funcions exponencial i...

En aquesta unitat estudiarem la funció exponencial i la seva inversa, la funció logarítmica.

Us heu parat mai a pensar quina llei segueix l’evolució del nombre d’individus d’una població biològica? Sovint, quan

no hi ha impediments externs que frenin la supervivència de l’espècie, el creixement és exponencial. Per exemple, hi ha bacteris que tenen un temps de generació de 20 minuts, de manera que un sol individu genera 8 bacteris en una hora, 512 en tres hores i 262 144 en sis hores.

5BLOC 1

FUNCIONS EXPONENCIAL I LOGARÍTMICA

132 BLOC 1. NOMBRES I FUNCIONS5

j 5.1 Potències d’exponent realDonats un nombre real positiu a i un nombre natural n, defi nim an = a · a .(n).. a, amb les propietats següents:

a) an · am = an + m

b) (an)m = an m

c) Si a > 1 i n < m, aleshores an < am.

Si 0 < a < 1 i n < m, aleshores an > am.

d) (a · b)n = an · bn, on b és un nombre real positiu.

Aquesta defi nició pot ampliar-se als nombres enters si afegim:

a0 = 1, a–n = 1an = ( 1

a )n per a n natural

Si a [ R + i n [ N, sabem que hi ha un únic nombre real positiu b tal que bn = a, d’on escrivim b =

n√ a .

Per la propietat b) tenim (anm)m

= anm∙ m

= an anm =

m √ an , que és una potència que té

com a exponent un nombre racional.

Quan nm

és un nombre natural o un nombre enter, ens trobem en un dels casos anteriors.

Farem un pas més en l’ampliació del concepte de potència, considerant la possibilitat que l’exponent sigui un nombre real no racional. Té algun sentit l’expressió 2π? La res-posta és afi rmativa, ja que si π = 3,1415..., les potències següents, que tenen com a exponents nombres racionals, constitueixen una aproximació al número 2π:

23 = 8 23,1 = 23110 = 8,574 187 7

23,14 = 215750 = 8,815 240 9 23,141 = 2

3 1411 000 = 8,213 533

23,141 5 = 26 2832 000 = 8,824 411 1

A partir del concepte de successió i d’algunes propietats de les potències, podem de-fi nir les potències d’exponent irracional. Sigui a un nombre real positiu i p un nombre irracional, també positiu. Podem pensar en les successives aproximacions decimals per defecte o per excés del nombre irracional p.

Sigui {p1, p2, p3, ..., pn, ...} una successió creixent de nombres racionals positius amb límit p. Considerem la successió {a p1, a p2, a p3, a p4, ..., a pn...} que és creixent per a a > 1 i decrei-xent per a 0 < a < 1. A més, la successió de potències està fi tada i, per tant, té límit, que és lim (apn) = ap.

Per exemple, 2π és el límit de la successió 23, 23,1, 23,14, 23,141, 23,141 5, 23,141 59...

Si p és negatiu, es defi neix: a p = 1a–p

= ( 1a )–p

, en què –p és positiu.

Per exemple, 3–e = ( 13 )e

.

Les potències d’exponent irracional defi nides d’aquesta manera verifi quen les mateixes propietats que les potències d’exponent racional.

El fet de poder calcular les potències d’exponent irracional mitjançant aproximacions de potències racionals justifi ca l’existència de potències d’exponent real.

La tecla de la calculadora que ens permet calcular el resultat de qualsevol potència és Xy .

Recorda

La tecla de la calculadora que

5 133FUNCIONS EXPONENCIAL I LOGARÍTMICA

j 5.2 La funció exponencial

Defi nim la funció f(x) = ax per a a [ R+, a ≠ 1 i x [ R, i l’anomenem funció exponencial de base a.Defi nim la funció

La funció exponencial s’expressa mitjançant una potència la base de la qual és una constant positiva i diferent d’1, i l’exponent és la variable independent.

Com que la variable x pot prendre qualsevol valor real, el domini de la funció exponen-cial de base a és el conjunt de tots els nombres reals.

Dibuixem en uns mateixos eixos de coordenades diferents funcions exponencials.

Per exemple, f(x) = 2x, g(x) = 3x i h(x) = ( 12 )x

= 2–x (fi g. 5.1).

Per trobar els diferents punts de cadascuna de les gràfi ques elaborem una taula de va-lors (taula 5.1).

Fig. 5.1

x 2x 3x ( 12 )x

–214

19 4

–1,5 0,353 553 3 0,192 45 2,828 427 1

–112

13 2

0 1 1 1

1 2 312

√ 2 2,665 144 1 4,728 804 4 0,375 214–2

2 4 914

Taula 5.1

Act iv i tats

1> Calcula les potències d’exponent racional següents:

a) ( 23 )– 3

4 b) 3,2 4,5 c) 7–0,3 d) 1025 e) e

– 18 .

R: a) 1,355 403; b) 187,574–98; c) 0,557 789 8; d) 2,511 886 4; e) 0,882 496 9

2> Escriu i calcula els sis primers termes d’una succes-sió que tingui per límit 4√ 3.

R: 4; 10,556 063; 11,004 335; 11,034 887; 11,034 887; 11,035 652

3> Repeteix l’exercici anterior per a 3–π. R: 0,

(

037; 0,033 103 6; 0,031 756 9; 0,031 722 1; 0,031 704–6; 0,031 701 5

4> Troba les cinc primeres aproximacions per defecte d’aquestes potències:

a) 2e b) 3√ 2 c) ( 54 )π

1>

Per a a = 1, la funció f(x) = 1x és la funció constant 1: f(x) = 1x = 1.

Important

Per a


Propietats

Algunes de les propietats de la funció exponencial són idèntiques a les de les potències d’exponent racional; altres es dedueixen a partir de la defi nició i les restants es poden obtenir fàcilment a partir de les gràfi ques que hem dibuixat:

a) Df = R.

b) La funció exponencial de base a és contínua en tot el seu domini.

c) ax > 0, ; x [ R. El recorregut de la funció exponencial de base a és el conjunt dels nombres reals positius.

– Si a > 1, aleshores ax > 1 si x és positiu i 0 < ax < 1 si x és negatiu.

– Si 0 < a < 1, aleshores 0 < ax < 1 si x és positiu i ax > 1 si x és negatiu.

