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Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DA COMPUTAÇÃO

Profa Paula Francis Benevides

Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides

1

AULA 01

1 - FUNÇÕES

1.1 - Conceito matemático de função

Definição 1: Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável independente.

Definição 2: Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da variável dependente.

Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos.

Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois conjuntos.

Definição 3: Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B , denomina-se produto cartesiano (indica-se: A × B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B .

(Eq.1) A × B ={( x , y )/ x ∈ A e y ∈ B }.

Definição 4: Relação: Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação r de A em B a qualquer subconjunto de A × B .

(Eq.2) r é relação de A em B ⇔ r ⊂ A × B . Exemplo:

Sejam os conjuntos A ={0,1,2,3}, B ={0,2,4,6,8,10} e a relação r de A em B , tal que y =2 x , x ∈ A e y ∈ B . Escrever os elementos dessa relação r .

Como x ∈ A : x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0)∈ A × B ;

x =1 ⇒ y =2 ⇒ (1,2)∈ A ×B ;

x =2 ⇒ y =4 ⇒ (2,4)∈ A ×B ;

x =3 ⇒ y =6 ⇒ (3,6)∈ A × B .

Então, r ={(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}.

3210

123456

y

x

789

10

[Fig.1]: Representação da relação por diagrama. [Fig.2]: Representação da relação por sistema cartesiano.

00A B

123

246810

r


2

Obs.: Podemos observar que, numa relação r de A em B , o conjunto r é formado pelos pares ( x , y ) em que o elemento x ∈ A é associado ao elemento y ∈ B mediante uma lei de associação (no caso, y =2 x ).

1.2 - Definição de função

Definição 5: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Essa

relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está

associado um e apenas um elemento y do conjunto B .

Nos exercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B . Juntifique sua resposta e apresente o diagrama da relação.

Exemplos:

1) Dados os conjuntos A ={0,5,15} e B ={0,5,10,15,20,25}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x +5, com x ∈ A e y ∈B .

0

0A B

515

510152025

x =0 ⇒ y =5 ⇒ (0,5)∈ A × B ;

x =5 ⇒ y =10 ⇒ (5,10)∈ A × B ;

x =15 ⇒ y =20 ⇒ (15,20)∈ A × B .

• Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .

• A cada elemento de A está associado um único elemento de B .

Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x +5 é uma função de A em B .

2) Dados os conjuntos A ={−2,0,2,5} e B ={0,2,5,10,20}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x , com x ∈ A e y ∈ B .

0

A B

25

0251020

-2

x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0)∈ A × B ;

x =2 ⇒ y =2 ⇒ (2,2)∈ A × B ;

x =5 ⇒ y =5 ⇒ (5,5)∈ A × B .

• O elemento −2 de A não está associado a nenhum elemento de B .

Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B .


3

3) Dados os conjuntos A ={−3,−1,1,3} e B ={1,3,6,9}, seja a relação de A em B expressa

pela fórmula y = 2x , com x ∈ A e y ∈ B .

A B

13

1369

-3-1

x =−3 ⇒ y =9 ⇒ (−3,9)∈ A × B ;

x =−1 ⇒ y =1 ⇒ (−1,1)∈ A × B ;

x =1 ⇒ y =1 ⇒ (1,1)∈ A × B ;

x =3 ⇒ y =9 ⇒ (3,9)∈ A × B .


• A cada elemento de A está associado um único elemento de B .

Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = 2x é uma função de A em B .

4) Dados os conjuntos A ={16,81} e B ={−2,2,3}, seja a relação de A em B expressa pela

fórmula 4y = x , com x ∈ A e y ∈ B .

A B

81

-2

2

3

16

x =16 ⇒ y =−2 ou y =2 ⇒ (16,−2) e (16,2)∈ A × B ;

x =81 ⇒ y =3 ⇒ (81,3)∈ A × B .


• O elemento 16 do conjunto A está associado a dois elementos do conjunto B .

Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B . 1.3 – Notação de Função

Quando temos uma função de A em B , podemos representá-la da seguinte forma:

f : A→B (lê-se: função de A em B )

x a y (lê-se: a cada valor de x ∈ A associa-se um só valor y ∈ B )

A letra f , em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g , h , etc.

Numa função g : R →R , dada pela fórmula y = 2x −8, podemos também escrever

g ( x )= 2x −8. Neste caso, g ( 2 ) significa o valor de y quando x = 2 , ou g ( 2 )=−6.


4

1.4 - Domínio, contradomínio e imagem de uma função Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por:

f : A→B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B )

x a y = f ( x ) (a cada elemento x ∈ A corresponde um único y ∈ B )

O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D . O domínio da função também chamado campo de definição ou campo de existência da função, serve para definir em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x .

O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD . É no contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio.

Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor

de y damos o nome de imagem de x pela função f . O conjunto de todos os valores de y que são imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im . Note que o conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da mesma.

f : A→B x a y = f ( x )

D = A , CD = B , Im ={ y ∈CD / y é correspondente de algum valor de x }.

Exemplos:

1) Dados os conjuntos A ={−3,−1,0,2} e B ={−1,0,1,2,3,4}, determinar o conjunto imagem da função f : A→B definida por f ( x )= x +2.

f (−3)=(−3)+2=−1

f (−1)=(−1)+2=1

f (0)=(0)+2=2

f (2)=(2)+2=4

A B

02

01234

-3-1

-1

Im ={−1,1,2,4}

2) Dada a função f : R → R definida por f ( x )= a x +b , com a ,b ∈ R , calcular a e b ,

sabendo que f (1)=4 e f (−1)=−2. A lei de formação da função é f ( x )=a x +b ou y = a x +b .

f (1)=4 ⇒ x =1 e y =4 ⇒ 4=a ⋅1+b (i)

f (−1)=−2 ⇒ x =−1 e y =−2 ⇒ −2=a ⋅(−1)+b (ii) De (i) e (ii), temos:

a + b = 4

−a + b = −2

2b = 2 ⇒ b =1 e a =3 a =3 e b =1 ⇒ f ( x )=3 x +1.


5

1.5 – Função Composta

Tome as funções f : A→B , definida por f ( x )=2 x , e g : B →C , definida por

g ( x )= 2x . Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g .

f : A→B : a cada x ∈ A associa-se um único y ∈ B , tal que y =2 x .

g : B →C : a cada y ∈ B associa-se um único z ∈C , tal que z = 2y .

Neste caso, podemos considerar uma terceira função, h : A→C , que faz a composição entre as funções f e g :

A B Cg

h

f

x y z

[Fig. 1]: Função composta

h : A→C : a cada x ∈ A associa-se um único z ∈C , tal que z = 2y = 22 )( x =4 2x .

Essa função h de A em C , dada por h ( x )=4 2x , é denominada função composta de g

e f .

De um modo geral, para indicar como o elemento z ∈C é determinado de modo único pelo elemento x ∈ A , escrevemos:

z = g ( y )= g ( f ( x )) Notação: A função composta de g e f será indicada por g o f (lê-se: g círculo f )

(Eq.3) ( g o f )( x )= g ( f ( x ))

Exemplos:

1) Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f ( x )= x +1 e g ( x )=2 2x −3. Determine:

a) f ( g ( x )).

f ( g ( x ))= f (2 2x −3)=2 2x −3+1=2 2x −2 f ( g ( x ))=2 2x −2.

b) g ( f ( x )).

g ( f ( x ))= g ( x +1)=2 21)( +x −3=2( 2x +2 x +1)−3=2 2x +4 x +2−3=2 2x +4 x −1 g ( f ( x ))=2 2x +4 x −1.

c) Os valores de x para que se tenha f ( g ( x ))= g ( f ( x )).

f ( g ( x ))= g ( f ( x )) 2 2x −2=2 2x +4 x −1 −2=4 x −1 4 x =1−2

x =−41 .


6

3210

1234

y

x-1-2

-1-2 4

f

f

-1

2) Sendo f ( x )=3 x −1 e f ( g ( x ))=6 x +8, determine g ( x ).

Como f ( x )=3 x −1, então f ( g ( x ))=3⋅ g ( x )−1.

Como f ( g ( x ))=6 x +8, então 3⋅ g ( x )−1=6 x +8. 3⋅ g ( x )−1=6 x +8 3⋅ g ( x )=6 x +8+1

g ( x )=3

96 +x

g ( x )=2 x +3. 1.6 – Função Inversa

Definição 6: Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas condições abaixo:

• 1. O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio é correspondente de algum elemento do domínio.

• 2. Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio.

Definição 7: Diz-se que uma função f possui inversa 1−f se for bijetora.

1.6.1 – Determinação da Função Inversa

Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a sua inversa. Para isso “trocamos” a variável x por y na lei que define a função e em seguida “isolamos” o y , obtendo a lei que define a função inversa.

É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida.

Exemplo:

1) Obter a lei da função inversa 1−f da função f dada por y = x +2.

y = x +2 ⇒ função f . x = y +2 ⇒ trocando a variável x por y e y por x .

y = x −2 ⇒ isolando y .

Então, y = x −2 é a lei da função inversa da função dada por y = x +2.

Logo:

f ( x )= x +2 e 1−f ( x )= x −2

2) Construir os gráficos das funções f e 1−f do exercício anterior, num mesmo sistema de coordenadas.

x f ( x ) x 1−f ( x )

−1 1 1 −1

0 2 2 0

1 3 3 1

2 4 4 2

Note que os gráficos das funções f e

1−f são simétricos em relação à reta que contém as bissetrizes do 1o e 3o quadrantes.


7

3) Determinar a função inversa 1−g da função g ( x )=32

5−+

xx

, cujo domínio é D = R −⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

23

.

y =32

5−+

xx

⇒ função g .

x =32

5−+

yy

⇒ trocando a variável x por y e y por x .

(2 y −3) x = y +5 ⇒ isolando y . 2 x y −3 x − y =5 y (2 x −1)=3 x +5

y =1253

−+

xx

⇒ 2 x −1≠0 ⇒ x ≠21

.

Logo, 1−g : R −⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

21

→ R −⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

23

dada por y =1253

−+

xx

é a função inversa procurada.

AULA 01 – EXERCÍCIOS 1) Seja a relação de A = {0, 1, 3} em B =

{0, 1, 2, 3, 4, 5} definida por g(x) = x2 – 4x + 3. Faça o diagrama de g e verifique se g é uma função de A em B. Em caso afirmativo escreva o conjunto imagem.

2) Seja a função f de D = {1, 2, 3, 4, 5} em R definida por f(x) = (x – 2)(x – 4). Determine o seu conjunto imagem.

3) Sejam f e g funções reais definidas, para todo o número real não nulo, por:

( )2583)( −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= x

xxxf e

( )233135)( 2 +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= xx

xxg

Se a e b são números reais distintos tais que f(a) = g(a) e f(b) = g(b), calcule a + b

4) Considere a função f(x) real, definida por f(1) = 43 e f(x + 1) = 2f(x) – 15. Determine o valor de f(0)

5) Determine o domínio das seguintes funções: a) 54)( −= xxf

b) 1

3)( 2 −=

xxf

c) xy 21−=

d) 2

741

31)(

−−

−+

++

=x

xxx

xxf

6) Sendo 1

1)(−

=x

xf , x≠ 1 e

42)( −= xxg , ache o valor de

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

21))2(( fggf .

7) Se 1

1)(−

=x

xf , qual o valor de x para

que f(f(x)) = 1?

8) Dada a função 562)(

−+

=xxxf com x ≠ 5.

calcule: a) f-1(x) b) f-1(4)

Respostas: 1) sim, Im{0, 3} 2) Im = {-1, 0, 3} 3) 3 4) 29 5) a) D = R b) D = R – {-1, 1}

c) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤∈=

21| xRxD

d) { }2,,43| ≠<<−∈= xexRxD 6) – 9

7) 23

=x

8) a) 265

−+

xx

b) 13


8

AULA 02

2- FUNÇÃO POLINOMIAL

Definição 8: Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é aquela cuja formulação matemática é expressa por um polinômio.

2.1 - Função polinomial do 1o grau A função polinomial do 1o grau é a que tem sua representação matemática por um

polinômio de grau 1. Representação da função polinomial do 1o grau:

f ( x )=a x +b , com a ,b ∈R ( a ≠0). a e b são os coeficientes e x a variável independente.

Exemplo:

Em uma função polinomial do 1o grau, y = f ( x ), sabe-se que f (1)=4 e f (−2)=10.

Escreva a função f e calcule f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

21

.

Se f é polinomial do 1o grau, então podemos escrever: y =a x +b . Usando os dados do problema: f (1)=4 ⇒ x =1 e y =4. Então, a ⋅1+b =4 ⇒ a +b =4 (i).

f (−2)=10 ⇒ x =−2 e y =10. Então, a ⋅(−2)+b =10 ⇒ −2 a +b =10 (ii). Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):

(i) a + b = 4 a + b = 4

(ii) −2 a + b = 10 ⋅(−1) 2 a − b = −10

3 a = −6 ⇒a =−2 Se a =−2, então −2+b =4 ⇒ b =6. A função f é dada por f ( x )=−2 x +6.

Cálculo de f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

21

:

f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

21

=−2⋅ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

21

+6=1+6=7

A função é f ( x )=−2 x +6 e f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

21

=7.

2.1.1 - Função linear Seja a função polinomial do 1o grau f ( x )=a x +b . No caso de b =0, temos f ( x )=a x ,

e ela recebe o nome especial de função linear.

Obs.: Se, em uma função linear tivermos a =1, teremos f ( x )= x ou y = x , que se dá o nome de função identidade.


9

2.1.2 – Gráfico de uma função polinomial do 1o grau Para construir o gráfico de uma função polinomial do 1o grau, atribuímos valores do

domínio à variável x e calculamos as respectivas imagens. Exemplo:

Construir o gráfico da função real f dada por y =2 x −1.

x y Par ordenado

−2 −5 (−2,−5)

−1 −3 (−1,−3)

0 −1 (0,−1)

1 1 (1,1)

2 3 (2,3)

3 5 (3,5)

3210

1234

y

x-1-2

-1-2 4

5

-3-4-5

Definição 9: O gráfico da função linear y = a x ( a ≠0) é sempre uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano.

Definição 10: O gráfico da função polinomial do 1o grau y =a x +b ( a ≠0) intercepta o eixo

das ordenadas no ponto (0,b ). 2.1.3 – Determinação de uma função a partir do gráfico

Nos exercícios abaixo, determine a lei de formação da função f ( x )=a x +b .

Exemplo:

1) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:

3210

1234

y

x-1-2

-1-2 4

5

-3-4-5


10

Sabendo-se que y =a x +b , do gráfico, temos que:

x =−1 e y =−1 ⇒ −1=a ⋅(−1)+b ⇒ −a +b =−1 (i).

x =1 e y =3 ⇒ 3=a ⋅(1)+b ⇒ a +b =3 (ii).

(i) −a + b = −1

(ii) a + b = 3

2b = 2

⇒ b =1

Se b =1, então a +b =3 ⇒ a +1=3 ⇒ a =2 Logo: A função é f ( x )=2 x +1.

2) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:

3210

1234

y

x-1-2

-1-2 4

5

-3-4-5

Sabendo-se que y =a x +b , do gráfico, temos que:

x =1 e y =1 ⇒ 1=a ⋅(1)+b ⇒ a +b =1 (i).

x =2 e y =−2 ⇒ −2=a ⋅(2)+b ⇒ 2 a +b =−2 (ii).

(i) a + b = 1 ⋅(−1) −a − b = −1

(ii) 2 a + b = −2 2 a + b = −2

a = −3 ⇒a =−3 Se a =−3, então −3+b =1 ⇒ ⇒ b =4 Logo: A função é f ( x )=−3 x +4.

2.1.4 - Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1o grau

Seja f a função polinomial do 1o grau definida por f ( x )=a x +b . Podemos determinar que:

• i) A função f é crescente se o coeficiente a >0;

• ii) A função f é decrescente se o coeficiente a <0. Exemplo:

Construir os gráficos das funções f e g do 1o grau a seguir:

i) f ( x )=2 x +1 ii) g ( x )=−2 x +1


11

3210

1234

y

x-1-2

-1-2 4

5

-3-4-5

3210

1234

y

x-1-2

-1-2 4

5

-3-4-5

i) Aumentando os valores atribuídos a x , aumentam também os valores correspondentes da imagem f ( x ).

ii) Aumentando os valores atribuídos a x , diminuem os valores correspondentes da imagem g ( x ).

2.1.5 - Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau

Definição 11: Estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de x

temos f ( x )>0, f ( x )<0 ou f ( x )=0.

2.1.5.1 - Zero de uma função polinomial do 1o grau

Definição 12: Denomina-se zero ou raiz da função f ( x )=a x +b o valor de x que anula a

função, isto é, torna f ( x )=0.

Definição 13: Geometricamente, o zero da função polinomial do 1o grau f ( x )=a x +b , a ≠0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x .

Exemplo:

Dada a lei de formação da função y =−2 x −4, construir o gráfico e determinar os valores reais de x para os quais: a) y =0; b) y >0 e c) y <0.

Podemos notar que a função é decrescente, pois a <0. O zero da função é: −2 x −4=0 ⇒ −2 x =4 ⇒ 2 x =−4 ⇒ x =−2. Logo, a reta intercepta o eixo x no ponto de abscissa x =−2. A solução do problema é:

• a) f ( x )=0 ⇒ { x ∈ R ; x =−2};

• b) f ( x )>0 ⇒ { x ∈ R ; x <−2};

• c) f ( x )<0 ⇒ { x ∈ R ; x >−2}.

3210

1234

y

x-1-2

-1-2 4

5

-3-4-5

5-3-4-5


12

2.1.5.2 – Quadro de sinais da função polinomial do 1o grau

f ( x )=a x +b , a≠0

Zero da função: a x +b =0 ⇒ x =−ab

a>0 a<0

x

xf ( )>0xf ( )<0x

ab

ab

axb

xf ( )<0xf ( )>0x

ab

f ( x )= 0 ⇒ x = −ab f ( x )= 0 ⇒ x = −

ab

f ( x )> 0 ⇒ x > −ab f ( x )> 0 ⇒ x < −

ab

f ( x )< 0 ⇒ x < −ab f ( x )< 0 ⇒ x > −

ab

2.2 – Inequações do 1o grau

Definição 14: Denomina-se inequação do 1o grau na variável x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas:

• a x +b ≥0;

• a x +b >0;

• a x +b ≤0;

• a x +b <0. com a , b ∈ R e a ≠0.

Exemplo:

Verificar se 4( x −1)− 2x ≥3 x − x ( x +1) é uma inequação do 1o grau. 4( x −1)− 2x ≥3 x − x ( x +1)

4 x −4− 2x ≥3 x − 2x − x 4 x −3 x + x −4≥0 2 x −4≥0

Logo, 2 x −4 é um polinômio do 1o grau, então 4( x +1)− 2x ≥3 x − x ( x +1) é uma inequação do 1o grau.

2.2.1 - Resolução de inequações do 1o grau

Definição 15: Para se resolver uma inequação do 1o grau, são utilizadas as propriedades das desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).


13

Exemplos:

1) Resolver a inequação seguinte: 4( x −1)− 2x ≥3 x − x ( x +1). Represente a solução na reta real.

4( x −1)− 2x ≥3 x − x ( x +1)

4 x −4− 2x ≥3 x − 2x − x 4 x −3 x + x −4≥0 2 x ≥4 x ≥2

S={ x∈R ; x ≥2} x2

2) Resolver a inequação seguinte: 3

1−x+

214 )( x−

>4x+

62 x−

. Represente a solução na reta real.

31−x+

214 )( x−

>4x+

62 x−

Reduzindo os dois membros ao menor denominador comum:

12242444 xx −+−

>12

243 xx −+

Simplificando: −20 x +20> x +4 −20 x − x >−20+4 −21 x >−16 Multiplicando por (−1): 21 x <16

x <2116

S={ x ∈ R ; x <2116

}

x1621

2.2.2 - Sistemas de inequações do 1o grau

Definição 16: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.

Exemplo:

Resolver a inequação −1<2 x −3≤ x . Apresente o conjunto solução S e represente na reta real.

Na verdade, resolver essa inequação simultânea é equivalente a resolver o sistema:

(i) −1 < 2 x −3 (i) x > 1

(ii) 2 x −3 ≤ x (ii) x ≤ 3

x

x

x1 3

(i)

(ii)(i) ∩

(ii)

S={ x ∈ R ; 1< x ≤3}


14

2.2.3 - Inequação-produto e inequação-quociente

Uma inequação do 2o grau do tipo 2x +2 x −8≥0 pode ser expressa por um produto de inequações do 1o grau, fatorando o 1o membro da desigualdade:

2x +2 x −8≥0 ⇒ ( x −2)⋅( x +4)≥0.

Definição 17: RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais do 1o grau envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números reais. Exemplos:

1) Resolver a inequação ( 2x + x −2)⋅(− x +2)≤0.

( 2x + x −2)⋅(− x +2)≤0 ⇒ ( x +2)⋅( x −1)⋅(− x +2)≤0

f(x) = x +2 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = −2 a > 0

g(x) = x −1 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 1 a > 0

h(x) = − x +2 ⇒ h(x) = 0 ⇒ x = 2 a < 0

x

-2 2

( )g

x( )f

x( )h

x( )x( )x( )f g h1

S={ x ∈ R ; −2≤ x ≤1 ou x ≥2}

2) Resolver a inequação 2

13−+−

xx

≥0.

f(x) = −3 x +1 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = 1/3 a < 0

g(x) = x −2 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 2 a < 0

x

2

( )g

x( )f

x( )x( )fg 13

S={ x∈R ; 31≤ x <2}


15


−−

xx

≤0.

292

−−

xx

≤0 ⇒ 2

33−

−⋅+x

xx )()(≤0

f(x) = x +3 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = −3 a > 0

g(x) = x −3 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 3 a > 0

h(x) = x −2 ⇒ h(x) = 0 ⇒ x = 2 a > 0

x

-3 3

( )g

x( )f

x( )h

x( )x( )x( )f g

h 2 S={ x∈R ; x ≤−3 ou 2< x ≤3}

4) Determine o domínio da função y =5

322

−−+

xxx

.

5322

−−+

xxx

≥0 ⇒ 5

13−

−⋅+x

xx )()(≥0

f(x) = x +3 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = −3 a > 0

g(x) = x −1 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 1 a > 0

h(x) = x −5 ⇒ h(x) = 0 ⇒ x = 5 a > 0

x

-3 5

( )g

x( )f

x( )h

x( )x( )x( )f g

h 1 D={ x∈R ; −3≤ x ≤1 ou x >5}


16

AULA 02 – EXERCÍCIOS

1) Dada a função f(x) = 5x – 2, determine: a) f(2) b) o valor de x para que f(x) = 0 2) Em uma função polinomial do 1o grau, y = f(x), sabe-se que f(1) = 4 e f(-2) = 10.

Escreva a função f e calcule ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

21f

3) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$900,00 e uma variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Expressar a lei da função que representa seu salário mensal b) Calcular o salário do vendedor que durante um mês ele vendeu R$ 50.000,00 em produtos 4) Num determinado país, o gasto governamental com educação, por aluno em escola pública, foi de 3.000 dólares no ano de 1985, e de 3.600 dólares em 1993. Admitindo que o gráfico do gasto por aluno em função do tempo seja constituído de pontos de uma reta: a) Obtenha a lei que descreve o gasto por aluno (y) em função do tempo (x), considerando x = 0 para o ano de 1985, x = 1 para o ano de 1986, x = 2 para o ano de 1987 e assim por diante. b) Em que ano o gasto por aluno será o dobro do que era em 1985? 5) Considere as funções f e g definidas em R por f(x) = 8 – x e g(x) = 3x a) Ache as raízes das funções f e g b) Sabendo que os gráficos de f e g são retas concorrentes, calcule as coordenadas do ponto de intersecção. 6) Resolver a inequação 4x – 1 + 2(1 – 3x) ≤ 0 7) Determinar o conjunto verdade da

inequação: 6

242

)1(43

1 xxxx −+>

−+

−

8) Resolver o sistema ⎩⎨⎧

<−−≥−

03512

xx

9) João possui um terreno de 1000m2, no qual pretende construir uma casa. Ao engenheiro responsável pela planta, ele impõe as seguintes condições: a área destinada ao lazer (piscina, churrasqueira, etc) deve ter 200m2, e a área interna da casa mais a área de lazer devem ultrapassar 50% da área total do terreno; além disso, o custo para construir a casa deverá ser de, no máximo, R$ 200.000,00. Sabendo que o metro quadrado construído nessa região custa R$ 500,00, qual é a área interna da casa que o engenheiro poderá projetar? 10) Determinar o domínio da função

31+−−

=x

xy

Respostas: 1) a) 8 b) 2/5 2) f(x) = - 2x + 6 e f(-1/2) = 7 3) a) y = 900 + 0,08x b) R$ 4900,00 4) a) y = 75x + 3000 b) 2025 5) a) 8 e 0 b) (2, 6)

6) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≥∈=

21| xRxS

7) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ <∈=

2116| xRxS

8) { }3| ≥∈= xRxS 9) entre 300m2 e 400m2

10) { }31| <≤∈= xRxD


17

AULA 03

2.3 - Função polinomial do 2o grau

Definição 18: A função f : R →R dada por f ( x )=a 2x +b x + c , com a , b e c reais e a ≠0, denomina-se função polinomial do 2o grau ou função quadrática. Os números representados por a , b e c são os coeficientes da função. Note que se a =0 temos uma função do 1o grau ou uma função constante. Exemplo:

Considere a função f do 2o grau, em que f (0)=5, f (1)=3 e f (−1)=1. Escreva a lei de

formação dessa função e calcule f (5).

Resolução

Tome f ( x )=a 2x +b x + c , com a ≠0.

f (0) = 5 ⇒ a (0)2+b (0)+c = 5 ⇒ c = 5 c = 5

f (1) = 3 ⇒ a (1)2+b (1)+c = 3 ⇒ a +b = −2 i)

f (−1) = 1 ⇒ a (−1)2+b (−1)+c = 1 ⇒ a −b = −4 ii)

Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):

(i) a + b = −2

(ii) a − b = −4

(i)+(ii) 2 a = −6 ⇒ a = −3 ⇒ b = 1

A lei de formação da função será f ( x )=−3 2x + x +5

f (5)=−3(5)2+(5)+5

f (5)=−65.

2.3.1 - Gráfico de uma função quadrática O gráfico de uma função polinomial do 2o grau ou quadrática é uma curva aberta

chamada parábola. Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa

representação gráfica, vamos destacar três importantes características do gráfico da função quadrática:

(i)

Concavidade

(ii)

Zeros ou raízes

(iii)

Vértice

2.3.2 - Concavidade A concavidade de uma parábola que representa uma função quadrática

f ( x )=a 2x +b x + c do 2o grau depende do sinal do coeficiente a :


18

a >0: concavidade para CIMA a <0: concavidade para BAIXO

[Fig.4]: Concavidade de uma função quadrática.

2.3.3 - Zeros de uma função quadrática

Definição 19: Os zeros ou raízes da função quadrática f ( x )=a 2x +b x + c são as raízes da

equação do 2o grau a 2x +b x +c =0, ou seja:

Raízes: x =a

acbb2

42 −±−.

