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FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 1
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 2
Conjuntos
É uma noção primitiva, isto é, sem definição. Assim qualquer coleção de
objetos ou entidades constitui um conjunto.
Os objetos que formam um conjunto são chamados elementos, que são
expressos por letras minúsculas. A notação de um conjunto é uma letra
maiúscula.
• Os elementos de um conjunto podem ser representados de três
maneiras:
1. Enumeração: listam-se seus elementos, escrevendo-os entre chaves
e separando-os por vírgulas.
Exemplos: { }5,2,0,14,2A = − conjunto finito
D = ∅ conjunto vazio
{ }1,3,5,......B = conjunto infinito
2. Compreensão: o conjunto é representado por uma propriedade que
caracteriza seus elementos
Exemplos: { }/ A x x é ímpar=
{ }/ e 7B x x R= ∈ ≤
3. Diagrama de Venn:
• Relação de Pertinência: Elemento → Conjunto
pertence
não pertence
∈∉
`
Exemplo: { }3, 2,1,0,5,7,9A = − −
3
1
5
A
A
A
− ∈
− ∉ ∈
• Subconjuntos
5
12 1
0 -4
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 3
A é um subconjunto de B se todos os elementos de A pertencem a B.
Notação:
está contido
não está contido
⊂
⊄
Exemplo: { } { } 1,2 e 0,1,2, 1,7 Se A B A B= − = − ⊂
• Operações com Conjuntos:
1) União: { }/ A B x x A ou x B∪ = ∈ ∈
Exemplos:
1)
A B A∪ =
{ } { }
{ }
3,0,2 3, 2, 1,0,1,2,3
3, 2, 1,0,1,2,3
B A
A B A
= − = − − −
∪ = − − − =
2)
{ } { }
{ }
1,0,2,4,6,7 3, 2, 1,0,1,2,3
3, 2, 1,0,1,2,3,4,6,7
B A
A B
= − = − − −
∪ = − − −
3) { } { }
{ }
4,2,3 3, 2, 1,0,1
4, 3, 2, 1,0,1,2,3
B A
A B
= − = − − −
∪ = − − − −
A
B
A
B
A
B
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2) Interseção: { }/ A B x x A e x B∩ = ∈ ∈
Exemplos:
1)
A B B∩ =
{ } { }
{ }
3,0,2 3, 2, 1,0,1,2,3
3,0,2
B A
A B B
= − = − − −
∩ = − =
2)
{ } { }
{ }
1,0,2,4,6,7 3, 2, 1,0,1,2,3
1,0,2
B A
A B
= − = − − −
∩ = −
3) { } { }4,2,3 3, 2, 1,0,1B A
A B
= − = − − −
∩ = ∅
3) Diferença: { }/ A B x x A e x B− = ∈ ∉
1)
{ } { }
{ }
3,0,2 3, 2, 1,0,1,2,3
2, 1,1,3
B A
A B
= − = − − −
− = − −
A
B
A
B
A
B
A
B
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 5
2)
{ } { }
{ }
1,0,2,4,6,7 3, 2, 1,0,1,2,3
3, 2,1,3
B A
A B
= − = − − −
− = − −
3) { } { }
{ }
4,2,3 3, 2, 1,0,1
3, 2, 1,0,1
B A
A B A
= − = − − −
− = − − − =
Exercícios:
1. Sejam os conjuntos: { } { } { }1,2,5,6,9,10 , 0,2,5 , 3,5,7,10S A B= = = . Calcular:
a) A B∪ b) B S∪ c) A B S∪ ∪ d) A B∩ e) A B− f)
B A−
g) S A− h) S B− i) ( )S A B− ∪ j) S B A∩ ∩ k) ( )B A S∩ ∪
2. Sejam os conjuntos: { } { } { }1,3,4,6 , 3,4,5,7 , 4,5,6,8A B C= = = . Calcular:
a) A B∪ b) A B∩ c) A C∪ d) A C∩ e) A B C∪ ∪
f) A B C∩ ∩ g) ( )A B C∪ ∩ h) ( )A B C− ∩ i) ( )A B C∪ −
3. Sejam os conjuntos { } { } { } { }0,2 , 1,4,5 , 0,3,6 2,3,4,5,6A B C e D= = − = = .
Determine ( ) ( )A B C D− ∩ − .
4. Dados os conjuntos { } { }2,3 , 3,4,5A B= = , determine o conjunto C tal que:
{ } { } { }2 4 2,3,4,5,6A C B C A B C∩ = ∩ = ∪ ∪ = .
A
B
A
B
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Conjuntos Numéricos
1. Conjunto dos Números Naturais �
{ }0,1,2,3,4,......=�
Quando não se considera o elemento 0 (zero): { }* 1,2,3,4,......=�
2. Conjunto dos Números Inteiros �
{ }..., 2, 1,0,1,2,......= − −�
Quando não se considera o elemento 0 (zero): { }* ..., 2, 1,1,2,......= − −�
3. Conjunto dos Números Racionais �
São todos os números que podem ser escritos sob a forma de fração de
números inteiros. Têm representação decimal finita ou periódica.
Exemplos: a) 3 b) -4 c) 2
0,45
= d) 5
0,55555....9
− = −
Notar que: ⊂ ⊂� � �
4. Conjunto dos Números Irracionais Ι
São os números cuja representação decimal não é exata nem periódica,
não podendo ser escritos sob a forma de fração.
Exemplos: a) 3,14159265...π = b) 2 1,4142125...=
c) 2,718281...e =
5. Conjunto dos Números Reais �
I= ∪� �
Os números reais podem ser associados biunivocamente com cada
ponto de uma reta, estabelecendo o eixo real orientado.