Com que ax ≠ 0, la gràfi ca de la funció f(x) = ax no talla l’eix de les abscisses.

d) ax · az = ax + z, ax

az = ax – z, ;x, z [ R.

e) (ax)z = axz, ;x, z [ R.

f) (a · b)x = ax · bx, ( ab )x

= ax

bx, ;x [ R, ;a, b [ R+.

g) A partir de la propietat de l’apartat d) deduïm a–x · ax = a–x + x = a0 = 1, és a dir:

a–x = 1ax

= ( 1a )x

, ;x [ R

h) Si ah = 1 ⇔ h = 0. Les gràfi ques de totes les funcions exponencials passen pel punt (0, 1).

i) Si ax = az, aleshores x = z. En efecte:

ax = az ax · a–x = az · a–x = az – x

az – x = 1, per la propietat de l’apartat h): ax · a–x = 1 z – x = 0 z = x

j) Si a > 1, la funció exponencial de base a és creixent. Si x < z ax < az (fi g. 5.2 a).

Si 0 < a < 1, la funció exponencial de base a és decreixent. Si x < z ax > az (fi g. 5.2 b).

Fig. 5.2

El símbol ; es llegeix per a qualsevol.

Important

El símbol


{{

k) Les gràfi ques de les funcions exponencials f(x) = ax i g(x) = ( 1a )x

són simètriques respecte de l’eix d’ordenades (fi g. 5.3).

Per a x < 0, els valors de la funció s’apropen a zero a mesura que disminueix el valor d’x.

l) Si a > 1 Per a x > 0, els valors de la funció són cada cop més grans a mesura que augmenta el valor d’x.

Per a x < 0, els valors de la funció són cada cop més grans a mesura que disminueix el valor d’x.

Si 0 < a < 1 Per a x > 0, els valors de la funció s’apropen a zero a mesura que augmenta el valor d’x.

m) Si a > b > 0, aleshores ax > bx ; x [ R+ i ax < bx ; x [ R -.

n) ; y [ R+, ' x [ R tal que ax = y. És a dir, qualsevol imatge y té una única antiimat-ge x.

Una de les funcions exponencials més utilitzada en matemàtiques i en l’àmbit de la ciència i la tècnica és la funció exponencial la base de la qual és el nombre e, nombre que hem tractat en la unitat anterior. Per aquest motiu, les calculadores incorporen en el seu teclat la funció e

x .

Aquesta funció és tan important en el context de les matemàtiques que, quan es parla de la funció exponencial sense especifi car-ne la base, se sobreentén que es tracta de la funció f(x) = ex.

Una altra funció exponencial que tenen les calculadores és 10x , perquè 10 és la base del nostre sistema de numeració.

Fig. 5.3

El símbol ' es llegeix exis-teix.

Important

El símbol

Act iv i tats

5> Representa gràfi cament les funcions exponencials f(x) = ex i g(x) = e–x.

6> A partir de la gràfi ca y = 2x, dibuixa, fent les trans-lacions necessàries, les gràfi ques següents:

a) y = 2x – 1 b) y = 2x + 1 c) y = 2x + 1 − 1

7> Determina les antiimatges de 116

; 0,125; 512 i 5√ 8

en la funció f(x) = 2x. Has d’expressar cadascun d’aquests nombres com una potència de base 2.

R: –4; –3; 9; 35

8> Comprova que es verifi quen les propietats dels apartats j), k), l) i m) amb les funcions exponen-cials següents:

f(x) = 2x, g(x) = 3x, h(x) = ( 12 )x

i p(x) = ( 13 )x

9> La gràfi ca de la funció f(x) = ax passa pel punt (–1, 0,2). Determina el valor d’a.

R: a = 5

10> Quan es defi neix la funció exponencial de base a, per quin motiu s’imposa la condició que aquesta base sigui positiva?


j 5.3 Equacions exponencialsLa propietat de l’apartat n) de la funció exponencial estableix que sempre podem trobar l’exponent de la funció exponencial si coneixem la base i el resultat de la potència. Es tracta, per tant, de resoldre equacions en què la incògnita apareix a l’exponent. Aquests tipus d’equacions s’anomenen equacions exponencials.

Hi ha diferents mètodes per resoldre aquestes equacions. És difícil establir procedi-ments generals perquè, en realitat, l’estratègia que cal seguir depèn de l’equació que s’hagi de resoldre. Evidentment, sigui quin sigui el mètode escollit, haurem de tenir sempre en compte les propietats de la funció exponencial.

Vegem-ne alguns exemples:

j 5x = 625 5x = 54. Per la propietat de l’apartat i), x = 4.

j 82x + 3 = 4x3. Les dues bases es poden expressar com a potències d’un mateix nombre, 2

en el nostre cas: (23)2x + 3 = (22)x3 . Si apliquem la propietat de l’apartat e), tindrem:

26x + 9 = 22x3 6x + 9 = 2x

3 x = – 27

16

j 3x – 1 + 3x + 3x + 1 = 39. Per la propietat de l’apartat d) podem escriure l’equació:3x

3 + 3x + 3 · 3x = 39

Multipliquem per 3 els dos membres: 3x + 3 · 3x + 9 · 3x = 117. Extraiem factor comú 3x:

(1 + 3 + 9) · 3x = 117 13 · 3x = 117 3x = 11713

= 9 3x = 32 x = 2

Comprova que el resultat és correcte en l’equació inicial.

j 4x – 6 · 2x + 1 + 32 = 0, tenint en compte que 4x = (22)x = (2x)2 i 2x + 1 = 2 · 2x:

(2x)2 – 6 · 2 · 2x + 32 = 0 (2x)2 – 12 · 2x + 32 = 0

Si fem el canvi 2x = t, tindrem t2 – 12t + 32 = 0.

Si resolem l’equació de segon grau, obtindrem t1 = 8 i t2 = 4 i, per tant:

2x = 8 = 23 x1 = 3 i 2x = 4 = 22 x2 = 2

En les equacions exponencials que acabem de resoldre sempre hem obtingut una solució racional. En alguns casos, la solució de l’equació exponencial serà una aproximació a la solució exacta, ja que es tractarà d’un nombre irracional. Per trobar les successives aproximacions a la solució, utilitzarem la tecla x

y de la calculadora.

j 2x = 23. No hi ha cap nombre racional que verifiqui aquesta igualtat, ja que no podem expressar el nombre 23 com una potència de base 2. Per la propietat de l’apartat n) sabem que aquesta equació té una solució real. Trobarem una aproximació al valor d’aquesta solució:

24 = 16; 25 = 32. Com que 16 < 23 < 32, aleshores, 4 < x < 5.

24,5 = 22,627 417; 24,6 = 24,251 465. Per tant, 4,5 < x < 4,6.

La solució x = 4,5 és una aproximació per defecte. La solució x = 4,6 és una aproxima-ció per excés. La primera és més aproximada que la segona perquè la potència que en resulta s’apropa més a 23. Tenim una primera aproximació que podem millorar:

24,52 = 22,943 284; 24,53 = 23,102 867, d’on 4,52 < x < 4,53 x 4,52

Seguint el mateix procediment, podrem aproximar-nos a la solució irracional de l’equació plantejada tant com vulguem.


j 5.4 La funció logarítmicaSuposem que a sigui un nombre real positiu i diferent d’1. Si x [ R+, podem plantejar-nos si existeix y [ R+ tal que ay = x. Per la propietat de l’apartat n) de la funció expo-nencial, sabem que sempre existeix un únic nombre real y que verifi ca aquesta condició.

