funciones polinómicas
TRANSCRIPT
Funciones Polinómicas
Profa. Carmen Batiz UGHS
REPASEMOS...
Función Lineal
f(x) = mx + b
f(x) = b
Función Cuadrática
f(x) = ax2 + bx + c
Función Polinómicade grado n en x:
F(x) = anxn + an –1 xn-1 + an – 2xn –2 + ...+ a1x + a0
Donde n es un entero no-negativo y an , an-1 ,an-2,,...,a1, a0
Son números reales con an 0
Los números an , an-1 ,an-2,,...,a1, a0 son coeficientes del polinomio.
Las funciones polinómicas...
•Son aquellas donde hay varios términos con sus grados sumados o restados y una constante.
• Deben escribirse en forma descen-dente por el grado de la variable, esto es en “forma standard”
Ejemplo:
Si f(x) = 2x3 –5x2 + 3
Los coeficientes de la función son:
2, -5, 0, 3
Entonces a3 = 2, a2 = -5, a1 = 0 y a0 = 3
Es un polinomio de grado 3 y es un trinomio.
Otros ejemplos:Escribe en forma standard, indica los coeficientes de
la función, y clasifícalo por el número de término y el grado.
1. f(x) = 3x – 6x2 + 5
2. y = 3x3 + x2 –4x + 2x3
1. f(x) = 3x – 6x2 + 5
2. y = 3x3 + x2 –4x + 2x3
Contestaciones:1. f(x) = – 6x2 +3x + 5; -6, 3, 5
2. y = 5x3 + x2 – 4x ; 5, 1, 0 -4
Asignación:
p.265 ( 1-9)
6-2 Example Exercises 1-24
Mixed Exercises 2 - 46
Comportamientos
),(
Señala por el tipo de compotamiento que tiene cada función f(x) = x3 –3x2 + x - 2. Estima el intercepto de x y de y.
x -10 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 10
y -1312 -59 -24 -7 -2 -3 -4 1 18 708
Señala por el tipo de compotamiento que tiene cada función f(x) = x3 –3x2 + x - 2. Estima el intercepto de x y de y.
x -10 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 10
y -1312 -59 -24 -7 -2 -3 -4 1 18 708
El intercepto de y es –2.
Como los valores de x y y van de lo negativo a lo positivo su compor-tamiento es
),(
El intercepto de x esta entre 2 y 3.x^3-3x^2+x-2.grf
Asignación
6-2 p. 19 Example Ex. 1-24
p.20 Mixed Ex
2-46
División de Polinomios
Divide : 435 5
5 435 8
-40 3 5
7
-35 0
Verificación: 87 x 5 + residuo
Divide : ( )4 3 52x x x + -
Divide :
x
4x
-4x2
- 5
0x2
+ 3
- 3x
0x
Verificación: x (4x+3) + -5
4 3 52x x + - + 3x
R = -5
4x2+3x -5
( )4 3 52x x x + -
Intenta:
-2x
-6x2 0x2
+ 1
3x- 3x
+ 9
R = 9
( )6 3 9 32x x x
6 3 92x x 3x
-3x (-2x + 1) + 9Verificación:
6x2 – 3x + 9
0x + 9
Divide :
3x2
-3x3 + 9x2
-1
0x2 +8x2
+ 8x
- 8x2 + 24x 0x+ 26x
Verificación:
( x - 3) (3x3 +8x +26) + 77
+ 2x
R = 77
( ) ( )3 33 2x x x - + 2x - 1
3 3 2x x - + 2x - 1x 3
+ 26
- 26x + 7877
Intenta:
( ) ( )2 3 5 2 7 14 3 2 2x x x x x x
Intenta:
( ) ( )2 3 5 2 7 14 3 2 2x x x x x x
2 3 5 2 74 3 2x x x x x x2 1 2x2
-2x4 + 2x3 – 2x2
0x4 - x3 + 3x2
– x
x3 – x2 + x
+ 2x
0x3 + 2 x2 + 3x + 7
+ 2
– 2x2 + 2x - 2
5x + 5
Verificación
(2x2 - x + 2) ( x2 – x + 1) + (5x + 5)
2x4 - 2x3 + 2x2
- x3 + x2 - x 2x2 - 2x + 2
5x + 5 2x4 - 3x3 + 5x2 + 2x + 7
Generalización:Dividendo = Cociente x divisor + residuo
-2x + 1 6 3 92x x 3x
dividendo
cocientedivisor R = 9
Generalización:Dividendo = Cociente x divisor + residuo
)1()72532( 2234 xxxxxx
(2x2 - x + 2) ( x2 – x + 1) + (5x + 5)
1
55 22
22
xx
xxxó
Intenta:
( ) ( )5 7 2 9 3 43 2 2x x x x x
Intenta:
( ) ( )5 7 2 9 3 43 2 2x x x x x
23-6x 32248x
9188x-
20x 15x-5x-
927543
8 -5x
2
2
23
232
x
x
xxxxx
Ejercicios de Práctica
6-5 p. 25 Example Exercises (1-10)
p. 26 Mixed Exercises (13-24)
División Sintética
Divide (2x4+3x3 – x –5) ÷(x + 2)
Divide (2x4+3x3 – x –5) ÷(x + 2)
x + 2 2x + 3x + 0x – x – 54 3 2
2x3
-2x4 - 4x3
0x4 - x3 + 0x2
- x2
x3 + 2x2
0x2 + 2x2 - x
+ 2x
- 2x2 – 4x
0x2 – 5x – 5
– 5
5x + 10
0x + 5
R=5
Verificación:(2x3 – x2+ 2x – 5) (x + 2 ) + 5
x + 2 2x + 3x + 0x – x – 54 3 2
2x4 – x3 + 2x2 – 5x
+ 4x3 - 2x2 + 4x - 10 + 5
2x4 + 3x3 + 0x2 – x - 5
Y...
