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F u n ç õ e s d e C r e s c i m e n t o

E s c o l a T e c n o l ó g i c a e P r o f i s s i o n a l d e S i c ó 1

Curso Profissional de Técnico de Eletrónica, Automação e Comando

Matemática 3.º ano

Módulo 9 Funções de Crescimento

27 Horas



ÍNDICE

P A R T E I ................................................................................................................................................................. 3

INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................................... 3

COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER ............................................................................................................. 3

OBJETIVOS ............................................................................................................................................................ 4

CONTEÚDOS (breve descrição): ..................................................................................................................... 4

ARTICULAÇÕES INTERDISCIPLINARES: ..................................................................................................... 5

TAREFAS / ATIVIDADES : .................................................................................................................................. 5

RECURSOS: ........................................................................................................................................................... 5

AVALIAÇÃO: ....................................................................................................................................................... 5

BIBLIOGRAFIA...................................................................................................................................................... 6

P A R T E I I ............................................................................................................................................................... 7

1. FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................................................... 7

1.1. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................... 7

1.2. PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS ..................................................................... 8

1.3. REGRAS OPERATÓRIAS COM EXPONENCIAIS ........................................................................ 8

Exercícios Propostos:.............................................................................................................................................. 9

1.4. FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE e ............................................................................................ 9

1.5. CRESCIMENTO EXPONENCIAL ..................................................................................................... 13

Exercícios Propostos:............................................................................................................................................ 14

2. FUNÇÃO LOGARÍTMICA ................................................................................................................. 15

2.1. NOÇÃO DE LOGARITMO ................................................................................................................ 15


2.2. FUNÇÃO LOGARÍTMICA ................................................................................................................. 17


2.3. PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS .................................................................. 18

2.4. REGRAS OPERATÓRIAS DE LOGARITMOS ............................................................................... 19


3. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS ................................... 20


4. APLICAÇÃO DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS NA MODELAÇÃO

DE SITUAÇÕES REAIS ..................................................................................................................................... 22

5. CRESCIMENTO LOGÍSTICO ............................................................................................................ 26

5.1. FUNÇÃO LOGÍSTICA. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO LOGÍSTICA.................................. 26


6. FICHA DE AVALIAÇÃO M ODELO ............................................................................................... 28

7. RESOLUÇÃO DA FICHA DE AVALIAÇÃO MODELO ............................................................ 29

8. CONCLUSÃO ........................................................................................................................................ 30



P AR T E I

INTRODUÇÃO

Este manual está organizado em duas partes. Na primeira parte estão descritos os pré-requisitos,

os objetivos e as competências técnicas que deverás adquirir, os níveis de competências, a forma

como vais ser avaliado, os conteúdos, as articulações interdisciplinares, as tarefas/atividades, os

recursos e a bibliografia que foi utilizada para elaborar este manual, e que poderás consultar para

aprofundares os teus conhecimentos (está na biblioteca). A segunda parte do manual é composta por

cinco capítulos. Nos capítulos um a cinco encontrarás uma exposição teórica de conteúdos e

exercícios resolvidos, que deverás analisar atentamente para poderes resolver os exercícios propostos

no final dos capítulos. O capítulo seis e sete são respetivamente um teste de avaliação tipo e a sua

correção. Este manual foi redigido segundo as regras do Acordo Ortográfico de 1990.

COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER

Neste módulo de Funções de Crescimento, a competência matemática que todos devem

desenvolver, inclui os seguintes aspetos:

a aptidão para fazer e investigar matemática recorrendo à modelação com uso das

tecnologias;

a aptidão para elaborar, analisar e descrever modelos para fenómenos reais utilizando

modelos de crescimento não linear;

a aptidão para representar relações funcionais de vários modos e passar de uns tipos de

representação para outros, usando regras verbais, tabelas, gráficos e expressões algébricas e

recorrendo, nomeadamente, à tecnologia gráfica;

a capacidade de comunicar oralmente e por escrito as situações problemáticas e os seus

resultados;

a aptidão para usar equações e inequações como meio de representar situações

problemáticas e para resolver equações, inequações e sistemas, assim como para realizar

procedimentos algébricos;

a capacidade de apresentar de forma clara, organizada e com aspeto gráfico cuidado os

trabalhos escritos, individuais ou de grupo, quer sejam pequenos relatórios, monografias, etc.;

a sensibilidade para entender o uso de funções como modelos matemáticos de situações do

mundo real, em particular nos casos em que traduzem situações de crescimento não linear;

a capacidade de usar uma heurística para a resolução de problemas.