Podem, doncs, defi nir la funció inversa de la funció exponencial de base a. Aques-ta funció s’anomena funció logarítmica en base a, de manera que el nombre y tal que ay = x rep el nom de logaritme, en base a, del nombre x. S’expressa loga x = y, ; x [ R+.

Tingues en compte que les expressions ay = x i loga x = y són equivalents.Tingues en compte que les expressions

Com que les funcions exponencial i logarítmica són inverses, podem escriure:

f(x) = ax, f –1(x) = loga x

D’on tindrem:

(f –1 o f)(x) = f –1[f(x)] = f –1(ax) = loga ax = x

(f o f –1)(x) = f [f –1(x)] = f (loga x) = aloga x = x

logaax = x, ; x [ R; aloga x = x, ; x [ R+

Com hem assenyalat, la funció ex és de gran interès en matemàtiques; el mateix succeix amb la seva inversa, que s’expressa ln x en comptes de loge x, i es llegeix logaritme natural o neperià d’x, en honor al matemàtic escocès John Napier (1550-1617), que va dedicar les seves investigacions als logaritmes.

La notació de la funció logarítmica en base 10 o funció logarítmica decimal també se simplifi ca, i s’escriu log x en comptes de log10 x.

Les calculadores científi ques porten incorporades ambdues funcions: ln i log ; i com a funcions inverses de les anteriors, les funcions exponencials corresponents: e

x i 10x .

Act iv i tats

11> Resol aquestes equacions exponencials: a) 2x · 2x – 1 · 2x + 1 = 64 b) 73x – 2 = √ 7x – 1

c) 1 + 3 + 9 + 27 + ... + 3x= 364 d) 11x 2 – 3x + 2 = 1

e) ( 116)–x + 3

= 323x – 2 f) 9 x – 4 · 3x + 3 = 0

g) 5x + 1 + 5x – 2 + 5x = 15125

h) ax 2 – 2x + 4 = a11

a 8

R: a) x = 2; b) x = 35

; c) x = 5; d ) x1 = 2, x2 = 1;

e) x = – 211

; f ) x1 = 1, x2 = 0; g) x = 0; h) x = 1.

12> Calcula, aproximant-la fi ns a les centèsimes, la so-lució de cadascuna d’aquestes equacions:

a) 3x = 17

b) 5x = 0,8

c) ( 12 )x

= 7

R: a) x 2,58; b) x –0,14; c) x −2,81

11>

El domini de la funció expo-nencial de base a és el recor-regut de la funció logarítmica en base a; el recorregut de la funció exponencial de base a és el domini de la funció lo-garítmica en base a.

Important

El domini de la funció expo-

(f–1 o f) (x) = (f o f–1) (x) = x

Recorda

(f(f(


La igualtat loga ax = x, que hem deduït anteriorment, ens permet calcular alguns loga-

ritmes de manera immediata. Per exemple:

log2 8 = log2 23 = 3 log3

181

= log3 3–4 = –4

log7 9 √ 75 = log7 7

59 = 5

9 ln ( 1

e )–3 = ln e3 = 3

log 1000000 = log 106 = 6

És important tenir sempre present que calcular un logaritme és equivalent a determinar l’exponent d’una potència quan en coneixem la base i el resultat. Naturalment, és un procés senzill sempre que el nombre del qual hem de calcular el logaritme sigui una potència d’exponent racional de la base logarítmica amb què treballem. Observa que és el cas de tots els exemples anteriors.

Com pots suposar, aquesta condició no es compleix sempre. Per exemple, si hem de trobar el valor de log3 5, no podem respondre de manera immediata, ja que, en realitat, ens estan demanant la solució de l’equació 3x = 5, que no és un nombre racional.

Sabem que les gràfi ques de dues funcions que són inverses entre elles són simètriques res-pecte de la bisectriu del primer i tercer quadrants. A partir de les gràfi ques de les funcions

exponencials f(x) = 2x, g(x) = 3x i h(x) = ( 12 )x

dibuixades anteriorment, podem representar

les gràfi ques de les funcions logarítmiques (fi g. 5.4):

f –1(x) = log2 x, g –1(x) = log3 x i h–1(x) = log 1

2 x

En general, conegudes les gràfi ques de les funcions:

f(x) = ax

g(x) = ( 1a )x

podem dibuixar les gràfi ques corresponents de les seves respectives funcions inverses (fi g. 5.5):

f –1(x) = loga x

g–1(x) = log 1a x

Fig. 5.4

x

y = vv = x

Fig. 5.5

Nomes existeixen logaritmes de nombres reals positius. Tanmateix, la funció logarít-mica pot prendre qualsevol valor real.

Important

Nomes existeixen logaritmes


Propietats

Algunes de les propietats que citarem a continuació es poden obtenir fàcilment a partir de les gràfi ques dibuixades. Unes altres es dedueixen a partir de la defi nició de logarit-me i les restants, a partir de les igualtats loga a

x = x i aloga x = x.

a) Df = R+.

b) El recorregut de la funció logarítmica en base a és el conjunt dels nombres reals.

c) La funció logarítmica en base a és contínua en tot el seu domini.

d) Les gràfi ques de les funcions f(x) = loga x i g(x) = log 1a x són simètriques respecte de

l’eix de les abscisses (fi g. 5.6).

e) loga a = 1, loga 1 = 0, ; a [ R+, a ≠ 1. La segona igualtat indica que les gràfi ques de totes les funcions logarítmiques passen pel punt (1, 0) (fi g. 5.6).

f) A partir d’aloga (x z) = x z = aloga x aloga z = aloga x + loga z tenim que:

loga (x z) = loga x + loga z

El logaritme d’un producte és la suma dels logaritmes dels factors.

g) També tenim: aloga x p = x p = (aloga x)p = ap loga x, d’on:

loga xp = p loga x

El logaritme d’una potència és el producte de l’exponent pel logaritme de la base.

Anàlogament, tenim:

loga n√ x = loga x

1n = 1

n loga x = loga x

n

El logaritme d’una arrel és el logaritme del radicand dividit per l’índex de l’arrel.

h) Aplicant les propietats f) i g):

loga xz

= loga (x z–1) = loga x + loga z

–1 = loga x + (–1) loga z = loga x – loga z

El logaritme d’un quocient és el logaritme del dividend menys el logaritme del divisor.

Les tres últimes propietats ens permeten observar que els logaritmes transformen els productes en sumes; els quocients, en restes; les potències, en productes i les arrels, en divisions. Van ser precisament aquestes transformacions les que van despertar l’interès per l’estudi dels logaritmes, ja que en faciliten molt el càlcul.

