functii, lecturi grafice.pdf

Upload: leliana-bolcu

Post on 08-Mar-2016

523 views

Category:

Documents


28 download

TRANSCRIPT

  • 1

    LECTURI

    GRAFICE.

    FUNCII

  • 2

    LECTURI GRAFICE. Funcii

    Reper cartezian, produs cartezian, reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de

    mulimi numerice; condiii algebrice pentru puncte aflate n cadrane;drepte n plan de

    forma x =m sau de forma y =m, m

    Funcia: definiie, exemple, exemple corespondene care nu sunt funcii, modaliti de a

    descrie o funcie, lectur grafic; egalitatea a dou funcii, imaginea unei funcii,

    graficul unei funcii

    Funcii numerice f :: , I interval de numere reale; graficul unei funcii,

    reprezentarea geometric a graficului, intersecia graficului cu axele de coordonate,

    interpretarea grafic a unor ecuaii de forma f( x) =g (x); proprieti ale funciilor

    numerice introduse prin lectur grafic: mrginire, monotonie, paritate, imparitate

    (simetria graficului fa de axa Oy sau origine), periodicitate

    Competene specifice

    1. Identificarea valorilor unei funcii folosind reprezentarea grafic a acesteia

    2. Identificarea unor puncte semnificative de pe graficul unei funcii

    3.Folosirea unor proprieti ale funciilor pentru completarea graficului unei funcii pare, impare

    sau periodice

    4. Exprimarea proprietilor unor funcii pe baza lecturii grafice

    5. Reprezentarea graficului prin puncte i aproximarea acestuia printr-o curb continu

    6. Deducerea unor proprieti ale funciilor numerice prin lectur grafic

    REPER CARTEZIAN

    Fie, n planul P Ox i Oy dou axe perpendiculare, cu originea comun O, pe care s-a

    ales o unitate de msur (de obicei aceeai) i cte un sens numit sensul pozitiv (figura 1).

  • 3

    Definiie. Ansamblul format din dou axe de coordonate Ox, Oy, perpendiculare, se numete

    sistem ortogonal de coordonate carteziene n plan sau reper cartezian n plan i se noteaz xOy.

    Axa Ox se numete axa absciselor, iar axa Oy se numete axa ordonatelor. Punctul O se

    numete originea reperului cartezian.

    Orice punct de pe axele de coordinate are poziia bine stabilit prin cordonata (abscisa) sa

    pe acea ax.

    Fie M un punct n plan, iar M1 i M2 proieciile ortogonale ale acestuia pe axa Ox,

    respectiv Oy.

    Punctul M1 are coordonata x pe axa Ox, astfel nct OM1=||, iar punctul M2 are coordonata y pe

    axa Oy, astfel nct OM2=||.

    Definiie. Numerele reale x si y se numesc coordonatele carteziene ale punctului M n reperul

    xOy. Se noteaz M(x, y) (se citete M de coordonate x, y ). Prima coordonat se numete

    abscis, iar a doua coordonata se numete ordonat.

  • 4

    Aadar, oricrui punct M din plan i se

    asociaz n mod unic perechea ordonat

    (x, y) de numere reale, astfel nct

    proiecia pe axa Ox a punctului M s fie

    un punct M1(x), iar proiecia pe axa Oy

    s fie un punct M2(y).

    Reciproc, oricrei perechi coordonate

    (x, y) de numere i se asociaz un unic

    punct M n plan astfel nct proiecia sa

    pe axa Ox s fie punctul cu coordonata

    x, iar proiecia pe axa Oy s fie punctul

    cu coordonata y.

    Produs cartezian

    Noiunea de produs cartezian se datoreaz matematicianului francez Ren

    Dscartes(Cartesius) (1596-1650), fondatorul geometriei analitice.

    Definiie. Se numete produs cartezian al mulimilor A i B mulimea, notat A B, a perechilor

    ordonate avnd primul element din A i al doilea din B.

    = {(, )| }

    Elementele produsului cartezian se numesc perechi ordonate sau cupluri.

    Observaii:

    1. ntr-o pereche (a, b) ordinea elementelor este esenial. Astfel, dac , atunci (, )

    (, ).

    2.Dou perechi ordonate sunt egale dac i numai dac au respectiv aceleai componente:

    (, ) = (, ) = = .

    3.Nu trebuie confundat cu perechea (, ) cu mulimea {, }.

    Exerciiu rezolvat

    Fie mulimile A={1, 2}, B={-2, 0, 1}. S se determine A B i B A.

    Soluie.

    A B={(1, 2); (1, 0); (1, 1); (2, 2); (2, 0); (2, 1)}

  • 5

    B A= {(2, 1); (2, 2); (0, 1); (0, 2); (1, 1); (1, 2)}.

    Comentarii

    Se observ c (1, 0) i (1, 0) nu aparine mulimii B A, aadar

    , deci produsul cartezian nu este comutativ.

    Aa cum s-a definit produsul cartezian pentru dou mulimi se poate defini produsul cartezian

    pentru n mulimi: produsul cartezian al mulimilor A1, A2,......, An este mulimea:

    1 2 = {(1, 2, , )|1 1, 22, . },

    Dac B = A, mulimea 2(se citete A doi).

    Reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian

    Fie A i B dou submulimi de numere numere reale i produsul cartezian

    = {(, )| }.

    Fixnd n plan un reper cartezian, fiecrei perechi ordonate (a, b) i corespunde n plan

    un punct unic M (a, b).

    Definiie. Se numete reprezentare geometric sau reprezentere grafic a produsului cartezian

    n plan, mulimea tuturor punctelor M (a, b) din plan cu proprietatea c (a, b) .

    Exemple:

    Produsele carteziene i din exerciiul rezolvat anterior le corespund reprezentrile

    geometrice din figurile de mai jos:

    Fie mulimile de numere reale E= [1, 3] i F = [1, 2].

  • 6

    Atunci produsul cartezian = {(, )| [1, 3], [1, 2]}. Reprezentarea a mulimii

    este suprafaa dreptunghiular [ABCD] cu vrfurile A(1, 1), B(1, 3), C(3, 2), D(1, 2).

    Observaii. Dac A =B= R, atunci produsul cartezian al mulimilor A, B este =

    {(, )| , }. Se obinuiete s se noteze = . Reprezentarea geometric a

    mulimii este planul.

    De aceea, planul n care s-a fixat un reper cartezian se numete planul real.

    Un reper cartezian xOy n plan detrmin o mprire a planului n patru unghiuri drepte.

    Interioarele acestor unghiuri drepte se numesc cadrane, notate I, II, III, IV.

    Caracterizarea algebric a punctelor situate n cadrane este:

    = {(, )| > 0, > 0};

    = {(, )| < 0, > 0};

    {(, )| < 0, < 0};

    = {(, )| > 0, < 0}

    Exemple

    A(2,3) ; (1,3) ;

    (3

    2, 5) ; (4,

    3

    2) .

    Drepte n plan de forma, = = ,

    Fie m un numr real fixat i A={m}, B= .

  • 7

    S considerm produsul cartezian . Rezult = {} = {(, )| }.

    Aadar, elementele produsului cartezian {} au proprietatea c prima component este

    constant, egal cu m, iar a doua component a acestora este variabil, .

    Ca urmare, reprezentarea geometric a produsului cartezian {} este mulimea tuturor

    punctelor din plan de forma M(m, y), unde m este o constant real i y parcurge ( figura 1).

    Aceast mulime reprezint o dreapt paralel cu axa Oy dus prin diviziunea m a axei Ox.

    Caracterizarea algebric a punctelor unei drepte paralele cu axa Oy este dat de ecuaia

    x= m, , . n particular, pentru m= 0 se obine ecuaia x= 0, care reprezint ecuaia axei Oy.

    Putem scrie: Oy={(0, )| }.

    S considerm produsul cartezian ;

    Avem = {(, )| , = } = {(, )| }.

    Se observ c elementele acestui produs cartexian au prima component variabil, iar a doua

    component constant, egal cu m.

    Reprezentarea geometric a mulimii {} este mulimea punctelor din plan de forma

    M(x, m), unde x este un numr real, iar m este o constant real, figura 2.

  • 8

    Aceast muluime reprezint o dreapt paralel cu axa Ox dus prin diviziunea m a axei Oy.