Considerando ∆= 2b −4 a c , pode-se ocorrer três situações:

• i) ∆>0 ⇒ as duas raízes são reais e diferentes: 1x =a

b2

∆+− e 2x =

ab

2∆−−

.

• ii) ∆=0 ⇒ as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla): 1x = 2x =−a

b2

.

• iii) ∆<0 ⇒ não há raízes reais.

Obs.: Em uma equação do 2o grau a 2x +b x +c =0, a soma das raízes é S e o produto é P tal

que: S= 1x + 2x =−ab

e P= 1x ⋅ 2x =ac

.

Definição 20: Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do 2o grau são as abscissa dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x .

2.3.4 - Vértice da parábola

Considere as parábolas abaixo e observe o vértice V ( Vx , Vy ) em cada uma:

x

y

x

y

x2x1

x1 x2

V( ),xV yV

V( ),xV yV

Eixo de simetria

[Fig.5]: Vértice de parábolas (∆>0 para as duas).


19

Uma forma de se obter o vértice V ( Vx , Vy ) é:

• Vx =2

21 xx +, já que o vértice encontra-se no eixo de simetria da parábola;

• Vy =a 2Vx +b Vx +c , já que o Vx foi obtido acima.

Outra forma de se obter o vértice V ( Vx , Vy ) é aplicando as fórmulas:

• Vx =−a

b2

e Vy =−a4∆

.

2.3.5 - Gráfico de uma parábola Com o conhecimento das principais características de uma parábola, podemos esboçar

com mais facilidade o gráfico de uma função quadrática. Exemplos:

1) Construir o gráfico da função y = 2x +2 x , determinando sua imagem.

a =1>0 ⇒ concavidade voltada para cima.

Zeros da função: 2x +2 x =0 ⇒ x ( x +2)=0 ⇒ 1x =0 e 2x =−2.

Ponto onde a parábola corta o eixo y :

x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0)

Vértice da parábola: Vx =−

ab2

=−22=−1

Vy =−a4∆

=−44=−1

⇒ V (−1,−1)

Imagem: y ≥−1 para todo x Real Im ={ y ∈ R ; y ≥−1}

3210

1234

y

x-1-2

-1-2 4

5

-3-4-5

5-3-4-5

V

2) Construir o gráfico da função y =− 2x +4 x −5, determinando sua imagem.

a =−1<0 ⇒ concavidade voltada para baixo.

Zeros da função: − 2x +4 x −5=0 ⇒ ∆=−4. ∃/ zeros reais.

Ponto onde a parábola corta o eixo y :

x =0 ⇒ y =−5 ⇒ (0,−5)

Vértice da parábola: Vx =−

ab2

=−2

4−

=2

Vy =−a4∆

=−44

−−

=−1

⇒ V (2,−1)

Imagem: y ≤−1 para todo x Real Im ={ y ∈ R ; y ≤−1}

3210

1234

y

x-1-2

-1-2 4

5

-3-4-5

5-3-4-5

V


20

2.3.6 - Estudo do sinal da função quadrática Os valores reais de x que tornam a função quadrática positiva, negativa ou nula, podem ser dados considerando-se os casos, relacionados na tabela abaixo.

f ( x )=a 2x +b x + c com ( a , b e c ∈ R e a ≠0)

a >0 a <0

xx2x1

xx1 x2

f ( x )>0 para x < 1x ou x > 2x f ( x )<0 para x < 1x ou x > 2x

f ( x )<0 para 1x < x < 2x f ( x )>0 para 1x < x < 2x

f ( x )=0 para x = 1x ou x = 2x f ( x )=0 para x = 1x ou x = 2x

xx2x1

xx2x1

f ( x )>0 para x ≠ 1x f ( x )<0 para x ≠ 1x

f ( x )<0 ∃/ x real f ( x )>0 ∃/ x real

f ( x )=0 para x = 1x = 2x f ( x )=0 para x = 1x = 2x

x

x

f ( x )>0 ∀ x real f ( x )<0 ∀ x real

f ( x )<0 ∃/ x real f ( x )>0 ∃/ x real

f ( x )=0 ∃/ x real f ( x )=0 ∃/ x real

2.4 - Inequações do 2o grau Definição 21: Denomina-se inequação do 2o grau na variável x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas:

• a 2x +b x + c ≥0;

• a 2x +b x + c >0;

• a 2x +b x + c ≤0;

• a 2x +b x + c <0. com a , b , c∈ R e a ≠0.


21

2.4.1 - Resolução de inequações do 2o grau Definição 22: Para se resolver uma inequação do 2o grau, são utilizadas as propriedades das desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).

Exemplo:

1) Resolver a inequação 2x −3 x +2>0. Resolução

Estudar a variação do sinal da função f ( x )= 2x −3 x +2.

a =1>0 ⇒ Concavidade para cima.

2x −3 x +2=0

∆=1>0 ⇒ Duas raízes reais diferentes.

1x =1 x =

213±

2x =2

x21

S={ x ∈ R ; x <1 ou x >2}. Obs: somente valores positivos.

2) Resolver a inequação 2x −10 x +25≥0. Resolução

Estudar a variação do sinal da função f ( x )= 2x −10 x +25.


2x −10 x +25=0

∆=0 ⇒ Raiz dupla (única).

1x = 2x =

210

x =5

x5

S= R . Obs: Todos os valores são positivos ou iguais a zero.

3) Resolver a inequação −2 2x +5 x −6≥0. Resolução

Estudar a variação do sinal da função f ( x )=−2 2x +5 x −6.

a =−2<0 ⇒ Concavidade para baixo.

−2 2x +5 x −6=0

∆=−23<0⇒ Não possui zeros reais.

∃/ x real

x

S=∅. Obs: Nunca se tem valores positivos ou iguais a zero.


22

2.4.2 - Sistemas de inequações do 2o grau

Definição 23: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema. Exemplo:

1) Resolver o sistema de inequações ⎩⎨⎧

<+−≥+

05682 22

xxxx

.

Resolução

(i) ⇒ 2 2x +8≥ 2x −6 x ⇒ 2 2x +8− 2x +6 x ≥0 ⇒ 2x +6 x +8≥0. (ii) ⇒ x +5<0.

Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x )= 2x +6 x +8.


2x +6 x +8=0


1x =−4 x =

226±−

2x =−2

x-2-4

S(i)={ x ∈ R ; x ≤−4 ou x ≥−2}. Reta real: x-2-4

Resolução de (ii): x +5<0 ⇒ x <−5.

S(ii)={ x ∈ R ; x ≤−5}. Reta real: x-5

Intersecção entre (i) e (ii) ⇒ (i)∩(ii):

x-5

x-5

x-2-4(i)

(ii)

(i) (ii)∩ S={ x ∈ R ; x ≤−5}.

2) Resolver a inequação x −4< 2x −4≤ x +2.

Resolução

(i) ⇒ x −4< 2x −4 ⇒ x −4− 2x +4<0 ⋅(−1) ⇒ 2x − x >0.

(ii) ⇒ 2x −4≤ x +2 ⇒ 2x −4− x −2≤0 ⇒ 2x − x −6≤0.

Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x )= 2x − x .


2x − x =0 x ( x −1)=0 ⇒ Zeros={0,1}.


1x =0 x =

211±

2x =1

x10

S(i)={ x ∈ R ; x <0 ou x >1}. Reta real: x10


23

Resolução de (ii): Estudar a variação do sinal da função g ( x )= 2x − x −6.


2x − x −6=0


1x =−2 x =

251±

2x =3

x3-2

S(ii)={ x ∈ R ; −2≤ x ≤3}. Reta real: x3-2

Intersecção entre (i) e (ii) ⇒ (i)∩(ii):

x-2

x

x10(i)

(ii)

(i) (ii)∩

3

-2 0 1 3 S={ x ∈ R ; −2≤ x <0 ou 1< x ≤3}.

2.4.3 - Inequação-produto e inequação-quociente

Definição 24: RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números reais. Exemplos:

1) Resolver a inequação ( 2x −2 x −3)⋅(− 2x −3 x +4)>0. Resolução

f(x) = 2x −2 x −3 ⇒ a > 0 ⇒ ∆=16 > 0 ⇒ 1x = -1

e 2x = 3

g(x) = − 2x −3 x +4 ⇒ a < 0 ⇒ ∆=25 > 0 ⇒ 1x = −4 e 2x = 1

f(x) g(x)

x3-1

x1-4

x3-1 x1-4


24

x

-4

( )g

x( )f

x( )x( )f g1 3-1

S={ x ∈ R ; −4< x <−1 ou 1< x <3}.


652

2

−+−

xxx

≥0.

Resolução

f(x) = 2x −5 x +6 ⇒ a > 0 ⇒ ∆=1 > 0 ⇒ 1x = 2 e 2x = 3

g(x) = 2x −16 ⇒ a > 0 ⇒ ∆=64 > 0 ⇒ 1x = −4 e 2x = 4

f(x) g(x)

x32

x4-4

x32 x4-4

x

-4

( )g

x( )f

x( )x( )f

g 3 42 S={ x ∈ R ; x <−4 ou 2≤ x ≤3 ou x >4}.

3) Determine o domínio da função f ( x )=6

1032

−−−

xxx

.

Resolução

f só representa um número real se 6

1032

−−−

xxx

≥0.

f(x) = 2x −3 x −10 ⇒ a > 0 ⇒ ∆=49 > 0 ⇒ 1x = −2 e 2x = 5

g(x) = x −6 ⇒ a > 0 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 6

f(x) g(x)

x5-2

x6

x5-2 x6


25

x

-2

( )g

x( )f

x( )x( )f

g 5 6 D ={ x ∈ R ; −2≤ x ≤5 ou x >6}.

AULA 03 – EXERCÍCIOS 1) Considere a função f do 20 grau, onde f(0) = 5, f(1) = 3 e f(-1) = 1. Escreva a lei de formação dessa função e calcule f(5). 2) Determine o valor de m para que a parábola que representa graficamente a função y = 3x2 – x + m passe pelo ponto (1, 6) 3) Determinar os zeros da função y = x2 – 4x – 5 4) Seja a função f(x) = x2 – 2x + 3k. Sabendo que essa função possui dois zeros reais iguais, determine o valor real de k. 5) A função f(x) = x2 + kx + 36 possui duas raízes reais, m e n, de modo que

12511

=+nm

. Determine o valor de f(-1)

nessa função 6) Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função f(x) = - 5x2 + 3x – 1. 7) Determinar a e b de modo que o gráfico da função definida por y = ax2 + bx – 9 tenha o vértice no ponto (4, - 25) 8) Determinar o conjunto imagem da função f(x) = x2 – 3x + 2 9) A função f(x) = x2 – x – 6 admite valor máximo ou valor mínimo? Qual é esse valor? 10) Considerar todos os possíveis retângulos que possuem perímetro igual a 80 cm. Dentre esses retângulos, determinar aquele que terá área máxima. Qual será essa área? 11) Determinar p de modo que a função f(x)= px2 + (2p – 1)x + p assuma valores positivos para todo x real. 12) Resolver a inequação –x2 + 1 ≤0 13) Determinar o conjunto solução da inequação x2 – 10x + 25 ≥ 0 14) Resolver a inequação x – 4 <x2 – 4 ≤ x + 2


<++

xx

Respostas 1) f(x) = - 3x2 + x + 5 f(5) = - 65 2) 4 3) 5 e -1 4) 1/3 5) 52

6) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2011,

103V

7) a = 1 e b = - 8

8) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −≥∈=

41/Im yRy

9) O valor mínimo da função é y = - 25/4 10) O retângulo que terá a maior área será o de lados 20 cm e 20cm, e a área máxima será de 400 cm2.

11) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ >∈

41/ pRp

12) { }1,,1| ≥−≤∈= xouxRxS 13) S = R 14) { 02| <≤−∈= xRxS ou }31 ≤< x 15) S = {x ∈ R| x < - 3 ou -1< x <2}


26

AULA 04

3 – FUNÇÃO EXPONENCIAL 3.1 – Revisão de Potenciação

3.1.1 - Potências com expoente natural Sendo a um número real e n um número natural, com n ≥2, definimos:

(Eq.4) na = 43421 Kfatores n

aaaa ⋅⋅⋅⋅ .

Para n =1 e n =0 são definidos:

(Eq.5) 1a =a .

(Eq.6) 0a =1 ( a ≠0).

3.1.2 - Potências com expoente inteiro Se a é um número real não-nulo (a ≠0) e n um número inteiro e positivo, definimos:

(Eq.7) na− = na1

.

3.1.3 - Potências com expoente racional

Se a é um número real positivo e nm

um número racional, com n inteiro positivo,

definimos:

(Eq.8) nm

a = n ma .

3.1.4 -Potências com expoente real Podemos considerar que as potências com expoente real têm significado no conjunto dos

números reais. Temos, por exemplo: 210 =25,954553519470080977981828375983.

3.1.4.1 - Propriedades

Para as potências com expoente real são válidas as seguintes propriedades operatórias:

• ma ⋅ na = nma + .

• ma : na = nma − ( a ≠0).

• nma )( = nma ⋅ .

• nba )( ⋅ = na ⋅ nb .

• n

ba⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= n

n

ba

(b ≠0).


27

Exemplos

1) Dê o resultado mais simples de ( 35 ⋅ 65 ): 105 . Resolução Usando as propriedades, temos:

( 35 ⋅ 65 ): 105 =( 635 + ): 105 = 95 : 105 = 1095 − = 15− =51

.

2) Calcule o valor da expressão 2

32 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+3

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− 06 .

Resolução 2

32 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+3

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− 06 =2

23⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+3

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−1=49+

81−1=

88118 −+=

811

.

3) Simplifique x

xx

222 25 ++ −

.

Resolução

x

xx

222 25 ++ −

= x

xx

22222 25 ⋅−⋅

= x

x

2222 25 )( −⋅

= 52 − 22 =28.

4) Calcule 34

8 . Resolução

• Primeira resolução: 34

8 = 3 48 = 3 4096 =16.

• Segunda resolução: 34

8 = 3432 )( = 3

432 ⋅= 42 =16.

5) Determine o valor de 7081 , : 2081 , .

Resolução 7081 , : 2081 , = 207081 ,, − = 5081 , = 5043 ,)( = 23 =9.

10) Qual o valor de 2210 )( : 510 ),( ?

Resolução 2210 )( : 510 ),( = 2210 ⋅ : 5110 )( − = 210 : 510− = )( 5210 −− = 710 =10000000.

3.2 - Equações exponenciais

Definição 25: Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no expoente. Exemplo:

• x2 =16.

• 13 +x + 23 −x =9.


28

• 13 −x =27.

• 10⋅ x22 −5⋅ x22 −1=0.

3.2.1 -Resolução de equações exponenciais Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter

potências de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação utilizando as definições e propriedades da potenciação. Além disso, usaremos o seguinte fato:

Definição 26: Se a >0, a ≠1 e x é a incógnita, a solução da equação xa = pa é x = p .

Exemplos:

1) Resolver a equação x4 =512. Resolução

Usando as propriedades das potências, vamos transformar o 1o e 2o membros da equação em potências de mesma base:

x4 =512 ⇒ x)( 22 = 92 ⇒ x22 = 92 ⇒ 2 x =9 ⇒ x =29

.

S=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

29

.

2) Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de determinado produto. Projetando um aumento anual de produção de 50%, pergunta-se:

• a) Qual a produção P dessa empresa t anos depois?

• b) Após quantos anos a produção anual da empresa será de 40500 unidades?

Resolução

• a) Obs: 50%=10050

=0,5

Um ano depois: 8000+0,5⋅8000=8000⋅(1+0,5)=8000⋅1,5

Dois anos depois: (8000⋅1,5)⋅1,5=8000⋅ 251 ),(

Três anos depois: (8000⋅ 251 ),( )⋅1,5=8000⋅ 351 ),(

Produção P, t anos depois: P=8000⋅ t),( 51

• b) Fazendo P=40500, na fórmula anterior, obtemos a equação:

40500=8000⋅ t),( 51 Resolvendo a equação:

40500=8000⋅ t),( 51

⇒ t),( 51 =800040500

. Obs: 1,5=23

.

⇒ t

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

23

=1681

⇒ t

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

23

= 4

4

23

⇒ t

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

23

=4

23⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⇒ t =4.

Desse modo, a produção anual da empresa será de 40500 unidades após 4 anos.


29

3) Determine o conjunto solução da equação 281 +x =1 no universo dos números reais.

Resolução Sabendo que 081 =1, temos:

281 +x =1 ⇒ 281 +x = 081 ⇒ x +2=0 ⇒ x =−2. S={−2}.

3.2.2 - Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios Para se resolver determinadas equações exponenciais, são necessárias algumas

transformações e artifícios. Exemplos:

1) Resolver a equação x4 −5⋅ x2 +4=0. Resolução Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na equação dada:

x4 −5⋅ x2 +4=0 ⇒ x)( 22 −5⋅ x2 +4=0 ⇒ 22 )( x −5⋅ x2 +4=0.

Fazendo x2 = y , temos a equação do 2o grau em y :

2y −5 y +4=0 ⇒ y =2

16255 −± ⇒ 1y =4 e 2y =1.

Voltando à igualdade x2 = y :

1y =4: x2 = y ⇒ x2 =4 ⇒ x2 = 22 ⇒ x =2.

2y =1: x2 = y ⇒ x2 =1 ⇒ x2 = 02 ⇒ x =0.

S={0,2}.

2) Determine o conjunto solução da equação x5 − x−25 =24. Resolução Preparando a equação, temos:

x5 − x−25 =24 ⇒ x5 − 25 ⋅ x−5 =24 ⇒ x5 −25⋅ x51

=24 ⇒ x5 − x525

=24.

Fazendo x5 = y , temos:

y −y

25=24 ⇒ 2y −25=24 y ⇒ 2y −24 y −25=0 ⇒

⎩⎨⎧

−=

=

125

2

1

yy

Voltando à igualdade x5 = y :

1y =25: x5 = y ⇒ x5 =25 ⇒ x5 = 25 ⇒ x =2.

2y =−1: x5 = y ⇒ x5 =−1 ⇒ Esta equação não tem raiz em R , pois x5 >0, para todo x real.

S={2}.

3.3 - Função exponencial

Definição 27: A função f : R → R dada por f ( x )= xa (com a >0 e a ≠1) é denominada função exponencial de base a .


30

3.3.1 - Gráfico da função exponencial no plano cartesiano

Dada a função f : R →R , definida por f ( x )= xa (com a >0 e a ≠1), temos dois casos para traçar seu gráfico: (i) a >1 e (ii) 0<a <1.

• (i) a >1.

1) Traçar o gráfico de f ( x )= x2 .

x f ( x )= x2

−2 41

−1 21

0 1

1 2

2 4

3 8

3210

678

y

x-1-2 4-3-4

12345

OBS.1: Quanto maior o expoente x , maior é a potência xa , ou seja, se a >1 a função

f ( x )= xa é crescente.

• (ii) 0<a <1.

2) Traçar o gráfico de f ( x )=x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21

.

x f ( x )=x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21

−3 8

−2 4

−1 2

0 1

1 21

2 41

3210

678

y

x-1-2 4-3-4

12345


31

Obs.2: Quanto maior o expoente x , menor é a potência xa , ou seja, se 0<a <1 a função

f ( x )= xa é decrescente. Com base no gráfico, podem-se tirar algumas considerações:

3.3.2 - Características da função exponencial

Seja f : R →R , definida por f ( x )= xa (com a >0 e a ≠1).

• Domínio da função f são todos os números reais ⇒ D =R .

• Imagem da função f são os números reais positivos ⇒ Im = ∗+R .

• A curva da função passa pelo ponto (0,1).

• A função é crescente para a base a >1.

• A função é decrescente para a base 0< a <1.

3.4 - Inequações exponenciais

Definição 28: São inequações exponenciais aquelas que aparecem incógnitas no expoente.

3.4.1 - Resolução de inequações exponenciais Para resolver inequações exponenciais, devemos observar dois passos importantes:

• 1) Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;

• 2) Verificar a base da exponencial, a >1 ou 0<a <1, aplicando as propriedades abaixo.

Caso (i): a >1 Caso (ii): 0<a <1

ma > na ⇒ m > n ma > na ⇒ m < n

As desigualdades têm mesmo sentido

As desigualdades têm sentidos diferentes

Exemplos:

1) Resolva a inequação x2 >32.

Resolução

Como 52 =32, a inequação pode ser escrita: x2 > 52 ⇒ Caso (i): a >1.

⇒ x >5. S={ x∈R ; x >5}.

2) Resolva a inequação xx 23 23 +)( ≥1.

Resolução xx 23 2

3 +)( ≥1 ⇒ xx 23 23 +)( ≥ 03)( ⇒ Caso (i): a >1.

⇒ 3 2x +2 x ≥0

Tome f ( x )=3 2x +2 x

f ( x )=0 ⇒ 3 2x +2 x =0 ⇒ ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=

032

2

1

x

x

x023 S={ x ∈ R ; x ≤−2/3 ou x ≥0}.


32

3) Resolva a inequação 3

21 +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

<72

21 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

.

Resolução 3

21 +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

<72

21 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

⇒ Caso (ii): 0<a <1.

x +3>2 x −7 ⇒ − x >−10 ⋅(−1) ⇒ x <10. S={ x ∈ R ; x <10}.

AULA 04 – EXERCÍCIOS 1) Uma cultura inicial de 100 bactérias, reproduz-se em condições ideais. Supondo que, por divisão celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora. a) Qual a população dessa cultura após 3 horas do instante inicial? b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 51.200 bactérias? 2) Resolva as equações:

a) 72821 =++x

b) 08134 4 =−−

xx

3) Determine o conjunto solução das seguintes equações:

a) 0273.2832 =+− xx

b) xx 2.123222 =+

c) 145

6416 +=+ x

x

4) Se f(x) = x2 + x e g(x) = 3x, determine x para que f(g(x)) = 2. 5) Cada golpe de uma bomba extrai 10% de óleo de um tanque. A capacidade do tanque é de 1 m3 e, inicialmente, esta cheio. a) Após o 5o golpe, qual o valor mais próximo para o volume de óleo que permanece no tanque? b) Qual é a lei da função que representa o volume de óleo que permanece no tanque após n golpes? 6) Resolva as inequações:

a) ( ) ( )4355

2

≥− xx

b) 513

31

31 +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

xx

C) 1275,02 222 <⋅− ++ xX 7) Determine o domínio da função

12 2 −= −xy

Respostas: 1) a) 800 bactérias b) 9 horas 2) a) 3/2 b) 4 3) a) {0, 3} b) {2, 3} c) {1, 2} 4) x = 0 5) a) 0,59m3 b) f(n) = 1 . (0,9)n

6) a) }4,,1/{ ≥−≤∈ xouxRx

b) }3/{ >∈ xRx

c) }0/{ <∈ xRx

7) }2/{ ≥∈ xRx


33

AULA 05 4 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA 4.1 – Definição de Logaritmo

Definição 29: Dados dois números reais positivos, a e b , com a ≠1, existe um único número

real x de modo que xa =b . Este número x é chamado de logaritmo de b na base a e indica-se balog .

Podemos então, escrever:

(Eq.9) xa =b ⇔ x = balog (1≠a >0 e b >0).

Na igualdade x = balog , temos:

• a é a base do logaritmo;

• b é o logaritmando ou antilogaritmo;

• x é o logaritmo. Exemplos:

Calcular o valor de x nos exercícios seguintes:

1) 322log = x .

x2 =32 ⇒ x2 = 52 ⇒ x =5.

2) 164log = x .

x4 =16 ⇒ x4 = 24 ⇒ x =2.

3) x8log =1.

18 = x ⇒ x =8.

4) 813log = x .

x3 =81 ⇒ x3 = 43 ⇒ x =4.

5) 15log = x .

x5 =1 ⇒ x5 = 05 ⇒ x =0.

OBS. 1: blog ⇒ significa b10log . Quando não se indica a base, fica subentendido que a

base é 10.

4.2 - Conseqüências da definição Tome 1≠ a >0, b >0 e m um número real qualquer. Da definição de logaritmos, pode-se

verificar que:


34

• 1) O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero.

1alog =0, pois 0a =1.

• 2) O logaritmo da própria base é igual a 1.

aalog =1, pois 1a =a .

• 3) O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente. m

a alog =m , pois ma = ma .

• 4) O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual devemos elevar a para obter b . baa log =b , pois xa =b ⇔ x = balog .

4.3 - Propriedades dos logaritmos

• 1) Logaritmo de produto )(log yxa ⋅ = xalog + yalog (1≠ a >0, x >0 e y >0).

• 2) Logaritmo de quociente

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

alog = xalog − yalog (1≠ a >0, x >0 e y >0).

• 3) Logaritmo de potência m

a xlog =m ⋅ xalog (1≠ a >0, x >0 e m ∈ R ).

4.4 - Cologaritmo Cologaritmo de um número positivo b numa base a (1≠ a >0) é o logaritmo do inverso

desse número b na base a .

(Eq.10) bco alog = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ba1log ⇒ bco alog =− balog (1≠ a >0 e b >0).

Exemplo:

Sabendo que log 3=a e log 5=b , calcule os logaritmos abaixo, em função de a e b .

• a) log 15

log 15= log (3⋅5)= log 3+ log 5=a +b .

• b) log 675

log 675= log ( 33 ⋅ 25 )= log 33 + log 25 =3 log 3+2 log 5=3 a +2b .

• c) log 2

log 2= log 510 = log 10− log 5=1−b .

4.5 - Mudança de base As propriedades logarítmicas são válidas para logaritmos numa mesma base, por isso,

em muitos casos, é conveniente fazer a conversão de logaritmos de bases diferentes para uma única base.

A seguir, será apresentada a fórmula de mudança de base. Seja:


35

balog = x ⇒ xa =b .

Aplicando o logaritmo na base c em ambos os membros, obtemos:

xc alog = bclog ⇒ x ⋅ aclog = bclog ⇒ x =

ab

c

c

loglog

, mas x = balog .

Então:

(Eq.11) balog =ab

c

c

loglog

(1≠ a >0, 1≠ c >0 e b >0).

Exemplos:

1) Sendo log 2=0,3 e log 3=0,4, calcule 62log .

62log =26

loglog

=232

log)log( ⋅=

232

logloglog +

=30

4030,

,, +=

3070,,

=37

.

2) Resolva a equação x2log + x4log + x16log =7.

A condição de existência é x >0. Transformando para a base 2:

x2log + x4log + x16log =7

x2log +42

2

loglog x

+162

2

loglog x

=7

x2log +2

2 xlog+

42 xlog

=7

424 222 xxx logloglog ++

=428

7 x2log =28

x2log =4 42 = x

x =16 ⇒ 16 satisfaz a condição de existência. Logo, o conjunto solução é:

S={16}.

3) Resolva a equação 2log ( x +2)+ 2log ( x −2)=5.

Condições de existência são: x +2>0 e x −2>0 ⇒ x >−2 e x >2. Então: x >2.

2log ( x +2)+ 2log ( x −2)=5

2log [( x +2)⋅( x −2)]=5

( x +2)⋅( x −2)= 52 2x −4=32 2x =36 2x =±6 ⇒ −6 não satisfaz a condição de existência mas, 6 satisfaz.

Logo, o conjunto solução é: S={6}.