Al principi, els càlculs complexos s’efectuaven utilitzant taules de logaritmes decimals. Des que l’ús de les calculadores es va generalitzar, aquestes taules van quedar obsoletes i avui dia ja no es fan servir.

En aquests exemples pots veure l’aplicació d’aquestes propietats.

Fig. 5.6

Desenvolupa aplicant logaritmes decimals l’expressió m = 3√ a2 b c–1

d 5.

Resoluciólog m = log

3√ a2 b c–1

d5 = log

3√ a2 b c–1 – log d5 =

= log (a2 b c–1)3

– log d5 = log a2 + log b + log c–1

3 – log d5 =

= 2 log a + log b + (–1) log c3

– 5 log d = 2 log a + log b – log c3

– 5 log d

Exemple 1

Desenvolupa aplicant logaritmes decimals l’expressió


Seguim amb altres propietats de les funcions logarítmiques.

i) Si a > 1, la funció logarítmica en base a és creixent.

Si x < z loga x < loga z (fi g. 5.7 a).

En canvi, si 0 < a < 1, la funció logarítmica en base a és decreixent.

Si x < z loga x > loga z (fi g. 5.7 b).

j) Si a > 1 Quan x augmenta, els valors de la funció també augmenten.

Quan x s’apropa a zero, els valors de la funció augmenten. Si 0 < a < 1

Quan x augmenta, els valors negatius de la funció van disminuint.

k) loga x > logb x quan x > 1 Si 1 < a < b o 0 < a < b < 1 loga x < logb x quan 0 < x < 1

loga x < logb x quan x > 1 Si 0 < a < 1 < b loga x > logb x quan 0 < x < 1

Les propietats dels apartats i), j) i k) es poden interpretar fàcilment a partir de les gràfi ques dibuixades.

l) Considerem la igualtat bx = m, que és equivalent a x = logb m.

Si prenem logaritmes en base a a cada membre de la primera igualtat, tenim:

loga bx = loga m x loga b = loga m x = loga m

loga b D’on obtenim:

logb m = loga mloga b

, que és la fórmula del canvi de base.

Fig. 5.7

a) b)

L’expressió ln p = 3 ln a + ln b + 2 ln c – 4 ln d5

prové d’haver aplicat logarit-

mes neperians a una certa igualtat. De quina igualtat es tracta?

Resolucióln p = 3 ln a + ln b + 2 ln c – 4 ln d

5 = ln a3 + ln b + ln c2 – ln 5√ d4 =

= ln (a3 b c2) – ln 5√ d4 = ln a3 b c2

5√ d4 p = a3 b c2

5√ d4

Exemple 2


Aquesta expressió ens permet calcular el logaritme d’un nombre real positiu en qualse-vol base. Comprovem-ho en el cas de log3 5, que, com hem comentat anteriorment, no és immediat. Segons la propietat de l’apartat l) i amb l’ajut de la calculadora, podem obtenir una aproximació amb tantes xifres decimals com càpiguen a la pantalla:

log3 5 = log 5log 3

= 0,698 970,477 121 2

= 1,464 973 5 31,464 973 5 = 5

Una de les equacions exponencials que hem resolt abans era 2x = 23. Recorda que hem obtingut una aproximació al valor de la seva solució utilitzant la tecla x

y de la calcu-ladora. El concepte de logaritme i la fórmula del canvi de base ens permeten resoldre aquesta mateixa equació més de pressa i amb millor aproximació:

2x = 23 x = log2 23 = log 23log 2

= 1,361 727 80,301 03

= 4,523 561 8

La calculadora científica també ens permet utilitzar els loga-ritmes neperians. Es verifica:

logb m = log mlog b =

ln mln b

Important

La calculadora científica també

Act iv i tats

13> Elabora una taula de valors i dibuixa les gràfi ques d’aquestes funcions:

a) f(x) = ln x b) g(x) = log 14 x

14> Utilitzant les funcions logarítmiques en base 2, 3,

12

i 13

, comprova les propietats dels apartats i), j)

i k) de la funció logarítmica.

15> A partir de la gràfi ca y = log2 x, dibuixa, aplicant les translacions corresponents, les gràfi ques:

a) y = log2 (x + 1) b) y = log2 x − 1

16> Demostra les igualtats:

loga b = –loga 1b

= –log 1a b

17> Troba, sense utilitzar la calculadora, els logaritmes següents:

a) log7 49 b) log3 729 c) log9 19

d) log11 3√ 121 e) log234 1 f) log 1

3 27

g) log 15 125 h) log 1

6 7√ 216 i) log225 15

R: a) 2; b) 6; c) –1; d ) 23

; e) 0; f ) –3; g) –3;

h) − 37

; i ) 12

18> Calcula x en cadascuna d’aquestes igualtats:

a) log3 x = –1 b) logx 125

= –2

c) logx63 = –3 d) log x = 1

2 e) ln x = – 2

3 f) log

√ 7 x = –2

R: a) x = 13

; b) x = 5; c) x = 16

;

d ) x = √ 10 ; e) x = e– 2

3 ; f ) x = 17

19> Si log 3 = m, escriu en funció d’m:

a) log 8 100 b) log √ 3 000 c) log 7√ 0,27

d) log 1729

e) log ( 12,43)6

f) log 0,97,29

g) log 0,3 h) ,log 0 3! i) log 10

81

20> a) Desenvolupa l’expressió següent aplicant logarit-mes neperians als dos membres de la igualtat:

p = (a2 b–3 c)

13

d 5 m–2

b) Escriu sense logaritmes decimals:

log p = 52

(3 log a – 2 log b + log c – 7 log d)

21> Expressa la relació que hi ha entre log 2 i ln 2.

22> Utilitza la calculadora per trobar log5,2 12,45, log13 87, log0,3 0,675, ln π, log e.

23> Quina relació hi ha entre loga b i logb a?

24> Donats els números √ 21, 13

, 2, 0, 2 i 123, ordena del més petit al més gran:

a) Els seus logaritmes en base 7.

b) Els seus logaritmes en base 13

.

25> Per què log1 x no és una funció?

26> Dues de les quatre expressions següents són equi-valents. Indica quines són i demostra-ho.

a) ln (a b) + ln (a c) b) ln (a b) ln (a c)

c) ln (a b + a c) d) ln a + ln (b + c)

13>


j 5.5 Equacions logarítmiquesLes equacions en què les incògnites van precedides d’un logaritme s’anomenen equa-cions logarítmiques.

En general, per resoldre-les cal arribar a una igualtat entre logaritmes de la mateixa base, escriure la igualtat equivalent sense logaritmes i resoldre l’equació que en re sulta. Finalment, hem d’esbrinar si les solucions que hem trobat verifiquen les equa cions ini-cials. Naturalment, rebutjarem les solucions que no les verifiquin.