    Caracterizarea algebric a punctelor unei drepte paralele cu axa Ox este dat de ecuaia y= m,

    .

    n particular, dac m=0 se obine ecuaia y= 0, care reprezint ecuaia axei Ox. Putem scrie

    Ox = {(, 0)| }.

    Exerciii i probleme rezolvate

    1. Se dau mulimile A = {-1, 1} i B= (-1, 0, 2}.

    a) S se determine A , , , .

    b) S se reprezinte n plan mulimile , , , .

    Rezolvare

    a) A = {(, )| , } = {(1, 1), (1,0), (1,2), (1,0), (1,2)}.

    = {(, )| , } = {(1, 1), (1,1), (0, 1), (0,1), (2, 1), (2,1)}

    = {(, )| , } = {(1, 1), (1,1), (1, 1), (1,1)}

    = {(, )| , } =

    {(1, 1), (1,0), (1,2), (0, 1), (0,0), (0,2), (2, 1), (2,0), (2,2)}

    Mulimile A , , , sunt reprezentate n figurile 1, 2,3,4.

  • 9

    2. S se determine mulimile M i N tiind c:

    = {(3,2), (2,4), (3,4), (2,5), (2,2), (3,1), (3,5), (2,1)}.

    Soluie. Dac = {(, )| , }, atunci din modul de reprezentare se obine

    M={2, 3} i N = {1, 2, 4, 5}.

    3. Se consider mulimile A= {-1}, i B ={2}.

    a) S se descrie mulimile , , , .

    b) S se reprezinte n plan mulimile determinate.

    Soluie

    a) Avem succesiv:

    = {1} = {(1, )| }.

    = {1} = {(, 1)| }.

    = {2} = {(2, )| }.

    = {2} = {(, 2)| }.

    b) Mulimile i reprezint drepte paralele cu axa Oy, drepte verticale, duse prin

    punctele de coordonate (-1,0), respectiv (2, 0), caracterizate de ecuaiile x = -1, respectiv x =2.

  • 10

    Mulimile i reprezint drepte paralele cu axa Ox, drepte orizontale, duse prin

    punctele de coordonate (0, -1), respectiv (0, 2) (fig.2), caracterizate de ecuaiile y = -1, respectiv

    y = 2

    Exerciii propuse

    1.Fie mulimile = {1,2}, = {1,2,3}. S se determine produsele cartezienae A , .

    2. Fie mulimile = {0,1}, = {1,1}. Sa se reprezinte n plan mulimile A , ,

    , .

    3. S se determine numrul real x n cazurile:

    a) punctul A(x 1,3) ;

    b) punctul A(2 3, 5) ;

    c) punctul A( 3, 2 + 4) ;

    d) punctul A(2 , + + 1) este originea sistemului de coordonate.

    4. S se determine numrul real x n cazurile:

    a) punctul A(3 6, 1) este n cadranul II;

    b) punctul A(3, 3 6) este n cadranul III;

    c) punctul A(2 8, 10 ) este n cadranul I;

    d) punctul A(6 + 12,8 16 ) este n cadranul IV.

    5. Fie produsul cartezian [1,1] [2,3].

    a) S se reprezinte grafic acest produs cartezian.

  • 11

    b) S se determine coordonatele vrfurilor suprafeei dreptunghiulare, ce reprezint imaginea

    geometric a produsului cartezian.

    6) Fie mulimile = {1,1}, = {0,2}, = {1,3}.

    a) S se descrie mulimile , ,. , , , .

    b) s se reprezinte n plan mulimile determinate.

    7. S se reprezinte n plan dreptele de ecuaii:

    a):x 1=0 ; b) 2x 3 = 1;

    c) y -5 = 0 d) 8 y = 1;

    e) 3y 7 = y + 1; f) 5x 4 = 4x + 8.

    Noiunea de funcie

    Noiunea de funcie este una din cele mai importante obiecte cu care opereaz

    matematica.

    O serie de procese i fenomene ntlnite n fizic, chimie, economie, biologie si alte

    domenii depind de alte procese i fenomene dup anumite reguli. n limbaj obinuit se spune c

    aceste procese i fenomene sunt funcie de celelalte.

    S analizm urmtoarele dou procese:

    a) tabelul de mai jos indic modul n care perimetrul P al unui ptrat cu latura de lungime x cnd

    aceast latur crete de dou, cinci opt, zece, cinsprezece ori.

    Latura x 1 2 5 8 10 15

    Perimetru

    P=4x

    4 8 20 32 40 60

    b)n graficul alturat este consemnat temperatura unui pacient n primele opt ore dup nceperea

    unei terapii:

    Figura 1.

  • 12

    Observaii

    1. Perimetrul ptratului este funcie de lungimea laturii sale. Temperatura pacientului este funcie

    de ora la care s-a fcut constatarea.

    2. Din analiza modelului matematic al celor dou procese se constat c se lucreaz cu doua

    mulimi de numere ntre care exist o anumit coresponden (asociere). O astfel de

    coresponden este avut n vedere n operaia de definire a noiunii de funcie.

    Definiie. Fie A i B dou mulimi nevide. Se spune c s-a definit o funcie pe mulimea A cu

    valori n mulimea B dac printr-un procedeu (lege, coresponden), notat cu f, fiecrui element x

    din A i corespunde un singur element y din B.

    Elemente de limbaj legate de definirea unei funcii

    1.a) Mulimea A pe care este definit funcia se numete domeniul de definiie al funciei.

    b) Mulimea B n care funcia ia valori se numete codomeniu sau domeniul valorilor funciei.

    c) Procedeul f prin care fiecrui element x din A i corespunde un singur element y din B se

    numete lege de coresponden.

    Elementul y se va nota y=f(x) i se numete valoarea funciei f n x sau imaginea lui x

    prin funcia f, iar x se numete preimaginea lui y prin f.

    Mulimea tuturor valorilor funciei se noteaz cu f(A).

    Aadar f(A)= {()| }.

    2. Noiunea de funcie presupune existena unui triplet (A, f, B) format din dou mulimi

    nevide i o lege de coresponden care asociaz fiecrui element un singur element

    = () .

    De aceea, pentru o funcie dat de tripletul (A, f, B) se folosete scrierea : B

    sau , , i se citete f definit pe A cu valori n B, respectiv, funcia f

    asociaz elementului x din A elementul y din B.

    O funcie : se mai numete i aplicaie a lui A n B.

    Legea de coresponden a funciei se noteaz, de obicei, cu una din literele f, g, h, ., f1,

    f2, ., sau alte simboluri.

    Uneori, pentru a simplifica scrierea, dar i limbajul, pentru o funcie se indic numai

    legea de coresponden f, celelalte elemente deducndu-se din context.

  • 13

    Exemple de funcii

    Dependena dinte lungimea laturii ptratului i perimetru acestuia definete o funcie

    : {1, 2, 5, 8, 10, 15} {4, 8, 20, 32, 40, 60} cu ajutorul regulei 1 4, 2 8, 5 20, 8

    32, 10 40, 15 60.

    Aceast regul poate fi exprimat cu o formul care permite determinarea elementului f(x) cnd

    se cunoate x, anume f(x)= 4x.

    Aceai regula poate fi exprimat cu ajutorul unui tabel

    x 1 2 5 8 10 15

    f(x)=4x 4 8 20 32 40 60

    Graficul din figura 1 reprezinta evoluia temperaturii unui pacient pe un interval de timp de

    lungime 7. Se poate defini o funcie pe un interval de timp [1, 8] cu valori n intervalul de

    temperatur [37, 41](temperatura exprimat n grade Celsius): f: [1, 8] [, ].

    O formul care s indice evoluia temperaturii n fiecare moment nu poate fi nc precizat,

    dar simpla lectur a graficului d posibilitatea de a aprecia fenomenul, sau de a citi temperatura

    la anumite momente. De exemplu, temperatura la ora dou a fost 39. Cea mai mare temperatur

    a fost de 40pe itervalul de timp [4, 6]. n intervalul de timp [7, 8] temperatura a fost staionar,

    meninndu-se la 38.

    Exemple de corespondene care nu sunt funcii

    Trebuie subliniat faptul c, dndu-se dou mulimi nevide nu orice relaie stabilit ntre

    elementele acestora definete o funcie.

