funciones matemáticas
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Funciones hiperbólas, parabólas, elipces y circunferencia, características, gráficas forma de calcularTRANSCRIPT
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Bachiller:
Bustamante G. Jesús M
ITS Sistema SAIA
Barcelona, 2.014
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FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Son funciones cuyas definiciones se basan en la función exponencial, conectando mediante operaciones racionales y son análogas a las funciones trigonométricas.
CARACTERISTICAS
En las ecuaciones hiperbólicas, se acostumbra escribir el modelo matemático que le corresponde utilizando las funciones hiperbólicas
DEFINIDAS L a función f: [R![R, definida por:
f(x) = senh x = , x " R, se denomina
función seno hiperbólico.
f(x) = cosh x = , x " R, se denomina
función coseno hiperbólico.
f(x) = tgh x = , x " R, se llama
función tangente hiperbólico.
f(x) = cotgh x = , x " 0, se llama
función cotangente hiperbólico.
f(x) = sech x = , x " R, se llama
función secante hiperbólico.
f(x) = cosch x = , x " 0, se llama
función cosecante hiperbólico
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FUNCIONES HIPERBÓLICAS
SENO HIPERBÓLICO:
El seno hiperbólico de un número real x, que se designa con sinh(x) está definido mediante la siguiente ecuación:
Donde ex es la función exponencial.
Esta función, junto con el
coseno hiperbólico y la
tangente hiperbólica,
conforman unas reglas como
las trigonométricas
tradicionales, pero con
algunas excepciones. Entre
ellas:
cosh2x−sinh2x=1
tanh(x)=sinh(x)cosh(x)
La función sinh(x) es una
función impar, ya que para
todo valor de x, se cumple
que sinh(−x)=−sinh(x)
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FUNCIONES HIPERBÓLICAS Dominio (−∞,+∞) Codominio (−∞,+∞)
Imagen (−∞,+∞) Propiedades: Biyectiva, Impar, Trascendente y Estrictamente creciente
Límites
limx→−∞sinhx=−∞ limx→+∞sinhx=+∞
FORMA DE CALCULARLA y GRÁFICA
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FUNCIONES HIPERBÓLICASCOSENO HIPERBÓLICO
El coseno hiperbólico de
un número real x, que se
designa mediante
cosh(x) está definido
mediante la fórmula:
Donde ex = exp(x) ,
siendo exp(x) la función
exponencial, es decir, la
potencia de base
irracional e y exponente
x.
Su inversa es el
Argumento Coseno
Hiperbólico de x, esto se
denota por cosh−1(x) o
bien argcosh(x)
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FUNCIONES HIPERBÓLICAS Dominio (−∞,+∞) Codominio [1,+∞)
Imagen [1,+∞) Propiedades: Biyectivaen el codominio, Par, Convexa, Trascendente
Límites
limx→−∞coshx=+∞
limx→+∞coshx=+∞
FORMA DE CALCULARLA y GRÁFICA
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FUNCIONES HIPERBÓLICASCOSENO HIPERBÓLICO
El coseno hiperbólico de
un número real x, que
se designa mediante
cosh(x) está definido
mediante la fórmula:
Donde ex = exp(x) ,
siendo exp(x) la
función exponencial,
es decir, la potencia de
base irracional e y
exponente x .
