Solution!

Part 1:Here is the function and its graph below, the question is that both the first and the second derivative graphs must be found. They can be found using just the graph or just the function, or both. Remember all that is required is a sketch of the first derivative graphs. Only roots, y­intercepts, and max/mins must be found and listed on the graph of the first  derivatives. Remember no calculators allowed. 

Function:

Graph of Function:

F(x)=

In order to find the first derivative you must find the derivative of F(x). 

Function:

Graph of Function:

F(x)=F(x)=

F'(x)=

F'(x)=

Using power rule with this polynomial expression, x2     becomes 2x , 2 becomes 0 and ex stays as ex, its the only derivative exception. 

Function:

Graph of Function:

F(x)=

Now that F'(x) was found we can now sketch its graph. To begin we take a look at the slope of the parent function on the interval (­    to 0).

The slope of the parent function is decreasing positively, meaning that when it is drawn it will begin at (­    ,+    ) and decrease positively towards the y­intercept. 

The slope is the parent function is decreasing positively, meaning that when it is drawn it will begin at (­    ,+    ) and decrease positively towards the y­intercept. 

Function:

Graph of Function:

F(x)=

(­    ,+     )

y­intercept

y­intercept

Finding the y­intercept:Solve F'(x) for 0.

F'(x)=

F'(x)=

F'(x)=

F'(x)=

The y­intercept is 1.

Function:

Graph of Function:

F(x)=

Now that F'(x) was found we can now sketch its graph. To begin we take a look at the slope of the parent function on the interval (0,+    ).

The slope of the parent function is increasing positively, exponentially, meaning that when it is drawn it will begin at (0,1) and increase positively, exponentially, towards the (+   ,+   ). 

Function:

Graph of Function:

F(x)=

(+    ,+     )

y­intercept

The slope of the parent function is increasing positively, exponentially, meaning that when it is drawn it will begin at (0,1) and increase positively, exponentially, towards the (+   ,+   ). 

So the first derivative function of:

Function:

Graph of Function:

F(x)=

Function:

Graph of Function:

F'(x)=

In order to find the second derivative you must first find the derivative of F'(x). 

F'(x)=

Using power rule with this polynomial expression, 2x     becomes 2 , and ex stays as ex. 

Function:

Graph of Function:

F'(x)=

F''(x)=

F''(x)=

Finish!