funciones zeta locales - paginas.matem.unam.mx · funciones zeta locales edwin leÓn cardenal 1o de...
TRANSCRIPT
Funciones Zeta Locales
EDWIN LEÓN CARDENAL
1o de Diciembre, ENJIM15
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 1 / 12
DefiniciónDado f (x1, . . . , xn) ∈ Z[x1, . . . , xn], consideramosNk := #{ soluciones de f (x) ≡ 0 m«od pk} para k ≥ 1 con N0 = 1.
Ejemplof (x , y) = y − xm, m < p
N0 = 1N1 = pN2 = p2
...Nk = pk
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 2 / 12
DefiniciónDado f (x1, . . . , xn) ∈ Z[x1, . . . , xn], consideramosNk := #{ soluciones de f (x) ≡ 0 m«od pk} para k ≥ 1 con N0 = 1.
Ejemplof (x , y) = y − xm, m < p
N0 = 1N1 = p
N2 = p2
...Nk = pk
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 2 / 12
DefiniciónDado f (x1, . . . , xn) ∈ Z[x1, . . . , xn], consideramosNk := #{ soluciones de f (x) ≡ 0 m«od pk} para k ≥ 1 con N0 = 1.
Ejemplof (x , y) = y − xm, m < p
N0 = 1N1 = pN2 = p2
...
Nk = pk
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 2 / 12
DefiniciónDado f (x1, . . . , xn) ∈ Z[x1, . . . , xn], consideramosNk := #{ soluciones de f (x) ≡ 0 m«od pk} para k ≥ 1 con N0 = 1.
Ejemplof (x , y) = y − xm, m < p
N0 = 1N1 = pN2 = p2
...Nk = pk
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 2 / 12
Más ejemplos
Ejemplo
f (x , y) = y2 − x3
N0 = 1N1 = p vía(t2, t3)
N2 = p(2p − 1)N3 = p2(2p − 1)N4 = p3(2p − 1)N5 = p4(2p − 1)
N6 = p5(p2 + p − 1)N7 = p6(p2 + p − 1)
N8 = p7(2p2 − 1)N9 = p8(2p2 − 1)N10 = p9(2p2 − 1)N11 = p10(2p2 − 1)
N12 = p11(p3 + p2 − 1)N13 = p12(p3 + p2 − 1)
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 3 / 12
Más ejemplos
Ejemplo
f (x , y) = y2 − x3
N0 = 1N1 = p vía(t2, t3)N2 = p(2p − 1)N3 = p2(2p − 1)N4 = p3(2p − 1)N5 = p4(2p − 1)
N6 = p5(p2 + p − 1)N7 = p6(p2 + p − 1)
N8 = p7(2p2 − 1)N9 = p8(2p2 − 1)N10 = p9(2p2 − 1)N11 = p10(2p2 − 1)
N12 = p11(p3 + p2 − 1)N13 = p12(p3 + p2 − 1)
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 3 / 12
Más ejemplos
Ejemplo
f (x , y) = y2 − x3
N0 = 1N1 = p vía(t2, t3)N2 = p(2p − 1)N3 = p2(2p − 1)N4 = p3(2p − 1)N5 = p4(2p − 1)
N6 = p5(p2 + p − 1)N7 = p6(p2 + p − 1)
N8 = p7(2p2 − 1)N9 = p8(2p2 − 1)N10 = p9(2p2 − 1)N11 = p10(2p2 − 1)
N12 = p11(p3 + p2 − 1)N13 = p12(p3 + p2 − 1)
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 3 / 12
Más ejemplos
Ejemplo
f (x , y) = y2 − x3
N0 = 1N1 = p vía(t2, t3)N2 = p(2p − 1)N3 = p2(2p − 1)N4 = p3(2p − 1)N5 = p4(2p − 1)
N6 = p5(p2 + p − 1)N7 = p6(p2 + p − 1)
N8 = p7(2p2 − 1)N9 = p8(2p2 − 1)N10 = p9(2p2 − 1)N11 = p10(2p2 − 1)
N12 = p11(p3 + p2 − 1)N13 = p12(p3 + p2 − 1)
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 3 / 12
Más ejemplos
Ejemplo
f (x , y) = y2 − x3
N0 = 1N1 = p vía(t2, t3)N2 = p(2p − 1)N3 = p2(2p − 1)N4 = p3(2p − 1)N5 = p4(2p − 1)
N6 = p5(p2 + p − 1)N7 = p6(p2 + p − 1)
N8 = p7(2p2 − 1)N9 = p8(2p2 − 1)N10 = p9(2p2 − 1)N11 = p10(2p2 − 1)
N12 = p11(p3 + p2 − 1)N13 = p12(p3 + p2 − 1)
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 3 / 12
Definición
Pf (t) =∞∑
k=0
Nkp−nk tk .