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Intervalos Numéricos:
Denominamos intervalo qualquer subconjunto de números reais. Dados
a e b, com a b⟨ , tem-se:
• Intervalo aberto
Representação geométrica
Representação algébrica { }/ ou ( , )x a x b a b∈ ⟨ ⟨�
• Intervalo fechado
Representação geométrica
Representação algébrica { }/ ou [ , ]x a x b a b∈ ≤ ≤�
• Intervalo semi-aberto à direita
Representação geométrica
Representação algébrica { }/ ou [ , )x a x b a b∈ ≤ ⟨�
• Intervalo semi-aberto à esquerda
Representação geométrica
Representação algébrica { }/ ou ( , ]x a x b a b∈ ⟨ ≤�
a b
a b
a b
4− 2− 1−
32
−
0 1 2 33−
12 5
a b
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• { }/ ou ( , )x x a a∈ ⟩ ∞�
• { }/ ou [ , )x x a a∈ ≥ ∞�
• { }/ ou ( , )x x a a∈ ⟨ −∞�
• { }/ ou ( , ]x x a a∈ ≤ −∞�
Exemplos:
1. Se { }/ 4 2A x x= ∈ − ⟨ ≤� e { }/ 2 4B x x= ∈ − ≤ ⟨� , calcule A - B.
Como os elementos dos conjuntos pertencem ao conjunto dos inteiros, eles
podem ser listados:
{ } { } { }3, 2,1,0,1,2 2, 1,0,1,2,3 3A B então A B= − − = − − − = −
2. Se { }/ 3 1A x x= ∈ − ≤ ⟨� e { }/ 1 3B x x= ∈ − ⟨ ⟨� , calcule A – B.
Como os elementos dos conjuntos pertencem ao conjunto dos reais, eles
devem ser representados em forma de intervalo:
A=
a
a
a
a
3− 1
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B=
A–B= { }/ 3 1A B x x− = ∈ − ≤ ≤ −�
Exercícios:
1. Se { }/ 3 2A x x= ∈ − ≤ ≤� e { }/ 2 5B x x= ∈ − ⟨ ⟨� , calcule A - B.
2. Se { }/ 4 4A x x= ∈ − ≤ ≤� e { }/ 2 5B x x= ∈ − ⟨ ⟨� , calcule A – B,
A B∩ e A B∪ .
3. Represente na reta numerada e defina em linguagem simbólica os
conjuntos:
a) [3,6] b) (-1,5] c) ( , 2 ]−∞ d) 3
,25
−
e)(-3,5) f) [0,7]
g) [ 4, )− ∞ h) ( ,1)−∞ i) [ 3,2] (0,4]− ∩ j) ( ){ } ( )[1, ) , 1 2,2∞ ∪ −∞ − ∩ −
l) [ 2, 2] [1,3)− ∩ m) 3
[0,1] [2, ) [ , )2
∩ ∞ ∪ ∞
n) [ ] { }1,1 ( ,1] (0,2]− ∪ −∞ ∩
4. Dados os intervalos [ 2,2), (0, ) ( ,1]A B e C= − = ∞ = −∞ , determinar:
a) A B∩ b) A C∩ c) C B∩ d) A B C∩ ∩ e) A B∪ f) A C∪
g) B C∪ h) A B C∪ ∪ i) A - B j) A – C k) B – C
Potenciação, Radiciação e Valor Absoluto
Calcular a potência de um número real a equivale multiplicar a por ele
mesmo, n vezes.
. . .....n
n vezes
a a a a a= Exemplos: a) 42 2.2.2.2 16= = b) 28 8.8 64= =
1− 3
3− 1−
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Propriedades:
1. .m n m na a a += Exemplos: a) 2 5 74 .4 4= b) 8 4 12.x x x=
2. 0m
m n n
n
aa com a
a
−= ≠ Exemplos: a)
4
3
33
3= b)
93
6
xx
x=
3. 0 1a =
4. ( ) .nm m na a= Exemplos: a) ( )
52 108 8= b) ( )33 9x x=
5. ( ). .n n na b a b= Exemplos: a) ( )
2 2 28 8 .x x= b) ( )5 5 5.xy x y=
6. n n
n
a a
b b
=
Exemplos: a)
2 2
2
3 3x x
=
b)
3 3 3
3
3 3y y
z z
=
7. . .n n na b a b= Exemplos: a) 4 4.x x= b) 2 233 3. .x y x y=
8. 1
0n
na com a
a
−= ≠ Exemplos: a) 3
3
12
2−
= b) 44
1x
x−=
9. 0m
mn na a com n= ⟩ Exemplos: a) 8
5 8 56 6= b) 5
5 2x x=
10. Se 25x = , então x = 5. Se 2 25x = , então 5x = ± .
Exemplos:
1) Qual o valor de
323 2324 8
−
?
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
333 2 332
2 3 3 2 2 322 3 222 2 2 2 8 4 2 2 8
− = − = − = = =
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2) Colocar a expressão ( ) ( )3 25169 13÷ na forma
m
na com m e n inteiros e a
um número primo..
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 283 62 65 5 5 513 13 13 13 13 13
−÷ = ÷ = =
Exercícios:
1) Utilizar as propriedades anteriores, para determinar o valor numérico de:
a) 431 b) 100 c) ( )2
3− d) 23− e) ( )3
3− f) 7
3
55
g) 50
43
33
h) ( )0
51− i) 438 j)
243
−
k) ( )
−−
3
1
6
2) Qual o valor de ( )( )339 23 3 .3
−
÷ ?
3) Colocar as expressões na forma m
na com m e n inteiros e a um número
primo:
a) 5 2048 b) ( )
( )32
3
149
343
−
÷
Valor Absoluto ou Módulo:
O valor absoluto ou módulo, denotado por x é definido por:
0
0
x se xx
x se x
≥=
− ⟨
Exemplos: 1. 8 8− = 2. 5 5= 3. − − = −6 6 4. 2 2− − =
Propriedades:
1. -a x ax a então⟨ ⟨ ⟨ Exemplo: 3 -3 x 3x então⟨ ⟨ ⟨
2. -a x ax a então≤ ≤ ≤ Exemplo: 2 -2 x 2x então≤ ≤ ≤
3. x -a ou x ax a então⟩ ⟨ ⟩ Exemplo: 4 x -4 ou x 4x então⟩ ⟨ ⟩
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4. x -a ou x ax a então≥ ≤ ≥ Exemplo: 1 x -1 ou x 1x então≥ ≤ ≥
Exemplos:
1. Simplifique a expressão: 1
1
x
x
−
− (para 1x ≠ )
Pela definição: 1 1
11 1
x se xx
x se x
− ⟩− =
− + ⟨
Se 1 1x x− = − , a expressão inicial torna-se 1
11
x
x
−=
−
Se 1 1x x− = − + , a expressão inicial torna-se ( )11
11 1
xx
x x
− −− += = −
− −
A resposta será 1 1 1
1 1 1
x se x
x se x
− ⟩=
− − ⟨.
