funções vetoriais i) funções vetoriais a valores reais: i...
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Funções vetoriais
I) Funções vetoriais a valores reais: I = intervalo da reta real denominada domínio da função vetorial f = {conjunto de todos os valores possíveis de t, para os quais todas as componentes estão definidas}. Imagem f : conjunto de vetores Casso particular: Exemplo 1: defina o domínio e a imagem da função vetorial a seguir:
(t))f(t),....,f(t),(f(t)f t
n21
n
RR I:f
(t))f(t),f(t),(f(t)f t
321
3
RR I:f
)()()()(321
fDomfDomfDomfDom
)t-1t),-ln(42),(sin(t(t)f t
3
RR I:f
))(),...,(()(1
tftftfn
)sin(t),-t-4
11,((t)f t
2
3
t
RR I:f
Exemplo 2.- Defina o domínio da função vetorial a Seguir Resposta: Dom(f)={...,[-4pi,-3pi],[-2pi,-pi],[0,pi]}. Exemplo 3.- Defina o domínio e a imagem da função vetorial a Seguir
) t))3(cos(2,4-t,t
1((t)f t
22
2
3
t
RR I:f
Resposta : Dom( ) = <-∞,-2] U [2,∞>
Ima( ) = curva espacial, pode-se visualizar
unicamente com algum programa matemático.
f
f
Curva plana: dada uma função vetorial Tal que f1(t)=x(t), f2(t)=y(t),são funções reais continuas no domínio da função vetorial f. Então o conjunto C de pontos do espaço R2
tais que x = f1(t), y = f2(t),...............(*) é chamado de curva plana. t é o parâmetro da curva, variando no domínio de f As equações (*) são denominadas equações paramétricas de C . Uma curva é a imagem de uma função vetorial a valores reais. Obs: alguns autores, denominam curva a função f, e a imagem de f de traço da curva
y(t))(x(t),(t)f t
2
RR I:f
Uma curva plana é um conjunto r de pares ordenados ( f(t), g(t) ), em que f(t) e g(t) são funções reais contínuas em um intervalo I.
I
t f
g P
Y
y
0 x X
r(t) =(x(t),y(t)) é uma curva no plano R2
x = f(t) equação y = g(t) paramétrica
r : I R2 : função vetorial associada a curva C
C
Funções vetoriais: representação gráfica
Observação 1: A parametrização define uma orientação na curva !!!
Observação 2: Existe infinitas formas de parametrizar uma mesma
curva
Parametrização de curvas no R2 e R3
Considere uma curva plana definida pela função real de variável real: y = y(x)
Parametrização natural:
x = t
y = f(t)
Isto define naturalmente uma função vetorial
))(,()(: tyttftf
f
t 𝞊 D(f)
y = x2+2
t=0
t=16
Exemplo 1. Consideremos a parábola definida pela função real y = x2+2. Parametrize esta curva.
Parametrização 1
x = t
y = t2+2
Parametrização 2
x =
y = t+2
t
Mais exemplos...
Exemplo 3. Sejam as funções vetoriais
a) r(t) = (t,3t,0),
b) r(t) = (2+2t,4t-1),
c) f(t) = (4, 2t),
d) r(t) = (sin(2t), -cos(2t) ),
e) f(t)=(t, cos(t)); identifique no plano xy as curvas
associadas a cada função vetorial.
Exemplo 4: a função vetorial
define uma curva plana denominada de ciclóide, v,r, w são
constantes.
))cos(),sin(()( wtrrwtrvttf
> restart; #cicloide # no programa Maple
> with(plots):
> v:=2:w:=1:R:=2:
> plot( [v*t-R*sin(w*t), R-R*cos(w*t), t=0..5*Pi],
scaling=constrained, thickness=2, color=blue,labels=[x,y]);
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/ci
cloide.htm
Curva espacial: dada uma função vetorial Tal que f1(t), f2(t),...fn(t) são funções reais continuas no domínio da função vetorial f. Então o conjunto C de pontos do espaço R3 tais que x1 = f1(t), x2 = f2(t),x3 = f3(t),......xn = fn(t)...............(*) ; e t variando no domínio de f é chamado de curva espacial. As equações (*) são denominadas equações paramétricas de C
(t))f(t),....,f(t),(f(t)f t
n21
n
RR I:f
Curvas no espaço tri-dimensional R3
Quando uma partícula se movimenta no espaço R3, ela descreve
uma curva r(t) denominada trajetória.