    Fie A mulimea localitilor din Romnia i B multimea cetenilor rii i corespondena

    de la A la B x este localitatea natal al lui y. Aceast coresponden nu este o funcie

    deoarece exist cel puin o localitate x care este locul natal a mai multor ceteni.

    Aadar, unui element din mulimea A i corespund cel puin dou elemente din B, ceea ce

    contrazice definiia funciei.

    Fie A mulimea cuvintelor care reprezint nume de familie i B mulimea oamenilor.

    Corespondena definit de la A la B prin care fiecrui nume i corespunde omul care

    poart acest nume nu definete o funcie pentru c exist nume de familie purtate de cel

    puin dou personae, i astfel criteriul imaginii unice nu este respectst.

  • 14

    Se dau mulimile A={1, 2, 3 } i B= {1, 2, 4, 5, 6 } i corespondena x 2. Observm c

    elementului x=1 i corespunde n B elementul 1, elementului x=2 i corespunde elementul

    4. Elementului 3 din A ar trebui s i corespund elementul 9, care, ns, nu se gsete n

    multimea B. Deci, prin aceast coresponden, nu este indeplinit cerina ca fiecrui

    element din a s i corespund un element din B.

    Modaliti de a defini o funcie

    Fie A i B doua mulimi nevide i o funie f : . Legea de coresponden a funciei

    poate fi prezentat n mai multe moduri.

    I. Funcii definite sintetic

    Prin aceasta modalitate se indic ntr-un table de valori sau printr-o diagram cu sgei imaginile

    nominale ale tuturor elementelor din domeniul de definiie.

    Procedeul se aplic atunci cnd domeniul de definiie are un numr restrans de elemente.

    Exemple

    S considerm tabelul

    x 1 2 3 4 5 6

    f(x) 0 -1 2 3 -1 1

    Tabelul de valori definete funcia : , A={1, 2, 3, 4, 5,6}; B={-1, 0, 1, 2, 3}, iar legea de

    coresponden este f(1)= 0, f(2) = - 1, f(3) = 2, f(4) = 3, f(5) = -1, f(6) = 1.

    Urmtoarea diagram cu sgei definete funcia : , A= {-2, -1, 0, 1, 2 };

    B= {-2, -1, 0, 1, 2 }, iar legea de coresponden este f(-2) = 2, f(-1) = 1, f(0) = 0,

    f(1) = -2, f(2) = -1.

  • 15

    Observaie: Nu orice table de valori sau diagram cu sgeti definete o funcie.

    Exemple

    x 1 2 3 4

    f(x) 0 0 1

    Tabelul nu definete o funcie deoarece nu s-a definit f(3).

    Diagrama urmtoare nu definete o funcie deoarece elementului 2 din A i corespund dou

    elemente din B.

    II. Funcii definite analitic

    Fie funcia : . Cnd domeniul de definiie al funciei este o mulime cu un

    numr mare de elemente sau este infinit, legea este dat indicndu-se o regul de asociere sau o

    formul prin care se asociaz oricrui element x dim A un element y = f(x) din B.

    Dac A i b sunt submulimi ale lui R, atunci legea de coresponden poate fi dat

    printr-o formul sau mai multe formule.

    Exemple

    1. : , f(x) = 2x-7

    2. : , () = 2

    3. : [2,2] , () = 4 2.

    4. : , () = {

    +2

    1, (, 2)\{1}

    2, = 1 + 2, {2, +)

    .

    Funcia de mai sus este o funcie definit folosind mai multe formule.

  • 16

    Pentru {5,7

    2, 3,

    1

    2, 10} se obine: f(5) = 7, f(

    7

    2) =

    11

    2, f(-3)=

    1

    4, (

    1

    2) = 5, (10) = 12.

    5. Funcia f: , () = se numete funcia (aplicaia) identic a mulimii A, notat 1A.

    Aadar, 1A:A , 1() = .

    6. Functia : , () = , , se numete funcia constant.

    Observaie

    Cnd se definete o funcie prin mai multe formule trebuie ca mulimile s fie disjuncte, iar

    reuniunea lor sa fie egal cu domeniul de definiie al funciei.

    Fiecare formul folosit n definiia unei funciitrebuie s aib sens pe mulimea destinat ei.

    Corespondena : , () = { + 1, 1

    2 + 3, 0 nu este o funcie. Pe itervalul [0, 1] acioneaz

    ambele formule.

    : , () = { 2, < 0

    1, 0. Corespondena nu este funcie pentru c 1 nu este

    definit dect pentru 1.

    Egalitatea funciilor

    Definiie. Dou funcii f : A , : se numesc funcii egale dac sunt ndeplinite

    simultan condiiile:

    a) A = C (au acelai domeniu de definiie)

    b) B = D ( au acelai codomeniu)

    c) f(x) = g(x), .

    Dac funciile f i g sunt egale se noteaz f = g.

    Exemple

    Funcia : , () = ( 4), = {1, 2, 3, 4}, = {4, 3, 0, 5} si funcia g

    definit prin diagrama urmtoare sunt funcii egale.

  • 17

    f(3)=-3=g(3), f(4)=0=g(4), f(2)= -4 = g(2), f(1) = -3 =g(1), adic f(x) = g(x), .

    Dou funcii nu sunt egale, dac cel puin una din condiiile a), b), c) nu sunt ndeplinite. Se

    noteaz f .

    Numrul de funcii

    Ne propunem s determinm numrul tuturor funciilor : n cazul n care A este

    o mulime cu m elemente, iar B o mulime cu n elemente, , .

    Teorem. Dac A este o mulime cu m elemente, iar B o mulime cu n elemente, , ,

    atunci de la mulimea A la mulimea B se pot stabili nm funcii.

    Demonstraie. Fie = {1, 2, , }, = {1, 2, , }. Orice funcie este determinat dac

    se cunosc valorile (1), (2), , (). Fiecare dintre aceste elemente pot fi oricare din

    elementele mulimii B, care sunt n numr de n. valorile (1), (2), , () pot fi precizate

    n ...m

    dem ori

    n n n n moduri, care, de fapt, reprezint numrul funciilor de la A la B.

    Exemplu. Dac A = {0,1} i B = {a, b, c}, atunci de la mulimea A la mulimea B se pot defini

    32, adic 9 funcii. Aceste funcii sunt redate de urmtoarele diagrame:

  • 18

    Restricia i prelungirea unei funcii

    Dac f: A B i g: A sunt dou funcii cu proprietile:

    1) ' ; 2) ( ) ( ), ',A A f x g x x A

    Atunci f se numete prelungirea funciei g la mulimea A, n timp ce g se numete restricia

    funciei f la A( in acest caz pentru g se folosete notaia |A'g f i citim

    f restricionat la A .

    Exemplu Fie funciile: , : , definite prin () = 2 i () = 2. Este clar c

    cele dou funcii nu sunt egale deoarece au domenii de definiie diferite. n acest caz aplicaia g

    este restricia lui f la N , = |. Invers, funcia f este prelungirea funciei g la Z.

    Funcie numerice. Operaii cu funcii numerice

    Definiie. Fie A i B subulimi ale mulimii numerelor reale, R. O funcie : se

    numete funcie numeric sau funcie real de variabil real.

    Exemple.

    1) : , () = funcia identic.

  • 19

    2) : , () = 2 +

    3) : (0,) , () = 2 + 3

    4) : , () = 2 3 + 1

    5) 4) : [0,2] , () = .

    Fie f,g : , , nevid.

    Definiii 1) Funcia f + g: , definit prin (f+ g)(x)=f(x) + g(x), , se numete suma

    dintre funcia f i funcia g.

    2) Funcia : , definit prin ( )() = () (), , se numete produsul

    funciilor f i g.

    3) Funcia

    : \{|() = 0} , definit prin

    () =

    ()

    (), , () 0 se numete

    ctul dintre funcia f i funcia g.

    4) Se definere produsul dintre un numr real i o funcie f: , ca fiind funcia

    : , ()() = (), .

    Observaii 1) Dac f i g nu au acelai domeniu de definiie , atunci se suma i produsul se vor

    defini pe (unde este domeniul lui f, iar domeniul lui g), dac intersecia este

    nevid. Ctul se definete pe o submulime a lui pentru care () 0.