2. Resolva a equação: 2 5 7x − = .
2 5 7 2 5 7x ou x− = − = − ⇒ 6 1x ou x= = −
Exercícios:
1. Simplifique a expressão: 2 4
2
x
x
−
−.
2. De acordo com a definição, calcule:
a. 3 5− b. 2 6 5− − + c. 7− −
3. Resolva as expressões a seguir:
a. 3 1 5x + ≤ b. 2 1 11x + ⟩ c. 4 9 3x − ≥
Expressões Algébricas
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Definição:
Uma expressão matemática que contém números e letras é chamada de
expressão algébrica.
Exemplos: 22 , 3 , , 2b x y x y− + .
Valor Numérico:
É o número real que se obtém quando se substitui todas as variáveis da
expressão pelos respectivos valores dados e efetuam-se todas as operações
indicadas na expressão.
Exemplo: Determinar o valor numérico da expressão algébrica
3 25 2 51
x x
x
− +
−, quando x=-1.
( )
( )
3 25 1 2( 1) 5 5 2 5 21
1 1 2 2
− − − + − − + −= = =
− − − −
Monômios
Em uma expressão algébrica, todo produto de números reais, expresso
ou não por variáveis, é chamado monômio.
Exemplo: Os monômios da expressão 3 23 2x y x xy+ − são:
3 23 , e 2x y x xy− .
No monômio 2xy− , -2 é a parte numérica e xy é a parte literal.
Polinômios
É qualquer expressão algébrica constituída pela soma algébrica de
monômios.
Exemplos:
32 3ax ax− , 23 4 6x x− + , 3 28 4abc xy− .
Polinômio Reduzido:
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É aquele que não apresenta termos semelhantes, ou seja, com a mesma
parte literal.
Exemplos:
• O polinômio 28 2 4a b ab− + está na forma reduzida, pois não
apresenta termos semelhantes.
• Reduzir os termos semelhantes do polinômio
3 4 5 3 6.x xy x xy− + − +
Rearranjando os termos e agrupando tem-se:
( ) ( )+ + − − + = − +3 5 4 3 6 8 7 6x x xy xy x xy .
Operações com Polinômios:
• Adição:
( ) ( )2 2
2 2
2
3 5 4 7 3 4 9
3 5 4 7 3 4 9
12 2 7
a x ax a x ax a a x
a x ax a x ax a a x
a x ax x
+ − + + − + + =
= + − + − + + =
= + +
• Subtração:
( ) ( )+ + − − + =
= + + − + − =
= + +
5 2 5 2
5 2 5 2
5 2
8 5 3 2 4 1
8 5 3 2 4 1
6 9 2
x x x x
x x x x
x x
• Multiplicação:
a) ( )( )2 2
3 2 2 2 3
3 4 5 2
6 8 10
a a x ax
a x a x ax
− + − =
= − + −
b)
( )( )2
3 2 2
3 2
3 5 1 4 2
12 6 20 10 4 2
12 26 6 2
x x x
x x x x x
x x x
+ − + =
= + + + − − =
= + + −
2
3 2
2
3 2
3 5 1
4 2
12 20 4
6 10 2
12 26 6 2
x x
x
x x x
x x
x x x
+ −
+
+ −
+ + −
+ + −
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c)
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
− + − =
= + − − − =
= + − − =
= − + − − + =
= − − +
2 2
2 2
3 2 2 2 2 3
3 2 2 3
3 2 5
3 3 2 5
3 2 2 5
6 15 4 10 2 5
6 11 12 5
x y x y x y
x xy xy y x y
x xy y x y
x x y x y xy xy y
x x y xy y
• Divisão:
1. Caso: Divisão de um polinômio por monômio:
a)
( ) ( )− − + ÷ =
−− + = − − +
3 4 2 3 2
3 4 2 32 2
2 2 2
18 12 3
18 12 16 4
3 3 3 3
x y x y x y x y
x y x y x yx x y
x y x y x y
b)
( ) ( )− + ÷ =
= − + = − +
4 3 2 2
4 3 22
2 2 2
15 21 12 3
15 21 125 7 4
3 3 3
x x x x
x x xx x
x x x
2. Caso: Divisão de um polinômio por polinômio:
( ) ( )3 2
3 2
3 2 2 2
2
2
. 3 3 1 1
3 3 1 1
y 2 1 Resp: y 2 1
- 2 3 1
2 2
-1
- 1
0
a y y y y
y y y y
y y y y
y y
y y
y
y
− + − ÷ −
− + − −
− + − + − +
+ −
−
+
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( ) ( )
( )
3 2 2
3 2 2
3 22
2
2
. 2 5 8 3 4
2 5 8 3 4
42 - 522 6 8 2 11 Resp: 2 11
3 4 -11 9 8
11x 33 44
42 - 52
b x x x x x
x x x x x
xx x x x x
x x
x x
x
x
− + − ÷ + −
− + − + −
− − + − − ++ −
+ −
+ −
( ) ( )
( )
5 4 2
5 4 2
5 4 4 3 2 4 3 2
4 2
4 3
3 2
. 2 7 1
2 7 1
7 Resp:
1 - 7
-x
- 7
c x x x x
x x x x
x x x x x x x xx
x x
x
x x
+ − + ÷ +
+ − + +
− − + − + − ++
+
−
− +
3 2
+7
x x+
Exercícios:
Reduzir os termos semelhantes:
1. ( )2 2 25 14 3 1 7
2 2x y x y z− + − − +
2. [ ]3
3 2 2 5 44
a ab a a
+ − + + + −
Resolver as operações indicadas, simplificando quando necessário:
1. )( ( ) ( )5 4 3 3 4 2 52 7 6 2 2 7 5 6 1 2x x x x x x x x x x− + − + + − + + − − − −
2. ( ) ( ) ( )3 2 2 3 22 4 5 1 3 4 7x x x x x x x− + − − − + + −
