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Fundamentos de Matemática
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 6
21 de janeiro de 2013
Aula 5 Fundamentos de Matemática 1
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Números
Aula 5 Fundamentos de Matemática 2
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O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 3
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O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.
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O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.
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O que é um número?
Wikipédia:
Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).
Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).
Número é um composto da unidade (Euclides).
Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).
Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).
Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).
Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).
Número é uma coleção de unidades (Condorcet).
Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).
Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 6
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O que é um número?
Wikipédia:
Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).
Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).
Número é um composto da unidade (Euclides).
Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).
Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).
Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).
Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).
Número é uma coleção de unidades (Condorcet).
Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).
Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).
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O que é um número?
Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:
Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 8
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O que é um número?
Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:
Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 9
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Números naturais
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Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
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Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
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Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
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Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
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Números naturais como números ordinais
N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:
(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números
naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axiomas de Peano
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Números naturais como números ordinais
N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:
(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números
naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axiomas de Peano
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Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...
......
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
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Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...
......
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
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Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...
......
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
Aula 5 Fundamentos de Matemática 20
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 5 Fundamentos de Matemática 28
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 5 Fundamentos de Matemática 29
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 5 Fundamentos de Matemática 30
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 5 Fundamentos de Matemática 32
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 5 Fundamentos de Matemática 33
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 5 Fundamentos de Matemática 34
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 5 Fundamentos de Matemática 35
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Cuneiforme Babilônica
Aula 5 Fundamentos de Matemática 36
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Maia
Aula 5 Fundamentos de Matemática 37
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Chinesa
Aula 5 Fundamentos de Matemática 38
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Romana
1 2 3 4 5 10 50 100 500 1000I II III IV V X L C D M
Aula 5 Fundamentos de Matemática 39
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Egípcia
Aula 5 Fundamentos de Matemática 40
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Egípcia
Aula 5 Fundamentos de Matemática 41
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Braille
Aula 5 Fundamentos de Matemática 42
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Números naturais como números cardinais
Apresentaremos os números naturais como números cardinaisposteriormente!
Aula 5 Fundamentos de Matemática 43
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O Princípio da Indução Finita
Aula 5 Fundamentos de Matemática 44
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Aula 5 Fundamentos de Matemática 45
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Aula 5 Fundamentos de Matemática 51
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Aula 5 Fundamentos de Matemática 54
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Aula 5 Fundamentos de Matemática 55
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Aula 5 Fundamentos de Matemática 57
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
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O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado p ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Aula 5 Fundamentos de Matemática 59
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O Principio da Indução Finita
Moral:
O Princípio da Indução Finita é uma técnica para tentardemonstrar que sentenças do tipo “∀n ∈ N,P(n)” sãoverdadeiras!
Aula 5 Fundamentos de Matemática 60
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Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 61
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Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 62
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Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 63
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Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 64
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Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 65
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Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 66
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 67
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 68
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 69
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 70
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 71
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 72
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 73
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 74
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 75
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 76
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 77
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 78
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 79
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 80
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 81
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 82
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 83
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 84
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 85
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 86
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 87
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 88
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 89
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =n (n + 1)
2.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 90
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 91
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 92
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 102
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 103
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 104
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 105
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 106
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 108
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 109
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 110
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 111
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 112
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1− (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 114
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 115
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 116
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 117
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 118
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 119
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 120
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 121
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 122
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 123
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 124
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 125
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Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
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Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k + 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótesede indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese deindução, os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos oscavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 137
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Ainda SobreO Princípio da Indução Finita
Aula 5 Fundamentos de Matemática 138
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Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 139
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Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 140
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Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 141
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Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 142
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Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 143
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Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 144
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Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 145
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Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 146
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Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 147
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 148
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 149
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 150
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 151
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 152
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 153
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 155
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 156
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 157
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 158
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 159
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 160
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 161
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 162
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 163
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 165
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 166
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 167
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 168
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 169
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Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3,4,5, . . .},n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3− 6 ≥ 0. Mas 32 − 3− 6 = 0, logo 32 − 3− 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1− k − 1− 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2− k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 170
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Seção de Exercícios
Aula 5 Fundamentos de Matemática 171