36

4.6 - Função logarítmica

A função exponencial g : R → ∗+R definida por g ( x )= xa (com 1≠ a >0) é bijetora. Nesse

caso, podemos determinar a sua função inversa. É a função logarítmica definida abaixo.

Definição 30: A função f : ∗+R → R definida por f ( x )= xalog (com 1≠ a >0) é chamada

função logarítmica de base a .

4.6.1 - Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos

quadrantes ímpares, o gráfico da função logarítmica é de imediata construção, uma vez que já vimos o gráfico da função exponencial.

Seja f : ∗+R → R , tal que y = xalog e 1−f : R → ∗

+R , tal que y = xa . Os gráficos de f e 1−f

serão plotados no mesmo plano cartesiano ortogonal.

• (i) a >1.

3210

678

y

x-1-2 4-3-4

12345

=y x

log xa=y

=y xa

Gráfico da função logarítmica e exponencial ( a >1).

• (ii) 0<a <1.

3210

678

y

x-1-2 4-3-4

12345

=y xa=y x

log xa=y

Gráfico da função logarítmica e exponencial (0< a <1).


37

4.7 - Inequações logarítmicas Chamamos de inequação logarítmica toda inequação que envolve logaritmos com a

incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.

Exemplos:

1) Resolva a inequação 21log ( x −3)≥

21log 4.

Condição de existência: x −3>0 ⇒ x >3 (i). Base: (0< a <1). Como a base é um número entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente e o sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos. x −3≤4 ⇒ x ≤3 (ii). A solução da inequação deve satisfazer as duas condições:

x

x

x

7

3(i)

(ii)

(i) (ii)∩ 73

S={ x ∈ R ; 3< x ≤7}.

2) Resolva a inequação 4log ( 2x − x )≥ 4log (2 x +10).

1a Condição de existência:

2x − x >0 ⇒ x <0 ou x >1 (i). 2a Condição de existência: 2 x +10>0 ⇒ x >−5 (ii). Base: ( a >1).

2x − x ≥2 x +10 ⇒ 2x − x −2 x −10≥0 ⇒ 2x −3 x −10≥0 ⇒ x ≤−2 ou x ≥5 (iii). A solução da inequação deve satisfazer as três condições:

x

x

x(i)

(ii)

(iii)

x(i) (ii)∩ -2

(iii)∩ -5 0 1

5

-5

-2

0 1

S={ x ∈ R ; −5< x ≤−2 ou x ≥5}.


38

3) Suponha que o preço de um carro sofra uma desvalorização de 20% ao ano. Depois de quanto tempo, aproximadamente, seu preço cairá para cerca da metade do preço de um carro novo? (Use 10log 2=0,3)

p = 0p (1−0,2) t ⇒ p = 0p (0,8) t ⇒ p = 0pt

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛108

⇒

Procura-se p =20p

, logo:

20p= 0p

t

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛108

⇒ ( 0p ≠0) ⇒ 21=

t

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1023

⇒ 12− = t32 ⋅ t−10

Aplicando 10log em ambos os membros, temos:

10log 12− = 10log ( t32 ⋅ t−10 )

10log 12− = 10log ( t32 ⋅ t−10 )

10log 12− = 10log t32 + 10log t−10

− 10log 2=3 t 10log 2− t 10log 10

−0,3=3 t ⋅0,3− t −0,3=0,9 t − t −0,3=−0,1 t t =3

O preço do carro cairá para a metade do preço do carro novo depois de 3 anos AULA 05 – EXERCÍCIOS 1) Resolva as seguintes equações: a) log2 (x – 4) = 3 b) logx (3x2 – x) = 2 c) (log3x)2 – log3x – 6 = 0 d) log5(log3x) = 1 2) Sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, calcule: a) log 6 b) log 5

c) log 2,5 d) log 3 3) Qual o conjunto solução da equação

a) 21)1(log)13(log 42 =+−− xx

b) 2loglog 10010 =+ xx

4) Determine o campo de existência da função

)2510(log)12(log)( 23

23 +−−−−= xxxxxf

5) Resolva as inequações: a) log3(5x – 1) > log3 4 b) log2(x – 4) > 1 c) log12(x – 1) + log12(x – 2) ≤ 1 Respostas: 1) a) 12 b) ½ c) {1/9, 27} d) 243 2) a) 0,778 b) 0,699 c) 0,398 d) 0,2385 3) a) 1 b) 100 4) }5,,4,,3/{ ≠>−<∈ xexouxRx

5) a) }1/{ >∈= xRxS

b) }6/{ >∈= xRxS

c) }52/{ ≤<∈= xRxS


39

AULA 06

5 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

5.1 - Seno e cosseno de um arco: Tome o arco α dado na figura abaixo:

A

P

Oα

N

M

[Fig.5] Arco α para o conceito de seno e cosseno.

Seno de um arco é a ordenada do ponto P.

(Eq.12) senα=ON =MP .

Cosseno de um arco é a abscissa do ponto P.

(Eq.13) cosα=OM = NP .

5.1.1 – Conseqüências: Para qualquer ponto da circunferência, a ordenada e a abscissa nunca são menores que

−1 nem maiores que +1. Por isso dizemos que seno e cosseno são números compreendidos entre −1 e +1, o que nos permite concluir:

(Eq.14) −1 ≤ sen α ≤ 1 e −1 ≤ cosα ≤ 1

5.1.2 - Função seno e função cosseno Função seno é a função que associa a cada arco x ∈ R o número sen x ∈ R , ou

y = sen x .

Função cosseno é a função que associa a cada arco x ∈ R o número cos x ∈ R , ou y =cos x .

5.1.3 - Gráfico das funções seno e cosseno Para estudar a função seno ( y = sen x ) e a função cosseno ( y =cos x ) vamos variar x

no intervalo [0,2π].

5.1.3.1 - Função seno: y = sen x

AO O π2

π3

π4

π6 π

π2

3π2

1

1y

x

[Fig.6]Gráfico da função seno.


40

5.1.3.2 - Conclusões

• O domínio da função y = sen x é o conjunto dos números reais, isto é, D = R .

• A imagem da função y = sen x é o intervalo [−1,+1], isto é, −1≤ sen x ≤+1.

• Toda vez que somamos 2π a um determinado valor de x , a função seno assume o mesmo valor. Como 2π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = sen x é p =2π. Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o

arco x . Quando adicionamos 2 k π ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o seno, pois a

função seno é periódica de período 2π.

(Eq.15) sen x = sen ( x +2 k π), k ∈Z (Inteiros).

5.1.3.3 - Seno é função ímpar

No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e − x têm imagens simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que as ordenadas desses pontos têm o mesmo valor absoluto, porém, sinais opostos. Então, sen (− x )=− sen x .

Quando uma função f é tal que f (− x )=− f ( x ), para todo x do seu domínio, dizemos

que f é uma função ímpar. Como sen (− x )=− sen x , para todo x real, podemos afirmar que a função seno é ímpar.

5.1.3.4 - Função cosseno y =cos x

AO O π2

π3

π4

π6 π

π2

3π2

1

1y

x

[Fig. 2]: Gráfico da função cosseno.

5.1.3.5 - Conclusões

• O domínio da função y =cos x é o conjunto dos números reais, isto é, D = R .

• A imagem da função y =cos x é o intervalo [−1,+1], isto é, −1≤cos x ≤+1.

• O período da função y =cos x é p =2π. Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o

arco x . Quando adicionamos 2 k π ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno, pois

a função cosseno é periódica de período 2π.

(Eq.16) cos x =cos ( x +2 k π), k ∈Z (Inteiros).

5.1.3.6 - Cosseno é função par No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e − x têm imagens

simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que esses pontos têm a mesma abscissa. Então, cos (− x )=cos x .

Quando uma função f é tal que f (− x )= f ( x ), para todo x do seu domínio, dizemos

que f é uma função par.


41

Como cos (− x )=cos x , para todo x real, podemos afirmar que a função cosseno é par. Exemplos:

1) Construa o gráfico da função y =2sen x , dando o domínio, a imagem e o período.

x sen x 2 sen x y

0 0 2⋅0 0

2π

1 2⋅1 2

π 0 2⋅0 0

23π

−1 2⋅(−1) −2

2π 0 2⋅0 0

O π2 π

π2

3π2

1

1

y

x

2

2

Observando o gráfico, temos: D = R , Im =[−2,2], e p =2π.

2) Construa o gráfico da função y =cos2x

, dando o domínio, a imagem e o período.

2x

x cos2x

y

0 0 1 1

2π

π 0 0

π 2π −1 −1

23π

3π 0 0

2π 4π 1 1

Observando o gráfico, temos: D = R , Im =[−1,1], e p =4π.

5.2 - Tangente de um arco Tome o arco α dado na figura abaixo:

AP

Oα

N

M

T

eixo das tangentes

[Fig. 3]: Arco α para o conceito de tangente.

O π ππ

23 π4

1

1y

x


42

Tangente de um arco é a ordenada do ponto T (segmento AT).

(Eq.17) tanα= AT .

5.2.1 - Conseqüências

• O eixo vertical, suporte de AT , é chamado eixo das tangentes.

• Podemos dizer que tanα só é definida se α∈R e α≠2π+ k π ( k ∈Z ).

5.2.2 - Função tangente

Função tangente é a função que associa a cada arco x ∈ R , com x ≠2π+ k π ( k ∈Z ), o

número tan x ∈ R , ou y = tan x .

5.2.3 - Gráfico da função tangente Para estudar a função tangente ( y = tan x ) vamos variar x no intervalo [0,2π].

AO O π2

π3

π4

π6 π π

23

π2

1

1

y

x

0,58

1,73

1,73

0,58

[Fig. 4]: Gráfico da função tangente.

5.2.4 - Conclusões

• O domínio da função y = tan x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠2π+ k π

( k ∈Z ), isto é, D ={ x ∈ R / x ≠2π+ k π, k ∈Z }.

• A imagem da função y = tan x é o conjunto dos números reais.

• Toda vez que somamos k π a um determinado valor de x , a função tangente assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = tan x é p =π.

(Eq.18) tan ( x + k π)= tan x , k ∈Z .

5.2.5 - Tangente é uma função ímpar

Como tan (− x )=− tan x , para todo x real, com x ≠2π+ k π ( k ∈Z ), podemos afirmar que

a função tangente é ímpar.


43

5.3 - Cotangente de um arco Tome o arco α dado na figura abaixo:

A

P

Oα

N

M

Ceixo dascotangentes

B

[Fig. 5]: Arco α para o conceito de cotangente.

Cotangente de um arco é a abscissa do ponto C (segmento BC).

(Eq.19) cot α= BC .

5.3.1 - Conseqüências

• O eixo horizontal, suporte de BC , é chamado eixo das cotangentes.

• Podemos dizer que cot α só é definida se α∈R e α≠ k π ( k ∈Z ).

5.3.2 - Função cotangente Função cotangente é a função que associa a cada arco x ∈ R , com x ≠ k π ( k ∈Z ), o número cot x ∈ R , ou y =cot x .

5.3.3 - Gráfico da função cotangente Para estudar a função cotangente ( y =cot x ) vamos variar x no intervalo [0,2π].

AO O π2

π3

π4

π6 π π

23 π2

1

1

y

x

0,58

1,73

1,73

0,58

[Fig. 6]: Gráfico da função cotangente.

5.3.4 - Conclusões

• O domínio da função y =cot x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠ k π ( k ∈Z ),

isto é, D ={ x ∈ R / x ≠ k π, k ∈Z }.

• A imagem da função y =cot x é o conjunto dos números reais.

• Toda vez que somamos k π a um determinado valor de x , a função cotangente assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y =cot x é p =π.

(Eq.20) cot ( x + k π)=cot x , k ∈Z .


44

5.3.5 - Cotangente é uma função ímpar Como cot (− x )=−cot x , para todo x real, com x ≠ k π ( k ∈Z ), podemos afirmar que a função cotangente é ímpar.

5.4 - Secante e cossecante de um arco Tome o arco α dado na figura abaixo:

A

P

Oα

N

M S

D

[Fig. 7]: Arco α para o conceito de secante e cossecante.

Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto P, interceptamos o eixo das abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D.

(Eq.21) sec α=OS .

(Eq.22) seccos α=OD .

5.4.1 - Função secante e cossecante

Função secante é a função que associa a cada arco x ∈ R , com x ≠2π+ k π ( k ∈Z ), o

número sec x ∈ R , ou y = sec x

Função cossecante é a função que associa a cada arco x ∈ R , com x ≠ k π ( k ∈Z ), o número seccos x ∈ R , ou y = seccos x .

5.4.2 - Gráfico da função secante Para estudar a função secante ( y = sec x ) vamos variar x no intervalo [0,2π].

AO Oπ2π

3π4

π6

ππ2

3

π2

1

1

y

x

1,151,41

2

1,151,41

2

[Fig. 8]: Gráfico da função secante.


45

5.4.3 - Conclusões

• O domínio da função y = sec x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠2π+ k π

( k ∈Z ), isto é, D ={ x ∈ R / x ≠2π+ k π, k ∈Z }.

• A imagem da função y = sec x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou

menores ou iguais a −1, isto é, Im ={ y ∈ R / y ≥1 ou y ≤−1}.

• Toda vez que somamos 2 k π a um determinado valor de x , a função secante assume o mesmo valor. Como 2π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = sec x é p =2π.

(Eq.23) sec ( x +2 k π)=sec x , k ∈Z .

5.4.4 - Gráfico da função cossecante Para estudar a função cossecante ( y = seccos x ) vamos variar x no intervalo [0,2π].

O π2

π3

π4

π6 π

π2

3π2

1

1

y

x

1,151,41

2

1,151,41

2

AO

[Fig. 9]: Gráfico da função cossecante.

5.4.5 - Conclusões

• O domínio da função y = seccos x é o conjunto dos números reais x ∈ R , com x ≠ k π

( k ∈Z ), isto é, D ={ x ∈ R / x ≠ k π, k ∈Z }.

• A imagem da função y = seccos x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou

menores ou iguais a −1, isto é, Im ={ y ∈ R / y ≥1 ou y ≤−1}.

• Toda vez que somamos 2 k π a um determinado valor de x , a função cossecante assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = seccos x é p =2π.

(Eq.24) seccos ( x +2 k π)= seccos x , k ∈Z .

5.5 - Relações trigonométricas Será feito o estudo das relações que existem entre as funções trigonométricas, pois elas

têm muitas aplicações na trigonometria e fora dela. Para as deduções das relações, tomaremos como base o ciclo trigonométrico e um ângulo α dado.


46

A

P

Oα

N

M S

D

Ceixo dascotangentesB

T

eixo das tangentes

[Fig. 10]: Funções trigonométricas no ciclo.

Podemos identificar as funções trigonométricas no ciclo, em relação ao ângulo α:

senα=ON ; cosα=OM ; tanα= AT ; cot α= BC ; sec α=OS e seccos α=OD .

Analisando as funções no ciclo e fixando inicialmente o ângulo α, podemos fazer as seguintes mudanças, para facilitar o entendimento das relações trigonométricas:

C

B

Oα

A E

F

D

cosα

cotα

tanαsenαsecαcossecα

1unidade

[Fig. 11]: Funções adaptadas no ciclo.

Com as novas adaptações, temos as seguintes funções:

sen α= AB ; cosα=OA ; tanα=CD ; cot α=OE ; sec α=OD e seccos α=OF .

Daí tiram-se três triângulos semelhantes:

∆OAB ≡∆OCD ≡∆OEF .

COα

D

tanαsecαB

Oα

Acosα

senα1

1 Oα

E

F

cotα

cossecα

1

21 3

[Fig. 12]: Triângulos semelhantes.

5.5.1 - Usando o teorema de Pitágoras

• sen 2α+cos 2α=1;

• tan 2α+1= sec 2α;

• cot 2α+1= seccos 2α.

5.5.2 - Usando semelhança entre triângulos Com base na figura acima, tome as seguintes proporções, dadas as razões entre os

triângulos:


47

Razões do triângulo 2 para 1 : 1αsec

=αcos

1 ⇒ sec α=

αcos1

;

1αtan=

αα

cossen

⇒ tanα=αα

cossen

.

Razões do triângulo 3 para 1 : 1

αseccos=

αsen1

⇒ seccos α=αsen

1;

1αcot=

αα

sencos

⇒ cot α=αα

sencos

.

Razões do triângulo 3 para 2 : 1

αseccos=

αα

tansec

⇒ seccos α=αα

tansec

;

1αcot=

αtan1

⇒ cot α=αtan

1.

Exemplos:

Com base nos três triângulos semelhantes da figura anterior, resolva os exercícios que seguem abaixo:

1) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo 1 para 2 .

sen α=αα

sectan

;

cosα=αsec

1.


sen α=αseccos

1;

cosα=α

αseccos

cot.


sec α=αα

cotseccos

;

tanα=αcot

1.

5.5.3 - Identidades trigonométricas A igualdade sen 2α+cos 2α=1 é verdadeira para qualquer α pertencente aos domínios das

funções seno e cosseno. Logo, ela é uma identidade trigonométrica. Quando temos uma igualdade, só podemos aceitá-la como identidade após uma prova,

ou seja, após uma demonstração. Para fazer uma demonstração desse tipo, podemos nos valer de qualquer das relações

dadas acima, que são identidades.

5.5.3.1 - Processo para demonstrar identidades


48

Considerando a igualdade, levaremos todas as funções envolvidas para uma razão equivalente em um dos três triângulos. Depois é só operar ambos os membros e chegar a uma mesma expressão. Exemplos:

Nos exercícios seguintes, demonstre que as igualdades são identidades:

1) tan 2α⋅ sen 2α= tan 2α− sen 2α

COα

D

tanαsecαB

Oα

Acosα

senα1

1 Oα

E

F

cotα

cossecα

1

21 3

Levar do triângulo 2 para 1 : tan 2α⋅ sen 2α= tan 2α− sen 2α

αα

2

2

cossen

⋅ sen 2α=αα

2

2

cossen

− sen 2α

αα

2

4

cossen

=α

ααα2

222

coscossensen −

αα

2

4

cossen

=α

αα2

22

cos)sen(sen

αα

2

4

cossen

=αα

2

4

cossen

⇒ C.Q.D. (como queríamos demonstrar).

2) (1+cot α)2+(1−cot α)2=2⋅ seccos 2α

COα

D

tanαsecαB

Oα

Acosα

senα1

1 Oα

E

F

cotα

cossecα

1

21 3

Todas as funções já se encontram no triângulo 3 , basta desenvolver: (1+cot α)2+(1−cot α)2=2⋅ seccos 2α (1+cot α)2+(1−cot α)2=2⋅ seccos 2α 1+2cot α+cot 2α+1−2cot α+cot 2α=2⋅ seccos 2α 2+2cot 2α=2⋅ seccos 2α 2⋅(1+cot 2α)=2⋅ seccos 2α 2⋅ seccos 2α=2⋅ seccos 2α ⇒ C.Q.D.

3) sec 2α+ seccos 2α= sec 2α⋅ seccos 2α

COα

D

tanαsecαB

Oα

Acosα

senα1

1 Oα

E

F

cotα

cossecα

1

21 3

Levar do triângulo 3 para 2 : sec 2α+ seccos 2α= sec 2α⋅ seccos 2α


49

sec 2α+αα

2

2

tansec

= sec 2α⋅αα

2

2

tansec

αααα

2

222

tansectansec +

=αα

2

4

tansec

ααα

2

22 1tan

)(tansec +⋅=

αα

2

4

tansec

ααα

2

22

tan)(secsec ⋅=

αα

2

4

tansec

αα

2

4

tansec

=αα

2

4

tansec

⇒ C.Q.D.

4) α

αseccos

sen=1−

αα

seccos

COα

D

tanαsecαB

Oα

Acosα

senα1

1 Oα

E

F

cotα

cossecα

1

21 3

Levar dos triângulos 3 e 2 para 1 :

αα

seccossen

=1−αα

seccos

α

α

sen

sen1 =1−

α

α

cos

cos1

sen 2α=1−cos 2α sen 2α= sen 2α ⇒ C.Q.D.

5) αααα

cossecsenseccos

−−

=cot 3α

COα

D

tanαsecαB

Oα

Acosα

senα1

1 Oα

E

F

cotα

cossecα

1

21 3

Levar dos triângulos 1 e 2 para 3 :

αααα

cossecsenseccos

−−

=cot 3α

αα

αα

αα

seccoscot

cotseccos

seccosseccos

−

−1

=cot 3α


50

αααα

αα

seccoscotcotseccos

seccosseccos

22

2 1

−

−

=cot 3α ⇒ Obs: seccos 2α−1=cot 2α

αα

seccoscot2

⋅αα

αα22 cotseccos

seccoscot−

=cot 3α

ααα

seccosseccoscot3

⋅αα 221

1cotcot −+

=cot 3α

cot 3α⋅01

1+

=cot 3α

cot 3α=cot 3α ⇒ C.Q.D. AULA 06 - EXERCÍCIOS 1) Dado sen x = 3/4 , com 0<x< π /2, calcular cos x. 2) Para que valores de a temos, simultaneamente, senx=a + 1 e cos x = a?

3) Dado 33cos −=x , com ππ

<< x2

,

calcule tg x.

4) Simplifique a expressão αααα

ggtg

cotseccot⋅+

.

5) Demonstre as seguintes identidades: a) (1 + cotg2x)(1 – cos2x) = 1 b) tg x + cotgx = tg x. Cossec2x

c) 2cos1

cos2cos1

2 xtgx

xx

xsen=

+⋅

+

Respostas:

1) 47cos =x

2) a = 0 ou a = -1

3) 2−=tgx 4) sec α


51

AULA 07

6 – POLINÔMIOS

6.1 – Função Polinomial: Definição: Dados os números reais na, a n – 1, ... , a2, a1, a0, chamamos de polinômio na variável x toda expressão da forma:

NnaxaxaxaxaxP nnn ∈+++++= −− ,...)( 012

211

0 onde anxn, an-1xn-1,...,a2x2, a1x e a0 são os termos e an, an-1, ..., a2, a1 e a0 são os coeficientes do polinômio. Observações:

Se an ≠ 0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P) = n Se P(x) = 0, não se define o grau do polinômio.

Exemplos: 1) Assinale as expressões que representam polinômios? ( ) 3x3 + x + 1

( ) x-1 + x1

+ 3

( ) 53 23 −+ xx ( ) x5 + 3x – 7

( ) xx +4 2) Em função das variáveis k, m ou a, determinar os graus dos seguintes polinômio: a. P(x) = kx2 + 3x + 7 b. P(x) = kx3 + mx2 + 6x + 4 c. P(x) = (a2 – 1)x3 + (a – 1)x2 + 3x


52

6.2 – Polinômio Idêntico a Zero ou Identicamente Nulo: É qualquer polinômio 01

22

110 ...)( axaxaxaxaxP nnn +++++= −− em que todos os

coeficientes são nulos. 0,...,0,00)( 11 ===⇔= − aaaxP nn e 00 =a Notação: 0)( ≡xP 6.3 – Polinômios Idênticos: Dados os polinômios 01

22

1101 ...)( axaxaxaxaxP nnn +++++= −− e

012

211

02 ...)( bxbxbxbxbxP nnn +++++= −− , dizemos que P1(x) é idêntico a P2(x) se, e somente

se, an = bn, an-1 = bn-1,..., a1 = b1 e a0 = b0. Assim: 111121 ,...,,)()( bababaxPxP nnnn ===⇔≡ −− e 00 ba =

Exemplos: 1) Determinar a e b para que o polinômio P(x) = (a2 – 1).x2 + (a – 1)x + b – a seja identicamente nulo. 2) Determinar m, n e p para que P(x) = (m + n – 3)x2 + (m – n -1)x + n – p seja identicamente nulo. 3) Calcular os valores de m e n, de modo que x2 + x – 3 ≡ (m – n)x2 + x – (m + n)


53

6.4 – Valor Numérico de um Polinômio: O valor numérico do polinômio 01

22

1101 ...)( axaxaxaxaxP nnn +++++= −− , para x igual

a um número qualquer α é: 012

21

1 ...)( aaaaaP nn

nn +++++= −

− ααααα .

Na prática, para obter )(αP , basta substituir x por α em P(x). Observações:

Quando P(α ) = 0 α é raiz de P(x). Exemplo: Verifique se os números 2 e 3 são raízes de P(x) = x2 – 5x + 6

Como (1)n = 1, ∀ n ∈ N, P(1) é a soma dos coeficientes de P(x). Exemplo: Se P(x) = 5x4 + 3x3 – 2x2 – 4x + 1, então P(1) =_______________ é a soma dos coeficientes de P(x).

P(0) é igual ao termo independente de P(x) Exemplo: Sendo P(x) = ax3 + ax2 + ax + c e P(0) = - 7, determine a para que 1 seja raiz de P(x).

6.5 – Adição e Subtração de Polinômios: 6.5.1 – Adição: Dados os polinômios 01

22


012

211

0 ...)( bxbxbxbxbxQ nnn +++++= −− , a soma de P(x) com Q(x) é dada por:

)()(...)()()()( 00111

11 baxbaxbaxbaxQxP nnn

nnn ++++++++=+ −

−−

6.5.2 – Subtração: Dados os polinômios 01

22


012

211

0 ...)( bxbxbxbxbxQ nnn +++++= −− , a diferença entre P(x) e Q(x) é dada por:

)()(...)()()()( 00111

11 baxbaxbaxbaxQxP nnn

nnn −+−++−+−=− −

−−

Observação: Os polinômios P(x) e Q(x) não precisam ser necessariamente do mesmo grau.


54

Exemplos: 1) Dado os poliômios P(x) = x3+ 3x2 – 7x + 8 e Q(x) = 2x3 – x2 + 6x – 7, determine 2P(x)+3Q(x) 2) Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações: ( ) Se P(x) e Q(x) são polinômios de mesmo grau 5, então P(x) + Q(x) tem sempre grau 5. ( ) Se P(x) e Q(x) são polinômios de mesmo grau 3, então P(x) – Q(x) tem sempre grau 3 ( ) Se P(x) tem grau 5 e Q(x) tem grau 3, então P(x) + Q(x) tem grau 5 6.6 – Multiplicação de Polinômios: O produto dos polinômios P(x) e Q(x) é o polinômio P(x).Q(x), obtido multiplicando-se cada termo de P(x) por todos os termos de Q(x) e efetuando a redução dos termos semelhantes. Exemplos: 1) Se P(x) = x3 + x2 + x + 1 e Q(x) = x – 1, então P(x).Q(x) = 2) Dados P(x)= x2 – x + 1 e Q(x) = ax + b, determine a e b para que P(x).Q(x)≡2x3-x2 +x+1 3) Dados P(x) = x3 – 1 e Q(x) = ax2 + b, determinar a e b, sendo P(0).Q(0) = 3 e Q(1) = 5.


