� � �� �

� �

� ��

���������������� �

���

Pardon…Pardon…

Urmeaza o prezentare realizata de

Angelescu Andrei

Delaport Teodor

Nastase Remus

Petrescu Vlad

Functiile trigonometrice

simple

(Nu va lasati pacaliti de

nume… Sunt grele rau)

1)Functia sin1)Functia sin

Graficul functiei sinGraficul functiei sin

Tabelul de valori al functiei sinsin

Grafic

2)Functia cos2)Functia cos

Graficul functiei cosGraficul functiei cos

Tabelul de valori al functiei coscos

Grafic

3)Functia tg3)Functia tg

Graficul functiei tgGraficul functiei tg

Tabelul de valori al functiei tgtg

Grafic

4)Functia ctg4)Functia ctg

Graficul functiei ctgGraficul functiei ctg

Tabelul de valori al functiei ctgtg

Grafic

1.Functia arcsin1.Functia arcsin

Functia f(x) = sinx; f : (Fig 1.) este bijectiva, deci este inversabila. Functia inversa f -1 se noteaza f -1(x)= arcsinx unde arcsinx : [-1,1] → si a graficului sau (Fig.2) este simetricul graficului functiei f(x) = sinx, f : fata de prima bisectoare a axelor de coordonate y=x.

Observatii :: Este inversabila orice restrictie a functiei sin cu conditia ca aceasta sa fie bijectiva,dar numai inversa

restrictiei la intervalul se numeste arcsin.

( f o f -1 )( x ) = x => sin( arcsinx ) , pentru x є [-1,1].

( f -1 0 f ) ( x ) = x => arcsin( sinx ) = x , pentru x є

Functia f -1 este impara,adica arcsin( -x ) = - arcsinx, x є [-1,1].

2.Functia arccos2.Functia arccos In mod analog functia f : [ 0,π ] → [ -1,1 ], f(x) = cosx

(Fig.4) este bijectiva,deci inversabila si atunci functia inversa f -1 notam cu arccos x,unde : f -1( x ) = arccos : [-1,1] → [0, π].

Observatii : A. Graficul functiei f -1 (x) = arccosx : [ -1,1 ] → [ 0,π ] ( Fig. 5 )

este simetricul graficului functiei f(x) = cosx, f :[ 0,π ] → [-1,1].fata de prima bisectoare.

B. ( f o f -1 )( x ) = x => cos(arccosx) = x, x є [-1,1].

C. ( f -1 0 f ) ( x ) = x => arccos(cosx)= x, x є [ 0,π ]

D. arccos(-x) = π – arccosx, x є [-1,1]

3.Functia arctg3.Functia arctg

Functia f : ,f(x) = tgx,este surjectiva,dar nu

este injectiva.Restrictia sa la intervalul ,fiind monoton

crescatoare,este injectiva si deci bijectiva si atunci

f : ,f(x)= tgx este inversabila(Fig. 6)

Inversa sa f -1 se numeste arctgx si se noteaza : f -1 ,f -

1(x) = arctgx (Fig. 6 – linia rosie ).Graficul sau este simetricul functiei

f(x) = tgx : ,fata de prima bisectoare.

Se observa ca dreptele si sunt asimptote orizontale Se observa ca dreptele si sunt asimptote orizontale

pentru graficul functiei arctgx. pentru graficul functiei arctgx.

Aceste asimptote sunt simetricele asimptotelor verticale si

ale graficului functiei directe. Scriem arctg si arctg . Se

deduce usor ca arctg 0=0 pentru ca tg0 = 0; arctg ,pentru ca ;

arctg etc.

Observatii :

1.arctg(tgx) = x, x є

2.tg(arctgx) = x, x є

3.arctg(-x) = -arctgx, x є

4.Functia arcctg4.Functia arcctg Restrictia bijectiva a functiei f(x) = ctgx; f : este functia f : ( 0,π ) → ,f(x) = ctgx.Inversa sa se numeste arcctg x si se scrie : f -1( x ) = arcctgx ; f -1 : → ( 0,π ).

Graficul sau este simetricul functiei f(x) = ctgx : ( 0,π ) → fata de prima bisectoare (Fig. 7).

Se observa ca functia arcctgx este pozitiva pe ,iar graficul sau are dreptele y=0 si y=π asimptote orizontale care sunt simetricele fata de prima bisectoare a asimptotelor verticale x=0 si x=π la graficul functiei directe.

Avem : arcctg 0 = ;arcctg

;arcctg =0;arcctg . Observatii : 1.arcctg(ctgx) = x , x є ( 0,π ).

2. ctg(arcctgx) = x, x є

Multumim pentru atentie!

…………..Publicitate