))(),(),(((t))r(t),r(t),(r(t)r t
],[
321
3
tztytx
RbaI:r
Exemplo 1: Uma partícula realiza um movimento mecânico
no espaço R3 de acordo a seguinte lei de movimento :
Qual é a forma da trajetória no espaço R3?
)4,21,44()( tttf
Exemplo 3: seja a função vetorial definida no espaço R3
Esta função define uma curva no espaço R3, denominada
de hélice. Esta trajetória é realizada por uma partícula
pontual carregada dentro de um campo magnético constante
)),sin(),cos(()( vttatatf
Exemplo 2.- seja as funções vetoriais seguintes
a) r(t) = (0, 3 -t, t2),
b) r(t)= (-1+t, 4t, 2+2t),
c) r(t) =(cos(t), -sin(t),3),
d) r(t)=(sin(t), t, 4),
Identifique o tipo de curva no plano xy para cada uma das
funções vetoriais dadas anteriormente.
usando Maple
> restart; #helice
> with(plots):
> a:=3: v:=2: # dados para ajustar a curva
> spacecurve( [a*cos(t), a*sin(t), v*t], t=0..5*Pi, axes=box,
labels=[x,y,z], thickness=2);
http://www.youtube.com/watch?v=a2_wUDBl-g8
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=1431.0
Ciclóide
).cos(´
),sin(
tRRyOP
tRRtxOB
Seja O : origem de coordenadas,
logo as coordenadas do ponto P´=(x,y)
no instante t arbitrário é
))cos(),sin((),( tRRtRRtyx Equação paramétrica
Limite de funções vetoriais Definição: Seja uma função vetorial que define uma curva no espaço R3, tal que r(t)=(x(t),y(t),z(t)) = x(t) i+ y(t) j + z(t) k, Logo, dizemos que r tem limite L a medida que t se aproxima a to e escrevemos assim:
Desde que os limites das funções componentes existam.
3 02 01 0
321 0
lz(t) lim,ly(t) lim,l x(t)lim
),l,l,(lLr(t)lim
tttttt
tt
)(tr
|)(| ||0
t 0, 0
,)(lim O0tt
Ltrtt
tal que
sesomenteexiste seLtr
o
Definição formal :
Exemplo 1, Seja a função , demonstrar que :
Exemplo 2 Seja a função , demonstra que :
Continuidade de funções vetoriais Uma função vetorial r(t) será contínua em um ponto t=t0, do seu domínio se
L,))(z),(y),((x)(r c)
existe )( )
existe L (t)rlim)
0000
0
0
tttt
trb
att
)2,1()(2
tttr
)0,1()(lim0
Ltrt
)26,,()(2
tettrt
)2,1,0()(lim0
Ltrt
Exemplo 2. Verifique se a função vetorial abaixo é contínua
para . t= 0
Exemplo 1. Verifique se é contínua em
ktjtittr
||)cos( )sin()(
)(tr
0t
Continuidade de funções vetoriais.
Derivada de uma função vetorial Definição: Seja uma função vetorial, ela é derivável ou tem derivada, se as derivadas das componentes x(t),y(t),z(t) estão bem definidas para todo t do domínio de
Interpretação geométrica da derivada de uma função vetorial. Seja r(t) o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço R3 . A função é a velocidade da partícula e é um vetor tangente à trajetória espacial descrita pela partícula (para cada instante do tempo t).
,(t)r-)(tr
lim)dt
dz,
dt
dy,
dt
dx()(')(
0h
h
dt
rdtrtr
h
)(tr
)(tr
)(tr
t
ht
F
nR
RI
)(tF
)( htF L
0P
Q
P’
)(tF
𝒞
L
P0
0 Y
X
Z
P
V
Seja P=(x,y,z) ϵ L,
P0=(x0,y0,z0) ϵ L,
V é um vetor paralelo a L.