Vegem-ne algun exemple:

j 2 log x – log (x – 16) = 2. Si apliquem les propietats dels logaritmes, tindrem:

log x2

x – 16 = log 102

D’aquesta expressió podem deduir:

x2

x – 16 = 100 x2 – 100x + 1 600 = 0 x1 = 20, x2 = 80

Les dues solucions són vàlides perquè ambdues verifiquen l’equació inicial.

j log2 x + log2 (x – 2) = 3. A partir de les propietats dels logaritmes:

log2 [x(x – 2)] = log2 23

D’on:x(x – 2) = 8 x2 – 2x – 8 = 0 x1 = 4, x2 = –2

Quan substituïm x = –2 a l’equació inicial resulta log2 (–2), que no existeix. Per tant, l’única solució de l’equació plantejada és x = 4.

j De manera semblant, es poden resoldre sistemes d’equacions logarítmiques:

log x + 2 log y = 4 log x – log y = 1

Per resoldre aquest sistema podem seguir dos camins:

a) El considerem com un sistema de dues equacions amb dues incògnites, log x i log y. Apliquem el mètode de reducció i n’obtenim:

3 log x = 6 log x = 2 x = 100

Substituïm el valor d’x en una de les dues equacions:

log y = 1 y = 10

b) Si apliquem les propietats dels logaritmes a cada equació, resulta:

log (xy2) = log 104 xy2 = 10 000

log xy

= log 10 xy

= 10 x = 10y

Substituint a la primera equació:

10y3 = 10 000 y3 =1 000 y = 10

D’on obtenim:x = 10y = 10 · 10 = 100 x = 100

Si substituïm a les equacions inicials, comprovem que x = 100 i y = 10 són, en efecte, la solució del sistema plantejat.


j x + y = 65 log x + log y = 3

En aquest cas, forçosament hem de buscar una equació equivalent a la segona en què no apareguin logaritmes. Observa que aplicar logaritmes en la primera de les dues equacions no ens porta enlloc.

log x + log y = 3 log (xy) = log 103 xy = 1 000 x + y = 65

Per substitució obtenim dues solucions: x1 = 40 i y1 = 25 o x2 = 25 i y2 = 40.

Comprova que ambdues solucions són vàlides.

j Algunes equacions exponencials es poden resoldre amb l’ajuda dels logaritmes. De fet, ja n’hi hem resolt una anteriorment. Vegem-ne un altre exemple:

32x = 12 2x = log3 12 = log 12log 3

= 1,079 181 20,477 121 2

= 2,261 859 4

Per tant:

x = 2,261 859 42

= 1,130 929 7

j 5.6 Aplicacions de les funcions exponencial i logarítmica

A partir de les funcions exponencial i logarítmica es poden resoldre molts problemes. Tot seguit en veurem alguns exemples.

j Considerem que un bacteri es divideix cada 30 segons en dos nous bacteris, cadascun dels quals es torna a dividir, cada 30 segons, en dos més, i així successivament; és a dir, que la població de bacteris es dobla cada 30 segons, sempre que les condicions del cultiu bacteriològic no es modifi quin. Quants bacteris hi haurà en el cultiu al cap de 5 minuts?

La funció b(t) = 2t

30, en què t és el temps en segons, ens dóna el nombre de bacteris que hi ha en cada moment. Tenint en compte que 5 minuts són 300 segons, al cap de 5 minuts hi haurà b (300) = 210 = 1 024 bacteris en el cultiu.

Quant de temps ha de transcórrer perquè hi hagi 4 096 bacteris?

La resposta s’obté resolent l’equació:

2t

30 = 4 096 2t

30 = 212 t30

= 12

D’on t = 30 · 12 = 360; t = 360 s = 6 min.

loga (x + y) ≠ loga x + loga y

Important

log

Act iv i tats

27> Determina la solució de les equacions logarítmi-ques següents:

a) log2 x2 – log2 (x – 3

4 ) = 2

b) 2[1 –log (2x + 3)] = 4 log √ 5x – 3

c) log 2 + log (11 – x2)

log (5 – x) = 2

R: a) x1 = 3; x2 = 1; b) x = 2;

c) x1 = 3; x2 = 13

28> Resol aquests sistemes:

a) log x + log y = 2 x – y = 15

b) 2 log y – 3 log x = 1 log x + log y = 3

Soluciona el sistema b) de dues maneres diferents. R: a) x = 20; y = 5; b) x = 10; y = 100

29> Aplicant logaritmes, resol l’equació exponencial 53x – 1 = 17. R: x = 0,920 124 8

27>


j Una dada de gran interès és la taxa de població d’un determinat país. Com ja saps, s’expressa en tant per cent.

Es calcula que a fi nals d’aquest any, Egipte tindrà 54 milions d’habitants. Al mateix temps, en els últims anys s’ha observat que la població d’aquest país creix amb una taxa interanual del 2,7 %. Suposant que aquesta taxa es mantingui en els propers anys, quants habitants tindrà Egipte d’aquí a deu anys?

D’aquí a un any:

54 + 54 · 2,7100

= 54 + 54 · 0,027 = 54 (1 + 0,027) = 54 · 1,027 = 55, 458

Egipte tindrà, aproximadament, 55 458 000 habitants.

D’aquí a dos anys:

55,458 + 55,458 · 2,7100

= 55,458 + 55 458 · 0,027 =

= 55,458 (1 + 0,027) = 55,458 · 1,027 = 54 · 1,027 · 1,027 = 54 · 1,0272 =

= 54 · 1,054 729 = 56 955 366 habitants

Per saber els habitants que tindrà d’aquí a tres anys, n’hi ha prou a calcular:

54 · 1,0273 = 54 · 1,083 206 7 = 58 493 161 habitants

Per tant, d’aquí a deu anys, Egipte tindrà: 54 · 1,02710 = 70 485 242 habitants.

I d’aquí a t anys? Generalitzant el procés que hem seguit, s’arriba a l’expressió següent: 54 · 1,027t.

La funció que expressa la dependència entre el nombre d’habitants i el temps t trans-corregut en anys és:

h(t) = h0 (1 + r)t

Aquí, h0 és el nombre inicial d’habitants (nombre d’habitants per a t = 0) i r, el tant per u anual de variació de la població.

Si reprenem el problema de la població, quants anys han de transcórrer perquè Egipte arribi als 100 milions d’habitants?

100 = 54 · 1,027t 1,027t = 10054

= 1,851 851 9

t = log1,027 1,851 851 9 = log 1,851 851 9log 1,027

=

= 0,267 606 20,011 570 4

= 23,128 43 t 23,13 anys

j Un problema semblant a l’anterior és el de l’interès compost, el tipus d’interès amb què treballen les entitats bancàries.