    Dac f,g : definim f - g: , definit prin (f- g)(x)=f(x)- g(x), , se numete

    diferena dintre funcia f i funcia g.

    De fapt, diferena este suma f + (-g), unde g = (-1)g.

    Exemple. Fie f, g: , () = 3 + 1, () = + 3.

    Atunci f + g, f - g, fg: prin (f + g)(x)= 2x+4, (f - g)(x)=4x-2, (fg)(x)= -3x2+8x+3.

    Pentru ctul

    () =

    ()

    ()=

    3+1

    =3,

    : \{3} .

    2.Fie : , () = + 1, : [3, ) , () = + 3. = [3, ). Funciile

    f + g, f - g, fg se definesc astfel: f + g: [3, ) , (f + g)(x) = x+1 + + 3.

    f - g: [3, ) , (f - g)(x) = x+1 + 3, +g: [3, ) ,

    (fg)(x) = (x+1) + 3. Cum pentru x = -3, g(x) = 0 funcia ct

    : (3, ) ,

    () =

    ()

    ()=

    +1

    +3.

  • 20

    Reprezentarea grafic a unei funcii numerice. Graficul unei funcii

    Definiie. Fie o functie : , se numete graficul funciei f mulimea de perechi

    = {(, )| , = ()}.

    Se observ c A B .

    Exemple.1) Funcia : , definit prin diagrama de mai jos:

    Are graficul mulimea = {(1, ), (2, ), (3, )}.

    2) Fie funcia numeric : definit prin tabelul de valori:

    x -1 0 1 2

    f(x) 2 3 -2 0

    = {(1,2), (0,3), (1, 2), (2,0)}.

    Observaie. Reprezentarea grafic a unei funcii este un instrument de nelegere a noiunii de

    funcie.

    Astfel, orice dreapt paralel cu axa Oy dus printr-un punct x din domeniul de definiie

    intersecteaz graficul funciei ntr-un singur punct. De asemenea, proiecia graficului pe axa Ox

    trebuie s coincid cu domeniul de definiie.

    Aplicaie

    n figura urmtoare sunt desenate graficele unor corespondene ntre elementele diferitelor

    mulimi de numere reale. Care din acestea este curba reprezentativ corespunztoare unei funcii

    definite pe [a, b] ?

  • 21

    Numai curba C2 reprezint graficul unei funcii. Curba C1 nu descrie graficul unei funcii,

    deoarece exist elemente x din R crora le corespund dou imagini, sau exist paralele la axa Oy

    care intersecteaz curba C1 n dou puncte, ceea ce contrazice definiia unei funcii.

    Corespondena C3 nu reprezint o funcie deoarece proiecia graficului pe axa Ox nu coincide cu

    domeniul [a, b].

    Lecturi grafice

    Dac funcia f: , atunci produsul cartezian este submulime a produsului

    cartezian i atunci oricrei perechi ordonate (x, y) din i putem asocia n planul n

    care considerm un reper cartezian(planul cartezian) un punct M(x, y) ( punctul M avnd

    coordonatele x i y componentele cuplului). Cum mulimea se reprezint geometric prin

    planul cartezian, deducem c: graficul unei funcii numerice se reprezint geometric printr-o

    submulime a planului. Aceast submulime a planului se numete reprezentarea geometric a

    graficului funciei. Reprezentarea geometric a graficului unei funcii este, n general, o curb,

    numit curba reprezentativ a funciei f i este notat = {(, )| , = ()}.

    Ecuaia y= f(x) se numete ecuaia curbei reprezentative a funciei f n raport cu reperul ales.

    Pe scurt, prin reprezentarea grafic a unei funcii se nelege reprezentarea geometric a mulimii

    Gf ntr-un plan cartezian. Prin abuz de limbaj n loc de reprezentarea geometric a graficului

    funciei f vom spune simplu graficul funciei f, iar prin scrierea M(x, y) se va nelege

  • 22

    M(x, y) ) , adic y= f(x).

    Imaginea unei funcii. Preimaginea unei funcii

    Fie f: . Din definiia funciei, fiecrui x i se asociaz prin funcia f un unic element

    f(x) , numit imaginea lui x prin funcia f sau valoarea funciei f n x.

    Definiie. Fie f , iar AA. Se numete imaginea lui A prin funcia f, notat f(A),

    submulimea lui B format din elementele care sunt imagini prin f a cel puin un element din A.

    Deci f(A)= {()| } sau f(A)= { | = ()}.

    Fie f funcia definit prin diagrama urmtoare:

    Fie A={1, 2, 3} i B={b, c, d}. S seterminm nulimile: a){f(x)|x }; ){ |() }.

    a)Avem f(1) =f(2)=a i f(3) = b. Rezult c mulimea imaginilor elementelor mulimii A prin

    funciia f este : ){f(x)|x } = {, }. Vom spune c mulimea {, } reprezint imaginea

    mulimii A prin funcia f.

    b)Din definiia funciei f avem b = f(3), c = f(4), d = f(5) =f(6). Aadar, mulimea

    { |() } = {3,4,5,6}. Aceasta este format din preimaginile elementelor mulimii B;

    de aceea se va numi preimaginea mulimii B prin funcia f.

    Definiie. Mulimea 1() = {| () } se numete preimaginea mulimii B

    prin funcia f sau imaginea reciproc a mulimii B prin f.

    Observaii.

  • 23

    Dac A =A se obine mulimea f(A) numit imaginea funciei f sau mulimea valorilor funciei f,

    care se noteaz Imf.

    Aadar Imf = { | , = ()},

    Exemplu

    Fie funcia f: , f(x)= 2x + 1.

    S se determine imaginea prin funcia f a mulimilor A1 = [-1, 5], A2 = [2, ),

    A3= (-, 0), 4 = [1, 1] (2, 6).

    S se determine preimaginea prin funcia f a mulimilor B1= [-3, 1] , B2= (0, ) i

    B3= (- , -2).

    Soluie

    Fie y (1 ) ecuaia f(x) = y, x 1 , privit n necunoscuta x, are soluia x = 1

    2 . Punnd

    condiia x 1 se obine 1 1

    2 5 de unde se obine y [1, 11].

    Deci f([1, 5]) = [1, 11].

    Analog f([2, )) = [5, ) , f((, 0)) = (-, 1) i f(A4) = [-1, 3] (5, 13).

    f-1

    (B1) = { | 1} = { |3 2 + 1 1}.

    Rezolvnd dubla inegalitate se obine f-1 (B1) =[-2, 0] i f-1

    (B2) (1

    2, ) i

    f-1

    (B3) =( , 3

    2).

    Intersecia cu axele de coordonate

    Fie funcia f: E i Cf curba reprezentativ a graficului funciei, Gf .

    a) Intersecia curbei Cf cu axa Ox

    Axa Ox este caracterizat de egalitatea: Ox={(, )| , = 0} = {(, 0)| }.

    Intersecia dintre axa Ox i curba Cf poate fi mulimea sau o mulime format din unul

    sau mai multe puncte.

    Dac intersecia este nevid fie M(x, y) , adic y = 0 i M(x, y) , adic y = f(x).

    Rezolvnd sistemul de ecuaii{ = 0

    = () se obin punctele de intersecie.

    Se observ c abscisele punctelor de intersecie sunt soluiile ecuaiei f(x) = 0, x .

    b) Intersecia curbei Cf cu axa Oy.

  • 24

    Axa Oy este caracterizat de egalitatea {(, )| , = 0} = {(0, )| }.

    Intersecia cu axa Oy i curba Cf mulimea , dac 0 nu aparine domeniului de definiie, E, sau

    mulimea format din punctul N(0, f(0)).

    Probleme rezolvate

    1. Fie funcia f:R , () = 2 6 + 8. s se determine punctele de intersecie ale graficului

    funciei i axaele de coordonate.

    Soluie

    = {(, 0)|() = 0} . Abscisele punctelor de intersecie se afl rezolvnd ecuaia

    f(x) = 0.

    Se obine ecuaia 2 6 + 8 = 0 cu soluiile x1= 2 , x2 = 4. Aadar

    = {1(2,0), 2(4,0)}.