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3. ( ) ( )4 4 4 4.x y x y+ −
4. 3 4 5 2 22 7 8 1 . 6 1a a a a a a a − − + + − − − − +
5. ( ) ( )4 2 21 1y y y y+ + ÷ − −
6. ( ) ( )4 3 23 5 2x x x x x− − + ÷ +
7. ( ) ( )3 25 4 1 1x x x x+ − − ÷ −
8. ( ) ( )4 3 34 4 1 4 1x x x x− + − ÷ +
9. ( ) ( )3 2 22 1 2x x x x x− + + ÷ − +
10. ( ) ( )3 27 16 12 3x x x x− + − ÷ −
Produtos Notáveis
Certos produtos, chamados produtos notáveis, são usados com
freqüência no cálculo. Eles são o resultado do produto de expressões
algébricas e devem ser memorizados::
1. (((( ))))2 2 2 2a b a ab b+ = + ++ = + ++ = + ++ = + +
Exemplos:
• ( ) ( )2 22 2 22 2. .2 2 4 4m n m m n n m mn n+ = + + = + +
• ( ) ( ) ( )2 2 2
2. 2x y x x y y x xy y+ = + + = + +
2. (((( ))))2 2 22a b a ab b− = − +− = − +− = − +− = − +
Exemplos:
• ( ) ( )2 22 22 4 2 2.2.4 4 4 16 16x x x x x− = − + = − +
• ( )2 2 2
2 22.2 2 2 4y y y y
x x x x xy
− = − + = − +
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3. (((( )))) (((( )))) 2 2a b a b a b+ − = −+ − = −+ − = −+ − = −
Exemplos:
• ( )( ) ( )23 3 3 2 63 1 3 1 3 1 9 1a a a a+ − = − = −
• ( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 4 22 2 2 4x b x b x b x b− + = − = −
4. (((( ))))3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + ++ = + + ++ = + + ++ = + + +
Exemplos:
• ( ) ( ) ( )+ = + + + =
= + + +
3 2 33 2
3 2 2 3
2 3. .2 3. . 2 2
6 12 8
x y x x y x y y
x x y xy y
• ( ) ( )
3 2 33 22 2 2 2
6 4 2
1 1 1 13. . 3. .
3 3 3 3
1 13 27
x x x x
x x x
+ = + + + =
= + + +
5. (((( ))))3 3 2 2 33 3a b a a b ab b− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −
Exemplos:
• ( ) ( ) ( )3 2 33 2
2 3
3 3 3.3 . 3.3.
27 27 9
y y y y
y y y
− = − + − =
= − + −
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = − + − =
= + + −
3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 3 2 3. 2 .3 3.2 . 3 3
8 36 54 27
a b a a b a b b
a a b ab b
6. (((( )))) (((( )))) (((( ))))2x a x b x a b x ab+ + = + + ++ + = + + ++ + = + + ++ + = + + +
Exemplos:
• ( )( ) 2 22 3 (2 3) (2).( 3) 6x x x x x x+ − = + − + − = − −
• ( )( ) 2 22 3 (2 3) (2).(3) 5 6x x x x x x+ + = + + + = + +
• ( )( )− + = + − + + − = + −2 22 3 ( 2 3) ( 2).(3) 6x x x x x x
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 19
• ( ) 2 21 1 1 74 ( 4) ( ).( 4) 2
2 2 2 2x x x x x x
+ − = + − + − = − −
7. (((( ))))2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + ++ + = + + + + ++ + = + + + + ++ + = + + + + +
Exemplos:
• ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
4 4 2 4
x y z x y z x y xz y z
x y z xy xz yz
− + = + − + + − + + − =
= + + − + −
• ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2
4 2 2 2
4 4 2.4. 2.4. 2
16 8 8 2
y x y x y x y x
y x y x xy
− + = + − + + − + + − =
= + + − + −
Exercícios:
• Efetue:
1) ( )2
3 2x + 2) ( )23a − 3) ( )( )2y3x2y3x −+
4)3
5y
2x
− 5)
−
−
32
x51
x 6) 3
a1
a
+
• Efetue os produtos notáveis e simplifique as expressões:
1) ( ) ( )2 2
3 1 2 1t t− − +
2) ( ) ( )( )42c42c1c 2−+−−
3) ( ) ( )2 3
2 1 3 1x x+ + −
4) ( ) ( )2 2
a b a b+ − −
5) ( ) ( ) ( )2
1 1 1m m m− − + −
6) ( ) ( )2 222 2 1x x x− + − −
7) ( ) ( )3 3
1 2a a+ − +
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 20
Fatoração
Fatorar uma expressão algébrica significa transformá-la em um produto.
Algumas fórmulas que aparecerão já foram vistas nos produtos notáveis.
1. Caso: Fator Comum em Evidência: forma-se uma expressão que
tenha por coeficiente o m. d. c. de todos os coeficientes dos vários termos da
expressão e como parte literal as letras comuns a todos os termos, com menor
expoente.
Exemplos:
• ( )3 2 28 6 2 4 3x x x x− = −
• ( )3 5 2 3 4 2 2 2 3 24 6 18 2 2 3 9a x a x a x a x ax x a− + = − +
• 2 2 3 2 2 2
12 4 2 2
x y x y x y x − = −
• ( )2 2 2 2. 1m m mx x x x x x x+ − = − = −
2. Caso: Agrupamento: alguns termos da expressão algébrica
possuem fatores comuns. Nesse caso, agrupamos os termos com fatores
comuns, colocando-os em evidência.