55

6.7 – Divisão de Polinômios: Dados os polinômios A(x) e B(x), não identicamente nulos, dividir A(x) por B(x) é obter os polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições: A(x) | B(x) . R(x) Q(x) A(x) ≡ B(x).Q(x) + R(x) e R(x) ≡ 0 ou gr(R) < gr(B) Observações:

A(x) é o dividendo B(x) é o divisor Q(x) é o quociente R(x) é o resto

Quando R(x) = 0, dizemos que A(x) é divisível por B(x), ou que a divisão é exata Temos sempre gr(Q) = gr(A) – gr(B)

Exemplo: Usando o Método da Chave, determine o quociente e o resto da divisão de A(x) =x3 + 3x2 + 4 por B(x) = x2 + 1 6.7.1 – Método dos Coeficientes a Determinar – Método de Descartes Já vimos que, na divisão A(x) por B(x):

A(x) | B(x) . R(x) Q(x)

Temos: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=+≡

)()()()()()()().()(

BgrRgrBgrAgrQgr

xRxQxBxA

Essas relações podem ser usadas como recursos para determinar os coeficientes de um polinômio em uma divisão. Exemplos: 1) Determinar o quociente e o resto da divisão de A(x)=x3 + 2x2 – 3x + 2 por B(x)=x2 + x + 1 Temos: O quociente é um polinômio do primeiro grau, pois: gr(Q) = gr(A) – gr(B) = _________________________________ Logo: Q(x) = _______________________________________________ Como gr(R) < gr(B), sendo o divisor B(x) = x2 + x + 1, então gr(B) = ______ e gr(R)<____, isto é, o resto tem, no máximo, grau __________: R(x) = __________________________ Como A(x) ≡ B(x).Q(x) + R(x), podemos escrever: Comparando ambos os membros, temos: Logo:


56

Q(x) = ______________________________________ e R(x) = ______________________ 2) Determinar k, de modo que x3 + kx + 3 seja divisível por x – 1 3) Determinar k e m de modo que x4 + 3x3 + mx2 + x + k seja divisível por x2 + 3x 6.7.2 – Divisão de Polinômio por Binômios do 1o Grau: 6.7.2.1 – Teorema do Resto: O resto da divisão de P(x) por (x – a) é P(a): P(x) = (x – a).Q(x) + R Fazendo x = a, vem: P(a) = (a – a). Q(a) + R

P(a) ≡ R

6.7.2.2 – Teorema de D’Alembert Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se, e somente se, P(a) = 0 P(x) = (x – a).Q(x) + 0 Fazendo x = a, vem: P(a) = (a – a). Q(a) + o P(a) = 0 Exemplos: 1) Determinar k, de modo que o resto da divisão de P(x) = x3 + 3x2 – kx + 4 por x – 2 seja 10.


57

2) Calcular a e b, de modo que os polinômios P(x) = x2 + ax – 3b e Q(x) = - x3 + 2ax – b sejam divisíveis por x – 1 6.7.2.3 – Divisão de P(x) por (ax + b), a ≠ 0 Temos: P(x) | ax + b R Q(x) Como ax + b é de grau 1, R é de grau 0, e, portanto, uma constante.

Fazendo abx −= em P(x) ≡ (ax + b).Q(x) + R, vem:

RabQb

aba

abP +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−≡⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

RabP ≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

Logo, o resto da divisão de P(x) por (ax + b) é ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−≡

abPR

Exemplo: Determinar k, de modo que P(x) = x3 + x2 + kx – 2 seja divisível por 2x + 1


58

AULA 07 – EXERCÍCIOS 1) Calcule m ∈ R de modo que o polinômio P(x)=(m3 – 1)x4 + (m2 – 1)x2 + 5x – 7 seja do 1o grau em relação a x. 2) Determine m ∈ R, para que o polinômio P(x)=(m2 – 16)x2 + (m + 4)x + 4 seja de grau 2. 3) Calcule os valores de m, n e l para os quais P(x)=(2m- 1)x3 – (5n -2)x2 + (3 – 2l) seja identicamente nulo. 4) Dados A(x) = (a + 1)x2 + (b – 1)x + c e B(x) = ax2 + bx – 3c, calcule a, b e c para que A(x) + B(x) ≡ 0 5) Determine os valores de m, n e p, de modo que sejam idênticos os polinômios: P1(x) = (m + n + p)x4 – (p + 1)x3 + mx2 + (n – p)x + n e P2(x) = 2mx3 + (2p + 7)x2 + 5mx + 2m. 6) Determine os valores de a, b, c e d para que o polinômio a(x – c)3 + b(x + d) seja idêntico ao polinômio x3 + 6x2 + 15x + 14. 7) Dado o polinômio P(x)=4x3 – x2 + x – 1, calcule:

a) )2(P

b) )0(

)1()1(P

PP −−

c)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

212

)0(31

P

PP

8) Ache o polinômio P(x) do segundo grau em x, sabendo que admite 2 como raiz e P(1) = - 2 e P(3) = 4 9) Se P(x) = x6 – 12x5 – 45x4 + 2x3 -32x2 + 31x – 18, então P(15) é igual a : 10) Dados os polinômios P1(x) = 2x3 + mx2 + nx + 3 e P2(x) = x2 + x – 3, se P1(x) é divisível por P2(x), então m – n é igual a: 11) Dividindo um polinômio P(x) por (x – 3), resulta um resto – 7 e um quociente de x – 4. Qual é P(x)? 12) A divisão do polinômio P(x) por x – a fornece quociente Q(x) = x3 + x2 + x + 1 e resto P(a) = 1. Sabendo-se que P(0) = - 15, o valor de a é: 13) Dados os polinômios P(x) = (m – 3)x3 + 3x – 2m e Q(x) = (m – 1)x3 + (m – 2)x2 + (2m – 3)x, determine P(x).Q(x) de modo que gr(P + Q) = 1. 14) Sabendo-se que

43105

14 2 −++

=−

++ xx

xx

Bx

A, calcular A e B.

15) Se 64242

12 +

+−

≡−+

+x

Bx

Axx

x, então

2A + B é igual a: 16) Efetue a decomposição da fração, em soma de frações com denominadores do 1o grau.

a) 65

132 +−

+xx

x

b) xxx

xx234169

23

2

+−+−

17) Um polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c que satisfaz as condições: P(1) = 0; P(-x) + P(x) = 0, qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2)? 18) O resto da divisão do polinômio P(x) = x243 + x81 + x27 + x9 + x3 + x, por x – 1 é: RESPOSTAS: 1) m = 1 2) m ≠ ± 4

3) 52;

21

== nm e 23

=l

4) 21;

21

=−= ba e c = 0

5) m = 1; n = 2 e p = - 3 6) a = 1, b = 3, c = - 2 e d = 2

7) a) 329 − b) - 10

c) 27

140

8) P(x) = x2 – x – 2 9) – 3 10) 8 11) x2 – 7x + 5 12) 16 13) – x6 + 2x4 – 4x3 + 3x2 – 4x 14) A = 2 e B = 3

15) 23

16) 3

102

7)−

+−−

xxa

2

41

32)−

+−

+xxx

b

17) P(2) = 6 18) 6


59

AULA 08

6.7.2.4 – Dispositivo Prático de Briot-Ruffini: O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é utilizado para determinar o quociente e o resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x – a) Exemplos: 1) Obter o quociente e o resto da divisão de P(x) = 3x5 + 4x4 + 3x3 – 7x2 – 2x + 3 por (x– 1) Q(x)=________________________________ e R(x)=________________________________ 2) Determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) = 2x4 + 5x3 – 2x – 5 por (x + 3). Obs.: Quando escrever os coeficientes de P(x), não esquecer dos coeficiente nulos. Q(x) =_______________________________ e R(x) =________________________________ 3) Dividir P(x) = - 2x3 – x2 + 12x – 4 por (2x – 3) Q(x) =_______________________________ e R(x) = _______________________________

R(x) repetir o primeiro coeficiente

valor de a Coeficiente de P(x)


60

6.8 – Equações Polinomiais: Equação polinomial ou algébrica é toda equação redutível a forma:

0... 012

21

1 =+++++ −− axaxaxaxa n

nn

n

Chamamos de zero ou raiz de uma equação polinomial P(x) = 0 todo o número α , tal que P(α )=0 6.8.1 – Decomposição de um polinômio em fatores do 1o grau: Se P(x) = 0 é de grau n (n≥1) e tem raízes nααα ,...,, 21 , então P(x) pode ser

decomposto em n fatores do 1o grau, sendo an (an≠ a1) o fator em evidência:

))...()((... 21012

21

1 nnn

nn

n xxxaaxaxaxaxa ααα −−−≡+++++ −−

6.8.2 – Raízes Múltiplas: As raízes de uma equação algébrica podem ser todas distintas ou não. Se uma equação algébrica tiver duas raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 2, isto é, será uma raiz dupla; se tiver três raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 3, isto é, será uma raiz tripla e assim sucessivamente. Se o número α for uma só vez raiz de uma equação algébrica ele será chamado raiz simples ou raiz de multiplicidade 1. Exemplos: 1) Determinar a multiplicidade das raízes 1, 2 e – 3 na equação x6 -4x5 -2x4 +32x3 -59x2 + 44x – 12 = 0 2) Mostrar que 1 é raiz de multiplicidade 3 da equação x4 – 5x3 + 0x2 – 7x + 2 = 0


61

6.8.3 – Teorema das Raízes Racionais: Dada a equação polinomial com coeficientes inteiros

0... 012

21

1 =+++++ −− axaxaxaxa n

nn

n se o número racional qp (com p ∈Z e q ∈Z*, p e q primos

entre si), então p é diviso r de a0 e q é divisor de an Exemplos: 1) Resolver a equação x3 + 4x2 + x – 6 = 0 Na equação, temos: an = _______ e a0 = __________ Se p, é divisor de a0, então p ∈ {________________________________________} Se q, é divisor de an, então q ∈ {________________________________________}

Os possíveis valores das raízes racionais são dados pela razão qp

, logo:

∈qp

{______________________________________________________________}

Se existirem raízes racionais na equação dada, elas pertencem ao conjunto acima. 2) Resolver a equação x3 + 3x2 – 4 = 0


62

3) Resolver a equação 2x4 – 5x3 – 4x2 + 15x – 6 = 0 AULA 08 – EXERCÍCIOS 1) Dados os polinômios A(x) = 2x3 + x2 – 10x + 5, B(x) = x3 – 4x + 4, C(x) = x – 3 e D(x) = x – 2, determine o valor de: [ ]

)()()(2)(

xCxDxbxA −

2) Determine o valor de a para que o resto da divisão do polinômio P(x)=ax3-2x+1 por (x- 3) seja 4. 3) Qual é o número real que se deve adicionar a P(x)= x3 – 2x2 + x, para se obter um polinômio divisível por x – 3? 4) Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule o quociente e o resto da divisão de: a) P(x)=x4–5x3 + 2x2 + 3x – 1 por (x-2) b) P(x) = 2x3 – x2 – 1 por (x – 1) c) P(x) = 5x2 – 3x + 2 por (x + 3) d) P(x) = 4x5 – 5x4 + 1 por (x – 1) e) P(x) = 2x3 – 3x2 + x + 2 por (2x – 1) f) P(x) = x2 – 2x + 1 por (2x – 3) 5) No esquema abaixo, foi aplicado o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule P(x): 6) Resolver as equações algébricas abaixo: a) x3 + 2x2 – 13x + 10 = 0 b) x4 – 7x3 + 13x2 + 3x – 18 = 0 c) x4 – 5x2 + 4 = 0 d) 2x3 – x2 – 2x + 1 = 0 e) 3x3 – 13x2 + 13x – 3 = 0 f) x(x – 4)2 + 10x(x – 2) – 8 = 0

g) xxxxx=

−−482

2

2

h) x6 – 6x5 + 11x4 – 6x3 = 0

7) Determine todas as raízes da equação P(x) = 0, sendo P(x) = 9x3 – 36x2 + 29x – 6. Sabe-se que é divisível por (x – 3). 8) Uma raiz da equação x3 – 4x2 + x + 6 = 0 é igual a soma das outras duas. As raízes dessa equação são: 9) Determine o produto das raízes da equação x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 Respostas: 1) x2 – x - 2

2) 31

3) – 12 4) a) Q(x)= x3-3x2-4x-5 e R(x)= - 11 b) Q(x)=2x2 + x + 1 e R(x) = 0 c) Q(x)= 5x – 18 e R(x) = 56 d) Q(x)= 4x4 – x3 – x2 – x – 1 e R(x) = 0 e) Q(x)= 2x2 – 2x e R(x) = 2

f) Q(x) = 21

−x e R(x) = 41

5) P(x) = 2x4 – 7x3 + 4x2 – 5x + 7 6) a) {-5; 1; 2} b) {-1,; 2; 3} c) {-2; -1; 1; 2} d) {-1; ½; 1} e) {1/3; 1; 3} f) {-2; 2} g) {2} h) {0; 1; 2; 3}

7) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ 3;

32;

31

8){2, 3, -1} 9) S = 6 e P = 6

3 a b c d e 2 -1 1 -2 1


63

AULA 09

7 - Matrizes

7.1 – Definição: São números dispostos em linhas (filas horizontais) e colunas (filas verticais), formando

uma tabela. Matriz mxn é uma tabela de m.n números reais dispostos em m linhas (filas

horizontais) e n colunas (filas verticais). Gastos de uma família (aproximadamente) - Renda Familiar R$

Descrição Outubro Novembro Dezembro Média

Supermercado 350 360 640 450 Saúde 80 40 12 44 Transporte 200 244 300 248 Vestiário 50 60 400 170 Higiene Pessoal 40 50 30 40 Lazer 20 60 10 30 Poupança 120 30 0 50 Totais 860 844 1392 1032

A tabela que você acabou de ver, podemos transformá-la numa matriz: onde os

nomes supermercado, saúde, transporte, vestiário, higiene pessoal, lazer e poupança são as linhas (7) e outubro, novembro, dezembro e Média são as colunas (4). Assim você terá a

matriz

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

74737271

64636261

54535251

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

, de ordem 7x4, que forma uma matriz com 28 elementos. Veja

também: a32=244, isso significa que 244 está ocupando a posição na 3ª. Linha e 2ª. coluna ; a44=170, podemos dizer que 170 está na 4ª. Linha e 4ª. Coluna, etc.

7.2 - Notação de uma matriz

1. Uma matriz de ordem 2x3: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

232221

131211

aaaaaa

B .

Exemplo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= 615

2034

D é uma matriz 2x3, com 6 elementos, onde a11=4, a12=-3, a21=2/5,

a13=0, a22=1, a23=6.


64

2. Uma matriz genérica de ordem nxn:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaaa

A

..................

...

...

...

321

3333231

22322`21`

1131211

A matriz A também pode ser indicada por mxnij )a(A

Exemplo: Escreva a matriz 3x2ij )a(A tal que aij = 2i + j .

7.3 - Algumas matrizes especiais • Matriz Retangular: é a matriz onde m ≠ n. • Matriz Coluna: é toda matriz do tipo mx1.

Exemplo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=3

10M , matriz de ordem 2x1, isto é, 2 linhas e uma coluna.

• Matriz Linha: é toda matriz do tipo 1xn. Exemplo: ( )8103=C , matriz de ordem 1x4, isto é, uma linha e 4 colunas. • Matriz Quadrada:

Uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. Assim, uma matriz quadrada nxn é chamada de: matriz quadrada de ordem n

Diagonal Principal: seja a matriz quadrada )a(A ij de ordem n.

Os elementos aij com i = j, constituem a diagonal principal. Diagonal Secundária - seja a matriz quadrada )a(A ij de ordem n.

Os elementos aij em que i + j = n + 1, constituem a diagonal secundária.


65

Exemplo:

1. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2071

A é uma matriz quadrada de ordem 2x2;

2. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

308529104

B é uma matriz quadrada de ordem 3x3.

• Matriz Diagonal É a matriz quadrada )a(A ij que tem os elementos aij = 0 quando i # j, ou seja, onde os

elementos fora da diagonal principal são nulos. Exemplos:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

800070002

A ;

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

=

10000030000400009

B e ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000000000

C

• Matriz Escalar: A matriz diagonal que tem os elementos aij iguais entre si para i = j é uma matriz escalar. • Matriz Identidade: Matriz identidade ou matriz unidade é toda matriz quadrada de ordem n (indicada por In ) onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais, iguais a zero. Exemplos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1001

2I , matriz identidade de ordem 2;

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100010001

3I , matriz identidade de ordem 3;

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1000010000100001

4I , matriz identidade de ordem 4, e etc

• Matriz Zero ou Nula: Uma matriz zero é a matriz cujos elementos aij são todos nulos. Exemplos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0000

A e ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000000000

B , etc.

• Matrizes Iguais Duas matrizes A e B são iguais, se e somente se, os elementos da mesma posição são iguais, ou seja, os elementos correspondentes são iguais. Exemplo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3015

D e ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3015

E logo D=E.


66

• Matrizes Opostas: Dada uma matriz A, chamamos de matriz oposta de A (indicamos por ��A) a matriz que é obtida invertendo-se o sinal de cada um de seus elementos. Exemplo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

1307

A a sua oposta é: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=−13

07A

• Matriz Transposta: Dada uma matriz A de ordem m �n , denominamos transposta de A (indicamos por At ) a matriz de ordem n x m obtida trocando-se ordenadamente as linhas de A pelas coluna de A. Exemplo:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

0110864752

A a sua transposta é ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

087165

1042tA .

Diz-se que uma matriz A de ordem n é matriz simétrica, se ela é igual a sua transposta. • Matriz Simétrica É uma matriz quadrada [ ]

nxnijaA = , diz-se simétrica quando jiij aa = para todo

i, ni ≤≤1 , para todo j, nj ≤≤1 . • Propriedades da matriz transposta

i. ( ) AA tt =

ii. ( ) ttt BABA +=+

iii. ( ) tt AA .. αα =

7.4 - Operações com matrizes: 7.4.1 - Adição e Subtração de Matrizes A soma de duas matrizes ( )ijaA = e ( )ijbB = é a matriz ( )ijij baBA +=+ , ambas do

mesmo tipo mxn . 7.4.1.1 - Propriedades:

i. A + (B + C) = (A + B) + C ii. A + 0 = 0 + A = A iii. –A + A = A – A = 0 iv. A + B = B + A

7.4.2 - Produto de uma matriz por um escalar: Dados um número real α e uma matriz A, mxn, o produto de α por A é uma matriz B, mxn, obtida multiplicando-se todos os elementos de A por α . Então: B = α A onde bij = α aij, ∀ i, i∈{1, 2,...,m) e ∀ j, j∈ {i, 2, ...,n} 7.4.2.1 - Propriedades:

i. (α β )A = α ( β A) ii. (α + β )A = α A + β A iii. α (A + B) = α A + α B iv. 1 A = A


67

7.4.3 - Produto de uma matriz por outra: Dada a matriz A = (aij)mxn e a matriz B = (bjk)nxp o produto A x B é a matriz (cik)mxp, tal que o elemento cik é calculado multiplicando-se, ordenadamente, os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna k de B e somando-se os produtos assim obtidos. Obs.: O produto de duas matrizes será compatível se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda matriz. Na matriz produto, o número de linhas é igual ao número de linhas da primeira matriz e o número de colunas é igual ao número de colunas da segunda matriz, isto é: Se A é do tipo mxn e B é do tipo nxp, então AxB é do tipo mxp.

7.4.3.1 - Propriedades:

i. A multiplicação de matrizes não é comutativa. ii. A multiplicação de matrizes é associativa: (A.B).C=A.(B.C) iii. A multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição: A.(B+C)=A.B+A.C iv. Multiplicação de um número real por uma matriz: ( ) ( )BABA .... αα =

v. Multiplicação pela matriz identidade: AAIIA nn == ..

vi. nIA =0 , se A 0≠

vii. A1=A

viii. ,.1 AAA pp =+ para p∈N ix. AP=A.A.A.….A, p fatores

x. ( ) ttt ABBA .. =

7.4.3.2 - Comutatividade de Multiplicação de duas matrizes:

Em geral a existência do produto AB não implica a existência do produto BA. Exemplo: A (3,5) X B (5,6)

Mesmo quando as multiplicações A x B e B x A são possíveis, os dois produtos são , em geral, diferentes.

Existem matrizes A e B tais que AB = BA, porém essa não é a regra. 1º Caso:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

7523

A e ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1001

I

A.I = I.A = A

2º Caso:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

27311

A e ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

11732

B

AB = BA = I


68

A matriz B é a inversa da matriz A e indicamos A -1

Assim, para saber se, dadas duas matrizes quadradas A e B, de mesma ordem, uma é inversa da outra, basta multiplicar uma pela outra e verificar se o produto é a matriz I. 7.4.3.3 - Matriz Involutiva

Uma matriz A quadrada é involutiva quando IA =2 7.4.3.4 - Matriz anti-simétrica:

É uma matriz quadrada [ ]nxnijaA = , diz-se anti-simétrica quando jiij aa −= para todo

i, ni ≤≤1 , para todo j, nj ≤≤1 .

Obs: Se A é simétrica então tAA −= ; os elementos da diagonal principal são todos nulos. 7.5 - Matriz Inversa 7.5.1 - Definição Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz quadrada B, de ordem n, diz-se uma inversa de A, se e somente se: nIABBA == .. .

A inversa de uma matriz A existe se o 0det ≠A .

7.5.2 - Propriedades

i. ( ) 111 .. −−− = ABBA

ii. ( ) ( )tt AA 11 −−=

iii. ( ) 11 .1. −− = AAα

α

iv. ( ) ( )pp AA 11 −−=

7.6 - Matriz Ortogonal:

Uma matriz M cuja inversa coincide com a transposta é denominada matriz ortogonal.

M-1 = M T , isto é, M . M T = M T . M = I Exemplo:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

21

23

23

21

M e

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

21

23

23

21

TM fazendo a multiplicação da matriz M pela sua

transposta, obtemos a matriz Identidade, portanto, M é uma matriz ortogonal. 7.7 - Matriz Triangular Superior:

A matriz quadrada [ ]ijaA = , que tem os elementos aij = 0 para i ⟩ j, é uma matriz

triangular superior. 7.8 - Matriz Triangular Inferior:

A matriz quadrada [ ]ijaA = , que tem os elementos aij = 0 para i ⟨ j, é uma matriz

triangular inferior.


69

Exemplos:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−=300750

212A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

242051003

B A é uma matriz triangular superior e B inferior.

7.9 - Potência de uma matriz: Uma matriz quadrada [ ]ijaA = , pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz

que se resulta dessas operações, e que representa por An, é chamada potência n da matriz A. 7.10 - Matriz Periódica: Dada uma matriz quadrada A, diz-se que A é uma matriz periódica se An = A, sendo n≥2. Se n é o menor inteiro para o qual An = A, diz-se que o período de A é n – 1. 7.11 - Matriz Idempotente: Dada uma matriz periódica A, tal que A2 = A, diz-se que A é uma matriz idempotente. O período da matriz idempotente é 2 – 1 = 1. 7.12 - Matriz Nihilpotente: Dada uma matriz quadrada A, se existir um número p, inteiro e positivo, tal que Ap= 0, diz-se que a é uma matriz nihilpotente. Se p é o menor inteiro positivo tal que Ap= 0, diz que A é uma matriz nihilpotente de “índice”p. Exemplos:

1) Seja

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−=

455343

112A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−=

455343

112

455343

112

455343

1122 xA A matriz A é idempotente.

2) Seja

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−=

444333

111B

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−=

000000000

444333

111

444333

1112 xB B é nihilpotente de índice 2.

3) Seja

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

312625311

C

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

311933000

312625311

312625311

2 xC

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−==

000000000

312625311

311933000

23 xxCCC C é nihilpotente de índice 3


70

AULA 09 - EXERCÍCIOS 1) Sendo as matrizes

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−+

=nmyxnmyx

A32

e ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=10168

B ,

achar os valores de x, y, m e n para que se tenha A=B.

2) Determine x e y, sabendo que as

matrizes ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

yxyx 52

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−19

são iguais.

3) Se ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−++

bayxbayx

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −3115

, determine

x, y, a e b.

4) Sendo as matrizes ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=112

52A e

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−

=152yyxyx

B , calcule x e y de

modo que tBA = . 5) Sejam as matrizes

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−+

=

1640

32324

tzyx

zyx

A e

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

=

136140

323245

B . Se tt BA = ,

determine x, y, z e t. 6) Sejam as matrizes A e B, de mesma ordem mxn. Demonstre que:

( ) ttt BABA −=− .

7) Dadas as matrizes ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

10862

A ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=0123

B e ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

4263

C , calcular:

a) CBA ++ b) CBA −− 8) Determinar x, y e z sabendo que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

3142

yx

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−13

321 z= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛42

3 z.

9) Sejam as matrizes ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

413121

A e

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=

1234

52B , o produto determine

AxB.


⎞⎜⎜⎝

⎛=

1011

A e

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1100

B , calcule as matrizes

produtos: a) A.B b) B.A c) A.B=B.A?

11) Se ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

2111

A , determine a matriz X

tal que 2. IXA = .

12) Seja a matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

114131211

A ,

determine a matriz polinomial,

IAA .5.3.2 2 ++ .

13) Dadas as matrizes ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=

4x924y

A 2 e

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

539212

B , calcular y e x de modo

que A seja igual a B.


⎤⎢⎣

⎡=

4759

A e

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

9mn4

B calcular m e n para que a

matriz B seja inversa de A. 15) Uma matriz diagonal, de ordem 2, é

involutiva. Determine-a. (Sugestão:

Faça ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ba

A0

0).

16) Determine o número b∈R, para que a

matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

bbb

A 2

23, seja simétrica.

17) Seja a matriz [ ]44xijaA = , para a qual

⎩⎨⎧

≤≤+==

4,1,0

jisejiaa

ij

ii. Determine A e

At. A é simétrica? 18) Seja a matriz A, quadrada de ordem n.

Demonstre que A+At é simétrica.


71

19) Determine os números reais a, b, c, x, y e z para que a matriz

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

−=

czybx

aA

4421

32 seja anti-

simétrica.

20 Dadas as matrizes:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

147695

832A ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=490524173

B e

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=159234387

C ,

calcule: a) A + B b) C – A c) 3A – 2B + 4C

21) Calcular o produto das matrizes:

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−=

37521648

A e

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

835122

40

B .

b)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

274453

432A e

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

zyx

X

22) Dadas as matrizes

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−=

311110

011A e

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−=

121131132

B , verificar se B é

inversa de A. 23) Calcule os valores de m e n para que

as matrizes A e B sejam iguais:

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=312

158m

nA e ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

36758

B

b) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

36440 22 nm

A e

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

361341

B

c) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 24

87x

A e ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=25104

87x

B


⎤⎢⎣

⎡−−

=614

832A ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

140975

B e ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

641890

C ,

calcular: a) A + B b) B + C c) A + C d) A – B e) A – C f) B – C g) X = 4A – 3B + 5C h) X = 2B – 3A – 6C i) X = 4C + 2A – 6B

25) Dadas as matrizes:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

9547

1321

A ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−=

38267531

B , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=5342

C e

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−−−

=

3235091431138371

D , calcular:

a) AB b) (AB)D c) A(BD) d) BA e) (BA)C f) B (AC)

26) Verifique se a matriz B é inversa de A.:

a)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=125,05,05,25,0

15,15,0A e

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−=

422202

14412B

b)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−

=244664642

A e

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−=

5,0115,15,225,125,1

B


72

27) Determine a matriz inversa da matriz

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0321

A .