Logo:
Forma paramétrica da equação da reta L.
x= x0 + vx t
Y= yo + vy t
z= z0 + vz t , sendo v = (vx,vy,vz) // reta L
t}{:0
VPPL
Exemplo 1: Determine a derivada da função vetorial
a) f(t) = (t2, cos(t),5 t)
b) f(t) = (2t - 8 , t e-2t) usando a definição
Equação vetorial de uma reta L
Diferencial de uma função vetorial Seja a função real de variável real f: RR / y=f(t). Caso a função f seja diferençiavel no intervalo I ⊂R do seu domínio, então temos:
Seja uma função vetorial
.
dtdt
dfdf
)(tF
Se é diferenciavel no seu domínio, então: )(tF
t
F
RI
)(tF
Fd
C
t
RI
)(tF
Fd
C
dy
dx
dt
),( dydxFd
y
x
Regras de derivação
Seja u,v funções vetoriais de variável real t; a e b são
números reais, e f(t),g(t) são funções reais de variável real t.
vetorial
,)()())](([
.6
,)(
)()()()]()([
.5
,)(
)()()()]()([
.4
,)(
)()()()]()([
.3
,)()]([
.2
,)()()]()([
.1
produto
escalarproduto
dt
tdf
df
fud
dt
tfud
dt
tvdtutv
dt
tud
dt
tvtud
dt
tvdtutv
dt
tud
dt
tvtud
dt
tvdtftv
dt
tdf
dt
tvtfd
dt
tuda
dt
tuad
dt
tvd
dt
tud
dt
tvtud
Exercícios Exercício 1.- Determine a velocidade v(t) e a aceleração a(t) de uma partícula que descreva a seguinte curva (trajetória) r(t)=(2t, 8-3t2,3t+2)m, determine o ângulo entre eles no instante t=2s. Exercício 2.- Seja uma partícula pontual que segue uma trajetória dada pela curva, definida assim: R, w, V são constantes. R =2,w = 1, v = R.w = 2. a) Determine a posição, velocidade e aceleração no instante t=0s, e t=π/2. b) Determine a equação da reta tangente a curva α no instante t=π/2. Exercício 3.-Demonstre a propriedade 4 e 6 da regra de derivação.
2: RI
Rcos(wt)),-RRsin(wt),-(vtα(t)t:α
Exercício 4.- Determine o limite da função vetorial quando t se aproxima a t0=0. Exercício 5.- estude a continuidade da função vetorial Exercício 6 .-Seja f(t)=(t+3, t2 + 4t) determine f´(t) para todo t ϵ R. Qual é o ângulo que forma o vetor f´(t) como o vetor f(t) no instante t=1.? Exercício 7.- Sejam as funções vetoriais v(t)=(t, cos(t), 2t2 ), w(t)=(5, 2t2, sin(t)). Determine a primeira derivada dos vetores A(t) = V(t). W(t), e B(t) = v(t) X w(t); produto escalar e produto vetorial respectivamente.
)2
4,
11,
1()(
tt
t
t
etf
t
0. t),1,0(
0, t),1||,()(
tttf
Integral de uma função vetorial Seja r(t) =(x(t),y(t),z(t)) uma função vetorial, definição: se as componentes de f são integráveis sobre I=[a,b],então Exemplo 1.- Calcular a integral da função
a) b)
Exemplo 2.- Determine a integral da função vetorial f(t)= ( e-t + 2t, cosh(t), sinh(t) ) entre t=0 e t=1.
ktzjtyitxdttr
b
a
b
a
b
a
b
a
))(())(())(()(
Ipartiçãodetn
abtttrdttr
i
ni
i
in
b
a *,,*)(lim)(
1
dttf
)(
|)1|,)2cos(()(2
tttf
))2ln(|,)sin((|)( tttf
t
nR
RI
∆t
at 0
1t
2t
btn
1it
it
)(
tr
Comprimento de arco para curvas lisas Dado uma superfície arbitraria, o comprimento de arco é o comprimento da curva entre dois pontos da superfície. Por exemplo, quando uma partícula percorre uma determinada trajetória no espaço, ela descreve uma curva, o comprimento desta curva entre dois instantes dado t0 e t1 se denomina comprimento de arco.