Por medio de división sintética
Coeficientes del dividendo
cero del dividendo
2 3 0 -1 -5-2
residuoCoeficientes del cociente
Por medio de división sintética
2 3 0 -1 -5-2
-4
2 -1
2
2
-4
-5
10
-5
El cociente es: 2x3 –x2 +2x -5
Intentemos...-13x + x3 + 12 ÷ x + 4
Intentemos...-13x + x3 + 12 ÷ x + 4
1 0 -13 12- 4
1
-4
-4
16
3
-12
0
El cociente es: x2 – 4x + 3
Intenta:Divide cada una de los ejercicios utilizando la división sintética. 1. (4x5 –30x3 – 50x –2)÷( x + 3)
2. (5 + 4x3 – 3x) ÷(2x – 3)
Contestaciones:
• 4x4 –12x3 + 6x2 –18x +4 R = -14
• 2x2 + 3x + 3 R =14
Ejercicios:
6.5 Example Exercises 11-18
Mixed Exercises 1-12
Teorema del Residuo y del Factor
Si se divide 2x4 – 5x3 – 4x2 + 13 entre x – 3 el cociente es:
2x³ + x² – x – 3 + 4 donde x = 3 x - 3
Si R es el residuo después de dividir el polinomio P(x) entre x – r entonces P(r) = R
P(x)= 2x4 – 5x3 – 4x2 + 13 entonces P(3) = 4
2(3)4 – 5(3)3 – 4(3)2 + 13 = 4
2(81) – 5(27) – 4(9) + 13 = 4
?
162 – 135 – 36 + 13 = 4
162 – 135 – 36 + 13 = 44 = 4
Si P(x) = 4x4 + 10x3 + 19x + 5, encuentra P(-3) usando el teorema del residuo y la
división sintética y evaluando P(-3) directamente.
4 10 0 19 5-3
Si P(x) = 4x4 + 10x3 + 19x + 5, encuentra P(-3) usando el teorema del residuo y la
división sintética y evaluando P(-3) directamente.
4 10 0 19 5-3
4
-12
-2
6
6
-18
1
-3
2
Si P(x) = 4x4 + 10x3 + 19x + 5, entonces P(-3)
Si P(-3) =
Si P(x) = 4x4 + 10x3 + 19x + 5, entonces P(-3)
Si P(-3) = 4(-3)4 + 10(-3)3 + 19(-3) + 5
= 4(81)4 +10(-27)3 +19(-3)+ 5
= 324 + -270 + -57 + 5
P(-3) = 2
Haz la gráfica de P(x) = x3 + 3x2 –x – 3, -4< x < 2
1 3 -1 -3-4-3-2-1
012
Haz la gráfica de P(x) = x3 + 3x2 –x – 3 , -4< x < 2
1 3 -1 -3-4 1 -1 3 -15 = P (-4)-3 1 0 -1 0 = P (-3)-2 1 1 -3 3 = P(-2)
-1 1 2 -3 0 = P(-1)
0 1 3 -1 -3 = P(0)
1 1 4 3 0 = P(1)
2 1 5 9 -15 = P(2)
La gráfica de P(x)=x3 + 3x2 –x – 3 , -4< x < 2 es:
Teorema del factor
Si r es un cero del polinomio P(x) , entonces x – r es un factor de P(x) ;
inversamente si x – r es un factor de P(x) , entonces r es un cero de P(x).
