Funciones.Presentado por: Steffany Serebrenik, Hellen Kreinter y David Castañeda.

Presentado a: Patricia Cáceres.

Colegio Colombo HebreoGrado Decimo.Área de Matemáticas.

Funciones.

¿Qué es?Generalidades.

Clases.

Referencias de consulta.

Representación.

Funciones: inyectivas, biyectivas y sobreyectivas. .

Dominio, rango, puntos de corte con x y con y.

Funciones pares e impares.

¿Qué es una función?

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.

El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia x^n de la variable x.

Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento “x” A uno y solo un elemento “y” B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x).

Por tanto para ser función debe cumplir 2 condiciones:a.Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen. b.Esta imagen debe ser única.

El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN.

Verbal: como su mismo nombre lo dice es con palabras.Ejemplo:P(t) es la población del mundo en el instante t.

Algebraica: A través de una formula.Ejemplo:X+25=y

Visual: Es decir a través de diagramas y graficas.

Numérica: A través de la organización mediante tablas

Ejemplo:

Onzas dólares

x 1 2 3 4 5 …

y 11 12 13 14 15…

Rango: conjunto formado por las imágenes.

Sea f(x) : A B R= {y/y B y R x}

El conjunto de llegada contiene los elementos que son la imagen de los valores del conjunto de salida.

Punto de corte con Y:Para hallar el punto de corte con Y, se debe reemplazar en la función X por 0.

Dominio: Es el conjunto formado por las pre imágenes que debe ser igual al conjunto de salida.

Sea f(x) : A B R= {x/x x A x R y y B }

conjunto de salida se llama al conjunto que contiene los elementos del dominio de una función.

Punto de corte con X:

Para hallar el punto de corte con x, se debe igualar la función a 0 y así despejar x.

A

La función es creciente cuando al aumentar los valores de X, aumenta Y.

Ej.:

La función es decreciente, cuando al aumentar los valores de X, disminuye Y.

Ej.:

Crecimiento

Este tipo de función cumple la condición de que a cada valor del conjunto A (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto B (imagen) de f . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

d

e

g

h

Este tipo de función se da cuando todo elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

d

e

g

Este tipo de función se da cuando es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva.

d

e

f

h

Función parEl término función par suele referirse a una clase especial de funciones de variable real: una función es una función par si para se cumple la relación:.

Es decir es una función cuadrática o polinomica de grado par incompleta que solo tiene c , un ejemplo de estas es:

Simétricas con respecto al eje Y.

)()( xfxf

1)( 2 xxf

Función ImparEs una función donde se cumple que:

Es decir una función polinómica de grado impar incompleta de la forma

un ejemplo de estas es:

Simétricas con respecto al eje de las coordenadas.

En la que para todo x perteneciente al Dominio de D

nxxf n 12)(

)()( xfxf

Clases de funciones.

Trigonométricas

Por Partes o a Trozos

Valor Absoluto

Exponencial

Logarítmica

Racional

Polinómica

Función Cuadrática.

Función Cubica.

Función de Grado par.

Función de Grado impar.

Función lineal.

Función Polinomica.

Constante.

Funciones PolinómicasFunciones Polinómicas

Son aquellas que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos.

Según el grado del polinomio las funciones Polinómicas pueden clasificarse en:

Grado Nombre Expresión

0 función constante y = a

1 función linealy = ax + b es un binomio del primer grado

2 función cuadráticay = ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado

3 función cúbica Y=ax3+bx2+cx+d

Dominio= Conjunto de Salida= RConjunto de llegada=R

Son funciones en las que el máximo grado de un término de la ecuación es un número par. Está dada por la ecuación:

Conjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada=IR Rango =(depende de los máximos y mínimos que tenga la función)Ejemplo :

Función cuadráticaPunto de corte con y= -1Puntos de corte con x=(1,-1)Vértice= (0,-1)Conjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada =IR Rango=(-1, ∞ )F(x) ≥0 en x ( - ∞.-1) U (1, ∞)F(x) ≤0 en x (-1,1)

edxcxbxaxxf nnn ...)( 22122

1)( 2 xxf

Son funciones en las que el máximo grado de un término de la ecuación es un número impar . Está dada por la ecuación:

Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada=IR Rango =IR excepto en la lineal constante.