Comprimento de arco 2D 22
dydxdl
dxdx
dydydxL
b
a
b
a
222
)(1 )()(
Definição: O comprimento “L” de uma curva lisa e
parametrizada 3D : r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, tal que t ϵ [a,b]
é
dtdt
rddt
dt
dz
dt
dy
dt
dxL
dzdydxdsL
b
a
b
a
b
a
b
a
|| )()()(
222
222
Comprimento de arco no espaço R3
)()(
)(),,( trdt
tdrtvvvv
dt
rdv
zyx
dttrdttvdttvL
b
a
b
a
b
a
|)('|)(|)(|
|v(t)| é o modulo
ou norma do vetor
v(t)
: velocidade
Algumas notações usuais
Exemplo 3.- Determine o comprimento de arco
da ciclóide r(t) = (2t - 2 sin(t), 2 - 2 cos(t)) entre t=0 e t= 2π
0 4
x
y
Exemplo 1.- Seja a função vetorial r(t)=(2+t, 4+2t, -2+2t),
determine o comprimento de arco entre os valores
t=1 a t=4.
Exemplo 2.- Determine o perímetro de uma circunferência
centrada no ponto (1,2) e radio R=3
S: FUNÇÃO COMPRIMENTO DE ARCO
t
t
t
t
tvdtdt
rdts
00
dt )( ||)(
)(tvdt
ds
s(t) é o comprimento da curva r(t) desde o instante t=0 ate o instante t. Sendo o módulo da velocidade, ou chamada também como velocidade escalar. Usando um pouco de cálculo Importante: O comprimento de arco de uma curva arbitrária não depende da parametrização.
)(tv
dw || |)(
|
1
0
1
0
w
w
t
tdw
rddt
dt
trdL
“O comprimento de arco de uma curva entre dois pontos é invariante pela re-parametrização”
Exercícios 1.-Determine a função comprimento de arco s(t) para a ciclóide do exemplo 3. 2.-Determine a função comprimento de arco da curva parametrizada r(t)=( 3 cos(2t), 3sin(2t)) 3.-Determine a função comprimento de arco da curva Parametrizada r(t)=( 3cos(2t), 3sin(2t), 2t), 4,- Determine o domínio, imagem e o a função comprimento de arco para a função r(t)=(2cos(t),2sin(t),3).
TRAJETÓRIA DE UMA PARTÍCULA EM CAMPOS
ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=1431.0
Movimento de uma partícula no espaço R3
Uma partícula no espaço R3 descreve uma trajetória de
acordo a uma certa lei de movimento que define a posição
dela para cada instante do tempo t. Esta lei de movimento
está definida por uma função vetorial: ktzjtyitxtr
)()()()(
r(t): vetor posição da
partícula em relação
a certo sistema de
referencia.
Obs: A lei de movimento
é deduzida a partir das leis
de movimento da mecânica
clássica= leis de Newton
Sabemos que , derivando A ultima relação.
1T.T ,||
v
V
V
VT
0. Tdt
Td
vTtV .)(
Analisemos a velocidade de uma partícula
Derivando esta equação temos
ds
Td
2vTaa
t Definamos :
||ds
TdK
Lembre que s=s(t), s é função comprimento de arco.
Curvatura K
Nds
Td
ds
Td
ds
TdK
|| |,|
k
1, considerando o radio de curvatura
Finalmente N
2
vTaa
t
Sendo vetor unitário N
0. temos1,T.T Tds
Tdde
Logo deve ser ortogonal a , seu vetor unitário também ds
Td
T
NT
Considere : , logo definimos a curvatura K )(sTT
Aceleração instantânea a
Taadt
dva
TTT
Aceleração tangencial
Nv
a cpta
2
Aceleração centrípeta ou radial
sempre orientada á parte côncava
da trajetória.
Suponhamos que : )( srr
, definamos ds
rd
),,(ds
dz
ds
dy
ds
dx
s: função comprimento
de arco.
1)()()(||222
ds
dz
ds
dy
ds
dx
Logo
Como :
T
|ds
rd| |)(| ||
2
2
ds
rd
ds
d
ds
TdK
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)()()(ds
zd
ds
yd
ds
xdK
então, em forma explicita
Triedro de Frenet-Serret
NTB Vetor binormal
Exercícios
1.- Provar que
2.- Provar que
3.- Provar que
1|| B
v
Va
V
Vaa
T
.
||
.
3
||
v
aVK
Exemplo 1.- considere uma partícula descrevendo uma trajetória em forma
de hélice de acordo a equação
a) Determine a Velocidade e a aceleração para todo valor de t.
b) Determine os vetores unitários T e N.
c) Determine a aceleração tangencial e centrípeta.
d) calcular a curvatura para todo valor de t.
e) Determinar o vetor binormal B
Solução.