Haz la gráfica de P(x) = x3 + 3x2 –x – 3 , -4< x < 2
1 3 -1 -3-4 1 -1 3 -15 = P (-4)-3 1 0 -1 0 = P (-3)-2 1 1 -3 3 = P(-2)
-1 1 2 -3 0 = P(-1)
0 1 3 -1 -3 = P(0)
1 1 4 3 0 = P(1)
2 1 5 9 -15 = P(2)
Utiliza el teorema del factor para probar que x +1 es un factor de
P(x) = x25 + 1
Utiliza el teorema del factor para probar que x +1 es un factor de
P(x) = x25 + 1
x + 1 = x – (-1) Entonces r = -1
P(-1) = -125 + 1
P(-1) = -1 + 1 P(-1) = 0
Entonces –1 es un cero de la función
Indica cuáles son los ceros de P(x) = 3(x-5) (x+2) (x-3)
Indica cuáles son los ceros de P(x) = 3(x-5) (x+2) (x-3)
Los ceros de la función es cuando
P(x) = 0...
Entonces:
0 = 3( x – 5)(x+2) (x- 3)
Entonces los ceros son : 5, –2 y 3
Utiliza el teorema del factor para probar que x -1 es un factor de
P(x) = x54 - 1
INTENTA
Utiliza el teorema del factor para probar que x -1 es un factor de P(x) = x54
- 1
P(1) = 154 - 1
P(1) = 1 - 1
P(1) = 0
Entonces 1 es un cero de la función
INTENTA
Indica cuáles son los ceros de P(x) = 2(x+3) (x+7) (x-8)(x + 1)
INTENTA
Indica cuáles son los ceros de P(x) = 2(x+3) (x+7) (x-8)(x + 1)
Los ceros de la función es cuando
P(x) = 0... Entonces:
Entonces los ceros son : -3,–7, 8 y -1
INTENTA
Ejercicios de PrácticaEjercicios 3.3 BARNETT : 7-30 35-38 impares (para entregar)
Ejercicios 6.3 Example Exercises: 2-10 13-33
Ejercicios 6.3 Mixed Exercises: 1-47
Haciendo gráficas polinómicas
Ceros de una función:
Def. Son las soluciones o raíces de una función.
f(x) = 0
Función Lineal
f(x) = x - 2
Función Lineal
f(x) = x - 2x – 2 = 0
x = 2
El cero o intercepto en x de ésta función es 2
Función cuadráticaf(x) = x2 – 4x - 5
Función cuadráticaf(x) = x2 – 4x - 5
El cero o intercepto en x de ésta función es 5 y -1
x2 – 4x - 5 = 0 (x – 5) ( x + 1) = 0
x = 5 ó x = -1
Función cúbica
f(x) = x3 + x2 – x - 1
Función cúbicaf(x) = x3 + x2 – x - 1
El cero o intercepto en x de ésta función es 1 y -1
(x + 1) ( x + 1) ( x – 1) = 0 x = 1 ó x = -1
x2 ( x + 1) – 1(x + 1) = 0 (x + 1) ( x2 -1) = 0
Cuando hay dos factores iguales se dice que hay ceros de multiplicidad
Haz la gráfica de la función encon-trando algunos puntos.
f(x) = (x + 1) ( x + 1) ( x – 1) Los ceros son 1, -1
Otros puntos...
x y-2 -3-1 0 0 -1 1 0 2 9
f(x) = (x + 1) ( x + 1) ( x – 1)
El comportamiento de la gráfica es: ),(
Haz la gráfica de la función encontrando algunos puntos.
f(x) = (x + 1) ( x -2) ( x – 3)
Haz la gráfica de la función encon-trando algunos puntos.
f(x) = (x + 1) ( x -2) ( x – 3)
Los ceros son -1, 2, 3
La tabla de valores será:
x y
-2 -20
-1/2 4 3/8 0 6 1 42.5 - 7/8 4 10
El comportamiento de la gráfica es:),(
Ejercicios de PrácticaDetermina cuáles de éstas funciones son polinómicas.
a. f(x) = 4x
b. h(x) =1
3
c f(x) = 5x
d. f(x) = (2x
e. g(x) = 4
g. f(x) = x - 2
x
3
4
3
-3
2 5
22
5 7
1
22 1
4
2
2
32
1 2
3 2
2
x x
x
xx
x x
x x x
xx
x
.
)
f. f( )
Haz las siguientes gráficas.
a. f(x) = x(x -1)(x + 2)
b. f(x) = x(x -1)2 ( )x 3
Encuentra los ceros de la función polinómica.
a. f(x) = - 3x + 2
b. f(x) = x
c. g(x) = (x +1)(x - 5)
d. g(x) = 3x
e. h(x) = (x - 1)
3
2
2
2
9
25
2
9
2
x
x
x
( )
Asignación:
p.21 Practice 6.3 Example Exercises
p.22 Mixed Exercises