28) Seja a matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0011

A . Determine

A-1, se existir. 29) Para cada matriz a seguir, determine

A-1, se existir:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3211

A

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21112

B


⎞⎜⎜⎝

⎛=

1112

A e

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4321

B . Resolva a equação

matricial BXA =. .


⎞⎜⎜⎝

⎛=

121012

A e

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

246200

B , determine as matrizes X e

Y, de ordem 2x3, tais que ⎩⎨⎧

=+=−ByxAYX2

32) Sendo ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ba

A2

1 com a+b=4, a.b=3

e ,ba < 1−= AB , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yx

X e

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

12

C , é verdade que:

(01) detA=1

(02) B= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−1123

(04) detA.detB=1

(08) Se A.X=C, então ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

57

X

(16) Se B.X= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

, então ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

32

X

(32) det(A+5.B)t=96

Respostas: 1) x=5; y=3; m=4 e n= -2 2) 4/7 e 11/7 3) 3, 2, 1 e –2 4) 7 e 5 5) x=2, y=3, z=1 e t=4 6) (A-B)t = (A + (-B))t = At + (-1).Bt = At

– Bt .

7) a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛14922

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −65142

8) 4, -1 e 4

9) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −166

24

10) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1111

e ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2100

11)

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−31

31

31

32

12) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

281930153619161528

13) x = +/- 7 e y = 8 14) m = -7 e n = -5

15) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1001

, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1001

,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−10

01

16) 0 ou 2

17)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0765705465035430

A , sim A é uma matriz

simétrica. 18) 19) a=b=c=0; x=-1 , y=0 e z=3

20) a)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−

31371119

9101b)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

29281295115

c)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

7265720119

343740


73

21) a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −7625

, b)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+++

zyxzyxzyx

274453432

22) Sim. 23)

a) m = -6 e n = 5 b) m = +/- 9 e n = +/-3 c) x = 5

24) Verificar se houver dúvidas. 25) Verificar se houver dúvidas. 26) Se A.B = I, é inversa, caso contrário,

não é inversa.

27) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− 61

21

310

28) Não existe, pois a matriz é singular.

29) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−

12131A , B-1 não existe.

30) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

6522

X

31) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

1231

32

31

32

X

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−=

12311

34

31

32

Y

32) V, F,V,V,F,V, total: 45


74

AULA 10

8 – Determinantes

8.1 – Noção: Determinante de uma matriz quadrada M é um número associado a esta matriz, obtido seguindo-se regras previamente estabelecidas. 8.2 – Notação:

Representa-se o determinante de uma matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

M por

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

detaaaaaaaaa

ou

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

ou ainda det M.

8.3 – Cálculo de um Determinante: Neste estudo o determinante será calculado através de regra prática. Para o cálculo do determinante de uma matriz M de ordem n, temos:

a) Se M for de ordem 1, ou seja, M = (a11), então det M = |a11| = a11 Exemplo: M = [-5], então det M = | -5| = -5

b) Se M for de ordem 2, ou seja, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

aaaa

M , então det M = a11.a22 - a12, a21

(produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária)

Exemplo:

234525432

det5432

−=⋅−⋅==⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= MM

c) Se M for de ordem 3, calcula-se o determinante de terceira ordem através da regra de Sarrus, que consiste em:

1) Repetir as duas primeira colunas à direita da matriz ou as duas primeiras linhas abaixo da matriz;

2) Multiplicar os elementos da diagonal principal e os que aparecem dispostos paralelamente em grupos de 3;

3) Multiplicar os elementos da diagonal secundária e os que aparecem dispostos paralelamente em grupos de 3;

4) Determinar a diferença da soma dos produtos do item (2) pela soma dos produtos do intem (3).

Então, para:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

M , temos det M =

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aaaaaa

aaaaaaaaa

=

= a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – - a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33


75

Exemplo:

Calcular o determinante da matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

353642101

M

8.4 – Abaixamento da ordem de uma matriz quadrada: 8.4.1 – Menor Complementar Menor complementar de um elemento aij da matriz M, é o determinante que se obtém de M eliminando a linha e a coluna que contém o elemento aij. Representa-se por: Dij. Exemplo: Determine o Menor Complementar, D22, D23 e D12 da matriz m, sendo:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

534213421

M

Então: D32 = =−2341

2 + 12 = 14

D23 = =3421

3 – 8 = - 5

D12 = =5423

15 – 8 = 7

8.4.2 – Complemento Algébrico ou Cofator: Complemento algébrico ou Cofator de um elemento aij, é o número que se obtém multiplicando-se o menor complementar pelo fator (- 1)i + j

ijji

ij DC ⋅−= +)1(

Então,para:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

M , o cofator C23,, será: 3231

12113223 )1(

aaaa

C ⋅−= +


76

Exemplo: Determine o Complemento Algébrio, C23, C31 e C12 da matriz M, sendo:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

312523321

M

Então: C23 = (-1)2 + 3. =1221

-1(1 – 4) = 3

C31 = (-1)3 + 1. =−1223

1.(3 + 4) = 7

C12 = (-1)1 + 2 . =− 3253

-1.(-9 -10) = 19

8.5 – Regra de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada M é igual á soma dos produtos dos elementos de qualquer linha ou coluna pelos seus respectivos cofatores. Exemplos: 1) Desenvolva o determinante da matriz M, aplicando a regra de Laplace à primeira coluna, sendo:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

M

Então:

Det M = a11.(-1)1+1.3332

2322

aaaa

+ a21.(-1)2+1.3332

1312

aaaa

+ a31.(-1)3+1.2322

1312

aaaa

2) Calcular o determinante da matriz M, aplicando a regra de Laplace à segunda coluna, sendo:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

1203143532040321

M


77

8.6 – Propriedades dos Determinantes: O determinante de uma matriz A não se altera quando se trocam as linhas pelas

colunas; isto é, det M = det Mt Exemplo:

293572

−= 293752

−=

Se a matriz A possui uma linha (ou coluna) constituída de elementos todos nulos, o determinante é nulo.

Se a matriz A tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, o determinante é nulo. Se na matriz A duas linhas (ou colunas) tem seus elementos correspondentes

proporcionais, o determinante é nulo. O determinante de uma matriz triangular A (superior ou inferior), é igual ao produto

dos elementos da diagonal principal. Exemplo:

122116

2000310053107456

det == xxxA =

Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) da matriz A, o determinante muda de sinal, isto é, fica multiplicado por –1. Exemplo:

81240200531

det −==A 8200

1240531

det ==A

Quando se multiplicam por um número real todos os elementos de uma linha (ou uma coluna) da matriz A, o determinante fica multiplicado por esse número.

8200

1240531

det ==A .

Dividindo a segunda linha por 4, temos:

2200620531

det 1 ==A , o resultado do determinante também fica dividido por 4.

824200620531

4det === xxA

Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha

(coluna) da matriz A os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número real diferente de zero. Exemplo:

34975

12104421

det −==A , se multiplicarmos a 1ªL por –4 e somar com a 2ªL,

temos:

34975420

421det −=−=A , o determinante de A continua o mesmo.


78

8.7 – Regra de Chio: A Regra de Chio consiste em eliminar as filas que se interceptam no elemento aij = 1, caso exista, e:

a) Fazemos a diferença de cada elemento restante na matriz pelo produto dos elementos que se encontram nas “extremidades das perpendiculares” traçadas do elemento considerado à linha e coluna elimidadas; b) Obteremos assim uma nova matriz cujo determinante, multiplicado por (-1)i+j, é igual ao da matriz inicial.

Exemplo: Calcule, aplicando a regra de Chio, o determinante:

D =

10153692241

= (-1)1+161012154689−−−−

= 24321

−=

8.8 – Processo de Triangulação: Se M é uma matriz “Triangular”, isto é, quando todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, e das propriedades sabemos que um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha (coluna) da matriz A os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número real diferente de zero. Então, podemos deixar a matriz de forma “Triangular” Exemplo:

1)

127895642

det =A resposta: - 128


79

1322141321012132

det

−−−−−−

−−−−−−

=A resposta: - 55


80

8.9 – Matriz Inversa - Complementos 8.9.1 - Matriz Singular: Uma matriz quadrada A = [aij] cujo determinante é nulo, é uma matriz singular. A matriz singular não tem inversa. 8.9.2 - Matriz Não-Singular: Uma matriz quadrada A = [aij] cujo determinante é diferente de zero, é uma matriz não-singular ou regular. A matriz não-singular ou regular sempre tem inversa. 8.9.3 - Propriedades da Matriz Inversa:

i. Se a matriz A admite inversa (det A ≠ 0), esta é única. ii. Se a matriz A é não-singular, sua inversa A-1 também é. A matriz inversa de A-1 é A. iii. A matriz A é não-singular, sua transposta At também é. A matriz inversa de At é (A-1)T. iv. Se as matrizes A e B são não-singulares e de mesma ordem, o produto AB é uma matriz não-singular. A matriz inversa de AB é a matriz B-1 A-1.

8.9.4 - Operações elementares:

i. Permutação de duas linhas (ou de duas colunas) ii. Multiplicação de todos os elementos de uma linha (ou coluna) por um número real diferente de zero. iii. Substituição dos elementos de uma linha (coluna) pela soma deles com os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número real diferente de zero.

Exemplos:

1) Encontrar a matriz inversa A-1 da matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=4120

A .

Solução:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 10

01.

4120

dcba

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−++

1001

.4.14.1.202.0

dbcadbca

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+− 10

01.4.1.4.1

.22dbca

dc

resolvendo os sistemas: ⎩⎨⎧

=+−=

0412

cac e

⎩⎨⎧

=+−=

1402

dbd

,

encontramos a matriz inversa ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=−

02/1121A .

2) Determinação da matriz inversa usando o determinante e a matriz transposta dos cofatores:

Encontrar a matriz inversa A-1 da matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=4120

A .

Solução: a) Cálculo do determinante de A: detA= 0.4-2.(-1)=2 b) Determinação da matriz dos cofatores da matriz A:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=−=−−=−=

0214

0.12.11.14.1

422

321

312

211

aaaa

c) Dividir todos os elementos da matriz transposta formada pelos cofatores pelo detA:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −2/02/12/22/4

d) Matriz inversa de A é: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=−

02/1121A


81

3) Usando o escalonamento: coloca-se à direita da matriz dada, a matriz identidade; faz-se o escalonamento de modo que a matriz identidade passe a ocupar a posição da matriz dada. A posição da matriz A será ocupada pela matriz identidade e na posição da matriz identidade encontraremos a matriz inversa. Exemplo:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

352224312

A


82

Aula 10 - Exercícios 1) Resolva as equações:

a) 60123312

132=

−+− xxx

b) 121311523=x

x

c) 81221

23=

−−

xxx

d) 56513431122=

++−

xxx

2) Encontrar a matriz inversa da matriz, usando a matriz transposta dos cofatores .

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4221

A

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

6024

B

3) Determinar a matriz inversa das matrizes: (usar o escalonamento)

a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

435231712

A

b) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

063102201

B

4) Determine a matriz inversa das matrizes:

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

35712

A

b)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−=

121131132

B

c)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

211332142213

2012

C

d)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−=152224

132D

Respostas: 1) a) x = 10 b) x = 2 ou 3 c) x = 4 d) x = 8 2) a) A-1 não existe! Det A = 0

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

6/1012/14/11B

3) a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−=−

66/566/166/1222/122/911/166/1966/1766/6

1A

b) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=−

05/15/26/115/110/1

05/25/11B

4) a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

125731A

b)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−=−

311110

0111B

c)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=−

2101101002212011

1C

d) =−1D não existe! Just. det D = 0.


83

AULA 11

9 – Sistemas Lineares 9.1 – Equações Lineares: Entendemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, ... , xn , como sendo a equação da forma a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b , onde a1, a2, a3, ... an e b são números reais ou complexos. a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes e b, termo independente. Exemplos de equações lineares: 2x1 + 3x2 =7(variáveis ou incógnitas x1 e x2, coeficientes 2 e 3,e termo independente 7) 3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5) 2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17) 2x + 3y + z - 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente nulo). 9.2 - Sistemas de Equações Lineares A um conjunto de equações lineares dá o nome de sistema de equações lineares:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++++

=++++=++++=++++

mnmn3m32m21m1

3n3n333232131

2n2n323222121

1n1n313212111

b xa ... xa xa xa..................................................................................................................................

b xa ... xa xa xab xa ... xa xa xa

b xa ... xa xa xa

9.3 - Solução de um sistema linear: Os valores das variáveis que transformam simultaneamente as equações de um sistema linear em identidade, isto é, que satisfazem a todas as equações do sistema, constituem sua solução. Esses valores são denominados raízes do sistema de equações lineares. 9.4 - Sistema Compatível: Um sistema de equações lineares é compatível quando admite solução, isto é, quando tem raízes. 9.4.1 – Sistema Determinado: Um sistema compatível é determinado quando admite uma única solução. Exemplo:

⎩⎨⎧

=+=+

25431832

yxyx

, é compatível e determinado, pois tem como raízes x = 3 e y = 4.

9.4.2 – Sistema Indeterminado: Um sistema compatível é indeterminado quando admite mais de uma solução (infinitas soluções). Exemplo:

⎩⎨⎧

=+=+

2004810024

yxyx

, é compatível e indeterminado, pois admite infinitas soluções.

(25,0), (24,2), (23,4), (22,6)...


84

9.5 - Sistema Incompatível Um sistema de equações lineares é incompatível quando não admite solução. Exemplo:

⎩⎨⎧

=+=+

15931293

yxyx

, é incompatível, pois a expressão 3x + 9y não pode ser

simultaneamente igual a 12 e igual a 15 para os mesmos valores de x e y. 9.6 - Classificação:

9.7 - Sistemas Equivalentes: Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando admitem a mesma solução. Exemplo:

⎩⎨⎧

=−=+

12424263

yxyx

e ⎩⎨⎧

=−=+

62142

yxyx

são equivalentes, pois admitem a mesma solução x = 10 e y =2 9.7.1 - Operações elementares e Sistemas Equivalentes: Existe um conjunto de operações que podemos realizar entre as equações de um sistema linear para transformá-lo em um outro sistema equivalente.

i. Permuta de duas equações; ii. Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero; iii. Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada

por um número real diferente de zero. 9.8 - Sistema Linear Homogêneo: Quando num sistema de equações lineares os termos independentes são todos nulos, o sistema é chamado homogêneo.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+=−+=+−=−−

0839058304270352

zyxzyxzyxzyx

Sistema

Possível ou compatível,

Determinado: admite um única solução.

Indeterminado: admite mais de uma solução 0.x = 0

Incompatível ou Impossível: não admite solução


85

Todo sistema linear homogêneo tem pelo menos uma solução; essa solução denominada solução trivial, é, qualquer que seja o sistema, xi = 0, xi representando as variáveis e i = 1, 2, 3, ..., m. 9.9 - Solução dos sistemas de equações lineares: 9.9.1 – Regra de Cramer: Dado o sistema:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++++

=++++=++++=++++

mnmn3m32m21m1

3n3n333232131

2n2n323222121

1n1n313212111

b xa ... xa xa xa..................................................................................................................................

b xa ... xa xa xab xa ... xa xa xa

b xa ... xa xa xa

onde m é o número de equações e n o número de incógnitas. A resolução desse sistema, quando m = n, se faz através da regra prática de Cramer, que consiste em: 1o) Calcular o determinante D da matriz dos coeficientes.

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaaa

D

..................

...

...

...

321

3333231

22322`21`

1131211

=

2o) Se D ≠ 0, o sistema é determinado – admite uma única solução, dada por:

D

Dxx 1

1 = , D

Dxx 2

2 = , D

Dxx 3

3 = , . . . , D

Dxx n

n = , onde

nnnnn

n

n

n

aaab

aaabaaabaaab

Dx

..................

...

...

...

32

333323

22322`2

113121

1 = ;

nnnnn

n

n

n

aaba

aabaaabaaaba

Dx

..................

...

...

...

31

333331

223221`

113111

2 = , . . .

ou seja, Dx é o determinante que se obtém substituindo-se, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes das respectivas equações. 3o) Se D = 0 e todos os Dx forem nulos, o sistema é indeterminado. 4o) Se d = 0 e existir pelo menos um Dx ≠ 0, o sistema é impossível


86

Exemplos:

1) Resolva, pela regra de Cramer ⎩⎨⎧

−=+=−

2451223

yxyx

2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=−−=+−

423432132

zyxzyxzyx


87

9.9.2 – Resolução por escalonamento de matrizes: Método de Gauss ou Escalonamento – aplicação a forma matricial. Ele consiste em:

a) Anular os coeficientes da 1a incógnita comparando a 1a equação com as demais. b) Anular os coeficientes da 2a incógnita comparando a 2a equação com as restantes,

exceto a 1a. c) Anular os coeficientes da 3a incógnita comparando a 3a equação com as restantes,

exceto a 1a e 2a. E assim sucessivamente. Exemplos:

1) Resolva o sistema ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=++−=−−

12323

3232

zyxzyxzyx


88

2) Resolva o sistema ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=+−=−+

622623

4

zyxzyx

zyx


89

3) Resolver o sistema ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++−=−+

12392232

zyxzyx

zyx


90

4) Resolver o sitema

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=−+=+−=+

−=−+

15

03

zyxzyx

yxzyx


91


1) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=−+=−+

623622

4

zyxzyx

zyx

2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=−+=−+

0220724754

zyxzyxzyx

3) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=+

12002

tyyxtx

4) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+−=−+

0652088023

zyxzyxzyx

5)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+=−+=+−=++−

523223221

zyxzyxzyxzyx

6) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−=+

8215

yxyxyx

7) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−+=−=++

12322

zyxyxzyx

8)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+−−=+−=++=+++

3362

120

tyxtzytyxtzyx

9) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++=+−=++

24352

0

zyxzyx

zyx

10)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=+−=−+=+−

0650430202

zyxzyxzyxzyx

11)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−+=+−

=+−=−+

135

03

zyxzyx

yxzyx

Respostas:

1) {3; 2; 1}

2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −− 12;

332;

3100

3) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

52;

51;

51

4) indeterminado 5) impossível 6) {3;2} 7) {1;-1;2} 8) {2; -1; 1; -2} 9) impossível 10) {0; 0; 0} 11) {1; -1; 3}


92

AULA 12

10 - LIMITES

10.1 - Noção Intuitiva: Seja a função f(x)= 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela sua esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y.

x y = 2x + 1 x y = 2x + 1 1,01 0,6 1,02 0,7 1,03 0,9 1,04 0,95 1,1 0,98 1,2 0,99

Notamos que a medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de ______, ou seja, quando x tende para 1 (x→1), y tende para _____ (y→_____), ou seja: 3)12(lim 1 =+→ xx

De forma geral, escrevemos:

bxfax =→ )(lim

10.1.1 - Propriedades:

1. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax →→→ ±=±

2. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax →→→ ⋅=⋅

3. )(lim)(lim

)()(lim

xgxf

xgxf

ax

axax

→

→→ =

4. ( ) *0 ,)(lim)(lim Nnxfxf n

axn

ax ∈= →→

5. *,)(lim)(lim Nnxfxf nax

nax ∈= →→

6. ( ))(lim))((lim xfsenxfsen axax →→ =

Exemplos:

1) =+→ )3(lim 321 xxx

2) =→ )cos(lim 3 xxx π

3) =+→ 10

coslim 20 xx

x


93

4) =+→22

1 )3(lim xx

5) =−+→ 1lim 232 xxx

6) =+→ )3(lim 2

1 xxsenx

7) =−+→ )432(lim 2

2 xxx

8) =−−

→ 24lim

2

2 xx

x

9) =−+−

→ 934lim 2

2

3 xxx

x

10) =−

+−→ 1

45lim2

1 xxx

x

11) =−+−

→ 123lim 2

3

1 xxx

x

12) =−+

→ xx

x33lim 0

13) =++−→ )43(lim 31 xxx

14) =+→ )(coslim 0 senxxx

15) =−−

→ 48lim 2

3

2 xx

x


94

16) =−−

→ 11lim 1 h

hh

17) =−+

→ tt

t5325lim 0

18) =−+

→ tt

t16)4(lim

2

0

19) =−++

−→ 123lim 2

2

1 xxx

x

20) =−−+

→ xxx

x11lim 0

21) =−−

→ 11lim 5

4

1 xx

x


95

AULA 12 - EXERCÍCIOS 1) =+++→ )15(lim 23

1 xxxx

2) =+−−−→ )342(lim 231 xxxx

3) =−−−−→

)1224(lim 232 xxxx

4) =−−+

→ 545lim 2

2

2 xxx

x

5) =−+−

→ 2107lim

2

2 xxx

x

6) =+

−+−→ 3

32lim2

3 xxx

x

7) =+−+−

→ 1234lim 5

3

1 xxxx

x

8) =−−

→ 636lim

2

6 xx

x

9) =++

−→ 232lim

5

2 xx

x

10) =+−+−

−+−→ 27543610

27188lim 234

234

3 xxxxxxx

x

11) =−

−→ 42

2lim 2 xx

x

12) =−−

→ 24lim 4 x

xx

13) =−−

→ xx

x 42lim 0

14) =−+−

→ 132lim 1 x

xx

15) =−+

→ 11lim 0 x

xx

16) =−−+

→ 2321lim 4 x

xx

17) =−−−

−+−→

11532232lim

2

2

2xxxx

x

Respostas

1) 8 2) 4

3) 526 −− 4) -10 5) -3 6) -4

7) 31−

8) 12 9) 80 10) 2 11) 0 12) 4 13) 4

14) 41−

15) 2

16) 34

17) 145


96

AULA 13 10.2 - LIMITES INFINITOS: Quando os valores assumidos pela variável x são tais que |x|> N, sendo N tão grande quanto se queria, então se diz que o limite da variável x é infinito.

+∞=+∞→ xxlim ou −∞=−∞→ xxlim

10.2.1 - Igualdades Simbólicas: 10.2.1.1 – Tipo Soma:

a. (3) + ( ∞± ) = ∞± b. (+∞ ) + (+∞ ) = + ∞ c. - ∞ + (-∞ ) = - ∞ d. ∞ - ∞ = indeterminado

10.2.1.2 – Tipo Produto:

a. 5 x ( ∞± ) = ∞± b. (-5) x ( ∞± ) = ∞m c. (+∞ )x(+∞ ) = + ∞ d. (+∞ )x(-∞ ) = -∞ e. ± ∞ x 0 = indeterminado

10.2.1.3 – Tipo Quociente:

a. 0=∞c

b. ∞=∞c

c. 00=

∞

d.00

e =∞∞

indeterminado

10.2.1.4 – Tipo Potência:

a. +∞=+∞c (c>1)

b. 0=+∞c (0<c<1)

c. 00 =∞

d. 0=−∞c

e. +∞=+∞ +∞)(

f. −∞=−∞ c)( (se c for ímpar)

g. +∞=−∞ c)( (se c for par)

h. 0)( =+∞ −∞

i. 0)( =±∞ −c j. 00 = indeterminado

k. =±∞ 0)( indeterminado

l. =±∞1 indetermindado


97

Obs.: O limite de uma função polinomial quando x tende ao infinito, é o limite do termo de maior grau. Exemplos:

1) =−++∞← )13(lim 2 xxx

2) =−+

−+−+∞→ 432

1245lim 2

2

xxxxx

x

3) =+−−+

−∞→ 3543lim 2

2

xxxx

x

4) −∞→xlim =+

34

5

62

xx

5) =−+

++∞→ 132

18lim 4

4

xxxx

x

6) =−−−+++∞→ )11(lim 22 xxxxx


98

AULA 13– EXERCÍCIOS 1) =−−−+∞→ )1235(lim 23 xxxx

2) =−+−−∞→ )122(lim 245 xxxx

3) =−+−−∞→ )123(lim 24 xxx

4) =+++∞→ )853(lim 24 xxx

5) =−+−−∞→ )235(lim 3 xxx

6) =−+−+∞→ )23(lim 2 xxx

7) =−+

−+−+∞→ 3

132lim 2

23

xxxxx

x

8) =−+

−∞→ 112lim 2

2

xx

x

9) =−−∞→ 3

3lim 2xx

x

10) =−+−++−

−∞→ 3591253lim 23

23

xxxxxx

x

11) =+−−+

−∞→ 784852lim 5

23

xxxx

x

12) =+

+−−∞→ 7

125lim23

xxx

x

13) =−+++

−∞→ 33

2

)1(1limxx

xxx

14) =+

+++∞→ 1

1lim2

xxx

x

15) =+

++−∞→ 1

1lim2

xxx

x

16) =+

−−+∞→

1

532lim4

2

x

xxx

17) =+

−−−∞→

1

532lim4

2

x

xxx

18) =−+++∞→ )43(lim 2 xxxx

19) =−++−∞→ )43(lim 2 xxxx

Respostas:

1) + ∞ 2) - ∞ 3) - ∞ 4) +∞ 5) +∞ 6) -∞ 7) +∞ 8) 2 9) 0

10) 31

11) 0 12) +∞

13) 31

14) 1 15) -1 16) 2 17) 2

18) 23

19) +∞


99

AULA 14

10.3 – LIMITES TRIGONOMÉTRICOS:

1lim 0 =→ xsenx

x

Demonstrando o limite fundamental por tabela temos que:

Usando valores de x→ 0 em radianos, obtemos valores iguais ou muito próximos.