Si dipositem 3 500 € en un banc a un interès compost del 4 % anual, quants anys hauran de transcórrer perquè es converteixin en 10 000 €?

L’expressió que hem d’aplicar en aquest cas és aquesta:

Ct = C0(1 + r)t

Si la població disminueix, la taxa de variació serà nega-tiva. En conseqüencia, l’ex-pressió serà:

h(t) = h0 (1 − r)t

Important

Si la població disminueix, la


En aquesta expressió C0 és el capital inicial; r, el tant per u d’interès anual, i t, el temps de l’operació en anys.

A partir de l’enunciat del problema podem escriure la igualtat següent:

10 000 = 3 500 · 1,04t, d’on 1,04t = 10 0003 500

= 2,857 142 9

I, per tant:

t = log1,04 2,857 142 9 = log 2,857 142 9log 1,04

= 0,455 931.90,017 033 3

= 26,767 03 → t 26,77 anys

I si dipositem els 3500 € a un interès compost anual del 4,5 %, quin serà el nostre capital d’aquí a cinc anys?

C5 = C0(1 + r)5 = 3 500(1 + 0,045)5 = 3 500 · 1,0455 = 4 361,64 €

A més de l’interès compost, també existeix, almenys en teoria, l’anomenat interès continu, l’expressió del qual és: Ct = C0 e

r t.

Quants anys han de passar perquè es dobli un capital invertit al 8 % d’interès continu anual?

Es verifica: Ct = 2C0 2C0 = C0 e0,08t e0,08t = 2

D’on: 0,08t = ln 2 = 0,693 147 1

t = 0,693 147 10,08

= 8,664 339 8 → t 8,66 anys

j Hi ha una pràctica de física que consisteix a estudiar l’evolució que experimenta la temperatura d’una certa massa d’aigua que es deixa refredar de manera espontània des d’una temperatura inicial propera al punt d’ebullició. Es mesura la temperatura de l’aigua a intervals de temps iguals, per exemple, cada minut, i les dades que se n’obtenen es recullen en una taula.

Els valors que es van obtenir en una experiència concreta es mostren en la taula 5.2, i la representació gràfica temperatura-temps d’aquests valors, en la figura 5.8. És clar que té l’aspecte d’una funció exponencial decreixent.

(min)

Fig. 5.8

T(°C) t(min) T(°C) t(min) T(°C) t(min)

93 0 49 25 37 50

89 1 49 26 37 51

85 2 48 27 36 52

82 3 47 28 36 53

79 4 47 29 36 54

76 5 46 30 35 55

74 6 46 31 35 56

72 7 45 32 35 57

70 8 44 33 34 58

68 9 44 34 34 59

67 10 43 35 34 60

65 11 43 36 33 61

64 12 42 37 33 62

62 13 42 38 33 63

61 14 41 39 33 64

59 15 41 40 32 65

58 16 40 41 32 66

57 17 40 42 32 67

56 18 39 43 32 68

55 19 39 44 31 69

54 20 39 45 31 70

53 21 38 46 31 71

52 22 38 47 31 72

51 23 38 48 31 73

50 24 37 49 31 74

Taula 5.2


j Finalment, citarem una funció exponencial molt important en l’estudi de l’estadística i que tindràs ocasió de veure més endavant:

f(x) = 1√ 2π

e–x2

2

És la funció de densitat d’una variable aleatòria contínua x, que segueix una distribució normal N(0, 1). La gràfi ca d’aquesta funció és la que pots veure en la fi gura 5.9. Es coneix amb el nom de campana de Gauss.

Fig. 5.9 Act iv i tats

30> En una entitat bancària es dipositen al 3 % d’interès compost anual 15 025 €. Quin és el benefici que s’obtindrà al cap de 5 anys? Repeteix el problema suposant que l’interès sigui continu. Compara els resultats obtinguts.

R: compost: b = 2 393,09 €; continu: b = 2 431,56 €

31> Després de ser utilitzades durant x anys, el percentatge de bateries d’au-tomòbil que es mantenen en funcionament sense necessitat de ser carre-gades ve donat per l’expressió: f(x) = 100 · 0,8x

a) Quin percentatge de bateries es troba en bon estat després de 3 anys de funcionament?

b) Quin tant per cent es deteriora durant el tercer any?

c) Quants anys han de transcórrer per tal que es deteriorin el 75 % de les bateries?

R: a) 51,2 %; b) 12,8 %; c) 6,21 anys

32> El radi és un element radioactiu. Una mostra de radi es descompon per emissió de radiacions d’acord amb l’equació: m = 10 · e –4,36 · 10–4t, on m és la massa de la mostra expressada en grams i t el temps expressat en anys.

a) Quina és la massa de radi que hi ha inicialment a la mostra?

b) Indica quants grams de radi hi haurà d’aquí a 1 000 anys.

R: a) m = 10 g; b) m = 6,466 177 g

33> Invertim 4 500 € en una entitat bancària al 4,25 % d’interès continu. Calcula:

a) Els interessos que obtindrem d’aquí a 4 anys.

b) Els anys que han de passar per acumular 5 800 €.

R: a) 833,87 €; b) 6 anys

30>


L’escala de Richter

El 28 de desembre de 1908, un terratrèmol de magnitud 7,5 provocava a la ciutat de Messina (Sicília) la mort de 120 000 persones. El 28 de juliol de 1976, a les 3 de la matinada, un terratrèmol de magnitud 7,9 va arrassar la ciutat xinesa de Tangxan, prop de Pequín, i es van comptabilitzar al voltant d’uns 600 000 morts. El 30 de setembre de 1993, un terratrè-mol de magnitud 6,4 va causar milions de morts a l’Índia. Què signifi ca, però, la magnitud d’un terratrèmol?

Sovint, la primera mesura de la intensitat d’un terratrèmol ve donada pels danys que ocasiona (fi g. 5.10). Sembla més lògic mesurar els sismes per la quantitat d’energia que alliberen, però aquestes quantitats d’energia són molt variables i moltes vegades s’expressen mitjançant nombres molt grans. Hi ha terratrèmols cent mil milions de vegades més intensos que d’altres i, d’altra banda, un terratrèmol no gaire intens, de magnitud 5,5, pot alliberar tanta energia com l’explosió nu-clear de 10 quilotons realitzada l’any 1946 a Bikini (illes Mar-shall).

Per evitar l’ús d’aquests nombres tan grans, les escales em-prades per mesurar la intensitat dels terratrèmols utilitzen logaritmes decimals. L’escala més usual la va introduir el

sismòleg nord-americà C. Richter (1900-1985) l’any 1935. Aquesta escala defi neix la magnitud M d’un terratrèmol en funció de l’amplitud A de les ones superfi cials que ocasiona, de la manera següent:

M = log A + C

Aquí, C = 3,3 + 1,6 log D – log T és una constant que depèn del període T de les ones enregistrades en el sis-mògraf (fi g. 5.11) i de la distància D que hi ha entre el sismò graf i l’epicentre del terratrèmol, expressada en graus angulars.