OBJETIVOS

reconhecer e dar exemplos de situações em que os modelos exponenciais sejam bons modelos

quer para o observado quer para o esperado;

usar as regras das exponenciais e as calculadoras gráficas ou um computador para encontrar

valores ou gráficos que respondam a possíveis mudanças nos parâmetros;

interpretar uma função e predizer a forma do seu gráfico;

descrever as regularidades e diferenças entre padrões lineares, quadráticos, exponenciais,

logarítmicos e logísticos;

obter formas equivalentes de expressões exponenciais;

definir o número e (segunda definição) e logaritmo natural;

resolver equações simples usando exponenciais e logaritmos (no contexto da resolução de

problemas);

resolver, pelo método gráfico, inequações simples usando as funções exponenciais,

logarítmicas e logísticas (no contexto da resolução de problemas);

resolver problemas simples e de aplicação usando diferentes modelos de funções de

crescimento.

CONTEÚDOS (breve descrição):

1. Funções de Crescimento

Motivação: estudo de situações reais de outras áreas científicas.

Função exponencial de base superior a um.

o Estudo das propriedades analíticas e gráficas da família de funções definidas por

1,: aaxf x ;

o Regras operatórias das funções exponenciais;

o Crescimento exponencial.

Função logarítmica de base 1aa . Logaritmo de um número.

o Logaritmo de um número;

o Função logarítmica;

o Regras operatórias de logaritmos;

o Comparação de crescimento de funções.

Função logística.

o Propriedades da função logística;

o Comparação de crescimento de funções.

Resolução de equações e inequações no contexto de resolução de problemas.

2. Resolução de problemas onde seja necessário escolher o modelo de funções mais adequado à

descrição da situação.



ARTICULAÇÕES INTERDISCIPLINARES:

Depois de analisados os conteúdos dos módulos das outras disciplinas a lecionar em simultâneo com

este, concluiu-se que não seria pertinente estabelecer articulações interdisciplinares com as outras

disciplinas.

TAREFAS / ATIVIDADES:

Exposição teórica / prática dos conteúdos;

Resolução de exercícios/problemas;

Trabalhos individuais e/ ou de grupo;

Acompanhamento de alunos com dificuldades.

RECURSOS:

Manual do módulo;

Bibliografia existente na biblioteca;

Calculadora Gráfica;

Acesso à Internet;

Computador e Videoprojetor;

Fichas de trabalho e/ ou guião de trabalho de grupo.

AVALIAÇÃO:

Critérios de avaliação: Disciplina e atitude;

Empenho e interesse;

Responsabilidade;

Dinamismo e iniciativa;

Sociabilidade e espírito de equipa;

Qualidade do trabalho;

Produção, rendimento e autonomia;

Espírito crítico

Competências técnicas adquiridas com este módulo.

Instrumentos de avaliação:

Observação direta do comportamento na sala de aula;

Observação direta do trabalho no lugar, no quadro e da participação oral;

Caderno diário;

Fichas de avaliação de conhecimento e/ou trabalho grupo.



BIBLIOGRAFIA

Neves, M.A., Pereira, A., Matemática A9 - Ensino Profissional Nível 3. Porto Editora.

Ferreira, S.F., Ferreira, A.M., Carvalho, P.C.D., Carvalho, J.C., Matemática, Módulo A9 Funções de

Crescimento. Areal Editores.

Brito, C., St. Aubyn, M.C., MAT 12, Volume 2, 12º Ano. Lisboa Editora.

Neves, M.A.F., Matemática B, Matemática 12º Ano. Porto Editora.

Costa, B., Rodrigues, E.,Espaço B. Matemática A, 12.º ano. Edições ASA.

Costa, B., Resende, L.C., Rodrigues, E., Espaço 12. Matemática A, 12.º ano. Edições ASA.

Neves, M.A.F., Faria, M.L.M., Exercícios, Matemática 12.º ano – 2.ª Parte. Porto Editora.

Programa da disciplina de Matemática. Direção-Geral de Formação Vocacional 2004/2005.

Como sabes para obteres sucesso neste módulo, tens de conseguir atingir as competências técnicas

propostas e para isso deves proceder do seguinte modo:

fazer uma leitura atenta de todos os conteúdos, de modo a compreender todos os conceitos

introduzidos. Sublinha ou assinala o que te parece importante memorizar ou consultar

facilmente;

fazer uma análise dos exercícios resolvidos ao longo do manual, para averiguar se

compreendeste a matéria estudada;

resolver os exercícios propostos ao longo do manual, para aprofundar os conhecimentos

adquiridos.

Se não conseguires perceber a matéria à primeira não desanimes, tenta de novo e pede ao professor

para te esclarecer as dúvidas



P AR T E I I

1. FUNÇÃO EXPONENCIAL

1.1. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL

As funções em que a expressão analítica é uma potência em que a base é uma variável x e o

expoente é uma constante designam-se por funções algébricas. Exemplo: 5xy

Neste capítulo vamos estudar funções exponenciais. Estas funções caracterizam-se pela expressão

analítica em que a base é constante e o expoente é variável. Exemplos: xxx eyyy ;10;5

Chama-se função exponencial de base a , com 1\ IRa a uma função caracterizada da

seguinte forma

xax

IRIRf

:

com IRx .

Como observamos, a expressão analítica da função é uma potência em que a base a é fixa e o

expoente x variável.