    = {(0, (0)} = {(0,8)}.

    2. Fie funcia f:(, 1] [1, ) , () {2, (, 1]1, [1, )

    . Cte puncte de intersecie are

    cu axele de coordonate? Trasai .

    Se observ c f(x) 0, (, 1] [1, ). Rezult c = . De asemenea 0 nu

    aparine mulimii (, 1] [1, ) deci = . Imaginea geometric a funciei f este

    redat de figura de mai jos.

    Rezolvri grafice de ecuaii i inecuaii

  • 25

    Se consider funciile f,g:[-7, 7] , avnd curbele reprezentative redate de desenul

    urmtor:

    Lecturnd acest desen se observ c:

    Gf = {(5,3), (0, 5), (5, 7)}.

    Aadar, f(-5)= g(-5) = 3, f(0) = g(0) =5, f(5)= g(5) = 7. Rezult c soluiile ecuaiei f(x) = g(x)

    sunt abscisele punctelor A, B, C, {5, 0, 5}.

    Pe intervalele (-5, 0) i (5, 7] curba Gf este situat sub curba Gg,, adic f(x) < g(x),

    (5,0) (5,7].

    Pe intervalele [-7, -5) i (0,5) curba Gf este situat deasupra curbei Gg, adic f(x) >g(x),

    [7, 5) (0,5).

    Reinem!Fie ER i funciile f, g: , iar Gf i Gg curbele reprezentative ale acestora.

    Atunci:

    a) rezolvarea ecuaiei f(x) = g(x), x , revine la determinarea absciselor punctelor de

    intersecie ale curbelor Gf i Gg i reciproc;

    b) rezolvarea unei inecuaii de forma () () sau f(x)< g(x) pe mulimea E revine la

    determinarea submulimii lui E pe care curba Gf este situat sub curba Gg.

    c) rezolvarea inecuaiei de forma f(x) () sau f(x) >g(x) pe mulimea E revine la

    determinarea submulimii lui E pe care curba Gf este deasupra curbei Gg.

  • 26

    proprietate interpretarea geometric

    Funcia f: A este marginit dac exist a

    i b doua numere reale astfel nct

    ,

    Funcia e marginit dac graficul ei este

    cuprins ntre dreptele orizontale y=a i y=b

    Mulimea A se numete simetric dac are

    propritatea c atunci i .

    Spunem c f :A este funcie par dac f(-

    x)=f(x) ,

    Graficul funciei este simetric fa de Oy:

    f:R , () = 2

    f:A , A mulime simetrc . Spunem ca f

    este funcie impar daca f(-x) =

    -f(x) ,

    Graficul funciei este simetric fa de origine

  • 27

    f :A este spunem c f este periodic de

    perioad Tdac exist numrul real T astfel

    nct f(x+T)=f(x), .

    Numrul T se numete perioad a funciei f.

    Dac printre perioadele strict pozitive ale lui f

    exist un cel mai mic numr T0, atunci T0 se

    numete perioad principal a funciei.

    Proprietate

    Fie f:R o funcie periodic cu perioada

    principalT0 i k . Atunci:

    a) k T0 este perioad a funciei f;

    b) oricare ar fi perioada T a funciei f, exist un

    numr ntreg n astfel ca T=n T0

    Graficul unei functii periodice de periad T e

    sufient s fie trasat pe un interval de lungime

    T0 ,dup care se repet, S considerm Funcia

    f:R [0,1), f(x)={x}, partea fracionar a lui

    x, este funcie periodic avnd perioada

    principal 1.Se observ acest lucru din

    urmtoarea lectur grafic:

  • 28

    f :D , D spunem c f e strict

    cresctoare pe A dac 1, 2 , 1 (2)

    Graficul funciei, privit de la stnga la dreapta,

    e o curb strict descresctoare(coboar):

  • 29

    Fie I A

    f este pozitiv pe I negativ pe I strict pozitiv strict negativ nul pe I

    Funcia f: R , () = + 2este monoton

    strict descresctoare pe R

    f :D , D spunem c f e strict

    descresctoare pe A dac 1, 2

    , 1 < 2, (1) (2)

    Graficul functiei privit de la stnga la dreapta e

    o curba monoton crescatoare:

    n figura precedent este trasat graficul unei

    funcii descresctoare pe R.

    A determina semnul unei funcii numerice

    : , nseamn a determina valorile lui x

    din A pentru care f(x)> 0 i valorile lui x din A

    pentru care f(x)< 0. A determina aceste mulimi

    nseamn a rezolva inecuaiile

    f(x) > 0 i f(x) < 0.

  • 30

    pe I pe I

    dac pentru

    orice x

    avem

    f(x) 0 f(x) 0 f(x) > 0 f(x) < 0 f(x) = 0

    Poziia

    graficului fa

    de axa Ox

    Deasupra sau

    tangent

    Sub sau

    tangent

    Strict

    deasupra

    Strict sub Taie axa

    Exemplu. Fie funcia f definit prin tabelul

    de valori

    x -3 -2 -1 0 1 3

    f(x) 0 1 -1 0 -2 5

    Avem: f(x) >0 dac x {2,3};f(x) se obin modaliti de a demonstra c o funcie

    f :D , D este strict monoton pe A.

    Intervalele din D pe care o funcie este monoton se numesc intervale de monotonie ale funciei.

    Exerciiu rezolvat

    S se studieze monotonia funciei:

    a)f : \{1} , () =+1

    1 b) g: , () = 2 + 4 + 4.

  • 31

    Fie 1, 2 \{1}, 1 < 2. Avem diferena (1) (2) =2(21)

    (11)(21).

    Din relaia 1 < 2 se obine 2 1 > 0.

    Dac 1, 2 (, 1) atunci x1-1 0, deci funcia este monoton descresctoare pe acest interval.

    Dac 1, 2 (1, +) atunci x1-1>0 i x2-1>0 deci (1 1)(2 1) > 0 i de aici rezult c

    (1) (2) > 0, deci funcia este monoton descresctoare pe (1, +).

    Funcia f este monoton strict descresctoare pe intervalele (, 1), (1, +) dar nu este strict

    monoton pe \{1}. De exemplu, pentru x1= -1, x2 = 0 i x3 = 6 se obine f(x1)= 0, f(x2)= -1,

    f(x3) = 7

    5.

    Avem deci, x1< x2 0, adic g

    este monoton strict cresctoare pe intervalul (2, ).

    Definiie Fie funcia f :D . Dreapta de ecuaie x = m, m , se numete ax de simetrie a

    graficului funciei dac f(x) = f(2m- x), .

    Definiie. Punctul P(A, b) se numete centru de simetrie al graficului funciei dac

    () + (2 ) = 2, .

    Funciile pare sunt funcii a cror grafice au ax de simetrie dreapta de ecuaie x = 0(axa Oy), iar

    funciile impare au propritatea c graficele lor au centru de simetrie punctual O(0, 0), adic,

    originea sistemului de axe.

    Compunerea funciilor

    Fie mulimile = {1, 2 ,3}, = {, , }, = {, , , }, = {4, 5, 6} i

    funciile: , : descrise de diagramele urmtoare:

  • 32

    Analiznd corespondenele se observ c :

    1 (1) a ( ) ( (1))

    2 (2) ( ) ( (2))

    3 (3) ( ) ( (3))

    f g

    f g

    f g

    f g a g f

    f b g b g f

    f c g c g f

    Rezult c , , ( ) ( ( ))f gx x A x f x g f x D .

    Aadar, se obine o nou corespondena ntre mulimile A i D de forma ( ( ))x g f x .

    Definiie: Fie funciile : , : , B C. Se numete compusa funciei g cu funcia f

    funcia h: , cu proprietatea c h(x) = g(f(x)).

    Compusa funciei g cu funcia f, se notez h= g f , definit prin

    ( ) ,g f x g f x x A .

  • 33

    Observaie

    O condiie esenial pentru a defini funcia g f este ca mulimea care reprezint codomeniul

    funciei f s fie inclus sau egal cu domeniul de definiie al funciei g.

    Operaia prin care din funciile : , : , B C se obine funcia h: , h= g f

    se numete compunerea funciilor.

    Exemplu

    Se dau funciile f, g: , f(x) = 3x 5, g(x) = x2 - 2. S se determine g f i f g .