Ejemplo :

Función cúbicaPunto de corte con y= 1Punto de corte con x=-0.7Conjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada =IR= RangoF(x) ≥0 en x ( -0.7, ∞) F(x) ≤ 0 en x (- ∞,-0.7)

cdxcxbxaxxf nnn ...)( 2)12(1)12()12(

1)( 3 xxxf

Lineal.

Afín.

Idéntica.

Generalidades.

Conclusiones.

Función lineal.

x-y son variables m se denomina pendiente e indica el grado de inclinación de la recta.m se halla a través de la expresión:

Generalidades

CABE ANOTAR QUE : si m > o: la función es creciente si m < 0:la función es decreciente si m = 0 : la función es constanteLa Función lineal es una función polinómica

Indica el punto de corte con y Y por tanto el desplazamiento vertical.

Dominio= Conjunto de Salida= R Rango= R (a excepción de la constante).Conjunto de llegada=R

12

12

xx

yym

nmxxf )(

Lineal.

La función lineal esta definida por la ecuación:

En esta función el punto de corte con x y con y se da en la coordenada (0,0).Dominio=Conjunto de salida= IRRango=Conjunto de llegada= IR

mxxf )(

Afín.La función Afín es un tipo de función lineal que tiene un desplazamiento vertical, esta dada por la ecuación: EJEMPLO:

y=2x+3

Dominio= Conjunto de Salida= R Rango=Conjunto de llegada=R Punto de corte con y=n

nmxxf )(

Constante.La función constante es un tipo de función lineal, en la que los elementos del dominio se relacionan con un único elemento del conjunto de llegada. La podemos representar como una función matemática de la forma:

donde a pertenece a los números reales.

Ejemplo:Y= 3•Dominio=Conjunto de Salida= IR

•Conjunto de llegada= IR•Rango= {a}•Punto de corte con Y= a.

axf )(

Idéntica.La función idéntica es una clase de función lineal donde a cada número del eje y le corresponde el mismo número en el eje x, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas .

Esta dada por la ecuación:

Rango = Conjunto de llegada = IR Dominio= Conjunto de salida=IR

EJEMPLOS:

xxf )(

La principal diferencia entre función lineal y función lineal Afín, teniendo en cuenta la ecuación general planteada en las generalidades es que la función lineal tiene desplazamiento vertical mientras que la otra si. La principal diferencia entre la función lineal y la función constante es que esta última cumple la condición de que para todo elemento del dominio la imagen es la misma. La principal diferencia entre la función lineal y la función lineal idéntica es que en esta última la pendiente siempre es igual a 1.

Conclusiones.

Función Cuadrática.Es un tipo de función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado y se expresa como:

Es una de las funciones mas estudiadas en los diferentes campos, debido a sus propiedades simétricas y a su presencia en la naturaleza. La grafica que forma se le da el nombre de parábola y en ella hay un eje de simetría y un mínimo o máximo relativo lo que indica la parte mas baja o alta a la que llega la parábola respectivamente.

El rango es desde( –∞, hasta el máximo relativo) o desde

(mínimo relativo, ∞).

Para hallar: el mínimo y máximo relativo, el vértice y el eje de simetría se usa la ecuación:

Mínimo relativo.

Máximo relativo.cbxaxxf 2)(

a

bx

2

El punto de corte con y es c, mientras que los puntos de corte con x o también llamados raíces se deben hallar factorizando ya sea por los diferentes métodos o usando la siguiente formula general:

Creciente: Si m( pendiente) es positiva.

Decreciente: Si m( pendiente) es negativa.

a

acbbx

2

42

Es importante recordar que la parábola, formada por la función cuadrática, tiene un eje de simetría, es decir que si se divide exactamente en dos, un lado es el reflejo del otro lado.

a

acbbx

2

42

Función Cúbica.Es una función polinómica de grado 3,que está dada por la forma:

Conjunto de salida= IR=DominioConjunto de llegada=IR=Rango Función Creciente f(-x)<f(x)

Función decreciente

f(-x)>f(x)

dcxbxaxy 23

Ejemplo:

Conjunto de salida=Dominio= IRConjunto de llegada=Rango= IRPunto de corte con x= 0.3Punto de corte con y= -1F(x) > 0 en x (0.3, infinito)∈F(x) < 0 en x (0.3,-infinito)∈

1343 23 xxxy

Función Racional

)(

)(

XQ

XPy

Una función racional tiene la forma:

Donde P y Q son polinomios. Se supone que P(x) Y Q(x) no tienen factor en común. Aunque las funciones racionales se construyen de polinomios, sus graficas se ven bastante diferentes de las graficas de funciones polinomiales.