)6),sin(8),cos(8()( ttttr
)0),sin(8),cos(8()(
),6),cos(8),sin(8()(
ttta
tttV
)0),sin(),cos(()(
),5
3),cos(
5
4),sin(
5
4()(
tttN
tttT
)0),sin(8),cos(8()(
),0,0,0()(
ttta
ta
N
T
)5
4),cos(
5
3),sin(
5
3()( tttB
k=2/25
r(t) = (tcos(t), tsin(t), t) -> r(t) é uma curva sobre uma
superfície cônica 22
yxz
Referencia: Adriano P Cattai-ufba
Exemplo 2.- considere uma partícula descrevendo uma trajetória
definida pela função vetorial
a) Determine a função comprimento de arco.
b) Determine a curvatura k(t).
Resposta k(t) =0
Exemplo 3.- considere uma partícula descrevendo uma trajetória
definida pela função vetorial
a) Determine a função comprimento de arco s(t)
b) Determine a curvatura k(t).
c) Determine os vetores unitários T, N B
Resposta k(t) =1/R
))sin(),cos(()( tRtRtr
)82,42,3()( ttttr
ρ2
ρ1
t=0
t=1/2
Exemplo 4.- Considere uma partícula descrevendo uma
trajetória definida pela função r(t)=(2t,t2)
Determine a curvatura para todo instante t. Determine o
raio de curvatura nos instantes t=0 e t=1/2
respectivamente.
.
Torção de curvas espaciais
Consideremos uma partícula descrevendo uma curva, como
se comporta o vetor bi-normal B em relação a função
comprimento de arco s?
Como : podemos derivar em relação a s
, como logo
, então
finalmente
NTB
Nds
Td
ds
NdT
ds
Bd
0//
Nds
Td
ds
TdN
ds
NdT
ds
Bd
Nds
BdN
ds
BdB
ds
BdT
ds
Bd
//,
0.,1. Bds
BdBB
ds
BdN
.
Exemplo 1.- Determine a torção
a) De uma linha reta
b) De uma circunferência
c) De uma cicloide
d) de uma hélice.
d1) (rotação anti-horária)
d2) (rotação horária)
)6),sin(8),cos(8()( ttttr
)6),sin(8),cos(8()( ttttr
Equações de Frenet
Conforme uma partícula se move no espaço, os vetores
T,N,B se movem junto com a partícula ao longo da trajetória (curva).
Então vale perguntar qual é a rapidez da mudança destes vetores em
relação ao parâmetro “comprimento de arco s”
provar!
)3....(
)2.....(
)1.......(
BTkds
Nd
Nds
Bd
Nkds
Td
Exercícios variados
Exercício 1.- Seja uma partícula que descreve uma circunferência
de radio R=2, centralizada na origem de coordenadas de acordo a
lei de movimento
r(t) = (Rcos(t2), R sin(t2) ). Para o instante:
a) Determine o vetor T,N.
b) Determine a curvatura, a aceleração centrípeta, acerelação
tangencial.
c) Determine o vetor binormal B
Obs: isto é um exemplo do MCUV.
Exercício 2: Determine a curvatura e a torção de uma helicóide :
Para todo instante t, sendo R, w e V constantes arbitrarias.
)),(),cos(()( VtwtRsenwtRtr
2t
Exercícios Exercício 3.- Em relação á ciclóide estudada anteriormente
sendo
R, w, V são constantes. R =2,w = 1, v = R.w = 2.
a) Determine o vetor T, N,B para a ciclóide no instante
t=π/2.
b) Determine a aceleração tangencial e a aceleração
centrípeta para todo instante t. Particularize para t=π/2
c) Determine a curvatura K(t) para todo instante de
tempo.
d) Seja uma partícula sinalizada na borda da roda que realiza
rolamento sem deslizamento.Sabemos que esta partícula descreve
uma trajetória em forma de cicloide. Provar que no instante t, a
velocidade V da partícula é sempre ortogonal ao radio vetor que
une a partícula ao ponto mais baixo da roda.
Rcos(wt)),-RRsin(wt),-(vtα(t)t:α
http://www.atractor.pt/mat/curvtor/exemplo_3D_2.htm
http://www.atractor.pt/mat/curvtor/exemplo_3D_1.htm
http://demonstrations.wolfram.com/FrenetFrame/
Referencias adicionais.