Exemplos:
• ( ) ( ) ( )( )ax bx ay by x a b y a b a b x y+ + + = + + + = + +
• 6 4 3 2 2 (3 2 ) (3 2 ) (3 2 )(2 )ax ay bx by a x y b x y x y a b+ − − = + − + = + −
• 2 6 3 ( 2) 3(2 ) ( 3)( 2)mn n m n m m n m+ − − = + − + = − +
3. Caso: Trinômio Quadrado Perfeito: ( )22 2 2a ab b a b+ + = + e
( )22 2 - 2 -a ab b a b+ =
Exemplos:
• 2 26 9 ( 3)x x x+ + = +
• ( ) ( )22 22 16 32 2 8 16 2 4x x x x x− + = − + = −
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 21
4. Caso: Soma – Produto: ( ) ( )( )bxaxabxbax2 ++=+++
Exemplos:
• ( ) ( )2 6 8 2 4x x x x+ + = + +
• ( )( )2 2 1 2x x x x− − = + −
5. Caso: Diferença de Dois Quadrados: ( )( )bababa 22 −+=−
Exemplos:
• ( ) ( )2 1 1 1x x x− = + −
• ( ) ( )( )2 2a b x a b x a b x+ − = + + + −
• ( ) ( )( ) ( )( )( )24 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1a a a a a a a− = − = + − = + + −
6. Caso: Diferença de Dois Cubos: ( )( )2233 bababa ba ++−=−
Exemplos:
• ( ) ( )( )3 21 1 1m m m m− = − + +
• ( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 216 2 2 8 2 2 2 2 4 2x x x x x x− = − = − = − + +
7. Caso: Soma de Dois Cubos: ( )( )2233 bababa ba +−+=+
Exemplos:
• ( ) ( ) ( )3 21 1 1y y y y+ = + − +
• ( ) ( ) ( )( )3 3 3 28 2 2 4 2x x x x x+ == + = + − +
Exercícios:
Fatorar as expressões até torná-las irredutíveis:
1) 93x2−
2) 26 aa −
3) 18a3−
4) 25y2xyx 22 −+−
5) 24x4x4x 23 −−
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 22
6) mmmm 234 +−−
7) xx 1210x2 23+−
8) xxx 76 23−−
9) xxx 244824 23++
10) ( )327 x−
11) 22b4a25 −
12) 122 +− xx
13) 1a 64 3−
14) 432 16x8x2x4x +++
15) ( ) ( )2
1 2 1 1a a+ + + +
16) ( )( )2 4 4 3 2 1x x x x− + + − +
17) 4 4x y−
18) + − − 23 3 9 9xy x y y
19) 2 2 24 4x z xy y− + +
20) 2144 h−
M. D. C. e M. M. C. De Polinômios
Vamos recordar o procedimento para o cálculo do máximo divisor
comum (m.d.c.) e o mínimo múltiplo comum ( m.m.c.) de números naturais.
Exemplo: Calcular o m.d.c. e o m.m.c. dos números 120 e 252.
3 2 2
120 2 252 2
60 2 126 2
30 2 63 3
15 3 21 3
5 5 7 7
1 1
120 2 .3.5 252 2 .3 .7= =
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 23
O m.d.c. é definido como o produto dos fatores comuns, cada um
tomado com seu menor expoente. 2. . .(120,252) 2 .3 12m d c = =
O m.m.c. é definido como o produto dos fatores comuns e não comuns,
cada um tomado com seu maior expoente. 3 2. . .(120,252) 2 .3 .5.7 2520m m c = =
Para os polinômios é feito de forma semelhante:
Exemplos:
1. Calcular o m.d.c. e o m.m.c. dos monômios 2 518x y a e 3 212x y b .
2 5 2 2 5
3 2 2 3 2
18 3 .2. . .
12 2 .3. . .
x y a x y a
x y b x y b
=
=
Assim: 2 2 2 2. . . 2.3. . 6m d c x y x y= =
2 2 3 5 3 5. . . 2 .3 . . . . 36m m c x y a b x y ab= =
2. Calcular o m.d.c. e o m.m.c. dos monômios 3 3 2 4 28 ,10 e 20a x ax y a xy .
3 3 3 3 3
2 2
4 2 2 4 2
8 2 . .
10 2.5. . .
20 2 .5. . .
a x a x
ax y a x y
a xy a x y
=
=
=
Assim: 3 4 3 2 4 3 2
. . . 2. . 2
. . . 2 .5. . . 40
m d c a x ax
m m c a x y a x y
= =
= =
3. Calcular o m.d.c. e o m.m.c. dos polinômios ( ) ( )2 22 2 a b e a b− − .
Inicialmente, fatora-se os polinômios:
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 24
( )
( ) ( )2 2
2 2 2a b a b
a b a b a b
− = −
− = + − Então
( )( )
. . .
. . . 2
m d c a b
m m c a b a b
= −
= + −
4. Calcular o m.d.c. e o m.m.c. dos polinômios ( )2 9 ,x − ( )2 6 9x x+ + e
( )2 3x x+
( ) ( )
( )
( )
2
22
2
9 3 3
6 9 3
3 3
x x x
x x x
x x x x
− = + −
+ + = +
+ = +
Então ( ) ( )
2
. . . 3
. . . 3 3
m d c x
m m c x x x
= +
= + −
Exercícios:
Calcular o m.d.c. e o m.m.c. de:
1. 4 5 240 e 60x y x y a
2. 2 6 5 3 2 4 5 214 , 21 e 42a p c a p d a pc d
3. ( ) ( )5ab a e ab−
4. ( ) ( )2 2 2 2m n e m n− +
5. ( ) ( ) ( )6 5 2 21 , 1y y y y y e y+ + + + −
6. ( ) ( ) ( )4 2 216 , 4 3 2y y e y y− − − +
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
O quociente entre dois polinômios indicado na forma fracionária na qual
uma ou mais variáveis aparecem no denominador chama-se fração algébrica.
Exemplos: 3 3
4 2 1, - ,
3 1a y
b x x y
+
− +.