El dominio de una función racional consiste en los números reales x excepto aquellos para los que el denominador es 0. Al graficar una función racional, se debe poner atención especial al comportamiento de la grafica cerca de esos valores, debido a que poseen asintotas.

Ejemplo Gráfico.

En términos informales, una asíntota de una función es una línea a la que la grafica de la función se aproxima cada vez mas cuando se va a lo largo de esta línea.

La recta donde a es un cero del denominador es una asíntota vertical de la función y=f(x) si y tiende a mas o menos infinito cuando x tiene a a por la derecha o por la izquierda. Una función racional tiene asíntotas verticales donde la función no esta definida, es decir donde el denominador es cero.

ax

La recta es una asíntota horizontal de la función y= f(x) si y se aproxima a b cuando x se aproxima a mas menos infinito.

by

3

2

x

y

Asíntota vertical x=3

Asíntota horizontal y=0

Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.

Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota

horizontal.Para m > n, no hay asíntotas horizontales

xy

1

Se utiliza para graficar funciones racionales de la forma:

dcx

baxy

Se utiliza debido a la capacidad de desplazar, alargar o reflejar.

Ejemplo: Grafique la función racional:

2

4722

2

xx

xxy

Solución: Se factoriza el numerador y el denominador, se determinan las intersecciones y asíntotas y se bosqueja la grafica.

Factorizar: )2)(1(

)4)(12(

xx

xxy

Intersecciones con el eje x: Las intersecciones x son los ceros del numerador, para este caso x=1/2 y x=-4.

Intersecciones con el eje y: Para hallar la intersección y, se sustituye x= 0 en la forma original de la función. Para este caso daría que la intersección y= 2

Asíntotas Verticales: Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero, es decir, donde la función no esta definida. De la forma factorizada se puede observar que las asíntotas verticales son las rectas x=1 y x= -2.

Comportamiento de las asíntotas verticales: Específicamente es para saber si es + o -, por tanto se usa el proceso del cementerio.

2 2 1 1

)2)(1(

)4)(12(

xx

xxy ))((

))((

-

))((

))((

+

))((

))((

-

))((

))((

+Asíntota horizontal: Los grados del numerador y el denominador son los mismos y

Coeficiente principal del numerador

Coeficiente principal del denominador

2/1= 2 así la asíntota horizontal es la recta y=2

Por ultimo se grafica.

Asíntota inclinada y comportamiento extremo.

Si es una función racional en la que el grado del numerador

es uno mas que el grado del denominador, se puede usar el algoritmo de la división para expresar la función en la forma

)(

)(

xQ

xPy

)(

)(

xQ

xRbaxy

Donde el grado de R es menor que el grado de Q y a es diferente de 0. Esto significa que cuando x tiende a infinito, R(x)/Q(x) tiende a 0, por lo tanto los valores grandes de lxl, la grafica de y= r(x) se aproxima a la grafica de la recta y= ax+b. En esta situación se dice que y= ax+b es una asíntota inclinada o una asíntota oblicua.

Aplicaciones.Las funciones racionales ocurren con frecuencia en aplicaciones científicas de algebra, los ejemplos mas comunes son las teorías de electricidad. (resistencia eléctrica)

La función del valor absoluto, Esta dada por la ecuación:

•en clase estudiaremos la forma

Es una función en forma de V Debido a que al obtener el Valor absoluto de cualquier numero, este da positivo. Por ello hay varias propiedades.1)IaI 02) IabI= IaIIbI3) Ia+bI IaI+IbI

Así por ejemplo: I2I = I-2I = 2 I2x3I = I2II3I = 6 I(-2)+3I=1 I-2I+I3I =5

Para todas las funciones de valor absoluto, el conjunto de salida y el Dominio son reales (IR)

Al igual que estos, el conjunto de llegada también son los reales.

