Universidad Técnica Particular de Loja

Fundamentos MatemáticosCónicas

Grupo N° 3Integrantes

- Max Granda- José Sánchez- Digar Cueva

Línea Recta Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos

diferentes cualesquiera y de la recta numérica. Su Ecuación General dada : Ax + By + C = 0

Una ecuación de una recta es representada como una ecuación de primer grado Su ecuación ordinaria es: y = mx + b m; pendiente

b; ordenada ( indica donde corta al eje de las coordenadas (eje Y) El valor de la pendiente m es calculado mediante la fórmula

Ecuación de la Recta que pasa por uno y dos puntos y tiene una pendiente dada

PARÁBOLA Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un  punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales.

Características: Vértice.  Es el punto donde la parábola corta a su eje focal. Foco. Es un punto que se encuentra situado sobre el eje focal y la distancia que se encuentra

del vértice al foco, es la misma que del vértice a la Directriz. Lado recto. La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a dos puntos de la

parábola. Directriz. Es el eje focal de la parábola.  Eje focal.   Recta que contiene  el foco y es perpendicular a la directriz.  Parámetro p. Distancia del foco al vértice.

PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN.

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma .

Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre hacia arriba y cuando es negativo se abre hacia abajo.

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (P,0). La directriz es por tanto, la recta vertical que pasa por (-P,0). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene: La ecuación de una parábola con vértice en (0,0). A continuación se muestran las fórmulas

que se utilizan para el cálculo de ecuaciones, coordenadas del foco y la directriz.  

Parábola Parábolas con Vértice (0, 0) • Ecuación estándar • Abre Hacia arriba o Hacia hacia abajo derecha

abajo o hacia la izquierda • Foco (0, p) (p, 0) • Directriz y =-p x =-p • Eje eje y eje x • Longitud focal p p • Ancho focal │4p│ │4p│

Parábola Parábolas con Vértice (h, k) • Ecuación estándar • Abre Hacia arriba o Hacia hacia abajo derecha

abajo o hacia la izquierda • Foco (h, k+p) (h+p, k) • Directriz y =k-p x =h-p • Eje x=h y=k • Longitud focal p p • Ancho focal │4p│ │4p│

Circunferencia

• Algebraicamente las secciones cónicas se pueden definir en términos de la ecuación general de segundo grado.

• La circunferencia se define como el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen cierta propiedad geométrica.

• Conjunto de todos los puntos (x,y) que son equidistantes de un punto fijo (h,k).

• Forma canónica o estándar de la circunferencia.

022 FEyDxCyBxyAx

Circunferencia

x2 + y2 = r2

Con centro en (h, k)

Con centro en el origen (0, 0)

Hipérbole

Es el conjunto de todos los puntos (x,y) para los que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. La recta que pasa por los dos focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento de recta que une a los vértices es el eje transversal, y el punto medio del eje transversal es el centro de la hipérbola . Tiene dos ramas separadas.

Hipérbole

El valor absoluto de la diferencia entre las distancias es constante Los elementos de una hipérbola son:

- F y F’, focos. - VV’, eje transverso- V y V’, vértices. - C, centro- L, eje focal. - L’, eje normal- AA’, eje conjugado - CF, lado recto

Hipérbole

•Si el eje focal es paralelo al eje Y su ecuación es de la forma

• Sus focos son (h,k+c) y (h,k -c) y • Sus vértices son (h-a,k ) y (h+a,k ).

1)()(2

2

2

2

bhx

aky

Las intersecciones con el eje X, que también son los vértices son x=± a, y no hay intersecciones con el eje Y. Haga x=0 y despeje Y.

•Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son:

• Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son:

Asíntotas de hipérbola con centro (0,0)

La hipérbola se acerca a estas rectas asíntotas, en tanto un punto P(x,y) sobre la hipérbola se mueve hacia afuera del origen. Una forma fácil de dibujar las asíntotas es primero dibujar el rectángulo y luego trazar las diagonales de este rectángulo.

• Los vértices se encuentran a unidades del centro, y los focos se encuentran a c unidades del centro con:

• La excentricidad de la hipérbola está dada por el cociente.

• En la hipérbola c>a, entonces resulta que e>1. Si la excentricidad es grande las ramas de la hipérbola son casi planas. Si la excentricidad es cercana a 1, las ramas son más puntiagudas

ELIPSE Elementos:

Focos: Son los puntos fijos F y F'. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a

los focos: PF y PF'. Distancia focal: Es el segmento FF de longitud 2c, c es el valor de la

semidistancia focal. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y

B'. Eje mayor: Es el segmento AA de longitud 2 a, a es el valor del semieje mayor. Eje menor:Es el segmento BB de longitud 2b, b es el valor del semieje menor. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de

intersección de los ejes de simetría.

Elípse

Elipses con centro (0,0) Ecuación estándar Eje focal Eje x Eje y Focos Vértices Semieje mayor a a Semieje menor b b Relación pitagórica

Gráficas de una Elipse (0,0)

Elípse Elipses con centro (h, k)

Ecuación estándar Eje focal y=k x=h Focos Vértices Semieje mayor a a Semieje menor b b

Gráficas de una Elipse (h,k)