    Soluie

    Se observ c ambele compuneri de funcii sunt posibile. Funciile g f i f g au domeniul de

    definiie .

    Legea de coresponden a funciei g f se obine astfel:

    2 2 2( ) ( ) 2 3 5 2 9 30 23g f x g f x f x x x x

    Pentru f g avem 2 2( ) ( ( ) 3 ( ) 5 3( 2) 5 3 11f g x f g x g x x x .

    Observaie. n general, atunci cnd ambele compuneri au sens, g f f g .

    Funcii numerice-exerciii rezolvate

    1.S se reprezinte grafic funciile ): {3, 2,0,1,2} , () = 2 i

    ): [2,3] , () = 2.

    Soluie

  • 34

    Mulimea

    = {(, ()| {3, 2,0,1,2}} =

    {(3, (3)), (2, (2)), (0, (0)), (1, (1)), (2))} =

    {(3, 6), (2, 4), (0,0), (1,2), (2,4)}

    Reprezentarea geometric a graficului este redat n figura 1.

    b) Graficul funciei g este = {(, ()| [2,3]} = {(, 2)| 2 3}Reprezentarea

    geometric mulimii este segmentul [AB] situate pe dreapta de ecuaie y=2 din fig.2:

    figura 2

    2. S se determine punctele de intersecie ale curbei cu axele de coordonate Ox i Oy n

    cazurile:

    a) : , () =5

    2 10, b) funcia : , ()=x(2x-5)+2(x-1),

    c) funcia : , () = |4 + 1| 5.

  • 35

    Soluie a) : () = 05

    10 0 5 20 0 4.2

    x x x

    Rezult c = {(4,0)}.

    : = 0, (0) = 10. Rezult c = {(0, 10)}.

    b) : () = 02

    1,2

    3 5(2 5) 2( 1) 0 2 3 2 0; 25,

    4x x x x x x

    .

    Se obine x1= 2 i x2=1

    2. si = {(2,0), (

    1

    2, 0)}.

    : = 0, (0) = 2. Rezult c = {(0, 2)}.

    c) : () = 0 | 4 1| 5 0 | 4 1| 5 4 1 5.x x x Se obine x = 1 sau x =3

    2.

    Aadar = {(1,0), (3

    2, 0)}.

    : = 0, (0) = 4. Rezult c = {(0, 4)}.

    3. S se determine funcia : , () = + , , tiind c = { (1

    6, 0)} i

    = {(0,1)}.

    Soluie

    Din condiia (1

    6, 0) rezult c (

    1

    6) = 0,

    1

    6+ = 0. (1)

    Din condiia = {(0,1)} se obine f(0) =1i de aici b =1. nlocuind b =1 n relaia (1) se

    obine a = -6. Deci relaia de definiie a funciei f este f(x)= -6x+1.

    5. Lecturnd graficele din figura 3 s se determine soluiile ecuaiei f(x) = g(x).

    Figura3

    Soluie

  • 36

    Din lecturarea primunlui grafic se gsete punctul de intersecie al celor dou grafice punctul

    (-2, 2), deci soluia ecuaiei f(x) = g(x) este x = 2.

    Din cel de al doilea desen se obin punctele de intersecie (-3, 4) i (5, 4), aadar soluiile ecuaiei

    f(x) = g(x) n acest caz sunt x = -3 i x= 5.

    Exerciii propuse

    1. Se consider funcia : . s se determine Gf i s se reprezinte geometric graficul

    funciei n cazurile:

    a) = {2, 1,0,1,2}, () = 2; b) = [3,2], () = 3;

    c) = {1, 1

    2, 0,

    1

    3, 2} , () = 6; d) = {0,1,4,9,16}, () = ;

    e) = {3, 2, 1,0,1,2}, () = { + 3, 02 , > 0

    .

    2.Fie funcia = {3, 2, 1,1,2,3,4}, () = 2 1. S se determine care dintre punctele

    (3, 7), (2, 4), (1, 1), (0, 1), (1,1), (2,3), (3,5), (4,7) se gsesc pe

    graficul funciei f.

    3. Se consider funcia : , () = 3 + 4. S se determine punctele de pe graficul

    funciei cu proprietatea:

    a) au coordonatele egale; b) ordonata este dublul abscise;

    c) abscisa este opusul ordonatei; d) media aritmetic a coordonatelor este 12.

    4. Sa se determine punctele de intersecie cu axele de coordinate ale graficului funciei :

    dac:

    a) f(x) = -2x +8; b) f(x) = x - 3; c) f(x) = x2- 8x +15; d) f(x) = x2 -3x;

    e) f(x) = (4x -7)(x -1) -1; f) f(x) = (x -2)2 +x -2,

    5. Se consider funcia : , () = 2 4. S se determine numrul real x astfel nct

    punctul P(1

    4, 2) .

    6.S se determine funcia : , () = + al crei graphic trece prin punctele:

    a) A(0,2), B(2, 0); b) A(-2, 3), B(1,1); c) A(4, 6), B(-1, 1).

    7. Lecturnd graficele din figura de mai jos, determinai soluiile ecuaiei:

    a) f(x) = 0; b) g(x) = 0; c) f(x) = g(x).

  • 37

    Proprieti generale ale funciilor-exerciii rezolvate

    S se arate c urmtoarele funcii sunt mrginite:

    a) : {3, 1

    2,

    3

    2} , () = 4 + 5.

    ) : , () =7 3 (1)

    2.

    c) : , () = 3 (3 )nnot u .

    Soluie

    a)Mulimea valorilor funciei f este {(3), (1

    2) , (

    3

    2)} = {17,7,11}. Se observ c

    [7,17] 7 (x) 17,f x D ,D= {3, 1

    2,

    3

    2}.

    b) Pentru n par se obine () =73

    2= 2, iar pentru n impar se obine () =

    7+3

    2= 5. Rezult c

    {2,5} [2,5] 2 ( ) 5,f n x N .

    c) Avem u(30) = 1, u(3

    1) = 3, u(3

    2) = 9, u(3

    3) = 7, u(3

    4) = 1. Se trage concluzia c =

    {1,3,9,7} [1,9] 1 ( ) 9,f n n N .

    2. S se studieze mrginirea funciilor:

    a) : (3,4) , () = 2 + 5. b) : , () =2

    2+4.

    Soluie

    ) 3,4 3 4 1 13| 2 6 2x 26 | 5

    1 2x 5 31, 1 f(x) 31, x ( 3,4).

    a Avem x x x

  • 38

    Deci funcia f este mrginita.

    b) = { | , = ()}. Relaia f(x) = y se scrie succesiv:

    2 2

    2

    24 2 2 4 0. (1)

    4

    xy yx y x yx x y

    x

    Punem condiia s existe x R care s verifice relaia (1). Deci ecuaia de gradul al doilea n

    necunoscuta x din relaia (1) trebuie s aib soluii reale

    2 2 1 1 1 10 4 16 0 ,4 2 2 2

    y y y y

    . n concluzie Imf = 1 1

    ,2 2

    , deci

    f este mrginit.

    3. S se arate c funcia : , () = 3 + 2 este nemrginit.

    Soluie Presupunem c funcia f este mrginit la dreapta. Rezult c

    , 0, ( ) 0, | 3 2 | ,

    2 23 2 , .

    3 3

    M R M astfel ca f x x R x M x R

    M MM x M x x R

    Ultima relaie este fals deoarece exist numere reale mai mari dect 2

    3, de exemplu

    2 21

    3 3

    M M

    , respectictiv mai mici dect

    2

    3

    M , de exemplu

    2

    3

    M -1.

    4.Care dintre urmtoarele funcii : sunt funcii pare i care impare?

    a) f(x) = -2x4 + 3x

    2 +2, x ; b) f(x) =

    3+

    2+2, x ; c) f(x) = x6 + 10, x (1,2)

    d) f(x)= 2 + 3 + , (1,1).

    Soluie

    a) avem f(-x) =-2 (-x)4+ 3(-x)

    2 +2 = -2x

    4 + 3x

    2 +2 = f(x), x , deci f este funcie par.

    b) f(-x) = ()3

    ()2+2=

    3

    2+2=

    3+

    2+2= (), . Deci f este funcie impar.

    c) Domeniul de definiie al funciei nu este mulime simetric. Rezult ca problema paritii sau

    imparitii acestei funcii nu are sens.

    d)

    2 2

    2

    ( ) ( ) 3 3 ( ).