Nota: Se 1a e 0a a função é constante.



1.2. PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Função Exponencial 1,: aaxf x

Propriedades da função exponencial:

● IRD

● IRD f

● f é injetiva em todo o seu domínio

● IRxxf ,0

● f é estritamente crescente em todo o seu domínio

●

x

xalim

● 0lim

x

xa

● 0y é uma assintota horizontal do gráfico da função f

● f é uma função contínua em todo o seu domínio.

CURIOSIDADE:

Considera agora 10,: acomaxf x

Observa que se 10 a , nem todas as propriedades se verificam.

Neste caso

● A função é estritamente decrescente

●

x

xalim

● 0lim

x

xa

1.3. REGRAS OPERATÓRIAS COM EXPONENCIAIS

As regras operatórias das funções exponenciais são as mesmas regras operatórias das potências de

expoente real.

Consideremos as funções exponenciais da família ,: xaxf com 1\ IRa e IRx .

Sejam IRbea e IRyex , então temos as seguintes regras operatórias:



●yxyx aaa ● xxx baba ● yxyx aa

●yxyx aaa ●

x

xxx

b

ababa

●

x

x

x

aaa

11

● 10 a ● 11 x ●

ZmeINnaan mn

m

,

Exercícios Propostos:

Escreve, na forma de potência na base indicada, cada um dos seguintes números:

a) 39 base b) 264

2base c) 1000001,0 base

1.4. FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE e

Como sabemos ...597182818284,2e e denomina-se número de Neper. Este número é o número

para o qual tendem os termos da sucessão

n

n

11 à medida que n aumenta.

Simbolicamente, temos en

n

11 ou e

n

n

n

11lim .

Como ...597182818284,2,1 epoise , as propriedades desta função são as que estudamos

anteriormente. Assim temos,

IRxeexf x ,1,:

Propriedades da função exponencial:

● IRD

● IRD f

● f é injetiva em todo o seu domínio

● IRxxf ,0

● f é estritamente crescente em todo o seu domínio

●

x

xelim

● 0lim

x

xe

● 0y é uma assintota horizontal do gráfico da função f

● f é uma função contínua em todo o seu domínio.


E s c o l a T e c n o l ó g i c a e P r o f i s s i o n a l d e S i c ó 1 0

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO:

As funções exponenciais de base e são fundamentais na Economia e na Química, nomeadamente no

cálculo financeiro e na desintegração radioativa.

Consideremos os seguintes exemplos:

1. RADIOATIVIDADE

A massa de uma substância radioativa é calculada através da família de funções treAA 0 , em

que A representa a quantidade de substância radioativa existente depois de t anos, em que 0A

representa a quantidade inicial e r é um valor que depende das características de cada substância

associado à taxa anual de desintegração.

Fonte: Neves, M.A., Pereira, A., Matemática A9 - Ensino Profissional Nível 3. Porto Editora

EXERCÍCIO:

A massa de substância radioativa em certa amostra calcula-se por tetA 09,0500 com t em anos

e tA em miligramas.

Quantos miligramas havia no início da contagem do tempo? E 10 anos depois? Apresenta o resultado

com uma casa decimal.

Exercício adaptado do livro Matemática A9 - Ensino Profissional Nível 3 Maria Augusta Neves, de Albino Pereira, de António

Leite, de Luís Guerreiro e de M. Carlos Silva da Porto Editora

RESOLUÇÃO:

Cálculo dos miligramas de substância radioativa que existiam no início da contagem do tempo

50015005000 009,0 eA

Cálculo dos miligramas de substância radioativa que existiam decorridos 10anos do início da

contagem do tempo

..13,20350010 1009,0 dceA

Resposta:

No início da contagem do tempo havia mg500 e 10 anos depois existiam,

aproximadamente, mg3,203 .



2. CAPITAL ACUMULADO

O capital acumulado M obtido pelo investimento de um capital C , durante t anos, a uma taxa anual

nominal r , com capitalizações n vezes por ano, é dada pela fórmula

nt

n

rCM

1

À medida que n aumenta, M aumenta, mas tem um limite.

Se a capitalização fosse calculada continuamente, a fórmula rteCM permitiria o cálculo do

capital acumulado.

Fonte: Neves, M.A.F., Matemática B, Matemática 12º Ano. Porto Editora

EXERCÍCIO 1:

O Carlos colocou 1000 euros num banco à taxa anual nominal de %4 . Calcula o capital acumulado

num ano se as capitalizações forem: anuais, trimestrais, mensais, hora a hora e contínuas.

RESOLUÇÃO:

Exercício adaptado do livro Matemática B, Matemática 12º Ano dos Cursos Tecnológicos da autoria de Maria Augusta

Ferreira Neves, de Albino Pereira, de Luís Guerreiro e de M. Carlos Silva da Porto Editora



EXERCÍCIO 2:

A Sara, a Maria e a Carolina, três amigas, decidiram aplicar o dinheiro que ganharam a trabalhar nas

férias : 3000€ cada uma. Dirigiram-se uma agência bancária e optaram por diferentes modalidades de

aplicação. A Sara decidiu fazer o depósito à taxa anual de 4%, com períodos de capitalização anual.