El rango varia, dependiendo hacia donde se desprende. Este, puede ser desde el mínimo hasta infinito, o desde el máximo hasta menos infinito.

cxfy )(

cbaxy

Si f(x) = IxIx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …

F(x) > 0 en X Є IRDominio = conjunto de salida= IRConjunto de llegada = IRRango= [ 0 , oo )

Si f(x) = IxI + 10x 1 2 3 4 5 …y 11 12 13 14 15…

F(x) > 0 en X Є IR

Dominio = conjunto de salida= IRConjunto de llegada = IRRango= [ 10 , oo )

Es una función (donde c = 0)

Si f(x) = IxIx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …

F(x) > 0 en X Є IRDominio = conjunto de salida= IRConjunto de llegada = IRRango= [ 0 , oo )

Es una función (donde c = 0)

x 1 2 3 4 5 6 …y 1 2 3 4 5 6 …

xy

10 xy

2 xy

La función exponencial es una de las mas importantes en matemáticas, esta función se emplea para modelar procesos naturales como el crecimiento poblacional y el decaimiento radioactivo.

La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por:

xaxf )(

Donde a ≠ 0 y a≠1.

f(x)=ax Para a>1 f(x)=-axPara a>1

reflexión de la gráfica

Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (0, ∞) = IR+

Conjunto de llegada= IRAsíntota en y=0Punto de corte con y en y = 1Función creciente

Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (0, -∞) = IR-

Conjunto de llegada= IRAsíntota en y=0Punto de corte con y en y =- 1Función decreciente

xy 2xy 2

f(x)=ax Para 0<a<1f(x)=-axPara 0<a<1

Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (0, ∞) = IR+

Conjunto de llegada= IRAsíntota en y=0 función decreciente

Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (0,- ∞) = IR-

Conjunto de llegada= IRAsíntota en y=0 función creciente

xy 5.0 xy 5.0

A la función se le suma o resta un valor c para el desplazamiento vertical

Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (1, ∞)Conjunto de llegada= IR

Ej.:

Asíntota en y=1Función crecientePunto de corte con y en y=2Punto de corte con x= no existe

cay x

12 xy

A la función se le suma o resta un valor b para el desplazamiento horizontal

Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (0, ∞)Conjunto de llegada= IR

Asíntota en y=0Función crecientePunto de corte con y en y=4Punto de corte con x= no existe

A continuación se puede ver como varían las funciones de acuerdo a su base a

f(x) = 2^x

f(x) = (1 / 4)^xf(x) = 4^x

g_1(x) = (1 / 2)^x

f(x) = 6^x f(x) = (1 / 6)^x

f(x) = 8^x f(x) = (1 / 8)^x

f(x) = (1 / 10)^xf(x) = 10^x

Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (0, ∞)Conjunto de llegada= IR

Asíntota en y=0Punto de corte con y en y=1Punto de corte con x= no existe

Para todas estas:

bxay

22 xy

La función exponencial natural es la función exponencial:

Xexf )(

xy 2

Es decir con base e=2.2

Puesto que 2<e<3, la grafica de la función exponencial natural esta entre las graficas:

xy 3

Toda función exponencial, con a>0 y a≠1, es una función uno a uno por la prueba de la recta horizontal, y por lo tanto tiene una función inversa. Tal función inversa se llama función logarítmica.

Sea a un numero con a≠1. La función logarítmica con base a, denotada por loga, se define:

Logax=y , entonces xa y Así Logax es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x.

Propiedad Razón.

1. Loga1=0 Se debe elevar a a la potencia 0 para obtener 1.

2. Logaa Se debe elevar a a la potencia 1 para obtener a.

Propiedades de los logaritmos.

3. Se debe elevar a a la potencia x para obtener xa4. Logax es la potencia a la cual se debe elevara para obtener x.

El Logaritmo con base 10 se llama logaritmo común y se denota omitiendo la base: Log x

El logaritmo con base e se llama logaritmo natural y se denota por ln: ln x

Para algunos propósitos, se encuentra útil cambiar los logaritmos de una base a logaritmos de otra base para lo que se utiliza la siguiente formula:

1. El logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los números.

2. El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los logaritmos de los números

3. El logaritmo de una potencia de un numero es el exponente multiplicado por el numero.

BAAB loglog)log(

BAB

Aloglog)log(

AnAn loglog

n

AAn

loglog

xxf log)(

Conjunto de salida=Dominio=IR+Conjunto de llegada=IR= RangoAsíntota en x=0Función creciente

Para un desplazamiento vertical:

nxxf log)(

Para un desplazamiento horizontal:

)log()( nxxf 3log)( xxf

)3log()( xxf

Conjunto de salida= IRDominio= IR+Conjunto de llegada=Rango=RealesCrecienteAsíntota en x=0

Conjunto de salida= IRDominio= (-3 , ∞)Conjunto de llegada=Rango=RealesCrecienteAsíntota en x=-3

Funciones trigonométricas.