Exemplos:

1) =→ xxsen

x3lim 0

2) =−

→ 20cos1limx

xx

3) =→ xsenxsen

x 25lim 0

4) =++

→ xsenxsensenxxsen

x 425lim 0

5) =++

→ xsenxxsenx

x 923lim 0

x Senx

0,008 0,008

0,006 0,006

0,004 0,004

0,002 0,002

0,001 0,001


100

6) =→ xtgx

x 0lim

7) =−

→ xx

xcos1lim 0

8) =→ sennxsenmx

x 0lim


1) =→ xxsen

x 23lim 0

2) =→ xsenx

x 4lim 0

3) =→ xxtg

x 32lim 0

4) =→ xsenxsen

x 34lim 0

5) =→ xtgxtg

x 53lim 0

6) =−

→ xx

xcos1lim 0

7) =−

→ xsenxx

xcos1lim 0

8) =−

→ 20sec1limx

xx

9) =+

→ xsenxtgx

x 0lim

10) =−−

→ tgxxsenx

x 1coslim 0

11) =−

→ xsensenxtgx

x 20lim

12) =+−

→ senxxsenxx

x 0lim

13) =−

→ xsenxx

x 43cos5coslim 0

14) =−

→ senxxsenxsen

x23lim 0

15) =−+

→ xsenaaxsen

x)(lim 0

16) =−

→ 20 32cos1lim

xx

x

Respostas:

1) 3/2 2) ¼ 3) 2/3 4) 4/3 5) 3/5 6) 0 7) ½ 8) – ½ 9) 2 10) -1 11) 0 12) 0 13) 0 14) 1 15) cos a 16) 2/3


101

AULA 15

10.4 – LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS:

ex

x

x =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞→

11lim (1)

Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional e, cujo valor aproximado é 2,7182818

Nota-se que a medida que x ∞→ , x

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

11 → e

De forma análoga, efetuando a substituição yx=

1 e

yx 1=

temos:

ey yy =+→

1

0 )1(lim (2)

Ainda de forma mais geral, temos:

(3) klyl

y eky =+→ )1(lim 0

(4) kllx

x exk

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞→ 1lim

(5) ax

a x

x ln1lim 0 =−

→

(6) 11lim 0 =−

→ xe x

x

Exemplos:

1) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞→

x

x x

431lim

2) =+→x

x x3

0 )21(lim

X

x

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

11

1 2

2 2,25

3 2,3703

10 2,5937

100 2,7048

1000 2,7169

10000 2,7181

100000 2,7182


102

3) =−

→ x

x

x 213lim 0

4) =−

→ xsene x

x 21lim 0

5) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞→

x

x x

251lim

6) ( ) =+→x

x x2

0 21lim

7) =−

→ x

x

x12lim 0

8) =−→ 13lim 0 xx e

xsen

9) =−

→ xsene x

x 41lim

3

0

10) =−

→ xsen

x

x 213lim

5

0

11) =−+−−

−→ 26413loglim 2 x

xx


103


1) =−−

→24

2

2

3lim xx

x

2) =−−

→1

1

1lim xx

x e

3) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−

→

245

4

2

1limx

xx

x e

4) =++++

−→ 4523loglim 2

2

31 xxxx

x

5) =−+

−→ 21

3lnlim 3 xx

x

6) =+−

→ xxxx

x 2

3

0 loglim

7) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++∞→

x

x x

211lim

8) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∞→

311limx

x x

9) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+

+∞→

211limx

x x

10) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

+∞→

311limx

x x

11) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∞→

x

x x41lim

12) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++∞→

x

x x

321lim

13) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−∞→

x

x x

321lim

14) =+→x

x x1

0 )41(lim

15) =−→x

x x2

0 )31(lim

16) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−− +

+∞→

3

14lim

x

x xx

17) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+∞→

2

31lim 2

2 x

x xx

18) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

+∞→

x

x xx

1232lim

19) =+

→ xx

x 2)1ln(lim 0

20) =+

→ xx

x 3)21ln(lim 0

Respostas

1) 81 2) e2 3) e-12 4) -1 5) ln4 6) 0 7) e2 8) e1/3 9) e 10) e 11) e4 12) e6 13) e-6 14) e4 15) e-6 16) e-3 17) e4 18) e 19) ½ 20) 2/3


104

xa

?

y

AULA 16

10.5 – LIMITES LATERAIS: Consideramos uma função y = f(x), da qual queremos achar os limites laterais para x tendendo a a, ou seja, queremos calcular:

Limite lateral à direita ?)(lim =

−→ xfax

Limite lateral à esquerda Vejamos como proceder em cada caso:

Limite a direita (quando x→ a+) Fazemos a seguinte troca de variável: x = a + h, com h > 0 x → a, devemos ter h → 0 Exemplo: =+

+→ )43(lim 2 xx

Limite a esquerda (quando x → a-) Fazemos a seguinte troca de variável: x = a – h, com h > 0 x → a devemos ter h → 0 Exemplo: =+

−→ )43(lim 2 xx

O Limite de uma função existe quando )(lim)(lim xfxf axax +− →→ =

x

?

y

a

?)(lim =+→ xfax


105

AULA 16 – EXERCÍCIOS 1) =−−+→

)13(lim 22

xxx

2) =+−

+→ 243lim

3 xx

x

3) =−

+−−→ 13

235lim2

1 xxx

x

4) =+−+−

−→ 23105lim 2

2

3 xxxx

x

5) =−++→)31(lim

3x

x

6) =−

+→ 2lim

2 xx

x

7) =+−→)3(lim 2

2xx

x

8) =++→)3(lim 2

2xx

x

9) =−

−→ 23lim

2 xx

x

10) =−

+→ 23lim

2 xx

x

11) =−→x

x

1

02lim

12) =+→x

x

1

02lim

13) =+

−→x

x 1021

4lim

14) =+

+→x

x 1021

4lim

15) Construa os gráficos das seguintes funções e calcule os limites laterais solicitados.

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<+=>−

=1x se14x1x se 2

x se xxf

123)(

)(lim1

xf x +→

, )(lim1

xf x −→

, )(lim1

xfx→

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=<−

=2 x se1-x2x se 0

x se xxf

21)(

2

)(lim2

xf x +→

e )(lim2

xf x −→

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

=<

=

2 x se7-6xx-

2x se 1x se 1-3x-x

xf2

22)(

2

)(lim2

xf x +→

e )(lim2

xf x −→

Respostas:

1) 9 2) 1 3) 2 4) 26 5) 1 6) ∞ 7) 10 8) 10 9) -∞ 10) +∞ 11) 0 12) +∞ 13) 4 14) 0 15) a) 1 e 5 b) 1 e -3 c) 1 e 1


106

AULA 17

11 - ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS

11.1 – INTRODUÇÃO: Traçaremos com facilidade um esboço gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas horizontais e verticais do gráfico, caso elas existam.

Assíntota são as linhas horizontais e verticais que no gráfico servem para traçarmos a função, onde a função vai tender para este valor, o que encontrarmos da assíntota, porém não "toca " esta reta, pois a assintota são os limites laterais vertical e horizontal da função

11.2 – ASSÍNTOTA VERTICAL Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira:

i. ∞=+→)(lim xf

ax

ii. −∞=+→)(lim xf

ax

iii. ∞=−→)(lim xf

ax

iv. −∞=−→)(lim xf

ax

11.3 – ASSÍNTOTA HORIZONTAL Dizemos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira:

i. bxfx =+∞→ )(lim

ii. bxfx =−∞→ )(lim

Exemplos:

1) Seja a função)1(

2)(−

=x

xf . Encontre a equação assíntotas horizontais e verticais se ela

existirem.


107

2) Considere a função 2)2(43)(−

−=x

xf . Encontre a equação das assíntotas horizontais e

verticais, se ela existirem.


108

12 – FUNÇÕES CONTÍNUAS 12.1 – DEFINIÇÃO: Uma função f é contínua em um ponto a se são satisfeitas as seguintes condições:

i. ∃ )(af

ii. ∃ )(lim xfax→

iii. )()(lim afxfax =→

Exemplos: Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto indicado:

1) xxxf 352)( +−= em x = 4

2) 2

|2|)( −=

xxf em x = 2


109

3) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−=<−

=333231

)(

2

xsexxsexsex

xf em x = 3

AULA 17 – EXERCÍCIOS Escreva a equação das assíntotas das funções abaixo, faça um esboço do gráfico da função:

1) 3

5−

=x

y

2) 113

−+

=xxy

3) x

y 2=

4) 2)1(2−

=x

y

5) 2

31−

+−=x

y

Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados

6) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−−

=31

33

|3|)(

xse

xsexx

xf em x = 3

7) 39)(

2

−−

=x

xxf em x = 3

8) 53)( −= xxf em x = 2

9) ⎩⎨⎧

<−≥+−

=23215

)(2

xsexxsexx

xf em x = 2

Respostas

1) x = 3 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assintota horizontal

2) x = 1 é a equação da assíntota vertical e y = 3 é a assintota horizontal

3) x = 0 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal

4) x = 1 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal

5) x = 2 é a equação da assíntota vertical e y = - 1 é a assíntota horizontal

6) a função não é contínua 7) a função é continua 8) a função é contínua 9) a função não é contínua


110

AULA 18

13 – DERIVADAS

13.1 – INTRODUÇÃO: O Cálculo Diferencial e Integral criado por Leibniz e Newton no século XVII tornou-se logo de início um instrumento precioso e imprescindível para a solução de vários problemas relativos à Matemática e a Física. Na verdade, é indispensável para investigação não-elementar tanto nas ciências naturais como humanas. O formalismo matemático do Cálculo que à primeira vista nos parece abstrato e fora da realidade, está internamente relacionado com o raciocínio usado pelas pessoas em geral na resolução de problemas cotidianos. 13.2 – DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO: Seja f uma função representada no gráfico abaixo:

y

xx

f x( )

Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um determinado ponto, vamos supor P(x, f(x)). Sabemos que o coeficiente angular da reta nos dá a inclinação desta. Sendo assim, devemos encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em P (x, f(x)).

y

xx

f x( )


111

Seja P(x, f(x)) e Q (x + h, f(x +h)) dois pontos da função f onde h representa a diferença entre as abscissas de P e Q. É fácil determinar o coeficiente angular da reta PQ utilizando os conceitos de trigonometria no triângulo retângulo. Seja s a reta secante ao gráfico de f pelos pontos P e Q.

y

x

Q

P

x x + h

f x( )

f x+h( )

f x( )

s

R

Sabemos que o coeficiente angular mPQ da reta secante é dado pr

PRQRtgmm sPQ === α

h

xfhxfms)()( −+

= (i) inclinação da reta secante

Podemos tomar no gráfico pontos Q1, Q2, Q3, Q5,....Qn cada vez mais próximos de P, a reta s(PQ) secante a curva, tende a posição de tangência em P e o acréscimo h, tende a zero.

y

x

Q

P

x x + h

f x( )

f x+h( )

f x( )

s

RQ3

Q2

Q1

Logo:

hxfhxfm

mm

xt

sxt

)()(lim

lim

0

0

−+=

=

→

→

onde m representa o coeficiente angular da reta tangente. Esse limite quando existe é chamado Derivada de t


112

13.3 – DEFINIÇÃO: Seja uma função f: D → R, e seja D’ o conjunto de todos os valores x tal que exista f’(x). Chama-se função derivada de f a função f’ : D’ → R tal que:

xxfxxfxf x ∆

−∆+= →∆

)()(lim)(' 0

Exemplo: 1) Se f(x) = x2 determine a equação da reta tangente ao gráfico f no ponto de abscissa x = 2


113

1) Seja a função f: R → R tal que f(x) = x2. Obter a função derivada de f: 2) Utilizando a definição calcule a derivada da função f(x)=x3 13.3.1 – Outras notações para a função derivada:

y’ (lê-se: derivada de y) y’x (lê-se: derivada de y em relação a x)

dxdy

(derivada de y em relação a x)

Df (derivada de f)


114

13.4 – SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA; A questão fundamental da cinemática consiste em determinar a velocidade de um móvel em um instante qualquer quando é conhecida a equação de seu movimento ou seja, a expressão que nos dá o espaço (posição) em função do tempo, s=f(t). Quantitativamente a velocidade exprime em geral, a razão de variação do espaço em relação ao tempo. Quando esta razão é constante, temos o movimento uniforme. Ou seja, se o móvel percorre um espaço S∆ em um intervalo de tempo t∆ , a velocidade é dada pelo

quociente tSv∆∆

= , que é uma razão constante.

Quando porém, temos um movimento variado, ou seja, o móvel percorre espaços diferentes em tempos iguais, é necessário e fundamental distinguir a velocidade média da velocidade instantânea. Se um automóvel percorre 120 km em 2 horas, não podemos concluir deste fato que sua velocidade tenha sido de 60 km/h. Se durante o percurso nós ativéssemos ao velocímetro constataríamos que a velocidade apresentou variação, ora para mais, ora para menos. Portanto a velocidade de 60 km/h que obtivemos dividindo 120km pelo tempo de 2 horas gastos em percorrê-los é o que chamamos de velocidade média. A velocidade que observamos a cada instante no velocímetro do veículo denominamos velocidade instantânean. Consideremos um móvel de equação horária s = f(t) que se desloca sobre uma trajetória retilínea de origem O e que em um instante t1 ocupe uma posição S1 e num instante t2 ocupe uma posição S2.

Sabemos que o espaço percorrido pelo móvel entre uma posição e outra é 12 SSS −=∆

ou )()( 12 tftfS −=∆ e que o tempo gasto para percorrê-lo é 12 ttt −=∆ . Logo, sua velocidade média neste percurso é:

12

12

12

12 )()(tt

tftfttSS

tSVm −

−=

−−

=∆∆

=

Com a definição de velocidade média e considerando a variação do tempo tendendo a zero podemos estabelecer a equação da velocidade instantânea no instante t1, dada por:

12

120

)()(limlimtt

tftftSV t −

−=

∆∆

= →∆

Mas tttttt ∆+=⇒∆=− 1212 e considerando t1 um instante genérico t, temos

ttt ∆+=2 , logo:

ttfttfV t ∆

−∆+= →∆

)()(lim 0

que é a derivada da função f em relação a sua variável independente t, ou seja:

Se S = f(t) então S’(t) = v Raciocínio semelhante pode ser desenvolvido a partir da função velocidade do móvel, v= f(t), o que nos levará a concluir que a sua derivada nos fornecerá a aceleração do móvel em um instante qualquer, isto é: Se v = f(t) então v’(t) = a Onde a é a aceleração instantânea do móvel.

0 S2


115

13.5 – REGRAS DE DERIVAÇÃO: Esta seção contém algumas regras gerais que simplificam o trabalho de cálculo das derivadas. 1) f(x) = c f’(x) = 0

2) f(x) = xn f’(x) = n.xn-1

3) f(x) = u.v f’(x) = u’v + uv’

4) f(x) = u.v.w f’(x) = u’vw + uv’w + uvw’

5) vuxf =)( 2

'')('v

uvvuxf −=

6) f(x) = un f’(x) = n.un-1.u’

7) f(x) = au f’(x) = au.ln a.u’

8) f(x) = eu f’(x) = eu.u’

9) f(x) = ln u uuxf ')(' =

10) f(x) = log a u au

uxfln.

')(' =

11) f(x) = cos u f’(x) = - u’.sen u

12) f(x) = sen u f’(x) = u’.cos u

13) f(x) = tg u f’(x) = u’.sec2 u

14) f(x) = cotg u f’(x) = - u’.cossec2u

15) f(x) = sec u f’(x) = u’.sec u. tg u

16) f(x) = cossec u f’(x) = - u’.cossec u. cotg u

17) f(x) = uv f’(x) = v.uv-1.u’ + uv.v’.ln u

)'.ln'()(' uuvuvuxf v +=

18) f(x) = arc sen u 21

')('u

uxf−

=

19) f(x) = arc cos u 21

)('u

uxf−

−=

20) f(x) = arc tg u 21')('u

uxf+

=


116

13.5.1 – Derivada de função Algébrica:

Exemplos: 1) y = 4x2 – 2x

2) 73

57 2

−−=xy

3) 3 2xy =

4) 1

2+

=x

xy

5) )1)(32( 2xxxy +−+=

6) 52 )3( += xy

7) 21 xy −=

8) 34

2+

=x

y


117

AULA 18 – EXERCÍCIOS 1) y = 5X4 – 3X3 + 2X2 + 3X + 5 2) y = 7x4 -2x3 + 8x

3) xxxy 42

53

2 23

−+=

4) 3

7x

y =

5) 5

4x

y =

6) xxy += 2

7) 44 35 2 xxxy +−=

8) xxy 612 3 +=

9) 53

1−

=x

y

10) 7253

−+

=xxy

11) 55

322 +−

+=

xxxy

12) 223

2

2

+−+−

=xxxxy

13) y = (1 + 4x3)(1 + 2x2) 14) y = (x2 – 1)(1 – 2x)(1 – 3x2) 15) y = (2x2 – 4x + 8)8 16) y = (3a- 2bx)6

17) 3 3bxay +=

18) 3 22 )52( xy −=

19) xaxay −+= )(

20) 45 += xxy

21) 56

523 +

−=

xxy

22) 42

12 ++

+=

xxxy

23) xxy

−+

=11

24) xaxay

−+

=

Respostas: 1) y’ = 20x3 – 9x2 + 4x + 3 2) y’ = 28x3 – 6x2 + 8 3) y’ = 2x2 + 5x – 4

4) 4

21'x

y −=

5) 6

20'x

y −=

6) x

xxy2

4'2 +

=

7) 345 3

44

35

2' xxx

y +−=

8) x

xy 318' +=

9) 25309

3' 2 +−−

=xx

y

10) 2)72(31'−

−=

xy

11) 22

2

)55(2562'

+−+−−

=xx

xxy

12) 22

2

)2(42'+−−

=xx

xy

13) y’ = 40x4 + 12x2 + 4x 14) y’ = 30x4 – 12x3 – 24x2 + 8x + 2 15) y’ = (32x – 32)(2x2 – 4x + 1)7 16) y’ = -12b(3ª-2bx)5

17) 3 23

2

)('

bxabxy+

=

18) 3 2523

20'x

xy−

−=

19) xa

xay−

−=

23'

20) 452

815'++

=x

xy

21) 32

23

)56(10456'

+

++−=

xxxy

22) 32 )42(

3'++

=xx

y

23) )1(1

1'2 xx

y−−

=

24) 2)(

'xax

ay−

=


118

AULA 19

13.5.2 – Derivada de Funções Exponenciais e Logarítmicas: Exemplos:

1) xy 3= 2) xey =

3) xxey 22 += 4) axexy ⋅= 2

5) 11

+−

= x

x

eey

6) xy 3log=

7) )1(log 2 += xy a

8) xx

xx

eeeey −

−

+−

=


119


1) y = 3x 2) y = e – x

3) 8xey =

4) 12 ++= xxey

5) xxy 22

7 +=

6) x

eyx

=

7) xxy )1( +=

8) 13

)1( ++= xxy

9) xy 3ln=

10) 3log4 xy =

11) 2

2

1ln

xxy+

=

12) xxy

−+

=11ln

13) 229ln xy −=

14) xx

yln1

=

15) xey x ln=

16) 22 ln xxy =

17) xxy ln

=

Respostas: 1) 3ln3' xy =

2) xey −−='

3) 8

.8' 7 xexy =

4) )12.(' 12

+= ++ xey xx

5) )22.(7ln.7' 22

+= + xy xx

6) 2

)1('xxey

x −=

7) )1ln()1()1(' 1 ++++= − xxxxy xx

8) )1ln(.3.)1()1)(1(' 213 33

+++++= + xxxxxy xx

9) x

xy2ln3'=

10) 10ln

12'x

y =

11) )1(

2' 2xxy

+=

12) 2)1(2'x

y−

=

13) 2292'

xxy

−−

=

14) 2)ln(1ln'

xxxy −−

=

15) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

xxey x 1ln'

16) )1(ln2' 2 += xxy

17) 2

ln1'x

xy −=


120

AULA 20

13.5.3 – Derivada de Funções Trigonométricas: Exemplos: 1) y = sen 5x 2) y = 3cos 2x 3) y = tg 3x 4) y = sec 4x 5) y = tg x3 6) y = tg2 x 7) y = cotg(1 – 2x2) 8) y = x2cosx 9) y = sen2x.cosx

10) x

xy cos=

11) x

xy−

=2

arccos


121


1) y = cossec 7x 2) y = sen3x + cos2x 3) y = sen5x 4) y = 5sen3x

5) 3 3xtgy =

6) 12 += xseny

7) xxexy cos

=

8) xxy )(cos=

9) x

senxycos

=

10) 34xsenxey x +=

11) xy 3sec=

12) xesenxxy .2=

13) xarcseny 3=

14) x

arctgy 1=

15) )23( −= xarcseny

16) 22xarctgy =

17) )25( 3xarcseny −=

18) )1(cot 2xgarcy −=

19) 3sec xarcy =

20) )1sec(arccos −= xy

21) arcsenxxy += 2 22) arctgxxy .=

23) xy arccosln=

Respostas 1) y’ = -7cossec7x.cotg7x 2) y’ = 3cos3x-2sen2x 3) y’ = 5sen4x.cosx 4) y’ = 15sen2x.cosx

5) xsenx

xtgy

3.3cos3

'3

=

6) 12

12cos'++

=x

xy

7) xexxxsenxxy 2

cos)cos(' −+−=

8) )cos(ln)(cos' xtgxxxy x −=

9) xy 2sec'=

10) 212)cos(' xxsenxey x ++=

11) xtgxx

y .sec2

3' 3=

12) y’ = xex(2senx+xcosx+xsenx)

13) 291

3'x

y−

=

14) 1

1' 2 +−

=x

y

15) 3129

3'2 −+−

=xx

y

16) 4414'

xxy

+=

17) 24204

6'36

2

−+−

−=

xxxy

18) 42222'

xxxy+−

=

19) 1

3'6 −

=xx

y

20) xxx

y2)1(

1'2 −−

−=

21) 21

12'x

xy−

+=

22) 21'

xxarctgxy+

+=

23) 21.arccos

1'xx

y−

−=


122

AULA 21

13.6 – DERIVADAS SUCESSIVAS Seja f uma função contínua em um intervalo I e derivável em um intervalo A ⊂ I. Vimos que a derivada de f em A denotamos por f’ . Se f’ é derivável em um intervalo B, B ⊂ A, a esta derivada de f’ denotamos por f” denominamos derivada segunda de f. Procedendo de maneira análoga, definimos as derivadas terceiras, quarta,...,enésimas. Exemplo: 1) Obtenha até a derivada de 5a ordem da função f(x) = 5x5 – 3x3

2) Dada a função f(x) = x4 – 2x3 + 4x2 – 1, pede-se calcular f”(-1) e f(6)(15)

13.7 – REGRAS DE L’HOSPITAL

Agora apresentaremos um método geral para levantar indeterminações do tipo 00

ou

∞∞

. Esse método é dado pelas regras de L’Hospital.

Regras de L’Hospital:Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I. Suponhamos que g’(x) ≠ 0 para todo x ≠ a em I.

i). Se 0)(lim)(lim == →→ xgxf axax e Lxgxf

ax =→ )(')('lim então:

Lxgxf

xgxf

axax == →→ )(')('lim

0()(lim


123

ii). Se ∞== →→ )(lim)(lim xgxf axax e Lxgxf

ax =→ )(')('lim então:

Lxgxf

xgxf

axax == →→ )(')('lim

)()(lim

Obs.: A regra de L’Hospital continua válida se +∞=→ )(')('lim

xgxf

ax ou

−∞=→ )(')('lim

xgxf

ax . Ela também é válida para os limites laterais e para os limites no infinito.

Exemplos: Determinar

1) 1

2lim 0 −→ xx ex

2) x

senxx 0lim →

3) x

xx

cos1lim 0−

→

4) 42lim 4 −

−→ x

xx

5) 236lim 2

2

2 +−−+

→ xxxx

x


124


1) 11lim

2

1 −−

→ xx

x

2) 1

23lim 23

3

1 +−−+−

→ xxxxx

x

3) xx ex3

lim ∞→

4) 1

lnlim 1 −→ xx

x

5) 20 3lim

xsenxx

x−

→

6) 321lim

xex x

x

−

+∞→−−

7) 3

lim3

3 −−

→ xee x

x

8) senxx

xtgxx −

−→0lim

9) senxx

xee xx

x −−− −

→ 2lim

2

0

10) xsen

xx π

2

11lim −

→

11) x

xsenx −

−→ ππ

21

lim

12) 30limxsenxx

x−

→

13) x

ba xx

x−

→0lim

14)

2

1lim3

2 ππ−

−→ x

xsenx

15) 1cos

1lim2

0 −−

→ xe x

x

16) Obter a derivada terceira das seguintes funções:

a) f(x) = x3 + 2x2 + 1 b) f(x) = 5x2 – 3x +2

c) 121)( −=x

xf

d) f(x) = 2x-3 e) f(x) = sen3x

f) f(x) = e2x 17) Obter a derivada segunda das seguintes funções:

a) xa

xy+

=2

b) y = ex.cosx Respostas

1) 2

2) 23

3) 0 4) 1 5) 0 6) 0 7) e3 8) 2 9) 2

10) π2

11) 0

12) 61

13) baln

14) 0 15) -2 16) a) 6 b) 0 c) 0 d)120x-6

e) -27cos3x f) 8e2x

17) a) 3

2

)(2"

xaay+

=

b) y” = -2exsenx


125

AULA 22

13.8 – APLICAÇÃO DAS DERIVADAS 13.8.1 – Taxas de Variação Relacionadas Notemos que se duas grandezas variáveis estão relacionadas entre si através de uma terceira grandeza, então suas taxas de variação em relação a esta grandeza da qual dependem também estarão.

Exemplo: Se y depende de x e x depende de t, temos: dtdx

dxdy

dtdy

⋅=

Exemplos:

1) Um quadrado se expande de modo que seu lado varia a razão de 5 cm/s. Achar a taxa de variação de sua área em relação ao tempo no instante em que o lado mede 15cm.

2) Um cubo se expande de modo que sua aresta varia a razão de 12,5cm/s. Achar a taxa

de variação de seu volume no instante em que sua aresta mede 10cm.


126

3) Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio

da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4m?


127

13.8.2 – Máximos e Mínimos 13.8.2.1 – Introdução: Suponha que o gráfico abaixo tenha sido feito por um instrumento registrador usado para medir a variação de uma quantidade física em relação ao tempo. Em tal caso, o eixo dos x representa o tempo e as ordenadas dos pontos do gráfico, os valores da quantidade f(x). Por exemplo, os valores de y podem representar medidas de temperaturas, pressão, corrente em um circuito elétrico, pressão sangüínea de indivíduo, quantidade de um produto químico em uma solução, bactérias em uma cultura, etc. Observemos que há intervalos em que a função é crescente e outros nos quais ela é decrescente.

y

xa b c d e

M

N

P

A figura mostra que f é crescente no intervalo de ]a,b[, decrescente de ]b, c[, crescente ]c, d[ e decrescente de ]d, e[. Se restringirmos nossa atenção ao intervalo de [b, e], veremos que a quantidade atingiu seu máximo (maior valor) em d e seu mínimo em c. Observe que em outros intervalos existem diferentes máximos e mínimos. O ponto M da curva, de abscissa x = b, situa-se exatamente no ponto onde a função passa de crescente para decrescente. Dizemos então que a função apresenta um máximo local em x = b, ou que f(b) é um máximo local da função. Isto é, o valor de f(b) é o maior valor que a função assume para valores de x, próximos de b. Convém observar que o ponto M não é o ponto mais alto do gráfico. M é o ponto mais alto dos que lhe são próximos. Por isso o adjetivo “local”. Vejamos agora que a função é decrescente no intervalo de ]b, c[ e crescente de ]c, d[. O ponto N da curva, situa-se exatamente no ponto em que a função passa de decrescente para crescente e sua abscissa é x = c. Observamos que N é o mais baixo ponto entre os que lhe são próximos. Dizemos que a função apresenta ai um mínimo local, ou que f(c) é um mínimo local de f. O valor de f(c) é o menor valor que a função assume para valores próximos de x, próximos de b. Notemos que a função pode apresentar outros máximos e mínimos locais. Definição 1: Seja f uma função definida em um intervalo l e c um número em l, então:

i). f(x) é máximo de f em l se f(x) ≤ f(c) para todo x em l ii). f(x) é mínimo em f em l se f(x) ≥ f(c) para todo x em l

Definição 2: Seja c um valor do domínio de uma função f

i). f(c) é máximo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que f(x) ≤ f(c) para todo x em (a,b)

ii). f(c) é mínimo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que f(x) ≥ f(c) para todo x em (a,b)

Teorema: Se uma função f tem extremo local para um valor c, então f’(c) = 0 ou f’(c) não existe.


128

Suponha que uma função f seja derivável, neste caso o seu gráfico admite tangente em cada ponto, conforme o gráfico abaixo.