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 25
Simplificação de Frações Algébricas
A simplificação de frações algébricas é feita dividindo o numerador e o
denominador dessa fração por um fator comum a ambos.
Simplificar as frações:
1. 5 8 2
3 10 2
18 920 10
a x y a y
a x x=
2. 2
6 23
x
x x=
3. 3 4 2
2 6 3 2
36 324 2
a b x a
a b x b x=
( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )
2 22 2 22 2 2 2 3 2 33 4 912 27
4. 2 3 2 3 2 3
3 2 3 2 3
y a by a ba y b y
axy bxy xy a b x a b
y a b a b
−−−= = =
− − −
+ −=
( )2 3x a b−
( )3 2 3y a b
x
+=
( )2
2
38 155.
10 21
xx x
x x
−− +=
− +
( )
( )
5
3
x
x
−
− ( )
( )
( )
2 2
5
77
8 108 15 10 21
15 21
x
xx
S Sx x x x
P P
−=
−−
= − = − − + ⇒ − + ⇒
= =
Adição e Subtração de Frações Algébricas
• Reduzir as frações algébricas ao menor denominador comum
• Adicionar ou subtrair os novos numeradores, mantendo o denominador
comum
• Simplificar a fração algébrica obtida, quando possível.
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Exemplos:
2 2 2 2 22 7 3 8 84 9 17 84
1. 3 4 12 12
a b a a b a a b
b a b ab ab
+ + ++ + = =
( ) ( ) ( ) ( )3 2
2 3 4 2 4
3 3 2
2 4
3 2 4 .2 5 322.
10 5 4 20
2 2 8 15 5
20
x y x y b x y a b x a x yx
a b b ab a b
b x b y a bx ax ay
a b
+ − + + − −+ − = =
+ + − +=
( ) ( )
( ) ( )2 2 2 2
2 2 2 2
2 4 32 4 33.
2 2 4 4 3 6
a b a b aa
a b a b a b a b
a b a b a a b
a b a b
− − + +− + = =
+ − − −
− − − + −= =
− −
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
− −+ = + =
+ −− − + −
− + − + − + + − −= = =
+ − + −
− −=
+ −
22 2
2
2 2
2
2
2 1 2 13 34.
2 24 4 4 2
3 2 2 1 2 3 6 2 4 2
2 2 2 2
2 6 8
2 2
x x
x xx x x x
x x x x x x x
x x x x
x x
x x
Multiplicação e Divisão de Frações Algébricas
• Para multiplicar frações algébricas, multiplicam-se os numeradores e
os denominadores entre si e, sempre que possível simplifica-se o
resultado.
• Para dividir frações algébricas, multiplica-se a primeira (dividendo) pelo
inverso da segunda (divisor).
Exemplos:
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 27
2 2
2 3 2
12 2 24 61. .
7y 4 28 7x xy x y x
y y y= =
( )
( ) ( )( )
( ) ( )2 2 2 2 515152. . .
4 3 12
x y x yx y x x yx
x y x x x y
+ −− −= =
− − ( )4 x y−
( )5
4
x y+=
( )
( )
( )2 2 2 2
22 62 2 63. .
2 9 9 2 .9
b a ba b aba b ab
a a b a a b
+++= =
− − ( )3 a b+ ( ) ( )2
3b
a ba b=
−−
2
2 3 3
5 4 5 6 30 54. .
3 6 3 4 12 2x
x x x x x÷ = = =
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )2 2 2 23
5. .6 3 6
a x a xa x a xa x x
ax x ax a x
+ −− −−÷ = =
−
3 x
6a x ( )a x−
( )2
a x
a
+=
2
2
22 26. 1
2a ab b
b a
+ ÷ + =
( )2
a a b+ ( ) ( )2
a a ba b
ab
++÷ = 2 .
a
b a b+
2
2
a
b=
( )
( )2
22
63 18 2 127.
x 9 3
xx x x
x
−− − −÷ =
− −
( )3x +
( )3x + ( )3x −
( )2
3.
x −
( )2 6x −
( )3
2
x −=
Potenciação de Frações Algébricas
• Para elevar uma fração algébrica a uma potência, deve-se elevar o
numerador e o denominador da fração à potência dada.
Exemplos:
− =
2 2
2 4
3 91.
5 25x x
y y
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 28
( )
3 3
3
2 82.
x x
a b a b
=
− −
Exercícios:
1) Resolver as operações, simplificando as expressões:
a.
11
11
1
x
x
−−
−
b. 2
3 91 1
x x
x x
÷
+ + c. 1 1
a b a b
a b a b
− − − ÷ +
+ +
d. 2
3m
m n
−
− e.
2 23 1. .
5 3x x y
x y
−
+ f.
2
2
a ab a b
b a
− − ÷
g. 2
2
5xy
x y
−
+ h. 2 2
3 4 3a a
a b a b a b− −
− + − i. 2
2 46 5 1x
x x x−
+ + +
2) Simplifique a expressão 2
2 3 2
2 1 4 2.
3 6 2x m m m
m x mx x
− − + − ÷
3) Demonstre a identidade 1 1 1 1a b
b a a b
+ −+ = +
4) Qual o valor numérico da expressão 1
11
11
x
−
+
quando x = 3,421?
Funções
Definição:
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 29
Dados dois conjuntos A e B, define-se uma função f de A em B como a
correspondência que a cada elemento x de A associa um único elemento y
de B. O conjunto A é chamado domínio de f (D(f)). O conjunto de todos
valores assumidos por f é chamado imagem de f (Im(f)).
Escreve-se f(x)y x BA:f =→→
Como x é livre para variar no domínio da função é chamado variável
independente. Como y depende do valor de x é chamado variável dependente.
Exemplo:
Seja a função 2( ) 2 1y f x x= = − . Calcular a imagem de ( )f x para
0, 1 4x x e x= = − = .
20 (0) 2.0 1 1x f= → = − = −
( )2
1 ( 1) 2. 1 1 1x f= − → − = − − =
24 (4) 2.4 1 31x f= → = − =
Gráfico de Funções:
O gráfico de uma função f é o conjunto dos pares ordenados (x, f(x)).