A Maria optou pela mesma taxa anual, mas com capitalizações contínuas. Finalmente a Carolina

escolheu a modalidade em que receberia 130€ de juros por cada ano.

a) Qual das três amigas terá o maior capital acumulado ao fim de 3 anos?

b) E ao fim de 10 anos?

Exercício adaptado do livro Matemática, Módulo A9 Funções de Crescimento de Ferreira, S.F., Ferreira, A.M.,

Carvalho, P.C.D., Carvalho, J.C., da Areal Editores

RESOLUÇÃO:

a) Cálculo do capital acumulado ao fim de 3 anos pela Sara:

592,337404,0130003

O capital acumulado pela sara ao fim de 3 anos é de 3374,59€

Cálculo do capital acumulado ao fim de 3 anos pela Maria:

491,3382300004,0

13000lim 304,0

3

e

n

n

O capital acumulado pela Maria ao fim de 3 anos é de aproximadamente 3382,49€

Cálculo do capital acumulado ao fim de 3 anos pela Carolina:

339031303000

O capital acumulado pela Carolina ao fim de 3 anos é de 3390€

Concluímos assim que a Carolina escolheu a modalidade mais vantajosa para um período de 3

anos.

b) Cálculo do capital acumulado ao fim de 10 anos pela Sara:

733,444004,01300010

O capital acumulado pela sara ao fim de 3 anos é aproximadamente de 4440,73€

Cálculo do capital acumulado ao fim de 10 anos pela Maria:

474,4475300004,0

13000lim 1004,0

10

e

n

n

O capital acumulado pela Maria ao fim de 3 anos é de aproximadamente 4475,47€

Cálculo do capital acumulado ao fim de 10 anos pela Carolina:



4300101303000

O capital acumulado pela Carolina ao fim de 3 anos é de 4300€

Concluímos assim que a Maria escolheu a modalidade mais vantajosa para um período de 10 anos.

1.5. CRESCIMENTO EXPONENCIAL

Uma função do tipo xbaxf define um modelo de crescimento exponencial

Verifica que:

no caso de 1b , a população cresce.

no caso de 10 b , a população decresce.

EXEMPLO DE APLICAÇÃO:

Um biólogo estudou o crescimento de uma colónia de bactérias e registou os dados observados no

seguinte quadro:

t

(dias) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

N

(n.º de

bactérias)

8 16 32 64 128 245 512 1024 2048 4096 8192

Sabendo que se trata de uma situação de crescimento exponencial que pode ser modelada por uma

função do tipo 10 aebcomabxf tk, encontra a expressão analítica que descreve a

função representada no quadro.

Adaptado do livro de Neves, M.A.F., Faria, M.L.M., Exercícios, Matemática 12.º ano – 2.ª Parte. Porto Editora

RESOLUÇÃO:

Vamos resolver este exercício por dois processos diferentes.

PROCESSO ANALÍTICO

Seja tkabtN

Precisamos de determinar as constantes keba, .

Sabemos que 80 N , 161 N e que 322 N

Assim 88880 00 bababN k.

Logo 8b , o que significa que tkatN 8 .



Cálculo de kdeea .

4488328322

2288168168161

222

1

kkk

kkkk

aaaN

aaaaN

Concluímos que 12 kea .

Logo o modelo pedido é ttN 28 .

PROCESSO GRÁFICO

O processo gráfico que vamos utilizar é o da regressão exponencial

Usa a calculadora TI – 84 Plus e segue as seguintes instruções:

Clica em e depois seleciona a instrução 1:Edit clicando na tecla

ou na tecla . De seguida preenche as duas listas L1e L2 (ou outras) com os

dados que estão no quadro. Depois de preenchidas as listas, clica em seleciona o menu CALC

e neste a opção ExpReg Faz para fazeres a seleção. Depois no ecrã

principal escreve L1, L2 (ou o nome das listas que usaste) Faz novamente

e obterá o modelo que procuras

Logo o modelo pedido é ttN 28 .


Resolve o exercício da página 19 do livro Matemática A9 - Ensino Profissional Nível 3, Neves, M.A.,

Pereira, A., Porto Editora.



2. FUNÇÃO LOGARÍTMICA

2.1. NOÇÃO DE LOGARITMO

Considera os seguintes problemas e compara-os

1.º Problema 2.º Problema

O 1.º problema é de fácil resolução. Falta-nos a base da potência. Obtemos o resultado pretendido

através da radiciação (uma das operações inversas da potenciação), logo 32435 x .

No 2.º problema conseguimos calcular mentalmente o valor de x em falta. Determinamos o valor

5x . Neste exemplo o cálculo foi fácil, mas nem sempre isso acontece. O valor de x que

determinámos foi obtido por uma operação nova, também inversa da potenciação, designada por

extração de logaritmo ou logaritmação. O valor de x chama-se logaritmo de 243 na base 3

5243log2433 3 xxx, isto significa que, 5243log3 .