No ponto B, de máximo local, e A de mínimo local, a tangente ao gráfico é uma reta horizontal, paralela ao eixo x. Logo f’(a) = f’(b) = 0 pois o coeficiente angular da reta tangente é a derivada da função no ponto. Se f é uma função derivável e xo ponto tal que f’(xo) = 0 ou não exista, dizemos que x0 é um ponto crítico da função f. Portanto da afirmação anterior, concluímos que os máximos e mínimos locais de uma função ocorrem em pontos críticos da função. A condição f’(x) = 0 é necessária para que haja máximo ou mínimo local no ponto x, mas não é suficiente. Seja por exemplo a função f(x) = x3. Derivando temos: f’(x) = 3x2, logo f’(x) = 0 e o ponto de abscissa x = 0 não é nem máximo local nem mínimo local da função. Definição 3: Um ponto (número) c do domínio de uma função f é ponto crítico de f se, ou f’(c)=0 ou f’(c) não exista. Exemplo: Determine os pontos críticos da função f(x) = 4x2 – 3x + 2

A

B


129

13.8.2.2 – Determinação dos Máximos e Mínimos locais: 1º) Calcular a derivada primeira da função f e resolver a equação f’(x)=0, cujas

raízes são as abscissas dos pontos críticos de f. 2º) Examinamos cada ponto crítico encontrado afim de verificar se trata-se de

extremo ou não. Para isso, utilizaremos o teste da derivada primeira ou o teste da derivada segunda.

13.8.2.3 – Crescimento e Decrescimento de funções: Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b).

i). Se f’(x) > 0 para todo x em (a, b) então f é crescente em [a, b] ii). Se f’(x) < 0 para todo x em (a, b) então f é decrescente em [a, b]

13.8.2.4 – Teste da Derivada Primeira: Suponhamos que para x = x0 a função f tenha um ponto crítico e sejam a e b muito próximos de x0 tais que a<x0<b, então:

i). Se tivermos que f’(a) > 0 e f’(b) < 0, então, nesse caso a função passa de crescente a decrescente e podemos afiram que f(x0) é um máximo local da função.

ii). Se tivermos que f’(a) < 0 e f’(b) > 0, então, nesse caso a função passa de decrescente a crescente e podemos afirmar que f(x0) é um mínimo local da função.

Exemplos:

1) Seja a função f(x) = x2 -4. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão se existirem.


130

2) Seja a função f(x) = - x3 + 8x2 + 12x – 5. Determine os pontos de máximo, de mínimo

e de inflexão se existirem. 13.8.2.5 – Concavidade e Teste da Derivada Segunda: Teste da Concavidade: Se uma função f é diferenciável em um intervalo aberto contendo c, então, no ponto P(c, f(c)), o gráfico é:

i). Côncavo para cima se f”(c) > 0 ii). Côncavo para baixo se f”(c) <0

Teste da Derivada Segunda: Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c e f’(c)=0.

i). Se f”(c) < 0, então f tem máximo local em c ii). Se f”(c) > 0, então f tem mínimo local em c

Se a função f admite derivada segunda nos pontos críticos, e supondo que esta seja

contínua no domínio considerado, podemos empregá-la para examinar cada ponto crítico e classificá-lo.

Seja x0 a abscissa de um ponto crítico, se f”(x0) > 0, o gráfico de f côncavo para cima para x próximo de x0, isto é, f tem ai concavidade voltada pra cima e então f(x0) é um mínimo local de f.


131

Se f”(x0) < 0, o gráfico de f é côncavo para baixo pra x próximo de x0, isto é, f tem concavidade voltada pra baixo, e nesse caso, f(x0) é um máximo local de f.

Resumindo:

Mínimo Local: ⎩⎨⎧

>=

0)("0)('

0

0

xfxf

Máximo Local: ⎩⎨⎧

<=

0)("0)('

0

0

xfxf

Exemplo: Determinar os pontos máximos ou mínimos da função f(x) = - x3 – 3x2 + 9x – 5, se existirem usando o teste da DERIVADA SEGUNDA.


132

AULA 22 – EXERCÍCIOS 1) Ao aquecer um disco circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0,01 cm/min. Quando o diâmetro esta com 5 metros, a que taxa esta variando a área de uma face? 2) Um tanque em forma de cone com vértice para baixo mede 12 m de altura e tem no topo um diâmetro de 12 m. Bombeia-se água à taxa de 4m3/min. Ache a taxa com que o nível da água sobe: a) quando a água tem 2 m de profundidade. b) quando a água tem 8 m de profundidade. 3) Uma pedra lançada em uma lagoa provoca uma série de ondulações concêntricas. Se o raio r da onda exterior cresce uniformemente à taxa de 1,8 m/s, determine a taxa com que a área de água perturbada está crescendo: a) quando r = 3m b) quando r = 6m 4) Determine as abscissas dos pontos críticos das funções abaixo: a) s(t) = 2t3 + t2 – 20t +4 b) f(x) = 4x3 – 5x2 – 42x + 7 c) g(w) = w4 – 32w 5) Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão das seguintes funções se existires, UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA. a) y = 6x3 + 15x2 – 12x -5

b) 8874)( 2 −+−= xxxf

c) f(x) = - 9x2 + 14x +15 6) Determine as abscissas dos pontos máximos ou mínimos das seguintes funções, UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA. a) f(x) = x3 – 12x2 + 45x +30 b) y = 8x3 – 51x2 -90x +1 c) y = -x3 – 9x2 + 81x – 6 7) Imagine que a trajetória de uma pedra lançada ao ar seja um trecho da parábola dada por y = 5x2 – 20x (x e y em metros), determine o ponto máximo da função.

Respostas:

1) min/2

5 2cmπ

2)

min/41)

min/4)

mb

ma

π

π

3) smbsma

/6,21)/8,10)

2

2

π

π

4)

2)3

72

3)

235)

=

−=

−=

wc

exb

eta

5) a) máx x = -2 e min x = 1/3 b) máx x = 7 c) máx x = 7/9 6) a) máx x = 3 e min x = 5 b) máx x = -3/4 e min x = 5 c) máx x = 3 e min x = - 9 7) P(2,- 20)


133

AULA 23

14 – INTEGRAIS

14.1 – INTRODUÇÃO: Até o momento, nosso problema era; dada a função obter a sua derivada. A partir de agora, trabalharemos com a pergunta inversa: dada a função de quem ela é derivada? A operação contrária a diferenciação (ou a derivação) é chamada de antidiferenciação ou anti-derivada. Definição: Uma função F é chamada de anti-derivada de uma função f em um intervalo l se F’(x) = f(x) para todo x em l Exemplo: Seja f(x) = 4x3 + 2x + 1. F(x) = x4 + x2 + x é a anti-derivada da função f, pois F’(x0 = f(x). Mas não existe uma única integral, note por exemplo que: G(x) = x4 + x2 + x + 5 também é uma anti-derivada de f pois G’(x) = f9x0 Na verdade,qualquer função definida por H(x) = x4 + x2 + x + c onde x é uma constante qualquer, será uma integral de f. 14.1.1 – NOTAÇÃO: A anti-diferenciação é um processo pelo qual se obtém a anti-derivada, mais geral de

uma função encontrada. O símbolo ∫ denota a operação de integral, e escrevemos:

∫ += CxFdxxf )()( onde )()(' xfxF =

A expressão acima é chamada de Integral Indefinida de f. Em lugar de usarmos a

expressão antiderivação para o processo de determinação de F, utilizaremos agora, a expressão Integração Indefinida.

Para facilitar o nosso processo de obtenção da anti-derivada de uma função, temos

algumas regras, que veremos a seguir. 14.2 – INTEGRAIS IMEDIATAS

∫ ++

=+

cnxdxx

nn

1

1

1) ∫ =dxx5

2) ∫ =2xdx

3) ∫ =3 2xdx


134

4) ∫ =− dxxx)1(

5) ∫ =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ + dxx

x2

32 1

6) ∫ =−+ dx

xxx2

23 )45(

7) ∫ =+ dxxx 223 3.)2(

∫ ++

=+

cnvdvv

nn

1

1

8) ∫ =+ xdxxba .222

∫ += cvvdv ln

9) ∫ =− )32( x

dx


135

10) ∫ =− 3

2

21 xdxx

∫ += ca

advav

v

ln ∫ += cedve vv

11) ∫ =dxxe x

2

1

12) ∫ =dxexx3

13) ( )∫ =

− dxbabaxx

xx 2

cvdvtgv +−=∫ cosln. ou cvdvtgv +=∫ secln.

14) ∫ =xdxtg2

∫ +−= cgvvvdv )cotsecln(cosseccos

15) ∫ =xdxseccos


136

∫ += ctgvvdv2sec

16) ∫ =dxxx 322 sec

∫ ++= ctgvvvdv )ln(secsec

17) ∫ =x

dxxsec

∫ += cxdxtgxx sec..sec

18) ∫ =dxx

senx2cos

∫ +−= cgxxdx cotseccos 2

19) ∫ =+ x

dxcos1


137

cavarcsen

vadv

+=−

∫ 22 ou c

av

vadv

+−=−

∫ arccos22

20) ∫ =− 2916 xdx

cavarctg

avadv

+=+∫

122 ou c

avarc

avadv

+−=+∫ cot1

22

21) ∫ =+ 94 2x

dx

cavarc

aavvdv

+=−

∫ sec122

ou cav

aavvdv

+−=−

∫ secarccos122

22) ∫ =− 94 2xx

dx

cvava

ava

dv+

−

+=

−∫ ln21

22

23) ∫ =−19 2x

dx


138

Lembrando que: x2 + ax + b = (x + a)2 + b x2 + ax - b = (x + a)2 – b

- x2 + ax + b = a – (x – b)2

- x2 + ax - b = a – (x + b)2

∫ ++−

=−

cavav

aavdv ln

21

22

∫ +±+=±

cavvav

dv )ln( 22

22

24) ∫ =−+ 743 2 xx

dx

25) ∫ =− 222 axb

dx


139

Aula 23- Exercícios

1) ∫ +dx

xx

33

2

)2(8

2) ∫+

+ dxxx

x3

12 )6(

)3(

3) ∫ − dxxx 42 2

4) dxx

x∫

+ )ln2(

5) ∫+ dx

xx 2)1(

6) ∫ + dxee xx .)1( 3

7) ∫ dxxxsen .2cos.2 2

8) ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

dxtgxx

2

1sec

9) ∫ −dx

xcbax

222

3

10) ∫ xxdxln.

11) ∫ dxxtg .2

12) ∫ 22 )( xedx

13) dxx

xsenx∫

+cos

cos

14) ∫ dxxsen

gx2

cot

15) ∫ − dxx 2)14(sec

16) ∫ +dx

xbatgxx

sec.sec

17) ∫ dxxsenx

4

3cos

18) ∫ dxxtg .4

19) ∫ + dxxxtg 2)2sec2(

20) ∫ + dxgxtgx 2)cot(

21) ∫ +dx

bxax

44

22) ∫ − 294 tdt

23) ∫ − θθθ24

.cossen

d

24) ∫−14xx

dx

25) ∫−

dxx

x2

2

1arccos

26) ∫ −dx

xx

6

2

5

27) ∫ + arctgxxdx)1( 2

28) ∫ −+ xx eedx

29) ∫ +dx

xtgxx

2sec49.sec

30) ∫ ++ 522 xxdx

31) ∫−− 23 2xx

dx

32) ∫−++ 2)12(

32 xxx

dx

33) ∫−

− dxx

xx21

arccos

34) dxxx

x∫ −+

−743

322

35) ∫−+ 2627 xx

xdx

36) ∫++ 21 xx

dx

37) ∫+

− dxxx

9413

2

38) ∫ +−+ dx

xxx

812932

2

39) ∫+

dxxsen

xsen21

2

40) ∫ + x

x

edxe

2

2

2

41) ∫− xxdx

2ln1

42) ∫ + xxsendx

22 cos32

43) dxxx∫ +3 23.


140

Respostas:

1) cx

++

−23 )2(3

4

2) 4

)6(3 322 xx +

+ c

3) cx+

−−

6)21( 2

32

4) cx+

+2

)ln2( 2

5) cxxx +++5

23

422

52

3

21

6) cex

++4

)1( 4

7) cx+−

6)2(cos 3

8) ctgx

++−

11

9) cxcbc

a+−

− )ln(2

3 2222

10) ln(lnx) + c

11) cx +)2ln(sec21

12) ce x +−

441

13) cxx ++)ln(sec l

14) cgx+−

2)(cot 2

15) cxxtgxxtg +++− )44ln(sec214

41

16) cxbab

++ )secln(1

17) csensenx x +− 33

11

18) cxtgxxtg++−

3

3

19) cxxxtg +−+ 2sec2

20) ctgxgx ++− cot

21) cbxarctg

ba

+2

2

22

22) ctt+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

3232ln

121

23) csensen

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

θθ

22ln

41

24) cxarc +2sec21

25) cx+

−3

arccos3

26) cxx

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

3

3

55ln

561

27) carctgx +)ln(

28) carctgex +

29) cxarctg +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3sec2

61

30) cxarctg +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

21

21

31) cxarcsen +− )32(

32) ( ) cxarc +

+3

12sec

33) cxx+−+− 2

2

12

arccos

34) cxxxx +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−−+7333ln

3013)743ln(

31 2

35) ( ) cxarcsenxx +−

+−+−6

33627 2

36) cxxx +++++ )121ln( 2

37) cxxx +++−+ )942ln(2194

43 22

38)

cxarctgxx +−

++−2

2321.

913)8129ln(

91 2

39) cxsen ++ 212

40) cearctgx

+22

1

41) cxarcsen +1

ln

42) ctgxarctg +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

32

61

43) ( ) 343

723

61)23(

211

+−+ xx


141

AULA 24

14.3 - INTEGRAIS POR PARTES

∫ ∫−= duvvudvu ...

1) ∫ =dxex x.

2) ∫ =dxxx .ln.2

3) ∫ =+ dxxx3 23


142

4) ∫ =++ dxxx 21ln(

5) ∫ =xdxsenesenx 2


143

AULA 24 – EXERCÍCIOS 1) ∫ =arcsenxdx

2) ∫ =xdxsen2

3) ∫ =xdx3sec

4) ∫ =dxsenxx ..2

5) =∫ dxex x ..23

6) =∫ dxex x.. 23

7) ∫ =dxarctgxx ..

8) ( )∫ =−

321.

x

xdxarcsenx

9) ∫ =dxxxtg .sec. 32

10) ∫ =− dxxarctgx 1. 2

11) ∫ =+ 2)1(.ln

xdxx

12) ∫ =+

dxx

xarcsen1

Respostas:

1) cxarcsenxx +−+ 21.

2) cxsenx+−

42

2

3) ctgxxtgxx +++ )ln(sec21.sec

21

4) cxxsenxxx +++− cos22cos.2

5) cxex +− )1(21 22

6) cxxxe x +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−− 122

34..

83 232

7) cxxarctgx +−+ )1( 2

8) cxx

xarcsenx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

−− 1

1ln21

1 2

9)

ctgxxxtgxxtgx ++−− )ln(sec81sec

81sec

41 3

10) cxxarctgx +−−− 1211

21 222

11) cx

xx

x+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

+−

1ln

)1(ln

12) cxarctgx

xxxarcsen +

+−+1


144

AULA 25

14.4 – INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS As identidades seguintes são empregadas no cálculo das integrais trigonométricas do presente capítulo:

i). 1cos22 =+ xxsen ii). xxtg 22 sec1 =+

iii). xxg 22 seccoscot1 =+

iv). )2cos1(212 xxsen −=

v). )2cos1(21cos2 xx +=

vi). xsenxsenx 221cos =⋅

vii). [ ])()(21cos yxsenyxsenysenx ++−=⋅

viii). [ ])cos()cos(21 yxyxsenysenx +−−=⋅

ix). [ ])cos()cos(21coscos yxyxyx ++−=⋅

x). xsenx212cos1 2=−

xi). xx21cos2cos1 2=+

xii). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −±=± xsenx π

21cos11

Exemplos:

1) ∫ =xdxsen2

2) ∫ =xdx3cos2


145

3) ∫ =xdxsen3

4) ∫ =xdx6cos

5) ∫ =xdxxsen 22 cos


146

6) ∫ =xdxsenxsen 2.3

7) ∫ =dxxxsen .5cos.3

8) ∫ =dxxx .2cos.4cos

9) ( )∫ =+ dxx .3cos1 23


147

10) ∫ =− dxxcos1

11) ∫ =− xsen

dx21

12) =∫ dxxtg .4

13) ∫ =xdxg 2cot 3


148

AULA 25 – EXERCÍCIOS 1) ∫ =xdx5cos

2) ∫ =xdxsen4

3) ∫ =dxxsenx .2.2cos 34

4) ∫ =xdxxsen 3cos.3 53

5) ∫ =xdxxsen 44 cos.

6) ∫ =dxx

xsen3 4

3

cos

7) ∫ =xdxtg 5

8) ∫ =xdx2sec4

9) ∫ =xdxtgx 34 .sec

10) ∫ =xdxxtg 2sec.2 33

11) ∫ =xdxxtg 44 sec.

12) ∫ =xdxg 3cot 4

Respostas:

1) Cxsenxsensenx ++− 53

51

32

2) Cxsenxsenx ++− 43212

41

83

3) Cxx +− 2cos1012cos

141 57

4) Cxx +− 3cos1813cos

241 68

5) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++− Cxsenxsenx

8843

1281

6) Cxx ++− 3

53

1cos

53cos3

7) Cxxtgxtg++− secln

24

24

8) Cxtgxtg ++ 2212

61 3

9) Cxtgxtg++

64

64

ou Cxx+−

4sec

6sec 46

10) Cxx +− 2sec612sec

101 35

11) Cxtgxtg++

75

75

12) Cxxgxg +++− 3cot313cot

91 3


149

AULA 26

14.5 – INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS Esta técnica é usada para integrar funções racionais próprias, isto é, funções da forma

)()()(

xqxpxR = , onde p e q são polinomiais e o grau de p(x) é menor que o grau de q(x). A ídéia

é desdobrar o integrando R(x) em uma soma de funções racionais mais simples, que podem ser integradas. É fácil verificar que:

1

11

11

22 +

−+

−=

− xxx

A expressão à direita é o que se chama uma decomposição em frações parciais de

12

2 −x.

Pode-se usar esta decomposição para calcular a integral indefinida de 1

22 −x

.

Basta integrarmos cada uma das frações da decomposição, obtendo:

∫ ∫ ∫ +−

+−

=−

dxx

dxx

dxx 1

11

11

22

O desdobramento do integrando pode ser feito de acordo com os casos seguintes:

CASO 1: O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores distintos do 1o grau. Neste

caso, a cada fator da forma (ax + b), *ℜ∈a e , ℜ∈b , que aparece no denominador,

corresponde uma fração da forma )( bax

A+

.

Exemplos:

)1)(1(

2)1(

22 +−

=− xxxxx

)1()1()1(

22 +

+−

+=− x

Cx

BxA

xx

Calcule ∫ =−+−+ dx

xxxxx

329134

23

2


150

CASO 2: O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores repetidos do 1o grau. A cada fator da forma (ax + b) que aparece n vezes no denominador, corresponde uma soma de n frações da forma:

nn

baxA

baxA

baxA

)(...

)( 221

+++

++

+

Exemplos:

22222 ])1)[(1)(1(1

)12()1(1

−+++

=+−+

+xxx

xxxx

x

4222 )1)(1(1

)12()1(1

−+=

+−++

xxxxxx

45

34

2321

222 )1()1()1()1()1()12()1(1

−+

−+

−+

−+

+=

+−++

xA

xA

xA

xA

xA

xxxx

Calcule ∫ =−+

−+− dxxx

xxx3

23

)2)(1(429183


151

CASO 3: O denominador é constituído por fatores quadráticos distintos e irredutíveis da forma q(x) = ax2 +bx + c com a≠ 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1o grau. A

cada fator q(x) que aparece no denominador, corresponde uma fração da forma )(xqBAx +

Exemplo:

)1()1()1)(1(

12

222

1122 +

++

+++

=+++ x

BxAxx

BxAxxx

Calcule ∫ =−+−

−− dxxxx

xx482

2123

2


152

CASO 4: O denominador é constituído por fatores quadráticos repetidos e irredutíveis da forma q(x) = ax2 + bx + c com a≠ 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1o grau. A cada fator de q(x) que aparece repetido no denominador, corresponde uma soma de

frações da forma nnn

xqBxA

xqBxA

xqBxA

)]([...

)]([)( 22211 +

+++

++

Calcule ∫ =+

−+− dxx

xxx22

23

)1(3735


153


1) =−−

∫ dxxxx

)4(125

2) ∫ =−−+

− dxxxx

x)3)(2)(1(

1137

3) ∫ =−− dx

xx

2)1(116

4) ∫ =−+

+ dxxx

x82

162

5) ∫ =−

−− dxxxxx

48105

3

2

6) ∫ =−+−− dx

xxxx

)5()1(33252

2

2

Respostas: 1) Cxx +−+ |4|ln2||ln3

2) Cxxx +−+−−+ |3|ln|2|ln5|1|ln4

3) Cx

x +−

+−1

5|1|ln6

4) Cxx +−++− |2|ln3|4|ln2

5) Cxxx +++−− |2|ln4|2|ln||ln2

6) Cxx

x +−−+

−+ |5|ln31

1|1|ln5


154

AULA 27

14.6 – INTEGRAL DEFINIDA: Teorema fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua em [a, b] e g uma função tal

que g’(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b]. Então ∫ −=b

aagbgdxxf )()()( .

A expressão ∫b

adxxf )( é chamada de Integral Definida de f de a até b.

Em linguagem simples, este teorema nos diz que se g é uma anti-derivada de f, então a integral definida de a até b de f é dada pela diferença g(b) – g(a). Os valores de a e b são chamados de limites de integração. Exemplos:

1) Calcule ∫ =3

1

2dxx

2) Calcule ∫ =3

15dx

3) Calcule ∫ =7

0xdx


155

X=1 X=3

y

x

14.6.1 – INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: Vamos agora interpretar geometricamente os exemplos 2 e 3. 1) Seja f(x) = 5 (exemplo 2). Tomemos a região delimitada por (x), o eixo x e as retas x = 1 e x = 3.

Temos um retângulo de base 2 e altura 5, cuja área é dada por: A1 = b.h = 2x5 = 10u.a (como no exemplo 2) 2) Seja f(x) = x (exemplo 3). Tomaremos a região delimitada pelo eixo x, a função f(x) = x e as retas x = 0 e x = 7.

Temos um triângulo de base 7 e altura 7, cuja área é dada por auA .249

277

2 =⋅

= .

Os fatos observados nestes exemplos não são mera coincidência. Na verdade, se f(x)>0

para x ∈ [a,b], então ∫b

adxxf )( nos fornece a área limitada por f(x) pelas retas x =a e x = b e

o eixo x.

1 3 7 x

y

1

3

f(x)=x

7


156

3) Tomemos agora um exemplo em que f(x) < 0 em [a, b]

∫−

−=+

1

3)1( dxx ( ) ( ) 2)3(

23)1(

21

2

221

3

2

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−=+ −

−xx

A região delimitada por y = (x+1), pelo eixo x e as retas x = - 3 e x = - 1 é apresentada abaixo:

Note que A3 é um triângulo de base 2 e altura 2, assim, ..2

223 auA ⋅=

Assim, vemos que ∫−

−=

1

33 )( dxxfA .

Em geral se f(x)<0 em [a, b] a área delimitada por f(x), o eixo x e as retas x = a e x=b

é dada por ∫=b

adxxfA )( .

14.6.2 – PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS

1. Se uma função f é integrável no intervalo fechado [a, b], e se k é uma constante qualquer, então:

∫ ∫=b

a

b

adxxfkdxxfk )()(.

Exemplo:

Calcule o valor da integral ∫ =3

05xdx

1

-1

-2

-3 -1x

y


157

2. Se as funções f e g são integráveis no mesmo intervalo fechado [a,b] então f + g é integrável em [a, b] e:

∫ ∫ ∫+=+b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

Exemplo:

Calcule o valor da integral ∫ =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

5

3

2 1 dxx

x

3. Se a função f é integrável nos intervalos fechados [a, b], [a, c] e [c, b] então:

∫ ∫ ∫+=b

a

c

a

b

cdxxfdxxfdxxf )()()(

Exemplo:

Calcule o valor da integral ∫− =3

2xdx

AULA 27 – EXERCÍCIOS Encontre o valor das integrais definidas abaixo:

1) ∫ =2

0

2dxx

2) ∫ =2

1

3dxx

3) ∫ =++4

1

2 )54( dxxx

4) ∫− =+2

2

3 )1( dxx

5) ∫− =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

1

13

13

44 dxxx

6) ∫− =+4

3)2( dxx

7) ∫ =−

5

1 13xdx

8) ∫− =−3

3

6 )3( dttt

9) ∫ =+

4

0 2 9x

xdx

10) ∫ =+5

04dxx

11) ∫ =1

0

3 78 dxx

Respostas:

1) 38

2) 4

15

3) 66 4) 4

5) 76

6) 2

35

7) [ ]173

22−

8) 7

4374

9) 2

10) 3

38

11) 53


158

AULA 28

14.6.3 – APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA 14.6.3.1 – CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e se f(x) ≥0 para todo x em [a, b], então temos que o número que expressa a área da região limitada pela curva y = f(x), o eixo x e as retas x = a e x = b é dada por, em unidades quadradas:

∫=b

adxxfA )(

Por conveniência, referimo-nos à região R como a região sob o gráfico f de a até b. y x a b Exemplos: 1) Encontre a área limitada pela curva y = x2, o eixo x e as retas x = -1 e x = 2.

x x=1 x=2

y

Área = R


159

-4

x

y

-2 2

2) Encontre a área limitada pela curva y = x2 – 4, o eixo x e as retas y = - 2 e x = 2

3) Calcule a área limitada pelas curvas y = x2 + 1, y = - x2

- 1 e as retas x = -1 e x = 3.

y

x

-10

10

3 -1

A1

A2


160

4) Calcule a área da região definida pela curva y = x2 – 4, o eixo x e as retas x = -4 e x = 2

y

2

-4

-2 -4

12

x

A2

A1


161

x a b

y

g(x)

14.6.3.1.1 – ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES: Nesta seção, consideraremos a região que esta entre os gráficos de duas funções.

Se f e g são contínuas em f(x) ≥g(x) ≥0 para todo x em [a, b], então a área A da região R, limitada pelos gráficos de f, g, x =a e x = b, pode ser calculada subtraindo-se a área da região sob o gráfico de g (fronteira inferior de R) da área da região sob o gráfico de f (fronteira superior de R):

∫ ∫−=b

a

b

adxxgxdxxfA )()(

ou

∫ −b

adxxgxf )]()([

Suponha que desejamos calcular a área A delimitada por duas curvas f(x) e g(x) e as retas x = a e x = b, como ilustra a figura abaixo:

Note que a área pode ser obtida pela diferença das áreas A1 – A2

Sendo ∫=b

adxxfA )(1 e ∫=

b

adxxgA )(2

A = A1 – A2

=A ∫b

adxxf )( ∫−

b

adxxg )(

∫ −=b

adxxgxfA )]()([

Assim verificamos que é válido o teorema a seguir:

x a b

y f(x)

g(x)

y f(x)

a b x


162

Teorema: se f e g são contínuas e f(x) ≥ g(x) ≥0 para todo x em [a, b], então a área A da região delimitada pelos gráficos de f, g, x = a e x = b é:

∫ −=b

adxxgxfA )]()([

Diretrizes pra encontrar a área de uma região R limitada por duas funções:

Esboçar a região, designando por y = f(x) a fronteira superior e por y = g(x) a fronteira inferior.