Notemos que esta serie converge absolutamente para |t | < 1.
Ejemplo
1 f (x , y) = y − xm, Pf (t) =∞∑
k=0pkp−2k tk =
∞∑k=0
( tp )
k = 11−t/p = p
p−t
2 f (x , y) = y2 − x3, Pf (t) =p6+(p4−p3)t2−t6
(p−t)(p5−t6)
Conjetura (Borevich y Shafarevich, 1964)Para cualquier f como arriba, Pf (t) es una función racional de t.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 4 / 12
Definición
Pf (t) =∞∑
k=0
Nkp−nk tk .
Notemos que esta serie converge absolutamente para |t | < 1.
Ejemplo
1 f (x , y) = y − xm, Pf (t) =∞∑
k=0pkp−2k tk =
∞∑k=0
( tp )
k = 11−t/p = p
p−t
2 f (x , y) = y2 − x3, Pf (t) =p6+(p4−p3)t2−t6
(p−t)(p5−t6)
Conjetura (Borevich y Shafarevich, 1964)Para cualquier f como arriba, Pf (t) es una función racional de t.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 4 / 12
Definición
Pf (t) =∞∑
k=0
Nkp−nk tk .
Notemos que esta serie converge absolutamente para |t | < 1.
Ejemplo
1 f (x , y) = y − xm, Pf (t) =∞∑
k=0pkp−2k tk =
∞∑k=0
( tp )
k = 11−t/p = p
p−t
2 f (x , y) = y2 − x3, Pf (t) =p6+(p4−p3)t2−t6
(p−t)(p5−t6)
Conjetura (Borevich y Shafarevich, 1964)Para cualquier f como arriba, Pf (t) es una función racional de t.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 4 / 12
DefiniciónLa función zeta local asociada af (x) = f (x1, . . . , xn) ∈ Zp[x1, . . . , xn] \ Zp es
Z (s, f ) :=∫Zn
p
|f (x)|sp dnx , Re(s) > 0.
Teorema (Igusa, 1974)Sea f (x) = f (x1, . . . , xn) ∈ Qp[[x1, . . . , xn]]. Entonces existe un númerofinito de parejas (NE , vE) ∈ (N \ {0})2, E ∈ T , tales que∏
E∈T
(1− pvE−sNE )Z (s, f )
es un polinomio en p−s con coeficientes racionales.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 5 / 12
DefiniciónLa función zeta local asociada af (x) = f (x1, . . . , xn) ∈ Zp[x1, . . . , xn] \ Zp es
Z (s, f ) :=∫Zn
p
|f (x)|sp dnx , Re(s) > 0.
Teorema (Igusa, 1974)Sea f (x) = f (x1, . . . , xn) ∈ Qp[[x1, . . . , xn]]. Entonces existe un númerofinito de parejas (NE , vE) ∈ (N \ {0})2, E ∈ T , tales que∏
E∈T
(1− pvE−sNE )Z (s, f )
es un polinomio en p−s con coeficientes racionales.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 5 / 12
‘Complex Powers’
Sean f ∈ R[x1, . . . , xn] \ R y φ ∈ C∞0 (Rn). Para un número complejo scon Re(s) > 0, la función zeta local asociada a (f , φ) es
Zφ(s, f ) =∫Rn
|f (x)|s φ(x) dx .
Esta función (de s) está bien definida y la aplicación s → Z_(s, f ) esholomorfa en {s ∈ C ; Re(s) > 0} con valores en el espacio dedistribuciones sobre Rn.
Conjetura (Gelfand ~’50)Zφ(s, f ) admite una extensión meromorfa a todo C.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 6 / 12
‘Complex Powers’
Sean f ∈ R[x1, . . . , xn] \ R y φ ∈ C∞0 (Rn). Para un número complejo scon Re(s) > 0, la función zeta local asociada a (f , φ) es
Zφ(s, f ) =∫Rn
|f (x)|s φ(x) dx .