Chama-se logaritmo de um número positivo x na base a , com 1\ IRa , a um número y a que

tem de se elevar a base para obter x .

Ou seja,

IRxeIRaqueemxayx y

a 1\log

(O logaritmo de x na base a é o expoente a que se deve elevar a para obter x ).

Nota: Só iremos estudar logaritmos de base superior a um, pois são apenas estes que fazem parte do

programa de Matemática.

Consequências da definição:

1log aa ;

01log a ;

xax

a log ;

xaxa

log;

Só é possível calcular o logaritmos de números positivos.

Qual é o número x tal que 2435 x ? Qual é o número x tal que 2433 x?



EXEMPLOS:

322532log 5

2 porque ;

644364log 3

4 porque ;

1010110log 1

10 porque ;

11001log 0

10 porque ;

81

134

81

1log 4

3 porque .

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO:

Calcula:

a) 128log2; b)

27

1log1log 34

RESOLUÇÃO:

a) 7221282128log 7

2 xx xx

Logo 7128log2

b) 43log3

1log0

81

1log1log 4

34334


Resolve os exercícios das páginas 25 e 27 do livro Matemática A9 - Ensino Profissional Nível 3, Neves,

M.A., Pereira, A., Porto Editora.

MUITO IMPORTANTE

No cálculo com logaritmos há dois que aparecem com muita frequência, são os logaritmos de base 10 e os

logaritmos de base e .

O logaritmo de base 10, designa-se logaritmo decimal. Para simplificação da escrita a base pode ser

suprimida e assim, escreve-se xlog em vez de x10log . Na máquina de calcular usa-se a tecla LOG.

O logaritmo de base e , designa-se logaritmo neperiano ou logaritmo natural. Para simplificação da escrita a

base pode ser suprimida e escreve-se xln em vez de xelog . Na máquina de calcular usa-se a tecla LN.



2.2. FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Consideremos a função exponencial xexf

Sendo f uma função exponencial é injetiva logo admite inversa.

A função inversa da função f representa-se por1f e os gráficos de f e

1f são simétricos

relativamente à reta de equação xy .

No caso da função exponencial xexf , a função inversa designa-se por função logarítmica,

xxf ln1 .

Chama-se função logarítmica de base a com 1\ IRa à função

xx

IRIRf

alog

:

Nota: Só iremos estudar funções logarítmicas de base superior a um, pois são apenas estas que fazem

parte do programa de Matemática.


Resolve os exercícios das páginas 29 do livro Matemática A9 - Ensino Profissional Nível 3, Neves, M.A.,




2.3. PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Considera a função logarítmica

xx

IRIRf

alog

:

com 1a

Propriedades da função logarítmica:

Domínio:IR

Contradomínio: IR

10 xxf

f é estritamente crescente em todo o seu domínio

f é injetiva em todo o seu domínio

xax

loglim

xax

loglim0

A reta de equação 0x é a assintota vertical do gráfico da função f

f é uma função contínua em todo o seu domínio

CURIOSIDADE:

Considera agora 10,log: acomxxf a

Observa que se 10 a , nem todas as propriedades se verificam.

Neste caso

● A função é estritamente decrescente

●

xax

loglim

●

xax

loglim0



2.4. REGRAS OPERATÓRIAS DE LOGARITMOS

As regras operatórias de logaritmos estão relacionadas com as regras operatórias das potências.

1. Logaritmo de um produto

O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores

yxyx aaa logloglog com 1\, IRaeIRyx

2. Logaritmo de um quociente

O logaritmo de um quociente é igual à diferença entre os logaritmos do dividendo e do divisor

yxy

xaaa logloglog

com 1\, IRaeIRyx

3. Logaritmo de uma potência

O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base:

IRpxpx a

p

a com,loglog , 1\, IRaeIRyx

4. Mudança de base

IRxeIRbeacoma

xx

b

ba 1\,

log

loglog

Nota: esta regra permites calcular, recorrendo à calculadora, o logaritmo de um número em que a

base é diferente de 10 ou e .

Por exemplo: 58,12log

3log3log58,1

2ln

3ln3log 22 ou


Resolve o exercício da página 33 do livro Matemática A9 - Ensino Profissional Nível 3, Neves, M.A.,




3. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS E

LOGARÍTMICAS

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Tendo em conta que uma função exponencial é do tipo ,: xaxf com 1\ IRa e IRx .

Para resolver equações e inequações exponenciais temos de ter em conta o seguinte:

O domínio das funções exponenciais é o conjunto dos números reais;

As funções exponenciais são injetivas e por isso tem-se:

1\,; 212121 IRaeIRxxxxaa

xx;

Se 0a as funções exponenciais são crescentes e temos então que:

1,; 212121 aeIRxxxxaa

xx

E analogamente, temos que:


xxisso tem-se:

CURIOSIDADE

Se 10 a as funções exponenciais são decrescentes e temos então que:


xx

E analogamente, temos que


xx

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO:

Resolve em IR , as seguintes condições:

a) 24332 x; b) 322 13 x

.