Encontrar os pontos de intersecção (a e b) entre as duas funções (sistema de equações)

Calcular a integral ∫ −=b

adxxgxfA )]()([

Exemplos: 1) Encontre a área A limitada pela curva f(x) = x2 + 2 e g(x) = 1 no intervalo de [-2, 3]


163

2) Encontre a área A da região limitada pelas curvas y = x2 e y = -x2 + 4x.

AULA 28 – EXERCÍCIOS Encontre a área delimitada pelas curvas e as retas dadas.

1) y = 4x – x2, o eixo x, as retas x = 1 e x=3.

2) y = 8x-x2, o eixo x, as retas x= 0 e x=4.

3) y = x2 + 1 e y =5 4) y = x2 e y = 4x 5) y = 1 – x2 e y = x – 1 6) y = senx, o eixo x, x = 0 e

radx2π

=

7) y=senx, o eixo x, x = 0 e x = 2π rad

8) y = cosx, o eixo x, x = 0 e x = 2π rad

9) y = x e y = x2 com 0 2≤≤ x

10) y = x2 e y = x Respostas:

1) au.322

2) ...3

128 au

3) au.3

32 4) au.

332

5) au.29

6) 1 u.a.

7) 4 u. a 8) 4 u. a

9) 1 u. a. 10) ..31 au


164

AULA 29

14.6.3.2 – VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: Definição 1: Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região do plano em torno de uma reta no plano, chamada de eixo de revolução. Exemplo: Ao girarmos o triângulo abaixo em torno do eixo y, obtemos um cone de revolução.

Definição 2: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Se S for o sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = f(x), o eixo x e as retas x = a e x = b e se V for o número de unidades cúbicas do volume de S, então:

∫=b

adxxfV 2)]([π

Exemplo: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região plana limitada pela curva y=x2 e as retas x = 2 e x = 3 em torno do eixo x.

y

x

y

x


165

Definição 3: Seja uma região R do plano limitada pelos gráficos de x = a, x = b e pelos gráficos de duas funções contínuas f e g, com f(x) ≥ g(x) ≥ 0 para todo x em [a, b]. Então o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo x é dado por:

[ ]∫ −=b

adxxgxfV 22 )()(π

Exemplo: Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pela parábola y = x2 + 1 e a reta y = x + 3

AULA 29 – EXERCÍCIOS 1) Seja f(x) = x2 + 1, determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região do plano limitada por f(x), pelo eixo x e as retas x = -1 e x = 1.

2) Seja x

xf 1)( = , determine o volume do

sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região limitada por f(x), pelo eixo x e as retas x = 1 e x = 3. 3) Seja f(x) = x2 – 4x, determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região do plano limitada por f(x) e pelo eixo x. 4) Em cada um dos exercícios abaixo esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e determine o volume do sólido gerado pela rotação de r em torno do eixo x. a) y = x2, y = 4 – x2

b) y = 2x, y = 6, x = 0

c) 2xy = , y = 4, x = 1

Respostas:

1) ..15

56 vuπ

2) ..3

2 vuπ

3) ..15

512 vuπ

4) a) ..3

264 vuπ

b) π72 u.v.

c) ..12

833 vuπ


166

AULA 30

15 – Vetores

15.1 – Noção de Vetores:

- módulo A = origem - direção B= extremo - sentido

Representante (A, B)

OBS: (A, B) # (B, A)

Segmento orientado (A, A)

A segmento nulo

15.1.1 – Propriedades

- Dois segmentos têm o mesmo comprimento, se os módulos forem iguais.

- Dois segmentos têm a mesma direção se forem paralelos

- Dois segmentos têm o mesmo sentido se:

AC ∩ BD = Ø

A

B

B

A

B

A B

A

B

A

B

A

B

C

D


167

- Dois segmentos têm sentidos opostos se:

AC ∩ BD # Ø

15.2 - Adição de vetores

=+ CBBArr

CAr

- Quando ocorrer coincidência de extremo com extremo, é necessário fazer algumas mudanças:

Regra do paralelogramo

15.2.1 – Propriedades:

i. Associativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w) ii. Comutativa: u + v = v + u iii. Elemento Neutro: v + 0 = 0 + v = v iv. Qualquer que seja o vetor v, existe só um vetor –v (vetor oposto de v) tal

que: v + (-v) = -v + v = 0

15.3 - Equipolência: ( A, B) e (C, D) são eqüipolentes se tem o mesmo módulo, direção e sentido. Indicamos ( A, B) ~ (C, D)

15.3.1 - Propriedades

Reflexiva: ( A, B) ~ (A, B)

Simétrica: ( A, B) ~ (C, D) ⇒ ( C, D) ~ (A, B)

Transitiva: ( A, B) ~ (C, D) e ( C, D) ~ (E, F) ⇒ (A, B) ~(E, F)

A

B

D

C

C

B

A

u

v

u + v

A B

C


168

15.4 - Vetores opostos

BAr

é oposto de ABr

BAr

anula ABr

15.5 - Vetores no plano cartesiano

15.6 - Módulo de um vetor – NORMA - | v |

| v | = vv.

| v | = ),).(,( yxyx

| v | = 22 yx +

A partir de cada vetor v # 0, é possível obter um vetor unitário fazendo u = || v

v.

Exemplo: v = ( 3, -4 ):

A A

B B

x

y Seja A (1, -1) e B ( 5,1)

O vetor u , tem origem em A e

extremo em B.

),( abab yyxxABBA −−=−=r

A coordenada (4,2) nos mostra a posição do vetor u se transferirmos a origem do plano para a origem do vetor.


169

Obs: dado um vetor BAr

com extremidades nos pontos a (xa, ya) e B (xb, yb), o módulo desse vetor será:

| BAr

|= 2

)()( 2 yaybxaxb −+−

15. 7 - Observações sobre adição de vetores

Quando os vetores u e v estão aplicados no mesmo ponto, verifica-se que:

i. a soma u + v ou v + u tem origem no ponto u (u + v) ou v (v + u) ii. a diferença u – v tem por origem na extremidade de v.

15.8 - Multiplicação por um escalar

Dado um vetor v # 0 e um número real k 3 0, chama-se produto do número real k pelo vetor v o vetor p = kv, tal que:

i. módulo: p = |kv| = |k|.|v| ii. direção: a mesma de v iii. sentido: o mesmo de v, se k > 0; e contrário ao de v, se k < 0.

OBS:

1) se k = 0 ou v = 0, o vetor kv é o vetor 0; 2) se k = -1, o vetor (-1)v é o oposto de v, isto é, (-1)v = -v.


i. a ( bu ) = ( ab )u ii. ( a + b ) u = au + bu iii. a ( u + v ) = au + av iv. 1u = u

A C

B D

u

v

u

v

u + v

v + u A

C

B D

u

-v

u

v

u - v

kv v

-kv


170

15.9 - Soma de Ponto com Vetor


i. Elemento Neutro: P + 0r

= P ii. Cancelamento do Ponto: P + u = P + v ⇒u = v iii. Associativa: (P + u) + v = P + ( u + v) iv. Cancelamento do Vetor: A + u = b + u ⇒ A = B v. Soma com o oposto: (P – v) + v = P ⇒ P = P

15.10 - Cálculo do ângulo entre dois vetores:

Lei do cosseno:

||.||

.cosvu

vurr

rr

=θ

Exemplo: Calcular o ângulo entre os vetores u = ( -2, -2 ) e v = ( 0, -2 ).

15.11 - Produto Escalar ou produto interno: u . v

Seja ur = ( x1, y1, z1) e vr = (x2, y2, z2). O produto escalar de dois vetores , onde

representamos por vu rr. , é o número real:

vu rr. = x1.x2 + y1.y2+z1.z2

Ex. Se ur = (3, 2 , -4)

vr = (5, 0, 1)

P

Q

vr

Seja P ∈E3 e v ∈ V3

P + v = Q

V = PQQP −=r

QPQPQPP =−+=+r


171


i. u . u ≥0 e u . u = 0 se, e somente se, u = 0 = (0,0) ii. u . v = v . u ( comutativa ) iii. u . ( v + w ) = u .v + u . w ( distributiva ) iv. (mu) . v = m (u.v) = u . (m.v) v. u . u = |u2| vi. | u + v |2 = |u2 |+ 2uv + |v2| vii. | u - v |2 = |u2 | - 2uv + |v2|

15.12 - Produto Vetorial: u x v

Seja ur = ( x1, y1, z1) e vr = (x2, y2, z2). O produto vetorial de dois vetores , é o vetor w = ( i, j, k):

222

111

zyxzyxkji

Exemplo: u = (1,3,2) e v = (2,4,5)

u x v =

15.13 - Paralelismo

ur // vr se e somente se 2

1

xx

=2

1

yy

=2

1

zz

= k

15.14 - Ortogonalismo

ur ⊥ vr se, e somente se, vu rr. =0


172

AULA 30 - EXERCÍCIOS

1) Calcule a adição dos vetores abaixo: a.

b.

c.

d.

e.

A B

C

D E

F O

A

B C

D

E F

O G H

A

1.1 B

CDH

E 1 F

A

B C

D


173

2) Se ur é representado por (A, B) e ur = - vr , então qual é a origem de vr ? (origem em B) 3) Se v é representado por (A, B) e w por (B, C), como é representado o vetor (v + w)?

(AC) 4) Dados os segmentos orientados (A, B) e (C, D), quais as condições para que tenham:

a. Mesmo módulo – b. Mesma direção – c. Mesmo sentido –

5) Resolver o sistema nas incógnitas xr e yr

xr+ 2 yr = ur

3 xr - yr = 2ur + vr

6) Mostre que BCCABArrr

=−

7) Resolva o produto interno sendo ur=(4, 7 , 3), vr =(2 , 2 , 1) e wr =(0 ,-5, 2) a. u.v b. v.w c. (u + v) .w d. u ( v – 2w )

8) Ache x de modo que ur ⊥ vr nos casos:

a. ur= (x, 0 , 3) e vr = (1, x, 3)

b. ur= (x, x , 4) e vr = (4, x, 1)

c. ur= (-1, 1, x) e vr = (1, 1, 1)

9) Ache ur tal que ||ur || = 33 e ur é ortogonal a vr = (2, 3 ,-1) e a wr (2, -4, 6).

10) Ache ur ortogonal a vr = (4, -1, 5) e a wr (1, -2, 3) e que satisfaz ur . (1, 1, 1) = -1 11) Ache a medida do ângulo entre os vetores:

a. ur= (1,0,1) e vr = (-2, 10, 2)

b. ur= (3, 3, 0) e vr = (2, 1, -2)

c. ur= (-1, 1, 1) e vr = (1, 1, 1)

12) Ache ur tal que ||ur || = 2 , a medida em graus do ângulo entre ur e (1, -1, 0) seja

45º e ur ⊥ (1, 1, 0)

13) Dados ur= (1, 1, 2), vr = (3, 1, -1) e wr (0, 2, 1), calcular:

a. ur x wr

b. wr x vr

c. vr x ( wr - ur )

d. (ur+ vr ) x (vr - wr )

X = 5/7 u +2/7 v y = 1/7 u – 1/7 v


174

14) Dados A(1 , 0, 0), B(0, 1, 0) e C (0, 0, 1), calcular BAr

x CAr

15) Determine o vetor BAr

e seu módulo nos casos: a. A (2,1) B (4,6) b. A (-2,0) B(3,-1) c. A(4,3) B (4,5) d. A(3,-1) B(10,-1)

16) Dados A (2,1) B(5,-1) e C ( -4,0) calcular o vetor soma dos vetores BAr

e CAr

.

17) Se vr = BAr

; A (3,2) e vr (5,8), determine o ponto B.

18) Dados A (3,7) e B (11,19). Determine o ponto C tal que BACArr

41

=

19) Os vetores ur (3,4) , vr (2a, 7) e wr (1, 3b), satisfazem a equação 2ur - vr + 3 wr = 0r

Calcule a e b.

20) Ache a medida em graus do ângulo entre os vetores ur = (1 , 10 , 200) e vr = ( -10 , 1,

0 )

21) Sabe-se que o vetor ur é ortogonal a ( 1, 1 , 0 ) e a ( -1 , 0 , 1) e tem norma 3 .

Calcule o vetor ur .

22) Sejam os vetores do R3 ur = ( -1 , 0 , -5), vr = ( -1, 4 , 3 ) e wr = ( -3, 2 , -1). Ache:

a. 3ur – 4vr

b. 2 wr – ur

c. (ur + 2 wr ) x vr

d. (ur + vr + wr ) . ur


175

AULA 31

16 – Sistemas de Numeração

16.1 – Conceito Conjunto de símbolos, palavras e regras que permite escrever e dar nomes a todos os números. 16.2 – Tipos: 16.2.1 – Não posicionais: Símbolos possuem um valor associado, independente de sua posição dentre o número. 16.2.2 – Posicionais: Símbolos possuem dois valores associados ao símbolo:

Valor intrínseco: valor associado ao número independente de sua posição Valor de posição: valor associado a um símbolo, que varia de acordo com a sua posição dentre o número.

16.3 – Base de um sistema de numeração: Quantidade de símbolos utilizados para representar os valores desse sistema 16.4 – Valor Numérico de um sistema de Numeração: O valor numérico é a somatória dos valores de posição dos algorismos que compõem um número (notação polinomial) Exemplo: 3.426 = 3 x 103 + 4 x 102+ + 2 x 101 + 6 x 100 3000 + 400 + 20 + 6 = 3426 Genericamente, em um sistema de base “b”, a representação de um número positivo em forma polinomial é: N = aq – 1.bq – 1 + ...+ a0.b0 + ...+ a-p.b-p

parte inteira parte fracionária

∑−

−=

=1

.q

pi

ii baN

Onde: b = base do sistema (inteiro maior que 1) ai = inteiros na faixa 0 ≤ ai ≤ b – 1 p = número de dígitos da parte fracionária q = número de dígitos da parte inteira a-p = dígito menos significativo aq-1 = dígito mais significativo.


176

16.5 – Sistemas de numeração usados na computação: 16.5.1 – Sistema Binário → Base 2

Dígitos binários: 0 ≤ ai ≤ b- 1 se b = 2 logo, 0 ≤ ai ≤1 ai = 0,1

Representação polinomial: 10110012 = 1x26 + 0x25 + 1x24 + 1x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20

= 64 + 0 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 8910

16.5.2 – Sistema Octal → Base 8

Dígitos octais: 0 ≤ ai ≤ b-1 se b = 8 logo, 0 ≤ ai ≤7 ai = 0, 1, 2, 3, ..., 7

Representação polinomial 31278 = 3x83 + 1x82 + 2x81 + 7x80 = 1536 + 64 + 16 + 7 = 162310 16.5.3 – Sistema Hexadecimal → Base 16

Dígitos hexadecimais: 0 ≤ ai ≤ b-1 se b = 16 logo, a ≤ ai ≤ 15 ai = 0, 1, 2, 3, ..., 8, 9, A, B, C, D, E, F

Representação polinomial 1A216 = 1x162 + 10x161 + 2x160 = 256 + 160 + 2 = 41810 16.6 – Conversão entre sistemas de numeração Mudança de Base 16.6.1 – Qualquer base para base decimal

Basta aplicar a somatória ∑−

−=

=1

.q

pi

ii baN

Exemplo: 1318 = ( )10

∑=

=2

0

8.i

iiaN = 1x82 + 3x81 + 1x80 = 64 + 24 + 1 = (89)10

16.6.2 – Decimal para qualquer base Método da divisão sucessiva:

a) Divide-se o decimal pela base a ser convertida b) O resto da divisão é o dígito mais à direita do número convertido c) O quociente da divisão é dividido pela base e repete-se o segundo passo até o final


177

16.6.3 – Binário para Hexadecimal Divide-se o número binário em grupos de 4 bits. A cada grupo correspondente um dígito hexa (0 a F) Exemplo: (1011 1001 1100)2 = ( ? )16 11 9 12 B 9 C (B9C)16 16.6.4 – Binário para Octal Divide-se o número binário em grupos de 3 bits. A cada grupo correspondente um dígito octal (0 a 7) Exemplo: (101 110 010)2 = ( ? )8

5 6 2 (562)8 16.6.5 – Hexadecimal para binário Cada dígito hexa corresponde a quatro dígitos binários diretamente. Exemplo: (B1A6)16 = ( ? )2 B 1 A 6 1011 0001 1010 0110 (1011 0001 1010 0110)2

16.7 – Tabela de Conversão

DECIMAL HEXA OCTAL BINÁRIO 0 0 0 0000 1 1 1 0001 2 2 2 0010 3 3 3 0011 4 4 4 0100 5 5 5 0101 6 6 6 0110 7 7 7 0111 8 8 10 1000 9 9 11 1001 10 A 12 1010 11 B 13 1011 12 C 14 1100 13 D 15 1101 14 E 16 1110 15 F 17 1111


178

AULA 32 16.8 - Cálculos com Base Binaria, Octal e Hexadecimal 16.8.1 - Introdução Todos aprendemos a somar e subtrair em base decimal mesmo que não tenha-nos sido defino que estamos utilizando desta base. Sabe-se que o resultado de 11+15=26 porem se passarmos a ver do ponto de vista de outras bases teríamos um resultado totalmente diferente ou ate mesmo esse calculo nem existiria. 16.8.2 - Como resolver Cálculos nestas bases: O método mais indicado para a resolução de um calculo que estejam em outra base e transformar seus valores para base decimal e efetuar o calculo, e então transformar de volta para base original. Contudo e de grande valia ter o raciocino para efetuar cálculos na base original em que exercícios são propostos. 16.8.2.1 – Soma Binária: A figura abaixo resume as quatro regras de adição com números binários:

Para ilustrar o processo de adição binária, vamos somar 1101 a 1101.

Na primeira coluna, 1 mais 1 resulta 0 com um transporte de 1 para a segunda coluna. Isto concorda com a regra 3. Na segunda coluna, 0 mais 0 resulta 0 sem transporte. A este resultado, o transporte da primeira coluna é somado. Assim 0 mais 1 resulta 1 sem transporte.

Estas duas adições na segunda coluna dão uma soma total de 1 com um transporte de 0. Regras 1 e 2 foram usadas para obter a soma.

Na terceira coluna, 1 mais 1 resulta 0 com um transporte de 1. Nesta soma, o transporte da segunda coluna é somado. Isto resulta uma soma da terceira coluna de 0 com um transporte de 1 para a coluna 4. Regras 3 e 1 foram usadas para obter a soma.

Na coluna quatro, 1 mais 1 resulta 0 com um transporte de 1. Para esta soma, o transporte da terceira coluna é somado. Isto resulta uma soma da quarta coluna de 1 com um transporte para a quinta coluna. Regra 4 permite somar três 1 binários e obter 1 com um transporte de 1.


179

Na quinta coluna, não há parcelas. Portanto, você pode assumir a regra 2 e somar o transporte a 0 para obter a soma 1. Assim, a soma 11012 mais 11012 é igual a 110102.

Exercício:

1) 11011 + 10101 = 2) 111111111 + 1 = 3) 10000 + 10000 = 16.8.2.2 - Subtração Binaria Essa operação é similar a realizada entre números decimais: Exercícios: 4)101001-10011 5)10001100-1001001 6)1000-111 Curiosidade: Complemento a Base A implementação do algoritmo da subtração em computadores é complexa, requerendo vários testes. assim, em computadores a subtração em binário é feita por um artifício. O método utilizado é o "Método do Complemento a Base". Regras: mantém o minuendo 1101 inverte o subtraendo 0011 soma minuendo e subtraendo “1”0000 soma 1 “1”0001 ignora o “vai-um” 0001 16.8.2.3 - Multiplicação Binaria

A multiplicação binária segue os mesmos princípios gerais da multiplicação decimal. Entretanto, com apenas dois possíveis bits multiplicadores (1 ou 0), multiplicação binária é um processo muito mais simples.

A figura abaixo lista as regras da multiplicação binária.

Conforme a multiplicação decimal, você multiplica o multiplicando por cada bit no multiplicador e soma os resultados.

Observe que a multiplicação binária é um processo de deslocamento e soma. Para cada bit 1 no multiplicador você copia o multiplicando, começando com o LSB sob o bit. Você pode ignorar qualquer zero no multiplicador. Mas não vá cometer o erro de colocar o multiplicando sob o bit 0.


180

Os dois zeros no multiplicador foram incluídos no processo para assegurar que o multiplicando foi copiado sob os devidos bits multiplicadores.

Lembre-se, assim como na multiplicação decimal, observe atentamente qualquer zero, colocando um zero no produto sob o bit 0 do multiplicador. Isto é muito importante quando o zero ocupa o LSB. Exercícios: 7) 101 x 100 = 8) 101010 x 101 =

9) 11001 x 10101 =

16.8.2.4 - Divisão Binaria Essa operação é similar a realizada entre números decimais: Exercícios: 10) 1010 / 10 11) 1101 / 101 12) 111110 / 11 16.8.2.5 - Soma Octal

Exercícios:

13) 11 + 7 = 14) 25+24 = 15) 77+77 =


181

16.8.2.6 - Subtração Octal Como os algarismos 8 e 9 NÃO existem na base octal, o restante dos algrarismos são

contados gradativamente da mesma maneira que são contados nas operações do sistema decimal, exceto que na hora em que são alcançados os supostos algarismos 8 e 9, pula-se esses números, e inicia-se a contagem novamente a partir do 0 e com 1 unidade deslocada para a esquerda. Ex.: 7 + 1 = supostamente 8, SE fosse decimal, mas como não existe o algarismo 8 no sistema octal, é colocado o 0, e depois o 1 à esquerda, formando-se o 10 (que NÃO é o famoso dez, e sim “um-zero”). Exercícios: 16) 64(8) – 41(8) = 23(8 17) 270(8) – 122(8) = 246(8) 18) 1530(8) – 1032(8) = 476(8) 16.8.2.7 - Multiplicação Octal

19) 14 x 2 20) 44 x 11 21) 136 x 23 16.8.2.8 - Divisão Octal Exercícios: 22) 40/10 23) 36/2 24) 132/2


182

16.8.2.9 - Soma Hexadecimal A adição hexadecimal consiste em um processo semelhante ao da aritmética binária e decimal, com exceção do fato de que, neste caso, tem-se 16 algarismos disponíveis. Tabela 1.1

Decimal Binário Hexadecimal 0 00000 0 1 00001 1 2 00010 2 3 00011 3 4 00100 4 5 00101 5 6 00110 6 7 00111 7 8 01000 8 9 01001 9 10 01010 A 11 01011 B 12 01100 C 13 01101 D 14 01110 E 15 01111 F 16 10000 10

Na tabela 1.1, podemos visualizar as diferentes formas de expressar os números nas formas Decimal, Binária e Hexadecimal. As operações com a base decimal são utilizadas em nosso cotidiano, das quais, estamos tão acostumados em realizadas que nem paramos e prestamos atenção como elas são efetuadas. Vamos analisar o seguinte problema em nosso cotidiano: Exemplo 1 – Tenho a conta de energia elétrica e a conta de água para pagar, cujas tem os valores de R$ 128,00 e R$ 35,00 respectivamente, sem juros. A conta é muito simples de resolver, simplesmente usamos o raciocínio lógico ou uma simples calculadora e logo descobrimos que o resultado é R$ 163,00. Mas, não levamos em conta o processo que foi desenvolvido para detectarmos que 128 + 35 é sempre 163. Encontramos: 128 = 1 x 102 + 2 x 101 + 8 x 100

35 = 3 x 101 + 5 x 100

Colocamos semelhantes com semelhantes: 1 x 102 + 2 x 101 + 3 x 101 + 8 x 100 + 5 x 100 Igual à: 163 = 1 x 102 + 6 x 101 + 3 x 100

Assim, definimos que iremos somar os semelhante e acrescentar um na casa seguinte quando a soma for superior ou igual a dez. Um processo bem simples, do qual, se repete para qualquer adição em qualquer tipo de número (decimal, hexadecimal, binário).


183

A soma hexadecimal é uma forma diferenciada de verificar uma soma binária, da qual, se torna uma forma muito mais simplificada e fácil de visualizar. Ela segue um mesmo padrão da forma decimal, seguindo as seguintes regras: - um número hexadecimal pertencem ao conjunto = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }. - o conjunto hexadecimal é representado por 16 tipos de números e letras, das quais, estão representado na tabela 1.1. - Ocorrerá “vai 1” ou acréscimo de um na casa seguinte quando a soma for maior ou igual o valor da base, no caso 16. Exemplo 2 – Vamos somar os números 1A5CB + 124B3. Definiremos que: 1A5CB = 1 x 164 + A x 163 + 5 x 162 + C x 161 + B x 160 124B3 = Resultado: 2CA7E Exemplo 3 – Vamos somar os números 2ABCD + 135E. Definiremos que: Resultado: 2BF2B Operações com base Hexadecimal são muito utilizadas em linguagem de programação de baixo nível, como assembler, ou para desenvolvimento de programas que acessam diretamente a memória RAM. Assim, ela é utilizada para simplificar a visualização e cálculos com os números binários. Exercícios: 25) ABCDE + 123456 = 26) 15ABC + 12BBC = 27) AAAA + 6 = 16.8.2.10 - Subtração Hexadecimal Passo a passo: 1) minuendo – subtraendo = diferença; 2) operação realizada algarismo por algarismo; 3) se o algarismo do minuendo for menor que o algarismo do subtraendo, adiciona-se ao minuendo um valor igual ao da base (16). Esse valor corresponde a uma unidade subtraída (empréstimo) do algarismo à esquerda do minuendo; 4) resultado é colocado na coluna, na parcela diferença. Exemplos: 4C7BE8-1E927A=2DE96E 2C4-1B2=112 9A2B7C-111111=891A6B Exercício: 28) 4D8A9C-3D8645=? 29)2BC4A-ABCD=? 30)ABCD-EF=?


184

16.8.2.11 - Multiplicação Hexadecimal Exercícios: 31) 21x21 32) AA x AA 33) A x B 16.8.2.12 - Divisão Hexadecimal Exercícios: 34) AA ÷ 2 35) 26 ÷ 5 36) C0C0 ÷ 2


185

Respostas:

1. 110000 2. 1000000000 3. 100000 4. 10110 5. 1000011 6. 1 7. 10100 8. 11010010 9. 1000001101 10. 101 11. 10(10,1000... com casas decimais) 12. 10100 (resposta mais simples 13. 20 14. 51 15. 176 16. 23(8 17. 246(8) 18. 476(8) 19. 30 20. 504 21. 3372 22. 4 23. 17 24. 55 25. 1CF134 26. 28678 27. AAB0 28. 100457 29. 2107D 30. AADE 31. 441 32. 70E4 33. 6E 34. AA 2 -A 0 A 55 - A 0 35. 2 6 5 -2 3 0 3 7 36. C0C0 2 -C 0 0 6060 - 0 0 C - C 0 0 - 0 0

fundamentos matemÁticos da computaÇÃodocshare01.docshare.tips/files/10108/101083158.pdf ·...

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