Cal tenir present que la magnitud M és una mesura logarít-mica decimal. Per aquest motiu, diferències no gaire signifi -catives entre els valors de M de dos terratrèmols corresponen a diferències considerables entre les seves intensitats. Per exemple, les amplituds d’ones superfi cials corresponents a dos sismes de magnituds M1 = 6 i M2 = 8 verifi quen:

M1 = 6 log A1 + C = 6; M2 = 8 log A2 + C = 8

log A2 – log A1 = 2 log A2

A1 = log 100

A2

A1 = 100 A2 = 100 A1

Això signifi ca que un terratrèmol és cent vegades més intens que l’altre.

Com que la magnitud M és una expressió logarítmica decimal, una diferència d’una unitat a l’escala de Richter signifi ca una amplitud sísmica enregistrada deu vegades més gran.

Els terratrèmols de magnitud –1 o –2 són molt febles, men-tre que els de magnitud superior a 7 són devastadors. A Es-panya, el més fort enregistrat fi ns ara va assolir la magnitud 6,7 a l’escala de Richter, i es va produir a Granada el dia de Nadal de l’any 1884: va ocasionar 750 morts i va ser el res-ponsable de la destrucció de 5000 cases. L’any 1906 es va produir a San Francisco (Estats Units) un terratrèmol de magnitud 8,25.

Fig. 5.11. Registre d’un terratrèmol.Fig. 5.10. Terratrèmol de Cristchurch (Nova Zelanda), l’any 2010.

Punt final


1> Dibuixa en uns mateixos eixos de coordenades les

funcions exponencials ( 32 )x

i ( 23 )x

i les funcions loga-

rítmiques log 32 x i log 2

3 x.

2> Es considera la funció exponencial f(x) = ax. Demos-tra que si el punt (p, q) és un punt de la seva gràfi-

ca, també ho és el punt (–p, 1q ).

3> Determina el punt en què la gràfica de cadascuna de les funcions següents talla l’eix de les ordenades:

a) f(x) = 5ex

b) h(x) = –3 + 2a–x

c) g(x) = –2( 13 )x + 1

d) p(x) = 1 – 32x

R: a) (0, 5); b) (0, –1); c) (0, – 23 ); d) (0, 0)

4> Resol aquestes equacions:

a) x–4 = 256

b) √ 3√ 3√ 3 √ 3 = ( 13 )1 – x

c) 3x · 5x – 1 = 10 125

d) √ √ 7 + 6 √ 7 = 49x2

e) 27x3 = 1125

f) 54x – 3 · 52x – 10 = 0

g) 5x – 1 = 2 + 35x – 2

h) (ax – 3)x = ( 1a )–2x

i) (2x) e52 45=

j) 7x + 7x + 1 + 7x + 2 = 2 793

R: a) 14

; b) x = 3116

; c) x = 4; d) x = 34

;

e) x = 115

; f) – 12

; g) x = 2;

h) x1 = 0, x2 = 5; i ) x = 12e2

; j ) x = 2

5> Demostra que si f(x) = 3–x, aleshores f(x + 2) = f(x)9

i f(x – 3) = 27 · f(x).

6> Hem rebut a casa una carta que ens augura bona sort si n’enviem una fotocòpia a cinc persones. En cas contrari, si trenquem la cadena, la sort se’ns girarà en contra. Quina funció expressa el nombre de persones que rebran la carta successivament, si la cadena no es trenca?

R: f(x) = 5x

7> Determina el punt en què la gràfica de cadascuna d’aquestes funcions talla l’eix de les abscisses:

a) f(x) = log (x + 3) b) g(x) = ln (2x – 5)

c) h(x) = log3 √ 3x d) f(x) = log5 5x

R: a) x = –2 → (–2, 0) b) x = 3 → (3, 0)

c) x = 13

→ ( 13

, 0) d) x = 5 → (5, 0)

8> Calcula els logaritmes següents sense utilitzar la calculadora:

a) log4 116

b) log5 3√ 25 c) log 1

a a√ 3 d) log

1

√ 10

e) log 12 2 f) log9

13

g) log0,001 0,1

R: a) –2; b) 23; c) –√ 3 ; d) – 1

2; e) –1; f) – 1

2; g) 1

3

9> Calcula: a) log a b ∙ logb a b) log 1

a a + logb

1b

R: a) 1; b) –2

10> Si log 2 = m, expressa en funció d’m:

a) log 1 600 b) log 5√ 0,000 2

c) log √ 0,006 4

d) log( 11,28)–3

e) log 12,5 f) log 0,87

11> Determina l’expressió de log x que correspon a ca-dascuna de les igualtats següents:

a) x = (3a2 bc3 d )2

b) x = 4√ a(b + c)d 5

c) x = a3 b4 c16

m23 n √ p

d) x = hm n p q r

Activitats fi nals


12> Estableix l’expressió d’x corresponent a:

a) ln x = 3 ln a + 2 ln b – 12

ln c

b) log x = 15

(3 log a – 2 log b) – 7(log c + 4 log d)

c) log4 x = 3 log4 a + 2 log4 b – log4 c + log4 d3

d) ln x = 12

(3 ln a + ln b – ln c – 5 ln d)

13> Calcula logx (logx x√ x ).

R: 12

14> Tenim les quatre expressions següents:

loga (p2 – q2); 2 loga p –2 loga q;

2 loga (p – q); loga (p + q) + loga (p – q)

En totes elles es verifica que p > q > 0.

a) Demostra que dues d’aquestes expressions són equivalents.

b) Calcula el valor de la primera expressió per a a = 2, p = 3 i q = 1.

R: b) 3

15> Resol aquestes equacions:

a) 2 log x – 4 log 2 = 3 log x

b) 3 log2 x – 2 log2 x3

= 2 log2 3 + 1

c) 3 ln x – ln 32 = ln x2

d) ln 2 + ln (11 – x2) = 2 ln (5 – x)

e) 10 log x

1 + 102 log x = 1

2

f) 2 log x = 3 + log x10

g) 73x + 2 = 140

R: a) x = 116

; b) x = 2; c) x = 4; d) x1 = 3, x2 = 13

;

e) x = 100; g) x = 0,179 833 9

16> Calcula x en cadascuna de les igualtats següents:

a) log3 √ x = 1

2 b) logx 2x = 2

c) log 13 x = – 1

2 d) logx √ 2 = 3

e) logx 1

2 √ 2 = –3 f) log4 x = 3

2

R: a) x = 3; b) x = 2; c) x = √ 3 ; d) x = 6√ 2 ; e) √ 2 ;

f) x = 8

17> Determina el valor d’a per tal que quan incremen-tem en tres unitats el logaritme en base a de 6, obtinguem el logaritme en base a de 48.

