funções de mais de uma variável

Funções de mais de uma variável

Derivadas Parciais

Everton Lopes

Derivadas Parciais

• Dada uma função de duas variáveis

z = f(x,y), podemos, a partir de f, formar duas funções de uma só variável, bastando para isto considerarmos a outra variável constante.

• g1(x) = f(x,yo)

• g2(y) = f(xo,y)

Quando isto acontece, dizemos que temos as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente.

Derivadas Parciais

Seja z = f(x,y). A derivada parcial de f em relação à

variável x é uma função denotada por , tal que,

seu valor num ponto (x,y) do domínio de f é dado por ,

se esse limite existir

Analogamente, a derivada parcial de f em relação à

variável y é definida como

x

f

x

)y,x(f)y,xx(flim)y,x(

x

f

0x

y

)y,x(f)yy,x(flim)y,x(

y

f

0y

Derivadas Parciais

Observemos que, no primeiro caso, para , demos um

acréscimo à variável x, mantendo y constante e no

segundo caso, para , demos um acréscimo à variável y,

mantendo x constante.

Também são usadas as seguintes notações:

x

f

y

f

)y,x(f)y,x(fD)y,x(x

fx1

)y,x(f)y,x(fD)y,x(y

fy2

Derivadas Parciais

Podemos usar também as seguintes expressões para as derivadas parciais num ponto (xo,yo):

Exemplo 1: Usando a definição calcule as derivadas parciais da função f(x, y) = 3x + 2y

Exemplo 2: Usando a definição calcule as derivadas parciais da função f(x, y) = 4x2 + 5xy

o

ooo

oxxoo xx

)y,x(f)y,x(flim)y,x(

x

f

o

ooo

oyyoo yy

)y,x(f)y,x(flim)y,x(

y

f

Derivadas Parciais

Observemos que teríamos o mesmo resultado se tivéssemos derivado f, supondo y constante para

e derivado f supondo x constante para .• Todas as regras para funções de uma variável se

aplicam nesse caso.• De maneira análoga, define-se e calcula-se as derivadas

parciais para funções de mais de duas variáveis• Exercícios no quadro

x

f

y

f

Derivadas Parciais

Interpretação Geométrica:• Seja z = f(x,y). O gráfico de f é a superfície de equação

z = f(x,y). Consideremos a curva C1 obtida quando interceptamos o plano y = yo com a superfície z = f(x,y). A equação de C1 é dada por :

)y,x(fz

yy:C

o

o1

yo

xo

zo

C11

1

t1

Derivadas Parciais

Tomando y = yo temos que z = f(x, yo) = g(x) e )x(g)y,x(x

zooo

é o coeficiente angular de t1, reta tangente a C1

no ponto Po(xo, yo, f(xo,yo)) = Po(xo, yo, zo ).

Assim, t1 tem as seguintes equações

)xx)(y,x(x

fzz

yy

oooo

o

Derivadas Parciais

Consideremos agora a curva que é o traço da superfície z = f(x,y) sobre o plano x = xo

)y,x(fz

xx:C

o

o2

Tomando x = xo temos que z = f(xo, y) = g(y) e )y(g)y,x(y

zooo

é o coeficiente angular de t2, reta tangente a C2

no ponto Po(xo, yo, f(xo,yo)) = Po(xo, yo, zo )

Assim, t2 tem as seguintes equações

)yy)(y,x(y

fzz

xx

oooo

o

Derivadas Parciais

Exemplos:

1) Encontre as equações da reta tangente à curva de intersecção da superfície z = x2 + y2 com o plano

y = 1 no ponto ( 2, 1, 5 ).

2) Determine as equações da reta tangente à curva que é intersecção da superfície

com o plano x = 2 no ponto em que y = 1.

22 y2x10z

Derivadas Parciais

Interpretação Física

Uma derivada parcial também pode ser interpretada como uma taxa de variação.

Se z = f(x,y), temos que a taxa média de variação de f em relação à variável x, mantendo-se y constante, é dada

por x

)y,x(f)y,xx(f

x

z

x x+x

y

Derivadas Parciais

)y,x(x

zoo

)y,x(y

zoo

Assim,

no ponto Po(xo,yo), por unidade de variação de x, para y

constante, isto é, y = yo.

Interpretação análoga é dada para

dá a taxa instantânea de variação de z = f(x,y)

Exercícios no quadro

Derivadas Parciais de ordem superior

Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis definida em

D R2, tal que e

As derivadas parciais são funções de x e y. Logo, é natural se pensar nas derivadas parciais dessas funções. Estasderivadas são chamadas de derivadas parciais de 2a ordem e são em número de 4

x

f

y

f

existam em D.

xx2

2f

x

f

x

f

x

( Deriva-se duas vezes em relação a x )


yy2

2f

y

f

y

f

y

( Deriva-se duas vezes em relação a y )

xy

2f

xy

f

x

f

y

( Deriva-se em relação a x e depois em relação a y )

yx

2f

yx

f

y

f

x

( Deriva-se em relação a y e depois em relação a x )

Os dois últimos casos são chamados de derivadas parciais de 2a ordem mistas.


Observações:• Analogamente, define-se as derivadas parciais de

2a ordem para funções de mais de duas variáveis• Analogamente define-se derivadas parciais de 2a ,3a,

n-ésima ordem.

Exemplo: Encontre as derivadas parciais indicadas

1) f(x,y) = x2 + y3; fxx; fyy; fxy; fyx

2) f(x,y) = exseny + lnx + lny fxx; fyy; fxy; fyx

3) f(x,y) = ln( cos(x2 – y )) fxx; fyy; fxy; fyx


• Observação: Vimos nos três exemplos anteriores que as derivadas fxy e fyx são iguais. Isto nem sempre ocorre mas, para a maioria das funções com as quais iremos trabalhar as derivadas mistas são iguais, ou seja, não importa a ordem de derivação fxy = fyx. Este fato está expresso num teorema chamado de Teorema de Schwartz que nos diz que se f for uma função contínua em determinada região do plano com derivadas parciais contínuas, então fxy = fyx.


• As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial é chamada de equação de Laplace em homenagem ao matemático Pierre Laplace ( 1749 –1827 ). As soluções dessa equação são chamadas de funções harmônicas e são importantes no estudo da condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. No exemplo anterior temos uma

função harmônica u(x,y) = yxln 22


• A equação da onda , sendo a uma

constante, descreve o movimento de uma onda ( onda do mar, onda de som, onda luminosa, onda de uma corda vibrante, etc ). Uma solução para a equação da onda é uma função u(x,t). Por exemplo, se u(x,t) representa o deslocamento da corda de um violino, no instante t e x a distância a uma extremidade da corda, então u(x,t) satisfaz a equação da onda. Neste caso, a constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada.

2

22

2

2

x

ua

t

u

u(x,t)

x

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