Su inversa es el
Argumento Coseno
Hiperbólico de x, esto
se denota por
cosh−1(x) o bien
argcosh(x)
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FUNCIONES HIPERBÓLICASDominio (−∞,+∞) Codominio [1,+∞)
Imagen [1,+∞) Propiedades: Biyectiva en el codominio, Par, Convexa y Trascendente
Límites
limx→−∞coshx=+∞
limx→+∞coshx=+∞
FORMA DE CALCULARLA y GRÁFICA
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FUNCIONES HIPERBÓLICASSi se sustituye de acuerdo
con las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico, se obtiene una fórmula más directa para la tangente hiperbólica, a saber:
tanhx= ex−e−x
ex+e−x
TANGENTE HIPERBÓLICA
de un número real x se
designa mediante tanhx y
se define como el cociente
entre el seno hiperbólico y
el coseno hiperbólico del
número real x. La fórmula
es entonces:
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FUNCIONES HIPERBÓLICAS Dominio (−∞,+∞) Codominio (−1,1)
Imagen (−1,1) Propiedades: Biyectiva en el codominio, Impar, Estrictamente creciente y Trascendente
Límites
limx→−∞tanhx=−1
limx→+∞ tanhx=1
FORMA DE CALCULARLA y GRÁFICA
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FUNCIONES HIPERBÓLICAS
OTRAS LÍNEAS: Cotangente hiperbólica
Secante hiperbólica
Cosecante hiperbólica
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FUNCIONES PARABOLASTambién llamadas funciones
CUADRATICAS. Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
CARACTERISTICAS Las funciones cuya
ecuación es y = ax2 + bx + c con a,b y c números y a distinto de 0 (el valor de b y c si puede ser 0) se llaman cuadráticas y se representan mediante parábolas con su eje paralelo al eje Y.
Estas parábolas son más
o menos abiertas y con
las ramas hacia arriba o
hacia abajo, según cual
sea el valor de a:· Si a >
0, las ramas van hacia
arriba.· Si a < 0, las
ramas van hacia abajo.
Además cuanto mayor
sea |a|, menos abierta es
la parábola.
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FUNCIONES PARABOLASFORMA DE CALCULARLA
Se representar la función
cuadrática de ecuación y =
2x2 - 4x + 5
1º Calculamos las coordenadas
del vértice. Como a = 2, b =
- 4, c = 5, la abscisa del
vértice será -(-4/2 · 2)=1, la
ordenada del vértice se
obtendrá sustituyendo la
abscisa en la x de la
función: 2·12– 4 · 1 + 5 = 3.
Con lo cual el vértice tendrá
de coordenadas (1, 3) .
2º Determinamos puntos de
la parábola a izquierda y
derecha del vértice,
dando valores a x y
obteniendo los
correspondientes valores
de y, al sustituir la x en la
función por esos valores.
x -1 0 2 3
y 11 5 5 11
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FUNCIONES PARABOLAS3º Representamos
gráficamente esos puntos obtenidos en el plano y los unimos.
El eje de simetría de la parábola tiene por ecuación x = 1. El punto de intersección con el eje de ordenadas es el (0,5). No se corta con el eje de abscisas porque la ecuación 2x2 - 4x + 5 = 0 no tiene solución.
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FUNCIONES ELIPSESLa elipse es el lugar
geométrico de todos los
puntos de un plano, tales
que la suma de las
distancias a otros dos
puntos fijos llamados
focos es constante.
CARACTERÍSTICAS La línea que une los dos
focos se llama eje
principal de la elipse A A' y
la mediatriz de los mismos
eje secundario P P'.
Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes A ,A',B,B'
El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal.
Generalmente el eje principal se representa por 2a y la distancia focal por 2c. Los valores a y c se llaman semieje principal y semidistanciafocal, respectivamente.
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FUNCIONES ELIPSESFORMA DE CALCULARLA
Por el teorema de Pitágoras:
Por definición de elipse:
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FUNCIONES CIRCUNFERENCIAEs una curva plana y
cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro y coplanario llamado centro en una cantidad constante (radio).
CARECTERÍSTICAS
Sólo posee longitud.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica.
Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos .
La circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene,
La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: el conjunto vacío (plano exterior); o un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador
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FUNCIONES CIRCUNFERENCIA La longitud de una
circunferencia es:
donde es la longitud del radio.
(número pi), por definición,
es el cociente entre la
longitud de la circunferencia
y el diámetro:
El área del círculo
delimitado por la
circunferencia es:
FORMA DE CALCULAR
Ecuación en coordenadas
cartesianas: En un sistema
de coordenadas cartesianas
x-y, la circunferencia con
centro en el punto (a, b) y
radio r consta de todos los
puntos (x, y) que satisfacen
la ecuación
Cuando el centro está en el
origen (0, 0), la ecuación
anterior se simplifica al
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FUNCIONES CIRCUNFERENCIAEcuación de una circunferencia
se deduce:
resultando:
Si conocemos los puntos
extremos de un diámetro:
la ecuación de la
circunferencia es:
GRAFICA