Generalidades.a. Circulo unitario: Las propiedades del circulo unitario son muy importantes en la definición de las funciones trigonométricas, básicamente estas propiedades son:1.Tiene radio 1.2.Su centro está en el origen de un plano xy.Su ecuación es:

a.1: Numero de referencia: Sea t un numero real. El numero de referencia t es la distancia mas corta a lo largo del circulo unitario entre el punto sobre la circunferencia determinado por t y el eje x.

Dominios de las funciones trigonométricas.

Función. Dominio.

Sen, Cos. Todos los números reales.

Tan, Sec. Todos los números reales diferentes de

para cualquier entero n.

Cot, Csc. Todos los números reales que no sean

Cuadrante. Funciones positivas.

Funciones Negativas.

1 todas ninguna

2 sen, csc. cos,sec,tan,cot.

3 tan,cot. sen,csc,cos,sec.

4 cos,sec. sen,csc,tan,cot.

Propiedades pares e impares.El seno, la cosecante, la tangente son funciones impares, el coseno y la secante son funciones pares.

IDENTIDADES RECIPROCAS.

Función tangente: Sea t un numero real y P(x,y) el punto

del circulo unitario determinado por t. Definimos:

  La función tangente asocia a cada número real, x, el valor de la tangente del ángulo cuya medida en radianes es x. Según las relaciones trigonométricas basándonos en el triangulo rectángulo podemos definir tangente como:

Análisis de la función tangente.

Dominio:

Rango:

Continuidad: Continua en

Período:

Creciente en:

Máximos: No tiene. Mínimos: No tiene.

Cortes con el eje OX:  

Ejemplo:

Solución: El periodo es y un intervalo adecuado es . Los puntos terminales es decir los intervalos nombrados anteriormente son asíntotas verticales. Por lo tanto graficamos, un periodo completo de la función en estos intervalos. La grafica tiene la misma forma que la de la función tangente, pero esta acortada horizontalmente por un factor de ½. Entonces repetimos esa parte de la grafica a la izquierda y a la derecha.

Ejemplo obtenido del libro Precalculo de James Stewart. (pág. 438).

Función cotangente: Es la recíproca de la

tangente.Sea t un numero real y P(x,y) el punto del circulo unitario determinado por t. Definimos:

La función cotangente asocia a cada número real, x, el valor de la cotangente del ángulo cuya medida en radianes es x.

Según las relaciones trigonométricas basándonos en el triangulo rectángulo podemos definir cotangente como:

Análisis de la función cotangente.

Dominio:

Rango:

Continuidad: Continua en

Período:

Creciente en:

Máximos: No tiene. Mínimos: No tiene.

Impar: cotg(-x) = cotg x

Cortes con el eje x:   

Solución: Primero debemos expresar la ecuación en la forma y= a cot k (x-b) tomando como factor a 3 de la expresión .

Por consiguiente, la grafica es la misma que la de y= 2 cot 3x pero esta desplazada a la derecha . El periodo de y= 2 cot 3x es , por lo que un intervalo adecuado es

(0, ). Para obtener el intervalo correspondiente para la grafica deseada,

Desplazamos este intervalo a la derecha y esto nos da:

Para terminar graficamos el periodo en la forma de la cotangente en el intervalo y repetimos la parte de la grafica a la izquierda y a la derecha.

Ejemplo obtenido del libro Precalculo de James Stewart. (pág. 438).

Referencias de consultahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080913105146AA0LLFkhttp://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rangohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectivahttp://www.amschool.edu.sv/paes/f10.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectivahttp://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/inyectivo-sobreyectivo-biyectivo.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_parhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_imparhttp://www.educar.org/enlared/planes/paginas/funcionpar.htmhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_polin%C3%B3micahttp://www.hiru.com/es/matematika/matematika_03300.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttp://www.x.edu.uy/lineal.htmhttp://www.mitecnologico.com/Main/Funcioneshttp://analisismatematico.wordpress.com/2008/05/21/funcion-constante/http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado.http://www.google.com.co/images?hl=es&q=pi&um=1&ie=UTF-8&source=og&sa=N&tab=wihttp://www.ditutor.com/funciones/funcion_cotangente.htmlLibro Precalculo, James Stewart, Sección de funciones.