    ( ) 3 ( ).

    f x x x x x f x

    f x x x f x

    Deci funcia f nu este nici par nici impar.

  • 39

    Comentariu metodic.graficul funciei pare de la punctul a) are ax de simetrie, axa Oy, dreapta x

    = 0, iar graficul funciei impare de la punctul b) are centru de simetrie originea sistemului de axe,

    adic punctul O(0, 0).

    Exerciii propuse

    1. S se arate c urmtoarele funcii sunt mrginite:

    a) : {1,0,1,2,3,4} , () = 3 + 1

    b) : [3,2] , () = + 2;

    c) : (0,1) , () = + 3;

    d) : , () =+1

    2+1.

    2. S se arate c funciile urmtoare sunt nemrginite:

    a) : , () = 2 + 3;

    b) : [0, ) , () = 4 + 1;

    c) : (, 1) , () =3

    4 + 2.

    3. S se studieze paritate- imparitatea funciilor:

    a): f(x) = 4+5

    10+7; b) : [1,1) , () = 3 3; c) : , () =

    ||+2

    2+3||;

    d) : , () =37

    4.

    4. S se arate c graficele urmtoarelor funcii au ax de simetrie dreapta specificat, dac:

    a) : , () = 22 8 + 1, = 2.

    b) : [1,8] , () = 2 7 + 15, =7

    2.

    c) : [3

    2, 4] , () = 22 + 5 + 12, =

    5

    4.

    5. S se arate c punctual P(a, b) este centru de simetrie pentru graficul funcie f n cazurile:

    a) : \{2} , () =37

    +2, (2,3); b) : \{1} , () =

    2+

    1, (1,3).

    Funcii periodice, funcii monotone-exerciii rezolvate

    1. Se d funcia : , () =1+(1)

    2.

    a) S se arate c f(n + 2) = f(n), .

    b) Determinai perioada principal a funciei.

  • 40

    c) Scriei multimea perioadelor funciei.

    Soluie

    a) f(n + 2) = 1+(1)+2

    2=

    1+(1)(1)2

    2=

    1+(1)

    2= (), .

    b) Din a) rezult c T0 = 2.

    c) Mulimea perioadelor funciei f este {2| }.

    2. Se dau funciile : , () = 3 + 2 i ) : [0, ) , () = 2 + 1.

    a) f este funcie monoton strict descresctoare pe R.

    b) g este funcie monoton strict cresctoare pe [0, ).

    Soluie

    a) S artm c f este functie descresctoare pe 1 2 1 2 1 2, ( ) ( ).R x x R cu x x f x f x

    Avem 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1( ) 3 2, ( ) 3 2. ( ) ( ) 3 2 3 2 3( ) 0f x x f x x f x f x x x x x ,

    deoarece din 1 2 2 1( ) 0x x x x , deci 1 2( ) ( )f x f x , adic f este funcie monoton strict

    descresctoare pe R.

    b) Artm c 1 2 1 2 1 2, [0, ) ( ) ( ).x x cu x x f x f x Deoarece

    1 2 1 2 1 2 1 22 3 2 3 2 3 2 3 ( ) ( ), , [0, )x x x x f x f x x x , adic f este funcie

    monoton strict cresctoare pe [0, ).

    Funcii periodice, funcii monotone-propuse

    1. Se consider funcia : , f(n) = restul mpririi lui n la 5.

    a) S se calculeze f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(10).

    b) S se arate c f este funcie periodic i s se precizeze perioada principal.

    2. S se arate c f admite perioada T = 2, n cazurile:

    a) f: , () = (1)+1; ): , () = (4); ) : , () = { + 3}.

    3. S se arate c funciile urmtoare sunt monotone:

    a) : , () = 4 5; ): , () = 2 7; ): (0, ) , () =+2

    +3;

    d) : (0, ) , () =1

    ; ): (, 2] , () = 2 .

  • 41

    Compunerea funciilor-exerciii rezolvate

    1. Fie funcia: , 1: , 1() = (aplicaia identic a mulimii B) i 1: ,

    1() = . S se arate c )1 = ; b) 1Af f .

    Soluie

    )1 : , (1 )() = 1(()) = (), . Rezult c 1 = .

    2. Se dau funciile , : , () = 3 1, () = 22 . S se determine funciile

    , , , .f g g f f f g g

    Soluie

    2 2: , (x) ( ( ) 3g(x) 1 3(2x x) 1 6x 3x 1.f g R R f g f g x

    22 2: , ( ) (f( ) 2 ( ) ( ) 2(3 1) 3 1 18 15 3.g f R R g f x g x f x f x x x x x

    : , ( ) 3 ( ) 1 3(3 1) 1 9 4.f f R R f f x f x x x

    22 2 2 4 3: R R, ( ) ( ( ( )) 2 ( ) ( ) 2(2 ) 2 8 8 .g g g g x g g x g x g x x x x x x x x

    Compunerea funciilor-exerciii propuse

    1. Se dau funciile , , : , () = , () = 2 1, () = 2 + 2.

    a) S se calculeze ((2)), ( (1

    2)) , ((

    1

    2)).

    b) S se determine funciile , , , , , .f g g f f f g g h g g h

    c) S se resolve ecuaiile ( ) ( ); ( ) ( ).f g x f f x h g x g h x

    2. Se consider funcia : , () = 2 4. S se calculeze (1)f f f f .

    3. Fie funcia : , () = 2 1. S se determine funcia : , astfel nct:

    a) ( ) 1, .g f x x x R

    b) 2( ) 4 5, .g f x x x R

    4. S se rezolve ecuaia ( ) 4g f x n cazurile:

    a) , , : , () = 4 1, () = 3 5;

    b) , , : , () = 2 , () = 3 2;

    c) , , : , () = 2 3 + 2, () = 2.

  • 42

    Funcii lecturi grafice aplicaii

    Fie de lucru

    Fia 1

    1) Determinai mulimea: AB, dac: a) A = {1}, B = {2};b) A = {0,1}, B = {0,2};

    c)A = {- 1, 0, 1}, B = {0, 1, 2};d) A =[1,2], B = {3}; e) A =[1,2], B = {3, 4}; f) A = R, B = {1};

    g) A = {3}, B = R;

    h)A = [1, ),B = {2}. Reprezentai ntr-un sistem de axe, mulimile AB, n fiecare din cazurile

    de mai sus..

    2) I)Verificai, dac sunt bine definite funciile exprimate prin formulele urmtoare:

    a)f:NN, f(x) = 3

    12 x;b) f:NR, f(x) =

    42

    3

    x;c) f:RR, f(x) = 1x ;

    d) f:RR, f(x) =

    0,3

    2,12

    xx

    xx

    II) Urmtorele exprimri sunt greite. S se explice n ce constau greelile i cum se pot

    corecta:

    a) f: RR, f(x) =1

    12 x

    ; b) f: [0, 5] [0, 2], f(x) = x 1;

    c) f: [0, )[3, 4], f(x) = x2 ; d) f: (0, )R, f(x) = 2

    1

    x

    x.

    3) Reprezentai grafic urmtoarele funcii:a) f:{0,1, 2, 3}R, f(x) = 2x+1;b) f:[1, 2]R,

    f(x)=4; c) f:(- , 0)R,f(x)= - 2.

    4) Determinai punctele de intersecie cu axele, ale graficelor urmtoarelor funcii:a) f:RR,

    f(x) =ax+ b (a, bR,a 0);b) f:RR, f(x) =x2 ; c) f:RR, f(x) = x2 3x + 2;

    d) f:R*R, f(x) = 1/x.

    5) Fie funcia f: RR, f(x) =

    2,3

    2,12

    xx

    xx ; calculai: f( - 1), f(0), f(1/2), f(2), f(3), f(5).

    6) Determinai funcia f: RR, care verific: f(x) + 2 f( - x) = 2x, xR.

    7) Demonstrai c funcia f: RR este par, n cazurile: a) f(x) = x ; b) f(x) = 2x + 2x ;

    c) f(x) = x + 1x + 1x i impar dac: f(x) = 2x - 2x .