Esta función (de s) está bien definida y la aplicación s → Z_(s, f ) esholomorfa en {s ∈ C ; Re(s) > 0} con valores en el espacio dedistribuciones sobre Rn.
Conjetura (Gelfand ~’50)Zφ(s, f ) admite una extensión meromorfa a todo C.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 6 / 12
‘Complex Powers’
Sean f ∈ R[x1, . . . , xn] \ R y φ ∈ C∞0 (Rn). Para un número complejo scon Re(s) > 0, la función zeta local asociada a (f , φ) es
Zφ(s, f ) =∫Rn
|f (x)|s φ(x) dx .
Esta función (de s) está bien definida y la aplicación s → Z_(s, f ) esholomorfa en {s ∈ C ; Re(s) > 0} con valores en el espacio dedistribuciones sobre Rn.
Conjetura (Gelfand ~’50)Zφ(s, f ) admite una extensión meromorfa a todo C.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 6 / 12
Solución 1: Resolución de Singularidades
1 La idea es utilizar una resolución de singularidades de f , es decir,un morfismo π : Y → Rn que es propio y birracional, con Y nosingular, y de tal manera que en coordenadas locales en Y , f y el‘pullback’ de dx son monomiales.
2 Luego usamos la fórmula de cambio de variable para reducir elcómputo de la integral Zφ(s, f ) hasta integrales de monomios.
Teorema (Bernstein & Gel’fand (’69) – Atiyah(’70))Zφ(s, f ) admite una continuación meromorfica a todo C. Cada polo esde la forma
−ki + Nai
,
para algunos enteros ki ,ai que provienen de la resolución desingularidades de f = 0.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 7 / 12
Solución 1: Resolución de Singularidades
1 La idea es utilizar una resolución de singularidades de f , es decir,un morfismo π : Y → Rn que es propio y birracional, con Y nosingular, y de tal manera que en coordenadas locales en Y , f y el‘pullback’ de dx son monomiales.
2 Luego usamos la fórmula de cambio de variable para reducir elcómputo de la integral Zφ(s, f ) hasta integrales de monomios.
Teorema (Bernstein & Gel’fand (’69) – Atiyah(’70))Zφ(s, f ) admite una continuación meromorfica a todo C. Cada polo esde la forma
−ki + Nai
,
para algunos enteros ki ,ai que provienen de la resolución desingularidades de f = 0.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 7 / 12
Un invariante de f
El umbral log-canónico de f está definido en términos de unaresolución de singularidades por
lct(f ) := m«ıni
ki + 1ai
,
donde se toma el mínimo sobre todas las ‘cartas locales’ en Y .
CorollaryZφ(s, f ) es holomorfa en la región {s ∈ C ; Re(s) > −lct(f )}.
NotaHay muchos otros invariantes de f que se pueden definir en términosde (o están vinculados con ) los polos de Zφ(s, f ) !
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 8 / 12
Un invariante de f
El umbral log-canónico de f está definido en términos de unaresolución de singularidades por
lct(f ) := m«ıni
ki + 1ai
,
donde se toma el mínimo sobre todas las ‘cartas locales’ en Y .
CorollaryZφ(s, f ) es holomorfa en la región {s ∈ C ; Re(s) > −lct(f )}.
NotaHay muchos otros invariantes de f que se pueden definir en términosde (o están vinculados con ) los polos de Zφ(s, f ) !
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 8 / 12
Solución 2:Teoría Algebraica de OperadoresDiferenciales
Teorema (Bernstein ’72)Existe un polinomio b(s) no cero en la variable s que satisface larelación
b(s)f s = P(s, x , ∂x) · f s+1,
para f ∈ C[x1, . . . , xn] y P(s, x , ∂x) ∈ C[s, x , ∂x ], donde · se entiendecomo la acción de P sobre f s+1.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 9 / 12
Problema (Abiertos)1 Determinar exactamente todos los polos verdaderos de Zφ(s, f ).
2 Encontrar un algoritmo para calcularlos efectivamente.3 Funciones zeta topológicas y motívicas.4 Ecuaciones diferenciales p−ádicas.5 Algunos invariantes geométricos y/o topológicos de las
singularidades de polinomios y/o funciones analíticas.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 10 / 12
Problema (Abiertos)1 Determinar exactamente todos los polos verdaderos de Zφ(s, f ).2 Encontrar un algoritmo para calcularlos efectivamente.