RESOLUÇÃO:

a) 2

552332433 522 xxxx

Logo,

2

5S

b) 26351322322 51313 xxxxx.

Logo, ;2S



EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES LOGARITMICAS

Tendo em conta que uma função logarítmica é do tipo

xx

IRIRf

alog

:

com 1a

Para resolver equações e inequações logarítmicas temos de ter em conta o seguinte:

Temos de determinar sempre o domínio das funções logarítmicas;

As funções exponenciais são injetivas e por isso tem-se:

1\,;loglog 212121

IRaeIRxxxxxx aa;

Se 1a as funções logarítmicas são crescentes e temos então que:

1,;1loglog 212121 aeIRxxxxxx aa

E analogamente, temos que:

1,;loglog 212121 aeIRxxxxxx aa

CURIOSIDADE

Se 10 a as funções logarítmicas são decrescentes e temos então que:


E analogamente, temos que


EXEMPLOS DE APLICAÇÃO:

Resolve em IR :

a) xx 33 log13log

b) xxx 2loglog1log

RESOLUÇÃO:

a) Em primeiro lugar teremos de determinar o domínio.

0013: xxIRxD

Então ,0D

Em D , vamos então resolver a equação dada:

2

11213log13log 33 xxxxxx

Como ,0D temos que ,0S



b) Em primeiro lugar teremos de determinar o domínio.

02001: xxxIRxD

Então ,0D

Em D , vamos então resolver a equação dada:

xxx 2loglog1log

012

10012

021

021

21

2log1

log

2

2

xxxxxx

x

xxx

x

xx

x

xx

x

x

Como ,0D , só existe uma solução.

1S

Cálculos Auxiliares: 12

1

4

31

4

31

4

811

xxxxx


Resolve os exercícios 23 e 24 da página 27 do livro Matemática, Módulo A9 Funções de Crescimento,

Ferreira, S.F., Ferreira, A.M., Carvalho, P.C.D., Carvalho, J.C. Areal Editores.

4. APLICAÇÃO DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS E

LOGARÍTMICAS NA MODELAÇÃO DE SITUAÇÕES REAIS

Nota: Os exercícios deste capítulo foram adaptados de exames nacionais.

Nos seguintes exercícios sempre que procederes a arredondamentos, conserva no mínimo três casas

decimais.

1. Numa certa pastelaria, a temperatura ambiente é constante.

Admite que a temperatura, em grau centígrados, de um café servido nessa pastelaria, t minutos

após ter sido servido na chávena, é dada por

05020 04,0 tetf t

a) Determina a temperatura do café no instante em que é colocado na chávena.

b) Quanto tempo decorre entre o instante em que o café é colocado na chávena e o instante em

que a sua temperatura atinge 65 graus centígrados? Apresenta o resultado em minutos e

segundos.

c) Com o decorrer do tempo, a temperatura do café tende a igualar a temperatura ambiente.

Indica, justificando, a temperatura ambiente.



2. A pressão atmosférica de cada local da Terra depende da altitude a que se encontra.

Admite que a pressão atmosférica P (medida em quilopascal) é dada, em função da altitude h

(em quilómetros), por hehP 12,0 101

a) A montanha mais alta de Portugal é o Pico – Açores. A altitude do cume do Pico é 2350

metros.

Qual é o valor da pressão atmosférica, nesse local? Apresenta o resultado em quilopascal,

arredondado às unidades.

b) Determina x tal que, para qualquer h , hPxhP 2

1 . Apresenta o resultado arredondado

às décimas. Interpreta o valor obtido, no contexto do problema.

3. A magnitude aparente m e a magnitude absoluta M de uma estrela são grandezas utilizadas

em Astronomia para calcular a distância d a que essa estrela se encontra da Terra.

As três variáveis estão relacionadas pela fórmula

10010

24,0 dMm

( d é medida em parsec, unidade utilizada em Astronomia para grandes distâncias.)

a) A Estrela Polar tem magnitude aparente 2m , sendo a sua magnitude absoluta 6,4M .

Qual é a distância da Terra à Estrela Polar? (Apresenta o resultado em parsec, arredondado às

unidades.)

b) Prova que, para quaisquer m , M e d , se tem: dMm 10log15 .

4. O nível N de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade I , medida em watt por

metro quadrado, de acordo com a igualdade

0,10log10 12

10 IparaIN

a) Verifica que IN 10log10120 .

b) Admite que o nível de ruído de um avião a jato, ouvido por uma pessoa que se encontra na

varanda de um aeroporto, é de 140 decibéis.

Determina a intensidade desse som, em watt por metro quadrado.