R: a) a = 2

18> En el país dels nombres es poden escoltar con-verses molt estranyes. Fixa’t en aquesta i intenta identificar-ne els dos personatges.

y: Sóc el teu logaritme decimal.

x: Ep! Sóc deu vegades més gran que tu.

19> Resol els sistemes d’equacions següents:

a) log x + log y = 3

2 log x – 2 log y = –1

b) log x – log y = 1

3x + 5y = 35

c) log x + 3 log y = 5

log x2

y = 3

d) x2 – y2 = 11

log x – log y = 1

e) 2 log y – 3 log x = 1

log (x y) = 3

f) logx (y – 18) = 2

logy (x + 3) = 12

R: a) x = 1054 , y = 10

74 ; b) x = 10, y = 1;

c) x = 100, y = 10; d) x = 103

, y = 13

;

e) x = 10, y = 100; f) x = 32

, y = 814

20> Sabent que ln 5 = a i ln 7 = b, expressa en funció d’a i b:

a) ln 35 b) ln 1,4 c) ln 12549

d) ln (175e)3

e) ln √ 9,8 f) log5 7 g) ln 3

√ 352 h) log7 5


21> El pare de l’Albert i el Jordi és matemàtic. Quan li pregunten les edats dels seus fills, respon: «La potència de base 2 i exponent l’edat del Jordi és igual a la potència de base 8 i exponent 5 menys l’edat de l’Albert. D’altra banda, el logaritme en base l’edat de l’Albert de 64 és igual a l’edat del Jordi». Quina és l’edat de cadascun dels dos nois?

R: x = 4, y = 3

22> La taxa de despoblació d’una ciutat és del 5 % anual. Suposant que aquesta taxa no es modifi-ca, quants anys hauran de transcórrer perquè la població actual es redueixi a la meitat? Si actual-ment aquesta ciutat té 100 000 habitants, quants en tindrà d’aquí a set anys?

R: 89 961 habitants

23> Escriu l’enunciat d’un problema relatiu a diners o població, de manera que la seva resolució con- dueixi a l’equació:

150 000 · 1,08x = 200 000

a) Situa, raonadament, entre dos nombres enters consecutius el valor d’x que és la solució de l’equació.

b) Aïlla x, utilitzant el tipus de funció matemàtica que consideris adient.

c) Calcula el valor d’x.

R: c) x = 3,738 022 1

24> La població d’un estat, en milions d’habitants, ve donada per l’expressió següent:

( )e

f x4 1

20x

100=

+-

on x és el temps expressat en anys. Quina és la població actual?

R: 4 milions d’habitants

25> Es realitza un estudi psicològic amb nens i nenes de sis anys. Aquest estudi consisteix a mostrar-los, durant un temps d’x minuts, un conjunt d’objec-tes y. Després de retirar-los, se’ls demana que els identifiquin dins un conjunt d’objectes molt més ampli. Els resultats obtinguts s’ajusten a l’expressió

f(x) = 15(1 – e–0,2x), en què f(x) és el nombre d’ob-jectes identificats per cada nen o nena després de ser observats durant x minuts.

a) Quants objectes pot recordar cada nen o nena després de cinc minuts d’observació?

b) I després d’una hora i quaranta minuts?

c) I al cap de setze hores i mitja d’observació ininterrompuda?

d) A partir dels resultats obtinguts, quines conclu-sions pots extreure’n?

26> Una empresa considera que la seva evolució econò-mica s’ajustarà a la funció: f(x) = ln (x + 1) – (x – 2) en què x representa el nombre d’anys que han pas-sat des de la seva fundació i f(x), els beneficis o pèrdues de l’empresa en milers d’euros.a) Quina és la situació econòmica de l’empresa en

el moment de la seva fundació?b) Dibuixa un gràfic aproximat de la funció per

saber si d’aquí a deu anys l’empresa tindrà be-neficis o pèrdues.

c) Seria aconsellable comprar accions d’aquesta empresa? Per què?

27> Es dipositen 10 000 € en una entitat bancària al 2,5 % d’interès compost anual. Escriu l’expressió algèbrica de la funció c(t), que dóna el capital acumulat en funció del temps expressat en anys. Després, calcula:

a) El capital acumulat al cap de 10 anys. b) Els anys que han de passar per obtenir un be-

nefici de 6 000 €. R: a) 12 800,85 €; b) 19 anys

28> El nivell d’intensitat del so es mesura en decibels segons l’expressió D = 10 log I

I0

, on I0 = 10–12 W/m2

és la intensitat del so anomenada llindar d’audició i I és la intensitat del so de la qual volem deter-minar el nivell. Calcula:

a) Els decibels (dB) que corresponen a la intensi-tat del llindar d’audició.

b) El nivell d’intensitat de so que produeix un reactor d’I0 = 8 · 102 W/m2.

c) La intensitat del so que es coneix com a llindar del dolor, si li corresponen 120 dB.

R: a) D = 0 dB; b) D = 149,031 dB; c) I = 1 dBW/m2


1> Fes una taula de valors i representa gràfi cament en els mateixos eixos de coordenades cadascuna de les funcions següents:

f(x) = 3x

g(x) = log3 x

Elabora també una llista de les característiques de cada corba i compara-les.

2> Resol les equacions i el sistema següents:

a) log5x = –3

b) 3x+1 = 150

c) 9x – 3x+1 – 54 = 0

d) 2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 480

e) 2 log x = log(3 – x) + log 4

f) log x + log (y + 12) = 1 }2x – y = 4

3> Si log3 p = 5 i log3 q = –2, calcula el resultat de les expressions següents aplicant les propietats dels logaritmes:

a) log3 (p · q)

b) log3 p2

c) log3 (p · q3)

d) log3 qp5

4> La datació de restes arqueològiques es pot fer a partir de la quantitat de carboni 14 (14C) que contenen. La quantitat residual de 14C que es troba al fòssil segueix la funció exponencial q(t) = q0 · 2 –

t

5700, on q0 és la quantitat inicial de 14C que contenia el fòssil quan era viu i t, el temps en anys. Calcula l’edat d’una mòmia si la quantitat de 14C que presenta és la meitat de la que tenia quan era viva.

Avaluació

1>

BLOC

2 MATEMÀTICA SOCIAL

152

Unitat 6 Unitat 7 Unitat 8Matemàtica financiera Estadística descriptiva Distribucions bidimensionals

Unitat 9 Unitat 10Probabilitat Distribució de probabilitat

funcions exponencial i...

Documents