3 Funciones zeta topológicas y motívicas.4 Ecuaciones diferenciales p−ádicas.5 Algunos invariantes geométricos y/o topológicos de las
singularidades de polinomios y/o funciones analíticas.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 10 / 12
Problema (Abiertos)1 Determinar exactamente todos los polos verdaderos de Zφ(s, f ).2 Encontrar un algoritmo para calcularlos efectivamente.3 Funciones zeta topológicas y motívicas.
4 Ecuaciones diferenciales p−ádicas.5 Algunos invariantes geométricos y/o topológicos de las
singularidades de polinomios y/o funciones analíticas.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 10 / 12
Problema (Abiertos)1 Determinar exactamente todos los polos verdaderos de Zφ(s, f ).2 Encontrar un algoritmo para calcularlos efectivamente.3 Funciones zeta topológicas y motívicas.4 Ecuaciones diferenciales p−ádicas.
5 Algunos invariantes geométricos y/o topológicos de lassingularidades de polinomios y/o funciones analíticas.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 10 / 12
Problema (Abiertos)1 Determinar exactamente todos los polos verdaderos de Zφ(s, f ).2 Encontrar un algoritmo para calcularlos efectivamente.3 Funciones zeta topológicas y motívicas.4 Ecuaciones diferenciales p−ádicas.5 Algunos invariantes geométricos y/o topológicos de las
singularidades de polinomios y/o funciones analíticas.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 10 / 12
Algunas Generalizaciones1 f ! f := (f1, . . . , f`) : K n → K ` y K arquimediano.
—–, W. Veys & W.A. Zúñiga Galindo. Poles of Archimedean ZetaFunctions for Analytic Mappings. J. London Math. Soc. 87(2013), 1–21.
2 K un campo p−ádico.I —-, & Zúñiga-Galindo W.A., Local Zeta Functions for
Non-degenerate Laurent Polynomials Over p−adic Fields. J.Math. Sci. Univ. Tokyo 20(1) (2013), 1–27.
I —-, Ibadula D., & Segers D., Poles of the Igusa zeta function ofsome hybrid polynomials. Finite Fields Appl. 25 (2014), 37–48.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 11 / 12
Algunas Generalizaciones1 f ! f := (f1, . . . , f`) : K n → K ` y K arquimediano.
—–, W. Veys & W.A. Zúñiga Galindo. Poles of Archimedean ZetaFunctions for Analytic Mappings. J. London Math. Soc. 87(2013), 1–21.
2 K un campo p−ádico.
I —-, & Zúñiga-Galindo W.A., Local Zeta Functions forNon-degenerate Laurent Polynomials Over p−adic Fields. J.Math. Sci. Univ. Tokyo 20(1) (2013), 1–27.
I —-, Ibadula D., & Segers D., Poles of the Igusa zeta function ofsome hybrid polynomials. Finite Fields Appl. 25 (2014), 37–48.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 11 / 12
Algunas Generalizaciones1 f ! f := (f1, . . . , f`) : K n → K ` y K arquimediano.
—–, W. Veys & W.A. Zúñiga Galindo. Poles of Archimedean ZetaFunctions for Analytic Mappings. J. London Math. Soc. 87(2013), 1–21.
2 K un campo p−ádico.I —-, & Zúñiga-Galindo W.A., Local Zeta Functions for
Non-degenerate Laurent Polynomials Over p−adic Fields. J.Math. Sci. Univ. Tokyo 20(1) (2013), 1–27.
I —-, Ibadula D., & Segers D., Poles of the Igusa zeta function ofsome hybrid polynomials. Finite Fields Appl. 25 (2014), 37–48.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 11 / 12
Algunas Generalizaciones1 f ! f := (f1, . . . , f`) : K n → K ` y K arquimediano.
—–, W. Veys & W.A. Zúñiga Galindo. Poles of Archimedean ZetaFunctions for Analytic Mappings. J. London Math. Soc. 87(2013), 1–21.
2 K un campo p−ádico.I —-, & Zúñiga-Galindo W.A., Local Zeta Functions for
Non-degenerate Laurent Polynomials Over p−adic Fields. J.Math. Sci. Univ. Tokyo 20(1) (2013), 1–27.
I —-, Ibadula D., & Segers D., Poles of the Igusa zeta function ofsome hybrid polynomials. Finite Fields Appl. 25 (2014), 37–48.
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 11 / 12
Figura: Gracias!
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac) Funciones Zeta Locales Dic. 2015 12 / 12