5. A magnitude M de um sismo e a energia total E libertada por esse sismo estão relacionadas pela

equação ME 44,124,5log10 (a energia E é a medida em Joule).

a) Um físico português estimou que o terramoto de Lisboa de 1755 teve magnitude 8,6. Mostre que

a energia total libertada nesse sismo foi aproximadamente 17102,4 Joule.

b) A ponte Vasco da Gama foi concebida para resistir a um sismo cuja energia total libertada seja

cinco vezes a do terramoto de Lisboa de 1755. Qual será a magnitude de um sismo? Apresenta

o resultado na forma de dízima, arredondamento às décimas.



6. Num laboratório, foi colocado um purificador de ar.

Num determinado dia, o purificador foi ligado às zero horas e desligado algum tempo depois.

Ao longo desse dia, o nível de poluição do ar diminuiu, enquanto o purificador esteve ligado.

Uma vez o purificador desligado, o nível de poluição do ar começou de imediato a aumentar.

Admite que o nível de poluição do ar no laboratório, medido em lmg / de ar, às t horas desse dia,

pode ser dado por

1

1ln1

t

ttP , 24,0t

a) Qual é o nível de poluição à uma hora e trinta minutos da tarde?

Apresenta o resultado na unidade considerada, arredondado às décimas.

b) Quanto tempo esteve o purificador de ar ligado?

Apresenta o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).

7. A figura representa um reservatório com três metros de

altura.

Considera que, inicialmente, o reservatório está cheio

de água e que, num certo instante, se abre uma válvula

e o reservatório começa a ser esvaziado.

O reservatório fica vazio ao fim de catorze horas.

Admite que a altura, em metros, da água no

reservatório, t horas após este ter começado a ser

esvaziado, é dada por btath 2log , 14 , 0 t , onde a e b são constantes reais

positivas.

Mostra que 8a e que 2

1b .

8. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros



Considera a função f definida por 11,01,015 xx eexf .

Admite que xf é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado x metros à direita do

primeiro poste.

a) Determina a diferença de altura dos dois postes. Apresenta o resultado na forma de dízima, com

aproximação às décimas.

b) Determina, com aproximação à décima de metro, a distância ao primeiro poste dos pontos do fio

que se encontram a 15 metros do solo.

9. Seja f a função definida em IR por xxxf 2

2

2 log8log

a) Mostra que xxf 2log3 , para qualquer IRx .

b) Determina a abcissa do ponto de interseção do gráfico f de com a reta de equação 8y .

10. Na figura está parte da representação gráfica da

função f , de domínio IR , definida por

xxf 8log P é um ponto do gráfico de f , que

tem ordenada 3

1.

Qual é a abcissa do ponto P ?

11. Na figura está parte da representação gráfica da função f , de domínio IR , definida por

xxf ln ( ln designa logaritmo de base e ).

Os pontos CeA , que pertencem ao gráfico da

função f , são vértices de um retângulo ABCD

, de lados paralelos aos eixos do referencial.

As abcissas de CdeeA são 62 e ,

respetivamente.

Calcula a área do retângulo ABCD .



5. CRESCIMENTO LOGÍSTICO

5.1. FUNÇÃO LOGÍSTICA. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO LOGÍSTICA

Enumeras situações da vida real apresentam um comportamento crescente, que começa por ser

rápido mas que, a partir de certo momento, se vai tornando mais lento, estabilizando num certo valor.

A evolução de populações, a propagação de doenças e o crescimento de um animal são alguns

exemplos das situações referidas anteriormente.

O modelo logístico é do tipo xceb

axf

1, em que ceba ,, são constantes positivas.

O modelo logístico apresenta no início um crescimento que se aproxima do crescimento exponencial,

no entanto a partir de um certo momento começa a estabilizar. Concluímos assim que o crescimento

logístico é limitado.

As representações gráficas destes modelos são do tipo:

Da observação do gráfico podemos indicar as seguintes propriedades:

● A função f só toma valores positivos, logo 0xf , qualquer que seja o valor de x .

● b

af

10 . O que significa que o gráfico de f interseta o eixo das ordenadas no ponto

b

a

1;0 .

● Como f é uma função que só toma valores positivos, vemos que, à medida que x aumenta, xf

tende para o valor a . Logo 0lim

xfx

e axfx

lim

● O gráfico da função f admite duas assintotas horizontais que são as retas ay e 0y .

b

a

1



EXEMPLO: MODELO DE CRESCIMENTO LOGÍSTICO

Um modelo de crescimento de uma população de peixes é dado pela seguinte função:

te

tC1,1131

52

Em que C representa o número de peixes, em milhares, existentes ao fim de t anos.

Estuda a evolução desta população contemplando:

a) O número inicial de peixes;

b) A representação gráfica;

c) O tempo necessário para que o número de peixes atinja os 43 milhares;

d) A identificação da assintota horizontal e a respetiva interpretação no contexto do problema.

A fonte deste exercício e da sua resolução é Neves, M.A.F., Matemática B, Matemática 12.º

Ano. Porto Editora.