Através do gráfico de uma função pode-se determinar o intervalo I onde f é
AB
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 30
crescente e onde f é decrescente. Podem-se também encontrar os valores
máximo e mínimo da função, quando existirem, no intervalo estudado.
Exemplo:
Seja a função definida pela equação 2y x= . O domínio e a imagem
dessa função é o conjunto R, pois: 2x x: f → .
Desenha-se o gráfico da função por meio de um sistema cartesiano de
referência, onde o eixo x representará o domínio e o eixo y, a imagem.
x y
-1 -2
2 4
Exercícios:
1) Qual é o elemento do domínio da função 3 1y x= − , cuja imagem é 11?
2) Seja a função definida por : 2( ) 5 6y f x x x= = − + . Calcular (4)f , ( 1)f − , (6)f e (0)f .
3) Qual o domínio das funções:
a) 5 10y x= − b) 3
2 7x
yx
=+
c) 4
2 1y
x=
+ d) 3 3y x= −
Função Linear
Uma função é denominada linear se:
2y x=
1−
2−
2
4
x
y
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 31
0)a e R b , a ( baxyx ≠∈∀+=→
O gráfico da função linear é uma reta. Os coeficientes a e b da equação
da reta são chamados, respectivamente, coeficiente angular (a tgα= ) e
coeficiente linear.
Dados dois pontos da reta )y,B(x e )y,A(x 2211 , define-se o coeficiente
angular como:
12
12
xxyy
a−
−=
Raiz ou Zero da Função
É o valor de x que tem zero (0) por imagem.
y ax b= + se 0 0b
y ax b ax b xa
= → + = → = − → = −
Dadas duas retas de equações: y = 11 bax + e y = 22 bax + :
• Se 21 a a ≠ → retas concorrentes
• Se 2121 b b e aa ≠= → retas paralelas
• Se 2121 b b e aa == → retas coincidentes
2y
1y
2x1x
A
B
x
y
x
y
b
α
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 32
• Se 1 a.a 21 −= → retas perpendiculares
Dados: o coeficiente angular a e um ponto ( )000 ,yxP , a equação da reta
pode ser escrita como:
( )00 xxayy −=−
Exemplos:
1) Qual o coeficiente angular a e o coeficiente linear b das retas:
a) 2y x= − + 1a = − e 2b =
b) 2 4 7y x= + 2a = e 72
b =
c) 3 2 4y x+ = 23
a = − e 43
b =
d) 3x
y = 13
a = e 0b =
2) Verificar a posição relativa das duas retas r e s :
a) 5 1
5 3
r y x
s y x
→ = −
→ = + / /r s
r s
a ar s
b b
=∴
≠
b) 2 4 3
32
2
r y x
s y x
→ = +
→ = + coincidente com r s
r s
a ar s
b b
=∴
=
c) 5 4
5 2
r y x
s y x
→ = −
→ − − = . 1 perpendicular a r sa a r s= − ∴
d) 3 4
2 1
r y x
s y x
→ =
→ = − e concorrentes r s
r s
a ar s
b b
≠∴
≠
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 33
Exercícios:
1) Determinar as abcissas dos pontos da reta 2 6y x= − localizados acima do
eixo x .
2) Determinar os pontos de interseção das retas : 2 8
4 63
r y x
xs y
→ = − + −
→ =
`
3) Determinar o coeficiente angular das retas que contém os pontos A(-1,3) e
B(2,7).
4) Determinar a equação da reta com coeficiente angular 12
a = e que passa
pelo ponto P(2,3).
5) Qual a equação da reta que passa pelo ponto P(-1,3) e é paralela à reta
2 4 8y x+ = ?
6) Qual a equação da reta que passa pelo ponto P(0,4) e é perpendicular à reta
3 4y x= − ?
7) Qual a raiz da equação 3 9y x= − ?
Função Quadrática
É uma função definida por:
c bxaxyx 2 ++=→ , para 0a ; R y x, ≠∈∀ .
Exemplos:
1) 23 5 4 3, -5, 4y x x a b c= − + = = =
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2) 22 2, 0, 0y x a b c= = = =
Raízes ou Zeros:
4acb ∆com 2a
b x
2a∆b
x 221 −=
+−=
−−=
∆
Se:
0 duas raízes reais diferentes.
= 0 duas raízes reais iguais.
0 não existem raízes reais .
∆ ⟩ →
∆ → ∆ ⟨ →
Exemplos:
1) 2 5 6y x x= − +
( )22
112
2
1
5 4 5 4.1.6 1
6
25 1
32 2
a
b b ac
c
xbx
xa
=
= − ∆ = − = − − ==
=− ± ∆ ± = = →
=
2) 2 2 1y x x= − +
( )22
12 1 2
1
2 4 2 4.1.1 0
1
5 0 1
2 2
a
b b ac
c
bx x x
a
=
= − ∆ = − = − − ==
− ± ∆ ± = = → = =
3) 22 1y x x= − + −
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( ) ( ) ( )22
2
1 4 1 4. 2 . 1 7
1
a
b b ac
c
= −
= ∆ = − = − − − = −= −
como 0∆ ⟨ , não existem raízes reais.`
Vértice:
É o ponto ( ),v vV x y , onde b ∆
e y2a 4av vx− −
= = .
Exemplo:
2 5 6y x x= − +
( )5 55 12 2.1 2 V ,2 41 1
4 4.1 4
v
v
bx
a
ya
− −−= = =
∴ − −∆ − − = = =
Forma Fatorada: ( ) ( )21 2 y ax bx c a x x x x= + + = − − .
Exercícios:
1) Estudar o sinal das funções abaixo, indicando o conjunto imagem:
a) 2 7 10y x x= − + b) 2 2 2y x x= − + c) 25 9 2y x x= − −
d) 23 9 9y x x= − + − e) 2 4 4y x x= − +
2) Seja 22 8y x mx= + + .Determine o valor de m para que a função tenha duas
raízes reais iguais.