    8) Stabilii paritatea funciilor f: RR, n cazurile:

  • 43

    a) f(x) = 2x; b) f(x) = 2x + 5; c) f(x) = - 4x3 ; d) f(x) = x

    3 + x

    2 ; e) f(x) = x

    2 + 1;

    f) f(x) = - 2x2 + 2x .

    9) O funcie f: [ - 6, 6] R, are urmtorul tabel de variaie:

    Completai tabelul, tiind c f este par.

    10) Fie funcia f: RR, astfel nct: 3 f(x) 2f( - x) = 3x3 + 2x, xR. Stabilii paritatea

    funciei.

    11) Demonstrai c funcia f: RR are ca ax de simetrie, dreapta scris alturat:

    a) f(x) = x , x = 0; b) f(x) = 2x , x = 2; c) f(x) = 3x , x = 3; d) f(x) = 1x , x = - 1.

    12) Demonstrai c funcia f: RR are ca centru de simetrie, punctul alturat:

    a) f(x) = x3 , S( 0, 0) ; b) f(x) = x

    3 + 2 , S( 0, 2) ; c) f(x) = x

    3 - 1 , S( 0, - 1) .

    13) Stabilii care din urmtoarele funcii : f i g , sunt egale: a) f, g: { - 1, 0, 1} { 0, 1}

    f(x) = x2 , g(x) = x ; b) f, g: { 0, 1, 2 } R, f(x) = 3x + 1, g(0) = 1, g(1) = 4, g(2) = 7; c) f, g

    RR, f(x) = 3x + 1, g(x) = 3( x + 1).

    14) Stabilii domeniul de definiie al funciei f: AB, n cazurile: 1) f(x) = x2 5; 2) f(x) =

    4x

    x; 3) f(x) =

    9

    12 x

    ; 4) f(x) = 2x ; 5) f(x) = 2

    1

    x.

    15) a) Fie funciile: f,g: RR, f(x) = 2x 4, g(x) = - x + 5; definii funciile: f + g, f g, fg , g

    f.

    b) Fie funciile:f:RR, f(x) = x+1,g:[-3, )R, g(x) = 3x ;definii funciile:f+ g,f g,

    fg,g

    f;

    c) Fie f: [ 0, )R, f(x)= x , g: ( - , 2]R, g(x)= x2 ; definii funciile:f+ g,f g, fg,

    g

    f;

    d) Fie f: [ -2, 5] R, f(x)=x 4, g: [- 3, 7] R, g(x)=x2- 4x; definii funciile:f+ g,f g, fg,

    g

    f.

    x - 6 -4 - 1 0 1 4 6

    f(x) 4 - 1 2 5

  • 44

    16) Fie A = { 1, 2, 3}, B = { a, b, c}.

    a) Definii cu ajutorul diagramelor, toate funciile f: AB.

    b) Dai exemple de corespondene: xf(x), xA, f(x)B, care nu sunt funcii.

    17) Determinai imaginile urmtoarelor funcii: a) f: [ - 1, 1] R, f(x)= 2x + 1;

    b)

    x -3 - 1 1 2

    f(x) 1 0 1 0

    18) Determinai f -1(B), n cazurile: a) f:RR, f(x) = x2 4x; B = { - 3}; B = { - 3, - 1};

    b) B = {0}, B

    ={ 0, - 3},

    19) Stabilii monotonia funciei f, n cazurile:

    a)

    x -3 0 1 2

    f(x) 9 6 0 - 5

    b)

    x -3 -6 0 1 8

    f(x) -3 - 3 0 5 5

    c) f:RR, f(x) = 3x 4;

    d) f:RR, f(x) = - 3x + 4; e) f:RR, f(x) =

    1,13

    1,1

    xx

    xx .

    20) Determinai valorile extreme (cea mai mic i cea mai mare) ale lui f, n cazurile:

    a)

    b) f: [ - 5, 3] R, f(x) = 2x + 1; c) f: { - 3, - 2, 0, 1, 4} R, f(x) = - 3x + 1.

    x -1 1 5 9

    f(x) - 3 0 - 3 -1

    x -10 -3 1 15 20

    f(x) 6 0 - 4 8 - 5

  • 45

    Test de evaluare

    1)(1,5p) Stabilii domeniul de definiie al funciei f: AB, n cazurile:

    a) f(x) = x2 5; b) f(x) =

    1x

    x; c) f(x) = 3x ; d) f(x) =

    4

    1

    x.

    2)(1p) Fie A = { 3, 4 }, B = { a, b }.

    a) Definii cu ajutorul diagramelor, toate funciile f: AB.

    b) Dai exemple de corespondene : xf(x), (xA, f(x)B ), care nu sunt funcii.

    3)( 1,5p) Urmtoarele exprimri sunt greite. S se explice, n ce constau greelile i cum se

    pot corecta:

    f: (- , - 1 ) R, f(x) = 2

    3

    x

    x ; b) f: RR, f(x) =

    0,52

    2,3

    xx

    xx .

    4)(1p) a) O funcie f: [ - 6, 6] R, are urmtorul tabel de variaie:

    Completai tabelul, tiind c f este impar.

    b) Stabilii paritatea funciei: f: RR, f(x) = 3x2 + 1 .

    5)(1p) Stabilii care din urmtoarele funcii f i g sunt egale:

    a) f:ZN, g:NN, f(x) =x2,g(x) = x2 ;b)f,g:{ 0,1,2}R,f(x)=3x+1,g(0)=1,

    g(1)=4,g(2)=7.

    6) (1, 50p) Stabilii monotonia funciei f, n cazurile:

    a)

    x -2 0 1 5

    f(x) - 4 - 1 0 3

    b)

    x -2 0 1 5

    f(x) - 4 - 4 0 3

    c) f: RR, f(x) = - 3x + 7.

    x - 6 - 3 - 1 0 1 3 6

    f(x) 2 -1 5 - 4

  • 46

    7) (1,5p) Determinai f-1( B), dac f: RR, f(x) = x2 - 3x , B = { - 2}.

    Test de evaluare

    1)(1,5p) Stabilii domeniul de definiie al funciei f: AB, n cazurile:

    a) f(x) = x2 3; b) f(x) =

    2x

    x; c) f(x) = 3x ; d) f(x) =

    1

    1

    x.

    2)(1p) Fie A = { 1, 2 }, B = { m, n }.

    a) Definii cu ajutorul diagramelor, toate funciile f: AB.

    b) Dai exemple de corespondene : xf(x), (xA, f(x)B ), care nu sunt funcii.

    3)( 1,5p) Urmtoarele exprimri sunt greite. S se explice, n ce constau greelile i cum se

    pot corecta:

    a) f: (0, ) R, f(x) = 3

    2

    x

    x ; b) f: RR, f(x) =

    0,2

    1,13

    xx

    xx .

    4)(1p) a) O funcie f: [ - 5, 5] R, are urmtorul tabel de variaie:

    Completai tabelul, tiind c f este par.

    b) Stabilii paritatea sau imparitatea funciei: f: RR, f(x) = - 5x3 .

    5)(1p) Stabilii care din urmtoarele funcii f i g sunt egale:

    a) f, g: { -1, 0, 1}{ 0, 1}, f(x) = x2 , g(x) = x ; b) f, g: RR, f(x) = 5x +1,

    g(x) =5(x + 1).

    6) (1, 5p) Stabilii monotonia funciei f, n cazurile:

    a)

    x -3 0 1 2

    x - 5 - 3 - 1 0 1 3 5

    f(x) 3 -2 4 6

  • 47

    f(x) 9 5 -1 -3

    b)

    x -3 0 1 2

    f(x) 9 9 -1 -3

    c) f: RR, f(x) = 4x 5.

    7) (1,5p) Determinai f -1( B), dac f: RR, f(x) = x2 - 5x , B = { - 6}.

    Observaii. Dac A =B= R, atunci produsul cartezian al mulimilor A, B este =,(, )-, .. Se obinuiete s se noteze =,-.. Reprezentarea geometric a mulimii este planul.Fie A i B doua mulimi nevide i o funie f :. Legea de coresponden a funciei poate fi prezentat n mai multe moduri.I. Funcii definite sintetic