RESOLUÇÃO

a) 714,3131

520

0

eC b) tCy 1

O número inicial era de

aproximadamente 3714 peixes.

c) Graficamente

tCy 1

432 y

Analiticamente

75,31,1

559

9ln

559

9ln1,1

559

9

43

913131

43

5243

131

5243 1,11,11,1

1,1

tteee

etC ttt

t

O número de peixes atinge os 43 milhares ao fim de aproximadamente 8,3 anos.

d)A assintota horizontal é a reta de equação 52y .

Significa que a população de peixes, com o decorrer do tempo, tende a estabilizar em cerca de

52000 indivíduos.




Resolve os exercícios das páginas 64 e 65 do livro Matemática A9 - Ensino Profissional Nível 3, Neves,

M.A., Pereira, A., Porto Editora.

6. FICHA DE AVALIAÇÃO MODELO

GRUPO I

Para cada uma das questões que se seguem, seleciona a resposta correta, de entre as alternativas que te são

apresentadas, e escreve na tua folha de resposta a letra que lhe corresponde. Apresenta cálculos ou justificações

necessárias.

1. Sejam ba, e c três números reais tais que cba )(log .

Qual é o valor de )(log baa ?

(A) 1 + c (B) a + c (C) ca (D) cba

2. A função f definida por )2ln(1ln xxxf tem domínio igual a:

(A) 1,2\ IR (B) ,1 (C) ,2 (D) 1,

3. Consideremos a função xxf 3 o seu domínio é:

(A) IR (B) IR (C) 1\IR (D) 0\IR

4. Se )0,0(ln1ln baba , então

(A) bea (B) ba (C) eb

a (D) 1

b

a

GRUPO II

Nas questões que se seguem apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que efetuares e todas

as justificações que entenderes necessárias.

1. Resolve em IR :

a) 03215 xx ee b) 01ln4ln 2 xx

2. Considera a altura A (em metros) de uma criança do sexo masculino pode ser expressa,

aproximadamente, em função do seu peso p (em quilogramas), por

ppA ln55,052,0 ( ln designa logaritmo de base e )



a) O Ricardo tem m 4,1 de altura. Admitindo que a altura e o peso do Ricardo estão de acordo

com a igualdade referida, qual será o seu peso?

Apresenta o resultado em quilogramas, arredondado às unidades.

b) Verifica que, para qualquer valor de p , a diferença pApA 2 é constante.

Determina um valor aproximado dessa constante (com duas casa decimais) e interpreta esse

valor, no contexto da situação descrita.

Exercício adaptado de um exame nacional

7. RESOLUÇÃO DA FICHA DE AVALIAÇÃO MODELO

Grupo I

1. cbaba aaa 1loglog)(log , pois cba )(log Resposta: A .

2. )2ln(1ln xxxs

0201: xxIRxD = ,1 Resposta : B .

3. O domínio da função f é .IR Resposta : A .

4. )0,0(ln1ln baba

eb

ae

b

ababa lnln1lnlnln1ln Resposta : C .

Grupo II

1. a) 03215 xx ee3

2132532153215 xxxxxee xx

Conjunto solução é

3

2.

b) 01ln4ln 2 xx

Domínio: 0104: 2 xxIRxD ,2

01ln4ln 2 xx 05141ln4ln 222 xxxxxx

Temos que resolver uma inequação do 2º grau.

2

211

2

2011052

xxxx

Logo o conjunto solução é o intervalo

,

2

211.



a)

816,32ln55,0

92,1

ln55,092,1ln55,052,04,1ln55,052,04,1

55,0

92,1

pepp

ppp

Resposta: O Ricardo pesa, aproximadamente, 33 Kg.

b)

38,02ln55,02

ln55,0ln2ln55,0ln55,052,02ln55,052,0

ln55,052,02ln55,052,02

p

ppppp

pppApA

Conclusão: 38,02 pApA

8. CONCLUSÃO

Com o estudo deste módulo desenvolveste a capacidade de modelar e resolver situações

envolvendo modelos contínuos não lineares: a exponencial, a logarítmica e a logística. Como

estudaste os modelos de crescimento não linear podem resultar da abordagem de situações

realistas.

De entre os modelos não lineares estudados, são importantes e interessantes as exponenciais da

forma 𝑦 = 𝑎(𝑏𝑥). Os modelos exponenciais foram utilizados para resolver problemas de evolução de

populações, poluição, temperaturas, drogas no sangue, materiais radioativos, etc., alguns deles já

tinham sido mencionados aquando da abordagem das progressões geométricas.

Como estudaste neste módulo, as funções de crescimento revestem-se da maior importância no

que se refere à forma de organizar possíveis resoluções para situações problemáticas que são

apresentadas, com base em aspetos da realidade (social) e em aspetos do estudo das diversas

ciências (Matemática incluída). O estudo das funções pode e deve servir para evidenciar conexões

entre a matemática e as outras disciplinas.

funções de crescimentointra.etpsico.pt/manuais/3aut/79.pdf5x 10 x;y ex chama-se função...

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