3) Seja 2y ax bx c= + + , em que, , ,a b c são números reais. Sabendo-se que
(0) 9f = , (2) 7f = e (1) 10f = , calcule (3)f .
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Função Exponencial
É a função dada por:
xa(x) fyx ==→ com 0a ⟩
Base importante: a e= (número de Euler)
xx y f (x) e→ = =
Exemplo:
Calcular o valor de x na expressão 2 12 32x +
=
É preciso colocar os dois lados da expressão na mesma base. Assim: 2 1 5 2 2 2
2 2 1 5 42
x xx x
x
+= −
= → + = → = → =
Exercícios:
Calcular o valor de x nas expressões:
a) 74 256x−= b)
2 3 73 27x x+ −= c) 5 1 332 64x x−
= d) 2 13
81x
=
Função Logarítmica
É a função definida por:
y
a a xcomx logyx ==→
Propriedades:
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dlog c log(c.d)log aaa +=
dlog c log)dc
(log aaa −=
( ) clog nclog an
=a
1aloga =
01loga =
Duas bases importantes:
1) a =10 xlog x log10 =
2) a ≅ e = 2.71828.. xln x loge =
Exemplos
1) Sendo log2 0,3= e log3 0,48= , calcular, calcular log6 .
( )log6 log 2.3 log2 log3 0,3 0,48 0,78= = + = + =
2) Determinar o valor da base em 1
log 29x
= .
2
2 2 2
2
1 1 1 1 1log 2
9 9 3 3 3xx x x x
= ⇔ = → = → = → =
Exercícios:
1) Sendo log2 0,3= e log3 0,48= , calcular:
a) log1,5 b) log8 c) log36
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2) Determinar o domínio da função ( )2
2log 3 27y x= − .
3) Determinar o valor das bases em:
a) 16
log 481x
= b) 8
log 327x
= −
4) Aplicando as propriedades, desenvolva as expressões:
a) ( )2 2log x y− b) ( )log a b cx y z+ +
5) Sendo log2 0,3= , log3 0,48= e log5 0,7= , calcular:
a) log81 b) log25 c) log72 d) log 5 e) 3log 18
6) Resolva as inequações:
a) ( )12 12log 4 log 1 1x+ + = b) ( ) ( )2 2
log 1 log 1 3x x− + + =
c) ( ) ( )log log 2 log 3 3x x xx x x+ − + + =
Funções Trigonométricas
O número principal na trigonometria é o número π , que surge quando se
quer calcular o comprimento C de uma circunferência de raio r: C=2π r. Assim
o comprimento de uma circunferência de raio 1(um) é 2π .
Toma-se a circunferência de raio unitário e um ponto A da mesma,
conforme figura abaixo. Dado um número real x, seja P(x) o ponto da
circunferência correspondente a x.
P
senx�cos xO
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Função Seno
y senx= , sen x = projeção de OA sobre o eixo y.
x 0 2π
π 3
2π
2π
y senx= 0 1 0 -1 0
Função Cosseno
cosy x= , cos x = projeção de OA sobre o eixo x.
x 0 2π
π 3
2π
2π
cosy x= 1 0 -1 0 1
Relação Fundamental 1 cos sen 22=+ αα
Exemplo
Seja x um ângulo do 2. quadrante e 3
2senx = . Calcule cos x .
( )
2 2 2 2
2
2 2 2
cos 1 cos 1
3 3 1cos 1 cos 1 cos
2 4 4
1cos
2
sen x x x sen x
x x x
x x segundo quadrante
+ = → = −
= − → = − → =
= −
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As funções: tangente, cotangente, secante e cossecante podem ser
definidas como:
Nome da Função
Expressão
Tangente
xcos xsen
x tg = ,
cos 0x ≠
3
2 2x e x
π π≠ ≠
Cotangente
xtg1
xsen xcos
x cotg == ,
0senx ≠
0 x e x π≠ ≠
Secante
xcos1
sec x =
cos 0x ≠
3
2 2x e x
π π≠ ≠
Cossecante
xsen1
cossec x =
0senx ≠
0 x e x π≠ ≠
Identidades Fundamentais
x secxtg1 22 =+
xcossecxcotg 1 22 =+
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Exemplos:
1) Se 1
cos2
x = ( x do 1. quadrante) , qual o valor da expressão
cosseccotg .sec
x senxA
x x
−= ?
( )
2 2 2 2
2
2 2 2
cos 1 cos 1
1 1 3cos 1 cos 1 cos
2 4 4
3cos
21 1 2
cossec cossec cossec3 3
21
12cotg cotg cotcos 3 3
2
2 3 4 3 1123 2 3 2 3
1 2 2 2 3.23 3 3
sen x x x sen x
x x x
x x primeiro quadrante
x x xsenx
senxx x gx
x
A
+ = → = −
= − → = − → =
=
= → = → =
= → = → =
−−
= = = =3
.1
2 4=
2) Provar a identidade 3
.cos 2 .coscossen x
tgx senx x senx xx
+ − = .
Achando o mmc do termo da esquerda: 2 3.cos .cos
costgx x senx x sen x
x
+ −=
cossenx
x.cos x 2 3
2 3.cos
.coscos cos
senx x sen xsenx senx x sen x
x x
+ −+ −
=
Colocando senx em evidência:
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2
2
1 cos 1 cos cos cos
cos cos cos2cos
2 .coscos
senx x sen x senx sen x x senx x x
x x x
senx xsenx x
x
+ − − + += = =
= =
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Exercícios:
1) Seja x um ângulo do 2. quadrante e 12
senx = . Calcule os valores de todas
as outras funções trigonométricas.
2) Qual o valor máximo da função 10 3 15y sen x= + ?
3) Dado 3
2senx = , calcule o valor de
2seccossec
xC
tgx x=
−.
4) Simplifique a expressão: ( )( )( )sec cos cossec cotgx x x senx tgx x− − +
5) Demonstre que:
a) ( )21 cos
cotg cossec1 cos
aa a
a
+= +
−.
b) ( )( ) ( ) ( )cos cotg 1 1 cossenx tgx x x senx x+ + = + +