (0,1) siempre
están.
(
( ) (
)
) 5
;
;
3) 2
4
( x x
x xh
g x
L xx
f x
Ahora vamos a considerar , tomando
La función quedaría:
en este caso también se encuentran los puntos (1,a) y (0,1)
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
0 1a 1
2a
1( )
2
x
f x
x y
3 1/8
2 ¼
1 ½
0 1
-1 2
-2 4
-3 8
Observa: La función es decreciente y
,
Im 0,
Domf
f
Para tener en cuenta:
Si
Los puntos (1,a) y (0,1) pertenecen a la gráfica de la función.
El
Si a> 1 , la función es creciente
Si 0 < a < 1 , la función es decreciente
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
( ) 0 1xf x a con a y a
, Im 0,Domf y la f
1( )
2
1( ) 2
0 1
x
x
f la base mayor que
la base es un número entre yg x
x
¿Qué pasa con el dominio de la función cuando c=-1? ¿y con la imagen? Para analizar grafiquemos la función:
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
: ( ) 2xf f x x f(x)
-3 -1/8
-2 -1/4
-1 -1/2
0 -1
1 -2
2 -4
3 -8
La gráfica “volteó” hacia abajo del eje
OX. El dominio no varía pero la
imagen sí.
,
Im ,0
Domf
f
Observa las gráficas de
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
:: 2 2x xy d g gef f x x
Las gráficas son
simétricas respecto al
eje OX
Consideremos ahora valores de k, distintos de cero:
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
( ) 2 2 I
( ) 2 2
( )
m
Im 2
2
2
Im 0,
,
,x
x
xg x g
f x f
h x h
La gráfica se desplaza hacia arriba o hacia
abajo dependiendo del valor de k, y esto
modifica la imagen de la
función
Consideremos ahora valores de h, distintos de cero:
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
1
2
( ) 2
( )
( ) 2
2x
x
x
f x
h
x
x
g
La gráfica se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda
dependiendo del valor de h. Observa el punto
A, se traslada una unidad a la derecha
(A’) en la función g , y 2 unidades a la
izquierda (A’’)en la función h.
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
Para tener en cuenta:
Si consideramos la función
La gráfica se abre o se cierra dependiendo del valor de
c, y se “voltea” hacia abajo del eje OX, si es negativo.
La gráfica se desplaza k unidades hacia arriba si k >
O, o k unidades hacia abajo si k < O, esto modifica la
imagen de la función
La gráfica se desplaza h unidades a la derecha si h >
O, o h unidades a la izquierda si h < O. En este caso no
hay variaciones de dominio o imagen
( ) . x hf x c a k
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Lic. Graciela Álvarez de Cardozo